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UNIDAD I SISTEMAS DE UNIDADESLas leyes de la física se expresan
en función de cantidades fundamentales. Para expresar una
medicióndebe definirse un patrón de referencia, el cual varia de
acuerdo al Sistema de Unidades en el cual se estetrabajando.
En el sistema MKS, las magnitudes fundamentales son:Longitud
(metro), Masa (Kilogramo) Y Tiempo (segundo).
El Sistema es una adaptación del Sistema métrico y recibe el
nombre de Sistema Internacional (S.I)
Entre las unidades patrón definidas por el comité tenemos:1.
Longitud (metro) 5.Temperatura (°K)2. Masa (Kilogramo) 6. Corriente
eléctrica (Amperio)3. Tiempo (segundo). 7. Intensidad luminosa
(Candela)4. Cantidad de sustancia (mol)SISTEMA DE UNIDADES
MAGNITUDESFUNDAMENTALES
MKS CGS INGLES
LONGITUD metro cm pieMASA kilo gramo slugTIEMPO segundo segundo
segundo
MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES:Es toda propiedad que puede ser
medida. Ejemplo: longitud, masa, tiempo, Temperatura, volumen,
área,velocidad, fuerza, aceleración, fuerzas, entre otros.
Frecuentemente se dice “Mida esa varilla”, lo que se mide es la
longitud de la varilla no la Varilla.
La magnitud física es la longitud de la varilla y no la varilla
como tal.
CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDESMAGNITUDES FUNDAMENTALES:Son
aquellas que no provienen de otras magnitudes físicas, tales
como:
Longitud (metro) Temperatura (°K)Masa (Kilogramo) Corriente
eléctrica (Amperio)Tiempo (segundo). Intensidad luminosa
(Candela)
Cantidad de sustancia (mol)MAGNITUDES DERIVADAS: Son aquellas
que provienen de la combinación de las magnitudesfundamentales a
través de relaciones matemáticas, así pues tenemos: el área de un
rectángulo, es decirlargo x alto
Como vemos se obtiene una nueva magnitud llamada área la cual es
el producto de 2 longitudes, por tantoel AREA es una magnitud
derivada.
Ejemplo de magnitudes derivadas tenemos: (acompañadas de sus
unidades)
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Magnitudes símbolo unidadesVelocidad V= ( m/ s)Aceleración a= (
m/ s2)Fuerza F= ( Newton) = ( kg x m/ s2 )Trabajo mecánico W= (
Joule ) = ( Newton x m )Potencia P= ( Watt) = ( Newton x m / s)
UNIDADES SECUNDARIASSon los múltiplos y sub-múltiplos de las
unidades fundamentales y derivadas.
MULTIPLOS
PREFIJOSIMBOLO MAGNITUD
EXA E 1018
PETA P 1015
TERA T 1012
GIGA G 109
MEGA M 106
KILO KG 103
HECTO H 102
DECA DC 10
NOTACION CIENTIFICA
La notación científica es un modo de representar un conjunto de
números —ya sean enteros ó reales—mediante una técnica llamada
“coma flotante” aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de
basediez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o
demasiado pequeños. La notacióncientífica es utilizada para reducir
cantidades muy grandes, y que nos permite manejarlas con
másfacilidad.
Escribir un número en notación científica es expresarlo como el
producto de un número mayor oigual que 1 y menor que 10, y una
potencia de 10.
Se escribe, recordando las potencias en base a diez.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
109 = 1 000 000 000
SUB-MULTIPLOSPREFIJO SIMBOLO MAGNITUDdeci dc 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro μ 10-6
nano ή 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
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1010 = 10 000 000 000
1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es
igual a 1/10n o, equivalentemente 0,(n-1 ceros) 1:
10-1 = 1/10 = 0,1
10-3 = 1/1000 = 0,001
10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Por lo tanto un número como 156 234 000 000 000 000 000 000 000
000 puede ser escrito como1,56234x1029, y un número pequeño como
0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2,34x10-11.
USOS:La notación científica es altamente útil para anotar
cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamentedentro de
ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos
significativos se da toda la informaciónrequerida sin malgastar
espacio.
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del
universo es ~4,6 X 1026m y la masa de un protónes ~1,67 X10-27
kilogramos .
Ejemplos:Caso 1: 238294360000 = 2,3829436 x10 11 85000 = 8,5 x
10 4 3500 = 3,5 x 103
En los casos 1: La coma fue desplazada a la IZQUIERDA hasta
lograr un número entre 1 y 10.El exponente de la potencia en base a
diez es POSITIVOCaso 2: 0,000312459 = 3,12459 E -4 0,0000076 = 7,6
x 10 -6 0,005678= 5,678 x 10 -3
En los casos 2: La coma fue desplazada a la DERECHA, hasta
lograr un número entre 1 y 10El exponente de la potencia en base a
diez es NEGATIVO
EJERCICIOSEXPRESAR EN NOTACION CIENTIFICALAS SIGUIENTES
CANTIDADES
0,000079 956,7 78620000 5837
0,000453 188 0,0000542 379,60
6500000 0,000015 769 0,0007600
0,726 0,000258 0,00084321 197
12 1475000 129,87 20000
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LAS SIGUIENTES CANTIDADES EN NOTACIONCIENTIFICA EXPRESARLAS
NUEVAMENTE ENNUMEROS ENTEROS O REALES
1,2 X 100 8,956 10 -5 7,863 X10 -3 5,689 X 10 -6
5,78325 X 10 3 2,8 X 10 -4 6,78 X 101 9,5409 X 106
4,578X 10-6 2,89 X 10 -4 5,678 X 10 0 6,09090X 10-5
6,09090X 10 5 9,765 X 103 1,5 X 10-1 5,98 X 10 1
5,67X10 - 2 1,23 X 10 -6 7,865 X 10 3 8,76 X 10 2
OPERACIONES MATEMATICAS CON NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA
Adición
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar
las mantisas, dejando la potencia de 10con el mismo grado (en caso
de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la
mantisamultiplicándola o dividiéndola por 10, tantas veces como sea
necesario para obtener el mismoexponente): Ejemplo: 5·106
Para sumar (o restar) dos números (o mas) primero y principal
debemos tener el mismo exponente en laspotencias de base diez, para
esto multiplicamos por diez tantas veces como sea necesario el
coeficiente areducir el exponente. Luego buscamos como factor común
las potencia de base diez de igual exponente.Por ultimo se opera.
De esta manera se obtiene el resultado de la adición o la
sustracción.
Ejemplo:
2 X 104 + 3X105
2 X 104 + 3 X 104 X 10 1 FACTOR COMUN 104
ENTONCES 104 X (2 + 3 · 10) = 32 X 104
MultiplicaciónSe multiplican los coeficientes y se suman a la
vez los exponentes: Ejemplo: (4·105)·(2·107) = 8·1012
DivisiónSe dividen los coeficientes y se restan los exponentes
(numerador -denominador):
Ejemplo: (4·1012)/(2·105) =2·107
PotenciaciónSe potencia la mantisa y se multiplican los
exponentes:
Ejemplo: (3·106)2 = (3)2 ; Y LUEGO SE MULTIPLICAN LOS
EXPONENETES = 9 X 1012
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RadicaciónPrimero se debe extraer la raíz de la mantisa y luego
se divide el exponente por el índice de la raíz:
Ejemplo:es decir ( se saca la raíz de √ 16= 4 yluego el
exponente 26 se divide entre 2.
REDONDEO DE UN NÚMERO
Redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan decimales
poco significativos a un número decimal.
Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la
siguiente posición al número de decimales quese quiere transformar,
es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear
a 2, seaplicará las reglas de redondeo:
REGLAS DEL REDONDEO
Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no
significativas de un número.
Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las
siguientes:
Dígito menor que 5: Si la cifra que se omite es menor que 5, se
elimina sin más.
Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se
modifica. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2decimales deberemos tener
en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.
Dígito mayor que 5: Si la cifra eliminada es mayor que 5, se
aumenta en una unidad la última cifraretenida. Si el siguiente
decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una
unidad.Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener
en cuenta el tercer decimal: 12,618=12,62.
Vea los ejemplos y luego resuelva los ejercicios
propuestosutilizando Notación científica y las propiedades
aplicablesal resolver las operaciones matemáticas
EJEMPLOS EJERCICIOS
10-3 x 10 5 = 1 x 102 120 x 6000
10 5/10 5 =(10 5-5) = 1x100 =1
3000000 / 0,00015
( 10 3)-2 =10-6=1x10-6 (3,5x10 7) . (1,9x10-3)
5x102 + 3x102 = 8x102 (5x10 4)2
√ 36 x 10 6 = 6 x 10 3 √ (81 x 10 10)
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6
DIGITO IGUAL A 5: Si la cifra eliminada es 5, se toma como
última cifra el número par más próximo;es decir, si la cifra
retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra
superior.
Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en
cuenta el tercer decimal: 12,615=12,62. EJEMPLO: 12, 465.REDONDEADO
A 2 DECIMALES 12, 46
Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras
significativas, O 2 decimales, el resultado es 3,68,que está más
cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear,
también a tres cifras, fuera3,673, quedaría 3,67 que es más próximo
al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la terceraregla,
debemos dejar 3,68.Las dos primeras reglas son de sentido común. La
tercera es un convenio razonable porque, si se siguesiempre, la
mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por
exceso.
ORDEN DE MAGNITUD
El orden de magnitud de una cantidad es redondear hasta la
potencia de diez mas próxima a la cantidad
Reglas para obtener el orden de Magnitud
1. Se debe expresar la cantidad en NOTACIÓN CIENTIFICA
2. Se verifica lo siguiente
K x 10 n siempre que 1 ≤ K < 10 es decir el coeficiente o
mantisa debe estar entre (1 y 9)
Si K < 5,5 el orden de magnitud será 10 n
Si K > 5,5 el orden de magnitud será 10 n+1
Si K = 5,5 el orden de magnitud será 10 n o 10 n+1 cualquiera de
las dos es correcto
EJEMPLOS
Determine El orden de magnitud de 96,5
procedimiento: primero lo llevo a NC 9,65x 10 luego analizo y
observo los valores de K, como es >
5,5.entonces el OM = 10 n+1 ; 102
Determine El orden de magnitud de 8,4
procedimiento: primero lo llevo a NC 8,4 x 10 0 luego analizo y
observo los valores de K, como es >
5,5.entonces el OM = 10 n+1 ; 10 1
Determine El orden de magnitud de 1,5
procedimiento: primero lo llevo a NC 1,5 x 10 0 luego analizo y
observo los valores de K, como es <
5,5.entonces el OM = 10 n ; 10 0
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NOTA: Es importante que tengan presente que al usar un orden de
magnitud esto no nos
suministra cifras precisas
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas de una magnitud física, es el numero
de dígitos, contados desde el primer
digito diferente de cero a la izquierda, hasta el último dígito
a la derecha, incluyendo los ceros.
Se les llama cifras significativas (también dígitos
significativos) al número de todos los dígitos conocidosreportados
en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado).
Reglas para determinar el número de cifras significativas en una
medida:
Los números diferentes de 0 siempre son significativos.Ejemplo:
32,2356gr tiene 6 cifras
Los ceros entre números siempre son significativos.Ejemplo:
208,3 gr tiene 4 cifras
Todos los ceros finales a la derecha del punto decimal son
significativos.Ejemplo: 7,30 gr tiene 3 cifras
Los ceros que sirven para ubicar el punto decimal no se
cuentan.Ejemplo: 0,0345 gr tiene 3 cifras y 5630g también tiene 3
cifrasConviértelos en notación científica y lo verás.
Ejemplos
1,58 x 0,03= 0,05 1,58 tiene 3 cifras significativas y 0,03
tiene una por tanto elproducto debe tener solo una cifra
significativa, según regla 4
1,4 x 2,53 = 3,5 1,4 tiene 2 cifras significativa y 2,53 tiene 3
por tanto elproducto debe tener 2 cifras significativas
(2,34x102) + 4,93= 2,39 x 10 2 234 tiene 3 cifras significativas
y 4,93 tiene 3 por tanto lasuma debe tener 3 cifras significativas
( 234+4,93= 239=2,39x102
EJERCICIOS
Aplicar la regla apropiada para determinar el número de cifras
significativas en las siguientes operacionesy expresar resultados
en notación científica
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8
1,15 x (9,88 x 10 4) (2,07X104)(9,56X10-2)
(2,98x 10 -8 ) – ( 4,54 x 10 -9) 3,141628X( 4X103)
1891 / 4,56 x 10 -3 5,87X103 / 1,12 X 10 4
57,6 + 5,99 x 10 2 9,24 X 10 5 + 5,78 X 10 4
200,9 x 567,3 0,99 X 10 2 + 9,999X10-7
0,00000006543 x(76,5 x 10 5) 7,9875432 X 43,9X (23,7X102)
65432 / 7,98x10-2 (2,0)5 / 3,1416
1. - Exprese los siguientes números usando potencias de 10: a)
620; b) 89000; c) 0,03; d) 49678; e) 0,014. f)0,000001; g) 1,473;
h) 0,002
2. - Exprese los siguientes números en notación decimal: a) 2 x
10-4 ; b) 7,126 x 10 -5 ; c) 3,232456 x 10 -3 ;d) 8,5 x 10 9 ; e) 6
x 10 -2
3. - Efectúe las siguientes operaciones: a) (3x 102 + 4 x 10 3
); b)(6,32 x 10 2 + 5) ; c) (6 x 10 -2 +2 x 10 -3);d)(5 x 10 7 + 9)
; e) ( 5x 10 2 + 9 x 10 2)
4. - Indique el numero de cifras significativas de las
siguientes magnitudes: a) 0,0001 ; b) 0,87645 c)483.000,00001 ; d)
0,1298 x 10-5 ; e) 43,29
5. - La tierra tiene una distancia promedio al sol de 9,3 x 107
millas. Cual es su distancia en km?
6. - Cuantos pies cúbicos (pies 3 ) hay en un metro cúbico (m 3)
?7. - Cuantos cm cúbicos ( cm 3 ) hay en un m 3
8. - La velocidad de la luz es de 3,00 x 108 m/s. Cuál es la
velocidad en pies/s?. en millas/s?
CONVERSIÓN DE UNIDADES
Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia
entre dos unidades de la mismamagnitud, es decir, un cociente que
nos indica los valores numéricos de equivalencia entre
ambasunidades. Por ejemplo, si queremos calcular el espacio
recorrido por un móvil que se mueve avelocidad constante de 72 Km/h
en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la
sencillaecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la
velocidad viene expresada en kilómetros/hora,mientras que el tiempo
viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las dos
unidades, deforma que ambas sean la misma, para no violar el
principio de homogeneidad y que el cálculo seaacertado.Para
realizar la transformación utilizamos los factores de conversión,
en nuestro caso, el factor deconversión entre horas y segundos
viene dado por la expresión:
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9
o la equivalente , ya que 1 hora = 3600 segundos
Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de
partida y usamos la relación o factoradecuado, de manera que se nos
simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en
lasunidades que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar
la velocidad de Km/hora aKm/segundo, por lo cual usaremos la
primera de las expresiones, ya que así simplificamos la
unidadhora:
Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos
los factores de conversiónsucesivamente y realizamos las
operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s:
Algunos Factores de conversión de interés:
1 milla = 1609 m 1h = 3600 s1 pie = 30,38 cm 1min= 60 s1 m =
39,37 pulg 1 h = 60 min1 pulg= 2,54 cm
Ejemplos300 Km a millas300km x ( 1000 m/ 1 Km) x (1 milla/ 1609
m) = 186,45 milla
65 millas /h a m/seg65 millas /h x ( 1609 m/ 1 milla) x 1
h/3600seg) = 29, 05 m/seg
Utilizando factores de conversión realice las siguientes
conversiones
10000 km/min a millas /h 14586 hectómetro a milímetro67 cm a
pulgadas 587653 mm a Km1,6789x104 Km /h2 a m /s289 millas /h a
pies/s876 millas /h a m/seg
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Tablas de factores de conversión útiles para resolver los
diferentes ejercicios en Física.
Longitud
m c km Pulg pie milla1 metro 1 102 10-3 39.37 3.281
6.214x10-4
1 centímetro 10-2 1 10-5 0.3937 3.281x10-2 6.214x10-6
1 kilómetro 103 105 1 3.937x104 3.281x103 0.61241 pulgada
2.540x10-2 2.540 2.540x10-5 1 8.333x10-2 1.578x10-5
1 pie 0.3048 30.48 3.048x10-4 12 1 1.894x10-4
1 milla 1609 1.609x105 1.609 6.336x104 5280 1
Masa
kg gramo slug u1 kilogramo 1 103 6.852x10-2 6.024x1026
1 gramo 10-3 1 6.852x10-5 6.024x1023
1 slug 14.59 1.459x104 1 6.024x1027
1 unidad de masa atómica(u) 1.660x10-27 1.660x10-24 1.137x10-28
1
Tiempo
seg min h día año1 segundo 1 1.667x10-2 2.778x10-4 1.157x10-5
3.169x10-8
1 minuto 60 1 1.667x10-2 6.994x10-4 1.901x10-6
1 hora 3600 60 1 4.167x10-2 1.141x10-4
1 día 8.640x104 1440 24 1 2.738x10-3
1 año 3.156x107 5.259x105 8.766x103 365.2 1
Velocidad
m/s cm/s pies/segundo mi/h1 metro/segundo 1 102 3.281 2.2371
centímetro/segundo 10-2 1 3.281x10-2 2.237x10-2
1 pie/segundo 0.3048 30.48 1 0.68181 milla/hora 0.4470 44.70
1.467 1
Nota: 1mill/min = 60 mill/h = 88 pies/s
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Fuerza
Newton dina Libra-fuerza1 newton 1 105 0.22481 dina 10-5 1
2.248x10-6
1 libra 4.480 4.480x105 1
VECTORES.
IntroducciónUn escalar es sencillamente un número positivo o
negativo. Ejemplos de escalares son: el tiempo, latemperatura, la
masa, la densidad, la carga eléctrica, y la energía.
y
x
V
Figura 1
y
x
(Vx,Vy)
Figura 2
Un vector es la combinación de una magnitud y una dirección, y
se representa por una flecha. El vectorde la figura 1 está
representado en su forma polar, o sea por su magnitud y dirección.
El vector de lafigura 2 está representado en su forma rectangular,
o sea por un par de coordenadas que corresponden asus componentes
en x y y respectivamente.
‡ Es importante señalar que, en coordenadas polares el ángulo
siempre debe ser medido desde la partepositiva del eje x.
Para convertir de coordenadas polares a rectangulares o
viceversa pueden usarse las fórmulas que sepresentan en el cuadro a
continuación.
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V
y
x
(Vx,Vy)De polares a rectangulares ),()( yx VVV
Componente en x: cosVVx
Componente en y: senVVy
De rectangulares a polares )(),( VVV yxMagnitud: 22
yx VVV
Dirección:
x
y
VV1tan
Ejemplo
¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de un vector de
magnitud 10 y de dirección 125°?
Las coordenadas polares del vector son )12510( .
Transformando de coordenadas polares a rectangulares:
74.5)125(cos10cos VVx19.8)125sen(10sen VVy
Las coordenadas rectangulares del vector son )19.8,74.5( .
Ejemplo
¿Cuáles son las coordenadas polares de un vector cuya proyección
en x es 15 y cuya proyección en y es -20?
Las coordenadas rectangulares del vector son )20,15( .
Transformando de coordenadas rectangulares a polares:
25)20(15 2222 yx VVV
87.3061520tantan 11
x
y
VV
°
Las coordenadas polares del vector son )87.30625( .
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Adición de VectoresLa suma de dos vectores se define por la
fórmula:
),(),(),( dbcadcba
Nótese que la anterior fórmula está definida solamente para
vectores representados en coordenadasrectangulares.
)1,4()4,3()3,1(
)1,0()3,6()2,6(
)1,1()1,0()0,1(
Producto de un Escalar por un VectorSi ),( ba es un vector y k
un escalar, entonces el producto de un escalar por un vector se
define por:
),(),( kbkabak )6,2()3,1(2
)1,2()1,2(1
)30,0()6,0(5
Es muy útil definir dos vectores base i y j como sigue. Estos
son vectores unitarios o sea de magnitud 1trazados a lo largo de
las direcciones positivas de los ejes x e y, respectivamente.
)0,1(i )1,0(j
En función de estos vectores base cualquier otro vector ),( ba
puede escribirse:
ji baba ),(
Sea el vector )30,10( . ¿Cuál es su notación en función de los
vectores base?
La notación en función de los vectores base es ji 3010 .
Producto Interior de Dos Vectores
El producto interior de dos vectores ),( 11 ba y ),( 22 ba se
define por el escalar:
21212211 ),(),( bbaababa Este producto es conocido también como
producto escalar y como producto punto.
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63)1(1)3()3,1()1,3(
71)2(1)5()1,1()2,5(
01)0(0)1()1,0()0,1( ji
Magnitud de un VectorLa magnitud de un vector ),( ba es la raíz
cuadrada positiva de su producto interior. Esto es:
22),(),(),( babababa
La magnitud de )2,3( es 1349
La magnitud de i es 101
La magnitud de j es 110
Los conceptos físicos se definen con frecuencia en función del
producto interior. Por ejemplo, si unafuerza ),( yx ffF actúa
durante un desplazamiento ),( yx ddd , entonces el trabajo
realizado está
definido por:
),(),( yxyx ddffT dF
Un vector fuerza de )5,10( N actúa sobre un cuerpo durante un
desplazamiento )150,20( m. ¿Cuál es eltrabajo realizado?
El trabajo realizado es:
950)150(5)20(10)150,20()5,10( T N m
El cálculo anterior incluye automáticamente la proyección de la
fuerza en la dirección del desplazamiento.
Finalmente, si se tienen dos vectores A y B en coordenadas
polares, entonces el producto interior secalcula de acuerdo a:
cosBABA
En ésta ecuación, A es la magnitud del vector A, B es la
magnitud del vector B y es el ángulo entre
ambos vectores.Calcular el producto interior de los vectores que
se muestran en la figura 3.
-
15
Es fácil apreciar que la magnitud del vector A es 20 yque la
magnitud del vector B es 25.
El vector A tiene una dirección de 60° y B tiene unadirección de
15°. Por lo tanto, el ángulo entre ambos esde 451560 .
Entonces, el producto interior es:
55.353)45cos()25)(20(
y
x
B(2515)
A(2060)
Figura 3
Ejercicios.
1) Un automóvil marcha con una rapidez constante de 80km/h.
¿Cuánto recorre en 120min?.2) Un avión recorre 2940 km en 3 h.
Calcular su rapidez en m/s3) Calcula tu tiempo de vida en
segundos.4) Transformar estas unidades: 34 km a m, 23m2 a cm2, 15m
a ft, 1,2*1015cm a km.5) Dos automóviles salen de dos Estados de
Venezuela que están en la misma dirección, en sentido
contrario y a 370 km de distancia. Uno de los automóviles iba a
una velocidad menor que el otro.Al cabo de tres horas uno había
recorrido 12117000 cm y el otro 123000 m. ¿Cuánto le faltan
porrecorrer?
6) Un carro avanza 16 m/s ¿cuanto será en km/min?7) ¿Cuántos kg
de sal hay en 739 gramos?8) La velocidad de la luz es 3*108 m/s
a) ¿Qué distancia recorre la luz en un año?b) ¿Cuánto recorre la
luz del sol en llegar a Plutón? Distancia del sol a Plutón es
de
5,91*106 km.9) Un electrón se mueve a una rapidez de 300000000
m/s, expresarlo en km/h10) Un panadero para fabricar 800 panes usa
30 L de agua. ¿Cuántos mililitros de agua se necesitan
para fabricar un pan?11) Una Pirámide contiene aproximadamente 2
millones de bloques de piedra que en promedio pesan
2,50 toneladas cada uno. Encuentre el peso de esta pirámide en
libras.12) Una criatura se mueve con una rapidez de 5 furlongs por
2 semanas (unidad de rapidez no muy
común). Dado que 1 furlongs = 220 yd y 2 semanas = 14 días.
Determine la rapidez de la criaturaen metros por segundos.
13) Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la
superficie, convierta esta relación alibras por segundos.
14) Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30 galones tarda
7 min. A) Calcule la rapidez a lacual el tanque se llena en galones
por segundos. B) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llenaen
metros cúbicos por segundos. c) Determine el intervalo en horas,
que se requiere para llenar unvolumen de 1 m3 a la misma rapidez (1
galón = 231 in3 ).
-
16
15) Una Pirámide tiene una altura de 481pies y su base cubre un
área de 13 acres. El volumen de unapirámide está dado por la
expresión V=1/3 (B.h), donde B es el área de la base y h la
altura.Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. (1
acres = 43560 ft2)
16) Un carro conduce 125 km al oeste y después otros 65 km al
suroeste. ¿Cuál es el desplazamientodel carro desde el punto de
origen (magnitud y dirección?. Elabora un diagrama.
17) Un camión repartidor viaja 14 cuadras al norte, 16 cuadras
al este y 26 cuadras al sur. ¿Cuál es eldesplazamiento final a
partir del punto inicial? Asume que las cuadras tienen la misma
longitud.
18) Si la componente en x de un vector Vx=18.80 unidades y la
componente en y Vy=16.40 unidades,determina la magnitud y la
dirección del vector V.
19) Calcula la resultante de los siguientes vectores de
desplazamiento: (1) 24 m, 30º noreste; (2) 28 m,53º noreste, y (3)
20 m, 40º suroeste.
20) V es un vector de 24.3 unidades de magnitud y apunta a un
ángulo de 54.8º por encima del ejenegativo de las x. (a) Encuentra
las componentes Vx y Vy de dicho vector.
21) Se tienen dos vectores: VA=8.31 unidades, al este y VB= 5.55
unidades al oeste. Determina elvector VC si: (a) VC = VA+VB, (b)
VC=VA–VB, y (c) VC=VB–VA. Da la magnitud y la dirección decada
uno.
22) El vector V1=8.08 unidades y apunta hacia el eje negativo de
las x. El vector V2=4.51 unidades yse dirige a +45º partiendo del
eje positivo de las x. (a) ¿Cuáles son las componentes de
cadavector? (b) Determina la suma de estos vectores (magnitud y
dirección).
23) Un aeroplano esta viajando a 785 km/h en una dirección de
51.5º noroeste. (a) Encuentra lascomponentes de este vector
velocidad. (b) ¿Qué tanto habrá viajado hacia el norte y que
tantohabrá viajado hacia el este después de 3.00 horas?
24) Tenemos 3 vectores: A=66 N a 28º con respecto al eje
positivo de las x, B=40 N a 56º con respectoal eje negativo de las
x, y C=46.8 N, sobre el eje negativo de las y. Calcula la
resultante a partir desus componentes y la magnitud y el ángulo que
forma con respecto al eje x.
25) Un esquiador lleva una aceleración de 3.80 m/s2 al bajar por
una colina que tiene un ángulo deinclinación de 30º. ¿Cuál es la
componente vertical de su aceleración? ¿Qué tiempo le
tomaraalcanzar el fondo de la colina asumiendo que empieza del
reposo y acelera uniformemente, si elcambio de elevación es de 335
m?
26) Encuentra las componentes x y y de: (a) un desplazamiento de
200 km a 34º, (b) una velocidad de40 km/h a 120º y (c) una fuerza
de 50 N a 330º.
-
17
Unidad II CINEMÁTICA
MOVIMIENTO
Todo lo que nos rodea es materia en movimiento, desde los
microsistemas hasta los macrosistemas, los
electrones se desplazan en orbitas alrededor del núcleo, la
vibración de las partículas de un sólido, el
deslizamiento molecular de los líquidos, el desplazamiento
caótico de las moléculas gaseosas, la caída del
agua de una cascada, los movimientos de rotación y traslación
planetarios y satelitales, cada movimiento
presenta diferente rapidez, trayectoria y periodicidad.
“El movimiento se define como el cambio de posición de un móvil
en un tiempo determinado con
respecto a un marco o sistema de referencia”.
MÓVIL: Toda partícula material que se mueve
PROYECTIL: es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial
y luego sigue una trayectoria
determinada totalmente por los efectos de la aceleración
gravitacional y la resistencia del aire.
¿QUÉ PARTE DE LA FÍSICA ESTUDIA EL MOVIMIENTO?
La parte de la física que se dedica al estudio del movimiento de
las cosas o movimientos de los
cuerpos es la MECÁNICA, conocida como la ciencia que estudia el
movimiento de los cuerpos.
CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE MOVIMIENTO DE ACUERDO A SU
TRAYECTORIA
Los tipos de movimiento de acuerdo a su trayectoria curva o
rectilínea se clasifican de la siguiente
forma:
TRAYECTORIA: Línea imaginaria descrita al cambiar de posición en
el tiempo
Movimiento
Movimiento.Unidimensional
MovimientoBidimensional
1. Mov. Rectilíneo Uniforme
2. Mov. Rectilíneo
Uniformemente Acelerado
3. Tiro Horizontal
4. Tiro Parabólico
Caída libre
Tiro Vertical
-
18
DISTANCIA: es la medida (escalar) de la longitud de la
trayectoria recorrida por un móvil, y esta puede
ser rectilínea o curvilínea.
DESPLAZAMIENTO: El desplazamiento es una magnitud vectorial
(presenta magnitud, sentido y
dirección) independiente de la trayectoria descrita por el
móvil, y se define como el vector que representa
el cambio desde la posición inicial, o punto de partida hasta la
posición final del cuerpo en movimiento.
En la figura observamos que el desplazamiento presenta
una longitud menor que la longitud de la distancia
cuando la trayectoria recorrida por un móvil es
curvilínea. El desplazamiento y la distancia son
equivalentes cuando se tiene una trayectoria rectilínea.
Si después de un recorrido el móvil retorna a la
posición inicial tendrá un desplazamiento igual a cero,
por ejemplo: un automóvil recorre 2km. al sur, 3km. al
este, 2km. al norte y finalmente 3 km. al oeste. La
distancia o longitud recorrida por el automóvil fue de
10 km. (magnitud escalar), y su desplazamiento es cero porque
finalizo su recorrido en el punto donde
inicio.
TIEMPO: Concepto fundamental de la física que traduce en
términos objetivos las percepciones
subjetivas de antes y después, permitiendo establecer el orden
con que se verifica una sucesión de
fenómenos. En el sistema internacional de unidades (SI), la
unidad de medida del intervalo de tiempo es
el segundo.
POSICIÓN: La posición esta determinada por las
coordenadas de un punto con respecto a un marco o sistema
de referencia. El sistema de referencia que se utiliza esta
integrado por un par de ejes interceptados en un punto
llamado origen y perpendiculares entre si conocido como
sistema de coordenadas rectangulares o coordenadas
cartesianas. La posición P (X , Y) queda expresada por la
magnitud de la abscisa (eje x) y la ordenada
(eje y). Para localizar una posicion A (5 , 3) en la grafica, se
traza una perpendicular sobre el eje de las x
Posicióninicial
Posiciónfinal
Desplazamiento
Distancia
♦
♦
y
x
♦
1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
0
A ( 5 , 3 )
-
19
tdv
en la magnitud 5 de su escala, posteriormente se traza otra
perpendicular al eje y en la magnitud 3 de la
escala, el punto donde se interceptan las dos rectas trazadas
indica la posición del punto A.
La posición del mòvil queda representada por medio de las
coordenadas polares, por ejemplo 70 km, = 45 0 con respecto a
la
horizontal, la posición está determinada por la magnitud del
vector y
su orientción con respecto a un sistema de referencia.
VELOCIDAD Y RAPIDEZCon frecuencia, la velocidad y rapidez se
emplean como conceptos iguales, no obstante existe una
diferencia entre ellas determinada por el empleo de una
distancia o un desplazamiento, de modo que:
La velocidad de un móvil es el desplazamiento del móvil en la
unidad de tiempo. La velocidad es una
magnitud vectorial que además del módulo tiene la dirección y
sentido de su desplazamiento.
Matemáticamente la Velocidad:
La rapidez es una magnitud escalar de la velocidad y se define
como la distancia recorrida por el móvil en
la unidad de tiempo.
Las unidades de rapidez y velocidad son unidades congruentes, al
igual que las unidades de distancia y
desplazamiento
Matemáticamente la rapidez:
Cuando el móvil describe una trayectoria curvilínea, la
velocidad y la rapidez pueden ser
iguales en su magnitud pero diferentes en la dirección
Cuando la trayectoria seguida por el móvil es rectilínea la
velocidad es igual a la rapidez.
En donde :
Factor
Magnitud que
representa
Sistema
MKS cgs Ingles
v Velocidadm/s
cm/sft/s
x desplazamiento m cm ft
t tiempo s s s
45 0
d = 70 km
tDR
-
20
VELOCIDAD MEDIA: la velocidad media mv , de una partícula que se
desplaza entre dos puntos, se
define como el vector desplazamiento entre dos puntos, x ,
dividido entre el intervalo de tiempo t ,
durante el cual ocurrió el desplazamiento.
Problemas resueltos
1. Determina la velocidad de un ciclista que recorrió 5000
metros en un tiempo de 250 segundos.
2. ¿Qué distancia recorrerá la luz en 30 segundos? (recuerda que
la velocidad de la luz =300,000,000 m/s).
3. Determina el tiempo requerido para que un barco que se
desplaza a razón de 120 km/h llegue a un
puerto localizado a 6 km. al Este de su posición.
Datos?v
md 0005
segt 250
Fórmula
tdv
Sustitución
smv
2500005
Resultado
smv 20
Datos
smv 000000300s
md ?
segt 30
Fórmula
tdv
Sustitución ssmd 30000000300
Despejetvd
Resultadomd 0000000009
Datos
sm
hkmv 33.33120
mkmd 00066
?t mkm
mkm
sm
sh
kmm
hkm
00061
10006
33.3360031
11000120
Conversiones
txvm t
xvv mm
La magnitud de la rapidez media es:
-
21
MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
Los movimientos unidimensionales son movimientos proyectados por
cuerpos que describen
trayectorias rectilíneas (a lo largo de una recta) y pueden ser
uniforme o uniformemente acelerados.
1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales
describiendo una trayectoria recta
se tiene el movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo un auto
recorre 5m por cada segundo que
transcurre manteniendo constante su velocidad, se puede predecir
la distancia recorrida en
diferentes intervalos de tiempo, o el tiempo que tardará en
llegar a su destino.
VELOCIDAD MEDIA EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Si la Velocidad Media de una partícula o cuerpo se mantiene
constante en todos los intervalos
de tiempo en un movimiento en línea recta, se dice que la
partícula (móvil) tiene una velocidad
constante o velocidad uniforme. Si determinamos que una
partícula tiene velocidad uniforme,
podemos prescindir de la notación vectorial en la expresión para
la velocidad media y utilizar su
módulo como una medida de la rapidez de la partícula. De este
modo podemos calcular la
Velocidad Media del Movimiento Rectilíneo Uniforme. Mediante la
expresión matemática.
Donde:
tttxxx
12
12
Fórmula
tdv
Sustitución
smmt
33.330006
Resultado
segt 180
Despeje
vdt
x= variación del desplazamientox= variación del tiempo
12
12
ttxxvm
txvm
tvx m .Por tanto: Despejando
-
22
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
En la figura observamos las posiciones del móvil
con respecto al tiempo, los desplazamientos son
iguales a lo largo de la trayectoria, al graficar
desplazamiento versus tiempo y unir las posiciones,
obtendremos una línea recta, cuya pendiente (m) es
igual a la magnitud de la velocidad (m = vm)
Matemáticamente la ecuación de la pendiente de
una recta es:
12
12
XXYYm
En donde X, Y son la abscisa y
ordenada respectivamente de dos posiciones de la
recta, adaptando la formula a la información de la grafica, la
ecuación queda de la siguiente forma:
12
12
ttxxvm m
Consideremos los puntos A (1, 5) y C (3, 15) en donde: t1 = 1
seg., t2 = 3 seg y d1 = 5 m, d2 = 15 m
. Sustituyendo en la formula para determinar el valor de la
velocidad tenemos:
1 s 2 s 3 s 4 s0 s
0 m 20 m15 m10 m5 m
sm
ssmmvm 5
13515
20
15
10
5
01 2 3 4
A (1, 5)
D (4, 20)
C (3, 15)
t (s)
B (2, 10)
X (m)
-
23
Si graficamos velocidad versus tiempo, obtendremos la
información correspondiente al
desplazamiento logrado por el móvil a velocidad constante en
determinado tiempo, como podrá
apreciarse en la grafica el área sombreada equivale a la
magnitud del desplazamiento. Para este
ejemplo tenemos:
2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Cuando el móvil experimenta cambios de velocidad iguales en
tiempos iguales se tiene el
movimiento uniformemente acelerado (MUA), si además sigue una
trayectoria recta el movimiento es
rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Es decir, Un
movimiento uniformemente acelerado es
aquel en el cual la aceleración es constante.
La aceleración media de un móvil en movimiento acelerado es:
Como estamos tratando la aceleración de una partícula en un
movimiento rectilíneo y, además, con
la condición de que la aceleración sea constante la aceleración
media en cualquier punto es igual a la
aceleración instantánea. Por lo tanto, la velocidad aumenta o
disminuye, con una razón de cambio
igual, durante todo el movimiento. Así la ecuación anterior se
transforma en:
if
if
ttvv
a
(*)
5
01 2 3 4
t ( s )
v ( m / s )
A DCB
mx
sssmx
ttvx
entodesplazamiárea
fm
15
145
0
if
ifm tt
vvtva
-
24
Usualmente, la relación anterior se utiliza con las siguientes
condiciones:
1. se considera que el movimiento acelerado se inicia cuando
t=0
2. La medición final del movimiento tiene lugar cuando tf = t ,
donde t es un tiempo cualquiera.
3. Para t=0, la velocidad inicial vi, se designa como vo,
4. a la velocidad final, para un tiempo cualquiera, t, se le
designa como vf= v , y especifica el valor de
la velocidad para cualquier tiempo.
De acuerdo a las especificaciones anteriores, la relación (*)
tendrá la forma:
En donde.
Observamos en la figura que la longitud de tramo recorrido por
el automóvil esta aumentando a
medida que transcurre el tiempo, y es consecuencia del
incremento de velocidad que experimenta
en la unidad de tiempo, el automóvil registra un aumento en la
velocidad de 5 m/s en cada
segundo y por lo tanto su aceleración es de 5 m/s2
Factor MagnitudSistema
MKS CGS Ingles
a Aceleración m /
s2cm / s2 ft /
s2
fv Velocidad final m / s cm / s ft / s
iv Velocidad inicial m / s cm / s ft / s
t Tiempo s s s
t
vva if
Despejando la velocidadTenemos:
atvv if
-
25
Datos
sm
hkmvi 2590
Ejercicios resueltos
1. Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su
velocidad a 30 km/h en un tiempo de 20
seg. ¿Cuál es su aceleración?
segt 20
?a
2. Un corredor desarrolla una velocidad de 5 m/s y al acercarse
a la recta final acelera uniformemente a
razón de 1.5 m/s2 durante 40 segundos ¿Con que velocidad cruza
la meta?
Velocidad Media en el Movimiento con Aceleración Constante
La aceleración constante no es otra cosa que el cambio uniforme
creciente o decreciente del valor de la
velocidad en un intervalo de tiempo t. cuando una partícula se
mueve a
velocidad constante, la VELOCIDAD MEDIA (Vm) se expresa como:
(a)
Conversiones
sm
sh
kmm
hkm
sm
sh
kmm
hkm
33.860031
1100030
2560031
1100090
Fórmula
tvv
a if
Sustitución
ss
ms
ma
20
2533.8
El signo negativo se debe auna reducción develocidad.
2835.0 sma
Resultado
sm
hkmv f 33.830
Datos
smvi 5
smv f ?
segt 40
25.1 sma
Fórmula
tvv
a if
Sustitución
ssmsmv f 405.15 2
Despeje
atvv if
Resultado
smv f 65
2io
mvvv
-
26
Es importante destacar que esta ecuación es válida siempre que
se mantenga la aceleración constante, es
decir, que la velocidad varíe linealmente con el tiempo.
Desplazamiento En Función Del Tiempo Con Aceleración
Constante
12
12
ttxx
txvm
podemos generalizarla y escribirla así:
titfxixfvm
Con las condiciones ya descritas: xx f , oi xx , tt f . 0it
(b)t
xxv om
Igualando (a) y (b):t
xxvv oo 2
Si x=0 cuando to=0
Desplazamiento en Función del Tiempo
Si sustituimos la ecuación atvv o en la (c) se obtiene:
Desplazamiento en Función de la Velocidad
Despejando el tiempo de la ecuación atvv if y sustituyendo
en
Se obtiene:
tvvxx oo )(21
tvvx o )(21
( c )
2
21 attvxx oo
tvvxx oo )(21
a
vvvvxx ooo )(21
avv
xx ofo 2
22
tatvxtatvvxx ooooo )2(21)(
21
-
27
Velocidad en Función del Desplazamiento
Si de la ecuación anterior, despejamos la velocidad v para un
tiempo cualquiera t
axvv 222
CUERPOS EN CAÍDA LIBRE
La caída libre es el movimiento vertical de los cuerpos que
llegan a la superficie terrestre, experimentando
en forma ínfima los efectos de la fricción del aire.
Con base a las demostración realizada por el científico Galileo
Galilei “En ausencia de la fricción del aire,
Todos los cuerpos caen con la misma aceleración “si dejamos caer
desde una altura y al mismo tiempo
varios objetos de diferente tamaño, todos llegaran al suelo
simultáneamente”.
La caída libre de un cuerpo se produce por la acción y el efecto
de la fuerza de gravedad, es decir este
movimiento vertical dirigido hacia el centro de la tierra
incrementa su velocidad 9.8 m/s por cada
segundo que transcurre con una aceleración equivalente a la
gravitacional.
(Valor redondeado = 10 m/s2 dirigido hacia el centro
terrestre)
Este movimiento es un ejemplo claro de aplicación del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado, y
en la solución de sus problemas se utilizan las formulas del
MRUA adaptadas a los cambios que se
observan en el siguiente cuadro.
axvv o 22
Formulas de Caída libre
tgvv o
ygvv o 222
2
2tgtvy o
Cambios
ga
yx 2VVv om
tvvyy oo )(21
2
21 gttvyy oo
)(222 oo yygvv
Si yo =0
Si yo=0
avvt 0
-
28
En estas ecuaciones el signo negativo se utiliza para el
movimiento opuesto a la aceleración de la
gravedad (ascendente ), mientras que el signo positivo se usará
para movimientos que tienen la misma
dirección de la aceleración de la gravedad (descendente ).
Problema resuelto
1. Desde un edificio de 30 m de altura se deja caer un objeto:
Calcular:
a) la velocidad de impacto.
b) el tiempo que tarde en llegar al suelo.
2. Se lanza una pelota verticalmente para arriba con una
velocidad inicial
vo=30m/s. a) Calcular la velocidad al cabo de 1s y 3s. b) ¿Cuál
es la altura
máxima a alcanzar por la pelota? c) ¿Cuánto tiempo tarda en
alcanzar la altura
máxima?
Datos
vo=30m/s
a) Velocidad al cabo de 1 segundo
Datos
??30
81.9
0
2
f
o
vt
mysmga
v
Fórmula
ghvv of 222
ghv f 22
Sustitución yoperaciones
)30)(81.9(2 22 mv
sm
f
2
26.5882sm
fv
2
26.588sm
fv
sm
fv 26.24
a. Para calcular la velocidad de impacto
Resultado
sm
fv 26.24
Fórmula
tgvv of
Sustitución
281.9026.24
sm
sm
t
b. Para calcular el tiempo total de vuelo
Despeje
gvv
t f 0
Resultado
st 51.2
y max
v = 0
V = 30 m/s
-
29
Formula Sustitución Resultado
tgvv of ssm
smv f 18,930 2 s
mv f 20,20
Velocidad al cabo de 3 segundos
tgvv of ssm
smv f 38,930 2 s
mv f 6.0
Observa que a medida que la pelota asciende va disminuyendo la
velocidad.
b) La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad
ascendente de la misma es igual a cero (v=0).
A esta altura máxima la designaremos ym. Considerando que la
altura de referencia es yo=0 y utilizando el
signo negativo en la formula.
Formula Despeje
Sustitución Resultado
c) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima lo calculamos
haciendo yo=0, y=ym= 45,92m, y
vo=30m/s y v=0. Cunado la velocidad es cero, la pelota inicia su
caída, por lo que en las formulas
utilizamos el signo positivo (+) .Todo lo que va hacia abajo es
positivo, porque va en la misma dirección
de la gravedad
Formula Despeje
Sustitución Resultado
mo ygvv 222 mo ygv 20
2 gvy om 2
2
2
2
/8,92)/30(sm
smym mym 92,45
tvvyy oom )(21 tvy om 2
1
o
m
vyt 2
smmt
/3092,452
st 06,3
-
30
d) el tiempo total del vuelo
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (Movimientos mixtos)
Los movimientos mixtos se presentan en dos dimensiones, una
dimensión es horizontal o sobre el eje “X”
y la otra dimensión es vertical o sobre el eje “Y”, este tipo de
movimiento es observable en la salida del
agua de una manguera, al encestar un balón de básquetbol, el
lanzamiento de un proyectil.
Lanzamiento de un Proyectil
Movimiento parabólico horizontal (Tiro Parabólico
horizontal)
Es el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente al
espacio desde una determinada altura YMAX.
El tiro horizontal describe una trayectoria curva que muestra:
a) Desplazamiento horizontal con velocidad
constante a lo largo de la trayectoria. Equivalente a la
velocidad de lanzamiento b) Desplazamiento
vertical que parte del reposo e incrementa su velocidad a razón
de 9.8 m / s por cada segundo que
transcurre por acción de la fuerza de gravedad considerada como
única al despreciar la fricción del
aire.
La figura muestra un diagrama esquemático del movimiento de un
proyectil lanzado horizontalmente con
una velocidad inicial vo. En este caso no hay ninguna componente
vertical de la velocidad inicial. Al
iniciarse el movimiento, comienza a actuar la aceleración,
creando con esto una componente de velocidad
vertical con dirección hacia abajo. La componente horizontal del
movimiento no tiene aceleración. Es, por
lo tanto, constante y su descripción q2ueda determinada por la
ecuación:
ssstttT 12,606,306,3
Alcance
Alturamáxima VfVY
VX
-
31
Como el movimiento horizontal es uniforme, el proyectil se
desplazará en esta
dirección una distancia dada por:
La componente vertical de la velocidad, generada al iniciarse el
movimiento por acción de la gravedad,
así como la altura alcanzada, viene expresa por el movimiento en
caída libre haciendo yo=0 y voy=0, ya
que el origen de coordenadas con el punto de disparo del
proyectil (yo=0 ), y, además, dado que el
proyectil no tiene componente de la velocidad en el eje vertical
(voy=0), por tanto:
El módulo del desplazamiento (d) del proyectil, en cualquier
intervalo de tiempo:
La velocidad del proyectil en cualquier punto de su trayectoria
es una velocidad instantánea y es tangente
a esa trayectoria. La misma es la suma vectorial de las
componentes perpendiculares xv y yv ; es decir:
yx vvv . El módulo de la velocidad será:
La dirección del vector velocidad en cualquier punto de la
trayectoria puede ser determinada calculando la
tangente en el punto considerado:
Problema resuelto
Se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad de 15 m/s
desde una altura de 10 m. Calcular:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) la distancia
horizontal (el alcance) c) la velocidad de impacto
txvv oxx
tvx ox
gtv y 221 gty
22 yxd
22yx vvvv
)(tan 1 xy vv
gtvv oyy 221 gttvyy oyo
-
32
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo
b) el alcance
c) la velocidad de impacto
1. La magnitud de la velocidad horizontal: smvox 15
. Movimiento parabólico Oblicuo (Tiro parabólico oblicuo)
Es el lanzamiento de un proyectil a una velocidad inicial que
forma un ángulo de elevación con
respecto a la horizontal y describe una trayectoria curva. Este
movimiento presenta su mayor altura y
alcance cuando su angulo de elevacion es de 45°
ResultadoSustituciónFormula
2
2tgY gYt 2
28.9
102
sm
mt 204.2 st st 428.1
OperacionesDespeje
ResultadoSustituciónFormula
tvx ox )428,1()15( ssmx mx 42.21
2. La magnitud de la velocidad vertical: smssmtgv y 14428.18.9
2
4. Para obtener la dirección de la velocidad final aplicaremos
la siguiente formula
Solución: La velocidad final o de impacto es 20.25 m/s, a
43°
3. Finalmente
smsmsmvvv yx 25,20)14()15(
2222
43)933,0(tan)1514(tan)(tan 111
sm
smvv xy
-
33
Observamos en la gráfica la trayectoria descrita por un
proyectil en tres momentos.
1. El desplazamiento horizontal en que se mantiene constante a
lo largo de la trayectoria.
2. El desplazamiento vertical presenta las mismas
características del tiro vertical hacia arriba:
El proyectil inicia su desplazamiento hacia arriba reduciendo su
velocidad a razón de 9.8 m/s
debido a la fuerza de la gravedad. En estas condiciones tenemos
una desaceleración , razón por la
que la gravedad será negativa
Hasta llegar a un punto donde se detiene, (vy=0 m/s) en este
punto se tiene la altura máxima.
Posterior mente inicia el regreso aumentando su velocidad a
razón de 9.8 m/s por cada segundo
que transcurre
Tenemos entonces que al igual que el tiro vertical dirigido
hacia arriba, en el tiro oblicuo la velocidad de
lanzamiento es igual a la velocidad de regreso al punto de
origen, y el tiempo que tarda en subir es igual
al tiempo que tarda en regresar.
La solución de problemas de trayectorias requiere como punto de
partida la velocidad inicial y su
ángulo de elevación. Con esta información se procede de la
siguiente forma:
1. Se descompone la velocidad inicial en su componente
horizontal y vertical
Alcance
Alturamáxima VfVY
VX
VfVY
VX
VfVY
VXVY
VX
Vi
VX
cosoox vv senvv ooy
-
34
Como la aceleración horizontal es cero y la vertical corresponde
a la de la gravedad, la gravedad
según los ejes X y Y están dadas por:
2. como el desplazamiento horizontal, x, corresponde a un
movimiento con velocidad constante,
tendremos:
3. El desplazamiento vertical tiene una aceleración constante,
g, dirigida hoy hacia abajo y su expresión
es similar a la de un objeto que se lanza hacia arriba:
4. La velocidad del proyectil en cualquier momento será yx vvv y
su módulo es:
5. El tiempo en que alcanza el punto más alto de su
trayectoria
5. Altura máxima alcanzada (y=hmax)
6. Tiempo de vuelo: aquel durante el cual permaneció en su
trayectoria hasta terminar su desplazamiento
aéreo:
22yx vvv
teconsvvv ooxx tancos gtsenvgtvv ooyy
tvtvx oox )cos(
22
21)(
21 gttsenvygttvy ooy
gsenvt o
gsenvh o2
22
max
-
35
7. Alcance horizontal: el desplazamiento horizontal del
proyectil cunado vuelve a su altura inicial.
8. La dirección de la velocidad al llegar al suelo
Problema resuelto
Un jugador de fútbol patea un balón a un ángulo de 30° con
respecto a la horizontal, con una velocidad
inicial de 20m/s. calcular. a) ¿el tiempo que alcanza el punto
más alto de su trayectoria; b) la altura
máxima alcanzada; c) el tiempo que permanece en vuelo hasta que
toca tierra;d) la distancia horizontal
que alcanza desde su punto de partida hasta el punto de llegada
al suelo; e) la velocidad al tocar tierra f) la
dirección de la velocidad al llegar al suelo. Despreciar la
resistencia del aire.
a)s
gsenvt
smsenxmo 02,12/8,9
30)/20(
b) msmsensm
gsenvh o 10,5
/8,9230)/20(
2 22222
max
c) ssmsensm
gsenvt ov 04,2/8,9
30/20222
gsenvt ov22
gsenvA oh22 2
)cos
(tan 1
o
o
vgtsenv
-
36
d) msmsensm
gsenvA oh 51,35/8,9
)30(2)/20(2222
22
e)
smsmvv ox /4,1730cos/20cos
smssmsensmgtsenvv oy /99,9)04,2)(/8,9(30)/20(2
f)
86,29
30cos)/20()04,2)(/8,9(30)/20((tan)
cos(tan 11
smssmsensm
vgtsenv
o
o
Problemas propuestos
1. ¿Qué distancia recorre un auto que viaja a una velocidad
constante de 80 km/h en un tiempo de 0.6
h?
2. Un barco se localiza a 500km del puerto y se desplaza hacia
él a una velocidad de 60km/hr
¿Cuánto tiempo tienen los pasajeros de ese barco para estar
listos a abordar el barco?
3. ¿Cuál es la velocidad de un león que recorre una distancia de
500m en un tiempo de 1 minuto?
4. Determina la aceleración de una partícula que se desplaza a
razón de 25 m/s modificando su
velocidad a 45 m/s en un intervalo de 15 seg.
5. Determina la aceleración de un motociclista que reduce su
velocidad de 60 km/h a 20 km/h en un
tiempo de 30 seg.
6. ¿Con qué velocidad se desplaza un móvil que parte del reposo
y acelera a razón de 2.5 m/s2
durante 300 segundos?
7. Desde un avión en vuelo horizontal se deja caer un bulto con
medicinas para un pueblo aislado por
las lluvias. La velocidad horizontal del avión es constante e
igual a 250m/s. el bulto tarda 7
22yx vvv
smv /06,20)99,9()4,17( 22
-
37
segundos en llegar al suelo. Calcular: a) la altura del avión en
el momento de soltar el bulto; b) la
distancia horizontal alcanzada por el bulto al tocar la tierra;
c) el desplazamiento total del bulto; d)
el módulo de la velocidad del bulto al tocar el suelo y e) la
dirección de la velocidad del bulto
cuando toca tierra, ignore la resistencia del aire
8. Un balón es lanzado con una velocidad de 25 m/s con un ángulo
de elevación de 60°. Calcular:
a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto
b) La altura máxima
c) El tiempo total de vuelo
d) El alcance
9. Dos autos A y B están separados por una distancia de 200 Km,
simultáneamente parten del mismo
punto con una rapidez de 60 Km/h y 11,1 m/s respectivamente.
Calcular donde y cuando se
encuentran?
10. Un automóvil que se desplaza con una rapidez de 60Km/h se le
aplican los frenos durante 0,5
min, hasta alcanzar una rapidez de 4,16 m/s. Cual es la
aceleración adquirida y distancia recorrida
en el tramo recorrido?
11. Un móvil se desplaza con una rapidez de 1200 cm/s cuando
frena con una aceleración de 2,5 m/s2
hasta detenerse. Calcular la distancia y el tiempo alcanzado por
el móvil.
12. Un móvil lleva una rapidez de 460 cm/s , cuando ha recorrido
0,2 km su rapidez es de 1240 cm/s.
Calcular la aceleración y la rapidez cuando haya recorrido 400
m
13. Un auto parte del reposo con una aceleración constante. En
un momento dado lleva una rapidez de
5 m/s y 10 m mas adelante lleva una rapidez de 12 m/s.
Calcular
a) La aceleración del móvil
b) El tiempo que empleó en recorrer los 10 m
c) Tiempo que emplea en alcanzar una rapidez de 20 m/s
d) Distancia que recorre desde que parte del reposo hasta que
adquiere la rapidez de 5m/s
14. Un ciclista parte del reposo y acelera durante 4 s a 3 m/s2
. El ciclista mantiene su rapidez
constante durante 6 s, luego acelera a razón de 1 m/s2 durante 8
s, finalmente se detiene con una
desaceleración de 2 m/s2 . Calcular la distancia y el tiempo que
recorrió el ciclista en todo su
recorrido.
15. De un mismo punto parten 2 vehículos en la misma dirección y
sentido. El primer vehículo (A)
parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2 , mientras que el
segundo vehículo (B) sale 2
-
38
segundos después que el primero y lleva una rapidez constante de
10 m/s. Calcular Cuando y
donde se encuentran?
16. Dos cuerpos A y B están en la misma recta, separados entre
si por una distancia de 1,8m. El
cuerpo A parte del reposo con una aceleración de 3 m/s2 y
simultáneamente el cuerpo B se dirige
hacia A con una rapidez inicial de 5 m/s y aceleración de 1,4
m/s2 . Calcular la distancia y el
tiempo en que se encuentra.
17. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 1 m/s2 que
mantiene durante 15 s. Finalizado
este tiempo se desplaza con una rapidez constante durante 3 s,
aplicando los frenos hasta llegar a
detenerse en 5 s. Calcular el desplazamiento total realizado por
el móvil.
18. Un móvil se desplaza con aceleración constante entre dos
puntos A y B que se encuentran
separados a 80 m entre si, tardando 5 s en hacer el recorrido
AB. La velocidad del móvil al pasar
por el punto B es de 20m/s calcular: La aceleración del móvil y
la velocidad que llevaba cuando
pasó por el punto A.
19. ¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros
en 59 segundos?
20. En la retransmisión de una carrera ciclista el locutor
comenta: "estamos a 60 km de la meta yllevamos una velocidad media
de 36 km/h". Si mantienen esa media:
a) ¿A qué distancia de la meta estarán 80 min después?b) ¿Cuánto
tardarán en llegar a la meta?
21. Un ciclista circula a 4 m/s, en un instante determinado se
encuentra a 250 m de un pueblo del quese está alejando. ¿A qué
distancia del pueblo se encontrara al cabo de medio minuto?
22. Un automóvil se desplaza con una velocidad de 30 m por
segundo, con movimiento rectilíneouniforme. Calcule la distancia
que recorrerá en 12 segundos.
23. ¿Cuál es la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a
una velocidad constante de 30 m/ sdurante 5 s?
24. Un chico y una chica están separados 30 m, parten al mismo
tiempo en el mismo sentido convelocidades de 5 m/s y 3 m/s
respectivamente ¿En cuánto tiempo alcanza el chico a la chica?
25. Dos automóviles distan 5 Km uno de otro, y marchan en
sentidos contrarios, a 40 y 60 Km/h.¿Cuánto tardarán en
cruzarse?
26. Un camión de carga viaja da Barquisimeto a San Cristobal,
recorriendo unadistancia de 500 millas, si el viaje tarda 8h. ¿Cual
será su velocidadmedia?
-
39
27. La distancia que separa dos columnas consecutivas del
tendido de electrificación de la vía férrea es60m. Calcular el
tiempo que emplea un tren en recorrer la distancia entre dos
columnas si tiene unarapidez constante de 72 km/h.
28. Calcular su un móvil se ha desplazado 200m a 25s con
velocidad constante. ¿Cuál sería sudesplazamiento si mantuviera
durante una hora la misma velocidad?
29. Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80
km/h, luego de 3 horas otro sale deB con el mismo sentido que el
primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre
Ay B es de 500 km, calcular:
a) ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?b)
¿A qué distancia de B?
30. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, su posición
está dada por la ecuación: X(t)=2+3t-4t2. Con X en min y t en seg.
Determine:a) Su posición entre t=0,375s y t= 0,750s.b) La
aceleración promedio en el mismo intervalo
¿La partícula está reduciendo su velocidad en este intervalo de
tiempo?
31. Un automóvil Porche de carrera GT viaja en línea recta con
una velocidad media de 1300cm/sdurante 8s, y luego con velocidad
media de 480cm/s durante 10s, siendo ambas velocidades delmiso
sentido. A) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 18s del
automóvil porche? B)¿Cuál es la velocidad media del automóvil
porche en su viaje completo?
32. Un móvil que va a 50km/h aplica los frenos durante 15seg. Si
al final de la frenada lleva unarapidez de 10km/h. calcula la
aceleración.
33. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120
km/h, demora 10 s en detenerse.Calcular:
a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?b) ¿Con qué velocidad
chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los
frenos?
34. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme,
de 100 km/h a 50 km/h. Si paraesto tuvo que frenar durante 1.500 m.
Calcular:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?b) ¿Cuánto tiempo
empleó para el frenado?
35. Un ciclista se está moviendo a razón de 12 m\s cuando tiene
que frenar de emergencia al cruzárseleun gato 2,5 m por delante de
él. Y en solo 0,4 s logra detenerse. ¿Qué aceleración tuvo el
ciclista y
-
40
qué distancia cuando tiene que frenar de alcanzó a recorrer?
¿Habrá sido suficiente esa frenadapara evitar atropellar al
gato?
36. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra
alcanzar en 30 s una velocidad de 588m/s. Calcular:a) Aceleraciónb)
¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?
37. Un móvil que se mueve con una velocidad de 30m/s, aumenta
dicha velocidad hasta 80m/s, en 5segundos. Calcular el valor de la
aceleración.
38. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los
frenos durante 25 s y recorre 400 mhasta detenerse. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los
frenos?
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
39. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra
detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
b) ¿Qué espacio necesito para frenar?
40. Un zorro plateado, puede lograr desde el reposo una
aceleración de 3 m/s2. Si va a la caza de unconejo que puede lograr
una aceleración de 1m/s2 y si éste inicia la huida desde el reposo
en elmismo instante que el zorro esta a 36m de él. ¿Qué afirmación
es falsa?
a) Lo alcanza después de 6 segundos.
b) La velocidad del zorro es 18m/s, en el instante que atrapa al
conejo.
c) La velocidad del conejo es 6m/s, en el instante que es
atrapado.
d) El zorro recorre 54 m, antes de atrapar al conejo.
e) El conejo recorre 20 m, antes de ser atrapado.41. Un coche
circula con la misma velocidad detrás de un camión que marcha a 66
km/h. en una recta
el conductor del coche acelera durante 8 segundos con una
aceleración de 3 m/. Calcula lavelocidad que adquiere en ese
tiempo.
42. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante
de 50 km/h, en el mismo momentoun camión pasa por el mismo lugar y
con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h,¿cuánto
tiempo después estarán separados por 300 m?
-
41
43. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de
90 km/h, si su aceleración es constantecalcular:
a) ¿Cuánto vale la aceleración?b) ¿Qué espacio recorrió en esos
5 s?c) ¿Que velocidad tendrá a los 11 s?
44. Una caja es lanzada sobre una superficie horizontal y al
deslizarse se observa que cada 2s surapidez disminuye en 4m/s hasta
detenerse. ¿Qué recorrido realizo la caja durante el últimosegundo
de su movimiento?
45. El espacio recorrido por una partícula en un movimiento
rectilíneo está dado por: d=t2+2t+12,donde t se mide en segundos y
d en metros. Si el movimiento se inicia en el instante t=0, halle
lavelocidad, en m/s, que tiene la partícula al cabo de 5
segundos.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
46. Un automovilista que viaja a una velocidad de 54 Km/h por
unacarretera recta acelera su coche con aceleración constante
hastaponerlo a 90 Km/h. Si ha tardado 5 segundos en pasar de una
velocidada otra, calcular que espacio ha recorrido mientras estaba
acelerando.
47. Calcular el tiempo que tarda un móvil en variar su rapidez
desde 8 m/s hasta 15 m/s, sabiendo quesu aceleración constante es
de 0,7 m/s2.
DINAMICA
Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las
fuerzas. Las descripciones delmovimiento comienzan con una
definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el
tiempo,la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza.
Aquella magnitud vectorial mediante la que se puede poner en
movimiento un cuerpo, deformarloo modificar su velocidad se la
conoce bajo en nombre fuerza. Esta es capaz de transformar el
estado dereposo o de movimiento de un cuerpo y se la mide en
Newtons (N).
Existen distintos tipos de fuerzas, algunos de ellos son:-
Fuerza elástica: es la que logran ejercer los resortes que, fuera
de su posición normal, es decir,
cuando están comprimidos o estirados y logran ejercer fuerza, ya
sea empujando o tironeando uncuerpo.
- Fuerza de rozamiento: es la fuerza de contacto que surge
cuando un cuerpo es deslizado sobreuna superficie y se opone a este
movimiento. Dentro de esta fuerza encontramos dos tipos:las
dinámicas y las estáticas. La fuerza estática establece la fuerza
mínima que se precisa paramover un cuerpo. Esta fuerza es
equivalente a la fuerza que se necesite para mover un cuerpo,aunque
en sentido contrario. La fuerza que se opone al movimiento de un
cuerpo es la derozamiento dinámico.
- Fuerza normal: es aquella que ejerce una superficie cuando
reacciona ante un cuerpo que sedesliza sobre ella.
-
42
- Fuerza gravitatoria: es aquella fuerza de atracción que surge
entre dos cuerpos. Esta fuerza estácondicionada por la distancia y
masa de ambos cuerpos y disminuye al cuadrado a medida que
seincrementa la distancia.
- Fuerza electromagnética: es la que repercute sobre aquellos
cuerpos que se encuentraneléctricamente cargado. Está presente en
las transformaciones químicas y físicas tanto de átomoscomo de
moléculas.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUERZASPara que una fuerza quede
determinada debemos conocer:- Su recta de acción o directriz.- Su
intensidad. En kg, toneladas o Newton, (según el sistema de
unidades adoptado).- Su sentido. Se indica con una flecha.- Su
punto de aplicación.
Primera ley de Newton (equilibrio)
Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo
uniforme (M.R.U. = velocidadconstante) si la fuerza resultante es
nula (ver condición de equilibrio).
El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa
necesariamente que su velocidad seacero. Si no está sometido a
ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento
seguirádesplazándose a velocidad constante.
a) Condición de equilibrio en el plano: la sumatoria de todas
las fuerzas aplicadas y no aplicadas debeserΣ Fx = 0Σ Fy = 0
b) Condición de equilibrio en el espacio: la sumatoria de todas
las fuerzas aplicadas y no aplicadas debeser nula y, la sumatoria
de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los tres ejes
de referenciadebe ser nula.
-
43
Equilibrio de fuerzasΣ Fx = 0Σ Fy = 0Σ Fz = 0
Segunda ley de Newton (masa)
Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que
definir la fuerza y la masa. Unafuerza neta ejercida sobre un
objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La
aceleración seráproporcional a la magnitud de la fuerza total y
tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constantede
proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de
la cantidad de sustancia de uncuerpo y es universal.
Cuando a un cuerpo de masa m se le aplica una fuerza F se
produce una aceleración a.F = m.a
Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la
aceleración a se mide en metros porsegundo cuadrado, la masa m se
mide en kilogramos, y la fuerza F en newtons.
Se define por el efecto que produce la aceleración en la fuerza
a la cual se aplica. Un newton sedefine como la fuerza necesaria
para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro
porsegundo cada segundo.
Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una
aceleración dada que uno con menosmasa. Lo asombroso es que la
masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar
lavelocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce
sobre otros objetos. Resulta sorprendente, ytiene consecuencias
profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional
estén determinadaspor una misma cosa.
Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto
determinado está en un campogravitatorio o en un sistema de
referencia acelerado. Albert Einstein hizo de esto una de las
piedrasangulares de su teoría general de la relatividad, que es la
teoría de la gravitación actualmente aceptada.
Se deduce que:1 kgf = 9,81 N
En particular para la fuerza peso:
-
44
P = m.g
Tercera ley de Newton (acción y reacción)
Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción),
este devuelve una fuerza de igualmagnitud, igual dirección y de
sentido contrario (reacción o acción).
Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto
empuja suavemente a un niño,nosólo existe la fuerza que el adulto
ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero
desentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del
adulto es mayor, su aceleración serámenor.
La fuerza de rozamiento es una fuerza de resistencia al
movimiento relativo de dos cuerpos encontacto. El roce estático
tiene un rango de fuerzas aplicables al objeto. Por lo cual, si la
fuerza esobediente y cumple con esta función:
El cuerpo va a estar en reposo.µe: coeficiente de roce
estático
Roce dinámico o fricción cinética: esta fuerza ocurre cuando el
cuerpo ya está en movimiento. Esel tedioso trabajo de, cuando ya
lograste mover la caja, hacer que se siga moviendo, aún así esta
fuerza deoposición es más débil lo cual es que cuando logramos
hacer mover la caja seguir haciéndola moverse yano se nos hace tan
complicado. Este roce es igual al coeficiente de roce por la normal
en todo instante.Fr es la fuerza de roce, fd es el coeficiente de
roce dinámico y N es la fuerza en la dirección normal a lafuerza
aplicada.Esta es la expresión matemática:
Ejemplos1. Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una
aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud
de dicha fuerza en Newton y dinas.
Datosm = 2,5 Kg.a =1,2 m/s2.F =? (N y dyn)SoluciónNótese que los
datos aparecen en un mismo sistema de unidades (M.K.S.)Para
calcular la fuerza usamos la ecuación de la segunda ley de
Newton:
Sustituyendo valores tenemos:
-
45
Como nos piden que lo expresemos en dinas, bastará con
multiplicar por 105, luego:2. Un ascensor pesa 400 Kp. ¿Qué fuerza
debe ejercer el cable hacia arriba para que suba con una
aceleración de 5 m/s2? Suponiendo nulo el roce y la masa del
ascensor es de 400 Kg.
Solución
Como puede verse en la figura 7, sobre el ascensor actúan dos
fuerzas: la fuerza F de tracción del cable yla fuerza P del peso,
dirigida hacia abajo.
La fuerza resultante que actúa sobre el ascensor es F – P
Aplicando la ecuación de la segunda ley de Newton tenemos:
Al transformar 400 Kp a N nos queda que:
400 Kp = 400 ( 9,8 N = 3920 N
Sustituyendo los valores de P, m y a se tiene:
F – 3920 N = 400 Kg. ( 0,5 m/s2
F – 3920 N = 200 N
Si despejamos F tenemos:
F = 200 N + 3920 N
F = 4120 N
-
46
Propuestos.1. Un móvil de 100 kg recorre 1 km en un tiempo de 10
s partiendo del reposo. Si lo hizo con
aceleración constante, ¿qué fuerza lo impulsó?2. Sobre un cuerpo
de 60kg actúa una fuerza constante no equilibrada de 4kp si en el
momento en que
actúa la fuerza el cuerpo tiene rapidez de 20 m/s calcular:
a) La rapidez que lleva a cabo de 10 s.b) La distancia que
recorre en el lapso de tiempo mencionado
3. Se arrastra un cuerpo de 5kg por una mesa horizontal, sin
razonamiento, con una fuerza de 18Nparalela a la mesa.
a) ¿con que aceleración se mueve el cuerpo?b) ¿Qué tiempo
tardara en alcanzar una velocidad de 1,5m/s, suponiendo que parte
de reposo?
4. Una fuerza de 45N actúa sobre un cuerpo de 15kg, inicialmente
en reposo, durante 10 s. calcular lavelocidad final del cuerpo.
5. Se patea una pelota con una fuerza de 1,2 N y adquiere una
aceleración de 3 m/s2, ¿cuál es la masade la pelota?
6. Una fuerza de 45 N actúa sobre un cuerpo de 15kg,
inicialmente en reposo, durante 10s ¿calcular lavelocidad final del
cuerpo?
7. Una lámpara de 4kg cuelga a 50cm del techo sujeta por 2
cuerdas de 65cm cada una. ¿calcular latensión que soporta cada
cuerda?
8. En la figura 19 se muestran dos masas M1 = 3 Kg. y M2 = 5 Kg.
colgando de los extremos de unhilo que pasa por la garganta de una
polea a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan b)Calcular la
tensión del hilo y la aceleración con que se mueve el sistema.
9. Un carrito con su carga tiene una masa de 25 Kg. Cuando sobre
él actúa, horizontalmente, una
fuerza de 80 N adquiere una aceleración de 0,5 m/s2. ¿Qué
magnitud tiene la fuerza de rozamiento
Fr que se opone al avance del carrito?
-
47
10. Un objeto de 4 kg de masa, inicialmente en reposo, estalla
en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y1 kg. El bloque de 2 kg
sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con
relaciónal primero. Determinar sus velocidades.
11. Un avión de 6000kg de masa, aterriza trayendo una velocidad
de 500km/h, y se detiene después de10 segundos de andar en la
pista. ¿Cuánto vale la fuerza total de rozamiento que hace posible
quese detenga?
12. Un cuerpo pesa en la tierra 60 Kp. ¿Cuál será a su peso en
la luna, donde la gravedad es 1,6 m/s2?
13. Sobre una piedra atada a un hilo se ejerce verticalmente
hacia arriba una fuerza de 90N. Si la piedrapesa 7,35N,
Calcular:
a) La masa de la piedrab) La fuerza neta que actúa sobre la
piedrac) La aceleración del movimiento de la piedra
14. Un cuerpo pesa 10N en un planeta A. sobre un planeta B,
donde la aceleración de gravedad es 1.6g,el cuerpo pesa 27N.
Calcular la masa del cuerpo y la aceleración debida a la gravedad
en (m/s²) enel planeta B.
15. Sobre un cuerpo de 2.3 Kg actúa una fuerza de 2.45 N. Cuál
es la aceleración?. Qué tiempo tarda elcuerpo para aumentar su
velocidad de 2m/s a 13 m/s?
16. Encuentre la masa de un cuerpo si una fuerza de 36 N le
produce una aceleración de 3.5m/s2
17. Un cuerpo, de 12.5 kg., lleva una velocidad de 2 pies/seg y,
con aceleración constante, adquiere unavelocidad de 112 cm/seg. al
cabo de 3.2 seg. Cuál es el valor de la fuerza neta?.
18. ¿Qué fuerza debe aplicarse a un cuerpo de masa igual a 5 kg
para que tome una aceleración de
3m/s?
19. ¿Qué fuerza será necesaria para que un cuerpo de 30 N de
peso alcance una velocidad de 15 m/s en6 segundos partiendo del
reposo?
20. ¿Qué fuerza se deberá aplicar a un cuerpo de 800 gramos para
que adquiera una aceleración de 2m/s2.
21. Para mover una carretilla cargada de mineral hemos
necesitado una fuerza de 680 N. La carretillase ha deslizado por
una vía horizontal con una aceleración inicial de 1,2 m/s2. Calcula
la masa totalde la carretilla.
22. Un Móvil de 600kg viaja a 10 m/s ¿ Que fuerza deben aplicar
los frenos para detenerlo a los 15m?.
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23. Hallar la fuerza con que se atraen dos masas de 5,5 (1024
Kg. y 7,3 (1022 Kg. separados por unadistancia de 3,8 *108 m.
24. Una carretilla cargada con ladrillos tiene una masa total de
18 kg y se jala con rapidez constante pormedio de una cuerda. La
cuerda esta inclinada a 20º sobre la horizontal y la carretilla se
mueve 20m sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
fricción cinética entre el suelo y la carretilla esde 0,5.(cos 25º
= 0, 9397). Hallar:
a) Cuál es la tensión en la cuerda?b) Cuánto trabajo efectúa la
cuerda sobre la carretilla?
25. Fátima en un supermercado empuja un carrito con una fuerza
de 35 Newton dirigida a un ángulo de25º hacia abajo desde la
horizontal. Encuentre el trabajo que realiza Fátima conforme se
mueve porun pasillo de 50 m. de longitud. (cos 25º = 0,9063)
26. Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 metros a lo
largo de una mesa horizontal sin fricciónpor una fuerza constante
de 16 Newton dirigida a 25º debajo de la horizontal. Encuentre el
trabajoefectuado por:
a) La fuerza aplicadab) La fuerza normal ejercida por la mesac)
La fuerza de la gravedadd) La fuerza neta sobre el bloque.
27. Calcular la masa de un cuerpo, si fuerza de atracción entre
dos masas es de 1,8*10-2 N y la
masa de una de ellas 0,6*102 Kg., y las separa una distancia de
0,2*10-1 m.
28. Una bolsa de cemento que pesa 325N, pende de tres alambres,
dos de los alambres forman ángulosde 60º y 25º con respecto a la
horizontal. Si el cuerpo está en equilibrio encuentre T1, T2 Y
T3.
29. Cuando dos objetos de masa desigual M1= 3Kg, M2= 7Kg cuelgan
verticalmente de una polea sinfricción y masa insignificante.
Determine:a) La magnitud de la aceleración de los dos objetosb) La
tensión en la cuerda
60º 25º
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Supóngase que el sistema inicial esta en reposo determine cuanto
ha descendido M2 al cabo de1,2s y la velocidad.
30. El piloto de un avión ejecuta una pirueta de giro completo a
rapidez constante en un plano vertical.La rapidez del avión es de
483 km/h y el radio del círculo es de 366 m. ¿Cuál es el peso
aparentedel piloto en el punto más bajo si su peso real es de 713
N? (Su peso aparente es igual a la fuerzaque el asiento ejerce
sobre su cuerpo.
31. Un péndulo simple de largo L=2m y masa M describe un arco de
círculo en un plano vertical. Si latensión es 2.5 veces el peso de
la plomada para la posición indicada en la figura 440, encuéntrese
lamagnitud de la velocidad lineal y aceleración de la plomada en
esa posición.
32. En la figura 21 se muestran dos bloques de masa M2 = 2 Kg.
que arrastra sobre el plano horizontalal cuerpo de masa M1 = 7 Kg.
Calcular la aceleración del sistema y tensión de la cuerda.
33. Un móvil de 200kg parte del reposo accionando por una fuerza
constante de 20 kp. Calcular ladistancia recorrida en 10s.
34. Un cuerpo de 20kg se desplaza a 12 m/s en el momento en que
actúa sobre él una fuerza, paradetenerlo recorriendo 50m. Calcular
el valor de la fuerza aplicada.
35. ¿Qué fuerza de levantamiento debemos aplicar para levantar
del suelo un saco de 20 Kg. de masa?36. Aplicamos una fuerza de
empuje de 8060 N sobre un bulto de 200 kg. de masa. El suelo ejerce
una
fuerza de rozamiento de 2400 N, calcula la aceleración con la
que moveremos el objeto.37. La aceleración de la gravedad en la
Luna es aproximadamente 1,6 m/s2 . Calcula qué pesaría sobre
su superficie un astronauta de 70 Kg. de masa que lleva un traje
espacial de 50 Kg. de masa.38. Un hombre arrastra un baúl por la
rampa de un camión de mudanza. La rampa esta inclinada 20.0º
y el hombre tira con una fuerza F cuya dirección forma un Angulo
de 30.0º con la rampa. a ¿Que Fse necesita para que la componente F
y paralela a la rampa sea 60.00º N? b ¿Qué magnitud tendráentonces
la componente F y perpendicular a la rampa?
39. Un hombre que se está pesando dentro de un ascensor observa
queel peso que marca la báscula es mayor que su peso real.
a. El ascensor se mueve hacia arriba con velocidad
decreciente.b. El ascensor se mueve hacia abajo con velocidad
decreciente.c. El ascensor se mueve hacia arriba con velocidad
creciente.d. El ascensor se mueve hacia abajo con velocidad
constante.
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UNIDAD IV. TRABAJO Y ENERGIA
DEFINICION DE TRABAJOEl trabajo, en mecánica clásica, es el
producto de una fuerza (en la dirección del desplazamiento) por
ladistancia que recorre (s) . La fuerza que realiza trabajo es la
componente Fx = F cos α ; mientras que Fyno realiza trabajo
El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con
la letra (del inglés Work) o (de Labor)La unidad básica de trabajo
en el Sistema Internacional es el newton × metro que se denomina
julio (jouleen inglés), y es la misma unidad que mide la energía.
Por eso, se entiende que la energía es la capacidadpara realizar un
trabajo, o que el trabajo provoca una variación de energía.
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Hay casos en los que el cálculo del trabajo es muy sencillo. Si
el módulo de la fuerza es constante y elángulo que forma con la
trayectoria también es constante, tendremos: Fuerza (F) por
distancia(d) igual aTrabajo(W).
Es el caso de una fuerza constante y trayectoria rectilínea.
Además, si la fuerza es paralela al desplazamiento,
tendremos:
Si la fuerza es paralela al desplazamiento, pero en sentido
contrario:
Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular
el trabajo total realizado sobre estapartícula, entonces R
representa al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene
multiplicando la componente de la fuerza a lo largodel
desplazamiento por el desplazamiento. W=Ft·s
Objetivos de la Unidad: Identificar el trabajo efectuado por las
fuerzas actuantes y las diferentesmanifestaciones de energías
asociadas al movimiento apreciando su importancia e influencia en
lasactividades desarrolladas en la vida cotidiana.
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Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto
de aplicación se traslada 7 m, si el ánguloentre las direcciones de
la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el
trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen
sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es
perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Trabajo efectuado por un resorte.
En la figura se muestra un sistema físico común para el cual
varía la fuerza con la posición. Un bloquesobre una superficie
horizontal sin fricción se conecta a un resorte. Si el resorte se
alarga o se comprimeuna pequeña distancia desde su configuración in
deformada o de equilibrio ejercerá sobre el bloque dadapor
Fr = -kx
Donde x es el desplazamiento del bloque desde su posición de
equilibrio (x = 0) y k una constante positivaconocida como
constante de fuerza del resorte.
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Cuando x es negativa (resorte comprimido), la fuerza del resorte
es hacia la derecha.
LA ENERGÍA CINÉTICA
Los cuerpos pueden realizar un trabajo por el hecho de estar en
movimiento, es decir, los cuerpos enmovimiento tienen energía. Esta
forma de energía mecánica se llama energía cinética (EC).
Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene una cierta velocidad.
Ya sabes que, para pasar del estado dereposo a movimiento, hay que
aplicar una fuerza, que multiplicada por el desplazamiento del
cuerpo esigual al trabajo que realiza.Trabajo y energía
Cinética
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la
resultante de las fuerzas que actúa sobre unapartícula modifica su
energía cinética.
Si se realiza un trabajo sobre una partícula, ésta adquiere esa
misma cantidad de energía, habitualmente suenergía cinética (este
es el teorema del trabajo y la energía o teorema de las fuerzas
vivas):
Por ejemplo, si un cuerpo se está moviendo por un plano
horizontal con una energía cinética de 8 J(Joules) y recibe en el
sentido de su movimiento una fuerza de 4 N (Newtons) constante
durante 10 m,alcanzará una energía cinética de 48 J.
Nótese que una fuerza perpendicular al desplazamiento no hace
variar la energía cinética de la partícula.Éste es el caso de la
fuerza magnética, que curva la trayectoria pero mantiene constante
el módulo de lavelocidad.
Por ejemplo: si una persona mantiene un bulto a una distancia de
1.5m del suelo y camina 3 metros, eltrabajo realizado es cero, dado
que ángulo que se forma entre el desplazamiento y la fuerza es
90º
Cuando x es positiva (resorte extendido), la fuerza del resorte
es hacia la izquierda.
Cuando x es cero, la fuerza del resorte es cero (longitud
natural del resorte).
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Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de
atravesar una tabla de 7 cm de espesor yque opone una resistencia
constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450
m/s y su masaes de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
LA ENERGÍA POTENCIAL
La capacidad de un cuerpo de producir trabajo por el hecho de
estar a una cierta altura se llama energíapotencial gravitatoria, o
más sencillamente, energía potencial (EP).
Consideramos un cuerpo de masa m que elevamos ejerciendo una
fuerza (F). El trabajo realizado será:
W = F · s
Donde el desplazamiento (s) lo consideraremos como altura (h) y
la fuerza realizada para elevarlo ha detener un valor ligeramente
superior al peso, pero con sentido opuesto, para que pueda
elevarse:
F = P = m · g
Sustituyendo la fuerza por el valor del peso y el desplazamiento
por la altura en la definición de trabajo,obtenemos:
W = F · s = m · g · h
Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo que se encuentra
a una altura, h, (Ep) es:
EP = m · g · h
La energía potencial equivale al trabajo que ha costado elevar
el objeto de masa m a la altura h.
Hemos supuesto que la EP = 0 cuando estamos en la superficie
terrestre, que consideramos h = 0. Si eldesplazamiento es
horizontal, no hay variación de altura y, por tanto, la variación
de la energía potenciales nula.
Existen otros tipos de energía potencial, como la energía que se
acumula en los cuerpos elásticos aldeformarlos (un arco). Cuando
cesa la deformación, la energía acumulada produce el