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SIMULACIÓN DE SISTEMASSIMULACIÓN DE SISTEMASSIMULACIÓN DE SISTEMASSIMULACIÓN DE SISTEMAS

Pag 2-1 Gustavo León 2013

UNIDAD

II

MÉTODOS DE MONTECARLO

2.1 Definición

Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios.

Bajo el nombre de Método Montecarlo o Simulación Montecarlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

2.2 Historia

La invención del método de Montecarlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resultaba mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que calcular todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación podría aplicarse a su trabajo en Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”. Dado de la naturaleza de azar que esto representaba fue relacionado con la capital de los juegos de azar que en aquella época era Montecarlo, un casino de Mónaco (Hoy probablemente se les bautizaría con el nombre de “Métodos de Las Vegas”)

2.2 Cobertura

El Método de Montecarlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método Montecarlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método Montecarlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. La simulación de




Montecarlo también fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

2.3 Aplicaciones

• Flujos de Tráfico • Pronóstico de comportamiento de Acciones de Bolsa de Valores • Exploración de yacimientos y minas • Evolución de mantos estelares • Diseño de reactores nucleares • Comportamiento de nanoestructuras • Estudios de reproducción de células cancerígenas • Procesamiento/Generación de Imágenes por computadora • Comportamiento de ambientes contaminados

2.4 Proposición formal

El método de Montecarlo está basado en la generación de múltiples pruebas para determinar el valor esperado de una variable aleatoria. El método está basado

Si X es una variable aleatoria y definimos su valor esperado como A = E[X]. Si podemos generar n variables aleatorias independientes X1, X2, … Xn con una distribución uniforme, entonces podemos decir que

En donde




2.5 La variable aleatoria

Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1, x2, ... xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, ... pn-1}. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus probabilidades son {1/2, 1/2}.

En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.

2.6 Ejercicios prácticos de los Métodos de Montecarlo

A continuación se plantean diversos problemas resueltos utilizando Excel.

Nota: EN caso de que aparezca un mensaje #VALUE! Instalar el Analysis ToolPak desde el menú de Tools�Add-Ins y presionar la tecla de función F9 despues de instalar el ToolPak

En el caso de versiones de Office 2010 y posteriores utilizar File�Options�Add-Ins




2.6.1 Generador de números aleatorios

2.6.1.1 Aleatorio RAND()

Devuelve un número aleatorio entre 0 y 1.

Sintáxis: RAND()

2.6.1.2 Listas de Números Aleatorios

Abra una hoja de Excel.

• En la columna A generar una lista de 100 números utilizando la función RAND(). • Ingrese la función en la celda A2 y copie 99 celdas hacia abajo hasta la celda A101 • Introduzca Los encabezados mostrados en la figura de abajo en el renglón 1 y observe

que pasa con los números aleatorios (cambian después de cada ”enter”). Observe qué pasa al presionar la tecla de función F9.

• En la columna C (Encabezado X) genere valores secuenciales del 1al 100. En Y1 genere una secuencia de rango de .01 a 1 y en Y2, Y3 y Y4, copie valores fijos de la columna A a D,E,F y G. y sortearlos ascendentemente de manera independiente para hacer una comparación de linealidad.

• Compárelos gráficamente




2.6.1.3 Listas de números aleatorios en rangos especificados

Utilizando la función =RAND()

• Genere una lista de 1000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores continuos min=0 max=100

• Genere una lista de 10000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores discretos min=1 max=6 o Valores continuos min=-1 max=1 o Valores binarios 0 y 1

2.6.1.4 Listas de números aleatorios en rangos especificados

Utilizando la función =RANDBETWEEN()

• Genere una lista de 1000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores continuos min=0 max=100

• Genere una lista de 10000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores discretos min=1 max=6 o Valores continuos min=-1 max=1 o Valores binarios 0 y 1

2.6.2 Lanzamiento de una moneda

2.6.2.1 Planteamiento

Utilizando un generador de número aleatorios en Excel determine la probabilidad de que al lanzar una moneda, esta caiga de una sola cara (digamos Sol), para 10, 100, 1000 y 10000 lanzamientos (volados). Genere una gráfica que muestre la tendencia de la probabilidad.




2.6.2.2 Solución

2.6.2.3 Variantes de Probabilidad

2.6.2.3.1 Dos Soles

Calcular la probabilidad de que una sola cara (digamos Sol), cara caiga dos veces consecutivas 10, 100, 1000 y 10000 lanzamientos (volados).




2.6.2.3.2 Tres Soles

Calcular la probabilidad de que una sola cara (digamos Sol), cara caiga tres veces consecutivas 10, 100, 1000 y 10000 lanzamientos (volados).




2.6.3 Lanzamiento de un dado


Utilizando un generador de número aleatorios en Excel determine la probabilidad de que al lanzar un dado, este caiga de una sola cara (3), para 10, 100, 1000 y 10000 lanzamientos Genere una gráfica que muestre la tendencia de la probabilidad para un evento (cara 3).




2.6.3.2 Solución

2.6.3.3 Variantes de Probabilidad

2.6.3.3.1 Dos Dados

Determine la probabilidad de que al lanzar dos dados, estos caigan de tal forma que la suma de los puntos sea 2, 3, 5, 7, 9 y 12 para 10, 100, 1000 y 10000 lanzamientos Genere una gráfica que muestre la tendencia de la probabilidad para un evento(suma de 7 puntos).




2.6.4 Cálculo del número ππππ (pi)


Utilizando un generador de número aleatorios en Excel demuestre cómo es posible

determinar el valor del número π (pi) de forma experimental. Observe cómo disminuye el error en la medida que el número de

muestreos crece desde 10, 100, 1000 y 10000. Por medio de una

gráfica muestre la convergencia del valor hacia el número π (pi).

2.6.4.2 Solución

Observando la figura vemos que utilizando un círculo centrado en el origen de un sistema cartesiano, si utilizamos una función uniformemente distribuida, la probabilidad de que un punto p(x,y) caída dentro del circulo en el primer cuadrante es proporcional a la

superficie de ese cuarto de círculo cuyo cálculo analítico sería π

r =1

x2 + y2 = r2

x

y




(pi) r2/4 y como r=1 en este caso particular el valor de probabilidad tenderá a ¼ de π, por lo que

dicho valor se multiplica por 4 estaremos acercándonos a π.

2.6.5 PICK 3


En un juego de azar en donde el jugador para ganar tiene que adivinar los números de 3 esferas seleccionadas de una ánfora que contiene 10 (números sin repetición). Determine cuál es la ganancia esperada de la empresa, si hay un premio fijo ofrecido de $500.00 a cada boleto ganador cuyo costo es de

$10.00 por participación y se venden 10000 boletos.




2.6.5.2 Solución

2.6.6 Zodiaco

2.6.6.1 Planteamiento En una ánfora hay doce esferas cada una con un signo zodiacal. En otras dos ánforas hay diez esferas con números de 0 a 9 en cada una. Se toma una esfera de cada ánfora de tal manera que se produzca una combinación SNN en donde S es el signo zodiacal y N es un número entre 0 y 9. Utilizando su propio signo zodiacal y los últimos dos dígitos de su matrícula, utilizando Excel, determine cuál es la probabilidad (en porcentaje con tres decimales) de que su combinación resulte premiada en el sorteo. En la tabla se muestra el evento Libra70, pero se trata de que elija su combinación. Muestre su combinación en el renglón 1 del cuadro. Muestre la probabilidad para los evento 10, 100, 1000, 10000, 20000, 30000.




2.6.6.2 Solución

2.6.7 PIEDRA, PAPEL Y TIJERA


En el famoso juego de Piedra, Papel o Tijera, simule con el generador aleatorio de Excel la acción de dos jugadores y determine

1. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos gane sobre el otro?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dos gane consecutivamente dos veces?

Determine dicha probabilidad para 10, 100, 1000 y 10000 eventos




2.6.7.2 Solución

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