UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA. Introducción a la trigonometría Introducción La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato. Objetivos: Que el alumno o la alumna pueda: 1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría. 2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. 3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar calculadora. 4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario. 5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal. 6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando calculadora. 7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º) 8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de una función de un ángulo agudo. 1. Introducción La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos. Analicemos el siguiente triángulo rectángulo: Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo (TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto, definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente: hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente: θ β 5 cm 3 cm θ β 4 cm 3 cm 90º
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UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA · UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA. ... Tengamos presente que adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente
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UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA.
Introducción a la trigonometría
Introducción
La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de
la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro
objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la
trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría.
2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar
calculadora.
4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario.
5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones
trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal. 6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando calculadora. 7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º) 8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de una función de un ángulo agudo.
1. Introducción .
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos.
Analicemos el siguiente triángulo rectángulo:
Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo
(TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones
En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que
la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto,
definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si
cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente:
hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente:
θ
β
5 cm
3 cm
θ
β
4 cm
3 cm
90º
trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones
entre los lados de dicho triángulo.
Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la
hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será
siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en
adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que
adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está
cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso.
2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos
Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),
cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la
división de un lado entre otro.
Para el ángulo θ se tiene que:
Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c Cot θ = adyacente / opuesto = a / b
Cot = 1 / Tan
Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a
Sec = 1 / Cos
Tan θ = opuesto / adyacente = b / a Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b
Csc = 1/Sen
Si tomamos el ángulo β, obtenemos:
Sen β = opuesto / hipotenusa = a / c Cot β = adyacente / opuesto = b / a
Cos β = adyacente / hipotenusa = b / c Sec β = hipotenusa / adyacente = c / b
Tan β = opuesto / adyacente = a / b Csc β = hipotenusa / opuesto = c / a
θ
β
a
b
En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b.
Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a.
Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al
intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar
valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites)
Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas
el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones
trigonométricas como a / b o b / c. Recordémoslas. θ
β
a
b
c
Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo. Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos
semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.
¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que
NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y
5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que:
Sen θ = b / c = 3 / 5 Cos θ = a / c = 4 / 5
Tan θ = b / a = 3 / 4 Cot θ = a / b = 4 / 3
Sec θ = c / a = 5 / 4 Csc θ = c / b = 5 / 3
Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados.
Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los
triángulos semejantes, los ángulos no varían.
Para el TR semejante, tenemos:
Sen θ = b / c = 9 / 15 = 3/5 Cos θ = a / c = 12 / 15 = 4/5
Tan θ = b / a = 9 / 12 = 3/4 Cot θ = a / b = 12 / 9 = 4/3
Sec θ = c / a = 15 / 12 = 5/4 Csc θ = c / b = 15 / 9 = 5/3
Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ).
Sen θ = ________________ Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ =
________________ Csc θ = ________________ Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β =
Es importante hacer notar que l no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que,
para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las
funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados.
Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.
l l
Sen 45º = opuesto / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2
Cos 45º = adyacente / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2
Tan 45º = opuesto / adyacente = l / l = 1
Cot 45º = adyacente / opuesto = l / l = 1
Sec 45º = hipotenusa / adyacente = l 2 / l = 2.
Csc 45º = hipotenusa / opuesto = l 2 / l = 2.
discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la
hipotenusa mide
45º
45º
90º
Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es
de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l .
2 2
l 2
Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º, β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2 ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo, realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo.
discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide
discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa
mide
discusión 3d. Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa
mide
discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que
Sen θ / Cos θ = Tan θ.
discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que
(Sen θ)2
+ (Cos θ)2 = 1.
discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que (Sen θ)2
+ (Cos θ)2 = 1. (ver R en CD)
4. 4 Funciones trigonométricas de ángulos
complementarios
5.
Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente,
la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1 / Tan θ, Sec θ = 1 / Cos θ, Csc θ = 1 /
Sen θ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca
nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y