-
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL ROSARIO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA QUIMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE
NOTAS DE CTEDRA: UNIDAD TEMTICA 2 ANALISIS ENVOLVENTE EN ESTADO
ESTACIONARIO
EC. DIFERENCIALES PARA FLUJO DE FLUIDOS ISOTERMICOS ANALISIS
DIMENSIONAL
Revisin: Junio 2008
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
La presente es una recopilacin de diversas notas y apuntes de
ctedra dispersas que
fueron elaboradas o redactadas en los ltimos aos. Se agradece
especialmente la
colaboracin de los alumnos cursantes en 2008: Ferullo, Luciana;
Gimnez, Dianela;
Parisi, Florencia; Ramunno, Mara Florencia; Risso, Eliana para
su compilacin y
organizacin, que con la coordinacin del Auxiliar Juan Dominguez
permite disponer de
esta versin revisada. Se advierte que estas notas son solo una
gua para el estudio,
debiendo consultarse la bibliografa recomendada en cada tema
para lograr un
conocimiento pleno de los mismos.
Ctedra de Fenmenos de Transporte Ing. Jorge E. Robin
Ing. Marcela N. Kaminsky Juan M. Dominguez
Pgina 2 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
2.A. ANALISIS ENVOLVENTE EN ESTADO ESTACIONARIO
2.A.1 INTRODUCCION A LA RESOLUCION DE BALANCES Los balances de
cantidad de movimiento, energa y masa pueden formularse
aplicando
las leyes de conservacin que rigen el comportamiento de un
sistema. Estos balances se
pueden enunciar para un determinado perodo de tiempo (evolucin
discontinua o cclica), o
ms comnmente introduciendo el concepto de velocidad de evolucin,
con las cantidades
relacionadas con la unidad de tiempo.
Su formulacin general es la siguiente;
(Velocidad)
ACUMULACION NETA en el
VOLUMEN del
SISTEMA
=
(Velocidad)
TRANSPORTE NETO de ENTRADA a
travs de la
SUPERFICIE del SISTEMA
-
(Velocidad) TRANSPORTE
NETO de SALIDA a travs
de la SUPERFICIE del SISTEMA
+
(Velocidad) GENERACION NETA en el
VOLUMEN del
SISTEMA
El objetivo es obtener una descripcin precisa y conveniente
usando expresiones
matemticas tan rigurosas como sea posible, con un mnimo de
parmetros desconocidos.
Estas expresiones obtenidas pueden ser ecuaciones diferenciales
ordinarias, en derivadas
parciales, diferenciales finitas, algebraicas, etctera.
FORMULACION La secuencia habitual para el planteamiento y
resolucin de un balance es la siguiente;
1.- Desarrollar un modelo geomtrico y elegir un sistema de
coordenadas.
2.- Identificar las Entradas y Salidas.
3.- Identificar la Generacin (si es positivo se crea y si es
negativo se consume).
4.- Verificar el Estado de Rgimen (las evoluciones en estado
estacionario tienen acumulacin
nula).
5.- Definir las Condiciones Lmite o de Frontera (condicin de una
variable en la superficie de
frontera del sistema. Es la constante arbitraria en la solucin
de una ecuacin diferencial.
Existen tantas Condiciones Lmite como el orden de la
ecuacin).
6.- Establecer la Condicin Inicial o estado de las variables en
el momento inicial (evoluciones
transitorias o no estacionarias).
7.- Definir los Parmetros y los Requisitos. Condiciones o
restricciones a cumplir por el sistema,
como por ejemplo, la temperatura, presin, constancia de
propiedades, tipo de flujo, etctera.
Pgina 3 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
EJECUCION 1.- Tomar una envoltura finita lo ms sencilla posible
acorde con el sistema coordenado
elegido.
2.- Plantear el balance.
3.- Obtener la expresin simblica representativa.
4.- Resolver la ecuacin para lograr conocer la distribucin de
las variables o perfiles.
5.- Simplificarlas para lograr relaciones ms simples o
soluciones generales.
6.- Identificar los valores de frontera, los valores promedio y
cualquier otro de inters para la
situacin.
APLICACIONES Campo de utilizacin, estudio de limitaciones,
ejemplos para diseo.
2.A.2. ANALISIS ENVOLVENTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Consiste en la aplicacin de la ley de conservacin de cantidad de
movimiento o 2da. Ley
de Newton a un sistema de flujo en estado estacionario, para un
fluido de propiedades
constantes que circula en rgimen isotrmico.
Velocidad de ENTRADA de CANTIDAD de MOVIMIENTO
por FLUJO GLOBAL ( convectivo)
-
Velocidad de SALIDA de
CANTIDAD de MOVIMIENTO
por FLUJO GLOBAL ( convectivo
+
Velocidad de ENTRADA de CANTIDAD de MOVIMIENTO por TRANSP.
MOLEC. ( propagacin)
-
Velocidad de SALIDA de
CANTIDAD de MOVIMIENTO por TRANSP.
MOLEC. ( propagacin)
+
Sumatoria de las FUERZAS EXTERNAS (presin y
gravitacin)
= 0
FORMULACION DEL BALANCE1.- Desarrollar la forma de la envoltura
elemental y seleccionar el sistema de coordenadas
adecuado a la misma.
2.- Identificar las Entradas y Salidas. El transporte de
cantidad de movimiento a travs de la
superficie de la envoltura puede originarse por dos
mecanismos;
Transporte Global o Convectivo, debido al movimiento conjunto
del fluido que permite el ingreso o egreso de cantidad de
movimiento al sistema.
Transporte Molecular o Propagacin, a causa de la densidad de
flujo de cantidad de movimiento, o esfuerzos cortantes, originada
por la viscosidad del fluido.
3.- Identificar Generacin. La cantidad de movimiento puede ser
originada, en el elemento de
volumen, por dos tipos de fuerzas;
Presin, que acta en la superficie de la envoltura.
Pgina 4 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
Gravitacin, que lo hace en todo el volumen. 4.- Verificar el
Estado de Rgimen. Para el estado estacionario no existe acumulacin
de
cantidad de movimiento, es decir, no habr fuerza resultante
actuando sobre el volumen de
fluido, o lo que es lo mismo, no existir aceleracin.
5.- Definir las Condiciones Lmite o de Frontera. Para los
balances envolventes de cantidad de
movimiento se pueden identificar tres condiciones de
frontera;
Interfase slido-fluido: la velocidad del fluido es nula con
respecto al slido en la interfase, de acuerdo a la ya mencionada
condicin de no-deslizamiento.
Interfase lquido-gas: se considera que no hay resistencia en la
fase lquida por parte de la fase gaseosa, por lo que el gradiente
de velocidad y el esfuerzo cortante en el lquido
es nulo.
Interfase lquido-lquido: para lquidos inmiscibles de distinta
densidad, hay continuidad en ambos lados de la interfase, siendo la
velocidad idntica y comn en la interfase para
cada lquido.
6.- Condicin Inicial: no existe por ser estado estacionario.
7.- Parmetros y Requisitos: temperatura y propiedades fsicas
constantes. Trayectoria de las
partculas de fluido rectilneas y paralelas, rgimen de flujo
laminar.
EJECUCION1.- Tomar una envoltura finita lo ms sencilla posible
acorde con el sistema coordenado
elegido.
2.- Plantear el balance segn enunciado por notacin simblica.
3.- Tender a cero la envoltura y obtener una ecuacin diferencial
del esfuerzo en funcin de la
posicin.
4.- Integrar la ecuacin para obtener el perfil de densidad de
flujo de cantidad de movimiento
(esfuerzo cortante) en funcin de la posicin.
5.- Introducir la ecuacin de Newton de la viscosidad y obtener
una ecuacin diferencial de la
velocidad en funcin de la posicin.
6.- Integrar la ecuacin para obtener el perfil de velocidad en
funcin de la posicin.
7.- Obtener la velocidad media de flujo, la velocidad mxima, el
caudal volumtrico, la velocidad
de flujo de masa, la diferencia de presiones, el esfuerzo
cortante en la pared y la fuerza en la
pared ejercida por el fluido.
APLICACIONES En las condiciones enunciadas es vlido para flujo
en conductos de seccin circular,
anular, rectangular, para pelculas de fluido descendentes en
planos o cilindros, canales
abiertos, etctera.
Pgina 5 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
2.B. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA FLUJO DE FLUIDOS
ISOTERMICOS
INTRODUCCIONEl concepto de medio continuo explica el
comportamiento de la materia como si se
encontrara llenando por completo el espacio que ocupa, no
tomando en cuenta el
comportamiento individual de las molculas. Al adoptar este punto
de vista, y dentro de las
limitaciones para el que es vlido, se puede tener una descripcin
matemtica con funciones
continuas, para los intervalos considerados de las coordenadas
de espacio y tiempo. Las
cantidades fsicas resultantes son independientes de cualquier
sistema particular de
coordenadas que las describa, aunque pueden referirse a un
sistema apropiado por
conveniencia, tales como cartesianas, cilndricas, etctera.
TENSORESSon entidades matemticas que tienen existencia
independiente de cualquier sistema de
coordenadas, aun-que pueden ser especificados mediante
componentes. Las leyes fsicas se
expresan entonces por ecuaciones tensoriales, que son vlidas en
cualquier sistema
coordenado, es decir, que son invariantes. Los tensores pueden
ser clasificados por su orden,
reflejando tambin el nmero de componentes que poseen en un
espacio n-dimensional.
Tensores de Orden Cero o Escalares; se especifican por una
componente en el espacio tridimensional, o sea, se caracterizan por
su magnitud o valor, ej.; masa,
temperatura, volumen, tiempo, densidad.
Tensores de Orden Uno o Vectores; tienen tres componentes
coordenadas en el espacio fsico, se caracterizan por ser magnitudes
orientadas (en el espacio de tres
dimensiones tienen mdulo, direccin y sentido), ej.; velocidad,
cantidad de movimiento,
fuerza, densidad de flujo de energa.
Tensores de Orden Dos o Diadas; son el producto indeterminado de
dos vectores, se caracterizan por ser magnitudes de nueve
componentes en el espacio tridimensional,
ej.; densidad de flujo de cantidad de movimiento, esfuerzos,
producto didico de
velocidades.
CAMPO TENSORIAL Asocia un determinado tensor (funcin de sus
coordenadas espaciales y el tiempo) a un
vector posicin que vara en una regin particular del espacio en
un intervalo particular del
tiempo. Este campo ser continuo (o diferenciable) si las
componentes del tensor son
funciones continuas (o diferenciables). Si las componentes son
funciones de sus coordenadas
e independientes del tiempo, se llama estacionario.
Campo Escalar: Cuando en cada punto de la regin la magnitud es
un escalar, por ej.;
Pgina 6 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
la densidad de un fluido. Se puede representar por;
( ),ix = Campo Vectorial: Cuando en cada punto de la regin
existe un vector, por ej.; la
velocidad de las partculas de un fluido. Se representa por;
( ),i iv v x = Campo Tensorial de 2do. Orden: Cuando en cada
punto de la regin existe una diada,
por ej.; el tensor deformacin. Representado por;
( ),i j i j x =
Si observamos una regin del espacio llena de un fluido, que se
encuentra en movimiento
respecto de una terna derecha de ejes cartesianos estacionarios,
podemos decir que estamos
en presencia de un "campo es-calar" cuando nos referimos a la
densidad del mismo y a un
"campo vectorial" cuando nos referimos a las velocidades de las
partculas del mismo.
OPERADORES DIFERENCIALES Algunos de los ms importantes son los
siguientes;
Diferencial respecto a una coordenada: ix
Gradiente de un escalar: grad Divergencia de un vector: .div v
v= Rotacional de un vector: .rot v v. Laplaciana de un escalar:
2.
DERIVADAS DE FUNCIONES
Podemos definir las siguientes;
Derivada PARCIAL o LOCAL: Es la variacin de una condicin o
propiedad con el tiempo para un punto fijo en el espacio. En un
punto fijo (P), podemos analizar la
variacin de la velocidad de las partculas de fluido que circulan
por aquel con el
transcurso del tiempo, esto da lugar a la "Derivada parcial de
la velocidad del fluido" en
el punto (P), es decir, en smbolos;
P
v
Pgina 7 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
Derivada TOTAL: Variacin de una condicin o propiedad con el
tiempo en las inmediaciones de un punto del espacio tomado como
referencia. Para expresar el cambio
de la velocidad en los alrededores con respecto al tiempo,
obtenemos la "Derivada Total
de la velocidad del fluido" para un desplazamiento
infinitesimal, o sea;
dv v v dx v dy v dzd x d y d z d
= + + + Derivada MATERIAL, SUSTANCIAL SIGUIENDO EL MOVIMIENTO:
Variacin de una
condicin o propiedad con el tiempo a lo largo de la trayectoria
o movimiento, a partir de
un punto del espacio tomado como referencia. Para conocer el
cambio de velocidad de
una partcula de fluido a lo largo del movimiento, escribimos la
"Derivada Sustancial de la
velocidad del fluido" respecto del tiempo, que representa la
aceleracin o rapidez de la
variacin de velocidad de la partcula en su trayectoria.
x y zDv v v vv v v vD x y z
= + + +
Las siguientes figuras representan cada una de las respectivas
derivadas enunciadas.
Punto fijo Po
Propiedad varia segn tiempo; derivada parcial= , ,o o ox y z
P
Punto desplazado PoP1
Propiedad vara segn posicin y velocidad de desplazamiento;
DERIVADA TOTAL: P P P PdP d dx dy dz
x y z
= + + +
Pgina 8 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
Punto desplazndose PoP1
Velocidad desplazamiento punto y vector posicin iguales;
DERIVADA SUSTANCIAL: DP P P dx P dy P dy P dzD x d y d y d z
d
= + + + +
Siendo, xdxvd= ; y
dyvd= ; z
dzvd=
x y zD P P P Pv v v PD x y
= + + + z Las expresiones generales anteriores pueden
representarse para cada una de sus
componentes en el espacio. Por ejemplo, las componentes
cartesianas del vector aceleracin
sern;
Componente en "x": x x x xx x y xzDv v v v va v v vD x y z
= = + + +
Componente en "y": y y y yy x yy
z
Dv v v v va v v v
D x y z = = + + +
Componente en "z": z z z zz x y zzDv v v v va v v vD x y z
= = + + +
Forma General: x y zDv v v va v v vvD x y z
= = + + +
Pgina 9 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
LA ECUACION DE CONTINUIDAD Consideramos un elemento estacionario
de volumen, un cubo de lados x, y, z, a
travs del cual circula un fluido cuya densidad y velocidad son
funciones de la posicin y el
tiempo.
Si aplicamos un balance de materia al mismo, se podr calcular el
flujo de masa por
unidad de tiempo que atraviesa cada cara de ese elemento de
volumen, de acuerdo a la
siguiente expresin;
Velocidad de
Acumulacin de
Materia =
Velocidad de
Entrada de
Materia -
Velocidad de
Salida de
Materia
La velocidad de acumulacin de materia ser la rapidez de
variacin, respecto del
tiempo, de la masa en el interior del cubo, o sea;
( )x y z
Para cada par de caras paralelas, la velocidad de entrada y
salida de materia podr
expresarse;
caras perpendiculares al eje x: ( )+ x x x x xv v z y caras
perpendiculares al eje y: ( )+ y y y y yv v x z
Pgina 10 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
caras perpendiculares al eje z: ( )+ z z z z zv v x y El balance
de materia quedar entonces;
( ) ( ) ( ) (+ + + = + + x x x x x y y y y y z z z z zx y z v v
z y v v x z v v x y)
Dividiendo la expresin por el elemento de volumen (x y z), y
aplicando el lmite
cuando el volumen y el tiempo tienden a cero, se obtiene;
yx zvv vx y z
= + +
Esta expresin es la Ecuacin de Continuidad, que describe la
variacin de la densidad
para un elemento de volumen fijo en el espacio, como resultado
de las variaciones del vector
velocidad msica.
Utilizando notacin vectorial-tensorial, tambin puede
escribirse;
( ). 0v + =
El vector velocidad msica corresponde a una densidad de flujo de
materia, y tambin
significa la velocidad de concentracin de cantidad de
movimiento. El trmino ( ). v se conoce como divergencia de (v), y
significa la velocidad neta con que disminuye la densidad
de flujo de materia por unidad de volumen. La ecuacin establece
que la velocidad de aumento
de densidad en el interior del elemento de volumen fijo en el
espacio, es iguala la velocidad
neta de entrada de densidad de flujo de materia dividido por el
volumen.
Efectuando la diferenciacin de los trminos y reuniendo las
derivadas de la densidad en
el primer miembro, se obtiene;
yx zx y z
vv vv v vx y z x y z
+ + + = + +
Se observar que el primer miembro es la derivada substancial de
la densidad, o sea, la
derivada con respecto al tiempo para una trayectoria de una
partcula de fluido. Por lo tanto, la
expresin quedar;
Pgina 11 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
( ). 0D vD
+ =
La anterior representa la variacin de la densidad de una
partcula de fluido tal como la
observa quien se mueve con el fluido.
Estas ecuaciones son el resultado de la formulacin de la
conservacin de la materia, y
puede efectuarse para un elemento de volumen de una forma
arbitraria cualquiera.
Para ilustrarlo, vamos a aplicar el balance de masa a un
elemento de volumen (V), que se
encuentra limitado por una superficie (S), como el de la figura
siguiente.
La formulacin del balance de materia es idntica a la anterior,
pero ahora la masa
acumulada en la unidad de tiempo ser la integral extendida a
todo el volumen;
v
dv
Mientras que la masa que atraviesa la superficie
elemental puede expresarse por;
. c o sv d sv N d s =JJG Donde es el ngulo formado entre la
velocidad
msica y el versor unitario dirigido hacia fuera en cada punto de
la superficie.
La cantidad neta de materia que atraviesa toda la superficie del
sistema viene dada
por el flujo neto, que se representa por;
( ).s
v N ds JJG En consecuencia, el balance de materia indica que la
su las expresiones para la
acumulacin en el volumen y el flujo neto deben ser idntica
distinto signo), o sea;
( ).v s
d v v N d +
JJG
El teorema de la divergencia (o de Gauss), se puede escr
( ) ( ). .s v
A N ds A= JG JJG JG Por lo tanto, aplicndolo a la situacin
planteada, se obtiema de mente nulas (iguales pero de
0s = ibir;
dv
ne;
Pgina 12 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
( ) ( ). .s v
v N d s v d v = JJG que indica que el flujo neto de materia a
travs de la superficie del elemento de volumen
considerado tiene que ser igual a la velocidad con que se
acumula en ese volumen,
quedando;
( ). 0v v
d v v d v + =
y para un volumen que no vara en el tiempo, se debe cumplir;
( ). 0v v
dv v dv + =
o lo que es lo mismo;
( ). 0v + =
Formas especiales importantes de la ecuacin de continuidad son
las siguientes:
Para estado estacionario, la densidad no vara en el tiempo en el
punto fijo del espacio, y la expresin quedar;
( ). 0v = Para fluidos incompresibles (densidad constante) se
debe cumplir que;
( ). 0v = Aunque ningn fluido es totalmente incompresible, en
general se admite que los lquidos
tienen densidad constante, sin introducir casi error. An para
los gases, dentro de moderados
cambios de presin pueden suponerse con densidad constante.
Para que la ltima sea vlida, slo es necesario que la densidad
sea constante para el
elemento de fluido que se mueve a lo largo de una lnea de
corriente, entendiendo por tal a
la curva imaginaria que conecta sucesivos puntos del espacio
cuyos vectores velocidad son
tangentes a la misma, indicando la direccin del movimiento y la
trayectoria del elemento.
LA ECUACION DEL MOVIMIENTO Para un fluido viscoso, en flujo
isotrmico, se puede aplicar el principio de conservacin
de la cantidad de movimiento al mismo elemento de volumen
utilizado anteriormente.
El balance de cantidad de movimiento, aplicado al elemento de
lados x, y, z se
Pgina 13 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
puede escribir;
Velocidad de
acumulacin de
cantidad de
movimiento
=
Velocidad de
entrada de
cantidad de
movimiento
_
Velocidad de
salida de
cantidad de
movimiento
+
Suma de
fuerzas que
actan sobre el
sistema
Este balance tiene en cuenta que;
La expresin representa la ecuacin de un vector, con componentes
para cada una de las direcciones coordenadas (x, y, z).
El fluido es puro e isotrmico. El comportamiento puede ser
no-estacionario. El movimiento del fluido es arbitrario a travs de
la superficie del elemento de
volumen.
La velocidad de entrada y salida de cantidad de movimiento se
puede efectuar por dos mecanismos; (a) Flujo global o convectivo, o
sea, la contribucin del movimiento
conjunto de las partculas del fluido que atraviesan una
superficie, y (b) Transporte
molecular o propagacin, debido a la contribucin viscosa
originada en los gradientes
de velocidad.
La aceleracin gravitatoria es un vector de tres componentes.
Para iniciar el balance solo tendremos en cuenta la componente x de
cada uno de los
trminos de la ecuacin, tal como lo muestra la figura siguiente.
Los correspondientes a los
ejes y, z se pueden obtener por analoga.
Pgina 14 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
1- El termino de flujo global o velocidad de flujo de cantidad
de movimiento por
conveccin a travs de las seis caras, puede representarse por el
producto de la componente
de la velocidad msica (v) con la velocidad en direccin x (vx)
multiplicadas por el rea
transversal o superficie de la cara en cuestin. Por lo tanto, se
puede escribir;
Entrada en la cara x: ( ) x x xv v y z Salida por x + x: ( ) + x
x xv v y z x Entrada en la cara y: ( ) y x yv v x z Salida por y+
y: ( ) + y x y yv v x z Entrada en la cara z: ( ) z x zv v x y
Salida por z+ z: ( ) + z x z zv v x y
2- Para la propagacin, tenemos que puede formularse para todas
las caras en forma similar, donde las densidades de flujo de
cantidad de movimiento pueden considerarse como
esfuerzos (ij). La conveccin indica que el primer subndice
indica la direccin de la propagacin y el segundo la de la
velocidad. Para este caso, el segundo subndice ser
siempre x. El trmino xx es el esfuerzo normal que acta sobre la
cara x, y los trminos yx y
zx son los esfuerzos tangenciales, quedando:
Entrada en la cara x: x x xy z x+ Salida por x+ x: x x xy z x+
Entrada en la cara y: yx yx z Salida por y+ y: y x y yx z + Entrada
en la cara z: zx zx y Salida por z+ z: zx z zx y +
Pgina 15 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
3- Las nicas fuerzas que se tienen en cuenta en este caso son
las de presin del fluido y
la gravitacin, en la direccin del moviendo considerado (direccin
x), resultando;
Para la presin en x: ( )+ x x xp p y z Para la gravitacin en x:
( )xg x y z
4- la velocidad de acumulacin de cantidad de movimiento (en la
direccin x) en el
elemento de volumen ser;
velocidad de acumulacin en x: ( )
xv x y z Sustituyendo cada una de las anteriores en la expresin
general correspondiente al
balance y dividimos por el elemento de volumen (x y z)
obteniendo una expresin
incremental de le la variacin de cantidad de movimiento en el
tiempo y espacio.
y x y y x y yx x x x x x x x v v v vv v v v vx y
++ = + yx x yx y yz x z z x z z xx x xx x x
zx x zx z z x x xx
v v v vz x
p p gz x
++ +
+ +
+ + + + + +
y+
Aplicando lmite cuando la norma de los incrementos ( , , , )x y
z tiende a cero, se obtiene la componente x de la ecuacin del
movimiento.
Componente x:
= + + + + + x x x y x z x xx yx zxv pv v v v v v g
x y z x y z x
x
De igual manera se pueden obtener las correspondientes a las
coordenadas y, z:
Componente y: = + + + + +y
x y x y z y xy yy zyv pv v v v v v ygx y z x y z y
Componente z:
Pgina 16 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
= + + + + +zx z x z z z xz yz zz
v pv v v v v v zgx y z x y z z
Los trminos se pueden identificar de la siguiente forma;
Velocidad msica (v), un vector cuyos tres componentes espaciales
son: vx, vy, vz Aceleracin gravitatoria (g), un vector cuyos tres
componentes son: gx, gy, gz.
Gradiente de presin ( , un vector cuyos tres componentes son: )p
, , p p px y z
Tensor esfuerzo ij de segundo orden, correspondiente a la
propagacin, con nueve componentes: xx, xy, xz, yx, yy, yz, zx, zy,,
zz Densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento (vv),
producto didico de los
vectores velocidad por velocidad msica, de nueve componentes:
vxvx, vxvy, vxvz,
vyvx, vyvy, vyvz, vzvx, vzvy, vzvz
En notacin vectorial-tensorial, se puede escribir:
[ ] [ ]. .v vv p g = +
El trmino [ ]. vv representa la velocidad de perdida de cantidad
de movimiento (un vector) por unidad de volumen debido al flujo de
fluido, mientras que [ ]. representa la perdida de cantidad de
movimiento debido a la viscosidad. Estos trminos no son
divergencias
simples, por el origen tensorial del producto didico y tensor
esfuerzo.
Para la expresin del trmino en direccin x, si aplicamos la
ecuacin de continuidad al
primer miembro y al primer termino del segundo miembro, la misma
puede reordenarse,
quedando:
xxx yx zx
Dv pxgD x x y z
= + + +
Idntica transformacin se puede realizar para las direcciones y y
z, obteniendo una
expresin en notacin compacta que describe el movimiento de una
partcula de fluido que se
mueve bajo el efecto de las fuerzas que actan sobre ella, a
saber;
[ ].D v p gD
= +
Pgina 17 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
La ecuacin del movimiento expresada as establece una expresin de
la segunda ley de
Newton, en la cual (masa x aceleracin= suma de fuerzas). El
balance de cantidad de
movimiento aplicado a un fluido es totalmente equivalente a la
segunda ley de Newton, donde
las fuerzas que actan son las originadas en la presin, la
viscosidad, y la gravitacin.
Los trminos se pueden identificar de la siguiente forma:
v
: Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de
volumen.
: Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por conveccin
por unidad de volumen.
[ . vv ] : Fuerza de presin sobre el elemento por unidad de
volumen. p [ ]. : Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento
por transporte
viscoso, por unidad de volumen (equivale a fuerza viscosa sobre
elemento por
unidad de volumen).
g : Fuerza de gravitacin que acta sobre el elemento de
volumen.
v
: Masa por unidad de volumen, por aceleracin.
En cada caso, la expresin con la derivada parcial representa un
balance aplicado a un
elemento de volumen fijo en el espacio, mientras que la
correspondiente a la derivada
sustancial describe las variaciones del elemento que sigue el
movimiento del fluido. Ambas
son validas para medios continuos, sin importar la naturaleza de
la relacin esfuerzo-
deformacin, es decir, pueden aplicarse tanto a fluidos
newtonianos como no-newtonianos,
como tampoco distingue entre los fluidos compresibles o
incompresibles.
Aplicando las relaciones entre esfuerzo-deformaciones (ver
apndice), aquellas
expresiones pueden transformarse para obtener las distribuciones
de velocidad del fluido,
obteniendo ecuaciones generales que describen el movimiento del
fluido.
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Hemos obtenido anteriormente, la
Ecuacin de Continuidad,
( . ) = v
Y la Ecuacin del Movimiento en funcin de los esfuerzos
cortantes,
[ ].p g = +
Pgina 18 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
En esta ltima se establece que un pequeo elemento de volumen que
se mueve con el
fluido es acelerado por las fuerzas que actan sobre l (fuerzas
de presin, gravitacin y
viscosidad). Estas ecuaciones la representacin de la segunda Ley
de Newton a un fluido en
movimiento.
Sin embargo, de acuerdo a las relaciones obtenidas entre
esfuerzos y deformaciones
(ver Apndice Pginas 21 a 26), podemos decir que tenemos seis
componentes del esfuerzo
desconocidas y tres componentes de velocidad tambin
desconocidas, con lo que existen
nueve incgnitas en las ecuaciones.
Se tratar de reducir el exceso de incgnitas por la introduccin
de ecuaciones
constitutivas que relacionan el esfuerzo con la velocidad, para
obtener expresiones que
relacionen solamente velocidades, presiones y gravitacin.
Para ello se desarrollara la ecuacin cartesiana de cantidad de
movimiento para una
direccin (el eje x), que puede expresarse,
= + + + + +y x yxx x x z x xx zx x
v vv v v v v p gx y z x y z x
Que, combinada con la ecuacin de continuidad,
yx zvv vx y z
= + + Permite obtener la componente x de la aceleracin por
unidad de volumen de fluido,
( )x xx yx zx xDv p gD x x y z x
= + + +
Introduciendo las expresiones del esfuerzo del Apndice,
quedar,
22 ( . ) ( (3
= + + + + + + x x x y x z x
Dv v v v v vv gD x x x y y x z z x
Ecuaciones similares se pueden obtener para las direcciones y,
z.
Estas ecuaciones, junto a la ecuacin de continuidad, la ecuacin
de estado p=p(). La
variacin de viscosidad con la densidad =(), y las condiciones
iniciales y lmite, determinan
en forma completa la presin, densidad y los componentes de
velocidad de un fluido en
movimiento isotrmico.
La expresin general de la Ecuacin del Movimiento, en notacin
vectorial-tensorial
quedar entones,
Pgina 19 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
2 ( . )3
Dv p v vD
g = + + Para el caso de fluidos de viscosidad constante. Como la
viscosidad es funcin de la
temperatura principalmente y en pequea medida de la presin, la
anterior se puede aplicar
an en los casos de moderados cambios de presin.
Para el caso de fluidos newtonianos (viscosidad constante) e
incompresibles (densidad
constante), la ecuacin de continuidad predice que,
) 0v(. =
Por lo que la anterior se puede simplificar para obtener la
conocida Ecuacin de Navier-
Stokes, que en coordenadas cartesianas viene representada
por,
2 Dv v gD
= + + - Las componentes cartesianas, as como las expresiones
correspondientes a
coordenadas cilndricas y esfricas se encuentran tabuladas.
En principio, con la Ecuacin del Movimiento y la Ecuacin de
Continuidad se puede
obtener la solucin de cualquier problema de flujo isotrmico. Sin
embargo, las soluciones
generales de las Ecuaciones de Navier-Stokes an no han sido
encontradas debido a la
naturaleza no lineal de las ecuaciones diferenciales de
derivadas parciales de segundo orden.
No obstante, un buen nmero de soluciones particulares se pueden
obtener, y se
obtienen, en ciertos sistemas de flujo ms simples o sencillos.
Para ello debe disponerse de la
descripcin fsica del sistema y usando las tablas en el sistema
coordenado adecuado,
descartando los trminos de valor cero. Este procedimiento tiene
que hacer uso de una cierta
intuicin para poder aproximarse a la solucin.
ECUACION DE EULER Para el caso de considerar un fluido
no-viscoso, el trmino de esfuerzos constantes es
nulo, y la Ecuacin del Movimiento se reduce a:
Dv gD
= + - Que dice que los cambios de velocidad del fluido se deben
exclusivamente a las fuerzas
de presin y gravitatorias. Si bien los fluidos reales tienen
viscosidad, esta ecuacin se puede
aplicar el caso de que los efectos viscosos son poco
importantes.
Pgina 20 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
ECUACION DE LA ENERGIA MECANICA Dada la Ecuacin de Movimiento,
expresada de la forma:
. Dv gD
= + - - [ ] Se forma el producto escalar de la velocidad con la
misma. La ecuacin resultante es una
ecuacin escalar, y describe la velocidad de variacin de la
energa cintica por unidad de
masa ( v2) para el elemento de fluido que se mueve con la
corriente, quedando:
2( ) . ( . ) ( .D v v v vD
= + -( )- [ ] )g
La Ecuacin se conoce con el nombre de Ecuacin de la Energa
Mecnica y representa
la nterconversin de energa mecnica de un fluido en
movimiento.
Desarrollando la ecuacin en funcin de las derivadas parciales,
se puede escribir:
Para la derivada sustancial, segn la ecuacin de continuidad,
2
2 2( ) ( ) (D v v vD
= + )v
)
v
Para el trmino de presin, segn las reglas de derivacin.
. (v v v( . ) = + ( ) Para la contribucin viscosa, de igual
forma,
( . . ) ( . . ) ( : )v v = + [ ] [ ]
Quedando entonces la Ecuacin de la Energa Mecnica en funcin de
un elemento
estacionario de volumen por donde circula el fluido,
2 2( ) ( ) ( ) ( . . ) ( : ) ( .v v v v v v v = (. ) . + - - - -
- - - [ ] )v g
Donde el significado fsico de cada trmino es el siguiente:
2( ) v : Velocidad de incremento de energa cintica por unida de
volumen.
- : Velocidad neta de entrada de energa cintica debida al fluido
global. 2( v v )
)
- : Velocidad de trabajo producido por la presin de los
alrededores sobre el elemento de volumen.
v(. )
- : Velocidad de conversin reversible en energa interna. ( v.- -
( . . )[ ] v : Velocidad de trabajo producido por las fuerzas
viscosas que actan sobre el
Pgina 21 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
elemento de volumen.
- ( : ) v : Velocidad de conversin irreversible en energa
interna (1) : Velocidad de trabajo producido por la fuerza de
gravedad que acta sobre el
elemento de volumen.
( . )v g
El trmino (1) ser desarrollado posteriormente, pero indica que
en los sistemas de flujo hay una degradacin de energa mecnica en
energa calorfica, y que los procesos reales no
son reversibles.
Un sistema isotrmico, es por lo tanto, aquel en que el calor
generado o absorbido no
da variacin apreciable de temperatura.
Esta ecuacin servir posteriormente para la deduccin del balance
de energa mecnica
macroscpico o Ecuacin de Bernoulli.
APENDICE: TRANSPORTE MOLECULAR Y ESFUERZOS
Para fuerzas normales y tangenciales que actan sobre un poco en
un fluido sern
completamente definidas por nueve componentes tal como se
muestra en la figura para las 3
caras positivas de un elemento cbico en el espacio, cuyo centro
est en el origen de
coordenadas.
Para las 3 caras negativas actan las mismas ternas de esfuerzos
pero en sentido
negativo. Estos no son independientes, ya que se demuestra que
los esfuerzos cuyos
subndices estn permutados (p.ej. xy= yx) son iguales. Para
demostrarlo, mostraremos para una cara situada en un plano z=0, los
esfuerzos
tangenciales que actan sobre la misma en las direcciones x e
y.
Pgina 22 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
2dx
xxy
xy +
2dy
yyx
yx
Estos esfuerzos que actan en cada cara son los que originan la
deformacin del
elemento de volumen (el cuadrado en este caso).
La suma algebraica de los momentos de las fuerzas alrededor del
eje z (perpendicular al
plano del papel) es igual al producto de la masa por el cuadrado
del radio de giro y por la
aceleracin angular (Ver pgina 26). No existe contribucin de las
fuerzas normales a la cara,
ni de las fuerzas del campo gravitatorio porque no tienen
momento respecto al eje z.
As, considerando el sentido positivo contrario al giro de las
agujas del reloj, obtendr,
Momento = Fuerza x rea x distancia= m rgiro aang
( ) (22 2 2
2 2 2
xy xyxy xy
yx yxyx yx giro ang
dx dx dxdydzx x
dy dy dydzdx dxdydz r ay y
+ + + + = )
De aqu,
( ) ( )2 =xy yx giro angr a Para un elemento cuyo radio de giro
tienda a cero, el segundo miembro de la ecuacin
debe tender a cero (para aceleracin angular finita) y luego,
xy y = x
0 x
y
2dx
xxy
xy
2dy
yyx
yx +
2dy
2dx
Giro (+)
Pgina 23 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
De igual forma, tomando momentos alrededor de ejes x e y
respectivamente, se cumplir,
y z z y
x z z x
==
Demostrado lo anterior podemos ejecutar la suma de todas las
fuerzas normales y
tangenciales que actan sobre el elemento de volumen.
A fin de simplificar el modelo analizaremos solamente las
fuerzas originadas por un
movimiento del fluido en la direccin-x, como se muestra en la
figura;
2xy
xxdx
x 2
yxyx
dyy
+ 2zx
zxdz
z
2zx
zxdz
z + 2
yxyx
dyy
2xx
xxdx
x +
Para las direcciones y-z existirn los mismos sistemas de fuerzas
centrados en cada
cara. Luego la fuerza que acta en la direccin-z ser,
2 2 2 2 = + + + + +
xy yx yxxxx xx xx yx yx
dx dx dy dy F dydz dxdz
x x y y
2 2zx zx
zx zxdz dz dxdy
z z + + +
Para lo cual, realizando las operaciones se obtienen,
yxxx zxxF dxdydzx y z
= + +
Pgina 24 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
RELACIONES ENTRE LOS ESFUERZOS CORTANTES Y LA VISCOSIDAD La
expresin (unidimensional) de la Ley de Newton indica que la
viscosidad de un fluido
es la propiedad que describe su resistencia a los esfuerzos de
deformacin, y en los fluidos
Newtonianos la magnitud del esfuerzo de deformacin es una funcin
lineal de la velocidad de
deformacin angular.
Esto se puede poner en evidencia considerando un elemento
bidimensional de fluido que
est sujeto a una deformacin angular, ya que cuando existen las
velocidades en cada
direccin espacial se obtiene el rombo (figura punteada) a partir
del cuadrado original.
yy
vv d
y+ y
xx
vv dy
+ y
y
y
vv
xdx
+ x
xvv dxx+
La velocidad angular del elemento lineal dx ser,
. .
yy y
yx
vv dx v
vxveloc ang
dx x
+ = = Para el elemento dy,
. .
xx x
xx
vv v dxvxveloc ang
dy y
+ = = Se ha tomado como sentido positivo de giro la contraria a
la rotacin de las agujas del
reloj.
Pgina 25 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
La velocidad neta de deformacin angular del elemento se la
diferencia entre las
velocidades angulares dx y dy,
. . . . y yx xv vv vveloc neta def angx y x y
= = + Anteriormente se obtuvo la expresin de Newton que
relacionaba la densidad de flujo de
cantidad de movimiento con la deformacin angular en un fluido
con una sola componente de
viscosidad. Luego, para el caso de una cara del elemento de
volumen, bidimensional, la
relacin ser,
yxxy yx
y zyz zy
xzxz zx
vvy x
v vz y
vvx z
= = + = = +
= = +
Para los esfuerzos normales se llega a demostrar que,
( )( )
22 .322 .3
xx x
yy y
v vxv
vy
= + = +
( )22 .3
zz z
v vz
= +
Pgina 26 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
Demostracin Suponiendo una masa m que gira alrededor de un eje
con cierta distancia r con una
velocidad angular w, y a la que se aplica una fuerza tangencial
F. Si consideramos que no
actan otras fuerzas, la F tiende a aumentar la velocidad angular
en dw.
El trabajo ejecutado ser:
dw Fds Frddw Md
= ==
Siendo:
M: momento respecto al eje
La energa cintica inicial ser:
2 2Ec mv mr w= = 2
Siendo:
v rw=Y el incremento,
2( )d Ec mr wdw=
Si no hay rozamiento,
2
2
( )dw d EcMd mr wd
dwM mr wd
w=
==
Y como la aceleracin angular () ser:
2
dw d dw dwwd d d d
M mrM I
= = = ==
Siendo:
I=mr2 el momento de inercia respecto al eje.
Pgina 27 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
2.C. ANALISIS DIMENSIONAL
Muchos problemas planteados en ingeniera, tanto en el flujo de
fluidos como en la
transmisin del calor o la transferencia de masa, no se pueden
solucionar por mtodos
exclusivamente analticos. Tampoco es posible obtener expresiones
generales nicamente por
va experimental, ya que cuando una funcin depende de varias
variables, para obtener una
relacin completa se debern fijar todos los factores menos uno,
para determinar entonces el
efecto de este y as sucesivamente, resultando extremadamente
laborioso relacionar todos los
datos en un resultado nico que comprenda todas las
alternativas.
Como resultado de la experimentacin, se puede llegar a
ecuaciones empricas donde no
se necesita prestar atencin a su coherencia dimensional, es
decir, que se pueden aplicar a
ecuaciones cuyos trminos sean aparentemente de diferentes
dimensiones. En estas
ecuaciones dimensionalmente heterogneas, solo se pueden utilizar
las variables en las
unidades que estn especificadas.
Entonces, por ejemplo, si se estudia un fenmeno que depende de
cinco variables, por el
mtodo emprico habra que realizar por lo menos 100.000
experimentos para obtener series
de 10 ensayos donde cada variable est determinada por las otras
cuatro fijadas en distintos
valores. Adems de la cantidad de datos a correlacionar,
generalmente algunas de las
variables son difciles de manipular y el mtodo resulta bastante
limitado de aplicar para
obtener resultados amplios y generales.
Un mtodo intermedio consiste en la aplicacin del Anlisis
Dimensional, que se basa en
la proposicin de que si hay una solucin analtica que relacione
todas las variables, la
expresin resultante deber ser dimensionalmente homognea, es
decir, todos sus trminos
tienen las mismas dimensiones, mientras que las constantes
numricas que ellas puedan
contener son adimensionales, resultando posible obtener la forma
en que aparecen las
variables. Una ecuacin de esta ndole puede aplicarse con
cualquier sistema de unidades,
siempre que estas sean coherentes entre s, o lo que es lo mismo,
utilizar las mismas para
cada magnitud fundamental.
Queda entonces determinado que, si en una ecuacin de este tipo
se dividen todos los
trminos por uno de ellos, estos se transformarn en relaciones
adimensionales. Una
combinacin de variables tal que sus dimensiones se anulan,
reciben el nombre de grupo,
nmero o razn adimensional y su valor es siempre el mismo, sin
importar el sistema de
unidades que se utilice mientras sea homogneo.
Las expresiones obtenidas solo conducen a estas relaciones entre
las variables, no se
conocen los valores de las constantes numricas, por lo que no se
obtiene el resultado final
completo de la ecuacin. Sin embargo, es un poderoso y valioso
mtodo que orienta a la
Pgina 28 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
experimentacin mnima indispensable para corroborar los
resultados, ya que reduce
drsticamente la cantidad de ensayos que deberan realizarse.
El Anlisis Dimensional se puede aplicar directamente a las
denominadas Ecuaciones de
Cambio (Ecuacin de Continuidad, Ecuacin del Movimiento) o puede
estudiarse a partir de un
teorema fundamental (Teorema de Buckingham) siguiendo un proceso
deductivo-inductivo que
se apoya en resultados experimentales previos y posteriores
relacionados con el problema en
cuestin.
ANLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO VARIACIN
Partiremos de las Ecuaciones de Continuidad y del Movimiento
deducidas previamente,
para mayor sencillez en esta introduccin nos limitaremos a
aplicarlo en fluidos cuya densidad
y viscosidad son constantes, aunque debe destacarse que el
procedimiento es general y no
tiene limitaciones en cuanto a estas condiciones.
Para un sistema de flujo cualquiera, es posible identificar
arbitrariamente una longitud
caracterstica "D" y una velocidad caracterstica "V" del mismo,
Por ejemplo, "D" es para flujos
en conductos cilndricos el dimetro del tubo circular y para
flujo alrededor de esferas el
dimetro de la misma, mientras "V" es la velocidad media en el
tubo y la velocidad de
aproximacin, respectivamente. Si bien la eleccin es arbitraria,
deber ser cuidadosamente
especificada en cada caso que se trate.
A partir de esa eleccin, se podrn definir una serie de variables
adimensionales y
operaciones diferenciales, que en todos los casos cumplirn las
mismas condiciones de
transformacin, segn las siguientes relaciones donde los smbolos
tienen el significado
habitual;
v* = v/V ; p* = (p- p0 )/V2 ; * = V/D ;
x* = x/D ; y* = y/D ; z* = z/D ;
* = D = 1 ( /x*) + 2 ( /y*) + 3 ( /z*) ;
*2 = D2 2 = 2 /x*2 + 2 /y*2 + 2 /z*2
(D /D*) = (D/V) (D /D)
Recordando las expresiones de las Ecuaciones de Cambio, para
fluidos newtonianos de
densidad y viscosidad constante;
Ecuacin de Continuidad: ( v) = 0
Pgina 29 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
Ecuacin del Movimiento:
(Dv/D)= -p + 2v + g e introduciendo las variables adimensionales
definidas anteriormente, estas ecuaciones
quedarn de la siguiente forma;
Ec. de Continuidad con variables adimensionales: 1/D (* v*V) =
0
Ec. del Movimiento con variables adimensionales):
(V /D)(D v*V /D*) = - 1/D (* p* V2)+ ( /D2 ) *2(v*V) + g
Reordenndolas y simplificando trminos, se obtiene;
Ec. de Continuidad (adimensional): (* v*) = 0
Ec. del Movimiento (adimensional):
(Dv* /D*) = - (* p*)+ [ /DV] *2v* + [g D/V2] (g/g)
Las anteriores son las Ecuaciones de Variacin equivalentes a las
de partida, pero
presentadas con la forma de sus variables adimensionales,
describiendo el movimiento del
fluido de igual manera que las expresiones dimensionales. En la
Ecuacin del Movimiento aqu
presentada, por otra parte, aquellas variables que describen el
tamao total, la velocidad del
sistema y las propiedades fsicas se agrupan en un coeficiente
que tambin es adimensional y
que se puede denominar como el "factor de escala" de la
expresin.
De acuerdo a los Principios de Semejanza, si en dos sistemas
diferentes sus factores de
escala son iguales para ambos, ambos estn descritos por idnticas
ecuaciones diferenciales
adimensionales. Adems, si las condiciones adimensionales inicial
y lmite son las mismas, lo
que implica la restriccin de Semejanza Geomtrica, los dos
sistemas son matemticamente
idnticos, o en otras palabras, la distribucin de la velocidad y
de la presin adimensionales
son las mismas para cada uno de ellos, cumpliendo entonces la
condicin de Semejanza
Dinmica.
Para el pasaje de escala en procesos que no se conocen muy bien,
deberan mantenerse
las restricciones de Semejanza Geomtrica y Dinmica para obtener
resultados comparables.
En este caso particular, como los factores de escala obtenidos
intervienen con mucha
frecuencia en los estudios de ingeniera, reciben los nombres
particulares de Nmero de
Reynolds y Nmero de Froude, en honor a los celebres
investigadores en el estudio de la
Pgina 30 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
mecnica de los fluidos. Cabe destacar que en las expresiones se
obtienen las inversas de los
mismos, que relacionan las fuerzas inerciales, las fuerzas
viscosas y las gravitatorias, segn;
Nmero de Reynolds: v D Fuerzas InercialesRe = Fuerzas
Viscosas
Partiendo de la expresin de la Ecuacin del Movimiento en funcin
de las presiones
locales y la gravitacin, se hubiera obtenido un segundo factor
de escala, que es la inversa del
denominado Nmero de Froude, que relaciona las fuerzas inerciales
con las gravitatorias,
segn;
Nmero de Froude: 2v Fuerzas InercialesFr =
g D Fuerzas Gravitatorias
ANLISIS DIMENSIONAL POR EL TEOREMA DE BUCKINGHAM Tal como se
present anteriormente en este curso, ya en el ao 1850 Stokes
estableci
que en un sistema de flujo geomtricamente semejante puede
utilizarse el nmero de Reynolds
como criterio de semejanza dinmica. En 1914, Buckingham formul
el denominado teorema
de , que es el fundamento de la descripcin siguiente. Segn
Bridgman, los principios
fundamentales del mtodo son los siguientes:
1) Todas las magnitudes fsicas pueden expresarse como funciones
potenciales de
un reducido nmero de magnitudes fundamentales.
2) Las ecuaciones que relacionan las magnitudes fsicas son
homogneas desde
un punto de vista dimensional, es decir, todos los trminos
tienen las mismas dimensiones.
3) Teorema de Buckingham; si una ecuacin es dimensionalmente
homognea,
puede reducirse a una serie completa de nmeros adimensionales,
en los que figuran todas
las variables fsicas que influyen en el fenmeno, las constantes
dimensionales que puedan
corresponder al sistema de unidades elegido (si este fuera
redundante) y las constantes
universales que puedan intervenir en el fenmeno que se
trate.
En forma muy general y segn algunos autores, solo existiran
cinco constantes
universales imprescindibles; (i) la velocidad de la luz, (ii) la
constante de Planck, (iii) la
constante de gravitacin, (iv) la constante dielctrica y (v) la
constante de Boltzmann. En
general en el campo de la Ingeniera Qumica y en especial en el
de los Fenmenos de
Transporte, las anteriores no suelen intervenir habitualmente,
aunque s las magnitudes fsicas
Pgina 31 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
fundamentales, tales como la masa (M), la longitud (L), el
tiempo () y la temperatura (T), entre
otras.
As, una descripcin completa de un fenmeno estar representada por
la funcin;
(N1a, N2b, N3c, . . . Nik) = 0
donde (N1, N2, N3, . . . Ni ) son las variables o constantes
dimensionales y (a, b, c, . . .k) los
exponentes a los que deben estar elevadas para obtener la
solucin del problema.
El teorema de Buckingham del tercer apartado es una consecuencia
de los dos
anteriores, teniendo una demostracin matemtica que excede los
alcances del curso y de
estas notas. Plantea que una serie de nmeros adimensionales es
completa cuando todos ellos
son independientes entre s, de manera que cualquier otro que
pueda formarse con las mismas
variables sera una combinacin de dos o ms nmeros adimensionales
de los contenidos en
la serie completa original. En forma restringida, la cantidad de
nmeros adimensionales
independientes, que pueden formarse con N variables y constantes
dimensionales es igual a su
diferencia con la cantidad de magnitudes fundamentales F del
sistema de unidades elegido, es
decir;
= N - F
En una forma menos restringida, la relacin anterior se puede
expresar como ( = N - j),
donde j ser la caracterstica de una matriz formada por los
exponentes en que estn elevadas
las magnitudes fundamentales en las ecuaciones dimensionales de
las distintas variables y
constantes dimensionales con relacin a un determinado sistema de
unidades, o sea, el orden
del mayor determinante distinto de cero que puede formarse a
partir de dicha matriz. En la
mayora de los casos, j coincide con F.
En conclusin, siendo 1, 2, 3, . . . n, una serie completa de
relaciones
adimensionales que pueden formarse con las variables que
determinan un cierto fenmeno, el
Teorema de Buckingham se puede representar por,
(1, 2, 3, . . . n) = 0
donde es una funcin universal independiente del sistema de
unidades elegido.
Como ocurre en muchos casos, si su resolucin en trminos de
funciones conocidas
resulta muy difcil, se utilizan formas de representacin grfica o
de aproximaciones.
Si bien existen dos mtodos principales para resolver un sistema
aplicando el teorema,
identificados como mtodos de Buckingham y de Rayleigh, en
nuestras aplicaciones
utilizaremos una forma simplificada propuesta por Kay
(considerando que j F) , siguiendo
ordenadamente los siguientes pasos;
a) Identificar y establecer todas las variables (N) que
condicionan el fenmeno en
estudio.
Pgina 32 de 33
-
Fenmenos de Transporte Unidad Temtica 2 Revisin: Junio 2008
b) Formular el sistema de magnitudes fundamentales (F) que se
desee. Esta
eleccin deber contener no menos de todas las magnitudes que
intervienen en el
fenmeno. Ocasionalmente, puede ser redundante conteniendo
magnitudes derivadas de
las fundamentales.
c) Calcular la cantidad de grupos adimensionales ( = N - F) que
describirn el
fenmeno.
d) Separar una cantidad del total de N variables, teniendo en
cuenta que cada
magnitud fundamental deber aparecer por lo menos una vez entre
las elegidas (en este
mtodo simplificado, el proceso de seleccin es por tanteo,
necesitando conocer
previamente algo de la naturaleza fsica del fenmeno). Estas
variables sern conocidas
como "caractersticas", porque aparecern solamente en uno de los
nmeros
adimensionales que se formen (el que la caracteriza).
e) Formular ecuaciones entre cada variable "caracterstica" y
todas las restantes
variables "no caractersticas". Deben quedar conformadas
ecuaciones, en cada una se
encuentra solo una variable caracterstica, un grupo adimensional
y todas las variables
no-caractersticas elevadas a un exponente particular.
f) Reemplazar en cada una las variables por sus dimensiones (no
unidades) y
resolver entre cada variable "caracterstica" y todas las
restantes variables "no
caractersticas". Formar una matriz de los exponentes a que
quedan afectadas las
magnitudes fundamentales en las ecuaciones dimensionales de las
variables. Al resolver,
se debera obtener el valor del exponente que afecta a cada
variable.
g) Introducir los resultados en el conjunto de expresiones del
apartado "e". Se
obtendrn las expresiones de los nmeros adimensionales (1, 2, 3,
. . . n ) formado
por productos, cocientes o potencias de las variables que
intervienen en la solucin del
problema. No se obtienen las constantes numricas adimensionales
de las ecuaciones,
que debern determinarse por experimentacin.
En conclusin, se puede verificar una significativa reduccin en
la cantidad de ensayos a
realizar para obtener una correlacin que describa el fenmeno.
As, en el ejemplo inicial de
cinco variables, si fueran tres las dimensiones fundamentales
consideradas la descripcin se
lograra con dos grupos adimensionales independientes, por lo que
se deberan realizar
solamente 100 ensayos con las mismas premisas anteriores.
Pgina 33 de 33