1 Unidad 7 – Aplicaciones de las derivadas PÁGINA 165 SOLUCIONES 1. En cada caso: a) A las 2 había una temperatura de º 6 C - . b) La temperatura máxima fue de º 44 C y se produjo en las 12 horas. c) Hubo º 0 C a las 1 horas y a las 8 horas. d) Bajo desde º 8 C a las 0 horas hasta º 25 , 12 C - a las 4, 5 horas hasta º 44 C a las 12 horas. e)
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Unidad 7 – Aplicaciones de las derivadas
PÁGINA 165
SOLUCIONES
1. En cada caso:
a) A las 2 había una temperatura de º6C− .
b) La temperatura máxima fue de º44C y se produjo en las 12 horas.
c) Hubo º0C a las 1 horas y a las 8 horas.
d) Bajo desde º8C a las 0 horas hasta º25,12 C− a las 4, 5 horas hasta º44C a las 12
horas.
e)
2
2. Llamando x, y a las longitudes de la base y de la altura del rectángulo obtenemos:
210)10(
102022
xxxxyxA
yxyx
−=−=⋅=
=+⇒=+
El área es máxima para 5=x unidades.
3. La gráfica queda:
3
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SOLUCIONES
1. La solución queda:
2. Comenzando el juego desde el final, observamos que la 1ª jugadora (G) ganara siempre y cuando deje a la 2ª jugadora (P) con 89 en la penúltima jugada. Para ello, simulamos una partida.
Como comenzamos con dos vasos llenos el uno de té y el otro de leche, al final la leche que hay en el té es la misma cantidad que el té que hay en la leche; como se puede ver en el siguiente dibujo.
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Así sucesivamente G siempre tiene que decir el número necesario para sumar un múltiplo de 11 más 1: 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89.
Por lo tanto, la estrategia ganadora para el primer jugador es en la 1ª jugada decir cualquier número del 1 al 10 y en la siguiente jugada, a la vista de la suma que haya obtenido el 2º
jugador, el er1 jugador debe decir un numero de modo que deje la suma en un múltiplo de 11
más 1, y así sucesivamente en las siguientes jugadas, hasta que en la penúltima deje al 2º jugador como resultado de la suma 89, de esta forma gana la partida.
La estrategia ganadora para el 2º jugador es la misma: ir diciendo números del 1 al 10 que
dejen como resultado de la suma al er1 jugador un número que sea múltiplo de 11 más 1, así en
todas las jugadas; en la penúltima debe dejar al er1 jugador como resultado de la suma 89 y de
esta forma ganara la partida.
3. En el siguiente diagrama vemos la genealogía de las abejas. Designamos con Z a los zánganos y con O a las obreras.
Obtenemos la sucesión: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… que es la sucesión de Fibonacci.
• En la décima generación anterior a él un zángano tiene 89 antecesores, de los cuales 34 son machos y 5 son hembras.
Continuando las sucesiones, obtenemos:
• En la vigésima generación anterior a él tiene 10 946 antecesores, de los cuales 4 181 son machos y 6 765 son hembras.
En la vigésima primera generación anterior a él tiene 17 711 antecesores.
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SOLUCIONES
1. La solución queda:
Hallamos la primera derivada, estudiamos su signo y obtenemos:
a) La función es monótona creciente en ( −∞ , 2) y monótona decreciente en (2, +∞ ).
b) La función es monótona decreciente para cualquier número real.
c) La función es monótona decreciente para cualquier número real.
d) La función es monótona creciente para cualquier número real.
e) La función es monótona creciente en ( −∞ , 0) U (2, +∞ ) y monótona decreciente en (0, 2).
f) La función es monótona creciente para cualquier número real.
g) La función es monótona decreciente en (0, 1/e) y monótona creciente en (1/e, +∞ ).
h) La función es monótona decreciente en ( −∞ , - 3) y monótona creciente en (3, +∞ ).
2. La solución queda:
a) )(xf es estrictamente decreciente en )3,2()0,( ∪∞−
)(xf es estrictamente creciente en ),3()2,1()1,0( ∞+∪∪
b) )(xg es estrictamente creciente en ),1()0,1( ∞+∪−
)(xg es estrictamente decreciente en )1,0()1,( ∪−∞−
3. La solución es:
a) Tomando 1980 como año 0 es decir ⇒=0x el número de socios fundadores fue de 100.
b) Aumenta el número de socios fundadores entre 1980 y a partir de 1983.
4. Estudiamos la primera y segunda derivada, obtenemos:
a) En el punto (3, 3) la función tiene un máximo relativo.
b) En el punto (1/e, - 1/e) la función tiene un mínimo relativo.
c) En el punto (2, 16) tiene un máximo relativo y en el punto (3, 15) un mínimo relativo.
d) En el punto (1, 1/e) la función tiene un máximo relativo.
e) En el punto (0, 2) la función tiene un máximo relativo.
f) En el punto (- 1, - 2) tiene un máximo relativo y en el punto (1, 2) un mínimo relativo.
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5. Queda:
62)(6)( 2−=′⇒+−= xxfaxxxf e imponiendo la condición 3062 =⇒=− xx
También debe ocurrir: 0)3(2)( >′⇒=′ fxf
La función tiene un mínimo relativo en el punto )1,3(− , luego, este punto debe verificar la
función: 81891 =⇒+−=− aa
6. Queda:
Como la función tiene un máximo relativo en (0, 4) se cumple: cf =⇒= 44)0(
Entonces: 00)0(2)(0)0( =⇒==′⇒+−=′⇒= bbfbxxff , luego 40 == cyb
7. La solución es:
12)( ++=′ bxx
axf
Si tiene extremos en 1=x y en 2=x se cumple:
La función tiene un máximo relativo en 2=x y tiene un mínimo relativo en 1=x .
8. La solución es:
9. La solución es:
Sea la función
++=
xxxC
1449100100)( y su derivada
−=
=⇒=
−=′
4
40
1449100)(
2 x
x
xxC
La segunda queda:
⋅=′′
3
288100)(
xxC .
Para 0)(4 >′⇒= xCx mínimo
El coste es mínimo para 4 toneladas de material y asciende este coste mínimo a 172 dólares.
Obtiene el beneficio máximo en el punto (5, 4). Es decir cada caja la venderá a 5 euros y obtendrá unas ganancias de 400 euros/día. La botella la vende a 0, 5 €.
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SOLUCIONES
10. Sean x y 48 – x los numero que hemos de buscar. La función a optimizar es
8241357611)()48(65)( 222+−=⇒−+= xxxSxxxS
La función S(x) presenta un mínimo.
Los números buscados son: 11
288y
11
240.
11. La función a optimizar es:
La función s(x) presenta un mínimo en x= 2
El numero buscado es x = 2.
12. Llamando x al lado del cuadrado, la base de la caja es un rectángulo de las dimensiones siguientes: )250()280( xyx −−
La función a optimizar es: 3 2( ) (80 2 )(50 2 ) ( ) 4 260 4000V x x x x V x x x x= − − ⇒ = − +
La derivada queda:
=
=
=+−=′
3
100
10
0000452012)( 2
x
x
xxxV
¨( ) 24 520V x x= −
100¨ 0
3V
>
Mínimo
¨(10) 0V < Máximo.
Por tanto, para 10=x cm, el volumen es máximo.
10
13. La función a optimizar es: 2
2 44
xyyx =⇒=⋅
Área x
xxx16
4 22+=+=
2016
22
=⇒=−=′ xx
xA
0)2(;32
23
>′′+=′′ Ax
A
Para que la cantidad de material sea mínima, la caja debe medir 2 cm en el lado de la base y 1 m de altura.
14. El área es:
Sean x, y las dimensiones de los lados del rectángulo: xyyx −=⇒=+ 10020022
xxyxD 200000102 222−+=+=
500200000102
1002
2000001022
2004
22=⇒=
−+
−=
−+
−=′ x
xx
x
xx
xD
0)50( >′′D Luego el rectángulo de diagonal mínima mide 50 cm de base y 50 cm de altura, es
decir, es un cuadrado de 50 cm de lado.
15. Sean x, y las medidas del rectángulo.
El perímetro es: xyyx −=⇒=+ 51022
Área 25)5( xxxxyx −=−=⋅=
Las derivadas son: 5,2025 =⇒=−=′ xxA y 0)5,2(2 <′⇒−=′′ AA
El área es máxima si el rectángulo es un cuadrado de 2, 5 m de lado.
16. La solución es:
a)
=
−=⇒=−+=′
21
10)363()1()(
x
xxxxQ
Si 606)( +−=′′ xxQ , entonces 0)1( >−′′Q Mínimo; 0)1( <−′′Q Máximo.
La temperatura optima se obtiene a º21C .
b) La producción de hortaliza para esta temperatura es de: 3245)21( =Q kg.
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17. Llamado x, y al lado de la base y a la altura de la piscina respectivamente obtenemos:
2
2 3232
xyyx =⇒=⋅
xxxyxA
1284 22
+=+=
40128
22
=⇒=−=′ xx
xA
0)4(256
23
>′′⇒+=′′ Ax
A
La piscina tendrá 4 m de lado de la base y 2 m de altura.
18. Llamando x e y a las dimensiones del ventanal, tenemos que la función a optimizar es: yxA ⋅=
Veamos la relación entre x e y: xyyx −=⇒=+ 3622
23)3()( xxxxxA −=−=
2
3023)( =⇒=−=′ xxxA m
0)5,1(2)( <′′⇒−=′′ AxA Máximo
Por tanto, la máxima luminosidad se consigue con una ventana cuadrada de 1, 5 m de lado.
19. La solución es:
a) 23 92)( xxxf −=
1812)(186)( 2−=′′⇒−=′ xxfxxxf
2
301812)(
2
301812)(
<⇒<−=′′
>⇒>−=′′
xxxf
xxxf
f es cóncava hacia las y positivas en
∞+,
2
3y cóncava hacia las y negativas en
∞− ,
2
3,
En 3=x presenta un punto de inflexión en
−=
2
27,
2
3
2
3,
2
3f
b) x
xf2
)( =
32
4)(
2)(
xxf
xxf =′′⇒−=′
si fxfx ⇒>′′⇒> 0)(0 es cóncava hacia las y positivas en ( )∞+,0
si fxfx ⇒<′′⇒< 0)(0 es cóncava hacia las y negativas en ( )0,∞−
No existe punto de inflexión.
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c) 8124)( 24+−= xxxf
2412)(244)( 23−=′′⇒−=′ xxfxxxf
Estudiamos el signo de 8124)( 24+−= xxxf
F es cóncava hacia las y positivas en ( ) ( )∞++∪−∞− ,22, y cóncava hacia las y
negativas en ( )2,2−
Esta función tiene dos puntos de inflexión en )1212,2( −− .
d) 4)( 2+= xxf
322 )4()(
4)(
+
=′′⇒+
=′
x
xxf
x
xxf
F es cóncava hacia las y positivas en toda la recta real, pues xxf ∀>′′ 0)(