Unidade 4 – Progressão Aritmética Sequência e definição de PA Função Afim e PA Interpolação Aritmética Soma dos termos de uma PA
Unidade 4 –Progressão Aritmética
Sequência e definição de PAFunção Afim e PAInterpolação AritméticaSoma dos termos de uma PA
Sequência e definição de PA
� Observe atentamente a sequência de figuras formadas por palitos de fósforos.
� De quantos palitos a próxima figura?� Existe uma forma de se determinar quantos
palitos tem uma figura qualquer na sequência?� A sequência formada pelos palitos de fósforos
pode ser representada da seguinte maneira:� a1 = 4 → a 1º figura tem 4 palitos� a2 = 7 → a 2º figura tem 7 palitos� a3 = 10 → a 3º figura tem 10 palitos� A cada nova figura, devemos acrescentar 3
novos palitos para formar um novo quadrado.� Logo, a quarta figura terá 13 palitos, ou seja, a4
= 13.
� Observe que a quantidade de palitos depende (está em função) da posição da figura na sequência.
� Se a 1º figura tem 4 palitos e, a cada nova figura são acrescidos outros 3 palitos, a n-ésima figura será formada por (3n + 1) palitos.
� Os procedimentos utilizados no estudo de funções serão adotados aqui para se obter a quantidade de palitos de fósforos em cada posição, utilizando-se do termo geral a sequência.
1314.3a 4 n Para
1013.3a 3 n Para
712.3a 2 n Para
411.3a 1 n Para
sequência da geral termo1.3
4
3
2
1
=+=→=
=+=→=
=+=→=
=+=→=
→+= nan
Conceito
� Costuma-se representar os elementos ou termos de uma sequência pela letra a provida de um índice que indica a posição do termo na sequência.
� Em geral, para , uma sequência érepresentada por:
*Nn ∈
( ),...,...,,,, 4321 naaaaa
� Vejamos um exemplo:� Os elementos da sequência cujo o termo geral é
an = 3n + 2,
:modo seguinte do obtidos são N n
2, 3n a é geral termoo cujo sequência da elementos Os n
∈
+=
11 2 3.3 a 3 n
8 2 3.2 a 2 n
5 2 3.1 a 1 n
3
2
1
=+=→=
=+=→=
=+=→=
),,,(
...) 11, 8, (5, temosAssim,
321 naaaa
↓↓↓↓Resolução “Para você fazer”p.38
Conceito
� Uma sequência é uma sucessão de termos, números, figuras ou expressões que estão dispostos numa ordem.
� As sequências desempenham um importante papel na Matemática.
� Por meio delas, podemos reconhecer padrões, observar contrastes e, de certa forma, prever futuros acontecimentos.
� Entre os diversos tipos de sequências existentes, vamos estudar um tipo particular de sequência chamada de “progressão aritmética”.
� Para compreender o significado de progressão aritmética, observe a sequência (1, 3, 5, 7, 9, 11).
� Que característica ela possui?� Há alguma regularidade entre um termo e
outro?� Conceito: Uma progressão aritmética (PA) é
uma sequência de número ou expressões em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante.
� Essa constante é denominada razão de PA e será representada pela letra r.
� Para melhor compreensão desse conceito, vamos observar alguns exemplos.
� Exemplo 1: A sequência (1, 4, 7, 10,...) éuma PA cuja a razão r = 3 (r > 0)
� a1 = 1� a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4� a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7� a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10
Cada termo é igual ao anterior mais 3
� Exemplo 2: A sequência (10, 8, 6, 4, ...) é PA cuja a razão é r = -2 (r < 0).
� a1 = 10� a2 = a1 - 2 = 10 - 2 = 8� a3 = a2 - 2 = 8 - 2 = 6� a4 = a3 - 2 = 6 - 2 = 4
� Exemplo 3: A sequência (5, 5, 5, 5, ...) é PA cuja a razão é r = 0 (r = 0).
� a1 = 5� a2 = a1 + 0 = 5 + 0 = 5� a3 = a2 + 0 = 5 + 0 = 5 � a4 = a3 + 0 = 5 + 0 = 5
Cada termo é igual ao anterior menos 2
Cada termo é igual ao anterior
� De acordo com a razão, existem três tipos de PA:
� r > 0 → a PA é crescente
� r < 0 → a PA é decrescente� r = 0 → a PA é constante
� Considerando essas informações, podemos verificar se a afirmação seguinte é verdadeira ou não:
� A sequência definida por an + 1 = an + 4 e a1 = 1 éuma PA cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é4.
� Assim, podemos afirmar que a sequência (1, 5, 9, 13,...) é uma PA.
� Os termos dessa PA foram obtidos recursivamente, ou seja, cada termo foi obtido com base no anterior, adicionando-se um valor constante igual 4.
134943
94542
54141
4
1
4313
3212
2111
1
1
=+=→+=→=
=+=→+=→=
=+=→+=→=
+=
=
+
+
+
+
aaan
aaan
aaan
aa
a
nn
� A quantidade de bactérias de uma cultura, a cada minuto, pode ser modelada por meio de uma função afim da forma
� Observe essa quantidade de bactérias, por minuto, no decorrer do tempo:
N n 1, 2n f(n) ∈+=
bactérias de minutos
quantidade em tempo
bactéria 7 existe minuto, 3 Após713.23
bactéria 5 existe minuto, 2 Após512.22
bactéria 3 existe minuto, 1 Após311.21
bactéria 1 existe início, No110.20
3
2
1
0
↓↓
→=+=→=
→=+=→=
→=+=→=
→=+=→=
an
an
an
an
N n 1, 2n f(n) ∈+=
� Repare que a quantidade de bactérias por minutos constitui uma PA cujo termo éigual a an = 2n + 1
� f: N* → R
� Assim, uma função afim f: N* → R, definida por f(n) = 2n + 1, representa uma PA de razão r = 2 (coeficiente de n).
123...
357...
N* R
Ordem, ou posição do termo
Valor do termo
� Uma progressão aritmética é uma função afim
cujo o domínio é o conjunto N*.
� Para evidenciar essa conexão, vamos construir os gráficos das funções:
R n 1, 2n f(n) e N*, n 1, 2n a ∈+=∈+=n
� O primeiro gráfico é formado por pontos alinhados que não estão ligados, porque o domínio é formado apenas por números naturais positivos.
� Já o segundo gráfico é formado por pontos alinhados que estão ligados porque o domínio éformado por todos os número reais.
� Observe que, cada vez que n aumenta uma unidade (avança uma posição), an aumenta duas unidade (avança uma razão).
� Para encontrar um termo qualquer de uma PA, não é necessário escrever todos os termos precedentes.
� Com a fórmula do termo geral, podemos obter qualquer termo de uma sequência, conhecendo a posição desse termo.
� Considere uma progressão aritmética:� (a1, a2, a3, a4, ...., an, ... ,) de razão r.� Com base no segundo, qualquer termo é
igual ao anterior adicionado à razão. Logo:
� Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n – 1.
� Para relacionar um termo de ordem n em função do 1º termo a1, temos:
raa
raa
raa
raa
raa
nn+=
+=
+=
+=
+=
−1
45
34
23
12
M
( ) ( )rnarrnaraa
rarraraa
rarraraa
rarraraa
raa
nn.1].2[
4)3(
3)2(
2)(
111
1145
1134
1123
12
−+=+−+=+=
+=++=+=
+=++=+=
+=++=+=
+=
−
M
( )rnaan
.1
:por dada éPA da geral termodo fórmulaA
1 −+=
� Quando conhecemos a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão.
� Observe alguns exemplos:� 8º termo: n = 8 → a8 = a1 + 7r� 16º termo: n = 16 → a16 = a1 + 15r� 30º termo: n = 30 → a30 = a1 + 29r
� Durante uma viagem de um carro, quando a marcação indicava km 8, João passou por um posto telefônico à beira da pista.
� Isso ocorreu novamente no km 86.� Se, entre esses dois pontos, ele passou em
mais cinco postos telefônicos consecutivos e igualmente de dois postos da pista estavam esses postos?
� A diferença entre as distâncias de dois postos telefônicos consecutivos é sempre a mesma.
� Logo, elas se situam em pontos (ou marcos quilométricos) na pista que constituem uma PA.
� Observe como podem ser organizadas as informações:
� O problema apresentado acima pode ser representado do seguinte modo:
� (8,___,___,___,___,___,86)� Com base nisso, podemos utilizar os
conceitos já estudados e escrever:
� A cada 13 km João passou por um posto telefônico.
� Os marcos quilométricos onde se encontravam esses postos constituem a seguinte PA:
� (8, 21, 34, 47, 60, 73, 86) → PA de razão, r = 13
=
=
+=
+=
−+=
⇒
=
=+=
=
=
13
678
.6886
.6
).1(
?
725
86
817
1
1
r
r
r
raa
rnaa
r
n
a
an
n
� Nesse exemplo, fizemos o uso de uma interpolação aritmética.
� Nesse caso, a palavra interpolação significa inserção de elementos na sequência.
� Os termos inseridos são chamados de meios aritméticos.� Observe a definição de interpolação aritmética:� Conceito: Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre
os números a e b significa construir uma PA com k + 2 termos, onde a é o primeiro termo e b é o último.
naa
saritmético meiosk
termos2 k n comPA b) ___, ___, , ... ___, ___, (a,
1
↓↓
+=→
� No fim do século XVIII, numa pequena escola no interior da Alemanha, um professor de Matemática passou aos seis alunos a seguinte tarefa:
� Adicionar os números interior positivos de 1 a 100.� O professor imaginava que os alunos levariam um bom
tempo para encontrar a soma dos elementos dessa sequência.
� Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e dá àresposta: 5050.
� O professor, acreditando que se tratava de uma brincadeira, repreendeu-o e pediu para que se tentasse realmente fazer as contas.
� O precose aluno explicou ao professor que a soma era igual a 50 vezes a soma do primeiro com último termo, ou seja, 50 . 101 = 5050
� Acompanhe o raciocínio do aluno:� S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
� Reescrevendo em ordem contrária:� S = 100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1
� Adicionando membro a membro as igualdades:� S + S = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (99 + 2) +
(100 + 1)
� 2S = 101 + 101 + ... + 101 + 101� 2S = 101 . 100
� S = 5050
� O professor, que nem sequer havia feito a conta, compreendeu a explicação e parabenizou o aluno pelo raciocínio exemplar.
� Alguns anos depois, inclusive, o presenteou com um livro de cálculo.
� O humilde aluno, que na época cerca de oito anos, era filho de jardineiros e chamava-se Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).
� Anos mais tarde, dedicou-se à Matemática e Física, desenvolvendo trabalhos nos capos da Teoria dos Números, Geometria Diferencial, Magnetismo, Astronomia, Geodésica e Ótica.
� Por muitos, é considerado incontestavelmente, o maior matemático de toda a história, sendo conhecido como “Príncipe dos Matemáticos”.
� O desenvolvimento utilizado por Gauss pode ser generalizado da seguinte maneira:
( )( )IIaaaa
Iaaaa
aaaa
nn
nn
nn
1221nn
1321n
1321
...aS
...aS
:então PA, uma é),,...,,,(a Se
+++++=
+++++=
−−
−
−
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
PA uma de termosprimeirosn dos Soma.2
S
.n 2S
parcelasn
...SS
:,I Fazendo
1n
1n
12123121nn
anaa
aa
aaaaaaaaaa
temosII
n
n
nnnnn
+=
+=
++++++++++=+
+
−−−
Exemplos
� Obtenha a soma dos termos de PA (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20), formada por 7 termos:
35
7.2
2010
7.2
.2
717
1
=
+−=
+=
+=
n
n
n
n
S
S
aaS
naa
S