Unidad 6 – Funciones reales. Propiedades globales PÁGINA 117 SOLUCIONES 1. Las soluciones pueden quedar así: 2. En cada uno de los casos queda: a) [ ) f f Dom ; Im 0, = = +∞ Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0 = Mínimos en (1 Máximo en (0 . ,0) y (1,0). − ,1) Tiende a ( para x tendiendo a ( ) ) +∞ ±∞ . b) a) 73
15
Embed
Unidad 6 – Funciones reales. Propiedades globales · Unidad 6 – Funciones reales. Propiedades globales PÁGINA 117 SOLUCIONES 1. Las soluciones pueden quedar así: 2. En cada
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Simétrica respecto al eje OY. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Mínimos en ( 1 Máximo en (0 . ,0) y (1,0).− ,1)Tiende a ( para x tendiendo a ( ))+∞ ±∞ .
b) a)
73
b) [ ]g gDom ; Im 1,1= = −
Simétrica respecto al origen de coordenadas. Periódica de período 4. Acotada inferiormente por y superiormente por y 1=− y 1= .
El período tiene un máximo relativo en ( 1,1)− y un mínimo relativo en (1 . ,5; 1)−
c) h hDom ; Im (0, )= = + ∞
No es simétrica ni periódica. Acotada inferiormente por pero no acotada superiormente. y 0=Carece de extremos relativos. Cuando x tiende a ( la función tiende a ) )−∞ (+∞ y cuando x tiende a ( la función tiende )+∞a 0.
3. La función es: siendo N el número de bacterias y t el tiempo en horas. tN 2=
74
PÁGINA 129
SOLUCIONES
1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado.
n n
nn n x n x
n
2
2
2 22 2 2
2
Números triangulares : 1,3,4,10,15,21,...,2
Números cuadrados : 1,4,9,16,25,...,8 8esto se cumple para 8, pues 36.
2 2Como dice que hay más de 36 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es :
4949, pues
+
+ +⇒ = ⇒ = = ⇒ =
=
x
x2 249 35 1225 Luego 1225cajas tiene.2+
= = ⇒ =
2. Observamos que:
( )n
n n n n1 1 1 con 2.1 1
Luego :1 1 1
1 2 1 21 1 1
2 3 2 31 1 1
3 4 3 4... ... ...
1 1 1998 999 998 999
1 1999 1000 999 1000
= − ≥− −
= −⋅
= −⋅
= −⋅
= −
= −⋅
= −⋅
1
75
Sumando :1 1 1 1 1... 0,999
1 2 2 3 3 4 998 999 999 1000+ + + + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3. Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A2 indicamos que se tuesta la cara 2.
A B s A y B
s As Bs B
A C s A
s Cs A
s CB C s A
s Bs B
s
1 1 1 1
1
1
1
2 1 1
1
2 1
2
2 2 2
2
2 2
1.º tarda : 30 :tostar cara
5 :colocar5 :colocar5 :sacar
2.º tarda : 3 :dar la vuelta
5 :meter30 :tostar cara
3 :dar la vuelta3.º tarda : 5 :sacar
5 :meter30 :tostar cara
5 :sacar Bs C
2
25 :sacar
y C
y C
En total se necesitan: 136 s en tostar las 3 rebanadas.
76
PÁGINA 132
77
SOLUCIONES
1. En cada apartado queda:
a) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
b) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
c) La tabla de valores, la fórmula y la gráfica son:
78
d) Llamando x a la medida de la altura sabemos que la base mide x5+ , por tanto, la tabla de
valores, la fórmula y la gráfica quedan:
2. Los dominios quedan:
( ]( ) ( ) (
{ }{ } [ )
[ )( ] [ ) {
f g
h i
j k
l m
n o
p q
Dom Dom 3,0
Dom 5, Dom ,1 4,
Dom Dom 2,3
Dom 1 Dom 2,
Dom Dom 1,
Dom , 2 2, Dom 1
= =
= − + ∞ = −∞ ∪ + ∞
= =
= − = − + ∞
= =
= −∞ − ∪ + ∞ = − −
)
}
−
−
+ ∞
3. Las funciones se caracterizan por:
• ( )y f x=
( )Dom ; Im 0,f f= = + ∞
Estrictamente creciente en todo su dominio. No tiene extremos relativos.
5. El estudio de cada función nos ofrece la siguiente información:
a) Esta función ( )y f x= está acotada por y y0 e 4= = .
El supremo es y el ínfimo es y 4= y 0= . Esta función tiene un mínimo absoluto en y 0= .
b) Esta función ( )y g x= está acotada por y y3 e 2= =− .
El supremo es y el ínfimo es y 3= y 2=− . Esta función no tiene extremos absolutos.
c) Esta función ( )y h x= está acotada por y y3 e 5=− = . El supremo es y el ínfimo es y 5= y 3=− . Esta función tiene un máximo absoluto en y 5= .
d) Esta función ( )y i x= no está acotada.
e) Esta función ( )y j x= está acotada inferiormente por y 1=− .
El ínfimo es y 1=− y no tiene supremo. Esta función tiene un mínimo absoluto en y 1=− .
f) Esta función ( )y k x= está acotada superiormente por y 2= . El supremo es y no tiene ínfimo. y 2=Esta función no tiene extremos absolutos.
82
6. Las simetrías en cada caso son:
• Las funciones: f; i; k; l; son simétricas respecto al eje de ordenadas. • Las funciones: h; j; m; son simétricas respecto al origen de coordenadas. • Las demás funciones no tienen simetrías.
7. En cada caso las respuestas son:
a) La variable independiente es el número de años desde su fundación, y la variable dependiente el beneficio en miles de euros.
b) [ ) [ ]f fDom 0, Im 0,75= + ∞ =
c) La empresa tiene beneficios máximos al cabo de 4 años, y estos ascienden a 75 000 euros.
d) Durante los primeros cuatro años los beneficios crecen; a partir del 4º año empiezan a
decrecer.
e) Como en todo el dominio se verifica que , no habrá pérdidas en ningún momento; f x( ) 0>siempre habrá beneficios.
83
PÁGINA 134
84
SOLUCIONES
8. En cada caso queda:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
f g
x xf g x f gx
xf g x f gx
f x fxg gx x x
xxf x f
3 2
2
3 2
2
a) Dom 1,1 Dom
b) Quedan :4( )( ) Dom( ) 1,
13( · )( ) Dom( · ) 11
3( ) Dom 1,11
c) Queda :1 1 1( ) Dom 3
3
= − − =
− ++ = ⇒ + = − −
−+
= ⇒ = −+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
−
−
9. Los dominios quedan:
{ }
{ }
{ }
3 22
32
22
2 4a) ( )( ) ( ) ( ) 2 Dominio 22 2
2b) ( )( ) ( ) ( ) ( 2) Dom 22 2
( )c) ( ) :( 2) Dom 2( ) 2 (2 ) ( 2)
d) ( )( ) [ ( )]2 2
x x x xf g x f x g x xx x
x x xf g x f x g x x f gx x
f f x x x fx xg gg x x x x
x xg f x g f x gx
− + − ++ = + = + + = ⇒ = −
− −
+⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⇒ ⋅ = −
− −
⎛ ⎞= = + = ⇒ = −⎜ ⎟ − − +⎝ ⎠
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
{ }2 2
2
2 2 2 4 2
3 8 82 Dom4 4
e) ( )( ) [ ( )] 2 ( 2) 2 4 6 Dom[ ]
x x g fx x x
g g x g g x g x x x x g g
⎛ ⎞ − ++ = ⇒ = −⎜ ⎟ − +⎝ ⎠
= = + = + + = + + ⇒ =
2
85
10. Las soluciones son:
f g x x f f
h g x g fxx xf h x h hx x
4 2
4 2
a) ( ) 1 3 d) ( )(1) 493b) ( ) e) ( )( 1) 2
12 28 3c) ( ) f) ( )(0)
102 1
= + =
= −+
+ += =
+ +
=
11. La solución queda:
( )( ) [ ( )] (3 ) 5 3
5( )( ) [ ( )] (5 ) 3 (5 ) 15 3
f g x f g x f x a a xa
g f x g f x g x x a a x
= = − = + − ⎫⎪ ⇒ =⎬⎪= = − = − − = − − ⎭
12. Por ejemplo, las funciones pueden ser:
x
f x x g x xh x l x x
xt x p x xx
2 3
2
( ) ( ) 2( ) 3 ( ) 2
1( ) ( )2
= =
= =+
= =+
+
13. Las inversas quedan:
xf x f xx
x xf x f xx
xf x x f xx
1 1
1 1
1 1
2a) ( ) no existe d) ( )
3 5b) ( ) e) ( )2 3
3c) ( ) 1 f) ( )3 1
− −
− −
− −
+=
+= =
−−
= − =
2
+
14. Las inversas quedan:
x xf x x g x h x1 13 1 l( ) 2 ( ) ( ) 23 l
− − −−= + = = −1 og
og2
15. Queda: f g x x f g x x f g1 1( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) (4)− −= − ⇒ = + ⇒ =7
86
16. La solución queda:
Haciendo t obtenemos socios fundadores. 0= N 5250=
La gráfica de la función viene dada por:
17. La solución queda: Cable I PCable II P t
150,05·
⇒ =⇒ =
Veamos a partir de qué número de horas el precio de una empresa y de la otra es el mismo:
t t0,05· 15 300 horas= ⇒ =
Hasta 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable II; a partir de 300 horas mensuales interesa más la empresa Cable I, y si se utiliza Internet durante 300 horas mensuales exactamente es indistinta la empresa a elegir.
El número de afiliados desciende los tres primeros años hasta alcanzar el número de 750 y, a partir de ese año, empieza a aumentar. En ningún momento es nulo este número.