1 UNIDAD DIDÁCTICA LA MAQUETA DEL CONOCIMIENTO: LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA, A PARTIR DE UNA SITUACIÓN FUNDAMENTAL Y LA TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS EN GRADO NOVENO I.E.D REPUBLICA DE MÉXICO JOSÉ JULIÁN MENDOZA BERNAL 20071145026 LEIDY JOHANNA MORALES 20071145063 FABIÁN O BOGOTÁ RIVEROS 20071145052 MIGUEL ÁNGEL CUERVO LAGOS 20071145065 PRESENTADO A: YURI MARCELA ROJAS UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS PRÁCTICA INTERMEDIA IV BOGOTÁ, D.C. MAYO DE 2010
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UNIDAD DIDÁCTICA
LA MAQUETA DEL CONOCIMIENTO:
LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA, A PARTIR DE UNA SITUACIÓN FUNDAMENTAL Y
LA TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS EN GRADO NOVENO
I.E.D REPUBLICA DE MÉXICO
JOSÉ JULIÁN MENDOZA BERNAL 20071145026
LEIDY JOHANNA MORALES 20071145063
FABIÁN O BOGOTÁ RIVEROS 20071145052
MIGUEL ÁNGEL CUERVO LAGOS 20071145065
PRESENTADO A:
YURI MARCELA ROJAS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
PRÁCTICA INTERMEDIA IV
BOGOTÁ, D.C.
MAYO DE 2010
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TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN ………………………………………………………….. 3
2. JUSTIFICACIÓN ………………………………………………………...... 5
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ………………………………… 7
3.1 PREGUNTA ORIENTADORA ……………………………………… 7
3.2 OBJETIVOS GENERALES …………………………………………... 7
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ………………………………………….. 7
4. METODOLOGÍA …………………………………………………………… 8
4.1 SITUACIÓN FUNDAMENTAL……………………………………… 8
4.2 SECUENCIA DE ACTIVIDADES…………………………………….. 9
4.3 IDEOGRAMA…………………………………………………………… 11
4.4 MARCO TEÓRICO DE LA GEOMETRÍA……………………......... 12
4.5 RUTA DE APRENDIZAJE……………………………………………… 19
4.6 MODELO DE EVALUACIÓN…………………………………………. 20
5. RESULTADOS……………………………………………………………….. 29
5.1 FASE DIAGNÓSTICO Y RECONOCIMIENTO……………………. 29
5.1.1 PROTOCOLOS N° 1……………………………………………. 34
5.2 FASE DE ACCIÓN (ACTIVIDAD Nº 1)…………………………….. 36
5.2.1 PROTOCOLOS N° 2…………………………………………….. 39
5.3 FASE DE ACCIÓN (ACTIVIDAD Nº 2 y 3)………………………… 50
5.3.1 PROTOCOLOS N°3…………………………………………….. 54
5.3.2 PROTOCOLOS N°4……………………………………………. 63
5.4 FASE DE FORMULACIÓN (ACTIVIDAD N° 5)…………………… 73
5.4.1 PROTOCOLO N°5…………………………………………...... 76
5.5 FASE DE FORMULACIÓN (ACTIVIDAD Nº6)……………………. 89
5.5.1 PROTOCOLO N°6……………………………………………… 92
5.6 FASE DE VALIDACIÓN (ACTIVIDAD Nº7 Y 81)…….………… 107
5.6.1 PROTOCOLO N° 7.…………………………………………… 110
5.7 FASE DE INSTITUCIONALIZACIÓN (ACTIVIDAD Nº9 Y 10).… 123
5.7.1 PROTOCOLOS N°9…………………………………………… 125
5.7.2 PROTOCOLO N°102……………………………………….. 140
6. REFLEXIONES DIDÁCTICAS……………………………………………. 143
7. CONCLUSIONES…………………………………………………………. 148
8. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………. 149
1 La actividad 8 no hay protocolo escrito ya que este fue sustentado de manera oral en clase.
2 El protocolo del grado 902 no se encuentra ya que este día no hubo clase para este grupo.
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1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años se ha tratado de mejorar la educación en Colombia,
proponiendo mayor interés por parte de los profesores que ejercen el trabajo
hacia ésta. Este interés debe reflejarse en las aulas de clase, promoviendo con
ello un incremento eficiente en el desempeño de los estudiantes respecto a sus
conocimientos y los conceptos que van aprendiendo durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Con el propósito de tener resultados positivos en el proceso llevado en los
grados 902 y 903 del colegio República de México, se construyó una secuencia
de actividades diseñadas para el desarrollo del pensamiento geométrico en
dichos cursos, implementando la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD)
propuesta por Brousseau (1986), de tal manera que los estudiantes obtengan
una correcta construcción de conocimientos en el aspecto geométrico, más
específicamente el aprendizaje de los poliedros, y su construcción por medio de
figuras bidimensionales, y la relación entre semejanza de figuras geométricas
Es importante mencionar que la metodología implementada para este proceso,
fue algo nuevo para nosotros, teniendo en cuenta que en las prácticas llevadas
en semestres inferiores, se trabajó con el modelo tradicional, y tener ese cambio
de sistemática, tuvo contrastes ya que por medio de la implementación de la
TSD los estudiantes construyen su conocimiento a través de la resolución de
problemas, en donde ellos puedan interactuar con el medio, y con aspectos que
sean visibles con la vida cotidiana, o en nuestro caso, objetos que se evidencian
en el entorno real (casas, parques, edificios, calles, etc.).
Para este proceso de enseñanza-aprendizaje, se tuvo en cuenta las fases
expuestas por Brousseau, donde se inicia con una fase de acción, la cual hace
referencia a que el alumno debe actuar sobre un medio (material, o simbólico)
que se refleja en el momento de proponerle un problema el cual no es de
solución rápida donde la situación requiere solamente la puesta en acto de
conocimientos implícitos. La siguiente fase es la de formulación, donde los
estudiantes ser organizan en grupos con el fin de desarrollar el problema
estipulado, y de este modo comunicarse las ideas o estrategias pensadas por
cada uno, y de este modo comenzar a construir el conocimiento en torno es
esta situación. Prosiguiendo con la fase validación se quiere que los estudiantes
expongan las ideas a todo el grupo del salón demostrando lo hecho, y de esta
manera se indaguen con argumentos válidos para que el conocimiento siga en
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su proceso. Por último se sigue con la fase de institucionalización la cual indica
que el conocimiento del estudiante es formalizado.
En el documento se observará todo el proceso llevado por medio de los
protocolos, la planeación implementada en torno a la gestión docente,
mostrando los avances obtenidos tanto de los estudiantes, como de mismo
docente, y del mismo modo las falencias evidenciadas respecto a los dos
sujetos. Todo este análisis se llevó descriptivamente por medio de cada
protocolo, dando colosal valor a los protocolos, ya que este es un texto
descriptivo, con estructura enunciativa, que informa sobre acuerdos y decisiones
y que requiere de gran capacidad de síntesis. A través de él se describe el
desarrollo de un evento académico.
Para nosotros es importante presentar todas y cada una de las agradables y
enriquecedoras experiencias que nos ha dejado el proceso llevado en el colegio
República de México en el grado noveno, denotando que esta nueva
metodología llevada a cabo (TSD), aunque fue un poco difícil de llevar a cabo
correctamente, es de gran ayuda para que los estudiantes sean más
investigadores y planificadores de su conocimiento.
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2. JUSTIFICACIÓN
Dentro del proceso de formación profesional hay que ser consciente que el
trabajo del docente requiere mucho más esfuerzo que el simple hecho de dar
una clase, donde hacer una reflexión constante acerca de su labor y de cómo
está llevando ese proceso de enseñanza y aprendizaje dentro del aula, claro está
que el simple hecho como lo mencionamos anteriormente de parase a dar una
clase delante de 40 estudiantes no están simple, para ello se requiere de una
metodología y de un comportamiento por parte del docente adecuada, que
promueva la necesidad de buscar, de indagar y de crear, puesto que esta es una
tarea de nunca acabar porque la gente cambia y el mundo con ellos, y con esta
revolución tecnológica que se está viviendo, el docente tiene que abarcar
mucho más de los que se piensa.
Para ello es importante que los profesores estén en una búsqueda constante de
métodos y de herramientas que le ayuden en el proceso de enseñanza
aprendizaje, es por eso que resulta relevante el uso de recursos didácticos
dentro de las diferentes sesiones para seguir rompiendo con el esquema de
clase tradicional que se ha comprobado tiene muchas falencias.
La TSD que expone Brousseau, es un nuevo método que desarrolla las
capacidades de los estudiantes, donde indagan, se cuestionan y estructuran una
situación, que se vuelve problema a medida de la correcta guía del docente,
esta para formalizar un conocimiento adquirido de manera personal del alumno,
esto genera una comprensión de los temas matemáticos. En el caso de la
geometría un paso inicial dentro del proceso de aprendizaje es el
reconocimiento de su alrededor, la construcción de los objetos o figuras a partir
de sus sentidos, y según Piaget, el estudiante forma esquemas mentales para la
adquisición de un aprendizaje.
La formalización del pensamiento del alumno con la geometría, es de gran parte
de la interacción del estudiante con el medio, ya que en los estadios que
plantea (Chamorro. M 1991), citando a Piaget el reconocimiento, de la
conservación de las magnitudes y lo operacional, es una estructura esencial para
la comprensión de la geometría.
Nuestra situación fundamental, tiene como propósito esencial, desarrollar un
pensamiento espacial en los estudiantes, donde se enfrente a diversos
problemas que les generen a los estudiantes un reconocimiento físico del
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ámbito social donde viven, luego esquematizarlo a través de representaciones
abstractas que hacen parte del estadio de la conservación, para luego
caracterizar sus propiedades, que son susceptibles a ser medidas. Esta unidad
didáctica retrata las evidencias de un planeación que hace parte del nuevo
concepto de escuela donde la mirada se centra en el pensamiento del
estudiante y no el concepto enseñado. El docente se presenta como un guía
que le proporciona al alumno bases o caminos que puede segur para llegar al
objetivo final pedido por la situación. Por esto hace parte de integral de la
evaluación general del proceso de aprendizaje que se produce en el aula,
estableciendo aportes a la formación del docente.
Dicha formación se está inculcando en nosotros como futuros docentes y se ve
reflejada en la unidad didáctica que se trabajó, puesto que se hacen constantes
reflexiones sobre el trabajo realizados en las diferentes sesiones y el uso del
material utilizado allí, en esto recae la importancia de la unidad. Además en las
diferentes sesiones tanto de clase del espacio de formación como las realizadas
en el colegio, se enfatizó en la orientación del estudiante que facilitaran el
trabajo en el aula buscando el interés por parte del alumno sin necesidad de
recurrir a métodos inflexibles que cohíban la participación, puesto que le papel
del estudiante dentro de su propia formación debe ser activa.
En sí el papel que desarrolla la TSD desde nuestro punto de vista es crear un
ambiente, donde el profesor como los estudiantes se establezcan relaciones que
faciliten el proceso de adquisición del aprendizaje, donde se reúne muchas
formas de pensar y de concebir las cosas pero todas con un objetivo en común.
Por ende se necesita de constantes reflexiones de cómo se está viviendo ese
ambiente dentro del aula de clase, de cómo se está dando a conocer un tema
matemático y de cómo lo están concibiendo los estudiantes, además del
manejo de grupo y del manejo de las diferentes situaciones que se presentan
dentro del aula o fuera de ella, por consiguiente el diseño y la planeación de las
actividades haciendo un énfasis en la teoría de las Situaciones Didácticas,
genera una constante reflexión acerca del proceso de enseñanza y de
aprendizaje para crear ese ambiente que se deseaba buscar durante la práctica,
de todas maneras ese es una experiencia muy colosal para nuestro crecimiento
en nuestra formación como futuros profesores.
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3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
3.1 PREGUNTA ORIENTADORA
¿Cómo diseñar una propuesta de enseñanza y aprendizaje referente a la
construcción geométrica de los principales poliedros para estudiantes de
grado noveno, estableciendo una secuencia lógica de una ruta de
aprendizaje, a partir de la implementación de la teoría de las situaciones
didácticas y del uso de una situación fundamental?
3.2 OBJETIVO GENERAL
Diseñar una situación fundamental que permita observar y llevar a cabo un
proceso de enseñanza-aprendizaje, de la geometría del espacio para las figuras
tridimensionales (poliedros, solidos, prismas), teniendo en cuenta la
metodología de la Teoría de las situaciones didácticas (TSD), de manera que se
genere comprensión en los conocimientos y saberes matemáticos
interactuándolos con el medio que los rodea.
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Promover en los estudiantes el diseño y desarrollo de estrategias para
abordar situaciones problema haciendo uso de conocimientos previos sobre
el pensamiento geométrico y espacial.
Generar un ambiente que le permita al estudiante comunica, escuchar, y
apreciar las estrategias propias y de sus compañeros haciendo uso de un
lenguaje común.
Fomentar en los estudiantes la generación de argumentos propios que
sustenten la validez sus estrategias haciendo uso de agentes de validación
como los conceptos, algoritmos, exposiciones y definiciones.
Dar a conocer el estatus que tienen los conceptos matemáticos relativos al
desarrollo del pensamiento geométrico y espacial construido en el proceso
de aprendizaje.
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4. METODOLOGÍA
4.1 SITUACIÓN FUNDAMENTAL
La CONSTRUCTORA BOLÍVAR invita a los estudiantes de grado noveno del
colegio República de México a un concurso sensacional.
Dentro del Barrio México, constructora dispone de un
terreno con las siguientes características:
Buscamos la mejor maqueta, de un conjunto residencial para ubicar dentro de
este terreno los lugares más relevantes dentro de una gran zona urbana
Presenta la propuesta más innovadora y creativa y gana un fabuloso premio.
Ten en cuenta las siguientes condiciones para participar en el sorteo:
1. Muchas propuestas ha sido rechazadas por tener un diseño poco creativo e
inestable.
2. Deben tener en cuenta el terreno que dispone el barrio para poder reubicar
los diseños de una manera exacta.
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4.2 INTENCIONALIDAD ORGANIZACIÓN
ROLES MATERIALES NIVELES DE EVALUACIÓN
ACCIÓN Reconoce la
superficie y el plano
en el cual se va a
trabajar, y realiza
mediciones del
terreno disponible con
respecto al área y el
perímetro.
Individual y grupal
Del profesor Guía al estudiante para indague acerca las nociones matemáticas que están inmersas en su proceso de construcción del conocimiento. Del estudiante Observa, indaga, consulta y planea acerca de su proyecto.
Hoja Lápiz Libros de Consulta Regla
NIVEL 0 Reconoce el espacio, pero no analiza la relación entre los sólidos y los poliedros con el espacio tridimensional. NIVEL 1 Reconoce el espacio, lo relaciona con los sólidos, pero no tiene en cuenta sus relaciones con los poliedros y sus características. NIVEL 2 Reconoce el espacio, su relación con los sólidos y sus formas de poliedros, al igual que sus características.
FORMULACIÓN Identifica y comunica las relaciones de área y perímetro del terreno, y de las diferentes distribuciones hechas en él, para tenerlos en cuenta dentro de las diferencias de las construcciones, al igual de su construcción con papel.
Individual y Grupal
Del profesor Observa los procesos desarrollados por los estudiantes tanto grupal como individualmente. Guía al estudiante en su proceso de aprendizaje. Del estudiante Se cuestiona y consulta acerca de los poliedros y su construcción. Analiza y discute acerca de la mejor forma de darle solución a la situación.
Cuaderno de procesos y consultas. Lápiz Borrador Tijeras Hojas de Papel
NIVEL 0 Comunica las diferentes relaciones entre los sólidos y los poliedros haciendo uso de la representación verbal. NIVEL 1 Comunica cada una de las diferentes relaciones entre los sólidos, los poliedros y sus relaciones de área y volumen haciendo uso de la representación grafica. NIVEL 2 Comunica las relaciones entre los sólidos, poliedros, sus áreas y volúmenes y logra pasarlo del plano bidimensional al tridimensional, en la construcción de los poliedros.
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VALIDACIÓN Sustenta y argumenta en la construcción de la maqueta, fundamentándolas desde la semejanza de triángulos, teniendo en cuenta las figuras tridimensionales y su composición.
Grupal Del profesor Observa los procedimientos realizados por los estudiantes y orienta la construcción. . Del estudiante Establece y valida estrategias, desde los concepto matemáticos y geométricos y hace un paralelo en los elementos que le permitan soluciones más precisas
Carteleras, papel periódico, marcadores.
NIVEL 0 Expone y comunica el proceso realizado pero desconoce la semejanza de los triángulos y la relación con los poliedros que está trabajando. NIVEL 1 Expone el proceso realizado, expone ideas determinando las nociones básicas del las resolución de triángulos pero se le dificulta relacionarlo con los poliedros. NIVEL 2 Expone su proceso de construcción estableciendo relaciones entre las semejanzas de los triángulos y la construcción de los distintos poliedros.
INSTITUCIONALIZACIÓN
Diseña y construye una maqueta del barrio México, poniendo en práctica los elementos aprendidos durante el proceso llevado en la asignatura, y complementando las ideas con los demás compañeros, para una buena solución a su proyecto.
Individual y grupal.
Del profesor: guiar al estudiante para la correcta construcción de la maqueta, analizando el proceso de su desarrollo, y los elementos matemáticos y geométricos puestos en práctica. Del estudiante: Observa, consulta y valida las debidas estrategias para el correcto desarrollo de su proyecto o maqueta.
Hoja. Libros y/o documentos de consulta. Regla. Lápiz. Papel para plegado
Nivel 0: Diseña y construye una
maqueta, pero no reconoce ni justifica los fundamentos y elementos matemáticos ni geométricos Nivel 1: Diseña y construye una maqueta, reconociendo los fundamentos y elementos geométricos utilizados, pero no argumenta ni establece de forma clara y objetiva el uso de estos dentro del proyecto. Nivel 2: Diseña y construye una maqueta, reconociendo y sustentando los fundamentos y elementos geométricos utilizados, que hace evidente la conceptualización de estos, dentro del proyecto desarrollado.
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4.3 IDEOGRAMA
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4.4 MARCO TEÓRICO DE LA GEOMETRÍA
A través de la planeación, diseño e implementación de la unidad didáctica,
pretendemos desarrollar el pensamiento geométrico espacial y sistemas
geométricos en los estudiantes de grado noveno, por medio de una situación
fundamental, en la que se busca trabajar nociones tales cómo los poliedros y la
semejanza de triángulos. Para esto, abordamos tres aspectos importantes, el
legal, el saber que tenemos como profesores y el metodológico.
Según los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998)3 mencionan sobre el
pensamiento espacial y sistemas geométricos, que la geometría es una
importante fuente de modelación y un ámbito por excelencia para el desarrollo
del pensamiento espacial. A demás plantea que en los énfasis en el hacer
matemático escolar estarían aspectos como el desarrollo de la percepción
espacial y de las percepciones sobre las figuras bi y tri dimensionales así como
también las comprensión y el uso de sus propiedades y de las relaciones entre las
figuras.
Por otra parte los estudiantes de grado noveno, según los estándares curriculares
de matemáticas (2007)4 , deberán tener conocimientos acerca de:
Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas
entre las figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales
en la solución de problemas.
Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas
utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales)
Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre
triángulos en la resolución y formulación de problemas.
Uso de representaciones geométricas para resolver y formular
problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.
Partiendo de los conocimientos que deben adquirir nuestros estudiantes con
respecto al pensamiento espacial y el sistema geométrico, buscamos el mejor
camino para cumplir con nuestra meta, aunque sabemos que el tiempo no es el
suficiente para abordar todos los temas, y que trabajaremos con ellos el primer
semestre del año, y que los estudiantes lleguen a la comprensión de las figuras
bi y tridimensionales y las propiedades, relaciones entre ellas.
Y cuestionando a los estudiantes con cosas como ¿por dónde van a entrar las
personas?, generando en el estudiante un auto cuestionamiento con respecto al
cómo hacer, y decir que deben generar calles, y que se deben ver en el plano. Con
respecto a la forma en cómo mencionan lo del perímetro, mencionándolo como un
límite o lo que encierra, podemos decir que los estudiantes logran definirlo pero con
palabras propias, pero no logran dar una definición formal.
Del mismo modo no creímos necesario decirles que eso que sentían y que
necesitaban trabajar era el perímetro pues hasta el momento estamos en una fase
de acción, donde ellos ya hicieron un desarrollo y aplicación de técnicas de
solución de problemas, hacen uso de los conocimientos previos identificando
elementos dados en la situación para diseñar estrategias y que plantean conjeturas
e hipótesis, usando sus conocimientos previos para realizar acciones, y son estas
hipótesis, las que permiten que los estudiantes realicen consultas y ya no se queden
en solo hablando y contando, o solo por intuiciones, por ende creemos que este ya
es un buen preámbulo para entrar en una fase de formulación ya que los estudiantes
están empezando a ver la necesidad de incluir conceptos como perímetro,
posteriormente será el área y como ultimo el volumen, por ella esta actividad es
tenida en cuenta para empezar en la próxima sesión con la fase de formulación que
Brousseau plantea en su teoría de las situaciones en las que el estudiante debe
formular enunciados, construir modelos, lenguajes, los pone a prueba y los
intercambia con otros.
Es este proceso de gran importancia, puesto que los estudiantes empiezan a
formalizar todo lo que están percibiendo, y creemos que el hecho de proponerles
colise
o
coleg
io
Universi
dad
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que escriban es una buena forma de llevar a los estudiantes a que consulten y
formalicen esas intuiciones, para que pasen de un lenguaje cotidiano a un lenguaje
formal, de llamar a cada una de las cosas por su nombre formal y así pasar a un nivel
más alto, con respecto a los de Van Hiele, entre los que los estudiantes deben:
1) Se perciben las componentes y propiedades (condiciones
necesarias) de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto
desde la observación como de la experimentación.
2) De una manera informal pueden describir las figuras por
sus propiedades pero no de relacionar unas propiedades
con otras o unas figuras con otras. Como muchas
definiciones en Geometría se elaboran a partir de
propiedades no pueden elaborar definiciones.
3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer
nuevas propiedades
4) Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y
figuras a partir de sus Propiedades.
Pasando así los estudiantes de un nivel de visualización a un nivel de análisis, en los
que los estudiantes ya deberán hablar de las figuras y sólidos a trabajar dando
características propias de ellos (caras, volumen) que los permitan definir unas
propiedades, que permitan comparar con otras figuras.
Teniendo en cuenta lo ocurrido en esta sesión, es que podemos decir que para la
próxima sesión los estudiantes estará en una etapa de formulación, en la que los
maestros seremos orientadores a que los estudiantes empiecen a formalizar su
lenguaje y complejizar su conocimiento.
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PRACTICANTES: Miguel Cuervo – Fabián Bogotá
14 DE ABRIL 2010
COLEGIO REPÚBLICA DE MÉXICO
GRADO: 903
JORNADA: Mañana
PROTOCOLO 5
Temática
Antes de comentar lo realizado en la pasada sesión de clase en el grado 903 del Colegio
Republica de México, es necesario tener en cuenta las temáticas desarrolladas realizadas
dentro del aula de clase. De acuerdo a la planeación en esta sesión deberíamos tener en
cuenta las pruebas de tipo ICFES que realizaron en el colegia en pasadas semanas, donde la
primer fase fue corregir con los estudiantes estas pruebas.
La segunda fase corresponde al trabajo escrito de los estudiantes y las inquietudes con
respecto al proyecto en desarrollo, los estudiantes en su procedimiento de construir una
maqueta han encontrado muchas apreciaciones que se sale de un problema práctico a uno
teórico y encuentran relaciones entre los conceptos geométricos.
En la sesión, se tuvo como objetivo que los estudiantes experimenten ensayen y generen
estrategias, en torno a la situación fundamental planteada, donde implementaran una
variable didáctica como el mapa original del barrio México, pero en un esquema un poco
más real, ya que se estaba produciendo por parte de los profesores el envejecimiento de la
situaciones de enseñanza, donde los resultados en los estudiantes no avanzaban.
El objeto matemático que se desarrolló está enmarcado dentro de la geometría del espacio,
donde los estudiantes ubicaron e hicieron el reconocimiento necesario para poder llegara a
las representaciones geométricas.
Secuencia gráfica del objeto matemático llevada hasta el momento.
Por la línea de la Teoría de situaciones didácticas se incluyó como referente importante el
marco teórico implementado para nuestra secuencia didáctica de la geometría, teniendo en
Geometrí
a
Nociones
Topológica
s
Ubicación
Descripció
n Representación
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cuenta el saber sabio como las representaciones en la Grecia clásica y el antiguo Egipto
haciendo uso de la trasposición didáctica para llegar al saber enseñar, teniendo como base
lo que implementa Van Hiele en la etapa de reconocimiento y por ultimo desde lo
estándares lo pedido por la comparación de lo tanteado. Esta es la situación actual de
nuestro objeto matemático dentro de nuestro ideograma, dentro de la fase de acción.
Además de esto, la idea fue corregir la prueba de matemáticas que se les hizo antes de
Semana Santa, para que de esta manera ellos denotaran los errores que tuvieron para esta
prueba, y en futuras sesiones les pueda servir de ayuda con problemas donde se evidencie
lo que se les corrigió.
Descripción
Se dio inició a la sesión como primera medida con el saludo respectivo a los estudiantes y el
llamado a lista de los mismo. Seguido de esto, se continuó con lo que se tenia preparado
para la clase, entregándoles las pruebas ya calificadas y comenzando con la corrección de
esta. Cabe mencionar que en varios de los ítems, se reflejó que los estudiantes no leen para
comprender o analizar, sino que simplemente leen por leer, dando como ejemplo el
siguiente:
24 = 2 * ¿? ÷ ¿? * 6 = 24
Los números que al ubicarse dentro de cada signo de interrogación NO cumplen la
condición requerida para que el resultado final sea 24 son, respectivamente:
a) 4 y 2 c) 22 y 16
b) 16 y 8 d) 26 y 13
Es evidente que los números que aparecen en las opciones a, b, y c son operables con los
números del ejercicio y su resultado es 24, pero en el enunciado se dice que los que NO
cumplen con la condición son…, cosa que los estudiantes no leyeron atentamente
respondiendo así las opciones que hacen que la operación sea correcta. Para esto, se les
aclaró que es importante concentrarse muy bien en lo que están resolviendo en alguna
actividad, porque pueden cometer errores como este.
También se generaron confusiones respecto a los números primos, pues en un punto de la
guía se preguntaba que si los números 2, 3, 11, 5 son impares, primos, pares o enteros
negativos, a lo que algunos estudiantes respondieron que eran impares, dándonos la
explicación de que los números impares son los que únicamente son divisibles por si mismos,
permitiendo con esto que nosotros los practicantes nos diéramos cuenta de que los
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alumnos confunden los números primos, con los números impares. Fue necesario que
nosotros les corrigiéramos el error, explicándoles que los números impares son aquellos que
no son pares, o sea, son los que van de dos en dos comenzando desde uno, y que al mismo
tiempo no son divisibles por 2, y que los números impares son los que únicamente son
divisibles por si mismos y por 1.
Hubo un punto en el que se pedía hallar el perímetro de una figura (no de manera directa,
pues el enunciado se hizo de manera sumisa para que no fuera tan evidente), y fue
satisfactorio observar que la gran mayoría de los estudiantes respondieron correctamente
este ítem, ya que al principio de las sesiones, sobretodo en la actividad diagnóstico, ellos no
sabían que era el perímetro de una figura y de que manera se hallaba este, algo que da
muestras de que en el poco tiempo que estamos con ellos han aprendido algo que es
importante para futuras ocasiones, incluyendo el desarrollo de la actividad de la situación
fundamental.
En esta corrección de la prueba, también hubo un error por parte de los practicantes,
mencionando que no fue por falta de conocimiento sino por una pequeña confusión, pues
este se hizo evidente en el momento que se quería hallar el valor de una incógnita (x),
porque al querer organizar la ecuación, hubo un desliz al clocar un signo, que realmente era
positivo, pero los practicantes lo colocamos de manera negativa, lo que generó omitir la
explicación de este punto, haciéndose evidente un deslizamiento metacognitivo, porque no
se enseñó lo que se tenia que enseñar de manera correcta.
Una vez terminado el ejercicio anterior se siguió con la actividad preparada para este día.
Respecto a lo que se planeó referente a la situación fundamental, le pedimos a los
estudiantes que se organizaran en grupos, para continuar con esta parte de la case, ya que
es el tema más importante dentro de las sesiones que vamos a implementar en el colegio.
Lo primero que se les dijo, fue que debían tener en cuenta el perímetro real del barrio, pero
ese dato nosotros se lo escribimos en el tablero, 1.998 metros y que con esta ayuda, ellos
comenzaran a darle las medidas a cada objeto que iba a estar dentro de la maqueta a
construir.
Es importante recordar que lo implementado en esta actividad se dio como variable
didáctica, teniendo en cuenta las dudas de los estudiantes en la pasada clase y con los
avances que habían llegado (protocolo 4)
La idea fue que entre los dos practicantes fuéramos pasando por cada grupo de trabajo,
para hablar con los alumnos y así evidenciar que tanto iban adelantados, atrasados o entre
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uno y el otro, y al mismo tiempo mostrarle a cada grupo la hoja donde esta el diseño del
mapa real del barrio México, como representaba su esquema y como lo podían comparar
con el mapa original del barrio México, teniendo en cuenta el perímetro ya dado, como lo
comparaban con su proceso anterior.
Este cambio de metodología implico hacer uso de herramientas heurísticas como la
analogía, para establecer un criterio frente a lo que los estudiantes estaban desarrollando
frente a su representación (figuras geométricas) y la realidad.
P: Bueno, como van con las ideas para reorganizar el barrio.
E: pues profe, ya tenemos cuantas casas vamos hacer y como las vamos a distribuir, para
que las podamos distribuir entre las tiendas, el colegio, el parque y las otras cosas.
P: Bien, pero es necesario que tengan en cuenta las medidas que van a darle a cada objeto,
y para eso es necesario que vean un momento este mapa.
E: Si profe, vamos a terminar de cuadrar lo que debe tener el barrio, para comenzar con las
medidas.
P: Bueno, miren acá (se les mostró el mapa del barrio). Donde creen que esta el colegio.
E: Acá (señalando con el dedo índice el lugar donde esta el colegio)
P: Exacto, ahora observen las casas, y compárenlas con el colegio.
E: mmm, son más pequeñas.
P: Exacto, eso es lo que queremos que vean, que es necesario tener en cuenta el tamaño
real de cada objeto, para que ustedes no lo omitan dentro de la construcción de la maqueta.
O sea, son más pequeñas las casas y tiendas que el colegio.
E: Si profe, es de casi una cuadra completa el colegio.
P: Si, a diferencia de que en una cuadra, hay más de 6 casas.
Con esto notamos que los grupos llevan un pequeño avance en cuanto a las nociones
topológicas de los objetos, cuando se refieren a que algo más grande que o más pequeño
que, y que al tener un prediseño del barrio que van a construir, pueden pensar en que va a
ser más alto y que otra cosa, y que debe ocupar más espacio en algún lugar determinado,
reflejando que han hecho o se han cuestionado respecto a esto, ya que en el diseño que
tienen, organizan los objetos de manera coherente, sin dejar espacios sobrantes. Ahora que
lo desarrollen frente a la representación de los anterior.
Con cada grupo se detalló en este aspecto, ya que es relevante que ellos lo analicen, y
traten de hacer construcciones algo reales, para que no terminen haciendo las casas más
grandes que el colegio. En la socialización pasada los estudiantes establecieron medidas
propias a su proyecto, esto influyo mucho dentro de la representación que llevaban ya que
hubo un conflicto con la medida real del barrio. En este caso es necesario tener en cuenta
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nosotros como profesores como manejamos dos variables que al no ser bien guiadas se
produce el deslizamiento metacognitivo,
P: Bueno, y que estrategia van a utilizar para tratar de darle las medidas a los objetos.
E: Pues profe, nosotros vamos a buscar en Internet el mapa, y vamos a ver si están las
medidas de las cosas.
P: mmm, y en el caso de q no estén.
E: mmm, no las inventamos…
P: No, ese no es el caso, y la idea es que busquen de que manera podrían hallar medidas
para sus objetos de maqueta.
Vemos que para este análisis, los estudiantes no han generado ideas de cómo podrían hallar
las medidas de los lugares, y que en el caso de tener algún tipo de pensado, es con la ayuda
tecnológica, pero lo primordial es que después de hallar estas medidas, utilicen lo que se ha
estudiado, más específicamente, en cuanto a perímetros, y áreas, y si es posible, volúmenes
de una figura.
La idea de que el estudiante interactué con el objeto matemático y así entre a un proceso de
metacognición y su aprendizaje sea por experiencias dadas, como la acción de reconocer,
ubicar y representar.
Hubo grupos de trabajo, en donde lo hecho hasta el momento no ha sido del todo muy
avanzado, ya que se quedaron en cosas que ya debían tener hace varios días, mejor dicho,
no han pasado de describir que objetos deben estar plasmados en una zona rural, y con
ellos se trató de hablar un poco más para que no se dejaran atrasar y se nivelen con los
demás grupos, pero se hace evidente que son grupos un poco difíciles de trabajar, pero que
con paciencia y brindándoles ayuda, podrían avanzar un poco más, y realizar lo que se les
pide. Hay grupos que ya han diseñado un mapa con todo lo que para ellos debe estar en el
nuevo barrio, caracterizando cada objeto que este en él, y describiendo cada aspecto
importante que hace que sirva de estrategia.
El rol del docente se ve un poco opacado por las expectativas de la fase de acción,
produciendo los llamados efectos o fenómenos didácticos, cuando se trata de guiar a un
estudiante.
Para establecer un proceso de metacognición mas estructurado, les pedimos a los
estudiantes que hagan uso de la heurística planteada: “que para la próxima sesión, debían
llevar un informe escrito donde se mencione, de qué forma o como iban a implementar el
valor de las medidas, y que si era posible, llevaran un adelanto de estas longitudes, para que
comiencen a avanzar en el trabajo de modelación, y darle cabida a la explicación de las
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figuras tridimensionales que se deben tener en cuenta para implementarlas en esta
construcción. Esto con respecto a la socialización final de sesión.
Niveles de Complejidad
Dentro de la sesión de clase se estableció la representación geométrica, como elemento
que está dentro de nuestro objeto matemático a analizar teniendo que Van Hiele menciona
dentro de la fase de reconocimiento el uso de los sentidos (visualización y percepción).
Nivel 0:
Diseña el mapa del barrio México, teniendo en cuenta la representación de los objetos
que menciona para la construcción de la maqueta.
Dentro de lo desarrollado por los estudiantes se evidencio que todos tenían un primer
diseño grafico, teniendo en cuenta su percepción inicial y reconocimiento de las
características principales de los objetos (viviendas, edificaciones, parques, etc.,), referente a
los espacios a utilizar.
Nivel 1
Diseña el mapa del barrio México, teniendo en cuenta la representación de los objetos
que menciona para la construcción de la maqueta, además hace uso de la comparación
con el mapa original de barrio México, como herramienta heurística.
Varios grupos hicieron uso del mapa original de barrio México, donde compararon las
construcciones originales con las propias, llegando a formalizar su proyecto, también tiene
en cuenta las características que existen en la representación.
Nivel 2
Diseña el mapa de barrio México, teniendo en cuenta la comparación con el diseño
original, estableciendo un proceso de metacognición (describiendo su proceso) para la
representación geométrica del proyecto.
Un grupo destacó las figuras básicas geométricas presentes en la representación propia y
original del Mapa de barrio México, describiendo su proceso de utilización y adecuación al
proyecto y la situación fundamental.
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5.5. FASE DE FORMULACIÓN (ACTIVIDAD Nº 6)
Institución Educativa Distrital Ciudad de México
Fecha a Realizar: 28 de Abril 2010
Grado: 902 y 903 Jornada Mañana
Docentes: Leidy Morales, Julián Mendoza, Miguel Cuervo, Fabián Bogotá
Actividad N°6 Fase de Formulación
Entrega de proyectos a la constructora II
JUSTIFICACIÓN
La siguiente actividad se plantea para que los grupos de estudiantes, presenten la
propuesta terminada, puesto que en la clase anterior no lo pudieron hacer, en el cual
incluyan las consultas que han realizado y todas las especificaciones pedidas en la
clase anterior para este informe. Con el fin que los estudiantes, aparte de tener claro
lo que van a construir, también logren ver si lo que están haciendo es pertinente
con lo que les pide.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Esta actividad estará abordada por cuatro etapas o fases de desarrollo, tanto
logísticos como de procesos.
Fase 1: Los estudiantes se reunirán por grupos de trabajo para terminar lo que les
haya quedado pendiente del proyecto que van a entregar y discutan acerca de las
consultas que realizaron para ver qué es lo que les sirve para cada elemento con los
que van a trabajar, haciendo una formalización de ras relaciones entre las figuras y
los perímetros de ellas partiendo de dichas consultas.
Los docentes estaremos observando lo que los estudiantes discuten y lo que
plantean en el informe para tener en cuenta esas intervenciones en la segunda fase.
Fase 2: Una vez terminada la fase 1 y teniendo los estudiantes terminado su
proyecto escrito, los docentes pasaremos grupo por grupo planteando unas
preguntas orientadoras que lleven a los estudiantes reflexionar sobre su proceso y
sobre sus conocimientos acerca del perímetro y las formas de medir.
90
Fase 3: En esta fase, los estudiantes volverán a tener un tiempo para reflexionar
acerca de lo que los docentes les propusieron y lo que les preguntaron, generando
así algunas correcciones (teniendo en cuenta lo que hicieron en la clase anterior y en
la fase uno de esta actividad), ó aportes a su informe.
Fase 4: En la última fase, los grupos contarán a sus demás compañeros que era lo
que tenían pensado y que es lo que piensan ó lo que surgió después de reunirse
con los docentes, haciendo una metacognición (los estudiantes) del antes y después
de reflexionar sobre lo que están haciendo.
OBJETIVOS
General
El estudiante hace una validación de sus estrategias y de su proceso metacognitivo,
estableciendo nuevas estrategias y sustentos para dichas estrategias.
Específicos
Reconocer la definición de perímetro y la importancia de este en el trabajo
planteado.
Realiza un acercamiento de las posibles relaciones entre el campo bidimensional
y tridimensional
Establece criterios que permitan el desarrollo de las principales definiciones
teóricas y la implementación de las figuras geométricas en la práctica.
ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES
Fase 1: Pequeños grupos de
trabajo
20 minutos
Profesor:
Orienta y guía al estudiante hacia una
compresión significativa.
Organiza las exposiciones de forma
ordenada y orienta al curso a un buen
comportamiento frente a ellas
Plantea preguntas que guíen al
estudiante a un mejor desarrollo.
Estudiante:
Ser participe activo de los temas a tratar
durante la clase.
Respetar lo propuesto por el docente.
Organizar grupos de trabajo acordes a
Fase 2: pequeños grupos de
trabajo y aportes de los maestros
20 minutos
Fase 3: Pequeños grupos de
trabajo
20 minutos
Fase 4: Entre todos se desarrollara
esta fase de socialización.
20 minutos
91
un buen desarrollo cognitivo para la
sesión de clase.
Respetar lo propuesto por los otros
grupos en sus exposiciones.
Realizar aportes en su grupo, ayudando
al avance del mismo.
Genera una meta cognición de sus
estudiantes presentando sus estrategias
y defendiéndolas desde lo teórico.
Valida sus conocimientos, consultas y
argumentos.
NIVELES DE COMPLEJIDAD
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2
Comunica las diferentes
relaciones entre los
sólidos y los poliedros
haciendo uso de la
representación verbal.
Comunica cada una de
las diferentes relaciones
entre los sólidos, los
poliedros y sus
relaciones de área y
volumen haciendo uso
de la representación
grafica.
Comunica las relaciones
entre los sólidos,
poliedros, sus áreas y
volúmenes y logra
pasarlo del plano
bidimensional al
tridimensional, en la
construcción de los
poliedros.
92
5.5.1. PROTOCOLOS N° 5
La clase realizada el día 21 de abril del año 2010, correspondiente aun a la fase de
formulación, tenía como fin que los estudiantes terminaran la primera propuesta del
proyecto de renovación del barrio México; en la cual ellos identificarían las
especificaciones del diseño, materiales, formas y las posibles propiedades
matemáticas. Con el fin que los alumnos tengan claro que es lo que van a construir
y donde nosotros como profesores percibiríamos en concreto las primeras
especificaciones matemáticas, mas exactamente el perímetro. Esta entrega es
resultado de todas las sesiones anteriores, mas exactamente de las ultimas dos,
tiempo en el que los educandos han trabajado y/o pensado en esta primera
propuesta. En la totalidad de la clase se busco que los distintos grupos terminaran
dicha propuesta por lo que las situaciones y/o conversaciones fueron escasas, sin
embargo con la entrega de dichos proyectos si damos cuenta de varios resultados y
avances de los estudiantes con respecto al perímetro y algunos otros temas; como lo
vemos representado en la siguiente conversación:
E1: Profe nosotros acomodamos el mariposario, en esta parte pero
nos dio esta figura. Esta no es una figura normal.
¿Cómo hago para medirle todos los limites y
poderle escribir el perímetro?
P: Estas segura que a esa figura no le puedes
medir los límites. ¿Que es el perímetro?
E1: Pues es lo que lo
rodea…………………………………….aaaaaaaahhhhhhh
pero si lo puedo medir. Pero si me piden lo de
adentro ¿Como es que se llama?
E2: La superficie, el área.
E1: Eso, si me piden el área tengo que tener
superficies que tengan formas de figuras
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL REPÚBLICA DE MÉXICO
21 DE ABRIL DE 2010
GRADO: 902 JORNADA: MAÑANA
PRACTICANTES: MENDOZA JULIÁN, MORALES LEIDY
PROTOCOLO 6: FASE DE FORMULACIÓN
93
normales.
P: ¿Cómo puedes convertir esas figuras normales?
E1: ¿Como así?
P: ¿Como esa figura que tienes la puedes componer de figuras
normales para ti?
E1: Pues por ejemplo
acá este mariposario
lo podemos repartir
en estos dos
triángulos.
P: Claro que si.
En este contexto vemos como el estudiante se da cuenta, como primera medida, que
a algunas figuras irregulares se les puede medir el perímetro y del mismo modo,
incluyendo conceptos poco distinguidos por ellos, como lo es el área, el alumno
identifica que para poder hallarla en una figura irregular tendrá que descomponerla
en figuras que si son regulares para así obtenerla. En esta conversación podemos
analizar como los docentes hacemos las devoluciones, partiendo que la enseñanza
según lo que dice Brosseau10, es la devolución al alumno de una situación a-
didáctica correcta; el aprendizaje es una adaptación a esta situación, a demás, el
maestro no debe efectuar la comunicación de un conocimiento, sino la devolución
de un buen problema y si esta devolución se lleva a cabo, el alumno entra en el
juego y si acaba por ganar, el aprendizaje se ha realizado. Por ende lo que hicimos
en esta conversación lleva a una buena devolución, porque partiendo de las
intervenciones o preguntas que plantea el docente los estudiantes llegan a darse
cuenta de un conocimiento, que si bien ellos no lo conocen formalmente, si logran
interpretarlo y saber para que le sirve, como lo es la descomposición de figuras
irregulares, para logar hallar el área de un polígono irregular.
También en esta sesión logramos darnos cuenta de los avances que han tenido los
estudiantes, con respecto a la clase anterior, como lo habíamos nombrado en el
protocolo 5, los estudiantes lograron darse cuenta que en sus planos debían mostrar
calles, porque no existía un lugar por el cual transitaría la gente y los automóviles y
la relación de diseñar calles con el perímetro, puesto que lo que elles plantean es
que el perímetro es lo que rodea y en efecto lo que rodearan las edificaciones son
las calles. En esta clase trajeron diseñados los nuevos planos:
10 Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
94
Antes
Después
Esta fue la situación o conversación más llamativa y la que decidimos analizar de lo
que ocurrió durante la clase; aunque con la entrega de cada una de las primeras
propuestas realizadas por los estudiantes nos dimos cuenta de dos aspectos que
cabe la pena resaltar.
I. Formas innovadoras, constituidas a partir de formas regulares:
El total de los
estudiantes en sus
propuestas nos
mostraron distintas
formas que nos
llamaron la atención,
pues ni nosotros
mismos al momento de
diseñar nuestra situación fundamental pensamos que se presentarían figuras
como estas, y del mismo modo es alentador como se reactiva la creatividad e
95
imaginación de los alumnos, en este caso adolecentes de grado noveno cuya
edad esta
En este
caso los
estudiantes partieron del hecho que
debían entregar unas especificaciones del diseño, y que de acuerdo con lo
planteado del perímetro y el área buscaron la forma en que lo podían calcular,
siendo para ellos la forma más sencilla el partir de figuras regulares, a demás
también los estudiantes han tratado de ver cómo pueden construir las figuras que
van a trabajar, y, se dan cuenta que deben partir de sólidos normales como las cajas
o pirámides para hacer las construcciones de las figuras, por ejemplo:
En estas dos últimas situaciones, podemos hacer un análisis acerca de: por un lado
los avances en el proceso y en las fases de las situaciones, por otra parte la
evolución en su pensamiento geométrico a partir de los niveles de van Hiele, y por
último las características de su proceso con la noción del espacio según Jean Piaget.
Entre los 14 y 16
años de edad.
Por ejemplo en esta figura, los integrantes de este
grupo decían que para construirla, podían hacer dos
“cajas alargadas” como lo dicen ellos, que son los
prismas, y una cajita o cubo en medio, y así lo
lograran construir, mucho más fácil, puesto que han
averiguado de que formas pueden hacer estas
figuras y encontraron el origami como una opción y
ya saben cómo construir los cubos. Como este grupo, hay otro que ya está
haciendo los
cálculos de perímetro, y que han
encontrado la
necesidad de indagar para poder avanzar
en su proceso.
96
El primer análisis, es cómo, lo que los estudiantes hacen si corresponde
acertadamente a la fase de formulación y la coherencia que tiene con nuestra
secuencia, por un lado la fase de formulación según la TSD (Teoría de las situaciones
didácticas) es aquella en la que los estudiantes formulan enunciados, construye
modelos, lenguajes, los pone a prueba y los intercambia con otros, que es lo que los
chicos hacen en la primer imagen ellos construyen un modelo para la construcción
de sus figuras, que es armarlas a partir de figuras más regulares, a demás lo pondrán
a prueba a partir de sus consultas y dicen a sus compañeros tratándolos de
convencer que es más fácil hacerlo de esa manera; a demás también podemos decir
que estamos en una fase de formulación en nuestro proceso, ya que en la fase de
formulación según nuestra secuencia, los estudiantes : “Se cuestiona y consulta
acerca de los poliedros y su construcción. Analiza y discute acerca de la mejor forma
de darle solución a la situación” y en este caso los estudiantes empiezan a realizar
consultas para sustentar lo que dicen y piensan y llevan esos conocimientos y
herramientas al aula, preparándose así para pasar a una fase de validación en la cual
los estudiantes verán y validarán sus estrategias y sus conocimientos
Por otro lado, podemos decir que los estudiantes han avanzado en su pensamiento
geométrico, pues partiendo de los niveles propuestos por van hiele11, los chicos, en
su mayoría, ya no hacen parte de un nivel 0 de visualización y reconocimiento, si no
que logran avanzar al nivel 1, pues los estudiantes perciben los componentes y
propiedades de los objetos o figuras, como se había mostrado antes ya hablan más
formalmente de las figuras, por ejemplo diciendo que una figura es un prisma de
base octagonal y no una simple caja. Experimentando con las figuras establecen
nuevas propiedades de ellas, y a demás de maneras informales las pueden describir.
Estas características son las que nos aseguran que los estudiantes ya están en un
nivel de análisis.
Por último, en esta parte, según lo propuesto por Jean Piaget12 los estudiantes de
este salón, si están en un estado consecuente, y lógico de acuerdo a sus edades,
pues si bien los estudiantes siguen interesados por lo descriptivo, poco a poco
precisan una explicación de los fenómenos, a demás tienen más coherencia con la
distribución en el espacio, y logran plasmas eso en el plano.
11 Fouz, fernando; de Donosti, Berritzegune. Modelo de Van Hiele para la didactica de la geometría. 12 http://www.monografias.com/trabajos16/espacio-tiempo/espacio-tiempo.shtml
aprender más cuando la situación que se les plantea es significativa para ellos, en
este caso los estudiantes están tratando de mejorar su barrio y eso es importante
para ellos, no sería lo mismo que ponerlos a remodelar un barrio que ni siquiera
conocen o un lugar en otro país, esto lo podemos sustentar según lo que plantea
Díaz Barriga Arceo acerca de la cognición situada13 , en el sentido, que los
estudiantes no se interesan por situaciones a las cuales no les ven ningún sentido,
que están descontextualizadas, por lo tanto no les interesa trabajar ni darle
soluciones a ellas.
Partiendo de ocurrido en esta sesión, podemos analizar a los estudiantes, no solo
de los niveles propuestos para esta actividad, si no que a demás de los niveles
planteados para la fase de formulación:
13 Díaz Barriga, F. (2003). Cognición situada y estrategias para el aprendizaje significativo. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 5 (2). Consultado el día de mes de año en: http://redie.ens.uabc.mx/vol5no2/contenido-arceo.html
98
NIVELES PLANTEADOS PARA ESTA ACTIVIDAD
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2
Diseña el mapa del
barrio México, teniendo
en cuenta los objetos
que menciona para la
construcción de la
maqueta y sus
características de
medida.
Diseña el mapa del
barrio México, teniendo
en cuenta los objetos
que menciona para la
construcción de la
maqueta, además hace
uso de la comparación
con el mapa original de
barrio México, como
herramienta heurística,
para compara los datos
referentes al espacio.
Diseña el mapa de barrio
México, teniendo en
cuenta la comparación
con el diseño original,
estableciendo un
proceso de
metacognición
(describiendo su proceso)
para la medición de las
principales figuras
llegando a una
definición exacta de
perímetro y área.
Según estos niveles, los estudiantes del grado 902, estarían en un nivel 1 puesto que
todos los grupos hacen el plano, partiendo de las siguientes evidencias:
A demás los estudiantes hacen uso del mapa original para la comparación y
construcción de su plano:
99
A pesar de ello, también incluiríamos un factor más a este nivel, y es que los
estudiantes logran definir y aplicar el perímetro, pero no tienen clara la noción del
área. Ahora bien, según los niveles planteados para esta fase:
NIVELES PARA LA FASE DE FORMULACIÓN
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2
Comunica las diferentes
relaciones entre los
sólidos y los poliedros
haciendo uso de la
representación verbal.
Comunica cada una de
las diferentes relaciones
entre los sólidos, los
poliedros y sus
relaciones de área y
volumen haciendo uso
de la representación
grafica.
Comunica las relaciones
entre los sólidos,
poliedros, sus áreas y
volúmenes y logra
pasarlo del plano
bidimensional al
tridimensional, en la
construcción de los
poliedros.
De acuerdo con estos niveles, podemos decir que los estudiantes logran comunicar
las diferentes relaciones entre sólidos y poliedros hablando que sus caras son
cuadrados, rectángulos o triángulos, haciendo uso de las representaciones graficas,
pero aun no logran hacer las relaciones de área y volumen, solo se quedan en el
perímetro; por este motivo, en la próxima sesión plantearemos devoluciones que
hagan que los estudiantes lleguen a la necesidad de usar el volumen y de esta forma
avanzar a un nivel más alto.
100
PRACTICANTES: Miguel Cuervo – Fabián Bogotá
14 DE ABRIL 2010
COLEGIO REPÚBLICA DE MÉXICO
GRADO: 903
JORNADA: Mañana
PROTOCOLO 6
Temática
Dentro de lo desarrollado en la pasada sesión de clase, los estudiantes comenzaron
a desarrollar un avance de su proceso metacognitivo, es decir desarrollaron un
informe en el cual, plantearon, describieron y diseñaron su proyecto, teniendo en
cuenta lo trabajo en las clases hasta el momento.
En la sesión, se tuvo como objetivo que los estudiantes retomaran su proceso ya
construido y generaran expectativas que contribuyeran a la construcción de su
maqueta, evidenciando los objetos que plasman en su informe escrito y posterior a
esto empezaron a plantear ideas para hallar la medidas (perímetro) de cada
elemento.
Al igual que en la sesión anterior el objeto matemático que se desarrolló está
enmarcado dentro de la geometría del espacio haciendo uso de la descriptiva,
donde los estudiantes ubicaron e hicieron el reconocimiento necesario para poder
llegara a las representaciones geométricas.
Secuencia gráfica del objeto matemático llevada hasta el momento.
101
Por la línea de la Teoría de situaciones didácticas se incluyó como referente
importante el marco teórico implementado para nuestra secuencia didáctica de la
geometría, teniendo en cuenta el saber sabio como las representaciones en la
Grecia clásica y el antiguo Egipto haciendo uso de la trasposición didáctica para
llegar al saber enseñar, teniendo como base las etapas que menciona Piaget y por
ultimo desde lo estándares lo pedido por la comparación de lo tanteado. Esta es la
situación actual de nuestro objeto matemático dentro de nuestro ideograma, dentro
de la fase de acción.
Además de esto, la idea fue corregir la prueba de matemáticas que se les hizo antes
de Semana Santa, para que de esta manera ellos denotaran los errores que tuvieron
para esta prueba, y en futuras sesiones les pueda servir de ayuda con problemas
donde se evidencie lo que se les corrigió.
Descripción
La sesión se inició a las 10:50 de la mañana, con el habitual llamado a lista. Seguido
de esto les pedimos a los estudiantes el informe escrito que debían llevar donde se
evidenciara un adelanto del proyecto que se está realizando en la clase, pero que
por parte de los estudiantes fue incumplido ya que únicamente un grupo llevó el
adelanto. Por esta razón, los practicantes tuvimos que hacer uso de una variable
didáctica en el aula implementando un cambio en la actividad, denotando que este
cambio se hizo respecto a que les dijimos que debían comenzar a escribir un
borrador del informe y en el caso de tener dudas, preguntarnos a los practicantes
para orientarlos a un desarrollo mas correcto.
Un aspecto importante que nos dimos cuenta por parte del profesor, es que
estamos empleando todo el tiempo que el estudiante responda al proceso de la
TSD, sin tener en cuenta que el maneje una autonomía completa, es decir sin que el
profesor este todo el tiempo suministrando la información para su aprendizaje, a
esto se retomaron una metodología que implicara la relación del estudiante, el
medio y el conocimiento con el profesor. En pasadas sesiones siempre los
estudiantes se encontraban a la deriva con la situación, sin tener una ruta
esquematizando su proceso, esta falla que nosotros como profesores identificamos
para determinar un trabajo enfocado a enseñar a pensar (Nickerson 1998), este
proceso de pensamiento crítico en el que los estudiantes se enfocarían a tomar la
situación problema no una obligación, sino como una oportunidad de aprendizaje
102
significativo. Dentro de esta nueva metodología que se implemento en la clase
tuvimos en cuenta la organización y el proceso llevado hasta el momento y la tarea
propuesta más reciente que era el informe del proyecto.
En la sesión se emplearon unas asesorías personales del grupo de trabajo con el
profesor para así determinar un compromiso del profesor con el estudiante y a su vez
con el proceso de la construcción de la maqueta.
A medida que los estudiantes iban trabajando en el avance del trabajo escrito, los
profesores comenzaron a llamar grupo por grupo, con el objetivo de hablar con
cada grupo y observar el adelanto que llevan en todo el trabajo del proyecto. Por
parte nuestra, hubo recomendaciones mostrándoles en que estaban fallando o que
les faltaba para que el desarrollo de la maqueta tuviera mejores propuestas.
Hubo grupos de trabajo que iban muy atrasados, algo que nos generó varios
interrogantes hacia ellos, a lo que ellos respondían que no se sentían conformes con
los compañeros que estaban trabajando, o que no habían venido a la clase anterior
y por ende se sentían atrasados. A los estudiantes que decían estar inconformes con
los compañeros de trabajo, les recordamos el trato (o contrato didáctico) que se
había establecido con ellos, donde se les había dicho que no se hacían más cambios
de grupos y que como se habían acomodado la última vez, iban a trabajar más.
Dentro de la tutoría que los practicantes hicimos, s los estudiantes se les hizo una
serie de preguntas que se enfocaban hacia el análisis del proceso que están
desarrollando:
(El profesor llama a uno de los grupos de trabajo para la asesoría y los estudiantes
se dirigen con el informe)
Antes de que el profesor lea el informe
P: Bueno, muchachos cuenteen lo que han desarrollado en el proyecto.
E: Pues, profe nosotros tenemos ya las cosas que vamos a colocar.
P: ¿Qué cosas?
E: Casas, parques, una gran iglesia, pues la idea es colocar las tiendas necesarias
para no ir al centro que allá esta todo, y pues que la personas se puedan mover con
facilidad, que haya seguridad con varias estaciones de policías y muchas zonas
verdes.
103
P: Bien, pero es importante que lo escriban en su informe ya que no lo veo.
E: Ahh profe si lo tenemos, lo que pasa es que se nos quedó.
P: Bueno cuénteme lo que escribieron en su proyecto.
E: Pues nosotros presentamos nuestro proyecto, después escribimos todo lo que iba
a llevar y después nos pusimos a contar todo lo que hemos hecho hasta hoy en día.
P: ¿y según eso hasta donde han llegado?
E: Pues, pues.
(Momento de silencio)
P: ¡Entonces no han terminado el informe!
E: Pues profe la próxima clase se lo traemos completo.
P: Bueno entonces ¿muéstrenme el mapa que han hecho?
E: Si profe, pues nuestra casas en el mapa como se ve desde arriba se ven cuadradas
de forma cuadrada, pero cuando la vemos de otro Angulo, el techo tiene una forma
de un triangulo. (Mostraron un ejemplo construido de la casa para la maqueta)
P: ¡Triángulo!, ¿seguros que en esa figura solo hay un triangulo?
E: No profe son como pirámides (risas).
P: Bueno muchachos, los veo muy quedados pero veo que tiene muchas ideas para
la maqueta, la idea es que avancen
Hay 2 aspectos importantes, en esta conversación de un grupo de estudiantes, se
puede ver ejemplificado el proceso meta cognitivo que nosotros los profesores les
pedíamos a los estudiantes que plantearan como una ayuda en la construcción de la
maqueta y de su aprendizaje siguiendo por la línea de la TSD.
Por otro lado podemos ver como el concepto matemático, dentro de la
conversación prevalece, ya que las representaciones geométricas que los estudiantes
desarrollaban en el mapa, trataron de darle forma con el ejemplo de la casa,
identificando algunas características principales. Dentro del cambio de lo
bidimensional a lo tridimensional, teniendo en cuenta que la percepción de los
estudiantes en la fase de acción fue de lo tri a lo bi. Esto esquematiza aun más lo
104
que los estudiantes están comprendiendo con el problema de la maqueta. Esta
actividad matemática se establece dentro de las representaciones que se
constituyen por medio de lo grafico, estableciendo así figuras geométricas.
Dentro de las representaciones graficas encontramos un proceso de lo visualizado
hacia lo abstracto, donde se produce un análisis geométrico en la maquetas, dentro
de este juega el papel de los saber que los estudiantes tiene de interpretación de los
objetos reales y de sus ideas abstractas planteas en imágenes mentales y luego
plasmadas a un contexto contundente (Alsina, Burgués y Fortuny 1998) como el
plano del barrio México, ahora dentro de esto se encuentra el paso que hicieron los
estudiantes en representarlo como un sólido a modelos escala, esto se presenta
como una hipótesis del aprendizaje.
Este tipos de acciones comprueba las devoluciones que se producen como efecto
del estudiante con el problema planteado con el profesor, mostrando así el
cumplimiento del contrato didáctica establecido en la situación fundamental y
retribuido con las habilidades y proceso que han desarrollado los mismo en notar
características comunes y a su vez contrastarlo.
La dinámica de la clase fue iterativa es decir, se siguieron llamando grupos a ver
como se encuentran en su proceso con la evidencia del informe y a su vez como
hacen uso de las representaciones graficas de los estudiantes.
Otra conversación que nos inquieto por el análisis que los estudiantes de daba fue el
siguiente:
P: Bueno el siguiente grupo.
E: Acá profe que no nos ha revisado
P: (El profesor lee el adelanto del informe) Bueno muchachos muy importante lo que
escriben con respecto a su proceso inicial ya que esta esquematizando su proceso y
esto va a ser de mucha ayuda en la construcción final de la maqueta. Pero es
importante que ya que llegaron a medir las figuras que completen el mapa o que lo
especifiquen por completo, (el profesor señala algunos vacios en el mapa).
E: ¡Ahh! si profe eso ya lo tenemos, pero es que tenemos una pregunta, es que
estábamos dando los valores aproximados de acuerdo al perímetro que usted nos
escribió.
P: Si
105
E: y no sabemos en qué medida está el perímetro de la casa, si en cm2, ¿cierto?.
P: es muy importante que ya estén pensando en esto, pero también es importante
que trabajen por completar para poder avanzar a esta fase.
E: Profe pero entonces.
P: Muchos termines el avance del informe que hay pocos errores y también
comiencen a consultar sobre cómo medir esas figuras.
E: Área y perímetro.
P: Exacto y cualquier duda ya consultado eso me dicen
E: Ahhh bueno profe, ¡muchas gracias!
Es importante mirar esta conversación para que los estudiantes no se confundan con
los términos si aun no saben cómo está compuesto, por eso les dijimos que terminar
su proceso de metacognición, para poder inicial en la fase de la medida que es muy
importante dentro de la representación que se quiere llegar a una esquema
abstracto del proceso llevado.
Es importante resaltar el uso de las heurísticas que se tuvieron en cuenta en el
desarrollo de la actividad, donde le objeto principal fueron las representación que el
estudiantes concibe y el informe que describe el proceso de metacognicion
Finalizando la clase, se efectuó una tarea de consulta donde los estudiantes deben
averiguar como se pueden medir las figuras que establecen en su diseño del mapa,
para construir así la maqueta.
Niveles de Complejidad
Dentro de la sesión de clase se estableció las representaciones geométricas, como
tema general y el objeto que se desarrolla son las representaciones de las figuras
bidimensionales que está dentro de nuestro objeto matemático a analizar teniendo
en cuenta las etapas que menciona Piaget, y dentro de la fase de acción que
efectuamos el uso de los sentidos (visualización y percepción).
Nivel 0:
Representa las figuras bidimensionales, tenidos en cuenta para el diseño de la
maqueta del barrio México mencionando las características que se presentan.
Dentro de lo desarrollado por los estudiantes se evidencio que todos tenían un
primer diseño grafico, teniendo en cuenta su percepción inicial y reconocimiento de
las características principales de los objetos (viviendas, edificaciones, parques, etc.,),
106
referente a los espacios a utilizar. Esto se evidenciaba en la lectura de los procesos
iniciales que tenían los estudiantes de su informe.
Nivel 1
Representa las figuras bidimensionales, tenidas en cuenta para el diseño del
plano y la maqueta del barrio México, además hace uso de la comparación con
el mapa original de barrio México, como herramienta heurística, destacando
sus principales características.
Varios grupos hicieron uso del mapa original de barrio México, donde compararon
las construcciones originales con las propias, llegando a formalizar su proyecto,
también tiene en cuenta las características que existen en la representación. Donde
se pueden evidenciar en la lectura de sus respectivos informes.
Nivel 2
Representa las figuras bidimensionales, para el diseño del barrio México
teniendo en cuenta la comparación con el diseño original, estableciendo un
proceso de metacognición (describiendo su proceso), describe sus
características identificando así las principales figuras geométricas.
Dos grupos destacaron las figuras básicas geométricas presentes en la
representación propia y original del Mapa de barrio México, describiendo su proceso
de utilización y adecuación al proyecto y la situación fundamental, este grupo en su
informe destaca los lados, vértices, propios de cada figura implementada en su
diseño.
107
5.6. FASE DE VALIDACIÓN (ACTIVIDAD Nº 7 Y 8)
Institución Educativa Distrital Ciudad de México
Fecha a Realizar: 05 de mayo 2010
Grado: 902 y 903 Jornada Mañana
Docentes: Leidy Morales, Julián Mendoza, Miguel Cuervo, Fabián Bogotá
Actividad N°7 Fase de Formulación – Validación
Mido para construir
JUSTIFICACIÓN
La siguiente actividad se plantea para que los grupos de estudiantes, socialicen lo
que han realizado y las estrategias que han utilizado. A demás para que los docentes
presenten un proyecto de remodelación para otro barrio, con el fin que los
estudiantes tomen una idea más clara y a demás validen lo que han diseñado.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Esta actividad estará abordada por cuatro etapas o fases de desarrollo, tanto
logísticos como de procesos.
Fase 1: Los grupos, expondrán las estrategias, y en general sus procesos. Escucharán
las estrategias diseñadas y planteadas por los demás grupos. Planteando y/ó
respondiendo preguntas entre los diferentes grupos.
Fase 2: Una vez terminada la fase 1 y teniendo en cuenta lo expuesto por cada uno
de los grupos, los docentes llevaremos una propuesta para la remodelación del
barrio Meissen, presentando todas las especificaciones matemáticas y del diseño.
OBJETIVOS
General
El estudiante comunica su proceso, teniendo en cuenta el desarrollo matemático,
estrategias y dudas presentadas.
Específicos
Desarrolla la definición de perímetro y la importancia de este en el trabajo
planteado.
108
Desarrolla la nociones de la acción de medir las figuras presentes de su proyecto
Establece criterios que permitan el desarrollo de las principales definiciones
teóricas y la implementación de las figuras geométricas en la práctica.
ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ROLES
Fase 1: Pequeños grupos de
trabajo
40 minutos
Profesor:
Orienta y guía al estudiante hacia una
compresión significativa.
Organiza las exposiciones de forma
ordenada y orienta al curso a un buen
comportamiento frente a ellas
Plantea preguntas que guíen al
estudiante a un mejor desarrollo.
Estudiante:
Ser participe activo de los temas a tratar
durante la clase.
Respetar lo propuesto por el docente.
Organizar grupos de trabajo acordes a
un buen desarrollo cognitivo para la
sesión de clase.
Respetar lo propuesto por los otros
grupos en sus exposiciones.
Realizar aportes en su grupo, ayudando
al avance del mismo.
Genera una meta cognición de sus
estudiantes presentando sus estrategias
y defendiéndolas desde lo teórico.
Valida sus conocimientos, consultas y
argumentos.
Fase 2: Individual Profesor
Expone un propuesta acerca de la
remodelación del barrio Mesen,
teniendo encuentra las especificaciones
del proyecto.
Resuelve dudas presentadas por los
estudiantes.
Estudiante
Ser participe pasivo dentro de la
exposición del proyecto de los
profesores.
109
Generar inquietudes con respecto a la
propuesta presentada y su relación con
las de cada grupo.
VARIABLE MAPA DEL BARRIO SAN BENITO
Nivel 0
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto para el cálculo de su espacio, omitiendo las relaciones con su entorno.
Nivel 1
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto, asemejando la relación con el medio para el cálculo de su espacio (área y
perímetro).
Nivel 2
El estudiante relaciona las medidas reales de los objetos principales del barrio como
las casas, para establecer una medida patrón en el análisis de área y perímetro de los
objetos de su proyecto.
110
5.6.1. PROTOCOLOS N° 5
La sesión de clase programada para el día 28 de abril del año 2010, correspondiente
a la fase de formulación, tenía como objetivo que los estudiantes formalizaran las
especificaciones matemáticas entregadas en el informe anterior, mas exactamente
terminaran con las medidas perimetrales de cada uno de los lugares que ellos
mismos habían diseñado; y del mismo modo comenzaran a especular acerca de la
medición de la superficie que del terreno que ocuparían los distintos sitios de interés
dentro del barrio. Esto se hace con el fin que los alumnos interpreten y/o se den
cuenta de la importancia que tiene este tipo de medidas al momento de diseñar
planos en proyectos como el presentado en la situación fundamental.
La clase dio inicio con el saludo habitual, pero esta vez llevaba una felicitación
superpuesta, por los trabajos o informes entregados en la clase anterior, los cuales
muestran el interés y el empeño que la mayoría de estudiantes le están poniendo a
este trabajo, pues los resultados han sido satisfactorios y nos han dado la
oportunidad de llevar a fondo el análisis de cada uno de los sobresalientes trabajos
entregados, además de de llevarnos
una grata satisfacción de estar
haciendo bien el trabajo. A
continuación se reunieron cada uno
de los grupos los cuales, como lo
mencionábamos anteriormente,
hallarán los distintos perímetros de
los lugares que propusieron; y fue
en esta parte de la actividad donde
se presento la siguiente situación:
E1: Profe nosotros usamos algo que nos explicaron el año pasado, ¿Cómo es que se llama? E2: La regla de tres, con el perímetro del barrio que ustedes escribieron la
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL REPÚBLICA DE MÉXICO
28 DE ABRIL DE 2010
GRADO: 902 JORNADA: MAÑANA
PRACTICANTES: MENDOZA JULIÁN, MORALES LEIDY
PROTOCOLO 7: FASE DE FORMULACION
111
semana pasada, que es…………..1998 km P: ¿Y para que les sirve la regla de tres? E2: Es que con la regla medimos todo el perímetro del barrio y nos dio 60 centímetros P: Ósea que ustedes salieron, cogieron una regla y midieron todo el perímetro del barrio ¡y les dio 60 centímetros! E1:Noooooooooo.....jajajajajaja…..Medimos con la regla el perímetro del barrio pero en el Plano. P: Bueno ¿Y para que les sirve la regla de tres? E2: Pues que si 60 centímetros son 1998 km, por ejemplo en el cine este lado mide 2 centímetros………….son 66.6 kilómetros. P: Muy bien muchachos, ósea que esos cines van a ser inmensos E1: ¿Por qué? P: ¿Cuantos metros tiene un kilometro? E2: Creo que 1000 metros P: Ósea que cuantos metros tiene en ese lado el cine E1:Lo mismo con la regla de tres………………….son 66.600 metros…………….. ¡Huich si queda re grande!
Esta situación nos permite ver como el estudiante hizo uso de un conocimiento previo para abordar la situación, lo que nos lleva a reconocer una de las características de las situaciones didácticas, que el estudiantes usa sus conocimientos previos para abordar la situación, del mismo modo nos damos cuenta como, los alumnos ya hablan formalmente de perímetro y reconocen que es la medida del contorno de una figura. A demás logramos evidenciar como los estudiantes alcanzan, haciendo uso de la regla de tres, establecer proporciones entre las medidas:
Siendo la proporción una relación entre un grupo de cantidades, los estudiantes logran aplicar correctamente dicha relación entre metros y kilómetros, y, entre metros y los centímetros. El acto de medir, según Linda Dickson (1991, el aprendizaje de las matemáticas) referenciando a Piaget, se va desarrollando de acuerdo a la edad en una serie de estadios de desarrollo de la comprensión del proceso de medida. Es precisamente basados en estos estadios, que podemos caracterizar lo que hacen los estudiantes en el acto de medir, pues si fuese por la edad deberían estar en un cuarto estadio,
112
pero los alumnos aun lo logran medir áreas y volúmenes, lo que los devuelve a una etapa tres, en la cual los estudiantes cumplen con las siguientes características:
Estadio en que se capta la idea de unidad de medida que el objeto que se va a medir “… es capaz de proceder de modo más calculado. Piaget afirma que hasta el momento el desarrollo de los conceptos de medida lineal, superficial y de capacidad han tenido un lugar recurrente. Sin embargo la medida de un volumen entendida como la cantidad de espacio ocupado, se ve rezagada…”
En esta conversación, también podemos analizar como el docente realiza las devoluciones, no solo de preguntas, si no que le plantea diferentes situaciones para que el estudiante, vuelva aplicar la regla de tres, pues el docente lleva al estudiante a que aplique correctamente este término, para establecer las conversiones de las medidas. A demás pudimos evidenciar el primer error de nuestra actividad, el cual es que los lugares que van a ubicar van a quedar de un tamaño muy grande. A pesar de ello, no cambiaremos la actividad, pues los estudiantes llevan un gran avance. Al pasar por cada uno de los grupos nos dimos cuenta como uno en especial ya traía las formas y/o las construcciones solidas que pensaban poner en su maqueta; además vemos como algo explicado en la clase pasada le sirvo a los alumnos para analizar en un primer momento las figuras solidas que habían traído para esta cesión, así como también una confusión generada por una figura solida; esto lo vemos reflejado en la siguiente conversación:
E1: Profe nosotras ya trajimos esta figuritas para empezar armar la maqueta P: Huy muy bien, pero como van a analizar por ejemplo esta figura E1: Pues profe como hicimos la clase pasada cuando la figura no era normal. La dividimos en figuras que sean normales. P: Por eso como van a analizar esta casita si les
pido que me den la medida de lo de adentro E1: Esta parte de abajo es una cajita y la de arriba es una pirámide P: Bien pero mal….Jajajajajajajaja…………. La parte de abajo si es una cajita pero la de arriba no es una pirámide. E1: Como que no es una pirámide, si tiene triángulos P: Investiguen como se llama esta figura, y verán que no todas las figuras formadas por triángulos son pirámides; pero igual el
113
análisis que ustedes hacen esta bien al momento de dividir la casa en figuras normales para ustedes y así se les facilite encontrarle sus medidas
En esta situación, encontramos un error, las estudiantes, construyeron las figuras sin tener en cuenta el plano realizado, lo que las llevará a construir la maqueta y luego si dibujar el plano. Esto teniendo en cuenta que el grupo logra ver lo bidimensional de lo tridimensional, y evidencian que el plano es la vista aérea de la construcción. Por ejemplo:
En este caso, el grupo nos decía: “estudiante: profe o sea que en este caso el plano iría así:
Profe: exacto, en
los edificios, el plano
se debe ver de esa forma. También, este grupo aplica lo que planteamos en el protocolo anterior, acerca de la descomposición de figuras para plantear las áreas. Esta sesión, especialmente fue muy agradable, pues los estudiantes presentaron un gran interés y grandes avances en el trabajo que están realizando, se nota que están trabajando fuera del aula.
Teniendo en cuenta lo ocurrido en esta sesión podemos decir que los estudiantes se
acercan cada vez más a un proceso de validación, pues ya empiezan a formalizar sus
estrategias.
Nivel 0
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto para el cálculo de su espacio, omitiendo las relaciones con su entorno.
En algunos grupos, se presento que los chicos dieron medidas alectorias a sus
lugares, sin tener en cuenta sus características. Pues en algunos casos los estudiantes
daban medidas a un triangulo rectángulo sin tener en cuenta la relación de sus
lados.
114
Nivel 1
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto, asemejando la relación con el medio para el cálculo de su espacio
(área y perímetro).
La mayoría de los estudiantes se encuentran en este nivel, pues dan medidas
arbitrarias, logran hallar área y perímetro de esta figuras, pero no hacer una relación
de estas con las medidas reales.
Nivel 2
El estudiante relaciona las medidas reales de los objetos principales del barrio
como las casas, para establecer una medida patrón en el análisis de área y
perímetro de los objetos de su proyecto.
Como vemos, en la primera conversación, los estudiantes se encuentran en este
nivel, pues ellos logran establecer las relaciones de las medidas de sus lugares con
las medidas reales del perímetro del barrio.
Pues que si 60 centímetros son 1998 km, por ejemplo en el cine este lado mide 2 centímetros………….son 66.6 kilómetros.
115
PRACTICANTES: Miguel Cuervo – Fabián Bogotá
14 DE ABRIL 2010
COLEGIO REPÚBLICA DE MÉXICO
GRADO: 903
JORNADA: Mañana
PROTOCOLO 7
Temática
Teniendo el diseño de su maqueta en el plano tomamos la figura que conforman la
ubicación evidenciando en los objetos que plasman en su informe escrito para hallar
las medidas como perímetro y área del espacio dentro del barrio. Dentro de la
práctica se tomaron temas como conversión de unidades métricas para la
comparación de las medidas reales y las de su diseño, en esta no se enfatizó mucho
ya que nos desviábamos de nuestra ruta general
El cambio de la noción matemática de representaciones geométricas al de
perímetro y área se unen en el proceso del estudiante de visualización,
representación y razonamiento. (Alsina, Burgués, Fortuny, 1997)
Secuencia gráfica del objeto matemático llevada hasta el momento.
Geometría
Nociones
Topológicas Ubicación
Descripció
n Representaciones
graficas
Geométricas
Tridimensionales Bidimensionales
Poliedros Figuras
Geométricas
Medidas Volumen Perímetro y área
116
Descripción
Para esta sesión de clase, comenzamos a desarrollar la fase de formulación, ya que la
idea es que cada grupo de trabajo, abordara cada una de las estrategias impuestas
por ellos, y las formalizaran para que de esta manera, los conocimientos que han
adquirido durante cada clase, los pudieran exponer a los compañeros de salón. Para
esto, los practicantes les formulamos una pregunta orientadora con el fin de que
dieran un avance hacia su proyecto, y para darle cabida a otro aspecto importante
del desarrollo de la situación fundamental, más exactamente las medidas que debe
tener cada objeto que esta inmerso en el proyecto de grupo.
La sesión de clase se inicia con el habitual llamado a lista, para saber que estudiante
no fue, ya que la asistencia es un aspecto a evaluar. Seguido de ello, les pedimos a
los estudiantes que se organizaran en los respectivos grupos de trabajo, pero con
ello se generó desorden en un grupo, porque los estudiantes que lo conformaban ya
no querían seguir trabajando entre en el, diciendo que al principio si se entendían
pero que ya no.
Durante toda la clase, hubo inconvenientes con este grupo, ni siquiera los
practicantes logramos tratar de arreglar las diferencias entre los estudiantes, ya que
hablamos con ellos por bastante tiempo, pero fue imposible que este grupo
continuara con el trabajo. Por esta razón, y con el irrespeto por parte de una
estudiante del grupo, tuvimos que llamar al profesor Jorge (docente titular) para
comentarle lo sucedido. Con la ayuda del profesor, logramos que el grupo trabajara
como ya se habían organizado desde el principio, además de que en sesiones
anteriores habíamos dejado claro que ningún grupo se podía modificar más.
Prosiguiendo con lo sucedido en la clase, y lo que se tenía planeado, después de
organizar los grupos, hubo estudiantes que no aun no tenían muy claro como hallar
el perímetro de una figura geométrica, lo que generó que nuevamente los
practicantes cayéramos en el error del efecto topaze, el cuál explica que cuando el
docente muestra a los estudiantes lo que deben aprender, irrumpe la construcción
del conocimiento del este, haciendo que el alumno llegue a la solución de un
problema, pero no por sus propios medios, sino porque el profesor asume la
resolución del problema. Aclaramos que tal vez si se cayó en el efecto topaze, pero
porque era algo que los estudiantes ya habían investigado antes, pero que algunos
117
estudiantes no habían entendido bien, pidiendo que nosotros les aclaráramos las
dudas.
Con la explicación que le dimos a los estudiantes respecto al significado de
perímetro, y al mismo tiempo de área, pasamos a preguntarles que si estos
significados eran relevantes para el proyecto a realizar, a lo que los estudiantes
respondieron que si, argumentándose en que era necesario saber cuanto espacio iba
a ocupar cada objeto de la maqueta, mostrándonos que de a poco iban
complementando cada concepto, y evidenciando la utilidad de cada uno de estos.
Lo siguiente en hacer, consistió en darles a conocer la pregunta orientadora, y con la
que se debían basar durante la clase, para llegar a resultados más concretos del
proyecto, “¿que estrategias deben implementarse para obtener la medida de cada
objeto de diseño, basándose en las medidas reales del barrio?”, con esta pregunta
los grupos comenzaron a organizar ideas para estructurar la maqueta, y pasar a lo
métrico, que prácticamente es parte de lo más importante para la elaboración del
proyecto.
Durante la sesión, hubo estudiantes que frecuentemente pedían a los practicantes
guiar y/o corregir lo que iban describiendo, y con ello nos dimos cuenta de que
hubo ideas bastante interesantes para abordar el aspecto métrico del trabajo, pero
al mismo tiempo observamos que la mayoría de los estudiantes no comprendían
muy bien el paso de un sistema de medida a otro, generando con ello, algunas
consideraciones de nuestra parte, y una explicación breve al respecto.
Piaget establece (Dickson 1991), estados iniciales dentro del campo de la medida,
identifica que el estudiante tienen dos operaciones fundamentales en las que se
basa el proceso de conservación donde se analiza el uso de las características de las
figuras y su relación con el entorno real, y la transitividad que establece la relación
de medidas dentro del campo, ente caso se puede ver como la relación que el
estudiante tiene con las medidas reales de su entornos, lo que mide una casa ya
construida y lo otro es la medida de las casas que se plantean en su diseño del
mapa, esto se establece al mismo tiempo que el análisis de las figuras que se
implementa dentro de la geometría espacial.
118
E: Profe, nuestra es idea es que de cada metro que tenga cada objeto, nosotros en el
diseño y maqueta, lo pondríamos de medio centímetro.
P: mmm, como así, o sea que ¿si una casa mide por un lado 5m, la medida de
ustedes en su diseño para ese lado sería de 2,5 cm?
E: Exacto profe…
P: ahh, si, suena muy lógico. Entonces si una casa tiene 5m por un lado, y 7m por el
otro, ¿Cuál es el valor de su perímetro?
E: mmm, sería de 24cm
P: ¿Y no sería mejor de 224cm ?
E: no profe porque no se están multiplicando las medidas.
P: Si, bien lo que dicen… Y respecto a la idea que exponen, esta muy bien, pero
ahora descríbanla.
E: Listo profe.
En esta conversación analizamos que no hubo necesidad de que le grupo de
estudiantes tuvieran que hacer paso de metros a centímetros, ya que especificaban
que de cada metro, ellos trabajaban con un centímetro.
En este siguiente grupo, se va a evidenciar algo muy distinto.
E: Profe, nosotros hemos pensado en la siguiente idea.
P: lo escucho…
E: Pues como las casas y construcciones del barrio, casi siempre las dan con metros,
nosotros hemos pensado en pasarla a centímetros.
P: Como así, o sea que ¿si una casa mide 5m, ustedes convierten esa medida en cm?
E: Si profe, pues porque trabajar con esos metros es algo muy grande
P: Y entonces esos 5m, a cuando equivale en cm.
E: mmm, no estamos muy seguros.
P: Haber les explico lo siguiente. ¿1 metro, a cuanto equivale en centímetros?
E: mmm, ¿a 100 cm?
P: Exacto, y ¿1Km, a cuanto equivale en metros?
E: mmm… ¿a 100 metros?
P: No, equivale a 1000 metros.
E: Ahh…
P: O sea, que si 1Km son 1000 metros, entonces ¿1Km cuantos centímetros son?
E: mmm…
119
P: Pues si 1 metro tiene 100 centímetros y un kilómetro tiene 1000 metros. Entonces
un Km tiene 100,000 cm (esto se les mostró dentro de una tabla)
E: ahh, si, ya nos acordamos
P: Bueno, entonces volviendo a la idea de ustedes, que es volver los metros en
centímetros, entonces, ¿si una casa tiene un lado de 5m, cuanto es esto en cm?
E: Es 500 cm...
P: Exacto, pero ustedes me dicen que ¿en vez de dibujar y hacer una casa de 5m, la
harían de 500 centímetros?
E: mmm, si…
P: Pero acaso ¿no sería prácticamente lo mismo?
E: Como así profe
P: Pues ¿si ustedes dibujan una casa de lado de 500 centímetros, no seria lo mismo
que dibujar ese lado de 5 metros?, teniendo en cuenta que 5 metros es igual a 500
centímetros
E: ahh ya le entendimos. Si profe, si sería lo mismo.
P: ¿Ven?, no se trata de decir que cómo 1 cm es menor que 1 metro, entonces pasar
de metro a cm va a ser lo mismo.
E: Si profe, no estábamos teniendo en cuenta eso…
P: Pues es que en realidad la idea no es mala, solo que tienen que pensarla mucho
mejor, para que la medida original, pasándola a su diseño no sea tan grande.
E: Si, gracias profe, vamos a pensarla mejor.
P: Vale…
120
Dentro de esta conversación se produce el efecto Topaze, donde la situación que se
producen entre los estudiantes que no se tenía una idea clara de las tablas de
conversión de medida, específicamente el cambio de metros a centímetros. Entonces
en la planeación no teníamos plateada un pregunta que no ayuda con este tipo de
inquietud así que formulamos una con respecto a unas preguntas que no fueron tan
efectivas dentro de los esperado por el rol del profesor donde se cae en el efecto,
pero si se pudo ver un ejemplo muy claro de conversión de unidades de medida
.
Respecto a este grupo, notamos lo que nombrábamos antes, donde se decía que
habían estudiantes no entendían bien el paso de una medida a otra, además de que
mostraron algunas confusiones al decir que una medida en metros, pasándola a cm,
iba a ser menor. Referente a esto, los practicantes tuvimos que hacer una
intervención con cada uno de estos estudiantes para dejarles claro como se podía
pasar de metros a cm, además el hecho de pasar una medida a otra, iba a ser de
mayor o menor medida, sino que únicamente iba a servir para trabajar con una sola
medida.
Hubo otro grupo que dio una idea distinta, pero al mismo tiempo válida, ya que
tenían en cuenta la medida real de una casa en metros, pero que en vez de diseñarla
en metros, lo hacían con cm.
E: Profe, nuestra idea es que si una casa tiene un metro en un lado, nosotros lo
pasamos a cm, midiendo de esta manera 1 cm.
P: mmm, como así, ¿ustedes no pasan el metro a 100 cm?
E: No profe, o sea, sin la casa mide 1 metro por un lado, para nuestro proyecto es 1
cm, y si mide 4 metros por el otro lado, en nuestro diseño es 4 cm.
P: Ahh, ya les entendí… Dejan la misma medida, solo que le quitan dos ceros, y los
expresan en cm
E: Si profe.
P: mmm, si, es una interesante idea. Ahora descríbanla bien, explicado paso por paso
E: Vale profe…
Para la próxima clase tenemos en cuenta las implicaciones que ocurrieron dentro de
lo planeado en la cantidad y lo evidenciado en la práctica.
121
Con esta actividad de describir el paso a darle medidas a las figuras, comenzamos a
centrarnos más en la fase de formulación, pidiéndole a los estudiantes que para la
próxima clase, cada grupo debía exponer lo que han hecho hasta el momento,
mostrándonos a todos los errores cometidos, las ideas, estrategias, y todo lo que
hace referencia al proyecto. Para esta exposición, se sugirió que cada grupo debía
guiarse por medio de carteleras, además de que era de gran ayuda para los demás
estudiantes pudieran comprender mejor de que manera han abordado el trabajo, los
estudiantes que hacen la exposición.
Es necesario resaltar que dentro de este protocolo en las conversaciones queremos
desatacar la acción de medir el área y perímetro de las figuras o formas que los
estudiantes tienen con su diseño del barrio México, teniendo en cuenta la
explicación como variable didáctica de respuesta a la tarea que no fue realizado por
los estudiantes, se hizo una similitud entre las figuras geométricas tales como:
cuadrado, triangulo y rectángulo, ya que a medida que el estudiante tenga la
necesidad de saber cómo se halla las demás figuras necesarias para su diseño del
plano se le proporcionara la guía necesaria.
En el compromiso de los estudiantes se está desarrollando en la planeaciones una
posible estrategia de mostrarles un proyecto de diseño de otro barrio aledaño al
México. Como lo estudiantes ya tienen una idea con el hecho de medir las figuras
que más adelante serán objetos dentro del barrio miren una posible propuesta para
que ellos validen posibilidades, teniendo en cuenta restricciones para que no sea la
resolución de su proyecto final, es importante resaltar el proceso matemático que
los estudiantes obtuvieron dentro de esta sesión de clase que con las medida que
proporcionaban los estudiantes estableció un proceso metacognitivo que los
estudiantes desarrollaban, donde se evidenciaba un proceso de concientización y
compresión de los eventos matemáticos de al desarrollo de la situación en general.
En el ejercicio del informe que los estudiantes desarrollan no da cuenta total del
proceso metacognitivo que lo estudiantes desarrollan ya que las adquisición del
conocimiento propio en una evolución que solo el docente puede percibir ya que
uno de los objetivos que quiere llegar la TSD donde el estúdiate llegue a una
compresión de un conocimiento generando así estrategias y autorregulación de su
aprendizaje (Nickerson 1998).
122
Nivel 0
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto para el cálculo de su espacio, omitiendo las relaciones con su entorno.
En varios estudiantes se observó una regularidad dentro de su proceso de medir las
figuras de su proyecto, teniendo en cuenta las principales figuras geométricas y a su
vez la relación con sus características (lados, superficie, ángulos). Ellos tomaron unas
reglas como herramienta de medida y establecieron aleatoriamente unas medidas
para la construcción de su casa, no tienen en cuenta el medio real que los rodea.
Nivel 1
El estudiante establece las medidas imprevistas de los objetos principales de su
proyecto, asemejando la relación con el medio para el cálculo de su espacio
(área y perímetro).
Dentro de los estudiantes que alcanzaron este nivel, establecieron varias
particularidades, ya que media con una unidad patrón, es decir median con una
regla y establecían una relación con las medidas generales del diseño de su mapa,
por ejemplo median una casa con en vista aérea de 3 cm ancho por 5 cm de largo, y
así ver una similitud entre como seria construir un parque, teniendo en cuenta a la
medida de la casa como base. Esto lo hace para sacar el área y perímetro de las
figuras.
Nivel 2
El estudiante relaciona las medidas reales de los objetos principales del barrio
como las casas, para establecer una medida patrón en el análisis de área y
perímetro de los objetos de su proyecto.
En esto estudiantes que fueron significativos, se vio un progreso amplio, donde
teniendo en cuenta las medidas reales de una casa del barrio que aproximaban a
decir que: de ancho tenían 6 metros y de largo unos 12 metros, donde en las
conversaciones se ejemplifica la relación que ellos desarrollaban, es importante este
proceso que ellos tiene ya que es unas de las nociones iniciales de la medida que
menciona Piaget de conservación y transitividad, todo esto para llegar al análisis del
área y perímetro de las figuras que ellos implementan en su diseño del mapa
relacionándolas con las figuras geométricas como: cuadrado, rectángulo y triángulo
como las principales.
123
5.7. FASE DE INSTITUCIONALIZACIÓN (ACTIVIDAD Nº9 Y 10)
Institución Educativa Distrital Ciudad de México
Fecha a Realizar: 19 de mayo 2010
Grado: 902 y 903 Jornada Mañana
Docentes: Leidy Morales, Julián Mendoza, Miguel Cuervo, Fabián Bogotá
Actividad N°6 Fase de Institucionalización
JUSTIFICACIÓN
La siguiente actividad se plantea con el fin de formalizar o institucionalizar cada uno
de los objetos matemáticos que se pretendían enseñar durante este semestre,
dando así cierre al proceso realizado en este tiempo. Retomar lo hecho por los
grupos de trabajo, argumentando y justificando el trabajo que han realizado, el por
qué y para qué el uso de cada uno de los objetos matemáticos.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Esta actividad, se desarrollará de forma magistral, pues lo que haremos será retomar
lo hecho por cada uno de los grupos, formalizando cada uno de los conceptos, que
sin saber han utilizado, por ejemplo la escala, haciendo la relación de lo que ellos
realizaron, con lo que es real dentro del entorno, teniendo en cuenta que los
estudiantes plasmaron sus ideas de construcción, guiándose de los objetos reales,
formalizando el concepto de escala como la relación entre dos magnitudes, y del
mismo modo la relación entre la construcción diseñada por ellos, y la construcción
de los objetos del barrio México.
La idea es que los estudiantes se den cuenta de que el trabajo realizado con ellos,
fue como un juego en donde al desarrollar lo impuesto, había inmerso unos
conceptos matemáticos los cuales debían denotar, para obtener una ruta de
aprendizaje coherente en el momento de analizar cada paso del proyecto realizado.
Por medio de esta sesión de clase se quiere dar a conocer que conceptos son los
que exactamente se quería que ellos implementaran durante el proceso llevado con
nosotros, de tal manera que el conocimiento adquirido estuviera acorde a lo
124
estipulado en los lineamientos curriculares, pero sobretodo el plan diseñado por
nosotros los practicantes.
Para un primer momento se formalizarán los conceptos geométricos, explicando
cada paso de la ruta de aprendizaje planteada. Esto se hará de forma magistral, para
que todos los estudiantes comprendan lo expuesto por los profesores.
Seguido de esto, se dará paso a revisar el proyecto de la materia, y el informe escrito
que cada grupo debe entregar, acorde a lo estipulado en la primer sesión en donde
se explicó en qué consistía el trabajo.
OBJETIVOS
General
Los estudiantes hacen entrega de su maqueta, formalizan su conocimiento a partir
de la institucionalización hecha por los docentes.
Específicos
Identificar las nociones matemáticas implícitas en cada uno de los procesos de
los grupos.
Establecer las posibles relaciones entre el campo bidimensional y tridimensional
Formalizar cada uno de los objetos matemáticos evidenciados en el proceso del
grupo.
Roles
Profesor
Da estatus a la construcción del conocimiento, dando a conocer el lenguaje
matemático apropiado, los objetos y las nociones construidas durante el proceso.
Estudiante
Hacer relaciones entre las nociones matemáticas que presentan el docente y lo
realizado por cada uno de ellos en sus grupos de trabajo.
Debe estar en la capacidad de reconocer cuál fue aprendizaje.
125
5.7.1. PROTOCOLOS N° 9
La clase realizada el día 12 de mayo del presente año, correspondiente a la etapa de
validación, tenía como objeto matemático y de reflexión la medida; del mismo
modo tuvo como fin que los estudiantes comenzaran a trabajar en la entrega de su
informe final, el cual consiste en que cada uno de los grupos entregue su maqueta
con las respectivas especificaciones matemáticas correspondientes al perímetro, área
y volumen de las figuras que realizaron dentro de su proyecto. Por cuestiones de
tiempo, de itinerario e inconvenientes económicos se acordó con los estudiantes,
que ellos podrían entregar en vez de la maqueta, dos de las principales figuras, las
cuales hacían parte de las formas innovadoras y/o creativas diseñadas por ellos; esto
es opcional ya que algunos sí lo preferían podrían entregar normalmente su
maqueta; con respecto a está situación se presentó la siguiente conversación:
P: ………..Entonces muchachos tan solo nos quedan dos
clases, la propuesta que nosotros les tenemos es que para
que no se les amontone trabajo, nos presenten dos de las
construcciones mas innovadoras que están dentro de su
proyecto, al igual que con la maqueta ustedes deben
presentar las especificaciones matemáticas de esas dos
figuras y además de eso deberán presentar el plano del
barrio un poco mas grande de cómo nos lo han
presentado ósea en medio o un cuarto pliego de cartulina.
¿Están de acuerdo?
E1 (representando un grupo): profe y que pasa si nosotros
queremos presentar la maqueta.
P: Muchachos en ese caso la presentan con las
especificaciones matemáticas sin embargo deben entregar
el informe completo con todas las figuras y el plano
grande.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL REPÚBLICA DE MÉXICO
12 DE MAYO DE 2010
GRADO: 902 JORNADA: MAÑANA
PRACTICANTES: MENDOZA JULIÁN, MORALES LEIDY
PROTOCOLO 9: FASE DE VALIDACIÓN-INSTITUCIONALIZACIÓN
126
E2 (representando otro grupo): ¡aaaaaahhhhh! Ósea que si
presentamos las dos figuras nos toca es entregar el plano
dibujado pero grande, nosotros preferimos así.
P: Exactamente, entonces por favor cada uno de los grupos
por favor nos entregan en una hoja marcada con los
nombres de los integrantes y el numero del grupo que es
lo que desean hacer si la maqueta o dos figuras. ¿Alguna
sugerencia?
E1 (representando un grupo): Si, Profe cuando usted nos
entrego el proyecto hay decía que al mejor diseño se le
entregarían premios no creo que sea lo mismo entregar
maqueta que entregar solo dos figuras, seria bueno
entregar un premio para los que hacen maquetas y otro
para los que hacen las otras figuras.
P: Listo muchacho entonces así va hacer un premio para lo
de maquetas y otro para los que entreguen las mejores
figuras. ¿Alguna otra cosa?
Podemos ver como en esta parte de la clase, los docentes realizamos una especie de
renegociación del contrato didáctico, partiendo de la definición de contrato
didáctico dada por Brosseau (1986)14:
“El contrato didáctico es la regla de juego y la estrategia de
la situación didáctica. Es el medio que tiene el maestro de
ponerla en escena. Pero la evolución de la situación
modifica el contrato, que permite entonces obtener
situaciones nuevas. De igual forma, el conocimiento es lo
que se expresa por las reglas de la situación a-didáctica y
por las estrategias. El contrato didáctico no es un contrato
pedagógico general; depende estrechamente de los
conocimientos en juego”
De acuerdo a esta definición, y precisamente por el hecho que hay muchos factores,
muchas variables didácticas que influyen en el proceso; en este caso el tiempo fue
un factor que tuvimos en contra, por lo que fue el principal elemento para
14
Ver Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
127
renegociar el contrato y decidir que los estudiantes entregaran solo dos de los
elementos de la maqueta. Otra variable fue el dinero, pues la plata que debía invertir
para hacer la maqueta era un monto algo alto.
Respecto esta situación también creímos que para saber si los estudiantes tienen
claro cada uno de los conceptos de área, volumen, perímetro y escala, no
necesitábamos tener toda la maqueta, pues con cada una de las figuras harían lo
mismo, por lo que solo con dos de las figuras nos daríamos cuenta de eso, al igual
todos entregaran el informe y el plano.
En el caso anterior, podemos también hacer una reflexión acerca de nosotros como
docentes, pues ahora ya no tomamos el contrato didáctico como el yo doy las
ordenes y ustedes aceptan, si no que lo entendemos como una negociación entre
los estudiantes y los maestros, teniendo en cuenta que no debemos afectar el objeto
matemático.
Seguido a esto continuamos con el resto de exposiciones, las cuales no se realizaron
la clase pasada por inconvenientes de tiempo; recordemos que en estas
exposiciones, los estudiantes deberían expresar lo realizado hasta el momento
haciendo énfasis en los procesos realizados por cada uno de los grupos, teniendo en
cuenta los lugares que construirían, las medidas con las que trabajarían y algunos
aspectos como el área y el perímetro de estas
formas. Y fue una de estas exposiciones donde
se describían uno de esos procesos en el cual se
presentó la siguiente situación:
E1: Para hallar la medida de este lado de este
triangulo utilizamos el teorema de Pitágoras.
P: muy bien muchachos, me pueden escribir en el
tablero y explicarnos como utilizaron el teorema
de Pitágoras
E2: Claro profe…(Escriben el proceso en el
tablero)……….Entonces este lado mide 7 y este
otro lado mide 14 elevamos eso dos números al
cuadrado y los sumamos y después les sacamos
raíz, y nos dio 12,84.
P: Bien el proceso lo hacen muy bien, pero eso
para qué les sirve.
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E1: Para saber cuánto mide ese lado que nos falta
P: ¿Y eso lo hicieron con todas las figuras en forma de triangulo que hay en su plano?
E1: No profe solo en dos, el triangulo de Pitágoras solo se hace para triángulos
rectángulos por ejemplos estos no se puede. (Mostrando el isósceles y el equilátero)
P: ¿Y después que piensan hacer con esas medidas? ¿Que de lo que hayan visto en las
anteriores exposiciones les sirve?
E2: Pues si profe nos queremos guiar de la exposición del grupo de Laura, que se
guiaron por el perímetro del barrio que ustedes nos habían dado para saber estos
centímetros cuantos kilómetros son y empezar a trabajar con la medidas reales.
Con respecto a esta conversación, podemos realizar varios tipos de análisis,
respecto a la teoría de las situaciones didácticas, de acuerdo a su avance cognitivo,
al docente y de acuerdo a la situación.
El primer análisis, es cómo, lo que los estudiantes hacen si corresponde
acertadamente a la fase de validación y la coherencia que tiene con nuestra
secuencia, por un lado la fase de validación según la TSD (Teoría de las situaciones
didácticas) es aquella en la que los estudiantes validan sus estrategias,
comunicándolas a los demás y reformulándolas o confirmándolas, sustentando de la
manera mejor posible lo que están haciendo, que es lo que los estudiantes logran
hacer en la sesión anterior y en esta, en la cual presentan sus estrategias, y de
acuerdo a las intervenciones y aporte que los docentes y los compañeros hacen
durante cada una de las exposiciones; a demás también podemos decir que estamos
en una fase de validación en nuestro proceso, ya que en la fase de formulación
según nuestra secuencia, los estudiantes : “Sustenta y argumenta en la construcción
de la maqueta, fundamentándolas desde la semejanza de triángulos, teniendo en
cuenta las figuras tridimensionales y su composición.” Aunque nuestra idea era que
con esta situación los estudiantes lograran evidenciar la semejanza de triángulos, el
tiempo no fue suficiente. Sin embargo si se logra que los estudiantes sustenten y
argumenten la construcción de su maqueta a partir de las medidas de las figuras
bidimensionales que compones las formas tridimensionales con las que van a
trabajar.
El segundo análisis lo hacemos a partir del docente y las devoluciones, teniendo en
cuenta el siguiente concepto de devolución:
“El maestro debe por tanto efectuar no la comunicación
de un conocimiento, sino la devolución de un buen
problema. Si esta devolución se lleva a cabo, el alumno
entra en el juego y si acaba por ganar, el aprendizaje se
ha realizado”
129
Como podemos ver, cada una de las preguntas que se presentan en esta
conversación sí se muestra como devoluciones, pues cada una de ellas orienta a que
el estudiante no solo aplique el teorema de Pitágoras si no que a demás encuentre
su utilidad, saben para que lo usan, y podrían reconocer en qué caso lo pueden usar
y en cuáles no.
En esta situación también podemos analizar cómo este grupo ha avanzado, no solo
en su pensamiento geométrico y espacial, el primero de los pensamientos, lo
analizaremos a partir de los niveles de Van Hiele (Recuperado de Modelo de Van
Hiele para la enseñanza de la geometría, Fernando Fouz), ubicándolos y avanzando a
un tercer nivel:
NIVEL 2: ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN
Antes de señalar las características del nivel conviene señalar que, en el
anterior nivel, los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que
inician el razonamiento matemático, señalando qué figuras cumplen
una determinada propiedad matemática pero siempre considerará las
propiedades como independientes no estableciendo, por tanto,
relaciones entre propiedades equivalentes. Alcanzar este nivel significa
que...
1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las
condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es
importante pues conlleva entender el significado de las definiciones, su
papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre requieren.
2) Realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de
su razonamiento matemático ya está iniciado. Esto significa que
reconocen cómo unas propiedades derivan de otras, estableciendo
relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.
3) Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las
entienden en cuanto a su estructura. Esto se debe a que en su nivel de
razonamiento lógico son capaces de seguir pasos individuales de un
razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les
impide captar la naturaleza axiomática de la Geometría.
Recordemos que en la actividad diagnostico los estudiantes estaban ubicados en un
nivel 0, pero ahora han avanzado a un nivel 2, el cual era uno de los propósitos
130
planteados al plantear la situación fundamental. Los estudiantes, en este grupo,
logran describir las figuras formalmente, dar sustentación a lo que hacen, aplican
teoremas correctamente, aunque aun no logran asimilarlo globalmente. Por eso
nos sentimos muy satisfechos con la labor realizada, pues es acá donde nos damos
cuenta del avance de los alumnos, y es precisamente eso, avanzar, lo que ha hecho
este grupo.
De igual forma, logramos hacer un análisis acerca de la situación planteada, pues en
ningún momento nosotros como docentes les informamos que debían usar esos
conceptos, teoremas, etc. para abordar la situación, sin embargo ellos lo hacen de
forma correcta.
A demás podemos hacer una reflexión de los avances que han tenido los estudiantes
de acuerdo a su pensamiento espacial, Pues en esta parte, según lo propuesto por
Jean Piaget15 los estudiantes de este salón, si están en un estado consecuente, y
lógico de acuerdo a sus edades, pues si bien los estudiantes siguen interesados por
lo descriptivo, poco a poco precisan una explicación de los fenómenos, a demás
tienen más coherencia con la distribución en el espacio, y logran plasmar eso en el
plano. A demás los estudiantes ya logran hacer formalizaciones de los procesos con
los que trabajan.
Teniendo en cuenta lo sucedido en la sesión anterior, para esta sesión pensamos en
plantear preguntas que fuesen devoluciones en las exposiciones. Para la próxima
sesión haremos una clase de institucionalización en la cual se les diga a los
estudiantes ó se les formalice cada uno de los conceptos que se pretendía que
comprendieran.
Los niveles planteados para esta sesión, son los mismos planteados para la sesión
anterior:
• Nivel 0
El estudiante establece las medidas arbitrarias de los objetos principales de
su proyecto para el cálculo de su espacio, omitiendo las relaciones con su
entorno.
• Nivel 1
El estudiante establece las medidas arbitrarias de los objetos principales de su
proyecto, asemejando la relación con el medio para el cálculo de su espacio