Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke Luis Carlos Cuervo Daza Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá D.C, Colombia 2019
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Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke
Luis Carlos Cuervo Daza
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Bogotá D.C, Colombia
2019
Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke
Luis Carlos Cuervo Daza
Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director (a):
Herbert Vinck Posada Ph.D
Línea de Investigación:
Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Bogotá D.C, Colombia
2019
Si la gente supiera lo duro que trabajé para ganar mi
maestría, no parecería tan maravilloso.
A mi familia
A Natalia Acero
Agradecimientos
A Dios que me guio para alcanzar este logro.
A mi director de trabajo final de la Maestría, Herbert Vinck Posada, quien aceptó dirigir
este proyecto, por sus valiosas orientaciones y su paciencia.
A mis estudiantes de grado décimo del técnico en mecanizado de productos
metalmecánicos del colegio IED Externado Nacional Camilo Torres, quienes con su
aporte ayudaron a la construcción de este trabajo.
A mi familia y esposa que me apoyaron en este proceso incondicionalmente.
A las directivas del IED Externado Nacional Camilo Torres que me brindaron el tiempo y
el espacio para desarrollar este trabajo.
Resumen
El presente trabajo propone y aplica una unidad didáctica para la enseñanza del
concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke. La propuesta se
basa en el enfoque de enseñanza por aprendizaje significativo utilizando prácticas de
laboratorio como estrategia didáctica, buscando la construcción del conocimiento de
forma práctica. La propuesta se pone a prueba con estudiantes de la modalidad de
mecanizado del grado décimo del Colegio Externado Nacional Camilo Torres en un
diseño pre-experimental con pre-test y pos-test. Los resultados evidencian una mejora
estadísticamente significativa en el desempeño, y, de forma cualitativa, un aumento
notable en su conocimiento de todos aquellos elementos que para describir y predecir su
comportamiento pasan por un riguroso estudio científico para poder ser utilizarlos como
componentes de máquinas, en este caso particular, el estudio de un resorte. La
propuesta constituye un aporte valioso en la enseñanza de la ciencia en la construcción
del concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke.
Palabras clave: Resortes, Ley de Hooke, fuerza, enseñanza, didáctica.
Abstract XI
Abstract
The present work proposes and applies a didactic unit for teaching the concept of force in
real springs beyond Hooke's Law. The proposal is based on the approach of teaching by
significant learning using laboratory practices as a didactic strategy, seeking the
construction of knowledge in a practical way. The proposal is put to the test with students
of the modality of mechanized of the grade tenth of the Externado Nacional Camilo
Torres’ School in a pre-experimental design with pre-test and post-test. The results show
a statistically significant improvement in the performance, and, qualitatively, a remarkable
increase in their knowledge of all those elements that to describe and predict their
behavior go through a rigorous scientific study to be able to be used as machine
components, in this particular case, the study of a spring. The proposal constitutes a
valuable contribution in the teaching of science in the construction of the concept of force
in real springs beyond Hooke's Law.
Keywords: Springs, Hooke's Law, strength, teaching, didactic.
Contenido XIII
Contenido
Pág.
Resumen ......................................................................................................................... IX
Lista de figuras ............................................................................................................. XV
Lista de tablas ............................................................................................................ XVII
1. Capítulo. Aspectos históricos–pedagógicos ......................................................... 1 1.1 Contexto Histórico de La Ley de Hooke ........................................................... 1 1.2 Prácticas de laboratorio como estrategia didáctica .......................................... 5 1.3 Aprendizaje significativo como modelo pedagógico ......................................... 6 1.4 Estándares del Ministerio de Educación Nacional (M.E.N) .............................. 9
2. Capítulo. Descripción de los conceptos disciplinares. ....................................... 11 2.1 Resortes mecánicos ...................................................................................... 11
2.1.1 Antecedentes ...................................................................................... 11 2.1.2 Definición y configuración de resortes ................................................. 13 2.1.3 Materiales para resortes ...................................................................... 18
2.2 Análisis físico de un sistema masa-resorte helicoidal .................................... 18 2.2.1 Movimiento armónico simple en resortes ............................................ 19 2.2.2 Concepto de esfuerzo ......................................................................... 24 2.2.3 Propiedades elásticas en torsión de alambres .................................... 25 2.2.4 Esfuerzos en el rango elástico en materiales ...................................... 26 2.2.5 Esfuerzos en resortes helicoidales ...................................................... 28 2.2.6 Deformación en resortes helicoidales y el efecto en la curvatura ........ 31
2.3 Resortes no lineales ...................................................................................... 33
3. Capítulo. Propuesta didáctica ............................................................................... 37 3.1 Antecedentes ................................................................................................. 37 3.2 Perfil de la institución y del estudiante ........................................................... 39
3.2.1 Perfil de la institución .......................................................................... 39 3.2.2 Perfil del estudiante ............................................................................. 40
3.4.1 Sesión 1. Prueba diagnóstica (Pre-test) .............................................. 42 3.4.2 Sesión 2. Actividad resortes ................................................................ 43 3.4.3 Sesión 3 y 4. Actividad: Ley de Hooke ................................................ 44 3.4.4 Sesión 5 y 6. Actividad: Fuerza en función del diámetro en resortes. .. 45
XIV Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
3.4.5 Sesión 7 y 8. Actividad: Fuerza en función del número de espiras del resorte. 47 3.4.6 Sesión 9 y 10. Actividad: Fuerza en función del calibre de alambre del resorte. 49 3.4.7 Sesión 11. Prueba diagnóstica (Pos-test) ............................................51
4. Capítulo. Resultados ..............................................................................................53 4.1 Marco de aplicación .......................................................................................53 4.2 Resultados y análisis del pre-test frente al pos-test ........................................55 4.3 Análisis estadístico .........................................................................................62
Habría que decir también, que en las prácticas de laboratorio es necesario promover la
elaboración de informes donde se especifiquen: el problema que se plantea, las
hipótesis, las variables que se tuvieron en cuenta, el diseño experimental, los resultados
que se obtuvieron y las conclusiones. Toda vez que se logre realizar una evaluación de
todo el proceso y poder llegar a la resolución del problema haciendo uso de criterios
referidos en el trabajo científico. El informe de laboratorio es un ejercicio apropiado para
articular la teoría y la práctica, de tal forma, que el estudiante reconozca la importancia
del trabajo científico en el aula (Lopez Rua & Tamayo Alzate, 2012).
Por todo lo anterior, este trabajo pretende mostrar que utilizando prácticas de laboratorio
como estrategia didáctica para la comprensión de una noción en ciencias, logra
desarrollar el conocimiento teórico a partir de la construcción del concepto a través de la
experimentación. Además, existe un consenso en el hecho de que los trabajos prácticos
de laboratorio son fundamentales para la enseñanza de las ciencias. Sobre todo, se
evidencia que la observación y experimentación de la naturaleza, son importantes en el
desarrollo de habilidades experimentales, ya que éstas posibilitan relacionar las teorías y
modelos con la experiencia, de tal forma, que direccionan a los alumnos en la formación
de cómo se construye el conocimiento científico escolar (Jaime & Escudero, 2011)
1.3 Aprendizaje significativo como modelo pedagógico
La teoría del aprendizaje por medio de experiencias tiene sus raíces en la filosofía griega.
Para Sócrates las personas ya vienen con todos los conocimientos al momento de nacer,
es decir de forma a priori, pues para aprender solo se necesita recordar. La metodología
Introducción 1 7
que utilizaba Sócrates consistía en no darles a sus discípulos las respuestas, sino que a
través de una serie de preguntas buscaba hacerles reflexionar sobre diversas cuestiones.
De ahí que su método se conoce como mayéutica (Arias Gallegos & Oblitas Huerta,
2014).
El modelo de enseñanza-aprendizaje está centrado en los procesos de aprendizaje y, por
ello, es el sujeto que aprende, el que es capaz de dar significación y sentido a lo
aprendido. Las teorías del aprendizaje significativo: el aprendizaje por descubrimiento, el
constructivismo, el aprendizaje mediado son un aporte importante para enriquecer este
paradigma. El modelo de enseñanza se subordina al aprendizaje del alumno y en este
sentido influye la mediación del profesor. El alumno posee un potencial de aprendizaje
que puede desarrollar por medio de la interacción profesor-alumno o alumno-alumno
(Lara Guerrero & Lara Ragel, 2004).
En el siglo XVIII, Rousseau promueve un modelo de educación liberal con principios
similares a los del constructivismo, de modo que los alumnos son los protagonistas de su
propio aprendizaje y aprenden mejor sin restricciones o imposiciones del profesor.
Complementando este modelo, autores como: Vico (Espinosa, 2000), Kant (Beade,
2016), Marx (Pérez Fardales, Pérez Fardales, & Mursulí Gómez, 2016) y Darwin (Salas
& Olaya, 2010), consideran que existe la convicción de que los seres humanos son
productos de su capacidad para adquirir conocimientos y para reflexionar sobre sí
mismos, y que les ha permitido entender, explicar y controlar la naturaleza (Barriga Arceo
& Hernández Rojas).
Otros autores se centran en el estudio del funcionamiento y el contenido de la mente de
los individuos, como Jean Piaget (1896 - 1980), quien postuló la teoría del desarrollo
intelectual con una visión evolutiva, según la cual el niño construye su propio
conocimiento en constante interacción con el medio en el que vive, por lo cual el
estudiante es el centro del proceso de enseñanza. Además, el mejor aprendizaje se
produce cuando la intervención del profesor sea como facilitador y no como obstáculo en
el proceso de enseñanza (Barriga Arceo & Hernández Rojas). Estas ideas son el eje
central del constructivismo y constituyen el corazón de la pedagogía moderna, que se
contrapone a la enseñanza tradicional donde el profesor es quien lo sabe todo y la
enseñanza se organiza a partir de sus necesidades y objetivos (Arias Gallegos & Oblitas
Huerta, 2014).
8 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Por otra parte, la experiencia humana no solo implica pensamiento, sino también la
interacción afectiva del individuo en el contexto donde se desarrolla el proceso de
construcción del conocimiento, y esto se considera únicamente cuando en conjunto se
capacita al individuo para enriquecer el significado de su experiencia (Ausubel, 1983). El
creador de la teoría del aprendizaje significativo, David Paul Ausubel (1918 – 2008)
considera que uno de los conceptos fundamentales en el moderno constructivismo
responde a la concepción cognitiva del aprendizaje, según la cual éste tiene lugar cuando
las personas interactúan con su entorno tratando de dar sentido al mundo que perciben.
Así mismo, el proceso mediante el cual se construyen las representaciones personales
significativas y que poseen sentido de un objeto, situación o representación de la
realidad, se le conoce como aprendizaje (Muñoz, 2004).
“El aprendiz sólo aprende cuando encuentra sentido a lo que aprende”
De esta manera, la teoría de Ausubel concibe el aprendizaje como un proceso de
construcción de nuevos conocimientos a partir de los adquiridos antes, y no como un
simple copiado de contenidos. Por ejemplo, la proposición: “La Fuerza que devuelve un
resorte a su posición de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza
de esa posición”, tiene significado sólo para los individuos que ya poseen algún grado de
conocimientos acerca de los conceptos de proporción, resorte y fuerza.
Así que, el presente trabajo tiene como objetivo lograr desarrollar un proceso de
aprendizaje significativo por medio de la unidad didáctica para la enseñanza del concepto
de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke, donde se utilizan prácticas de
laboratorio para que los aprendices logren identificar las características físicas propias de
los resortes reales, construyendo su conocimiento a partir de la interacción física con el
objeto de estudio (en este caso el resorte), contrastando las ideas que tenía sobre el
comportamiento de los resortes con los conocimientos aprendidos en la unidad didáctica,
además se logra la contextualización del trabajo científico desarrollado en el estudio del
comportamiento de los resortes con el trabajo en el área técnica, donde se busca
encontrar (el sentido) la aplicación de este elemento en el funcionamiento de alguna
máquina o mecanismo.
Introducción 1 9
En conclusión, se plantea la posibilidad de utilizar la unidad didáctica para la enseñanza
en la ciencia escolar, con el objetivo de que el estudiante logre atribuir significado a lo
que se debe aprender, a partir de lo que ya se conoce mediante la actualización de
esquemas de conocimientos. El aprendizaje no se limita solamente a la asimilación de
dichos conocimientos, sino que supone la revisión, la modificación y el enriquecimiento
mediante nuevas conexiones y relaciones entre ellos. Esto permite a los sujetos utilizar lo
aprendido para abordar nuevas situaciones y efectuar nuevos aprendizajes.
1.4 Estándares del Ministerio de Educación Nacional (M.E.N)
Los estándares en ciencias naturales del M.E.N. plantean el estándar de: “Modelo
matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir de las fuerzas que actúan
sobre ellos” para los grados décimo y once de educación media. Por lo que el desarrollo
de estrategias didácticas para que los alumnos logren modelar matemáticamente el
movimiento de objetos que han sido sometidos a fuerzas, implica la necesidad de que los
estudiantes busquen en el entorno ejemplos de fenómenos ondulatorios y formulen
hipótesis sobre ellos y sus usos en la industria, en nuestro caso particular, modelar el
comportamiento de resortes reales contemplando en el modelo matemático
características geométricas que no se contemplan en el modelo clásico de la Ley de
Hooke. Con esto se asume que los estudiantes alcanzan el último nivel de los procesos
de pensamiento y acción.
Además, en los estándares se contempla el estándar: “Utilizo las matemáticas para
modelar, analizar y presentar datos y modelos en forma de ecuaciones, funciones y
conversiones”, esto implica que los estudiantes desarrollen la competencia de diseñar
experimentos para verificar hipótesis propias y comparar los resultados con los modelos
teóricos y los resultados obtenidos por otros compañeros, buscando que ellos expresen
los resultados obtenidos utilizando herramientas matemáticas, logren sacar conclusiones
(así no se obtengan los resultados esperados) y formulen nuevas preguntas, por medio
del proceso que se tiene en el desarrollo de prácticas de laboratorio para describir
matemáticamente los fenómenos de la naturaleza.
2. Capítulo. Descripción de los conceptos disciplinares.
A continuación se expondrán los conceptos propios de la disciplina bajo los cuales se
sustenta el presente trabajo. Este capítulo tiene una gran relevancia, ya que aborda los
conceptos que son la base teórica para la elaboración del material de la unidad didáctica,
haciendo una interpretación de diferentes autores y diferentes trabajos que tratan estos
temas. Para comprender el concepto de fuerza en resortes, es necesario iniciar
definiendo qué es un resorte, cómo funciona, en qué materiales se fabrican, qué
aspectos físicos se deben tener en cuenta para modelar matemáticamente su
comportamiento, bajo qué condiciones un resorte no cumple la ley de Hooke, y cómo las
características geométricas del resorte influyen para utilizarlo en una determinada
aplicación. Estas preguntas se irán respondiendo a medida que se va desarrollando el
presente capítulo.
2.1 Resortes mecánicos
2.1.1 Antecedentes
Prácticamente cualquier pieza fabricada con un material elástico tiene algo de “resorte”
en ella. El término resorte, se refiere a las piezas elaboradas con configuraciones
específicas para brindar un intervalo de fuerza durante una deflexión significativa y/o
almacenar energía potencial. Este elemento hoy en día se encuentra en muchos
mecanismos o máquinas que requieran una determinada aplicación, toda vez que se
necesite para amortiguar cargas, almacenar energía, o utilizarlo como un eslabón con la
capacidad de variar su longitud para generar un impulso o retroceso de un elemento en
un mecanismo.
12 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
El resorte es junto con la palanca y la rueda, uno de los elementos mecánicos más
antiguos de la historia. Fue hasta la aparición del arco y la flecha (4000 y 3000 años
A.C), cuando se empezó a trabajar en un sistema de resorte. Fue ideado por el hombre
quien observó la ventaja de utilizar las plantas como un material que, al ser sometido a
una tensión, logra acumular suficiente energía para impulsar una flecha. Éste elemento
se utilizó como arma para poder cazar, o como un dispositivo de defensa con otras
especies. De tal forma, el arco, que funciona como un resorte, se convirtió en una
herramienta que utilizó las propiedades elásticas de materiales vegetales para la
supervivencia del hombre (Trejo, 2010).
Fue así que durante muchos años se fueron desarrollando diferentes instrumentos que
utilizaban el principio intuitivo del resorte. Se construyeron catapultas, muelles, ballestas,
maquinas lanzadoras, etc. Todos estos instrumentos, que en su mayoría se utilizaban
como armamento, aprovechaban el principio de la elasticidad de los materiales en
diferentes formas. La necesidad de encontrar un mecanismo para determinar el tiempo
en la sociedad europea en el siglo XVII, generó una carrera entre grandes inventores de
la época. Uno de ellos, Christiaan Huygens (1629 – 1695), en 1661, llamó la atención de
los miembros de la Royal Society sobre su nuevo diseño de un reloj basado en un
péndulo. El diseño de Huygens incorporó un péndulo que giraba constantemente y
mantenían por un largo tiempo la medida. Las pruebas, principalmente patrocinadas por
nobles con conexiones navales, mejoraron constantemente su precisión, a tal punto que
parecía prometer una revolución en el diseño del reloj. No obstante, justo después de
que Huygens obtuvo su patente en 1665, el científico inglés Robert Hooke (1635 – 1703)
se opuso a la supuesta novedad. Señaló las fallas en la invención de Huygens, indicando
que la determinación de la medida de tiempo basada en el reloj de péndulo no podía
garantizarse porque todo tipo de movimiento en un barco altera la oscilación del péndulo.
Por el contrario, propuso algún tipo de reloj compacto regulado por un resorte enrollado
en lugar de un péndulo. A pesar de que Hooke pensó en utilizar la energía almacenada
de un resorte cuando se estira para el funcionamiento de un reloj, en 1675 Christiaan
Huygens anunció que había inventado un nuevo reloj compacto utilizando un resorte en
equilibrio (Horibe, 2009).
Capítulo 13
Fue a partir del siglo XVII donde se empieza a utilizar el resorte en espiral como
elemento motor en relojería. Gracias a los aportes de diferentes científicos e ingenieros
de la época, y a los estudios posteriores donde se describen las propiedades elásticas de
los materiales; fue favorecida la comprensión del resorte como un sistema físico, y es la
base del conocimiento para poder modelar el comportamiento del resorte cuando
interactúa con otros elementos en un mecanismo. Es así que, en la actualidad se
encuentran resortes con diferentes materiales, tamaños y formas, de los cuales se
utilizan en diferentes propósitos según la aplicación que se requiera. Todo lo anterior, en
consecuencia a que la Ley de Hooke contribuyó de forma significativa en el avance del
desarrollo de resortes modernos.
2.1.2 Definición y configuración de resortes
Un resorte es una pieza fabricada con una configuración particular que proporciona un
rango de esfuerzo a lo largo de una deflexión significativa y que almacena energía
potencial cuando ha sido comprimido o estirado. Los resortes se diseñan para dar una
fuerza de accionar, tirar o torcer algún elemento, o, para almacenar energía. Además, se
fabrican de alambre redondo o rectangular doblado según una forma adecuada de espira
(Norton, 1999). Existen diferentes tipos de resortes, cada uno de ellos con sus
aplicaciones determinadas. La clasificación puede realizarse desde diferentes
parámetros:
Según la forma del resorte: helicoidal cilíndrico, helicoidal cónico, en espiral,
laminar.
Según la forma de la sección transversal del hilo: circular, cuadrada, rectangular.
Según el tipo de carga que soportan: de compresión, de tracción, de torsión, de
flexión.
Los resortes de compresión son utilizados para soportar esfuerzos de compresión y
choque. De tal manera que cuando son sometidos a una carga, éstos disminuyen su
volumen cuando se aumenta la presión ejercida sobre ellos. Este tipo de resortes se
clasifican como dispositivos de almacenamiento de energía, y se desatacan por ser los
más eficientes. Representan la configuración más común utilizada en el mercado actual,
dada la cantidad de aplicaciones en las que se utilizan (López, 2013).
14 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Figura 2-1: Resorte helicoidal de comprensión sometido a una carga
Fuente: Diseño Mecánico II. Ing. Rafael Antonio Ramírez Restrepo
Los resortes de compresión se encuentran en diferentes formas: resortes helicoidales
cilíndricos, helicoidal cónico y helicoidal bicónico.
El resorte helicoidal cilíndrico de compresión, es un tipo de resorte que está formado por
un hilo de acero de sección redonda, cuadrada u ovalada, enrollado en forma de hélice
cilíndrica a la izquierda o a la derecha, y a su vez con paso uniforme o variable. Los
muelles helicoidales de sección redonda son los que presentan mejores características
debido a que soportan tensiones inferiores a los otros tipos de sección. La diferencia
entre un paso variable o uniforme es que en un resorte con paso uniforme la relación
entre la fuerza ejercida y la deformación es lineal (en teoría), mientras que con un paso
variable esta relación no se cumple (López, 2013).
Figura 2-2: Resorte helicoidal de compresión con alambre: (izquierda a derecha)
redondo, cuadrado y ovalado.
Fuente: En Cálculo de Resortes Helicoidales de Compresión (López, 2013)
Capítulo 15
El resorte cónico de compresión, es un tipo de resorte cuya característica particular está
dada en el paso entre espiras, éste es la consecuencia de que la constante no es
proporcional, es decir, que no cumple con la Ley de Hooke. La fuerza desarrollada para
un determinado desplazamiento es mayor comparado con un resorte cilíndrico de
diámetro igual al medio entre el mayor y el menor, manteniendo invariables las demás
dimensiones. Por razones de espacio disponible o funcionamiento se requiere que frente
a una fuerza determinada, la longitud del resorte resultante sea reducida. El resorte
cónico brinda una solución a este problema. A dicha característica se le denomina
telescópica, ya que si se diseña adecuadamente la altura de bloqueo se minimiza al
diámetro del alambre. En aplicaciones especiales en que el ciclo de trabajo tiene una
frecuencia próxima a la frecuencia natural del resorte, este diseño brinda una solución al
problema de resonancia (López, 2013).
Figura 2-3: Resorte helicoidal cónico
Fuente: En Cálculo de Resortes Helicoidales de Compresión (López, 2013)
El resorte bicónico de compresión, es un tipo de resorte que tiene un comportamiento
como si dos resortes cónicos estuvieran acoplados en serie, pueden tener un
configuración con los diámetros mayores en el medio (tipo barril) o en sus extremos (tipo
reloj de arena). Por lo que, las características funcionales son similares a las de un
resorte cónico y su aplicación se limita a consideraciones de montaje. Una característica
importante de este tipo de resortes es que tienden a minimizar el efecto de resonancia y
de vibraciones (López, 2013).
16 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Figura 2-4: Resorte helicoidal bicónico de compresión: (izquierda a derecha) forma de
barril y de reloj de arena
Fuente: En Cálculo de Resortes Helicoidales de Compresión (López, 2013)
Por otro lado, un resorte helicoidal de torsión está formado por un hilo de acero arrollado
en forma de hélice cilíndrica con dos brazos extremos, los cuales se deforman
angularmente al estar apoyados en los elementos que tienen el giro relativo. Las
diferentes formas que pueden presentar sus extremos son muy variadas, en
consecuencia, habrá que representarlos y acotarlos siguiendo las normas de carácter
general (López, 2013).
Figura 2-5: Resorte helicoidal de torsión simple y doble.
Fuente: En Cálculo de Resortes Helicoidales de Compresión (López, 2013)
Capítulo 17
Por último, el resorte helicoidal cilíndrico de extensión, éste tipo de resorte ejerce una
acción hacia su interior oponiéndose a una fuerza exterior que trata de estirarlo en la
dirección de su eje. En reposo, las espiras de este tipo de resorte están normalmente
juntas, por lo que el paso de las espiras es igual al diámetro del hilo. La mayoría de los
resortes de extensión incorporan una tensión inicial. Dicha tensión es una fuerza interna
que mantiene unidas a las espirales. La magnitud de la tensión inicial es la carga
necesaria para vencer la fuerza interna e iniciar la separación de las espirales. A
diferencia de los resortes de compresión que no tienen ninguna carga aplicada cuando la
deflexión es igual a cero, los resortes de extensión pueden estar sujetos a una carga
aunque la deflexión sea igual a cero. Esta carga incorporada previamente, denominada
tensión inicial, puede ajustarse dentro de ciertos límites y su magnitud se reduce a
medida que el índice del resorte aumenta (López, 2013).
Por su modo de acción, un resorte de tracción debe presentar sus extremos curvados en
forma de gancho, los cuales pueden presentar diversas formas, según la finalidad a que
están destinados. Para el caso particular de las prácticas experimentales de la unidad
didáctica, se escogió un resorte extensión de alambre redondo y con gancho en sus dos
extremos.
Figura 2-6: Resorte de extensión.
Fuente: Machinery Garden. Sitio web https://machinerygarden.com/fella/333-resorte-
regulador.html
18 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
2.1.3 Materiales para resortes
El principio de funcionamiento de los resortes se basa en la propiedad que tienen
algunos materiales de poder sufrir importantes deformaciones elásticas, es decir,
alargamientos temporales mientras actúan ciertos esfuerzos, que luego al cesar la causa
que los origina, desaparecen. Existe una cantidad limitada de materiales y aleaciones
adecuadas para fabricar resortes. El material ideal para un resorte debe tener unas
características físicas y químicas que garanticen un almacenamiento máximo de energía,
ya que con éste tipo de almacenamiento lo pude utilizar el resorte en una gran variedad
aplicaciones.
Con respecto a los materiales que se utilizan para su fabricación, cabe destacar que
tanto los aceros al carbono como los aleados son ampliamente utilizados. La mayoría de
los resortes para trabajo ligero se fabrican con alambre redondo o rectangular formado
en frío. Los resortes para trabajo pesado, como las piezas de la suspensión de automóvil,
se hacen típicamente forjándolos o rolándolos en caliente (Norton, 1999).
El material de los resortes utilizados para las prácticas experimentales de la unidad
didáctica, es el acero SAE 1070. Este tipo de acero se utiliza para fabricar resortes para
aplicaciones tan variadas como colchones, muebles y en forma de muelles, para vehículo
y equipos pesados de suspensión. Este acero es dúctil, lo que significa que se puede
doblar sin romperse y puede ser mecanizado o formado sin agrietarse o perder fuerza.
También es resistente, debe soportar cargas estáticas y cíclicas antes de que ceda a la
ruptura. Es por estas características que se escogió este tipo de material para ser
utilizado en varias aplicaciones, incluyendo en las prácticas para laboratorio de la unidad
didáctica.
2.2 Análisis físico de un sistema masa-resorte helicoidal
En esta sección se realiza un análisis físico y matemático de un resorte que corresponde
a la relación proporcional que se obtiene entre la fuerza y la elongación bajo la Ley de
Hooke. Así mismo, se pretende examinar aspectos físicos del resorte que van más allá
del enfoque clásico que se maneja en el currículo de la asignatura de física en la
educación media, aspectos como: el diámetro, el calibre de alambre, el número de
espiras y el material del resorte. Características geométricas del resorte que difieren del
Capítulo 19
modelo ideal, el cual solo contempla la relación entre la fuerza y la elongación del
resorte. Por otra parte, con este estudio se posibilita modelar matemáticamente el
comportamiento de resortes con diferentes diámetros, longitudes, materiales, etc. A fin de
que se incluya este tipo de temáticas cuando se aborde la Ley de Hooke en la educación
de media en ciencias y el estudiante pueda diferenciar en el estudio de resortes, de un
modelo ideal a uno real, e infiera que su comportamiento en la realidad es “muy no
lineal”.
2.2.1 Movimiento armónico simple en resortes
El estudio del comportamiento de un resorte cuando ha sido sometido a una fuerza que
genera cambio en su dimensión, se puede describir básicamente utilizando la Ley de
Hooke, la cual establece que “la fuerza que devuelve un resorte a su posición de
equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posición”
(Timoshenko, History of Strength of Materials, 1953). Esta relación contempla un
comportamiento lineal entre fuerza aplicada a un resorte y el desplazamiento obtenido
por el cambio de la longitud del resorte en acción de la fuerza.
Para poder ejemplificar esta relación, es necesario analizar un sistema compuesto por un
resorte helicoidal, un bloque, pared donde se sujeta el resorte y una superficie donde se
desliza el bloque (Figura 2-7). Esta configuración corresponde a un sistema masa-
resorte. Su composición está restringida por las siguientes características: una pared
rígida y fija en el espacio, un bloque de masa uniforme que solo está sometido a la
acción recuperadora producida por el resorte, una superficie donde se desliza el bloque
sin fricción y un resorte helicoidal con masa despreciable comparada con la masa del
bloque, donde no existen fricciones internas o externas en el resorte que produzcan
acciones disipativas .
Por otro lado, es necesario analizar el movimiento repetitivo realizado por el bloque
cuando es deslizado por medio de la acción del resorte sobre éste, como un movimiento
armónico simple. El término armónico se aplica en general a las expresiones que
contienen términos con las funciones seno y coseno.
20 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Figura 2-7: Sistema masa-resorte.
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
Para que un bloque realice un movimiento oscilatorio armónico simple debe estar
sometida solo a la acción de una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento. Si
la constante de rigidez elástica del resorte es K y el desplazamiento X del bloque se mide
a partir de la posición en equilibrio, es decir, el punto en el cual no se encuentra
comprimido ni estirado el resorte. La fuerza restauradora que ejerce el resorte sobre el
bloque es:
𝐹 = −𝑘𝑥
(2-1)
Aplicando la ley de Newton se obtendrá la ecuación diferencial del movimiento del
oscilador armónico simple. Igualando la ley de Hooke con la segunda ley Newton en una
dimensión se tiene:
𝑚�̈� = −𝑘𝑥
(2-2)
𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0
(2-3)
Capítulo 21
�̈� + 𝑘
𝑚𝑥 = 0
(2-4)
Como m y k son cantidades constantes características del sistema en este caso
particular del oscilador masa-resorte y teniendo en cuenta que en la ecuación diferencial
aparece el cociente entre ellas (k/m), podemos definir una nueva cantidad constante:
𝜔𝑜2 =
𝑘
𝑚
(2-5)
La definición de la ecuación (2-5) correspondiente a la velocidad angular ω, se puede
reemplazar en la ecuación (2-4) y reescribir con una sola constante, es decir:
�̈� + 𝜔𝑜2𝑥 = 0
(2-6)
La ecuación (2-6) corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
lineal con coeficientes constantes. Para el caso particular del oscilador armónico simple,
se considera:
�̈� = −𝜔𝑜2𝑥
(2-7)
Considerando que la aceleración se puede expresar por medio de derivadas de la
siguiente manera:
�̈� = 𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑥 𝑣
(2-8)
Sustituyendo la ecuación (2-8) en la (2-7), se tiene:
𝑑𝑣
𝑑𝑥 𝑣 = −𝜔𝑜
2𝑥
(2-9)
Separando las variables e integrando, se llega a:
∫ 𝑣𝑣
𝑣𝑜
𝑑𝑣 = −𝜔𝑜2 ∫ 𝑥
𝑥
𝑥𝑜
𝑑𝑥
(2-10)
22 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
1
2(𝑣2 − 𝑣𝑜
2) = −𝜔𝑜2
1
2(𝑥2 − 𝑥𝑜
2)
(2-11)
Considerando que en: t=0: x=x0 y v=v0. Despejando la velocidad de la ecuación (2-11),
se tiene:
𝑣2 = 𝜔𝑜2 (𝑥𝑜
2 +𝑣𝑜
2
𝜔𝑜2 − 𝑥2)
(2-12)
Definiendo que:
𝐴2 = 𝑥𝑜2 +
𝑣𝑜2
𝜔𝑜2
(2-13)
Sustituyendo la ecuación (2-13) en (2-12), se llega a:
𝑣2 = 𝜔𝑜2 (𝐴2 − 𝑥2)
(2-14)
Con la ecuación (2-14), se tiene que la velocidad se puede expresar en función de la
posición (v=f(x)). Volviendo a reescribir la ecuación (2-14).
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝜔𝑜 (𝐴2 − 𝑥2)
12
(2-15)
Volviendo a separar las variables e integrar en la ecuación (2-15), se tiene:
∫𝑑𝑥
(𝐴2 − 𝑥2)12
𝑥
𝑥𝑜
= 𝜔𝑜 ∫ 𝑑𝑡𝑡
0
(2-16)
∫𝑑𝑥
(𝐴2 − 𝑥2)12
𝑥
𝑥𝑜
= 𝜔𝑜𝑡
(2-17)
Considerando un cambio de variable en la ecuación (2-17), es decir:
Capítulo 23
𝑥 = 𝐴 sin 𝜃
(2-18)
𝑑𝑥 = 𝐴 cos 𝜃 𝑑𝜃
(2-19)
Con límites de integración t=0: x=x0 y v=v0
𝜃 = sin−1 (𝑥
𝐴)
(2-20)
𝜃𝑜 = sin−1 (𝑥𝑜
𝐴)
(2-21)
Sustituyendo las ecuaciones (2-18) y (2-21) en (2-17), se tiene:
∫𝐴 cos 𝜃 𝑑𝜃
(𝐴2 − 𝐴2 sin 𝜃2)12
𝜃
𝜃𝑜
= 𝜔𝑜𝑡
(2-22)
∫𝐴 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝐴 (1 − sin 𝜃2)12
𝜃
𝜃𝑜
= ∫cos 𝜃 𝑑𝜃
cos 𝜃
𝜃
𝜃𝑜
= 𝜃 − 𝜃𝑜 = 𝜔𝑜𝑡
(2-23)
𝜃 = 𝜔𝑜𝑡 + 𝜃𝑜
(2-24)
Finalmente sustituyendo la ecuación (2-24) en (2-18), se llega a:
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑜𝑡 + 𝜃𝑜)
(2-25)
𝑥 = 𝐴 sin (√𝑘
𝑚𝑡 + 𝜃𝑜)
(2-26)
Las cantidades A y θ0 depende de las condiciones iniciales como: la posición inicial x0 y
la velocidad inicial v0. Se puede decir que la energía cinética y potencial que se presenta
24 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
en el oscilador y la fuerza ejercida por el resorte, es conservativa. La energía mecánica
total (potencial más cinética) se conserva durante todo el movimiento (Domínguez, 2015).
2.2.2 Concepto de esfuerzo
Se define esfuerzo, como la fuerza por unidad de superficie que soporta o se aplica sobre
un cuerpo, es decir es la relación entre la fuerza aplicada y la superficie en la cual se
aplica (Ecuación 2-27). Una fuerza aplicada a un cuerpo no genera el mismo esfuerzo
sobre cada una de las superficies del cuerpo, pues al variar la superficie varia la relación
fuerza - superficie, lo que comprende el esfuerzo (ver Figura 2-8).
Figura 2-8: Esfuerzo en un cuerpo.
Fuente: En https://www.slideshare.net/YhanPaul/presentacin-comportamiento-mecnico/4
𝜎 =𝐹
𝐴
(2-27)
Donde, F es la fuerza y A el área. Las unidades de esfuerzo se definen como la unidad
de fuerza en cada sistema dividida por la unidad de superficie:
En el sistema internacional, la unidad fundamental es el Pascal (Pa):
1 pascal = 1 newton / m²
Esta unidad también es demasiado pequeña por lo que generalmente se utilizan sus
múltiplos megapascal y gigapascal:
Capítulo 25
1 Mpa = 106 Pa.
1 Gpa = 109 Pa
2.2.3 Propiedades elásticas en torsión de alambres
Para poder describir el comportamiento elástico del resorte cuando es sometido a
esfuerzos, específicamente en lo que acontece en el alambre en el que está compuesto
el resorte, es necesario determinar la distribución de las deformaciones a cortante en un
eje de sección circular, de longitud L y radio c, que ha sido girado en un ángulo ϑ (ver
Figura 2-9) por la acción de una torsión. La deformación aparente del eje de radio r, se
describe a través de esfuerzo cortante 𝛾 que debe ser igual al ángulo ente las líneas AB y
A´B (con 𝛾 en radianes). En la Figura 2-9 se observa que, para valores pequeños de 𝛾,
puede expresarse la longitud de arco AA´ como AA´=Ly. Pero, por otra parte, se tiene
que AA´=rϑ. Se deduce que:
𝑟𝜗 = 𝐿𝛾
(2-28)
𝛾 =𝐿
𝑟𝜗
(2-29)
Figura 2-9: Deformación unitaria cortante
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
26 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Donde γ y ϑ están expresados en radianes. La ecuación (2-29) muestra cómo podría
haberse anticipado, que la deformación a cortante en un punto dado del eje en torsión es
proporcional al ángulo de giro AA´=r. También muestra que “γ” es proporcional a la
distancia "r" desde el eje de la barra hasta el punto bajo considerado. Por lo tanto, la
deformación unitaria a corte en una barra circular varía linealmente con la distancia
desde el eje de la barra. Se deduce de la ecuación (2-29) que expresa la deformación a
cortante es máxima en las superficie del eje, donde r=c. Se tiene:
𝛾𝑚á𝑥 =𝑐𝜗
𝐿
(2-30)
Combinando las ecuaciones (2-29) y (2-30), puede expresarse la deformación a cortante
"y" a una distancia "r" del eje de la fleche como:
𝛾 =𝑟
𝑐 𝛾𝑚á𝑥
(2-31)
2.2.4 Esfuerzos en el rango elástico en materiales
Considerar el caso en el que el par torsión M es tal que todos los esfuerzos cortantes en
el eje se encuentran por debajo de la resistencia a la cedencia σ, esto significa que los
esfuerzos en el eje permanecerán por debajo del límite elástico. Por lo tanto, se aplicará
la ley de Hooke y no habrá deformación permanente. Aplicando la ley de Hooke para el
esfuerzo y la deformación a cortante, se escribe:
𝜏 = 𝐺𝛾
(2-32)
Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Multiplicando ambos
miembros de la ecuación (2-31) por G se escribe:
𝐺𝛾 = 𝑟
𝑐 𝐺 𝛾𝑚á𝑥
(2-33)
Capítulo 27
O, considerando la ecuación (2-32), se llega a que la ecuación (2-33), se puede expresar
como:
𝜏 = 𝑟
𝑐 𝜏𝑚á𝑥
(2-34)
La ecuación (2-34), muestra que, mientras la resistencia a la cedencia (o el límite de
proporcionalidad) no sea excedida en ninguna parte de la barra circular, el esfuerzo
cortante en la barra varía linealmente con la distancia "r" desde el eje de la barra. La
magnitud del par torsión M ejercido sobre el eje:
𝑀 = ∫ 𝑟(𝜏 𝑑𝐴)
(2-35)
Con dF=rdA. Sustituyendo la ecuación (2-32) en la ecuación (2-35), se llega a:
𝑀 = ∫ 𝑟 (𝑟
𝑐 𝜏𝑚á𝑥 𝑑𝐴) =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐∫ 𝑟2 𝑑𝐴
(2-36)
La integral en el último miembro representa el momento polar de inercia 𝐽 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 de
la sección transversal con respecto a su centro O. Se tiene entonces que:
𝑀 =𝜏𝑚á𝑥
𝑐 𝐽
(2-37)
Donde el esfuerzo cortante máximo se puede expresar como:
𝜏𝑚á𝑥 =𝑀𝑐
𝐽
(2-38)
Finalmente sustituyendo la ecuación (2-38) en la ecuación (2-34), se expresa el momento
cortante a cualquier distancia "r" del eje de la flecha como:
𝜏 = 𝑟
𝑐 𝑀𝑐
𝐽=
𝑀𝑟
𝐽
(2-39)
28 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
2.2.5 Esfuerzos en resortes helicoidales
La Figura 2-10 representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la
acción de una fuerza axial F.
Figura 2-10: Resorte helicoidal de espiras cerradas.
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
El resorte está formado por un alambre redondo de diámetro "r" enrollado en forma de
hélice de radio medio R. La pendiente de esta hélice es pequeña, de manera que se
puede considerar con bastante aproximación que cada espira está situada en un plano
perpendicular al eje del resorte. Para determinar los esfuerzos producidos por F se debe
hacer un corte en el resorte por medio de una sección de exploración para determinar las
fuerzas internas y analizar la distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas. La
Figura 2-11 representa el diagrama de cuerpo libre de la porción superior del resorte.
Para que exista equilibrio en la dirección axial del alambre, las fuerzas deben ser
iguales, tanto de la parte de la sección suprimida como de la parte analizada. Además, el
equilibrio de fuerzas horizontales también se cumple, ya que la fuerza F externa no tiene
componente en esta dirección (Serna & Joshi, 2011). Para el equilibrio de momentos,
como las fuerzas externas son opuestas y paralelas, producen un par M=FR, en la
sección debe existir otro par resistente M=FR igual y opuesto al anterior, originado por un
esfuerzo a cortante de torsión, distribuido en la sección de corte (Domínguez, 2015).
Capítulo 29
Figura 2-11: Diagrama de cuerpo libre.
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
En la Figura 2-11, se presenta la distribución de esfuerzos que producen estas fuerzas
internas en la sección de corte. Observamos dos tipos de esfuerzo cortante: un esfuerzo
cortante ( 𝜏𝑓 ) uniformemente distribuido, producido por la fuerza externa F que pasa por
el centro de gravedad del resorte, y un esfuerzo cortante variable producido por el par
torsor ( 𝜏𝑀 ) determinado en la ecuación (2-39). Este último varía en magnitud con la
distancia al centro, como en dirección ya que es perpendicular al radio en cada punto. El
esfuerzo resultante en cada punto es la suma de 𝜏𝑓 y 𝜏𝑀 (ver Figura 2-12).
30 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Figura 2-12: La suma de dos distribuciones son equivalentes a un campo torsional descentrado.
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
En resumen, el esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el punto de la sección más
próximo al eje del resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo:
𝜏 = 𝜏𝐹 + 𝜏𝑀 =𝐹
𝐴+
𝑀𝑟
𝐽
(2-40)
Donde,
𝜏𝐹 = 𝐹
𝐴=
4 𝐹
𝜋𝑑2
(2-41)
𝜏𝑀 = 𝑀𝑟
𝐽=
𝐹𝐷𝑟2⁄
𝜋𝑑4
32⁄=
16𝐹𝐷𝑟
𝜋𝑑4=
16𝐹𝐷𝑟
2𝜋𝑑3𝑟=
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3
(2-42)
Sustituyendo las ecuaciones (2-41) y (2-42) en la ecuación (2-40), se tiene:
𝜏 = 𝜏𝐹 + 𝜏𝑀 =4 𝐹
𝜋𝑑2+
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3= (
𝑑
2𝐷+ 1)
8𝐹𝐷
𝜋𝑑3
(2-43)
Capítulo 31
2.2.6 Deformación en resortes helicoidales y el efecto en la curvatura
Prácticamente toda la elongación de un resorte según el eje se debe a la torsión del
alambre. En la Figura 2-13, se presenta la deformación de un resorte helicoidal.
Figura 2-13: Deformación de un resorte helicoidal.
Fuente: En análisis del sistema masa-resorte helicoidal (Domínguez, 2015)
De la Figura 2-13, se tiene:
𝛾 𝑑𝑥 = 𝑑
2(𝑑𝜗)
(2-44)
Donde
𝑑𝜗 = 2𝛾
𝑑𝑑𝑥
(2-45)
Por otro lado, se tiene que el arco "dy" se puede expresar como:
𝑑𝑦 = 𝐷
2𝑑𝜗
(2-46)
Sustituyendo la ecuación (2-45) en (2-46), se llega:
32 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
𝑑𝑦 = 𝐷
2(
2𝛾
𝑑𝑑𝑥) =
𝛾𝐷
𝑑𝑑𝑥
(2-47)
La elongación total es la suma de todas las contribuciones "dy":
∫ 𝑑𝑦𝑦
𝑦𝑜
=𝛾𝐷
𝑑∫ 𝑑𝑥
𝐿
𝑜
(2-48)
Donde L=NπD es la longitud del resorte. Por lo que la ecuación (2-48), escribe como:
∆𝑦 = 𝛾𝐷
𝑑𝑁𝜋𝐷
(2-49)
Además, de la ecuación (2-32) se tiene:
𝛾 =𝜏𝑀
𝐺
(2-50)
Sustituyendo las ecuaciones (2-42) y (2-50) en la ecuación (2-49), se tiene:
∆𝑦 = 𝐷
𝑑
𝜏𝑀
𝐺𝑁𝜋𝐷 =
𝐷
𝑑
8𝐹𝐷
𝐺𝜋𝑑3𝑁𝜋𝐷 =
8𝐹𝐷3𝑁
𝑑4𝐺
(2-51)
Y la constante elástica o rigidez del resorte helicoidal resulta en:
𝑘 =𝐹
∆𝑦=
𝑑4𝐺
8𝐷3𝑁
(2-52)
Finalmente sustituyendo la ecuación (2-52) en (2-26), se llega a una expresión que
considera las dimensiones del resorte y el módulo de corte del material, es decir:
𝑥 = 𝐴 sin (√𝑑4𝐺
8𝐷3𝑚𝑁𝑡 + 𝜃𝑜)
(2-53)
Capítulo 33
2.3 Resortes no lineales
La mayoría de los resortes que se utilizan en sistemas prácticos presentan una relación
fuerza – deflexión no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes (Rao,
2012). En el análisis de vibración comúnmente se utilizan resortes no lineales cuyas
relaciones de fuerza-deflexión están dadas por:
𝐹 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥3, a > 0
(2-54)
En la ecuación (2-54), 𝑎 indica la constante asociada con la parte lineal y 𝑏 indica la
constante asociada con la de no linealidad (cúbica). Se dice que el resorte es duro si
𝑏 > 0, lineal si 𝑏 = 0, y suave si 𝑏 < 0. En la figura 2-14 se muestran las relaciones de
fuerza-deflexión correspondientes a varios valores de 𝑏.
Figura 2-14: Resortes no lineales y lineales.
Fuente: En vibraciones mecánicas (Rao, 2012)
34 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Los resortes reales son no lineales y obedecen a la ecuación (2-1) sólo hasta
determinada deformación. Más allá de un cierto valor de deformación (después del punto
A en la figura 2-15), el esfuerzo excede el punto cedente o de deformación del material y
la relación entre fuerza y deformación se hace no lineal (Christensen, 2004).
Figura 2-15: Resortes no lineales y lineales.
Fuente: En vibraciones mecánicas (Rao, 2012)
Además del comportamiento no lineal en el caso de deformaciones grandes en resortes,
también se presenta que en condiciones de bajas cargas y elongaciones, la respuesta
del resorte no obedece la Ley de Hooke. En la figura 2-16 se muestran que para valores
de carga muy pequeños en la curva de fuerza- deformación, es decir la gráfica de una
función F = F(x) determinada estadísticamente, se puede ver que el comportamiento del
resorte dista de ser el ideal para todo el rango de elongaciones, especialmente cuando
los valores de carga son muy pequeños. Este tipo de comportamiento, de acuerdo al
estudio realizado por (Matar, Parodi, & Repetto, 2018), tiene como condición de que no
exista la influencia del amortiguamiento viscoso del medio donde se realice el
experimento, y los efectos causados por la masa del resorte sean despreciables (Triana,
2013).
Capítulo 35
Figura 2-16: Curva de carga de un resorte.
Fuente: En Modelización lineal de un sistema masa-resorte real (Matar, Parodi, &
Repetto, 2018)
En efecto, el comportamiento entre la fuerza y la deformación en resortes reales, no es
del todo lineal. En la práctica es casi lineal, pero no en cada extremo de la curva fuerza –
deflexión. Ya que los primeros y últimos porcentajes de su deflexión sufren una tasa no
lineal. Solo entre el 15% y 85% de la deflexión total del resorte tiene un comportamiento
lineal (Norton, 1999). La fuerza del resorte no se puede reproducir para deflexiones muy
pequeñas, y cerca de la fuerza de cierre comienza el comportamiento no lineal a medida
que el número de espiras activas disminuye y éstas empiezan a hacer contacto entre sí.
Por tanto, existen otro tipo de variables que no se toman en cuenta en el modelo de
Hooke, que inciden en el comportamiento de la relación fuerza-desplazamiento en un
resorte helicoidal real.
3. Capítulo. Propuesta didáctica
3.1 Antecedentes
En la búsqueda por encontrar una buena propuesta pedagógica se hizo una revisión
bibliográfica de trabajos donde se haya tratado temas relacionado con el modelamiento
matemático de sistema masa-resortes y su enseñanza en la educación media escolar.
Del material estudiado se encontró que este tipo de estudio, en su mayoría, se realiza a
nivel universitario, en especial en los cursos de física en los primeros semestres de
pregrados en ciencias exactas, física e ingenierías. A continuación se describe los textos
citados que sirvieron como insumo para la construcción del material de la unidad
didáctica.
En Cálculo De Resortes Helicoidales De Compresión, de Enrique Martínez López.
Es un trabajo de grado a nivel de pregrado en ingeniería mecánica, de la
Universidad Politécnica de Cartagena, donde el autor hace énfasis en realizar
una comparación entre los diferentes autores de la bibliografía utilizada en su
trabajo de grado, indicando las diferencias y similitudes, en el diseño y fabricación
de resortes helicoidales de compresión con alambre de sección circular. Y el
objetivo de este proyecto es proporcionar una hoja de cálculo para agilizar los
procedimientos de diseño y comprobación de resortes helicoidales de compresión
de alambre redondo (López, 2013).
En El Laboratorio De La Ley De Hooke Como Escenario Para La Resignificación
De La Función Lineal, de Carlos Eduardo León y su grupo del Semillero de
investigación Mathema, de la Universidad La Gran Colombia. Este trabajo, de
acuerdo con el autor, se constituye como una experiencia en el campo de la
matemática educativa, que busca la resignificación del concepto de función lineal.
Se abordan diferentes temáticas como modelación, función lineal y ley de Hooke;
38 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
a partir de la experiencia con un sistema masa-resorte que evidencia la relación
directa entre conceptos matemáticos generados de un proceso experimental
físico (León & Sáchica, 2014).
En Enseñanza de la Ley de Hooke a partir de la deformación en rocas, asistido
con laboratorio convencional-virtual, de Wilmar Francisco Ramos Castiblanco. Es
un trabajo de grado a nivel de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y
Naturales, de la Universidad Nacional de Colombia. Donde el autor tiene como
objetivo fortalecer la metodología experimental de los docentes a partir del diseño
de un Laboratorio Convencional-Virtual compuesto de cuatro prácticas
experimentales, estas prácticas describen el fundamento de la Ley de Hooke en
la teoría de la elasticidad mediante la teoría de la deformación en las rocas
(Ramos Castiblanco, 2013).
En Experimental study of simple harmonic motion of a spring-mass system as a
function of spring diameter, de Carlos Triana y Fabio Fajardo, es un trabajo
realizado por docentes del departamento de física de la Universidad Nacional de
Colombia. Donde los autores realizan un estudio del movimiento armónico simple
de un sistema de masa -resorte, y evidencia que el resorte generalmente exhibe
un comportamiento fuertemente influenciado por sus parámetros geométricos. En
este trabajo, estudiaron el comportamiento oscilatorio de un sistema de masa de
resorte, considerando la influencia de variar el diámetro de resorte promedio Φ en
la constante elástica k, la frecuencia angular, el factor de amortiguamiento, y la
dinámica de las oscilaciones (Triana, 2013).
En Análisis del sistema masa-resorte helicoidal, de Martín Ortiz Domínguez, es un
trabajo realizado por un docente de la Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo. Donde el autor presenta un análisis teórico sobre como la constante del
resorte (k) en función del diámetro del resorte (D), diámetro de la espira del
resorte (d), número de espiras del resorte (N) y el módulo de corte del material
(G); afecta la dinámica del sistema (Domínguez, 2015).
Capítulo 3 39
En Modelización lineal de un sistema masa-resorte real, de Maricel Matar y
Miguel A. Parod, es un trabajo realizado a través de un análisis de la respuesta
estática del resorte a la carga revela que no obedece la ley de Hooke e impide
definir una única constante elástica k en cualquier condición de carga. Concluye
que los fenómenos disipativos son insignificantes comparados con la elasticidad y
la inercia del sistema estudiado. Este problema y su solución muestran la
necesidad de discutir en las aulas la modelización de este fenómeno físico (Matar,
Parodi, & Repetto, 2018).
3.2 Perfil de la institución y del estudiante
3.2.1 Perfil de la institución
El Colegio Externado Nacional Camilo Torres, a través de sus actividades, busca formar
personas íntegras dentro de los lineamientos de la nueva democracia, educando en
valores y creando conductas que faciliten y permitan la convivencia. Por ser las personas
seres sociales por excelencia, se desarrollan pautas de convivencia acordes con la
necesidad actual, donde los estudiantes tengan una formación integral, que redunde en
una sana convivencia, mediante la vivencia y la formación en valores como la
autoestima, el respeto, la tolerancia, el amor, la paz y demás valores esenciales para
tener una sociedad cada vez mejor.
A través del currículo se implementa año tras año la permeabilidad cultural, para que los
estudiantes se vayan apropiando de una manera crítica de los diferentes aspectos
culturales que la sociedad ha ido formando en el transcurso de su historia y a su vez
puedan conocer rasgos de otras culturas y compararlos con la propia, para ir
perfeccionándola en beneficio de nuestra sociedad.
Se promueve la adquisición de conocimientos, destrezas, valores y habilidades en busca
de una inteligente madurez individual y social, buscando la formación de líderes con gran
capacidad crítica, reflexiva y analítica.
40 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Se desarrollan habilidades para las disciplinas científicas como el análisis, la síntesis, la
observación, la experimentación, la crítica, la deducción y la comparación; con el fin de
que los estudiantes participen en la solución de problemas.
Se capacita a la comunidad estudiantil para el debate de ideas, para que en un futuro
pueda participar en el funcionamiento y desarrollo de las estructuras sociales, políticas y
económicas.
3.2.2 Perfil del estudiante
El estudiante del Externado Nacional Camilo Torres I.E.D., se reconoce desde cuatro
pilares: el SER, como persona respetuosa, crítica y propositiva, de pensamiento abierto y
sensible ante las realidades y problemáticas de su entorno, que asume
responsablemente las consecuencias derivadas de sus acciones y que expresa sus
potencialidades a través de las diferentes manifestaciones artísticas y culturales; el VIVIR
EN COMUNIDAD, como ser humano que tiene capacidades ciudadanas esenciales,
entendidas como aquellos conocimientos, actitudes, habilidades, motivaciones y
prácticas, que realizan los sujetos de las comunidades educativas, para reflexionar,
hacer, ser, estar, conocerse y reconocer su contexto, para imaginar su transformación y
actuar con otros para transformarlo; el CONOCER, como persona que tiene capacidad
de observación, investigación y creatividad, que aprovecha el conocimiento que adquiere
para alcanzar su proyecto de vida mediante procedimientos, estrategias, técnicas,
habilidades, destrezas y métodos que le permiten aprender; en el HACER, como persona
crítica y creativa para afrontar los retos que la sociedad le impone y demuestra
permanentemente su sentido de superación, que reconoce los valores que se forjan
desde las ideas que identifican a Camilo Torres Tenorio como líder político-social, y que
muestra dominios científicos y tecnológicos que caracterizan su formación académica.
3.3 Metodología
El proceso de aprendizaje y experimentación de los conceptos en esta propuesta
didáctica se desarrolló de la siguiente manera:
Capítulo 3 41
1. Se aplicó un instrumento de medición (Pre-test- Post-test), que se adjunta en el
anexo A de este trabajo. El test consta de 17 preguntas, 14 de selección múltiple
con 4 opciones de respuesta, y 3 preguntas abiertas: 10 de estas preguntas
fueron construidas por el autor y 4 fueron tomadas del examen de estado ICFES.
2. Se desarrollaron las temáticas relacionadas con el resorte (características, tipos
de resorte y materiales en que están fabricados), en una sesión de 120 minutos,
descrita en el anexo B. Durante esta sesión se realizó una presentación con la
herramienta “PowerPoint” y videos tomados de YouTube sobre los temas tratados
para complementar la información.
3. Se hicieron cuatro (4) prácticas de laboratorio, cada práctica con una duración
dos sesiones de 120 minutos. En la primera práctica se trabajó la Ley de Hooke, y
en las siguientes tres practicas se medían la fuerza y deformación de cinco tipos
de resortes, cada quíntuple de resortes tiene características similares excepto la
que es objeto de estudio, es decir, cinco resortes del mismo: material, longitud y
calibre de alambre; pero de diferentes diámetros. De estos tres tipos de juegos de
cinco (5) resortes se tiene: un juego variando el diámetro del resorte, un juego
variando el número de espiras o longitud, y un juego variando el calibre del
alambre. De tal manera, los estudiantes obtuvieron datos suficientes para
encontrar la relación que existe entre la constante y sus parámetros geométricos.
Además, infirieron como estos parámetros geométricos del resorte influyen en su
comportamiento cuando es sometido a una carga.
4. Al cabo de diez sesiones de trabajo, se aplicó el mismo instrumento de
medición como post-test.
5. Se analizaron los resultados del pre-test y del post-test para inferir conclusiones
frente a la propuesta didáctica, y se hizo la retroalimentación con los estudiantes
evaluados.
3.4 Unidad didáctica
El diseño de la propuesta se realizó en once (11) diferentes sesiones de 2 horas de clase
cada una, para un total de 22 horas de clase.
42 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
3.4.1 Sesión 1. Prueba diagnóstica (Pre-test)
En la primera sesión se aplicó un pre-test con el fin de detectar las ideas previas que
manejan los estudiantes acerca de Ley de Hooke (Figura 3-1), proporciones, resortes y
sus aplicaciones de acuerdo a sus características geométricas. El test contiene un total
de 17 preguntas, de las cuales 14 son de selección múltiple y 3 preguntas abiertas. Las
preguntas de selección múltiple tienen cuatro opciones con única respuesta. Las
respuestas de las preguntas abiertas para ser valoradas como correctas o no, deben
cumplir con un check list o rubrica, el cual contiene una serie de requisitos mínimos para
evaluar el nivel de cumplimiento del objetivo de la pregunta.
Figura 3-1: Estudiantes presentando el Pres- test
Fuente: Autor
Capítulo 3 43
3.4.2 Sesión 2. Actividad resortes
El objetivo de esta actividad era mostrar las características de los resortes, los tipos de
resortes, materiales en que están fabricados y usos de resortes en la industria. Se
utilizaron recursos como: Tablero y marcadores, Video beam, Resortes. Se expuso qué
es un resorte, características de los resortes, materiales en que están hechos los
resortes y usos de los resortes en la industria. Y se realizó una actividad donde el
estudiante identificó las características de los resortes como: identificar su diámetro
externo, el calibre del alambre, las espiras del resorte, longitud y el tipo de resorte.
Figura 3-2: Estudiantes realizando la actividad sobre características de los resortes.
Fuente: Autor
44 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
3.4.3 Sesión 3 y 4. Actividad: Ley de Hooke
El objetivo de esta práctica consistió en que los estudiantes formularan empíricamente la
Ley de Hooke por medio de una práctica de laboratorio. Se explicó a los estudiantes
previamente lo que se iba a realizar en la práctica de laboratorio, al igual que los
materiales que se utilizaron y cuáles debían tener los estudiantes, como también los que
la institución dotó (ver anexo B). En esta práctica los estudiantes encontraron la relación
entre la fuerza de un resorte y su estiramiento (ver Figura 3-3). Además, determinaron la
constante elástica (K) del resorte por medio de una gráfica representada con los datos
recolectados en el experimento. La conclusión que encontraron fue que los resortes
utilizados en el experimento tuvieron un comportamiento lineal, es decir, la gráfica
realizada se asocia con una función lineal y la pendiente de ésta recta corresponde a la
constante elástica (K) del resorte del experimento (ver Figura 3-4).
Figura 3-3: Montaje experimental
Fuente: Autor
Capítulo 3 45
Figura 3-4: Análisis y modelamiento del sistema masa-resorte comprobando la Ley de
Hooke por parte de los estudiantes.
Fuente: Autor
3.4.4 Sesión 5 y 6. Actividad: Fuerza en función del diámetro en
resortes.
El objetivo es que los estudiantes formulen empíricamente la relación que hay entre la
fuerza y el diámetro del resorte, por medio de una práctica de laboratorio. Se explicó a
los estudiantes previamente lo que se iba a realizar en la práctica de laboratorio, al igual
que los materiales que se utilizaron y cuáles debían tener los estudiantes, como también
los que la institución dotó (ver anexo B). En esta práctica los estudiantes encontraron la
relación entre la fuerza de resortes y sus estiramientos, cada uno de los resortes tienen
la misma longitud, calibre de alambre y material; pero diferentes diámetros: ø8mm,
ø10mm, ø12mm, ø14mm y ø16mm (ver Figura 3-5). Además, se determinaron las
constantes elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) para los cinco resortes por medio de gráficas
modeladas en el paquete Excel utilizando los datos recolectados en el experimento.
Luego, se relacionaron los valores de las constantes elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) con
los diámetros de los resortes (ø1, ø2, ø3, ø4 y ø5) y obtuvieron una gráfica que describe
una función potencial inversa. La conclusión a la que llegaron fue que los resortes con
46 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
diámetros más grandes tienen estiramientos mayores utilizando valores de carga bajas
en contraposición con resortes de diámetros pequeños que solo estiran
significativamente cuando son sometidos a grandes cargas, es decir, la gráfica
encontrada se asocia con una función potencial inversa y para encontrar la constantes, y
en especial el exponente, es necesario realizar una linealización por medio de logaritmos
(ver Figura 3-6). Los cuatro grupos de trabajo experimental lograron obtener valores muy
cercanos al teórico ( 𝐹 ≈ ø−3 ).
Figura 3-5: Montaje experimental variando los diámetros de los resortes
Fuente: Autor
Capítulo 3 47
Figura 3-6: Graficas del comportamiento del resorte y trabajo realizado con herramientas
informáticas
Fuente: Autor
3.4.5 Sesión 7 y 8. Actividad: Fuerza en función del número de
espiras del resorte.
El objetivo es que los estudiantes formulen empíricamente la relación que hay entre la
fuerza y el número de espiras del resorte, por medio de una práctica de laboratorio. Se
explicó a los estudiantes previamente lo que se iba a realizar en la práctica de
laboratorio, al igual que los materiales que se utilizaron y cuáles debían tener los
estudiantes, como también los que la institución dotó (ver anexo B). En esta práctica los
estudiantes encontraron la relación entre la fuerza de resortes y sus estiramientos, cada
uno de los resortes tienen el mismo diámetro, calibre de alambre y material; pero
diferentes longitudes: Lo= 20mm, 30mm, 40mm, 50mm, 60mm. Además, se
determinaron las constantes elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) para los cinco resortes por
48 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
medio de gráficas modeladas en el paquete Excel utilizando los datos recolectados en el
experimento (ver Figura 3-7). Luego, se relacionaron los valores de las constantes
elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) con los números de espiras de los resortes (N1, N2, N3,
N4 y N5) y obtuvieron una gráfica que describe una función potencial inversa. La
conclusión a la que llegaron fue que los resortes con mayores números de espiras tienen
estiramientos mayores utilizando valores de carga bajas en contraposición con resortes
con menor números de espiras que solo se estiran significativamente cuando son
sometidos a grandes cargas, es decir, la gráfica encontrada se asocia con una función
potencial inversa y para encontrar la constantes, en especial el exponente, es necesario
realizar una linealización por medio de logaritmos (ver Figura 3-8). Los cuatro grupos de
trabajo experimental lograron obtener valores muy cercanos al teórico ( 𝐹 ≈ 𝑁−1 ).
Figura 3-7: Montaje experimental en fuerza en función del número de espiras
Fuente: Autor
Capítulo 3 49
Figura 3-8: Estudiantes analizando los datos en el computador
Fuente: Autor
3.4.6 Sesión 9 y 10. Actividad: Fuerza en función del calibre de
alambre del resorte.
El objetivo es que los estudiantes formulen empíricamente la relación que hay entre la
fuerza y el calibre de alambre del resorte, por medio de una práctica de laboratorio. Se
explicó a los estudiantes previamente lo que se iba a realizar en la práctica de
laboratorio, al igual que los materiales que se utilizaron y cuáles debían tener los
estudiantes, como también los que la institución dotó (ver anexo B). En esta práctica los
estudiantes encontraron la relación entre la fuerza de resortes y sus estiramientos, cada
uno de los resortes tienen la misma longitud, diámetros y material; pero diferentes
calibres de alambre: θ=0.5mm, θ=0.6mm, θ=0.7mm, θ=0.8mm y θ=1.0mm (ver Figura 3-
9). Además, se determinaron las constantes elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) para los
50 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
cinco resortes por medio de gráficas modeladas en el paquete Excel utilizando los datos
recolectados en el experimento. Luego, se relacionaron los valores de las constantes
elásticas (K1, K2, K3, K4 y K5) con los calibres de alambre de los resortes (θ1, θ2, θ3, θ4
y θ5) y obtuvieron una gráfica que describe una función potencial directa. La conclusión a
la que llegaron fue que los resortes con calibres de alambre más grandes tienen menores
estiramientos utilizando valores de cargas grandes y con resortes con calibres de
alambre pequeños, se estiran significativamente más cuando son sometidos a grandes
cargas, es decir, la gráfica encontrada se asocia con una función potencial directa y para
encontrar la constantes, en especial el exponente, es necesario realizar una linealización
por medio de logaritmos (ver Figura 3-6). Los cuatro grupos de trabajo experimental
lograron obtener valores muy cercanos al teórico ( 𝐹 ≈ θ4 ).
Figura 3-9: Modelando comportamiento de los resortes
Fuente: Autor
Capítulo 3 51
Figura 3-10: Montaje experimental fuerza en función del calibre del alambre
Fuente: Autor
3.4.7 Sesión 11. Prueba diagnóstica (Pos-test)
Se aplicó el pos-test, cuyos resultados nos arrojaron luces sobre si la anterior propuesta
pedagógica es acertada para enseñar el concepto de fuerzas en resortes reales.
Figura 3-11: Estudiantes aplicando el Pos - test
Fuente: Autor
4. Capítulo. Resultados
4.1 Marco de aplicación
La unidad didáctica se aplicó a estudiantes que están cursando el grado décimo de la
modalidad de mecanizado de productos metalmecánicos del colegio Externado Nacional
Camilo Torres, que corresponde a un grupo que recibe la formación Sena en contra-
jornada y tiene en total 17 miembros, con edades que oscilan entre 15 a 18 años. El
estudio socioeconómico de los estudiantes indica que pertenecen al estrato 2 y 3, con
lugares de residencia en las localidades de Santa fe, Candelaria, Mártires y Bosa, en su
mayoría son hijos de trabajadores que se encuentran laborando en los alrededores del
colegio, además la mayoría de los estudiantes tienen acceso a internet.
Para evaluar la unidad didáctica diseñada, se construyó un test de 17 preguntas (ver
anexo A), 14 preguntas son de selección múltiple con cuatro opciones y única respuesta,
y tres preguntas abiertas. Los ejes temáticos, respuestas y criterios de evaluación se
encuentran en la Tabla 4-1,
El test se utilizó en dos momentos diferentes. Primero como pre- test para revisar cómo
se encuentran los estudiantes en la conceptualización sobre la Ley de Hooke, análisis de
sistemas masa-resorte, comportamiento de resortes en función de sus parámetros
geométricos y comportamiento no lineal de un resorte. En un segundo momento como
post-test que mide la efectividad de la unidad didáctica aplicada.
54 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
Tabla 4-1: Clasificaciones del test por grupo de ítems
Fuente: Autor
Preguntas Tipo Tema Respuestas
2, 5, 6,7,8,9 Selección múltiple
Aplica la Ley de Hooke en la
resolución de problemas.
2=d, 5=a, 6=d, 7=d, 8=a, 9=b.
3, 4, 14,15 Selección múltiple
Aplica funciones matemáticas en la representación de modelos físicos.
3=c,4=a, 14=c, 15=d
10, 11, 12, 13
Selección múltiple
Reconocer la influencia de los
parámetros geométricos en el funcionamiento del
resorte
10= a, 11=d, 12=a, 13= a
1 Abierta Identifica las
características físicas de un resorte
Identifica características de forma y funcionamiento de los resortes. Identifica las partes de un resorte. Dibuja un resorte
16 Abierta
Plantea usos de resortes para aplicaciones
comunes.
Propone uso de resortes para aplicaciones comunes. Realiza un bosquejo o dibujo del dispositivo.
17 Abierta
Analiza graficas donde se infiera el
comportamiento de un sistema masa-resorte.
Identifica por medio de intervalos los cambios que tiene la función Fuerza vs estiramiento. Infiere que el comportamiento de un resorte real no cumple la Ley de Hooke en todo el intervalo.
Capítulo 4 55
4.2 Resultados y análisis del pre-test frente al pos-test
En la Tabla 4-2 presentada a continuación, se observa el porcentaje de aciertos
obtenidos por los estudiantes de décimo de la modalidad de mecanizado de productos
metalmecánicos en cada una de las 17 preguntas del pre-test y el pos-test.
Tabla 4-2: Porcentajes de aciertos en cada pregunta pre-test y pos-test
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PRE-TEST 0.06 0.12 0.18 0.24 0.29
POS-TEST 0.71 0.94 0.94 0.76 0.82
PREGUNTA 6 7 8 9 10
PRE-TEST 0.35 0.41 0.47 0.53 0.59
POS-TEST 0.94 0.71 0.82 0.53 0.12
PREGUNTA 11 12 13 14 15
PRE-TEST 0.65 0.71 0.76 0.82 0.88
POS-TEST 0.71 0.59 0.59 1.00 0.59
PREGUNTA 16 17
PRE-TEST 0.94 1.00
POS-TEST 1.00 0.59 Fuente: Autor
En la figura 4-1 se muestra el porcentaje de acierto que los estudiantes tuvieron al
momento de aplicar el pre-test o la prueba diagnóstica. Después del desarrollo de la
unidad didáctica que se implementó, se aplicó el pos-test cuyos resultados también
podemos analizar en la misma figura.
Figura 4-1: Porcentajes de aciertos en cada pregunta en pre-test y pos-test.
Fuente: Autor
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
PRE-TEST POS-TEST
56 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
En la gráfica se puede observar que, en general, hubo un progreso en el desempeño de
los estudiantes en la mayoría de las preguntas de la prueba después de implementar la
unidad didáctica. Sin embargo, al comparar los porcentajes de acierto, antes y después
de la aplicación de la unidad didáctica en la pregunta 10 se aprecia que el porcentaje de
acierto era más alto en el pre-test que en el pos-test, la explicación puede estar en que
después del desarrollo de la unidad se generó confusión en la pregunta, o que al ser una
prueba de opción múltiple los estudiantes se fijan en una de las respuestas y contestan
creyendo que es la opción correcta. En las demás preguntas, la gráfica muestra el
progreso antes mencionado, en la cantidad de aciertos; por ejemplo, en las preguntas 1,
16 y 17, son preguntas en las que se muestran mayor progreso de pre-test a pos-test (de
0% a 70%, de 35% a 100% y de 0% a 59%, respectivamente), lo cual revela que los
estudiantes identifican las características físicas de un resorte, plantean usos de resortes
para aplicaciones comunes e Infieren el comportamiento no lineal de un resorte. Estas
preguntas muestran un grado de dificultad, por lo que su progreso es significativo.
Figura 4-2: Respuestas preguntas 2 y 3.
Fuente: autor
Se observa que hay un alto progreso en la respuesta acertada en la pregunta 2, a pesar
de que en el momento en que se realizó el pre-test los estudiantes tenían dudas con
respecto al principio físico que describe el comportamiento de los resortes. Se evidencia
un cambio significativo luego de implementar la unidad didáctica (ver Figura 4-2). En
cuanto a la pregunta 3, se evidenció un cambio importante en cuanto a la interpretación
de graficas de funciones, se logró aclara la duda al 40% de estudiantes que marcaron en
Capítulo 4 57
el pre-test la opción D, la diferencia entre una función lineal y una potencial (ver Figura 4-
2).
Figura 4-3: Respuestas preguntas 4 y 5
Fuente: autor
En la pregunta 4 hay un alto progreso en el nivel de acierto, pero se observa que aún
existe un 20% de los estudiantes que no tiene claro la diferencia entre un proporción
directa e inversa (ver Figura 4-3). En cuanto a la pregunta 5, se evidenció un progreso
alto de acierto en la respuesta A, donde se observa una mejoría en la interpretación de
funciones y sus ecuaciones, en especial cuando hay variables físicas (fuerza versus
elongación). En contraste, todavía existe un 18% de los estudiantes que aún tienen
dudas con respecto a la ecuación que describe la relación entre fuerza y elongación (ver
Figura 4-3).
Figura 4-4: Respuestas preguntas 6 y 7
Fuente: autor
58 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
En la pregunta 6 se presentó un progreso significativo en la respuesta acertada en el
pos-test. Debido al proceso repetitivo de hallar constantes elásticas de los resortes en las
prácticas de laboratorio de la unidad didáctica, se observa que para la mayoría de los
estudiantes (94%), quedó claro el concepto (ver Figura 4-4). En cuanto a la pregunta 7,
se evidenció un cambio importante en la interpretación que se hacen de las respuestas
de la pregunta. La respuesta B podría estar relacionada con la constante elástica que se
encuentra en los resortes, pero, la respuesta D describe con exactitud lo que representa
“k”.
Figura 4-5: Respuestas preguntas 8 y 9
Fuente: autor
En la pregunta 8 hay un alto progreso en el nivel de acierto, pero se observa que aún
existe un 15% de los estudiantes con duda. El grado de dificultad de la pregunta es bajo,
por lo que se podría pensar en una posible distracción en el momento de contestar la
prueba (ver Figura 4-5). En cuanto a la pregunta 9, se evidenció un leve progreso en el
pos-test para la respuesta acertada. El grado de dificultad de la pregunta es alto, por lo
que se observa un poco menos de la mitad de los estudiantes no lograron inferir que para
que los resortes obtengan la misma longitud, es necesario aplicar mayor fuerza en el
resorte con constate elástica mayor para poder igualar el estiramiento con respecto al
resorte con una constante de un bajo valor (ver Figura 4-5).
Capítulo 4 59
Figura 4-6: Respuesta preguntas 10 y 11
Fuente: autor
En la pregunta 10 no hay progreso en la respuesta acertada del pos-test. El grado de
dificultad de la pregunta es alto, se evidencia que hubo un retroceso con respecto a las
respuestas contestadas en el pre-test. Al indagar por las opciones de respuesta en las
que contestaron la pregunta (C con un 59% y D con un 29%), se podría afirmar que los
estudiantes asociaron la respuesta de la pregunta con los últimas prácticas que
realizaron en la unidad didáctica, es decir, variaciones con respecto al número de espiras
y variaciones con respecto al calibre del alambre (ver Figura 4-6). En cuanto a la
pregunta 11 hay un alto progreso en el nivel de acierto, pero se observa que aún existe
un 30% de los estudiantes con duda. El grado de dificultad de la pregunta es alto, debido
al nivel de comprensión por parte de los estudiantes en las respuestas (ver Figura 4-6).
Figura 4-7: Respuestas preguntas 12 y 13
Fuente: autor
60 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
En la pregunta 12 hay progreso moderado en la respuesta acertada en el pos-test (58%).
El grado de dificultad es alto, la mitad más uno por ciento de los estudiantes pueden
llegar a proponer soluciones utilizando el conocimiento de los parámetros geométricos de
los resortes para utilizarlo como refacción de un elemento o máquina (ver Figura 4-7). En
cuanto a la pregunta 13 hay un progreso en el nivel de acierto, pero se observa que aún
existen dudas por parte de los estudiantes. El grado de dificultad de la pregunta es alto,
debido al nivel de interpretación de cómo varia la fuerza de un resorte cuan existe un
cambio en el calibre del alambre (ver Figura 4-7).
Figura 4-8: Respuesta preguntas 14 y 15
Fuente: autor
En la pregunta 14 se presentó un progreso categórico en la respuesta acertada en el
pos-test. El grado de dificultad es bajo, ya que en el enunciado de la pregunta se podría
intuir la respuesta. Pero también influyó de manera significativa el ejercicio que hicieron
los estudiantes cuando analizaron los resultados en las prácticas de laboratorio y hallaron
los exponentes de las funciones potenciales que relacionan el comportamiento del
resorte según sus características geométricas, esto utilizando logaritmos y encontrando
la pendiente de la gráfica (ver Figura 4-8). En cuanto a la pregunta 15 hay un moderado
progreso en el nivel de acierto, pero se evidencia que un 40% de los estudiantes aún
presentan dificultad para realizar operaciones con potencias (ver Figura 4-8).
Capítulo 4 61
Figura 4-9: Respuesta pregunta 1 (de izquierda a derecha, pre-test y pos-test)
Fuente: autor
En la pregunta 1 se presentó un progreso significativo en la respuesta acertada a la
pregunta, este tipo de pregunta tiene un grado alto de dificultad ya que se busca que el
estudiante describa la respuesta a través de un escrito y un dibujo. Se evidencia en la
Figura 4-9, un cambio positivo del estudiante de cuando contesto el pre-test al pos-test,
se puede evaluar que cumple con los requerimientos que exige la rúbrica de esta
pregunta para ser acertada, como lo es: que logra Identificar características de forma y
funcionamiento de los resortes, identifique y dibuja las partes de un resorte.
Figura 4-10: Respuesta pregunta 16 (de izquierda a derecha, pre-test y pos-test)
Fuente: autor
Se observa que hay un alto progreso en la respuesta acertada en la pregunta 16, este
tipo de pregunta tiene un grado alto de dificultad ya que se busca que el estudiante
describa la respuesta a través de un escrito y un dibujo. Se evidencia en la Figura 4-10,
que el estudiante adquirió un conocimiento suficiente porque paso de no responder nada
en el pre-test, ahora en el pos-test, logra proponer usos de resortes para aplicaciones
comunes, además, realiza un bosquejo del dispositivo.
62 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 4-11: Respuesta pregunta 17 (de izquierda a derecha, pre-test y pos-test)
Fuente: autor
Se evidencia que hay un progreso en la respuesta acertada en la pregunta 17, este tipo
de pregunta tiene un grado alto de dificultad ya que se busca que el estudiante describa
la respuesta a través de un escrito y un dibujo. Se observa en la Figura 4-11, que el
estudiante adquirió un conocimiento suficiente porque paso de responder de forma
errada e incompleta la pregunta en el pre-test, ahora en el pos-test, logra identificar por
medio de intervalos los cambios que tiene la función Fuerza vs estiramiento, e infiere que
el comportamiento de un resorte real no cumple la Ley de Hooke en todo el intervalo.
4.3 Análisis estadístico
Para poner a prueba, la propuesta didáctica se implementó con estudiantes que están
cursando el grado décimo de la modalidad de mecanizado de productos metalmecánicos
del colegio Externado Nacional Camilo Torres, un diseño experimental con pre-test y
post-test. El test empleado es un conjunto de diecisiete preguntas que exploran los
conceptos de fuerza, resortes, Ley de Hooke, sistemas masa- resorte, comportamiento
no lineal de un resorte, influencia de los parámetros geométricos en el comportamiento
físico de resortes (ver anexo A). El número de estudiantes que respondieron las dos
aplicaciones del test fue de 17 estudiantes.
El diagrama de cajas y los descriptores de las distribuciones del pre-test y el post-test se
muestran en la figura 4-12 y la tabla 4-3. Se observa que los puntajes medio, máximo y
mínimo aumentan en 5, 6 y 2 unidades, respectivamente, pero manteniendo la
desviación estándar prácticamente igual. La mejora de estos descriptores es positiva, se
observa en el diagrama de cajas que los estudiantes obtienen en el post-test puntajes
Capítulo 4 63
superiores a la mediana del pre-test, evidenciando lo que muy seguramente es una
mejora significativa.
Figura 4-12: Diagrama de cajas del pre-test y el post-test
Fuente: Análisis estadístico en programa R
Tabla 4-3: Descriptores básicos para el pre-test y el post-test
Descriptor Total Pre-Test Total Pos-Test
Mínimo 0 2
Máximo 11 17
Media 6.24 12.35
Desviación estándar
3.19 3.79
64 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
Figura 4-13: Histograma de los puntajes obtenidos en el pre-test
Fuente: Análisis estadístico en programa R
Figura 4-14: Histogramas de los puntajes obtenidos en el post-test
Fuente: Análisis estadístico en programa R
Capítulo 4 65
Las figuras 4-13 y 4-14 nos muestran los histogramas de los puntajes obtenidos por los
estudiantes en el pre-test y en post-test. Aquí es más claro que la mayoría de los
estudiantes ha mejorado sus puntajes. Las distribuciones parecen ser normales. En
efecto, al correr la prueba de Shapiro-Wilk (que es la adecuada para menos de 50 datos)
se obtienen niveles de significancia superiores a 0,05 (ver tabla 4-4).
Tabla 4-4: Pruebas de normalidad para las distribuciones de puntajes en el pre-test y el
post-test.
Shapiro-Wilk normality test
W p-value
Pre-Test 0.96425 0.7122
Pos-Test 0.89279 0.05153
Tabla 4-5: Resultado de la prueba de contraste de t de Student.
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
Pre - Test Pos-Test
Media 6.24 12.35
Varianza 4.57 5.24
Observaciones 17 17
Varianza agrupada 4.90 Diferencia hipotética de las
medias 0
Grados de libertad 32
Estadístico t -8.05
P(T<=t) una cola 1.70E-09
Valor crítico de t (una cola) 1.69
P(T<=t) dos colas 3.39E-09
Valor crítico de t (dos colas) 2.04
66 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
Como las distribuciones son gaussianas, podemos aplicar t de Student para determinar si
hay una diferencia significativa. La prueba (tabla 4-5) arroja un valor de t de -8,05, que
corresponde a un nivel de significancia de 1.70x10−9. Cuando este valor toma una
probabilidad superior a 0,025 (0,05/2=0,025), asumimos que el estadístico no está debido
al azar, por lo que se debe aceptar la hipótesis nula que afirma que las diferencias entre
las medias es igual a cero, pero como este valor es muy pequeño confirma que
efectivamente hay una diferencia estadísticamente significativa entre el pre-test y el post-
test, y que los estudiantes han aprendido significativamente con la aplicación de la
unidad didáctica que construimos
Capítulo 4 67
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
Con este trabajo se diseñó e implementó una unidad didáctica de 11 sesiones para la
enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales más allá de la Ley de Hooke. La
temática propuesta hace énfasis en la comprensión cualitativa del concepto, con un
enfoque constructivista. Este trabajo mostró que utilizando prácticas de laboratorio como
estrategia para la comprensión de una noción en ciencias, logra desarrollar el
conocimiento teórico a partir de la construcción del concepto a través de la
experimentación. Para ello nos apoyamos en las prácticas experimentales, informes de
laboratorio y en modelamiento de graficas en el programa Excel.
La unidad didáctica se implementó con los estudiantes del grado décimo de la modalidad
de mecanizado de productos metalmecánicos del colegio Externado Nacional Camilo
Torres. Las unidades se desarrollaron a lo largo de seis semanas, para un total de 22
horas de clase. La implementación de la metodología propuesta aumento notablemente
el interés de los estudiantes. A ellos les pareció que la clase fue lúdica, interesante,
divertida, y que se aprende más fácilmente con la ayuda de herramientas como el video
beam y la práctica de laboratorio. No pasa lo mismo con la explicación de tablero debido
a que esta es muy rutinaria y aburrida. Las prácticas en grupos de cuatro estudiantes
motivaron la discusión y la argumentación y posibilita que los estudiantes más avanzados
ayuden a aclarar las ideas de sus compañeros. El uso de la herramienta Excel logró que
los estudiantes se interesaran por las herramientas tecnológicas como forma de facilitar
su trabajo. Al predecir el comportamiento de los resortes luego de poder modelar y
comparar con los resultados de la práctica experimental, los estudiantes se sintieron
68 Unidad didáctica para la enseñanza del concepto de fuerza en resortes reales
más allá de la Ley de Hooke
Título de la tesis o trabajo de investigación
maravillados al comprobar que la teoría les servía para predecir, vivenciando un poco el
goce del trabajo científico. Sin embargo, esta maravilla no alcanza a ser suficientemente
cautivadora para que los estudiantes le asignen a la ciencia un rol de utilidad en sus
vidas.
Cuantitativamente, el desempeño de la unidad fue puesto a prueba en un diseño pre-
experimental con pre-test y post-test. Para ello, se empleó una prueba cerrada de 14
preguntas de selección múltiple con única respuesta y 3 preguntas abiertas, diseñadas
para tal fin. El análisis estadístico de los resultados muestra una diferencia
estadísticamente significativa entre el pre-test y el post-test. De hecho, se observa que
los estudiantes obtienen en el post-test puntajes superiores a la mediana del pre-test, y
de acuerdo con la prueba t, confirma que efectivamente hay una diferencia
estadísticamente significativa entre el pre-test y el post-test, y que los estudiantes han
aprendido significativamente con la aplicación de la unidad didáctica propuesta.
A partir de esta experiencia, he podido evidenciar la importancia de medir el
conocimiento de los estudiantes antes y después de impartir el tema, ya que esta
medición dará una idea real de cómo funciona la forma de impartir el conocimiento.
Muchos creemos que el método que utilizamos al impartir el conocimiento funciona, y eso
no siempre es así, ya que al cambiar el método nos damos cuenta de que hay otras
cosas que pueden funcionar mejor.
Los estudiantes evidenciaron un marcado interés por las experiencias y el laboratorio y
se maravillaron al verificar que sus predicciones teóricas servían. La física en su mayor
parte es experimental y vivencial, por lo que se debe procurar no convertir el tablero en la
única herramienta didáctica. Llevar al estudiante al laboratorio pude ser fundamental para
la comprensión cualitativa de muchos fenómenos cotidianos. Además, es necesario
romper con el paradigma tradicional de dictar las clases en el tablero y llevar a los
estudiantes a la experiencia vivencial si funciona, y que medir el desempeño de los
estudiantes ayuda a identificar rápidamente que estrategias didácticas sirven en un
contexto determinado.
Capítulo 4 69
5.2 Recomendaciones
Para futuros trabajos con base a los resultados obtenidos en esta propuesta didáctica,
sería interesante plantear una unidad didáctica donde se explore y describa el caso del
acople en serie y paralelo para resortes en el régimen no lineal