Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas 138 MATEMÁTICAS III UNIDAD 4 ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS Trazado de la órbita de Marte según Kepler en Astronomia Nova Johannes Kepler después de tres años de cálculos con los datos de Tycho Brahe creyó haber encontrado los valores correctos de una órbita circular de Marte, que coincidía con diez de las observaciones de Tycho con un error de 2 minutos de arco, una cantidad despreciable si se considera que las observaciones de Tycho fueron realizadas sin telescopio. Sin embargo, dos observaciones adicionales de Tycho diferían en 8 minutos de arco, una cantidad demasiado grande. Probó otras curvas y después de varios meses de intenso trabajo descubrió que la Elipse encajaba perfectamente con las observaciones de Tycho. Kepler comprendió al final que su fascinación por la orbita circular había sido un engaño.
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Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
138
MATEMÁTICAS III
UNIDAD 4
ELIPSE, CIRCUNFERENCIA
Y
SUS ECUACIONES
CARTESIANAS
Trazado de la órbita de Marte según Kepler en Astronomia Nova
Johannes Kepler después de tres años de cálculos con los datos de Tycho Brahe creyó haber
encontrado los valores correctos de una órbita circular de Marte, que coincidía con diez de las
observaciones de Tycho con un error de 2 minutos de arco, una cantidad despreciable si se
considera que las observaciones de Tycho fueron realizadas sin telescopio. Sin embargo, dos
observaciones adicionales de Tycho diferían en 8 minutos de arco, una cantidad demasiado
grande. Probó otras curvas y después de varios meses de intenso trabajo descubrió que la
Elipse encajaba perfectamente con las observaciones de Tycho. Kepler comprendió al final que
su fascinación por la orbita circular había sido un engaño.
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
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UNIDAD 4 ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS
4.1. Propósitos de la Unidad y los diferentes Conocimientos
Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales 140
4.2. Diagrama Estructural 141
4.3 Nota Histórica 142
Estudio de la Circunferencia
4.4 La circunferencia como lugar geométrico 143.
Definición geométrica de la Circunferencia.
Elementos que definen a la Circunferencia.
4.5 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, con centro en el origen. 143
4.6 Ejercicios propuestos. 148
4.7 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, con centro fuera del origen. 149
Ecuación General de la Circunferencia.
4.8 Ejercicios propuestos 156
4.9 Recta tangente a una circunferencia. 157
4.10 Ejercicios propuestos. 158
4.11 Intersección de una recta con una Circunferencia. 159
4.12 Ejercicios propuestos. 162
4.13 Ejercicios diversos sobre Circunferencia. 162
Estudio de la Elipse
4.14 La Elipse como lugar geométrico. 165
a) Trazo de la Elipse.
b) Definición geométrica de la Elipse.
c) Elementos que definen a la Elipse: distancia focal, eje mayor y eje menor.
4.15 Ecuación Ordinaria de la Elipse con centro en el origen. 167
4.16 Ejercicios propuestos. 171
4.17 Ecuación Ordinaria de la Elipse con centro fuera del origen. 172
a) Ecuación General de la Elipse.
4.18 Ejercicios propuestos. 177
4.19 Ejercicios Propuestos con solución de Elipse y Circunferencia. 179
4.20 Respuestas a los ejercicios de la sección 4.19 181
4.21 Propuesta de Evaluación 182
4.22 Glosario 183
4.23 Bibliografía 183
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UNIDAD 4.
ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS .
4.1 PROPÓSITOS: Reafirmar el Método Analítico al obtener las ecuaciones de la
Elipse y la Circunferencia y avanzar en el reconocimiento de formas, estructuras, en la
formulación de conjeturas y la resolución de problemas de corte euclideano.
Sobre los diferentes conocimientos el alumno debe ser capaz de:
Conocimiento Conceptual.
• Comprender el Concepto de las Cónicas: Circunferencia y Elipse como lugar Geométrico, así como los elementos que las definen.
• Conocer las Ecuaciones ordinarias con centro en el origen de la Circunferencia y la Elipse.
• Conocer las Ecuaciones Ordinarias con centro fuera del origen de la Circunferencia y la Elipse.
• Conocer las ecuaciones Generales de la Circunferencia y la Elipse.
• Identificar cuando una ecuación cuadrática, representa una Elipse o una
Circunferencia.
• Conocer la importancia histórica del estudio de la Elipse y la Circunferencia.
Conocimiento Procedimental.
• Trazar una Circunferencia con compás.
• Trazar una Elipse utilizando el Método del jardinero.
• Pasar de la Ecuación General de la Elipse o la Circunferencia a la Ecuación Ordinaria de la misma, para identificar sus elementos principales y graficar.
• Identificar los problemas que se pueden resolver mediante ecuaciones de la Circunferencia o la Elipse.
• Resolver problemas de corte euclideano utilizando la Elipse o la Circunferencia.
Conocimiento Actitudinal.
• Tener confianza en sus propias capacidades, fomentando la autoestima.
• Curiosidad del alumno por el planteamiento y resolución de problemas que se resuelven utilizando Circunferencias o Elipses.
• Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema geométrico que involucre Circunferencias o Elipses.
• Disciplina y cumplimiento del trabajo en clase y de las tareas en casa.
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4.2 DIAGRAMA ESTRUCTURAL
MATEMÁTICAS III.
UNIDAD 4. ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS.
Cónicas
La Circunferencia como lugar Geométrico
La Elipse como lugar Geométrico
La Ecuación Cartesiana de la Circunferencia
La Ecuación Cartesiana de la
Elipse
Problemas diversos de corte Euclideano, que se resuelven con la Circunferencia y la Elipse.
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4.3 NOTA HISTÓRICA: El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio
de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un
cono cualquiera por diversos planos. En este trabajo existen estudios elementales sobre
determinadas intersecciones de un plano y un cono, obteniéndose círculos, elipses,
parábolas o hipérbolas según que el ángulo de corte. Si bien no disponía de la
Geometría Analítica todavía, los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos
que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la
Geometría Analítica, retomaron el problema.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en
situaciones reales, por ejemplo:
• La primera Ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas, dice que éstos
siguen órbitas Elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy
posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa Ley de la Gravitación
Universal de no haber conocido ampliamente la Geometría de las Elipses.
• Las aplicaciones de la circunferencia y el círculo son bastantes, el invento de la
rueda, la circunferencia es la curva cerrada que con un perímetro dado, mayor
área encierra, etc.
La Circunferencia y la Elipse como el resultado de cortar un cono con un plano
horizontal e inclinado respectivamente.
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4.4 LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
¿Circunferencia o Círculo? Es importante aclarar la diferencia entre estos dos
conceptos. Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo
llamado centro es constante. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran
dentro de ella forman una superficie llamada círculo. La circunferencia es la frontera del
círculo.
En esta unidad estudiaremos la Circunferencia como lugar Geométrico y su Ecuación
Cartesiana.
4.5 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
Considere los siguientes problemas en contexto:
1. Un jardinero debe trazar un círculo de radio 3 metros, para colocar pasto en el
mismo. ¿Cómo puede trazar dicho círculo?
Solución: Utilizar un compás no sería conveniente, ya que tendría que construir un
compás muy grande. Pero si amarra el extremo de una cuerda de 3 metros de largo a
una estaca fija en el piso, y al otro extremo de la cuerda le coloca una segunda estaca,
manteniendo tensa la cuerda, si desliza de manera continua la segunda estaca hasta
completar la curva, obtendrá la circunferencia que delimita al circulo buscado.
Círculo
Circunferencia
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2. ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene
sobrevolando la Ciudad de México a una distancia constante de 6 Km. de la torre del
aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?, ¿Cuántos Kilómetros recorre
durante 4 vueltas de espera?
Solución:
El lugar geométrico es una Circunferencia de radio 6 Km., con centro en la torre del
aeropuerto. Dado que la longitud de una Circunferencia es:
2 (6) 12 37.69Perímetro π π= = = Por lo tanto en 4 vueltas el avión recorrió
(37.69)(4)=158.76 Km.
Generalizando el problema anterior considere el lugar Geométrico del conjunto de
puntos ( , )P x y , en el Plano Cartesiano, cuya distancia al centro (0, 0) es constante e
igual a r.
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Según el Teorema de Pitágoras se cumple la relación algebraica:
2 2 2x y r+ = ………….(Ecuación 4.1)
La Ecuación 4.1 se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con
Centro en el Origen y radio r, es decir, cualquier punto ( , )P x y que satisfaga la
ecuación: 2 2 2x y r+ = , pertenece a la circunferencia.
Por lo anterior, se puede entonces afirmar que los dos elementos que definen una
Circunferencia son el centro y el radio.
EJEMPLO 1. Encontrar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el
origen y radio 10r = .
Solución: En este caso 10r = , sustituyendo este valor en la Ecuación 4.1, se obtiene:
22 2 10x y+ = , es decir 2 2 10x y+ = EJEMPLO 2. Determinar el centro y radio de la Circunferencia con Ecuación
2 2 16x y+ =
Solución: De acuerdo con la Ecuación 4.1 el centro es (0, 0), y 2 16 4r r= ⇒ =
Es importante aclarar que el radio debe ser un número no negativo, por esa razón se
consideró la raíz positiva de 16. ¿Qué ocurre si el radio es cero?
EJEMPLO 3. Considerando la siguiente figura:
a) Determinar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia, indicar centro y radio.
b) Localizar un punto dentro, sobre y fuera de la circunferencia. Verificar que las
distancias de dichos puntos al origen son, respectivamente: menor, igual y mayor que
el radio.
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Solución:
a) Se observa que el centro es (0, 0) y el radio 5r = , así la Ecuación Ordinaria de la
Circunferencia resulta: 2 2 25x y+ =
b) El punto (2,2)P es un punto que se localiza dentro de la circunferencia, utilizando
la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene:
2 2( , ) (2 0) (2 0) 8 2.82 5d C P = − + − = = ≺
El punto (5,0)Q es un punto que se localiza sobre la Circunferencia, ocurre:
2 2( , ) (5 0) (0 0) 25 5d C Q = − + − = = = radio
El punto (5,4)R es un punto que se localiza fuera de la Circunferencia, ocurre:
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2. Encuentra las Ecuaciones de las rectas tangentes a la Circunferencia 2 2 8 4 80 0x y x y+ + + − = en los puntos P(4,-8) y Q(2,6). Después encuentra el punto
donde se cortan dichas tangentes, graficar.
4.11 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CIRCUNFERENC IA
La siguiente figura nos muestra las tres posibilidades que pueden ocurrir en la
intersección de una recta con una Circunferencia.
Estas tres posibilidades, en términos algebraicos se traducen en resolver el Sistema de
Ecuaciones, formado por las Ecuaciones de la Recta y la Circunferencia. Sí el Sistema
cumple que:
1. Hay dos soluciones, entonces se cortan en dos puntos.
2. Hay una solución, entonces son tangentes, es decir, se cortan en un
sólo punto.
3. No hay solución, entonces no se cortan o son ajenos.
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
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EJEMPLO 1. Encontrar la intersección de la recta 5y x= − − con la circunferencia
2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − = , graficar.
Solución:
Debemos resolver simultáneamente el Sistema de Ecuaciones:
Ecuación1: 5y x= − −
Ecuación 2: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − =
Sustituyendo Ec.1 en Ec. 2 se tiene: 2 2( 5) 2 4( 5) 4 0x x x x+ − − − − − − − =
Desarrollando, simplificando y ordenando, se obtiene la siguiente Ecuación Cuadrática:
22 12 41 0x x+ + =
Aplicando la Fórmula General para resolver la Ecuación Cuadrática se tiene:
212 12 4(2)(41) 12 184
2(2) 4x
− ± − − ± −= =
Como el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, lo
que significa que ocurre el CASO 3, es decir la recta y la Circunferencia no se cortan o
son ajenas, como se observa en la siguiente gráfica.
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EJEMPLO 2. Encontrar la intersección de la recta 2 3y x= + con la circunferencia
2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − = , graficar.
Solución:
Debemos resolver simultáneamente el Sistema de Ecuaciones:
Ecuación1: 2 3y x= +
Ecuación 2: 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − =
Sustituyendo Ec.1 en Ec. 2 se tiene: 2 2(2 3) 2 4(2 3) 4 0x x x x+ + − − + − =
Desarrollando, simplificando y ordenando, se obtiene la siguiente Ecuación Cuadrática:
25 2 7 0x x+ − =
Aplicando la Fórmula General para resolver la Ecuación Cuadrática se obtienen las
siguientes soluciones: 1 1.4x = − y 2 1x = por lo que los respectivos valores de la
segunda coordenada son:
1 2( 1.4) 3 0.2y = − + = , y 2 2(1) 3 5y = + =
Como hay dos soluciones, ocurre CASO 1, los puntos de intersección de la recta con la
circunferencia son:
1 1( , ) ( 1.4,0.2)P x y = − y 2 2( , ) (1,5)Q x y =
Lo anterior se confirma en la siguiente gráfica:
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4.12 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En cada ejercicios encuentra la intersección de la recta y la circunferencia, graficar.
a) 2 22 14 , + +10 4 25 0 y x x y x y= + − + = b) 2 23 , + 12 8 43 0y x x y x y= − + − − + =
c) 2 23 4 , + 16 24 0 y x x y x= − − + = d)
2 22 5 , + +8 12 3 0 y x x y x y= − + + =
e) 4 , círculo con centro(-4, -2), radio 4x y+ = f) 2 22 1 , ( 1) +( 2) =25 y x x y= + − −
4.13 EJERCICIOS DIVERSOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
1. Determinar la ecuación general de la circunferencia cuyos extremos de un diámetro
son los puntos:
a) A=(-8,3) B=(10,8) b)A=(-2,3) B=(6,-12) c) A=(-1,-1) B=(12,6)
2. Determinar la ecuación general de la circunferencia con centro en C y tangente a la
recta L1. a) C=(0.5,0.5) L1: y=10x+12 b) C=(-3,-8) L1: y=-x+5
3. Determinar centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos:
4. Determinar la longitud de la banda que ajusta perfectamente a los círculos cuyas
ecuaciones son:
a) x2+y2-4x-10y+28=0, x2+y2-20x-10y+109=0
b) x2+y2-10x-2y+25.75=0, x2+y2-2x-2y+1=0
5. Determinar la ecuación general de la circunferencia inscrita y circunscrita al
cuadrado determinado por los vértices:
a) A=(2,2) B=(10,2) C=(10,10) D=(2,10)
b) A=(-3,-3) B=(2,-3) C=(2,2) D=(-3,2)
6. Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es la solución del
sistema , y radio igual a la distancia del centro a la recta dada:
a) 5x-6y=20 L:y=5x+8 b) x+y=5 L: y=-5x+10
7x-8y=22 5x+2y=13
7. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en la recta L, que pasa por
los puntos indicados:
a) L: y=-2x-6 P=(1,5) Q=(6,2) b) L: y=x-3 P=(-6, 6) Q=(-1,9)
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
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8. Dada la ecuación de la circunferencia determinar un punto dentro del círculo, otro
sobre la circunferencia y otro fuera del círculo:
a) x2+y2-6x+8y-11=0 b) x2+y2+4x+6y-29=0 c) x2+y2+10x-20=0
9. Determinar si las siguientes circunferencias, son concéntricas, tangentes o no se
cruzan, comparar d(C1,C2) y r1+r2 graficar:
a) 2x2+2y2-4x-4y+2=0, x2+y2-14x-2y+25=0
b)3x2+3y2+6x-24y+39=0, 4x2+4y2-40x+8y+79=0
10. Sombrear la región en el plano determinada por la desigualdad dada:
a)5x2+5y2+50x-45y-100 0≤ b) 2 2 10 40 0x y y+ − − >
c) 2 2 14 14 25 0x y x y+ − + − ≥ d) 2 2 7 12 0x y x y+ − − <
11. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto P, a la circunferencia dada: a)
P=(3,3) , 2 2( 1) ( 1) 20x y+ + − = b) P=(-0.5,-2) 2 24 4 20 24 41 0x y x y+ + + + =
c) P=(13,12), 2 2( 1) ( 7) 169x y− + − =
12. Encuentra la intersección de la recta y la circunferencia:
a) x+y-2=0 , x2+y2-12x-8y+43=0
b) 4x-y-4=0, x2+y2-16x+24=0
c) 2x+y-1=0, circunferencia con centro=(-4,-2) y radio 4.
13. Dadas las circunferencias x2+y2+6x-4y-51=0, x2+y2-10x+14y+49=0 encuentra la
ecuación de la recta que une los centros de las mismas.
14. Dadas las circunferencias x2+y2-8x-2y+8=0,x2+y2+4x+2y+1=0, encontrar la ecuación
de la recta que es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias y
que pasa por el centro de la primera circunferencia.
15. Encuentra:
a) Los puntos de intersección de las circunferencias
x2+y2+2x-4y-8=0, x2+y2-2x-6y=0,
b) La ecuación de la recta que une los centros de las circunferencias,
c) La ecuación de la recta que une los puntos de intersección de las circunferencias.
16. Escribe la ecuación general de la circunferencia con centro=(4,-6), radio 4
Considera el punto P=(4,-4.75), ¿está el punto P dentro de la circunferencia?
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
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17. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2+y2+8x+4y-
80=0 en los puntos P=(4,-8),Q=(2,6) después encuentra el punto donde se cruzan
dichas rectas tangentes.
18. Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en el punto C=(-2,-1)
que pasa por el punto P=(1,3).
19. Dibuja la región del plano que se ubica debajo de la recta –5x+y-12=0 y en el
exterior de la circunferencia 2x2+2y2+12x-20y-40=0.
20. El segmento que une los puntos P=(1,1) Q=(5,3) es un diámetro de una
circunferencia. Escribe la ecuación de dicha circunferencia. Dibuja la región que se
encuentra dentro de la circunferencia y arriba de la recta 3x+y-11=0.
21. Dibuja la región que se encuentra dentro de la circunferencia 2 2 8 6 16 0,x y x y+ + − + = fuera de la circunferencia 2 2 2 4 1 0,x y x y+ + − + = arriba de la
recta x+3y=0 y debajo de la recta x-y+5=0.
22. Encuentre la ecuación de la circunferencia de radio 5,con centro en el primer
cuadrante, y que pasa por P=(3,0) y Q=(0,1).
23. Encuéntrese la ecuación general de la circunferencia con centro en (5,-7) que es
tangente al eje X.
24. Encuéntrese la ecuación de la circunferencia con centro en la recta y=x, que es
tangente al eje Y en P=(0,5).
25. La Tierra está representada sobre un mapa de una parte del Sistema Solar de
manera que su superficie es la circunferencia dada por la ecuación:
x2+y2+2x+4y-4091=0.
Un satélite gire alrededor de la Tierra a una altura, medida desde su superficie de ésta,
de 0.6 unidades con el centro de su órbita circular localizada en el centro del planeta.
Encuentre la ecuación de la órbita del satélite en éste mapa.
26. Dimensiones de la tierra. La intersección de un plano y una esfera es una
circunferencia. Ésta es máxima cuando su diámetro coincide con el de la esfera.
a) ¿Cuál es el diámetro de la tierra, si el radio de la circunferencia máxima terrestre es
de 6378.5 Km.?
b) ¿Cuánto mide la Circunferencia Ecuatorial?
c) Considerando el centro (0,0), determinar la ecuación de la Circunferencia Ecuatorial.
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
165
4.14 LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Trazo de una Elipse utilizando un hilo, un lápiz y un par de tachuelas.
En una superficie plana se fijan dos tachuelas como focos de una Elipse. Cun un hilo
más largo que la distancia entre las tachuelas, atado por sus extremoa a éstas, se
desliza la punta de un lápiz de un extremo a otro del hilo, manteniendo tenso éste. La
punta del lápiz describe en cada momento del trazo un punto de la Elipse, ya que la
suma de las distancias a los focos es siempre constante e igual al largo del hilo atado.
El siguiente problema histórico en contexto es muy importante para la astronomía:
El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló las tres famosas leyes que
llevan su nombre después de analizar un gran número de observaciones realizadas por
Tycho Brahe (1546-1601) de los movimientos de los planetas, sobre todo de Marte.
Kepler, haciendo cálculos sumamente largos, encontró que había discrepancias entre la
trayectoria calculada para Marte y las observaciones de Tycho, diferencias que
alcanzaban en ocasiones los 8 minutos de arco (las observaciones de Tycho poseían
una exactitud de alrededor de 2 minutos de arco). Estas diferencias lo llevaron a
descubrir cual era la verdadera órbita de Marte y los demás planetas del Sistema Solar.
En seguida enunciamos la tres Leyes de Kepler:
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
166
1. Las órbitas de los planetas son elipses que presentan una pequeña excentricidad y
en donde el Sol se localiza en uno de sus focos.
2. Las áreas barridas por el radio vector que une a los planetas al centro del Sol son
iguales a tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales a los
cubos de sus distancias medias al Sol.
Interpretación Geométrica de la Primera Ley de Kepl er
Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos
r1 es la distancia más cercana al foco (cuando θ=0º, conocido como el Perihelio)
r2 es la distancia más alejada del foco (cuando θ=180º, conocido como afelio)
Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:
• Semieje mayor a=(r2+r1)/2 • Semieje menor b • Semidistancia focal c=(r2-r1)/2 • La relación Pitagórica entre los semiejes es a2=b2+c2 • La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
167
Una Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Una Elipse es básicamente un círculo ligeramente aplastado. Técnicamente se
denomina Elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a los
focos (puntos fijos, F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos P que la forman es
constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento V1V2). El eje menor
de la elipse es el segmento W1W2, es perpendicular al segmento V1V2 y corta a este
por el centro de la Elipse.
4.15 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO (0 ,0) Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos
sobre el eje de las x, situados en los puntos F1 (-c,0) y F2 ( c,0). Tomemos un punto
cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma
de las distancias entre PF1 y PF2 es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces:
PF1 + PF2 = 2a. Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, tenemos:
2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0) 2x c y x c y a− + − + + + − =
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar las raíces, desarrollamos los
cuadrados y después de simplificar resulta finalmente:
2 2
2 21
x y
a b+ = …………(.Ec.4.4)
Esta se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Horizontal con centro (0,0)
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
168
Si la Elipse fuera vertical con centro (0,0), entonces los focos serían F1(0,c) y F”(0,-c)
Entonces: PF1 + PF2 = 2a. Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos,
tenemos:
2 2 2 2( 0) ( ) ( 0) ( ) 2x y c x y c a− + − + − + + =
Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar las raíces, desarrollamos los
cuadrados y después de simplificar resulta finalmente:
2 2
2 21
x y
b a+ = …………(.Ec.4.5)
Esta se conoce como la Ecuación Ordinaria de la Elipse Vertical con centro (0,0)
Elementos Básicos de la Elipse con Centro (0,0)
1. Centro (0,0)
2. Parámetros: , , ,a b c donde " "a es siempre el mayor y se cumple la relación Pitagórica
importante 2 2 2a b c= +
3. El eje mayor es la distancia entre los vértices, tal que el segmento 1 2 2VV a=
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
169
4. Los extremos del eje menor, les llamaremos 1 2,W W y son tales que el segmento
1 2 2WW b=
5. El eje focal es colineal con el eje mayor, se cumple que el segmento 1 2 2F F c=
6. Lado recto = 22b
a
(El lado recto es un segmento perpendicular a los focos, determina el “ancho “de la
elipse)
7. Para medir cuán distinta de un círculo es una elipse dada se utiliza la noción de
excentricidad, c
ea
= .La excentricidad corresponde a la relación existente entre la
distancia c, de un foco al centro de la elipse y el semieje mayor a. Para comprender
cómo se usa esta cantidad, la excentricidad, como característica de la forma de una
elipse, nótese que como los focos de una elipse están situados en el eje mayor entre
los vértices y el centro, se sigue: 0 < c < a. Para una elipse casi circular, los focos están
muy cerca del centro y el cociente c/a es muy pequeño (0 para una circunferencia).
Para una elipse alargada, los focos están cerca de los vértices y el cociente c/a es
próximo a 1. Por tanto todas las elipses cumplen que:
0 < e < 1.
8. Ecuación Ordinaria:
a) Elipse Horizontal: 2 2
2 21
x y
a b+ = b) Elipse Vertical:
2 2
2 21
x y
b a+ =
9. Ecuación General: 2 2 0Ax By C+ + =
10. Trazar la grafica.
Las órbitas de los planetas son elípticas, presentando una pequeña excentricidad. En el
caso de la Tierra el valor de la excentricidad es de 0.017, el planeta de mayor
excentricidad es Plutón con 0.248, y le sigue de cerca Mercurio con 0.206, unidades
astronómicas.
EJEMPLO. Determinar la Ecuación Ordinaria y General de la Elipse con centro (0,0), si
un vértice se localiza en (6, 0) y el eje focal tiene longitud igual a 10, graficar.
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170
Solución:
Dadas las coordenadas del vértice, se deduce que el parámetro mayor, 6a = . La
longitud del eje focal, 1 2 2F F c= , es decir 10 2c= , por lo que 5c = .
Todos los problemas de Elipse son de tal naturaleza que siempre los datos o
condiciones nos permiten deducir fácilmente dos parámetros, el tercero faltante se
obtiene de la relación; 2 2 2a b c= +
En nuestro caso nos falta el parámetro b , despejando se tiene que:
2 2 2 26 5 11b a c= − = − = . Si graficamos los datos se observa que se trata de una
Elipse horizontal con centro en el origen.
Así la ecuación ordinaria que utilizamos es 2 2
2 21
x y
a b+ = ,
Por lo tanto la Ecuación Ordinaria de la Elipse es:
2 2
136 11
x y+ =
Observe que en la ecuación ordinaria no aparece el parámetro c .
Matemáticas III Unidad 4. Elipse, Circunferencia y sus Ecuaciones Cartesianas
171
Para obtener la Ecuación General, es decir, la ecuación sin denominadores e igualada
a cero.
Partimos de 2 2
136 11
x y+ = , multiplicando ambos lados por el producto 36X11=396
Se tiene 2 211 36 396x y+ = , por lo que finalmente la Ecuación General es:
2 211 36 396 0x y+ − =
4.16 EJERCICIOS PROPUESTOS
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO (0,0) 1. Para las siguientes elipses con centro en el origen hallar todos sus elementos y