Unidad 2 Sistemas de amortización Los sistemas de amortización o formas de pago se refieren a la forma en que se paga un préstamo, dichos sistemas se pueden clasificar en: 1. Pago único 2. Series uniformes o cuotas iguales 3. Series de amortización constante 4. Series gradientes (crecientes o decrecientes): Aritmético Geométrico La importancia de estos sistemas radica en saber elegir el sistema que más nos conviene, teniendo en cuenta los temas de liquidez, costo de oportunidad y comportamiento de las tasas de interés a futuro (es decir: conocimiento de la política económica) A continuación, abordaremos cada una de ellos: 1. Pago único: Esta forma de pago implica que tanto los intereses como el principal de un préstamo se pagan al finalizar el tiempo o plazo estipulado para el pago del mismo, por tal razón esta figura de préstamo no se presenta en el sistema financiero. Es posible que, entre amigos o familiares, incluso en “natilleras” este aplique, o que se presente como parte de un sistema de pago adicional, en cuyo caso si es posible verlo en funcionamiento dentro del sistema financiero. Gráficamente un crédito que se cancele bajo esta modalidad, tendría la siguiente forma: Ejemplos 1. a. Se hace un préstamo de $2’000.000 al 30% E.A. para pagarlo en un solo pago al final de 5 años. ¿Cuál será el pago futuro?
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Unidad 2 Sistemas de amortización
Los sistemas de amortización o formas de pago se refieren a la forma en que se paga un
préstamo, dichos sistemas se pueden clasificar en:
1. Pago único
2. Series uniformes o cuotas iguales
3. Series de amortización constante
4. Series gradientes (crecientes o decrecientes):
Aritmético
Geométrico
La importancia de estos sistemas radica en saber elegir el sistema que más nos conviene,
teniendo en cuenta los temas de liquidez, costo de oportunidad y comportamiento de las tasas
de interés a futuro (es decir: conocimiento de la política económica)
A continuación, abordaremos cada una de ellos:
1. Pago único:
Esta forma de pago implica que tanto los intereses como el principal de un préstamo se pagan al
finalizar el tiempo o plazo estipulado para el pago del mismo, por tal razón esta figura de préstamo
no se presenta en el sistema financiero. Es posible que, entre amigos o familiares, incluso en
“natilleras” este aplique, o que se presente como parte de un sistema de pago adicional, en cuyo
caso si es posible verlo en funcionamiento dentro del sistema financiero.
Gráficamente un crédito que se cancele bajo esta modalidad, tendría la siguiente forma:
Ejemplos 1.
a. Se hace un préstamo de $2’000.000 al 30% E.A. para pagarlo en un solo pago al final de 5
años. ¿Cuál será el pago futuro?
Solución:
Reemplazando en la formula F = P(1+i)n , queda:
F = 2’000.000*(1+0.3)5 = $7’425860
b. Si se deben entregar dentro de dos años $3’500.000 de un préstamo que se hizo a una
tasa del 22% E.A ¿cuál fue el valor del préstamo o valor presente?
Solución:
Reemplazando en la formula F = P(1+i)n , queda:
3500.000 = P (1+0.22)2
P = 3’500.000/1.4484 = $2’351.518
c. Si deposito hoy $4’000.000 en una cuenta que paga anualmente el 20% TA, ¿cuánto
acumularé en un año?
Solución:
Note que la tasa que nos dan es una tasa anticipada periódica con capitalización su
periódica, por lo que primero debemos llevarla a una tasa anticipada anual o a una tasa
efectiva anual, ya que el prestamos es por un año. Entonces, reemplazando los valores en
la formula i = [c / (c – ra)]n - 1, nos queda:
i = [4 / (4 – 0.2) ]4 - 1 = 0,22773766, ahora aplicamos la formula F = P(1 – ia)-n
F = 4’000.000 * (1 - 0,22773766)-1 = $5’179.587,05
Nota: Comprueba si llevando la tasa a efectiva anual, se obtiene el mismo monto de dinero
acumulado un año después. Además, soluciona los ejercicios con el uso de Excel y compara
tus resultados.
2. Series uniformes o cuotas iguales
Son créditos que se pagan con cuotas iguales en magnitud, que se repiten periódicamente
durante cierto tiempo, a una tasa de interés determinada.
Esta forma de pago está relacionada con las llamadas anualidades, las cuales son pagos que
cumplen con las características descritas.
Las anualidades pueden ser vencidas o anticipadas, así:
Anualidades vencidas:
Se puede representar gráficamente con la siguiente imagen:
En esta forma de pago se pueden calcular, el valor del préstamo y el valor cuota, con la siguiente
formula:
𝑷 = 𝑨 ∗(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊 ≈ P = A *( P/A, i, n)
𝑨 = 𝑷 ∗(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 ≈ A = P* (A/P, i, n)
También es posible calcular el saldo de una deuda una vez pagada la cuota del período, para lo
cual podemos usar la siguiente ecuación
Sk= A[ ((1+i)n-k - 1) / i (1+i)n-k ] ≈ Sk = A (P/A, i, n-k)
Graficamente, consistiria en saber cuánto se debe en el momento Sk
Otro uso de la serie uniforme son los Fondos de Capitalización, en los que se hacen depósitos
iguales al final del mes o del año, de manera periódica, y permiten acumular, después de n ahorros
un fondo F. Para ello se usa una fórmula que se extrae de la usada para las series uniformes, y que
permite hallar el valor acumulado o el valor depositado periódicamente:
𝐅 = 𝐀 ∗(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
𝐢 ≈ F = A *(F/A, i, n) y 𝐀 = 𝐅 ∗
𝐢
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
y su representación gráfica puede ser:
P
1 2 n períodos
0
A A A A
P
Sk = ?
k pagadas (n - k)
1 2 k k + 1 n
0
A A A A A A
F
0 n períodos
A A
Donde A representa el valor de las
cuotas durante n períodos
Ejemplo 2:
a. La financiación de un carro se hace con un pago al recibir este, de $2’000.000 y el resto se
cancela en 36 cuotas mensuales de $550.000. Si el concesionario cobra una tasa del 34.5%
E.A ¿cuál es el valor del carro?
Solución:
Al igual que en todos los ejercicios de matemática financiera, es necesario tener claro que
existen muchas formas de solucionar los ejercicios. Desde que tenga lógica el desarrollo,
se puede experimentar.
Adicionalmente, sería conveniente construir la gráfica que representa el problema e
identificar que datos nos están dando y que nos piden, así:
El ejercicio nos da el valor de la cuota A ($550.000), el número de cuotas n (36), la tasa de
interés i, para la cual es necesario calcular la tasa equivalente mensual, ya que las cuotas
son mensuales, y nos piden el valor del crédito, en este caso P:
Ahora sustituyendo en la formula 𝑃 = 𝐴 ∗(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛∗𝑖, queda:
𝑃 = 550.000 ∗(1+0.025)36−1
(1+0.025)36∗0.025 = 12’955.938 + la cuota inicial = $14’955.938
A través de las funciones de Excel, por VA podemos calcular el valor del carro, así:
b. Un administrador necesita acumular en un fondo $10’000.000 para comprar un lote en
el campo al final de su carrera (5 años), ¿cuánto deberá ahorrar uniformemente en una
entidad que le reconoce el 2.5% mensual sobre saldos?
Solución:
En este ejercicio nos dan la tasa mensual (2.5 % EM) y se supone que los depósitos son
mensuales, igualmente nos proporciona el número de depósitos (n = 60 meses) y el valor
a acumular (F = 10’000.000), y nos piden calcular el valor del depósito (A= ?), por lo tanto,
al reemplazar los datos en la formula y graficar el problema, tenemos:
Reemplazando los valores en la formula
A= 𝟏𝟎′𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗𝟎.𝟎𝟐𝟓
(𝟏+𝟎.𝟎𝟐𝟓)𝟔𝟎−𝟏 = $73.533,96
Con ayuda de la función PAGO de Excel también podemos solucionar el ejercicio, así:
NOTA: OTRA HERRAMIENTA QUE PUEDES USAR PARA RESOLVER ESTOS PROBLEMAS ES EL
CONOCIDO buscar objetivo DE EXCEL, CONSULTA COMO SE USA Y PRESENTA TUS INQUIETUDES
EN CLASE.
También es posible fusionar las series uniformes con los pagos únicos y/o con otras series
uniformes. Un ejemplo de ello es cuando para pagar un crédito que tomamos por ejemplo a un
año, el banco nos propone abonar a mitad de año la prima de vacaciones, y adicionalmente
entregar una cuota mensual igual. En este caso tendríamos una serie uniforme con pagos
mensuales y un pago único semestral.
Para una mejor compresión, resolvamos el siguiente ejemplo:
Suponga que un préstamo de un $1’000.000 se paga en cuotas iguales a una tasa del 2% efectivo
mensual, pero además se hace un abono a mitad de año de $200.000. ¿Cuál es el valor de la cuota
ordinaria mensual?
Solución:
¡Construye la gráfica!
Una forma de solucionarlo sería:
Primero traer a presente la cuota que conocemos, es decir los $200.000, para lo cual
podemos usar la tasa mensual que da el ejercicio y el período sería 6, ya que dicho pago
está plateando hacerse a mitad de año. Como es un pago único usamos la formula
P = F/(1+i)n
P = 200.000/(1+0.02)6 = $177.594,276
El procedimiento de traer al presente se conoce como DESCONTAR UN VALOR. Por el contrario,
si lo que hacemos es llevarlo al futuro, lo llamamos CAPITALIZAR un valor.
Posteriormente restamos al valor del préstamo el valor presente que calculamos en el
paso anterior, es decir: $1’000.000 - 177.594,276 = $822.405,724
Por último, con este nuevo valor de $822.405,724, calculamos el valor de las cuotas
mensuales, es decir el valor de A, que en este caso es de $77.766
Nota: confirma a través de cualquier método que la respuesta anterior es la correcta
Otro ejemplo (intenta solucionarlo en casa y comparte tu desarrollo en clase)
Si en el ejemplo anterior, el préstamo del $1’000.000 se propusiera cancelarlo en 12 cuotas iguales
mensuales y dos cuotas extras de $200.000 cada seis meses, a una tasa del 2% mensual, ¿cuál sería
el valor de la cuota mensual?
Anualidades anticipadas
Son aquellas anualidades en las que el pago de las cuotas o depósitos de ahorro se hace al principio
de cada período, como se ilustra a continuación:
El efecto de este pago al principio se traduce en un incremento de la tasa, en términos reales, ya
que al préstamo que se desembolsa, de entrada, se le deduce una cantidad, lo que hace que el
monto realmente prestado sea inferior al que cobra la entidad financiera.
Tal y como se propone en la siguiente gráfica:
Como su pago o desembolso se hace al inicio del período, para realizar los cálculos de valor
presente, valor futuro, etc., se puede crear un período ficticio antes del primer pago o desembolso.
Veamos un par de ejemplos y las formas de resolverlos:
Ejemplo 3:
A. Si se paga un prestamo con 9 cuotas iguales a principio de período, de $250.000 a una tasa
del 2% mensual, ¿cuàl fue el monto del prestamo?
Alternativas de soluciòn:
a. Podemos usar las siguientes formulas
VP = A *(1 + i) * 𝟏 −(𝟏+𝒊)−𝒏
𝒊 o VP = A *[
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊 ]* (1 + i)
Notese que al elevar el factor (1 + i) a la – n o a la n estamos indirectamente creando un
periodo ficitico, pues si simplemente traemos hasta el perìodo 0 los flujos, tendrìamos n-
1, valores. Veamoslo en la representaciòn grafica de nuestro ejemplo:
En el ejemplo son 9 pagos, pero si los traigo hasta el perìdo 0, tendrìamos 8 valores
Devolución
préstamo
CI
0 1 año
PRESTAMO
Lo que implica que el presente del valor que está en el perìdo cero será un periodo antes
de él, al cual podemos numerar como -1, así:
Posteriormente, dicho valor se multiplica por el factor (1 + i) y el resultado sería la
respuesta.
VP = 250.000 *(1 + 0.02) * 𝟏 −(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)−𝟗
𝟎.𝟎𝟐 o VP = 250.000 *[ (𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟗 −𝟏
(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟗∗𝟎.𝟎𝟐 ] *(1 + i ) = $2’081.370,36
b. Otra alternativa sería traer los flujos de caja hasta el período cero y al valor resultante
sumarle el flujo de dicho año, en cuyo caso se usaría la siguiente formula:
VP = A *[ (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 −𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 ∗ 𝒊 ]+ A o por excel ingresar los datos normales y en tipo ingresar 1
VP = 250.000 *[ (𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟖 −𝟏
(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟖∗𝟎.𝟎𝟐 ] + 250.000 = $2’0.81.370,36
B. Un individuo deposita en su cuenta de ahorros la suma de $ 250 al principio de cada año.
¿Cuánto tendrá al final de 8 años, si su Banco le reconoce una tasa de interés del 3%?
Soluciòn:
a. A diferencia del caso anterior, aquì creamos un período ficticio, despues del último
depòsito de dinero y llevamos al futuro dichos valores multiplicandolos por el factor
(1+ i)
VF = A *(1 + i) * (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
𝒊 VF = 250 *(1 + 0.03) *
(1+0.03)8−1
0.03 = $2289,78
Otra forma sería: VF = A * (𝟏+𝒊)𝒏+𝟏−(𝟏+𝒊)
𝒊 , o en excel ingresa los datos tal cual, pero en tipo
ingresar 1
b. Otra forma de resolver el problema sería traer a presente los flujos de caja por 8 períodos
y después dicho valor llevarlo al futuro (capitalizarlo) como un pago único por 9 períodos
Entonces, se requieren 41 trimestres en los cuales se deben depositar $60.000 y en el último trimestre se depositarían 0,5384228234916 * $60.000 = $32305,369… NOTA: propón una forma de cómo demostrar que dicho resultado es el adecuado. Comparte tu propuesta en clase. Dentro del sistema de series uniformes existen las series diferidas y las series perpetuas, veamos
en que consiste cada una:
Series diferidas:
Una anualidad diferida es aquella en la que el primer pago se efectúa después de transcurrido
cierto número de periodos, es decir que, en un arreglo con la entidad financiera, esta permite que
se genere un periodo de gracia en el cual no se abona dinero a la deuda, pero si se pagan intereses.
Ejemplo 5:
Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos iguales trimestrales de $A cada uno.
Si el primer pago se efectúa exactamente al FINALIZAR EL año de haberse prestado el dinero,
calcular A si la tasa de interés es del 36% ATV.
Solución:
Para resolver el ejemplo podemos:
Llevar a presente los $800.000 hasta el 3 trimestre como un pago único, ya que durante
ese lapso de tiempo los intereses se acumularon para constituir un nuevo valor de la
deuda, así:
F=800000* (1+ 0,09)^3 = 1’036.023, 2
Este resultado se convierte en el nuevo P con el que se calculará el valor de A como una
serie uniforme, así:
𝑨 = 𝟏’𝟎𝟑𝟔. 𝟎𝟐𝟑, 𝟐 ∗(𝟏+𝟎.𝟎𝟗)𝟐𝟎∗𝒊
(𝟏+𝟎.𝟎𝟗)𝟐𝟎−𝟏= $113.429,69
Nota: intenta resolverlo a través del Excel y si quieres de otra forma. Presenta tus
resultados en clase
Series Perpetuas
Son aquellas anualidades que tiene infinito número de pagos.
Aunque en la vida real las anualidades infinitas no existen, porque en este mundo todo tiene fin,
si podemos suponer que es infinita cuando el número de pagos es muy grande.
Este tipo de anualidades se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los
intereses (similar a lo que se conoce como Rollover)
Gráficamente tendría esta forma:
Y la fórmula para calcular el valor de la cuota o el valor del préstamo o la tasa de interés es:
VP = A/i
Donde:
A:es el valor de la cuota
i: tasa de interés
Ejemplo 6:
Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000 mensuales, suponiendo un interés del
33% AMV.
VP = A/i
VP = 10.000/0.0275 = 363.636,36
3. Series de amortización constante Prestamos donde el contenido de amortización es igual en todos los períodos. Su valor se
calcula con la formula P/n, donde:
P: es el valor del préstamo
n: número de cuotas en que se cancelará el crédito
En este sistema de amortización se pretende calcular:
El valor de la cuota A al final del periodo K, es decir AK
El saldo de la deuda después de pagar la cuota AK, es decir Sk
En este sentido si la cuota 1 es igual a:
Entonces, el saldo después de pagar dicha cuota es:
Así mismo A2 y S2 se calculan con:
Ahora define la fórmula para A3 y S3
A3 = _______________________________ y S3 ___________________________________________
Resumiendo:
Ejemplo 7:
En un préstamo de $1´000.000 al 37,0908% ATV, que se paga en 10 cuotas mensuales de
amortización constante, ¿cuál es el valor de la 1 y la 3 cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la