Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones. Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas de manejo de la computadora. Solución de problemas. Habilidad para trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.
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Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático
en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y
situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de
problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de
decisiones. Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas
de manejo de la computadora. Solución de problemas. Habilidad para
trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.
Competencia por unidad: Manejar las matrices, sus propiedades yoperaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, enlos sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de lasmatemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y unasolución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades paraprobar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.
Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemáticoen forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos ysituaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de problemas.Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones.Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas de manejo dela computadora. Solución de problemas. Habilidad para trabajar enforma autónoma. Búsqueda del logro.
2.1 Definición de matriz, notación y orden
1. MATRICES
DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro denúmeros distribuidos en filas y columnas.
NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra poruna letra mayúscula y sus elementos, una vezdistribuidos en las filas y columnas respectivas, seencierran con corchetes o con paréntesis, así:
; o así:
En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.
a2a1a
aaa
aaa
= A
mnmm
n2221
n1211
2
1
a2a1a
aaa
aaa
= A
mnmm
2n2221
1n1211
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.
Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".
ELEMENTO GENÉRICO
El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".
En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.
OTRA NOTACIÓN DE UNA MATRIZ
Para el caso de una matriz A con m filas y ncolumnas, se debe entender que i varía desde 1 hastam y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variablesen el conjunto de los números naturales).
Así, la matriz
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, quetiene como elemento genérico a aij, es:
Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)
puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)
aaa
aaa
aaa
aaa
= A
434241
333231
232221
131211
Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz de n xm que se obtiene escribiendo las filas de A, por orden,como columnas. Ejemplos.
Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
1 4 5B
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
3 8 3'
4 2 0
tA A
1
' 4
5
B
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
2.2 Operaciones con matrices
2.2 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.
Suma y diferencia. La suma (diferencia) A B de dosmatrices del mismo tamaño se obtiene sumando(restando) los elementos correspondientes de lasmatrices.
Ejemplos.
Dadas las matrices
Hallar la suma de A y B.
A + B =
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
1835
6040
5353
1008)1(205
33221322
23304112
3.3 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.
Dadas las matrices.Hallar la diferencia de A yB
A – B =
La suma (diferencia) de A y C, B y C no sonconformables para la suma (diferencia) porque no sondel mismo tamaño.
2 1 0 3
2 3 2 3
5 2 8 0
A
1 4 3 2
2 1 2 3
0 1 0 1
B
1815
0424
1331
)1(008)1(205
33)2(21322
23)3(04112
3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar. El producto de una
matriz A por un escalar k denotado como kA seobtiene multiplicando todos los elementos de A por k.
Ejemplos.
Dada la matriz
Hallar 3 A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 3( 1) 3(2) 3 6
3 3 3 1 3(3) 3(1) 9 3
2 0 3( 2) 3(0) 6 0
A
3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar 2 A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 2( 1) 2(2) 2 4
2 2 3 1 2(3) 2(1) 6 2
2 0 2( 2) 2(0) 4 0
A
3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.
Dada la matriz
Hallar (-1) A= -A
1 2
3 1
2 0
A
1 2 ( 1)( 1) ( 1)(2) 1 2
( 1) 3 1 ( 1)(3) ( 1)(1) 3 1
2 0 ( 1)( 2) ( 1)(0) 2 0
A
Producto de matrices. El producto de AB de una matriz A de m x r y B una matriz r x n
resulta una matriz C de m x n, en donde cada elemento Cij se obtiene multiplicando los elementos correspondientes de la fila ide la matriz A con los elementos de la columna j de la matriz B y se suman todos los resultados. Ejemplos.
Efectuar AB
2 1 3
4 1 2A
2 1 2
4 0 6
2 3 1
B
MATRICES IGUALES
DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si
i) son del mismo orden
ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.
En símbolos: A = B aij = bij, i,j
Ejemplo:
3.2 Tipos especiales de matrices.
Comúnmente las matrices tienen características definidas, por esta razón se les asigna un nombre específico.
3.2.1 Vector renglón y columna.
Vector fila. También llamada Vector renglón, es una matriz que consta de una sola fila y su tamaño es de 1 x n.
Ejemplos.
1 0 2 0P 1 2 4 2Q
3.2 Tipos especiales de matrices.
Vector columna. Es una matriz que consta de una sola columna y su tamaño es de m x 1.
Ejemplos. 3
5X
2
1
3
Y
3.2.2 Matriz cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden n, será aquella que tiene el mismo número de filas y de columnas. Ejemplos.
es una matriz cuadrada de orden 3.
es una matriz cuadrada de orden 2.
1 2 1
3 4 3
2 1 0
A
1 2
4 0B
3.2.3 Matriz identidad.
Una matriz identidad denotada como de orden n, es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son igual a 1 y todos los demás son igual a cero. Ejemplos.
1I 1 0
0 1I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
3.2.4 Transpuesta de una matriz.
Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz den x m que se obtiene escribiendo las filas de A, pororden, como columnas. Ejemplos.
Las transpuestas de las matrices
Son
3 4
8 2
3 0
A
1 4 5B
4 2 6
3 1 0
1 2 1
C
3 8 3'
4 2 0
tA A
1
' 4
5
B
4 3 1
' 2 1 2
6 0 1
C
3.3.3 Representación matricial de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones anterior es equivalente a la siguiente matriz.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 1 2
...
...
. . . .
. . . .
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
1
11
22221
11211
3.4 Introducción a los determinantes. Solución de undeterminante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadasy cofactores.
Definición. El determinante de una matriz A deorden n se define como la suma de todos los productoselementales con signo y se denota como det(A) o A .
En forma general el determinante se puede representar así:
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
n
n
n n nn nxn
a a a
a a a
A
a a a
CÁLCULO DE DETERMINANTES n x n. Para obtener el determinante de un matriz de orden 2
y 3, se utilizan generalmente procedimientosnemotécnicos, en los cuales se suman todos losproductos elementales con signo que señalan lasflechas que se indican a continuación.
Solución de un determinante de 2x2.Calcula la determinante de A:
65
23A
281018)2(5)6(3 A
Ejemplo.
Hallar el determinante de la siguiente matriz.
=
=-6 – 15/2 – 6 – 60 – 9/2 + 1 = -83
215
263
24/32/1
15
63
4/32/1
215
263
24/32/1
4
332
2
12126513252
4
326
2
1
Solución de un determinante de 3x3 por método de columnas aumentadas
Definición. Dada una matriz A, el menor del elemento aij denotadocomo Mij es el determinante que la submatriz que resulta de imprimir lafila i y la columna j de A.
Así, el numero (-1)i+j Mij denotado como Cij es el cofactor del elementoaij. En otras palabras los signos quedan como sigue (en dominó).
Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementosde una fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos dela primera fila se puede expresar de la siguiente forma:
det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n
aij Cij = (-1)i+j aijMij
ji)1(
Ejemplo de cálculo de undeterminante de 3X3 por cofactores.
Otra forma de resolverse
En excel el determinante de A se calcula:
Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementos deuna fila (columna) por sus cofactores.
Un desarrollo particular considerando los elementos de laprimera fila se puede expresar de la siguiente forma:
Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa
A-1 = ¾
A-1 =
3/283/10
084
3/263/8
3/203/2
886
3/1043/8
3/203/2
886
3/1043/8
2/102/1
662/9
2/532
Sea A una matriz cuadrada, A es invertible si el Det
A es diferente de cero. Obtener la matriz M, que es
la de cofactores de A, donde A es de orden n x n y
el ij-ésimo cofactor de A denotado como Aij, esta
determinado por Aij=(-1)i+j|Mij| es decir el cofactor Aij
se obtiene del determinante
ij-ésimo menor Mij y multiplicando por (1)i+j donde
se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.
Considere esta matriz A, donde m=n, es
decir una matriz cuadrada.
Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =
Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.
Es necesario definir la matriz Adjunta de A (Adj A) como Mt, donde esta última se le conoce como matriz de cofactores. En otras palabras
en tanto que
nnnn
n
n
t
AAA
AAA
AAA
MAdjA
...
............
...
...
21
22212
12111
AdjADetA
A11
Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la matriz F.
Se Obtiene primero la matriz de cofactores M.
:= F
2 1 2
1 0 -1
1 5 2
, por lo tanto
141
928
535
M y Mt (Traspuesta de M) , la cual es
5 8 -1
-3 2 4
5 -9 -1
Igual a Adj F. y el Det F= 2(5)+2(8)+1(-1)=17
AdjADetA
A11
17/117/917/5
17/417/217/3
17/117/817/5
195
423
185
17
11A
:= F
2 1 2
1 0 -1
1 5 2
21. 3.6.3 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el método de la inversa y Cramer.
Un método para encontrar las soluciones (si existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, consiste en simplificar las ecuaciones al multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuación por un numero diferente de cero, sumar un múltiplo de una ecuación a otra e intercambiar dos ecuaciones de un sistema, de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se llaman operaciones elementales con renglones.
Las operaciones elementales con renglones son:
Multiplicar (o dividir) un renglón por un numero diferente de cero.
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Intercambiar dos renglones.
Al proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.
Notación
1. Ri cRi :
Quiere decir “reemplaza el i-esimo renglón por ese renglón multiplicado por c”
2. Rj Rj + cRi :
Significa “sustituye el j-esimo renglón por la suma del renglón j mas el renglón i multiplicado por c”.
3. Ri Rj :
Quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.
4. A B :
Indica que las matrices aumentadas A y B son equivalente; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.
ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Método.
Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas.
Ejemplo.
Resuelva el sistema
2x1 + x2 - 2x3 = 1
3x1 + 2x2 - 4 x3 = 1
5x1 + 4 x2 - x3 = 8
R1 R3
R2 R2 – 3R1
R3 R3 – 2R1
R2 -1/6 R2
11251
02193
21042
21042
02193
11251
41460
31560
11251
R1 R1 – 5R2
R3 R3 + 6R2
R3 - R3
41460
2/116/1510
11251
1100
2/116/1510
2/32/101
1100
2/116/1510
2/32/101
R1 R1 – 5R2
R3 R3 + 6R2
La solución es x1 = -2, x2 = 3, x3 = 1
1100
3010
2001
3x1 - 4x2 - x3 = 1
2x1 - 3x2 + x3 = 1
x1 - 2 x2 + 3x3 = 2
R2R2 – 4R1
R3R3 -6R1
R2-1/5 R2 R1R1-R2
R3R3+5R2
0316
0514
0111
0950
0950
0111
5950
35/910
2111
0000
05/910
05/401
Se tienen dos ecuaciones con las incógnitas x1, x2 x3 y existe un numero infinito de soluciones, se supone que x3 tiene un valor especifico, entonces x2 = 9/5 x3 y x1 = -4/5 x3 estas soluciones se escriben en la forma (-4/5 x3, 9/5 x3, x3).
REGLA DE CRAMER.
El sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Se puede representar de la siguiente manera:
=
nnnnnn
n
n
b
b
b
b
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
.
...
......
......
...
...
3
2
1
2211
22222121
21212111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
......
......
......
...
...
21
22221
11211
nx
x
x
.
.
.
2
1
nb
b
b
.
.
.
2
1
Si se designan estas matrices por A, X y B, respectivamente, entonces, se puede escribir en la forma
AX = B
En donde A se denomina matriz de coeficientes, X se llama matriz de incógnitas y B matriz de términos independientes o vector solución.
Regla de Cramer. Si A X = B es un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas tal que det (A) 0, entonces el sistema tiene solución única. Esta solución es
en donde Aj se obtiene sustituyendo en la columna j de la matriz A por la columna B.
Otro método para resolver el sistema A X = B tal que A sea una matriz invertible de n x n, entonces tiene exactamente una solución, que es:
X = A-1B
Para obtener la expresión anterior se procede de la siguiente forma:
1. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos de 2º de Bachillerato, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:
CALIFICACIONES
Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev
Antonio 8 7 5
Jaime 4 6 5
Roberto 6 5 4
Santiago 7 6 8
Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25 %, 2ª Ev: 35 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide:
a) La nota final de cada uno de los alumnos.
b) La media aritmética de las calificaciones de cada evaluación.
Solución:
2. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.
a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.
b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.
Solución:
3. La maestra de matemáticas está poniendo ejemplos a sus alumnos acerca de las matrices, tomando a Juan y David, y Jorge, Alex y Mónica como su ejemplo principal. Juan posee 3 lapiceros rojos, 2 azules y perdió 5 negros, David tiene 1 rojo, 4 azules y perdió 2 negros, mientras que Jorge sólo tiene 2 rojos y 4 azules, Alex posee 5 rojos y 1 azul, y Mónica cuenta con 3 rojos. La maestra toma estos datos de ejemplo, y dadas las matrices obtenidas por ambos grupos, les pidió:
a) Calcula, si es posible, los productos A.B y B.A.