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UNIDAD III
18 horas
Ecuaciones e inecuaciones lineales Objetivo: El estudiante
resolver problemas contextualizados en los cuales se apliquen
ecuaciones lineales con una incgnita, sistemas de ecuaciones
lineales 2 x 2 y 3 x 3, mediante mtodos algebraicos y su
interpretacin grfica en un ambiente de respeto y tolerancia.
Introduccin Numerosas situaciones problemticas pueden ser
planteadas y resueltas a travs de ecuaciones e inecuaciones
lineales y sistemas de ecuaciones temas referidos en esta unidad
que son enriquecidos con ejemplos y ejercicios en situaciones
reales. Se enfatizando la visualizacin grfica de las soluciones.
Las matemticas son como un juego, y para entender un juego hay que
conocer las reglas del mismo
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
3.1 ECUACIONES, INECUACIONES Y CONTEXTO Las ecuaciones se
aplican en la representacin simblica de modelos matemticos que
pueden anticipar realidades en diferentes ciencias, tales como
qumica, fsica, biologa, etc., as como, en la vida diaria. Es
importante entender la asociacin modelo mate-mtico-realidad y
observar que cada problema o situacin conduce a mode-los
especficos.
Un ejemplo clsico de modelo matemtico: Ley de enfriamiento de
Newton Ecuacin que modela: T = A + (T0 A)e-kt Donde: T = T (t)
temperatura (en grados) como funcin
del tiempo t (en minutos). A = temperatura del medio ambiente T0
= temperatura inicial del elemento que se
enfra (agua en este caso). e = 2.71828183
Ecuacin es toda igualdad entre dos expresiones algebraicas, o
bien, entre dos polinomios; la expresin que aparece antes de la
igualdad se llama miembro izquierdo y la que est despus, miembro
derecho. Por ejemplo: 5x2 + 10x = 20x miembro miembro izquierdo
derecho
Inecuacin es toda desigualdad entre dos expresiones algebraicas,
o bien, entre dos polinomios. Por ejemplo: 5x2 + 10x > 20x 2x +
3 < 5
Encontrar la solucin de una ecuacin, implica encontrar el
valor(es) de la(s) variable(s) de la ecuacin que cumplan la
igualdad; es decir, cualquier elemento del conjunto de nmeros o
elementos sobre el que se plantea la ecuacin que cumpla la condicin
de satisfacer la ecuacin es la solucin de la misma. Es posible que
ningn valor dado a la variable haga cierta la igualdad, o que para
todo valor la ecuacin sea vlida. La solucin de una inecuacin es un
conjunto de nmeros que satisfacen la desigualdad.
Ejemplos: A continuacin, se presentan situaciones que pueden
modelarse con lenguaje algebraico, dando origen a una ecuacin o
inecuacin. 1. Un joven ha comprado 4 chicles, 3 paletas que cuestan
$5.00 ms que el chicle c/u, y 5
bolsas de bombones cuyo costo es de $10.00 ms que la paleta c/u.
Si por todo pag $150.00, cunto cuesta cada dulce?
Elegir una literal que represente a cada dulce: Por ejemplo,
costo por chicle: x costo por paleta: y = x + $5.00
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
costo por bolsa de bombones: z = y + $10.00 = (x + $5.00) +
$10.00 dinero gastado = $150.00 La ecuacin que modela la situacin
es: g = 4x + 3y + 5z Expresando g en trminos de una sola
literal:
g = 4x + 3(x + $5.00) + 5[(x + $5.00) + $10.00]
2. Un farmacutico debe preparar 15 ml de gotas especiales para
un paciente con glaucoma. La solucin debe tener 2% de ingrediente
activo, pero slo tiene disponibles soluciones al 10 y al 1%. Qu
cantidad de cada solucin debe usar para completar la receta?
Cantidad de ml requerida de la solucin al 10%: x, lo cual se
expresa como 0.1x. Cantidad de ml requerida de la solucin al 1%: y
= 15 x, lo cual se expresa como 0.01y = 0.01(15 x). Cantidad de
ingrediente activo requerido al 2%: 15 ml, equivalente a 0.02(15) =
0.3. La situacin presentada queda modelada por la ecuacin:
0.1x + 0.01(15 x) = 0.3 3. Un profesor dice a un nio que tiene
que aadir 12 unidades a un nmero dado y dividir
el resultado por 13. Pero el nio, que no presta atencin, resta
13 del nmero dado y divide el resultado por 12. Se extraa, pues la
respuesta es correcta. Cul es el nmero dado?
La ecuacin que modela esta situacin es: Nmero dado: x
12
13
13
12 =+ xx
4. Karen, Carmen y Karime son hermanas. Karen tiene 6 aos y
Carmen tiene 2 aos ms que Karime. La suma de los aos de Carmen y
Karime no alcanza a igualar la edad de Karen. Cuntos aos tiene
Karime, si su edad es un nmero impar?
Edad de Karen: 6 Edad de Carmen: x + 2 Edad de Karime: x
Inecuacin que modela esta situacin:
(x + 2) + x < 6 Simplificacin:
2x + 2 < 6
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Ejercicios 3.1
I. Plantea una situacin que pueda ser modelada mediante una
ecuacin. Comentar el resultado con los compaeros de equipo y
seleccionar uno, para exponerlo al grupo.
II. Disear la ecuacin que modele las situaciones planteadas. 1.
Pedro fue a cortar mangos a una huerta; para salir debe pasar por
dos puertas y en cada
una de ellas debe dejar dos tercios de los mangos que lleve en
ese momento. Si pedro sali con 8 mangos, cuntos mangos cort?
2. La suma de tres nmeros impares consecutivos es igual a 27.
Cul es el nmero ms
pequeo de esos tres? 3. Carlos quiere comprar chocolates. Si
compra 6 chocolates le sobraran $12, mientras
que para comprar 8 tendra que pedir prestado $14. Si todos los
chocolates cuestan lo mismo, cunto cuesta cada chocolate?
4. El flujo que emana de una manguera puede llenar un tanque en
10 horas, mientras que
un desage puede vaciarlo en 15 horas. Cunto tiempo tardar el
tanque en llenarse si la manguera y el desage estn abiertos al
mismo tiempo?
II. Disear la inecuacin que modele las situaciones planteadas.
1. Ricardo, Anselmo y Carlos son hermanos. Ricardo tiene 38 aos y
Anselmo tiene 5
aos ms que Carlos. La suma de los aos de Anselmo y Carlos no
alcanza a igualar la edad de Ricardo. Cuntos aos tiene Carlos, si
su edad es un nmero impar?
2. Se dispone de un nmero de monedas, entre 197 y 205, que son
repartidas entre las
personas A, B y C. Se sabe que B recibe 15 monedas ms que C y A
recibe el doble de lo que recibe B. Cuntas monedas recibe cada
uno?
III. Aplicando los conocimientos previos, resolver los modelos
mostrados en los ejemplos
planteados en este tema para encontrar su solucin. 3.2 LA
ECUACIN LINEAL DE UNA VARIABLE Y SU VISUALIZACIN
GRFICA La representacin grfica de una ecuacin lineal o de primer
grado es una lnea recta, que se establece mediante la expresin y =
ax + b. Para hacer la grfica se aplica el mtodo de tabulacin, para
lo cual se le asignan valores a x; al ser sustituidos en la
expresin y = ax + b se tienen los valores de y, obteniendo parejas
ordenadas, mismas que se representan en el plano cartesiano.
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Recuerda que: La solucin de la ecuacin ax + b = 0 es el valor de
x correspondiente a y = 0 en la grfica de la recta y = ax + b. As,
la solucin es la abscisa del punto donde la recta intercepta
(corta) al eje x. Si x = c es solucin de ax + b = 0, para encontrar
la solucin de las inecuaciones ax + b > 0 y ax + b < 0, se
sustituye un valor de x > c y otro de x < c en dichas
inecuaciones y se elige como solucin la desigualdad x > c o x
< c que contenga el valor que, al ser sustituido, satisface la
inecuacin.
En la expresin y = ax + b, a = 0 y b 0, la grfica es una recta
horizontal, paralela al eje x, en donde la ecuacin asociada y = 0x
+ b no tiene solucin; grficamente no hay un punto que corta al eje
x. Si y = ax + b, a = 0 y b = 0, entonces la recta se traza sobre
el eje x, y la solucin de la ecuacin y = 0x es el conjunto de
nmeros reales.
La solucin de una ecuacin se denomina raz de la ecuacin.
3.2.1 Interpretacin de la raz o solucin de ax + b = 0 a partir
de la visualizacin
grfica de y = ax + b Ejemplos: I. A continuacin se hace una
tabulacin para graficar la ecuacin lineal indicada,
visualizando a partir de esta la solucin o raz de dicha
ecuacin.
1. En el anlisis grfico de y = x 1: Tabulacin
x y P (x, y) 4 y = (4) 1 = 3 P (4, 3) 3 y = (3) 1 = 2 P (3, 2) 2
y = (2) 1 = 1 P (2, 1) 1 y = (1) 1 = 0 P (1, 0) 0 y = (0) 1 = 1 P
(0, 1) 1 y = (1) 1 = 2 P (1, 2) 2 y = (2) 1 = 3 P (2, 3)
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
En este ejemplo, la abscisa del punto que corta la recta con el
eje x es un entero. Luego, se visualiza con claridad que la
interseccin de la recta con el eje x es 1, valor correspondiente a
y = 0; luego, la solucin o raz de la ecuacin x 1 = 0 es x = 1. En
ocasiones no es posible visualizar con exactitud la abscisa del
punto de interseccin de la recta con el eje x; entonces, se supone
un posible valor y se verifica que para ste; y = 0. Hay ejercicios
en los que no es posible visualizar la solucin exacta y se hace
necesario recurrir a otro mtodo. 2. En el anlisis grfico de y = 2x
+ 1: Tabulacin
x y P(x, y) 2 y = 2(2) + 1 = 3 P(2, 3) 1 y = 2(1) + 1 = 1 P(1,
1) 0 y = 2(0) + 1 = 1 P(0, 1) 1 y = 2(1) + 1 = 3 P(1, 3)
2
1 012
12 =+
=y
0
2
1 ,P
La interseccin de la recta con el eje x se supone 2
1 , con lo cual se verifica que y = 0;
luego, la solucin o raz de la ecuacin 2x + 1= 0 es x =2
1 . 3. En el anlisis grfico de y = 2x 1: Tabulacin
x y P(x, y) 2 y = 2(2) 1 = 5 P(2, 5)1 y = 2(1) 1 = 3 P(1, 3)0 y
= 2(0) 1 = 1 P(0, 1)
2
1 01
2
12 =
=y
0,2
1P
1 y = 2(1) 1 = 1 P(1, 1) 2 y = 2(2) 1 = 3 P(2, 3) 3 y = 2(3) 1 =
5 P(3, 5)
raz
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
La interseccin de la recta con el eje x se supone 2
1, con lo cual se verifica que y = 0;
luego, la solucin o raz de la ecuacin 2x 1 = 0 es x =2
1.
3.2.2 Solucin de las inecuaciones ax + b > 0 y ax + b < 0
a partir de la visualizacin
grfica de y = ax + b Ejemplos: I. A continuacin, se hace una
tabulacin para graficar la ecuacin lineal y = 3x 3,
visualizando a partir de esta la solucin de las inecuaciones 3x
3 > 0 y 3x 3 < 0. 1. En el anlisis grfico de y = 3x 3:
Tabulacin
x y P(x, y) 0 y = 3(0) 3 = 3 P(0, 3) 1 y = 3(1) 3 = 0 P(1, 0) 2
y = 3(2) 3 = 3 P(2, 3)
Se visualiza que la raz de 3x 3 = 0 es x = 1. Para encontrar la
solucin de 3x 3 > 0 y 3x 3 < 0, hacer lo que sigue: Se elige
un valor sobre el eje x; a la derecha de la raz (x > 1) y y otro
a la izquierda de la raz (x < 1); sean stos x = 2 y x = 0. Se
sustituyen en las inecuaciones: En 3x 3 > 0 Para x = 2, 3(2) 3
> 0, se tiene 3 > 0; se satisface la desigualdad y x > 1
es solucin de 3x 3 > 0 Para x = 0, 3(0) 3 > 0, se tiene, 3
> 0; no se satisface la desigualdad y x < 1 no es solucin de
3x 3 > 0
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
En 3x 3 < 0 Para x = 2, 3(2) 3 < 0, se tiene 3 < 0; no
se satisface la desigualdad y x > 1 no es solucin de 3x 3 < 0
Para x = 0, 3(0) 3 < 0, se tiene, 3 < 0; se satisface la
desigualdad y x < 1 es solucin de 3x 3 < 0. Nota: si en el
primer intento de sustitucin la inecuacin que contenga el smbolo
>, se satisface, se ha encontrado su solucin; en caso contrario,
se ha encontrado la solucin de la inecuacin con el smbolo
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Comprobacin:
1. 5x 1 = 2x 3 33
221
3
25
=
5x 2x = 3 + 1 33
41
3
10 =
3x = 2 3
13
3
13 =
Se verifica la igualdad; luego, la raz x = 3
2 es correcta.
3
2x =
2. 2x + 3 = 9 Comprobacin: 2x = 9 3 2 (3) + 3 = 9 2x = 6 6 + 3 =
9
x = 2
6 9 = 9
x = 3
Si se quiere resolver una ecuacin con denominadores, se debe
multiplicar la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los
denominadores, con la finalidad de eliminarlos.
3. 79
4
3
1
9
7
6
7 =+ xxx 3
3
2
1
1
3
3
1
3
9
9
1
1
3
6
mcm = (2) (3) (3) = 18
=+
1
7
9
4
3
1
9
7
6
718 xxx
Se sugiere que el mcm se divida entre cada denominador y se
mltiplique cada vez por el correspondiente numerador, dando como
resultado, la ecuacin: 21x + 14 6x = 8x 126 21x 6x 8x = 126 14 7x =
140
x = 7
140 x = 20
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Ejercicios 3.2
I. Determina visualmente la raz de la ecuacin lineal mediante su
representacin grfica, as como la solucin de las inecuaciones
correspondientes.
1. Ecuacin: y = 2x + 2, Raz = _____ Inecuaciones: y > 2x + 2
Solucin = _______ y < 2x + 2 Solucin = _______ Grfica:
90
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
2. Ecuacin: Inecuaciones: y = 3x 6 Raz = _____ y > 3x 6
Solucin = _______
y < 3x 6 Solucin = _______ Grfica:
3. Ecuacin: Inecuaciones: y = 4x + 2 Raz = _____ y > 4x + 2
Solucin = _______
y < 4x + 2 Solucin = _______ Grfica:
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
4. Ecuacin: Inecuaciones: y = 2x 1 Raz = _____ y > 2x 1
Solucin = _______
y < 2x 1 Solucin = _______ Grfica:
5. Ecuacin: Inecuaciones: y = 2x 10 Raz = _____ y > 2x 10
Solucin = _______
y < 2x 10 Solucin = _______ Grfica:
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
II. Obtn grficamente la solucin de las siguientes ecuaciones
lineales, utilizando el mtodo de tabulacin.
1. y = x 3
Tabulacin
x y P(x, y)
2. y = 2x 1
Tabulacin
x y P(x, y)
3. y = x + 1
Tabulacin
x y P(x, y)
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
III. Resuelve las ecuaciones siguientes utilizando la
transposicin de trminos y haz la comprobacin para verificar que sta
sea correcta.
1. 4x + 8 = 0 2. x + 4 = 3 3. 2x 5 = 0 4. 3x 12 = 0
5. 2
x 1 = 0
6. 9x 4 = 3x 16
7. 3x 2 = 2x + 1
8. 2(x 1) (x 1) = 0
9. 6(4x 7) 5(2x + 5) = 3
10. a (x 2) b(x 1) = b a
11.
12.
13.
14. p + p2x = q2x q
15. m + na nx = ma
IV. Encuentra por equipo una ecuacin lineal con una variable que
tenga la solucin dada;
elijan a uno de los integrantes para que sea quien exponga el
ejercicio al grupo.
1. x = 3 2. x = 1
5
33 =x. 4. x = 2
V. Disea, en equipo la ecuacin que modele las situaciones
planteadas y encuentra la
solucin a cada una. Compara el resultado con el obtenido por los
otros equipos. 1. Encuentra tres nmeros enteros consecutivos cuya
suma sea 60.
2. Luis tiene 12 monedas ms que Paco y entre ambos tienen 78.
Cuntas monedas tiene cada uno?
3. Dentro de la ciudad, un automvil rinde 6 km/l; en cambio, en
carretera rinde 8.5 km/l. Si el automvil consumi 90 l en un
recorrido de 690 km, qu parte del recorrido hizo en la ciudad?
4. Santiago es 4 veces mayor que Juan, y en 4 aos ms slo tendr
el doble de edad. Cul es la edad actual de cada uno?
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
5. Al abrir su alcanca, Susana encontr que, entre monedas de
$5.00, $10.00 y $25.00, reuna $850.00. Tambin encontr que el nmero
de monedas de $10.00 era el triple que las de $25.00 y que las de
$5.00 eran el doble que las de $10.00. Cuntas monedas de cada
denominacin haba en la alcanca?
6. Un obrero A puede realizar un trabajo en tres das y otro B
puede hacerlo en 6 das. Halla el tiempo que tardarn en realizar el
mismo trabajo los dos juntos.
7. Halla las dimensiones de un rectngulo sabiendo que su
permetro es igual a 110 cm y que su longitud es 5 cm menor que el
doble de su anchura.
8. Un depsito se puede llenar en 6 horas abriendo la llave de
agua fra y en 8 horas con la llave de agua caliente. Si abriendo el
desage puede vaciarse en 4 horas, en cunto tiempo se llena el
depsito si se tienen las dos llaves y el desage abiertos?
9. Halla 2 nmeros sabiendo que su suma es 37 y que, si se divide
el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el residuo 5.
10. Hace 10 aos, la edad de Carlos era 4 veces mayor que la edad
de Javier y, hoy da, es solamente el doble. Halla las edades
actuales.
11. Un estudiante lleva a la escuela una bolsa con galletas. A
la hora del descanso da a uno de sus compaeros la mitad de sus
galletas y media ms. A una amiga de otro grupo le da la mitad de lo
que le queda en la bolsa y media galleta ms. Por ltimo, a su
hermano le da la mitad de las galletas que le quedan y media ms.
Cuando decide comer galletas resulta que slo le queda una. Cuntas
galletas tena originalmente la bolsa?
3.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 x 2 y 3 x 3 Una ecuacin
lineal en dos variables x y y es de la forma ax + by = c, donde a,
b, c son constantes y a, b no son ambas iguales a cero. Se tiene un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, si
consideramos dos ecuaciones de la forma ax + by = c. Tambin se dice
que es un sistema de dimensiones 2 x 2. a1x + b1y = c1 a2x + b2y =
c2 A la pareja de valores x y y que satisfacen ambas ecuaciones se
le llama solucin del sistema dado.
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Se tiene un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incgnitas, si
consideramos 3 ecuaciones de la forma ax + by = c. Tambin se dice
que es un sistema de dimensiones 3 x 3. a1x + b1y + c1 = d1 a2x +
b2y + c2 = d3 a3x + b3y + c3 = d3 A los valores x, y, z que
satisfacen simultneamente las ecuaciones se les llama solucin del
sistema dado.
Ejemplos:
A continuacin, se presentan dos situaciones que pueden modelarse
con lenguaje algebraico, dando origen a un sistema de
ecuaciones.
1. Paola tiene 27 aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos, la
edad de Paola doblar la edad de Carmen. Cuntos aos tiene cada
una?
Planteamiento algebraico: Edad actual de Carmen: x Edad actual
de Paola: y Edad de Carmen, dentro de 8 aos: x + 8 Edad de Paola,
dentro de 8 aos: y + 8 Ecuaciones: y = x + 27 y + 8 = 2(x + 8) de
donde, simplificando y acomodando, Se tiene: x y = 27 y + 8 = 2x +
16 2x y = 8
Sistema de ecuaciones que modela la situacin:
==
82
27
yxyx
2. En cierta heladera, por una copa de helado, dos horchatas y
cuatro galletas, cobran
$34.00 un da. Otro da, por 4 copas del mismo helado y 4
galletas, cobran $44.00, y un tercer da son $26.00 por una horchata
y 4 galletas. Tienes motivos para pensar que alguno de los tres das
te presentaron una cuenta incorrecta?
Solucin Planteamiento: Precio de la copa de helado: x Precio de
la horchata: y Precio de la galleta: z Ecuaciones: x + 2y + 4z = 34
4x + 4y = 44 y + 4z = 26 x + y = 11
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones que modela la situacin:
=+=+=++
264
11
3442
zyyx
zyx
3.3.1 Visualizacin grfica de la solucin de un sistema lineal 2 x
2 La grfica de un sistema lineal 2 x 2 y 3 x 3, se obtiene trazando
en un mismo plano cartesiano las 2 o 3 ecuaciones. Existen 3 casos
de solucin del sistema:
Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto,
la solucin del sistema es la coordenada (x, y), o bien (x, y,
z).
Cuando las rectas trazadas son paralelas, el sistema no tiene
solucin. Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este
caso, el sistema tiene una
infinidad de soluciones. Ejemplos: En la siguiente grfica se
visualiza la solucin del sistema:
==+
13
94
yxyx
Las rectas se trazaron utilizando el mtodo de tabulacin. Se
observa el caso en donde las rectas se intersectan y la solucin es
el punto (1, 2); es decir, x = 1 y y = 2.
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
x + 4y = 9
Solucin
3x y = 1
Comprobacin: x + 4y = 9 3x y = 1 (1) + 4(2) = 9 3(1) (2) = 1 1 +
8 = 9 3 2 = 1 9 = 9 1 = 1 Las dos ecuaciones se satisfacen con los
valores x = 1, y = 2, lo cual verifica que las soluciones son
correctas. 3.3.2 Mtodos algebraicos de solucin de un sistema lineal
2 x 2 Algunos otros mtodos de solucin de un sistema lineal 2 x 2,
adems del mtodo geomtrico, son: suma y resta, sustitucin y
determinantes. Para cualquier mtodo que se aplique, la solucin del
sistema es la misma. Mtodo de suma y resta Para aplicar este mtodo
se siguen los siguientes pasos: 1. Se pretende obtener una ecuacin
en una variable, para lo cual se elige eliminar los
trminos que contienen una de las dos variables, si es necesario.
Se debe multiplicar la ecuacin(es) por nmeros tales que hagan
iguales a los coeficientes de una variable seleccionada y que los
signos de estos coeficientes sean distintos.
2. Se efecta la suma de las ecuaciones, resultando una ecuacin
en una variable. 3. Se resuelve esta ecuacin obtenida de la suma,
encontrando el valor para una de las
variables.
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
4. Se sustituye el valor obtenido en alguna de las ecuaciones
del sistema a resolver, encontrando la ecuacin en la otra variable
la cual tambin debe ser resuelta para obtener su valor.
5. La solucin del sistema ser la de los dos valores encontrados.
Ejemplo: Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2
x 2, por el mtodo de suma y resta.
( )( )
=+=
294
113
yxyx
Se elije eliminar el trmino con la variable y. 1. Al multiplicar
(1) por 4, se obtiene: Nota: si al efectuar la suma
de las ecuaciones se obtiene 0x + 0y = c, el sistema no tiene
solucin. Si resulta 0x + 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de
soluciones.
( )
( )
=+=
294
14412
yxyx
2. Se suman:
1313
94
4412
==+=
xyxyx
3. Se resuelve la ecuacin obtenida de esta suma:
13
13=x , de donde, x = 1 4. Sustituyendo x = 1 en (1) se tiene:
3(1) y = 1, Al resolver esta ecuacin: 3 y = 1 y = 1 3 y = 2, se
tiene y = 2 5. As, la solucin del sistema formado por las
ecuaciones (1) y (2) es:
x = 1, y = 2 Mtodo de sustitucin Para aplicar este mtodo se
siguen los pasos siguientes: 1. Se elige una de las ecuaciones del
sistema, en la cual se despeja una de las variables. 2. Se
sustituye el despeje obtenido en la otra ecuacin del sistema,
quedando una
ecuacin en una variable, la cual hay que resolver encontrando el
valor de una variable.
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Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
3. El valor encontrado se sustituye en el despeje obtenido en el
primer paso, encontrando as el valor de la otra variable.
4. La solucin del sistema ser la de los dos valores encontrados.
Ejemplo: Con la finalidad de mostrar que la solucin del sistema 2 x
2 es la misma para cualquier mtodo, se resuelve el mismo sistema
del ejemplo anterior, aplicando el mtodo de sustitucin.
( )( )
=+=
294
113
yxyx
Nota: si al resolver la ecuacin en una sola variable se obtiene
0x = c, o 0y = c, el sistema no tiene solucin, y si resulta 0x = 0
o 0y = 0, el sistema tiene una infinidad de soluciones.
1. Se elige despejar y en la ecuacin (1), de donde: y = 1 3x 2.
Sustituyendo este despeje en la ecuacin (2) se obtiene:
y = 3 x 1
x + 4(3x 1) = 9 Al resolver esta ecuacin tenemos: x + 12x 4 = 9
13x = 9 + 4
13
13=x , de donde, x = 1 3. Sustituyendo x = 1 en el despeje
obtenido en el primer paso, se tiene: y = 3(1) 1 = 3 1, de donde y
= 2 4. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1) y
(2) es:
x = 1, y = 2 Mtodo por determinantes (de Cramer) Este mtodo
consiste en formar determinantes a partir de los coeficientes de
las ecuaciones del sistema y desarrollarlos como a continuacin se
indica. Dado un sistema de ecuaciones 2 x 2:
100
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
222
111
cybxacybxa
=+=+
Para encontrar la solucin del sistema, se desarrollan los
determinantes siguientes:
12212
1
2
1 bababb
aa
D == 12212
1
2
1 bcbcbb
cc
Dx == 12212
1
2
1 cacacc
aa
Dy ==
Si D 0, la solucin del sistema es nica y se encuentra efectuando
las divisiones:
DDx x=
DD
y y= Ejemplo: De nueva cuenta, se resuelve el mismo sistema del
ejemplo anterior, aplicando el mtodo por determinantes.
( )( )
=+=
294
113
yxyx
Se resuelven los determinantes:
( )( ) ( )( ) 1311211434
1
1
3 =+===D
( )( ) ( )( ) 139419414
1
9
1 =+===xD
( )( ) ( )( ) 2612711939
1
1
3 ====yD Efectuando las divisiones indicadas, se tiene:
113
13 ===DDx x 2
13
26 ===DD
y y
As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)
es:
x = 1, y = 2
101
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
3.3.3 Mtodos algebraicos de solucin de un sistema lineal 3 x 3
Algunos mtodos de solucin de un sistema lineal 2 x 2, son:
sustitucin y determinantes. Para cualquier mtodo que se aplique, la
solucin del sistema es la misma. Mtodo de sustitucin Para aplicar
este mtodo se siguen los siguientes pasos: 1. Se elige una de las
ecuaciones del sistema, en la cual se despeja una de las variables.
2. Se sustituye el despeje obtenido en las otras dos ecuaciones del
sistema, quedando dos
ecuaciones con dos variables; es decir, un sistema 2 x 2, el
cual ya se sabe resolver. 3. Los valores encontrados se sustituyen
en el despeje obtenido en el primer paso,
encontrando as el valor de la otra variable. 4. La solucin del
sistema ser la de los tres valores encontrados. Ejemplo: Se
resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3 x 3 por el
mtodo de sustitucin.
( )( )( )
=+=+
=+
35534
2325
112
zyxzyxzyx
1. Se elige despejar y en la ecuacin (1) de donde: y = 1 2x + z
y = 2x + z + 1 2. Sustituyendo este despeje en la ecuacin (2) se
obtiene: x 5(2x + z + 1) + 2z = 3 Se simplifica, x + 10x 5z 5 + 2z
= 3 11x 3z = 3 + 5 (4) 11x 3z = 2 Sustituyendo este despeje en la
ecuacin (3) se obtiene: 4x + 3(2x + z + 1) 5z = 5 Se simplifica: 4x
6x + 3z + 3 5z = 5 2x 2z = 5 3 2x 2z = 8 (5) x + z = 4
102
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
De la ecuacin (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente:
( )
( )
=+=
54
42311
zxzx
Para resolver este sistema: Se elije eliminar el trmino con la
variable x. 1. Al multiplicar (5) por 11 se obtiene:
( )
( )
==
5441111
42311
zxzx
2. Se suman:
4214
441111
2311
==
=
zzxzx
3. Se resuelve la ecuacin obtenida de esta suma:
14
42
=z de donde
4. Sustituyendo z = 3 en (4) se tiene: 11x 3(3) = 2, Al resolver
esta ecuacin: 11x 9 = 2 11x = 2 + 9
11
11=x , se tiene 5. As, la solucin del sistema formado por las
ecuaciones (4) y (5) es:
x = 3
x = 1
x = 1, z = 3
6. Sustituyendo estos valores x = 1 y z = 3 en el despeje
obtenido en el primer paso, se
encuentra as el valor de la otra variable. y = 2x + z + 1 y =
2(1) + (3) + 1 y = 2 + 3 + 1
y = 2 7. As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones
(1), (2) y (3) es:
x = 1, y = 2, z = 3
103
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
Mtodo por determinantes (de Cramer) Dado un sistema de
ecuaciones 3 x 3:
3323
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
=++=++=++
Para encontrar la solucin del sistema se desarrollan los
determinantes siguientes:
312231123213132321
3
2
1
33
22
11
cbacbacbacbacbacbaccc
bababa
D ++==
2
1
22
11
cc
baba
312231123213132321
3
2
1
3
2
1
cbdcbdcbdcbdcbdcbdccc
bbb
Dx ++==3
2
1
ddd
2
1
2
1
cc
bb
2
1
dd
312231123213132321
3
2
1
3
2
1
cdacdacdacdacdacdaccc
aaa
Dy ++==3
2
1
ddd
2
1
2
1
cc
aa
2
1
dd
312231123213132321
33
22
11
dbadbadbadbadbadbabababa
Dz ++==3
2
1
ddd
2
1
dd
22
11
baba
Obsrvese que para desarrollar cada uno se aumentaron las dos
primeras filas.
Si D 0, la solucin del sistema es nica y se encuentra efectuando
las divisiones:
104
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
DDx x=
DD
y y= DDz z=
Ejemplo: Con la finalidad de mostrar que la solucin del sistema
3 x 3 es la misma para cualquier mtodo, se resuelve el mismo
sistema del ejemplo anterior, aplicando el mtodo por
determinantes.
( )( )( )
=+=+
=+
35534
2325
112
zyxzyxzyx
Se resuelven los determinantes:
=
=
5
2
1
34
51
12
D
2
1
51
12
= (2)(5)(5) + (1)(3)(1) + (4)(1)(2) (4)(5)(1) (2)(3)(2)
(1)(1)(5) = 50 3 + 8 20 12 + 5 = 63 35 = 28
=
=
5
2
1
35
53
11
xD
2
1
53
11
= (1)(5)(5) + (3)(3)(1) + (5)(1)(2) (5)(5)(1) (1)(3)(2)
(3)(1)(5) = 25 + 9 10 + 25 6 15 = 59 31 = 28
=
=
5
2
1
54
31
12
yD
2
1
31
12
= (2)(3)(5) + (1)(5)(1) + (4)(1)(2) (4)(3)(1) (2)(5)(2)
(1)(1)(5) = 30 + 5 + 8 12 + 20 + 5 = 56
105
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
= =
5
3
34
5
1
1
12
zD
3
1
51
12
= (2)(5)(5) + (1)(3)(1) + (4)(1)(3) (4)(5)(1) (2)(3)(3)
(1)(1)(5) = 50 + 3 12 + 20 +18 + 5 = 84 Efectuando las divisiones
indicadas, se tiene:
128
28 ===DDx x 2
28
56 ===DD
y y 328
84 ===DDy z
As, la solucin del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y
(2) es:
x = 1, y = 2, z = 3 Ejercicios 3.2
I. Encuentra la solucin a los problemas planteadas en los
ejemplos previos:
1. Paola tiene 27 aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos 2.
En cierta heladera, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro
galletas II. Disea un sistema de ecuaciones que modele las
situaciones planteadas y encuentra la
solucin, utilizando el mtodo ms apropiado. 1. El pap de Julio
pesa 42 kg ms que Julio; si los dos juntos pesan 138 kg, cunto
pesa
cada uno? 2. La edad de un hijo, ms la tercera parte de la edad
del padre suman 22 aos. Dentro de
6 aos, la edad del padre exceder en 10 aos el doble de la edad
del hijo. Cul es la edad actual de cada uno?
3. Se tiene 3 recipientes con cierta cantidad de agua. Si se
vierte 1/3 del agua del primero
en el segundo y luego 1/4 del agua del segundo en el tercero y,
por ltimo, extraemos 1/10 del agua del tercer recipiente para
verterla en el primer recipiente, obteniendo 9 l en cada
recipiente, qu cantidad de agua tena cada uno de ellos?
4. Tres amigos fueron a la dulcera. Miguel gast $27 y compr un
caramelo y dos paletas.
Luis gast $41 y compr un caramelo y dos chocolates. Cunto gast
Hugo si compr un caramelo una paleta y un chocolate?
106
-
Unidad III Ecuaciones e inecuaciones lineales
5. Un cohete y su combustible pesan juntos 5,200 kg. Despus de
que se haya gastado una cuarta parte del combustible, el cohete y
el combustible restante pesan 4,600 kg. Cul es el peso, en
kilogramos, del cohete?
6. Un grupo de personas se rene para ir de excursin, totalizando
20 entre hombres, mujeres y nios. Contando hombres y mujeres
juntos, su nmero resulta ser el triple del nmero de nios. Adems, si
hubiera acudido una mujer ms, su nmero igualara al de los hombres.
Cuntos hombres, mujeres y nios han ido de excursin?
7. En una competencia deportiva participan 50 atletas
distribuidos en tres categoras:
infantiles, cadetes y juveniles. El doble del nmero de atletas
infantiles, por una parte, excede en una unidad al nmero de cadetes
y, por otra, coincide con el quntuple del nmero de juveniles.
Determina el nmero de atletas que hay en cada categora.
107
Ecuaciones e inecuaciones linealesIntroduccin1. Paola tiene 27
aos ms que su hija Carmen. Dentro de 8 aos, la edad de Paola doblar
la edad de Carmen. Cuntos aos tiene cada una?Mtodo de
sustitucinMtodo de sustitucin