Unidade 4 – Progressão Aritmética

Unidade 4 –Progressão Aritmética

Sequência e definição de PAFunção Afim e PAInterpolação AritméticaSoma dos termos de uma PA

Sequência e definição de PA

� Observe atentamente a sequência de figuras formadas por palitos de fósforos.

� De quantos palitos a próxima figura?� Existe uma forma de se determinar quantos

palitos tem uma figura qualquer na sequência?� A sequência formada pelos palitos de fósforos

pode ser representada da seguinte maneira:� a1 = 4 → a 1º figura tem 4 palitos� a2 = 7 → a 2º figura tem 7 palitos� a3 = 10 → a 3º figura tem 10 palitos� A cada nova figura, devemos acrescentar 3

novos palitos para formar um novo quadrado.� Logo, a quarta figura terá 13 palitos, ou seja, a4

= 13.

� Observe que a quantidade de palitos depende (está em função) da posição da figura na sequência.

� Se a 1º figura tem 4 palitos e, a cada nova figura são acrescidos outros 3 palitos, a n-ésima figura será formada por (3n + 1) palitos.

� Os procedimentos utilizados no estudo de funções serão adotados aqui para se obter a quantidade de palitos de fósforos em cada posição, utilizando-se do termo geral a sequência.

1314.3a 4 n Para

1013.3a 3 n Para

712.3a 2 n Para

411.3a 1 n Para

sequência da geral termo1.3

4

3

2

1

=+=→=

=+=→=

=+=→=

=+=→=

→+= nan

Conceito

� Costuma-se representar os elementos ou termos de uma sequência pela letra a provida de um índice que indica a posição do termo na sequência.

� Em geral, para , uma sequência érepresentada por:

*Nn ∈

( ),...,...,,,, 4321 naaaaa

� Vejamos um exemplo:� Os elementos da sequência cujo o termo geral é

an = 3n + 2,

:modo seguinte do obtidos são N n

2, 3n a é geral termoo cujo sequência da elementos Os n

∈

+=

11 2 3.3 a 3 n

8 2 3.2 a 2 n

5 2 3.1 a 1 n

3

2

1

=+=→=

=+=→=

=+=→=

),,,(

...) 11, 8, (5, temosAssim,

321 naaaa

↓↓↓↓Resolução “Para você fazer”p.38

Conceito

� Uma sequência é uma sucessão de termos, números, figuras ou expressões que estão dispostos numa ordem.

� As sequências desempenham um importante papel na Matemática.

� Por meio delas, podemos reconhecer padrões, observar contrastes e, de certa forma, prever futuros acontecimentos.

� Entre os diversos tipos de sequências existentes, vamos estudar um tipo particular de sequência chamada de “progressão aritmética”.

� Para compreender o significado de progressão aritmética, observe a sequência (1, 3, 5, 7, 9, 11).

� Que característica ela possui?� Há alguma regularidade entre um termo e

outro?� Conceito: Uma progressão aritmética (PA) é

uma sequência de número ou expressões em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante.

� Essa constante é denominada razão de PA e será representada pela letra r.

� Para melhor compreensão desse conceito, vamos observar alguns exemplos.

� Exemplo 1: A sequência (1, 4, 7, 10,...) éuma PA cuja a razão r = 3 (r > 0)

� a1 = 1� a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4� a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7� a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10

Cada termo é igual ao anterior mais 3

� Exemplo 2: A sequência (10, 8, 6, 4, ...) é PA cuja a razão é r = -2 (r < 0).

� a1 = 10� a2 = a1 - 2 = 10 - 2 = 8� a3 = a2 - 2 = 8 - 2 = 6� a4 = a3 - 2 = 6 - 2 = 4

� Exemplo 3: A sequência (5, 5, 5, 5, ...) é PA cuja a razão é r = 0 (r = 0).

� a1 = 5� a2 = a1 + 0 = 5 + 0 = 5� a3 = a2 + 0 = 5 + 0 = 5 � a4 = a3 + 0 = 5 + 0 = 5

Cada termo é igual ao anterior menos 2

Cada termo é igual ao anterior

� De acordo com a razão, existem três tipos de PA:

� r > 0 → a PA é crescente

� r < 0 → a PA é decrescente� r = 0 → a PA é constante

� Considerando essas informações, podemos verificar se a afirmação seguinte é verdadeira ou não:

� A sequência definida por an + 1 = an + 4 e a1 = 1 éuma PA cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é4.

� Assim, podemos afirmar que a sequência (1, 5, 9, 13,...) é uma PA.

� Os termos dessa PA foram obtidos recursivamente, ou seja, cada termo foi obtido com base no anterior, adicionando-se um valor constante igual 4.

134943

94542

54141

4

1

4313

3212

2111

1

1

=+=→+=→=

=+=→+=→=

=+=→+=→=

+=

=

+

+

+

+

aaan

aaan

aaan

aa

a

nn

Função Afim e PA

� A quantidade de bactérias de uma cultura, a cada minuto, pode ser modelada por meio de uma função afim da forma

� Observe essa quantidade de bactérias, por minuto, no decorrer do tempo:

N n 1, 2n f(n) ∈+=

bactérias de minutos

quantidade em tempo

bactéria 7 existe minuto, 3 Após713.23

bactéria 5 existe minuto, 2 Após512.22

bactéria 3 existe minuto, 1 Após311.21

bactéria 1 existe início, No110.20

3

2

1

0

↓↓

→=+=→=

→=+=→=

→=+=→=

→=+=→=

an

an

an

an

N n 1, 2n f(n) ∈+=

� Repare que a quantidade de bactérias por minutos constitui uma PA cujo termo éigual a an = 2n + 1

� f: N* → R

� Assim, uma função afim f: N* → R, definida por f(n) = 2n + 1, representa uma PA de razão r = 2 (coeficiente de n).

123...

357...

N* R

Ordem, ou posição do termo

Valor do termo

� Uma progressão aritmética é uma função afim

cujo o domínio é o conjunto N*.

� Para evidenciar essa conexão, vamos construir os gráficos das funções:

R n 1, 2n f(n) e N*, n 1, 2n a ∈+=∈+=n

� O primeiro gráfico é formado por pontos alinhados que não estão ligados, porque o domínio é formado apenas por números naturais positivos.

� Já o segundo gráfico é formado por pontos alinhados que estão ligados porque o domínio éformado por todos os número reais.

� Observe que, cada vez que n aumenta uma unidade (avança uma posição), an aumenta duas unidade (avança uma razão).

Fórmula do termo geral de uma PA

� Para encontrar um termo qualquer de uma PA, não é necessário escrever todos os termos precedentes.

� Com a fórmula do termo geral, podemos obter qualquer termo de uma sequência, conhecendo a posição desse termo.

� Considere uma progressão aritmética:� (a1, a2, a3, a4, ...., an, ... ,) de razão r.� Com base no segundo, qualquer termo é

igual ao anterior adicionado à razão. Logo:

� Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n – 1.

� Para relacionar um termo de ordem n em função do 1º termo a1, temos:

raa

raa

raa

raa

raa

nn+=

+=

+=

+=

+=

−1

45

34

23

12

M

( ) ( )rnarrnaraa

rarraraa

rarraraa

rarraraa

raa

nn.1].2[

4)3(

3)2(

2)(

111

1145

1134

1123

12

−+=+−+=+=

+=++=+=

+=++=+=

+=++=+=

+=

−

M

( )rnaan

.1

:por dada éPA da geral termodo fórmulaA

1 −+=

� Quando conhecemos a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão.

� Observe alguns exemplos:� 8º termo: n = 8 → a8 = a1 + 7r� 16º termo: n = 16 → a16 = a1 + 15r� 30º termo: n = 30 → a30 = a1 + 29r

Interpolação aritmética

� Durante uma viagem de um carro, quando a marcação indicava km 8, João passou por um posto telefônico à beira da pista.

� Isso ocorreu novamente no km 86.� Se, entre esses dois pontos, ele passou em

mais cinco postos telefônicos consecutivos e igualmente de dois postos da pista estavam esses postos?

� A diferença entre as distâncias de dois postos telefônicos consecutivos é sempre a mesma.

� Logo, elas se situam em pontos (ou marcos quilométricos) na pista que constituem uma PA.

� Observe como podem ser organizadas as informações:

� O problema apresentado acima pode ser representado do seguinte modo:

� (8,___,___,___,___,___,86)� Com base nisso, podemos utilizar os

conceitos já estudados e escrever:

� A cada 13 km João passou por um posto telefônico.

� Os marcos quilométricos onde se encontravam esses postos constituem a seguinte PA:

� (8, 21, 34, 47, 60, 73, 86) → PA de razão, r = 13

=

=

+=

+=

−+=

⇒

=

=+=

=

=

13

678

.6886

.6

).1(

?

725

86

817

1

1

r

r

r

raa

rnaa

r

n

a

an

n

� Nesse exemplo, fizemos o uso de uma interpolação aritmética.

� Nesse caso, a palavra interpolação significa inserção de elementos na sequência.

� Os termos inseridos são chamados de meios aritméticos.� Observe a definição de interpolação aritmética:� Conceito: Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre

os números a e b significa construir uma PA com k + 2 termos, onde a é o primeiro termo e b é o último.

naa

saritmético meiosk

termos2 k n comPA b) ___, ___, , ... ___, ___, (a,

1

↓↓

+=→

Soma dos termos de uma PA

� No fim do século XVIII, numa pequena escola no interior da Alemanha, um professor de Matemática passou aos seis alunos a seguinte tarefa:

� Adicionar os números interior positivos de 1 a 100.� O professor imaginava que os alunos levariam um bom

tempo para encontrar a soma dos elementos dessa sequência.

� Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e dá àresposta: 5050.

� O professor, acreditando que se tratava de uma brincadeira, repreendeu-o e pediu para que se tentasse realmente fazer as contas.

� O precose aluno explicou ao professor que a soma era igual a 50 vezes a soma do primeiro com último termo, ou seja, 50 . 101 = 5050

� Acompanhe o raciocínio do aluno:� S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

� Reescrevendo em ordem contrária:� S = 100 + 99 + ... + 3 + 2 + 1

� Adicionando membro a membro as igualdades:� S + S = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (99 + 2) +

(100 + 1)

� 2S = 101 + 101 + ... + 101 + 101� 2S = 101 . 100

� S = 5050

� O professor, que nem sequer havia feito a conta, compreendeu a explicação e parabenizou o aluno pelo raciocínio exemplar.

� Alguns anos depois, inclusive, o presenteou com um livro de cálculo.

� O humilde aluno, que na época cerca de oito anos, era filho de jardineiros e chamava-se Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).

� Anos mais tarde, dedicou-se à Matemática e Física, desenvolvendo trabalhos nos capos da Teoria dos Números, Geometria Diferencial, Magnetismo, Astronomia, Geodésica e Ótica.

� Por muitos, é considerado incontestavelmente, o maior matemático de toda a história, sendo conhecido como “Príncipe dos Matemáticos”.

� O desenvolvimento utilizado por Gauss pode ser generalizado da seguinte maneira:

( )( )IIaaaa

Iaaaa

aaaa

nn

nn

nn

1221nn

1321n

1321

...aS

...aS

:então PA, uma é),,...,,,(a Se

+++++=

+++++=

−−

−

−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

PA uma de termosprimeirosn dos Soma.2

S

.n 2S

parcelasn

...SS

:,I Fazendo

1n

1n

12123121nn

anaa

aa

aaaaaaaaaa

temosII

n

n

nnnnn

+=

+=

++++++++++=+

+

−−−

Exemplos

� Obtenha a soma dos termos de PA (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20), formada por 7 termos:

35

7.2

2010

7.2

.2

717

1

=

+−=

+=

+=

n

n

n

n

S

S

aaS

naa

S

Exemplos

� Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (1, 3, 5, ...)

39

2.191

.191

).1(

20

20

20

1

=

+=

+=

−+=

a

a

ra

rnaan

400

20.2

391

20.2

.2

2017

1

=

+=

+=

+=

n

n

n

n

S

S

aaS

naa

S