UNIDAD 3
UNIDAD 3 ANALISIS DIMENSIONAL Y TEORIA DE MODELOS3.1 ANALISIS
DIMENSIONALElanlisis dimensionales una herramienta que permite
simplificar el estudio de cualquier fenmeno en el que estn
involucradas muchasmagnitudes fsicasen forma de variables
independientes. Su resultado fundamental, elteorema de
Vaschy-Buckingham(ms conocido porteorema) permite cambiar el
conjunto original de parmetros de entrada dimensionales de un
problema fsico por otro conjunto de parmetros de entrada
adimensionales ms reducido. Estos parmetros adimensionales se
obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parmetros
dimensionales y no son nicos, aunque s lo es el nmero mnimo
necesario para estudiar cadasistema. De este modo, al obtener uno
de estos conjuntos de tamao mnimo se consigue: Analizar con mayor
facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drsticamente el
nmero de ensayos que debe realizarse para averiguar el
comportamiento o respuesta del sistema.El anlisis dimensional es la
base de los ensayos conmaquetasa escala reducida utilizados en
muchas ramas de la ingeniera, tales como laaeronutica, laautomocino
laingeniera civil. A partir de dichos ensayos se obtiene informacin
sobre lo que ocurre en el fenmeno a escala real cuando
existesemejanza fsicaentre el fenmeno real y el ensayo, gracias a
que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son vlidos
para el modelo a tamao real si los nmeros adimensionales que se
toman como variables independientes para la experimentacin tienen
el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. As, para este
tipo de clculos, se utilizanecuaciones dimensionales, que son
expresionesalgebraicasque tienen comovariablesa lasunidades
fundamentalesy derivadas, las cuales se usan para demostrar
frmulas, equivalencias o para dar unidades a una
respuesta.Finalmente, el anlisis dimensional tambin es una
herramienta til para detectar errores en los clculos cientficos e
ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las
unidades empleadas en los clculos, prestando especial atencin a las
unidades de los resultados.Para reducir un problema dimensional a
otro adimensional con menos parmetros, se siguen los siguientes
pasos generales:1. Contar el nmero de variables dimensionalesn.2.
Contar el nmero de unidades bsicas
(longitud,tiempo,masa,temperatura, etc.)m3. Determinar el nmero de
grupos adimensionales. El nmero de grupos o nmeros adimensionales
()esn - m.4. Hacer que cada nmerodependa den - mvariables fijas y
que cada uno dependa adems de una de lasn - mvariables restantes
(se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio,
una geomtrica y otra cinemtica; ello para asegurar que los nmeros
adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del
problema).5. Cadase pone como un producto de las variables que lo
determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para
garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los
exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.6.
El nmeroque contenga la variable que se desea determinar se pone
como funcin de los dems nmeros adimensionales.7. En caso de
trabajar con un modelo a escala, ste debe tener todos sus nmeros
adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar
similitud.
3.2 GRUPOS ADIMENSIONALESGrupo de cantidades que cuando se
multiplican entre ellas es la unidad.Las magnitudes que intervienen
en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: -
magnitudes mecnicas del fluido - magnitudes trmicas del fluido -
magnitudes del flujo
Los parmetros adimensionales asociados a las magnitudes
anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos
efectos que se pueden considerar:
3.3 TEORIA DE BUCKINHAMDado un problema fsico en el que el
parmetro dependiente es funcin den-1parmetros independientes, se
puede expresar la relacin entre las variables de manera funcional
como:
dondeq1es el parmetro dependiente yq2,q3,...,qnsonn-1parmetros
independientes. Matemticamente se puede expresar la ecuacin
anterior como:
dondeges una funcin no especificada, pero diferente def.El
Teoremapde Buckingham establece que dada una relacin
entrenparmetros de la forma
losnparmetros pueden agruparse enn-mparmetros adimensionales
independientes (o parmetrosp) que se expresan de manera funcional
como:
o de otra forma
El nmeromusualmente (pero no siempre) es igual al nmero mnimo de
dimensiones independientes que se requieren para especificar las
dimensiones de todos los parmetrosq1,q2,...,qn.El teorema no
predice la forma funcional deGoG1. Estas deben ser determinadas
experimentalmente.Procedimiento para el empleo del Teoremapde
Buckingham en un anlisis dimensional.El anlisis dimensional de un
problema se lleva a cabo en tres etapas. Dentro de la segunda de
estas etapas se aplica el Teoremapde Buckingham para obtener los
parmetros adimensionales que el problema requiera. La aplicacin del
Teorema de Buckingham consta de seis pasos.1. Establecer una lista
apropiada de parmetros.2. Obtener los parmetrosPadimensionales
usando el teoremapde Buckingham.1. Listar todos los parmetros
significativos. (Seanel nmero de parmetros).2. Seleccionar un
conjunto fundamental (primario) de dimensiones.3. Listar las
dimensiones de todos los parmetros, expresndolos en funcin de las
dimensiones primarias. (Searel nmero de dimensiones primarias).4.
Seleccionar de la lista de parmetros que se elabor en elPaso 1,
aquellos que se repetirn en los parmetros adimensionales que se han
de formar. Estos parmetros que se repiten debern ser iguales en
nmero a las dimensiones primarias y deber evitarse omitir alguna de
ellas. (Seamel nmero de parmetros que se repiten).5. Establecer las
ecuaciones dimensionales que combinen los parmetros que se repiten
y que se seleccionaron en elPaso 4con cada uno de los parmetros
restantes, buscando formar parmetros adimensionales. (Seann-mel
nmero de ecuaciones que se obtendrn). Resolver estas ecuaciones
dimensionales para obtener losn-m parmetros adimensionales.6.
Verificar que cada parmetro obtenido resulte adimensional.1.
Determinar experimentalmente la relacin funcional entre los
parmetrosP.
3.4 SEMEJANZA GEOMETRICA, CINEMATICA Y DINAMICALateora de las
semejanzases aquella que se emplea para el trabajo conmodelos a
escalaentneles aerodinmicoscon el objetivo de que el comportamiento
de los mismos sea lo ms cercano posible a como se comportara en una
situacin real el objeto en cuestin. Manifiesta que los criterios
fundamentales para establecer la semejanza de un modelo a escala
con el objeto real son los delnmero de Reynoldsy elnmero de Mach.
Los objetos de estudio pueden servehculos
espaciales,aviones,puentesyedificaciones. SEMEJANZAS ENTRE EL
MODELO Y EL OBJETO REALPara analizar mediante un modelo a escala
los fenmenos que podran ocurrir en el objeto real es necesario que
entre ambos (modelo y objeto real) exista semejanza geomtrica,
cinemtica y dinmica.1Semejanza geomtrica[editar]Segn esta teora,
los casos ms simples de las semejanzas de fenmenos, es la semejanza
geomtrica. Dos fenmenos (cosas) son geomtricamente semejantes si
todas las correspondientes dimensiones lineales que las
caracterizan son proporcionales. Los criterios de semejanza
geomtrica son relaciones entre cualesquier correspondientes
dimensiones lineales. En los fenmenos geomtricamente semejantes,
todos los criterios homnimos de semejanza geomtrica son
iguales.Semejanza cinemtica[editar]Dos fenmenos son cinemticamente
semejantes si con la semejanza geomtrica, tiene lugar al mismo
tiempo, proporcionalidad y orientacin igual de losvectoresde
velocidad en todos los puntos adecuados. Los criterios principales
de semejanza cinemtica son ngulos que determinan la posicin de un
cuerpo respecto al vector velocidad de la corriente libre.Semejanza
dinmica[editar]Dos fenmenos son dinmicamente semejantes si con la
semejanza cinemtica tiene lugar la proporcionalidad y orientacin
igual de los vectores fuerzas en todos los puntos adecuados de
dichos fenmenos hablando en rigor, la semejanza dinmica se consigue
solo si tiene lugar la semejanza completa de fenmenos cuando todas
las magnitudes fsicas similares son iguales en todos los puntos
correspondientes. Para obtener en la prctica la similitud de
fenmenos aerodinmicos basta lograr la proporcionalidad de las
fuerzas de rozamiento y presin lo que simplifica mucho este
problema. CRITERIOS DE SEMEJANZA
Por nmero de ReynoldsSupongamos que hemos logrado la similitud
de dosfenmenos aerodinmicos. Por ejemplo, fenmenos de derrame
alrededor del ala del avin en vuelo y el de su modelo. Que sean
determinadas por va experimental las fuerzas aerodinmicas que actan
en el modelo. Para aplicar estos resultados a unplaneadorreal es
necesario establecer la ecuacin que podra relacionar las fuerzas
aerodinmicas en dos fenmenos semejantes. Con el fin de deducir tal
ecuacin vamos a despejar cerca delalareal unapartcula de
aireelemental conmasa(Todas las magnitudes referentes al planeador
las designaremos con el subndice 1 y al modelo con 2). Que sobre la
partcula despejada desde el lado del aire ambiente acte la fuerza.
Entonces dicha partcula en su movimiento adquirir laaceleraciny
segn laSegunda ley de Newton:
Elvolumende la misma partcula lo expresaremos en la
formasiendola disminucin lineal caracterstica yel factor de forma.
Por consiguiente, lamasade la partculay la expresin de la fuerza
elemental se pone en la forma:
La expresin anloga puede escribirse tambin para la partcula
correspondiente al modelo de un fenmeno:
La relacin de las fuerzas elementales que obran en un fenmeno y
en su modelo ser:
En unidad de la semejanza geomtricay siendoylas superficies
caractersticas correspondientes; debido a la semejanza cinemtica;y
al fin, de acuerdo con la semejanza dinmica las fuerzas elementales
son proporcionales a otras fuerzas similares:
Por consiguiente, la relacin de cualesquier fuerzas similares
que obran en dos fenmenos dinmicamente semejantes, por ejemplo
fuerzas aerodinmicas totales, ser:
donde:
Esta ltima expresin es la ecuacin en la que las fuerzas
aerodinmicas se hallan relacionadas en dos fenmenos dinmicamente
semejantes. En esta ecuacin pueden sustituirse los valores de
densidades y velocidades en cualesquiera pero infaliblemente
adecuados puntos de la corriente y cualesquiera pero
obligatoriamente correspondientes superficies. Para uniformidad, en
la determinacin de las caractersticas aerodinmicas de cuerpos
suelen emplearse los valores de densidady velocidadde la corriente
libre. Como superficie caracterstica de un ala y de un avin en todo
su conjunto se toma una superficie de ala en plano, puesto quela
expresin puede ponerse en la forma:
La relacin adimensional de cualquier fuerza aerodinmica a la
presin dinmica de la corriente libre y superficie caracterstica, se
llama coeficiente de esta fuerza:
(Coeficiente de fuerza aerodinmica total)(Coeficiente de
resistencia al avance)(Coeficiente de fuerza de sustentacin)
Como se deduce de las ecuaciones anteriores, en los fenmenos
dinmicamente semejantes los coeficientes aerodinmicos similares son
iguales, lo que quiere decir que pueden determinarse, no en
condiciones naturales, sino en modelos dinmicamente semejantes. Si
se conoce el coeficiente(por ejemplo) la fuerza misma se calcula
por la frmula:
La cual se llama frmula general de la fuerza aerodinmica. De
acuerdo con la ecuacin anterior cualquier fuerza aerodinmica puede
representarse como un producto del coeficiente adimensional de
dicha fuerza por la presin dinmica de la corriente libre y
superficie caracterstica. Paralelo a la fuerza aerodinmica se deben
considerar los momentos de estas respecto a los diversos ejes. Para
pasar, en la ecuacin anterior, de las fuerzas a los momentos, vamos
a multiplicar el primer miembro de dicha ecuacin por la relacin, el
segundo miembro por la relacinsiendoyrespectivamente, los brazos de
fuerzas respecto a un eje elegido y las dimensiones lineales
caractersticas en los fenmenos semejantes en un ala, debido a la
similitud de los fenmenos; tendremos. Puesto queyson momentos de
fuerzas respecto al eje dado, puede escribirse:
La relacin adimensional del momento aerodinmicoa la presin
dinmica de la corriente libre, superficie caracterstica y dimensin
lineal caracterstica se llama coeficientedel momento:
Parmetros que se emplean para la deduccin de la frmula del
momento aerodinmico
Se deduce que en los fenmenos dinmicamente semejantes los
coeficientes de los momentos similares son iguales, se escribe en
la forma:
En las cuestiones antes expuestas se ha demostrado que si los
fenmenos son dinmicamente semejantes los coeficientes aerodinmicos
similares son iguales. Para convencernos de la similitud de los
fenmenos, durante la simulacin haremos las siguientes
observaciones: Supongamos que en dos fenmenos dinmicamente
semejantes actan solo las fuerzas derozamiento viscoso. Para las
superficies elementalesy, las mismas fuerzas pueden expresarse
como:F=>fuerza de rozamiento=>Coeficiente dinmico de
viscosidadV=>Velocidad del flujoS=>rea de la superficiePuesto
que en los fenmenos dinmicamente semejantes las fuerzas son
proporcionales a los productospor lo que podemos escribir:Volviendo
a la deduccin de la ecuacin anterior no es difcil establecer que el
segundo miembro de la proporcin escrita es la relacin de los
productoslos cuales de acuerdo con el principio de D Alembert
pueden llamarse Fuerzas de Inercia que se oponen a la variacin de
velocidad de las partculas de aire elementales en dos fenmenos
dinmicamente semejantes.