OA 3 – II Medio MATEMÁTICAS GUÍA PARA ESTUDIANTE Actividades de apoyo II Medio UNIDAD 2 De las funciones lineales a las cuadráticas GUÍA 1: Tema: Funciones FICHA 1 Funciones GUÍA 2: Tema: Caracterización de la función cuadrática FICHA 1 Concepto de función cuadrática GUÍA 3: Tema: Análisis gráfico FICHA 1 Análisis gráfico Nombre: Curso: Letra: Fecha: Establecimiento:
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UNIDAD 2 De las funciones lineales a las cuadráticas
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OA 3 – II Medio
MATEMÁTICASGUÍA PARA ESTUDIANTEActividades de apoyo II Medio
La siguiente guía tiene como objetivo que adquieras, de manera eficiente, los conocimientos
matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje (OA):
OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"% + '" + (($ ≠ 0): - Reconociendo la función cuadrática ! " = $"% en situaciones de la vida diaria y otras
asignaturas.- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo- Determinando puntos especiales de su gráfica- Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras
asignaturas, en particular de la oferta y demanda.
Se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos:
Tema Ficha
1. Funciones (Guía N°1)
1. Funciones
En la ficha encontrarás las siguientes secciones:
• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos
previos.
• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones
en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de
Una relación es una asociación entre variables. Por ejemplo, lanzar una pelota hacia arriba y tiempo que se demora en alcanzar la altura máxima, relacionan la altura y el tiempo.
La definición formal de relación, dice que:
Es decir, una relación es un conjunto de pares ordenados, donde se utiliza la siguiente notación para identificar una relación:
.: 0 → 234565755, "7$:57$(;ó=., >50$2"
Si el par ordenado ($, ') pertenece a la relación, donde $ pertenece al conjunto 0 y ' pertenece al conjunto 2, entonces podemos definir:
- Preimagen: elemento del conjunto de partida o Dominio, por lo tanto, en el par ordenado ($, '), el elemento $ corresponde a la Preimagen.
- Imagen: elemento del conjunto de llegada o Recorrido, por lo tanto, en el par ordenado ($, '), el elemento ' corresponde a la Imagen.
Ejemplo:
Si tenemos los siguientes conjuntos:
0 = 1,2,3,4,5 D2 = 1,2,3,4
, podemos definir la siguiente relación:
.: 0 → 2,. = 1,1 , 1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,1 , 4,2
Una relación se puede representar de diferentes formas:
Una relación en el conjunto numérico de los números Reales, es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “E” de un conjunto de partida (llamado Dominio de la relación) uno o más números reales “F” de un conjunto de llegada.
En este caso, los pares ordenados que graficamos como puntos en el plano cartesiano, no se deben unir, ya que la relación está definida sólo para estos puntos.
Determina las intersecciones con los ejes, de la función ! " = −5" + 3.
Es una función afín por lo que:
FUNCIÓN AFÍN Intersección eje " Intersección eje D
! " = M" + = −=M , 0 (0, =)
! " = −5" + 3 −3−5 , 0
35 , 0
(0,3)
Ejemplo:
Determina las intersecciones con los ejes, de las siguientes gráficas de funciones.
La función que representa la gráfica es una
función afín, ya que intersecta con los ejes
en puntos distintos al origen del plano
cartesiano.
Intersección con el eje " : (2,0) Intersección con el eje D : (0, −4)
La función que representa la gráfica es una función lineal, ya que intersecta a los ejes en el origen del plano cartesiano. Intersección con el eje " : (0,0) Intersección con el eje D : (0,0)
GUÍA DEL ESTUDIANTE N°2 Caracterización de la función cuadrática
La siguiente guía tiene como objetivo que adquieras, de manera eficiente, los conocimientos
matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje (OA):
OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"% + '" + (($ ≠ 0): - Reconociendo la función cuadrática ! " = $"% en situaciones de la vida diaria y otras
asignaturas.- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo- Determinando puntos especiales de su gráfica- Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras
asignaturas, en particular de la oferta y demanda.
Analizando los respectivos nudos de aprendizaje, se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que
aborda los siguientes conocimientos:
Tema Ficha
2. Caracterización de la función cuadrática
(Guía N°2)
1. Concepto de función cuadrática
En la ficha encontrarás las siguientes secciones:
• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos
previos.
• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones
en contextos concretos o simplemente matemáticos, que te invitarán a la aplicación y
MODELAMIENTO DE ECUACIONES CUADRÁTICAS A PARTIR DE ENUNCIADOS
Muchos problemas cotidianos en las áreas como ciencias, economía, medicina, ingeniería y
otras, se pueden traducir a lenguaje algebraico, en forma de ecuación para su posterior
resolución. Ésta es una razón por la que el álgebra es útil. Por esto usaremos las ecuaciones
como modelos matemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana.
Para plantear ecuaciones que nos permitan modelar situaciones enunciadas de forma verbal,
se pueden utilizar los siguientes pasos:
A través de los siguientes ejemplos se expondrá la manera en que estos criterios se aplican
para traducir el enunciado de un problema al lenguaje algebraico y a su posterior resolución.
Ejemplo: Dimensiones de un terreno aplicado a la construcción.
Un terreno donde se construirá debe medirse. Este es de forma rectangular, el largo mide 8 metros más que el ancho y su área es de 2 900 metros cuadrados. Determine las dimensiones del terreno.
Paso1
• Identificar la variable. Identifique la variable que el problema le pide determinar. Casi siempre,esta se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al finaldel problema. Asigne una notación para la variable ( lo mas usual una letra como ", DXk ).
Paso2
• Expresar los datos en términos de la variable. Lea una vez más cada oración del problema, yexprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la variable que definióen el paso 1. Para organizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaborar unatabla.
Paso3
• Plantear el modelo. Plantee una ecuación o modelo, que exprese la relación entre la informacióndel enunciado.
Paso4•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación,verifique la respuesta yexprésela como una oración que responde a la pregunta hecha en el problema.
El producto de un número con el mismo número aumentado en nueve unidades, es igual a −14. ¿Qué número(s) cumple(n) con esta condición?
TABLA DE VALORES
Cuando evalúas una función de cualquier tipo, le asignas valores a la variable independiente
", los cuales son reemplazados en la expresión algebraica y nos permite obtener el valor de
la variable dependiente D. Al encontrar estos valores obtendremos un par ordenado (o punto).
Dado varios puntos, podemos obtener su gráfica en el plano cartesiano.
Generalmente el procedimiento para obtener una tabla de valores tiene tres pasos:
Paso1
• Identificar la variable. Se pide determinar el ancho y el largo del terreno. Entonces, asignaremosl = ancho del terreno
Paso2
• Expresar los datos en términos de la variable. Expresamos la información dada en lenguajealgebraico.
•Ancho del terreno l•Largo del terreno l + 8
Paso3
• Plantear el modelo. Planteamos la ecuación que expresa la relación entre la información delenunciado.•$=(ℎX>57L5::5=X o 7$:pX>57L5::5=X = á:5$>57L5::5=X•l o l + 8 = 2900
Paso4
•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta.•Desarrollando la ecuación•l o l + 8 = 2900•l% + 8l = 2900 → l% + 8l − 2900 = 0r$(LX:;k$MX6• l − 50 l + 58 = 0 → sX:7X345 ∶ l = 50Xl = −58•RESPUESTA : Como el ancho del terreno debe ser un número positivo, este sería de 50 metros y ellargo (l + 8) sería de 58 metros.
Paso1
• Identificar la variable. Se pide determinar un número que cumpla ciertas condiciones.•Entonces, asignaremos "= número desconocido
Paso2
• Expresar todas los datos en términos de la variable. Expresamos la información dada en lenguajealgebraico.
•Un número "•Un número aumentado en nueve unidades " + 9
Paso3
• Plantear el modelo. Planteamos la ecuación que expresa la relación entre la información delenunciado.•s:X>4(LX>54==úM5:X(X=57M;6MX=úM5:X$4M5=L$>X5==45v54=;>$>56 = −14•" o " + 9 = −14
Paso4
•Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta.•Desarrollando la ecuación•" o " + 9 = −14•"% + 9" = −14 → "% + 9" + 14 = 0r$(LX:;k$MX6• " + 7 " + 2 = 0 → sX:7X345 ∶ " = −7ó" = −2•RESPUESTA : Los dos números que cumplen con la condición del problema son −7 y −2.
La siguiente guía tiene como objetivo que adquieras, de manera eficiente, los conocimientos
matemáticos correspondientes al siguiente objetivo de aprendizaje (OA):
OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática ! " = $"% + '" + (($ ≠ 0): - Reconociendo la función cuadrática ! " = $"% en situaciones de la vida diaria y otras
asignaturas.- Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo.- Determinando puntos especiales de su gráfica.- Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras
asignaturas, en particular de la oferta y demanda.
Se ha elaborado 1 ficha de estudio, la que aborda los siguientes conocimientos:
Tema Ficha
3. Análisis Gráfico (Guía N°3)
1. Análisis Gráfico
En la ficha encontrarás las siguientes secciones:
• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los conocimientos
previos.
• Desafío: Se compone de una o más actividades por medio de problemas o situaciones
en contextos concretos o matemáticos, que te invitarán a la aplicación y reflexión de
La parábola puede intersectar con los ejes del plano cartesiano. Esto dependerá de los
coeficientes asociados a la función cuadrática y al desarrollo de la ecuación de segundo
grado.
INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ABSCISAS (ÑÖÑE).
Esta intersección corresponde a las soluciones de la ecuación cuadrática asociada a la
función respectiva.
Existe una expresión que nos sirve para "discriminar" o decidir qué tipo de soluciones o
“raíces” tendrá la ecuación cuadrática que queremos resolver, sin conocer los valores de las
soluciones, es decir, antes de resolver la ecuación, para saber cómo serán sus soluciones
(conjunto numérico al que pertenecen y si son valores iguales o distintos).
Esta expresión se denomina discriminante y se simboliza con ∆:
Dada la fórmula que nos permite encontrar los valores de x donde intersecta la curva, (serán
"W y "%):
" =−' ± '% − 4$(
2$
Tenemos: ∆= '% − 4$(
Dependiendo del valor que tome el discriminante será la naturaleza de las soluciones o “raíces” de la ecuación cuadrática y las intersecciones que tendrá la función cuadrática asociada a esta ecuación:
- Si ∆> 0, las soluciones o raíces serán distintas y, por lo tanto, habrá dos intersecciones con el eje x, las cuales serán los puntos "W, 0 D "%, 0 , provenientes de la fórmula.
- Si ∆= 0, las soluciones o raíces serán iguales y habrá una sola intersección con el eje x, la cuál será ", 0 .