7/18/2019 Unidad 15.Estadística y Probabilidad http://slidepdf.com/reader/full/unidad-15estadistica-y-probabilidad 1/20 268 15 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PARA EMPEZAR Se ha estudiado el número de personas que habitan cada una de las 200 casas unifamiliares de una urbanización. Se han encontrado 60 casas habitadas por dos personas. ¿Cuáles son las frecuencias absolutas y relativas correspondientes a las casas habitadas por dos personas? f (2) 60 h(2) 2 6 0 0 0 La tabla representa los datos del estudio anterior. a) ¿Qué representan las filas A y B? b) Representa mediante un diagrama de barras estos datos. a) Fila A: frecuencias absolutas (f ). Fila B: frecuencias relativas ( h). b) Razona si los siguientes experimentos son aleatorios. a) Dejar en el aire un objeto y observar si cae al suelo o no. b) Sacar, sin mirar, un lápiz de una caja de lápices de colores y ver de qué color es. a) No es aleatorio. b) Sí es aleatorio. Busca en medios de comunicación, anuarios, internet, etc., gráficos estadísticos con información me- dioambiental. Respuesta abierta. Población y muestra. Caracteres estadísticos PARA PRACTICAR Ejercicio resuelto Se quiere hacer un estudio sobre las aficiones en las que emplean el tiempo libre las personas jubila- das en España. Para ello se entrevista a los socios de todos los clubes de jubilados de la ciudad de Se- govia. Indica la población del estudio, la muestra elegida y el carácter estadístico. La población esta formada por las personas mayores de 70 años de España. La muestra la forman todos los socios de los clubes de jubilados de Segovia. El carácter estadístico que se estudia es «las aficiones en las que emplean el tiempo libre», que es cuantitativo. 15.1 4 3 2 1 N. o de habitantes 1 2 3 4 5 6 A 10 60 70 40 15 5 B 0,050 0,300 0,350 0,200 0,075 0,025 20 2 80 60 40 4 1 3 5 6
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Se ha estudiado el nuacutemero de personas que habitan cada una de las 200 casas unifamiliares de una
urbanizacioacuten Se han encontrado 60 casas habitadas por dos personasiquestCuaacuteles son las frecuencias absolutas y relativas correspondientes a las casas habitadas por dos personas
f (2) 60 h(2)
26000
La tabla representa los datos del estudio anterior
a) iquestQueacute representan las filas A y B
b) Representa mediante un diagrama de barras estos datos
a) Fila A frecuencias absolutas (f ) Fila B frecuencias relativas (h)
b)
Razona si los siguientes experimentos son aleatoriosa) Dejar en el aire un objeto y observar si cae al suelo o no
b) Sacar sin mirar un laacutepiz de una caja de laacutepices de colores y ver de queacute color es
a) No es aleatorio
b) Siacute es aleatorio
Busca en medios de comunicacioacuten anuarios internet etc graacuteficos estadiacutesticos con informacioacuten me-dioambiental
Respuesta abierta
Poblacioacuten y muestra Caracteres estadiacutesticos
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Se quiere hacer un estudio sobre las aficiones en las que emplean el tiempo libre las personas jubila-das en Espantildea Para ello se entrevista a los socios de todos los clubes de jubilados de la ciudad de Se-govia
Indica la poblacioacuten del estudio la muestra elegida y el caraacutecter estadiacutestico
La poblacioacuten esta formada por las personas mayores de 70 antildeos de Espantildea
La muestra la forman todos los socios de los clubes de jubilados de Segovia
El caraacutecter estadiacutestico que se estudia es laquolas aficiones en las que emplean el tiempo libreraquo que es cuantitativo
Se quiere hacer un estudio estadiacutestico sobre el gasto en programas de ayuda a la emigracioacuten entre lospueblos de la provincia de Zaragoza Para ello se eligen los pueblos de la comarca de las Cinco Villas
Indica la poblacioacuten la muestra y el caraacutecter estadiacutestico
Poblacioacuten Pueblos de la provincia de Zaragoza
Muestra Pueblos de la comarca de las Cinco Villas
Caraacutecter estadiacutestico Gasto en ayuda a la emigracioacuten (cuantitativo)
Se quiere hacer un estudio sobre las acciones de ahorro de agua en una ciudad Para ello se elige alas personas que viven en una de sus calles
Indica la poblacioacuten la muestra y el caraacutecter estadiacutestico
Poblacioacuten Las personas de una ciudad
Muestra Las personas de una calle de esa ciudad
Caraacutecter estadiacutestico Acciones para ahorrar agua (cualitativo)
Ejercicio resuelto
Clasifica los caracteres estadiacutesticos siguientes como cualitativos o cuantitativos
a) Tipo de muacutesica preferida por un grupo de alumnos
b) Cantidad de personas asistidas en los hospitales de La Rioja en un diacutea
c) Nuacutemero de futbolistas en las Ligas de Primera Divisioacuten en paiacuteses europeos
d) Equipos de balonmano de los que son seguidores los alumnos de un centro escolar
Son cualitativos los caracteres de los apartados a y d No se pueden expresar con nuacutemeros
Son cuantitativos los de los apartados b y c Se pueden expresar con nuacutemeros
Clasifica como cualitativos o cuantitativos los siguientes caracteres estadiacutesticos estudiados en los co-ches de cierta marca
a) Modelo de coche
b) Color de su carroceriacutea
c) Potencia de su motor
d) Consumo medio en 100 kiloacutemetros
e) Nuacutemero de plazas
Son caracteres cualitativos a b Son caracteres cuantitativos c d e
Elige una marca de coches e investiga sobre ella para poder dar al menos tres respuestas a cada unode los caracteres estadiacutesticos propuestos en el ejercicio anterior
Si elegimos la marca SEAT seriacutea
a) Ibiza Coacuterdoba Toledo y Altea
b) Rojo verde gris y crema
c) 160 CV 130 CV 140 CV y 170 CV
d) 65 l 7 l 75 l y 7
e) 5 5 5 y 5
P A R A A P L I C A R
En las Olimpiacuteadas de Pekiacuten 2008 se pretende hacer un estudio sobre la altura de los participantes
Propoacuten una muestra y decide otros dos caracteres estadiacutesticos que puedas estudiar iquestQueacute tipo de ca-racteres son
La muestra los participantes de un paiacutes de cada continente Dos caracteres El color de la piel (cualitativo) y el peso (cuantitativo)
En un congreso cientiacutefico se quiere saber la edad media de los investigadores y los porcentajes de in-vestigadores en cada una de las disciplinas del congreso Para ello se eligen a los participantes fran-ceses y se les entrevista
Indica la poblacioacuten objeto del estudio la muestra y los caracteres estadiacutesticos estudiados clasificandoestos uacuteltimos
Poblacioacuten Los investigadores del congreso
Muestra Los investigadores franceses del congreso
Caracteres Edad (cuantitativo) Porcentajes de investigadores (cuantitativo)
En un estudio estadiacutestico en una faacutebrica de tornillos se van a evaluar estos caracteres
a) La produccioacuten diaria de tornillos
b) Las longitudes de los tornillos
c) El color de los tornillos
d) Las anchuras de los tornillos
e) Los materiales para hacer los tornillos
Indica entre estos caracteres cuaacuteles son cuantitativos y cuaacuteles cualitativos
Son caracteres cualitativos c e Son caracteres cuantitativos a b d
En una clase de 2 de ESO hemos hecho una encuesta y un alumno nos ha contestado asiacute
a) Verde b) 3 c) 13 d) Ingleacutes
Decide queacute caracteres estadiacutesticos se estaacuten estudiando e indica de queacute tipo son
a) El color de ojos (cualitativo) c) Edad (cuantitativo)
b) Nuacutemero de hermanos que tiene (cuantitativo) d) La asignatura que maacutes le gusta (cualitativo)
Tablas de frecuencias y graacuteficos
P A R A P R A C T I C A R
Representa estos datos mediante un diagrama de barras
Representa mediante un diagrama de sectores los datos de la siguiente tabla
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total dedatos (36) y la amplitud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato A de frecuencia absoluta 1 le corresponden
1
3
3
6
60
10 Anaacutelogamente se actuaraacute conlos restantes datos
Construye para cada apartado una tabla de frecuencias y los diagramas de barras y de sectores
a) 1 3 4 2 1 4 5 2 2 42 5 3 3 2 1 1 3 4 5
b) a c b a e b c b a d
c b a e d e c b b a
a) b)
Figuras de los datos apartado a
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 3 de frecuencia absoluta 4 le corresponden4
23060 72 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Figuras de los datos apartado b
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato d de frecuencia absoluta 2 le corresponden2
23060 36 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Representa estos datos mediante un histograma1514
1513
271
X
12
3
4
5
Total
f
45
4
4
3
20
h
020025
020
020
015
100
x
ab
c
d
e
Total
f
56
4
2
3
20
h
025030
020
010
015
100
2
2
6
4
41 3 5
5 4
32
1
2
b
6
4
da c e
a
bc
de
Clases 1 le x lt 5 5 le x lt 10 10 le x lt 15 15 le x lt 20
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Se quiere hacer un estudio estadiacutestico sobre el gasto en programas de ayuda a la emigracioacuten entre lospueblos de la provincia de Zaragoza Para ello se eligen los pueblos de la comarca de las Cinco Villas
Indica la poblacioacuten la muestra y el caraacutecter estadiacutestico
Poblacioacuten Pueblos de la provincia de Zaragoza
Muestra Pueblos de la comarca de las Cinco Villas
Caraacutecter estadiacutestico Gasto en ayuda a la emigracioacuten (cuantitativo)
Se quiere hacer un estudio sobre las acciones de ahorro de agua en una ciudad Para ello se elige alas personas que viven en una de sus calles
Indica la poblacioacuten la muestra y el caraacutecter estadiacutestico
Poblacioacuten Las personas de una ciudad
Muestra Las personas de una calle de esa ciudad
Caraacutecter estadiacutestico Acciones para ahorrar agua (cualitativo)
Ejercicio resuelto
Clasifica los caracteres estadiacutesticos siguientes como cualitativos o cuantitativos
a) Tipo de muacutesica preferida por un grupo de alumnos
b) Cantidad de personas asistidas en los hospitales de La Rioja en un diacutea
c) Nuacutemero de futbolistas en las Ligas de Primera Divisioacuten en paiacuteses europeos
d) Equipos de balonmano de los que son seguidores los alumnos de un centro escolar
Son cualitativos los caracteres de los apartados a y d No se pueden expresar con nuacutemeros
Son cuantitativos los de los apartados b y c Se pueden expresar con nuacutemeros
Clasifica como cualitativos o cuantitativos los siguientes caracteres estadiacutesticos estudiados en los co-ches de cierta marca
a) Modelo de coche
b) Color de su carroceriacutea
c) Potencia de su motor
d) Consumo medio en 100 kiloacutemetros
e) Nuacutemero de plazas
Son caracteres cualitativos a b Son caracteres cuantitativos c d e
Elige una marca de coches e investiga sobre ella para poder dar al menos tres respuestas a cada unode los caracteres estadiacutesticos propuestos en el ejercicio anterior
Si elegimos la marca SEAT seriacutea
a) Ibiza Coacuterdoba Toledo y Altea
b) Rojo verde gris y crema
c) 160 CV 130 CV 140 CV y 170 CV
d) 65 l 7 l 75 l y 7
e) 5 5 5 y 5
P A R A A P L I C A R
En las Olimpiacuteadas de Pekiacuten 2008 se pretende hacer un estudio sobre la altura de los participantes
Propoacuten una muestra y decide otros dos caracteres estadiacutesticos que puedas estudiar iquestQueacute tipo de ca-racteres son
La muestra los participantes de un paiacutes de cada continente Dos caracteres El color de la piel (cualitativo) y el peso (cuantitativo)
En un congreso cientiacutefico se quiere saber la edad media de los investigadores y los porcentajes de in-vestigadores en cada una de las disciplinas del congreso Para ello se eligen a los participantes fran-ceses y se les entrevista
Indica la poblacioacuten objeto del estudio la muestra y los caracteres estadiacutesticos estudiados clasificandoestos uacuteltimos
Poblacioacuten Los investigadores del congreso
Muestra Los investigadores franceses del congreso
Caracteres Edad (cuantitativo) Porcentajes de investigadores (cuantitativo)
En un estudio estadiacutestico en una faacutebrica de tornillos se van a evaluar estos caracteres
a) La produccioacuten diaria de tornillos
b) Las longitudes de los tornillos
c) El color de los tornillos
d) Las anchuras de los tornillos
e) Los materiales para hacer los tornillos
Indica entre estos caracteres cuaacuteles son cuantitativos y cuaacuteles cualitativos
Son caracteres cualitativos c e Son caracteres cuantitativos a b d
En una clase de 2 de ESO hemos hecho una encuesta y un alumno nos ha contestado asiacute
a) Verde b) 3 c) 13 d) Ingleacutes
Decide queacute caracteres estadiacutesticos se estaacuten estudiando e indica de queacute tipo son
a) El color de ojos (cualitativo) c) Edad (cuantitativo)
b) Nuacutemero de hermanos que tiene (cuantitativo) d) La asignatura que maacutes le gusta (cualitativo)
Tablas de frecuencias y graacuteficos
P A R A P R A C T I C A R
Representa estos datos mediante un diagrama de barras
Representa mediante un diagrama de sectores los datos de la siguiente tabla
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total dedatos (36) y la amplitud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato A de frecuencia absoluta 1 le corresponden
1
3
3
6
60
10 Anaacutelogamente se actuaraacute conlos restantes datos
Construye para cada apartado una tabla de frecuencias y los diagramas de barras y de sectores
a) 1 3 4 2 1 4 5 2 2 42 5 3 3 2 1 1 3 4 5
b) a c b a e b c b a d
c b a e d e c b b a
a) b)
Figuras de los datos apartado a
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 3 de frecuencia absoluta 4 le corresponden4
23060 72 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Figuras de los datos apartado b
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato d de frecuencia absoluta 2 le corresponden2
23060 36 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Representa estos datos mediante un histograma1514
1513
271
X
12
3
4
5
Total
f
45
4
4
3
20
h
020025
020
020
015
100
x
ab
c
d
e
Total
f
56
4
2
3
20
h
025030
020
010
015
100
2
2
6
4
41 3 5
5 4
32
1
2
b
6
4
da c e
a
bc
de
Clases 1 le x lt 5 5 le x lt 10 10 le x lt 15 15 le x lt 20
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
En un congreso cientiacutefico se quiere saber la edad media de los investigadores y los porcentajes de in-vestigadores en cada una de las disciplinas del congreso Para ello se eligen a los participantes fran-ceses y se les entrevista
Indica la poblacioacuten objeto del estudio la muestra y los caracteres estadiacutesticos estudiados clasificandoestos uacuteltimos
Poblacioacuten Los investigadores del congreso
Muestra Los investigadores franceses del congreso
Caracteres Edad (cuantitativo) Porcentajes de investigadores (cuantitativo)
En un estudio estadiacutestico en una faacutebrica de tornillos se van a evaluar estos caracteres
a) La produccioacuten diaria de tornillos
b) Las longitudes de los tornillos
c) El color de los tornillos
d) Las anchuras de los tornillos
e) Los materiales para hacer los tornillos
Indica entre estos caracteres cuaacuteles son cuantitativos y cuaacuteles cualitativos
Son caracteres cualitativos c e Son caracteres cuantitativos a b d
En una clase de 2 de ESO hemos hecho una encuesta y un alumno nos ha contestado asiacute
a) Verde b) 3 c) 13 d) Ingleacutes
Decide queacute caracteres estadiacutesticos se estaacuten estudiando e indica de queacute tipo son
a) El color de ojos (cualitativo) c) Edad (cuantitativo)
b) Nuacutemero de hermanos que tiene (cuantitativo) d) La asignatura que maacutes le gusta (cualitativo)
Tablas de frecuencias y graacuteficos
P A R A P R A C T I C A R
Representa estos datos mediante un diagrama de barras
Representa mediante un diagrama de sectores los datos de la siguiente tabla
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total dedatos (36) y la amplitud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato A de frecuencia absoluta 1 le corresponden
1
3
3
6
60
10 Anaacutelogamente se actuaraacute conlos restantes datos
Construye para cada apartado una tabla de frecuencias y los diagramas de barras y de sectores
a) 1 3 4 2 1 4 5 2 2 42 5 3 3 2 1 1 3 4 5
b) a c b a e b c b a d
c b a e d e c b b a
a) b)
Figuras de los datos apartado a
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 3 de frecuencia absoluta 4 le corresponden4
23060 72 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Figuras de los datos apartado b
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato d de frecuencia absoluta 2 le corresponden2
23060 36 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Representa estos datos mediante un histograma1514
1513
271
X
12
3
4
5
Total
f
45
4
4
3
20
h
020025
020
020
015
100
x
ab
c
d
e
Total
f
56
4
2
3
20
h
025030
020
010
015
100
2
2
6
4
41 3 5
5 4
32
1
2
b
6
4
da c e
a
bc
de
Clases 1 le x lt 5 5 le x lt 10 10 le x lt 15 15 le x lt 20
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Construye para cada apartado una tabla de frecuencias y los diagramas de barras y de sectores
a) 1 3 4 2 1 4 5 2 2 42 5 3 3 2 1 1 3 4 5
b) a c b a e b c b a d
c b a e d e c b b a
a) b)
Figuras de los datos apartado a
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 3 de frecuencia absoluta 4 le corresponden4
23060 72 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Figuras de los datos apartado b
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (20) y la ampli-tud del ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato d de frecuencia absoluta 2 le corresponden2
23060 36 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
Representa estos datos mediante un histograma1514
1513
271
X
12
3
4
5
Total
f
45
4
4
3
20
h
020025
020
020
015
100
x
ab
c
d
e
Total
f
56
4
2
3
20
h
025030
020
010
015
100
2
2
6
4
41 3 5
5 4
32
1
2
b
6
4
da c e
a
bc
de
Clases 1 le x lt 5 5 le x lt 10 10 le x lt 15 15 le x lt 20
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Calcula la media moda y mediana de los siguientes datos
8 6 4 3 6 8 8 7 6 4 8 6 5 4 3
Construimos la tabla de frecuencias absolutas
La media aritmeacutetica es
8165 573
Hay dos modas 6 y 8 los datos que corresponden a la mayor frecuencia
Ordenamos los datos de menor a mayor para hallar la mediana
3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8
La mediana es 6 el dato central
Calcula la media la moda y la mediana de los siguientes datos
11 12 13 15 14 12 11 13
x
1081 12625 Mo 11 12 13 (es trimodal) Me
12
213 125
Calcula la media la moda y la mediana de las siguientes series de datos
a) 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
b) 50 60 60 70 70 70 80 80 90 90
Compara los resultados de los dos apartados iquestqueacute conclusioacuten sacas
a) x
7120 72 Mo 7 Me 7
b) x
71200 72 Mo 70 Me 70
Comparando los resultados vemos que al multiplicar por 10 todos los valores de una variable la media moda y mediana delos valores multiplicados quedan tambieacuten multiplicadas por 10
La media de cinco nuacutemeros es 39 Dos de esos nuacutemeros son 35 y 103 y los otros tres son iguales
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
El diagrama de barras representa el nuacutemero de profesores de idiomas que hay en los centros escola-res de una comarca
Calcula la media la moda y la mediana del nuacutemero de profesores
Construimos la tabla de frecuencias del diagrama
Hay 15 centros y 60 profesores
x
5134 4 Mo 5 Me 4
iquestCuaacutel es la media de hijos por familia de este grupo de familias a las que se ha preguntado
Datos similares de otras 200 familias dan una mediade hijos que es m Si unimos los datos de estas 200familias con los de las 400 anteriores la media de las600 familias resulta ser 22 hijos iquestCuaacutento vale m
x 84
4000 21 22 rarr 1320 200m 840 rarr 4
280
00 m 24
Valor miacutenimo valor maacuteximo y rango
P A R A P R A C T I C A R
Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los siguientes conjuntos de datos
A 20 13 2 45 13 9 7 6 5 B 5 7 20 3 56 14 15 18 1
A Maacuteximo 45 Miacutenimo 2 Rango 45 2 43 B Maacuteximo 56 Miacutenimo 1 Rango 56 1 55
a) iquestCuaacutel tiene menor rang b) iquestCuaacutel tiene mayor valor maacuteximo c) iquestCuaacutel tiene menor valor miacutenimo
a) Rango A 32 12 20 Rango B 61 42 19 B tiene menor rango
b) B c) A
El conjunto de datos 8 6 10 x 7 cuya mediana vale 7 iquestpuede tener rango 5 iquestY distinto de 5
Siacute porque x puede ser 5 y en ese caso el rango seriacutea 5 pero tambieacuten puede ser distinto de 5 ya que x puede ser menor oigual que 5 para que se cumpla que la mediana sea 7
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
A una convencioacuten han acudido coleccionistas de coches en miniatura y de pisapapeles de cristal En lastablas siguientes se recoge el nuacutemero de ejemplares que tienen en sus colecciones
N de coches 10 15 20 25 30
N de coleccionistas 4 8 8 4 6
N de pisapapeles 10 30 50 70
N de coleccionistas 23 2 2 3
a) Calcula la media la mediana la moda y el rango del nuacutemero de piezas en cada grupo de coleccionistas
b) A la vista de estos resultados iquesten cuaacutel de los grupos hay mayor uniformidad en el nuacutemero de pie-zas de las colecciones
a) Coches x 173 Mediana 20 Moda 15 y 20 Rango 20
Pisapapeles x 20 Mediana 10 Moda 10 Rango 60
b) Hay mayor uniformidad en los coches
Se ha realizado una encuesta para averiguar el nuacutemero de hijos de las familias que viven en los dosedificios A y B de una urbanizacioacuten En el edificio A viven 1 matrimonio sin hijos 3 familias con 1hijo 2 familias con 2 hijos 3 familias con 3 hijos y 1 familia con 4 hijos
En el edificio B viven 2 familias sin hijos 8 familias con 1 hijo 1 familia con 2 hijos y 1 familia con 10hijos
a) Organiza los datos de cada edificio en una tabla y elabora los correspondientes diagramas de barras
b) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de centralizacioacuten
c) Compara los datos de los dos edificios utilizando las medidas de dispersioacuten que conoces
a) EDIFICIO A
EDIFICIO B
b) EDIFICIO A x 2 Mediana 2 Moda 1 y 3
EDIFICIO B x 166 Mediana 1 Moda 1
c) EDIFICIO A Maacuteximo 4 Miacutenimo 0 Rango 4
EDIFICIO B Maacuteximo 10 Miacutenimo 0 Rango 10
Probabilidad de un suceso
P A R A P R A C T I C A R
Decide razonadamente cuaacuteles de estos experimentos son aleatorios
a) Elegir sin mirar una carta de una baraja para anotar su valor
b) Medir lo que se estira un muelle al colgar un peso
c) Pronosticar el resultado de un partido de fuacutetbol
d) Introducir en el agua un objeto a ver si flota
a) Es aleatorio ya que no se puede predecir el resultado de la carta
b) No es aleatorio a mayor peso mayor distancia
c) Es aleatorio ya que a priori no se puede saber
d) No es aleatorio dependiendo del objeto podemos predecir antes de introducirlo si flotaraacute o no
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Lanzamos tres monedas una de 2 euros otra de 1 y otra de 050
a) Construye el espacio muestral
b) Calcula la probabilidad del suceso salir dos caras
c) Calcula la probabilidad del suceso salir una cara
a) Espacio muestra CCC CCX CXX XXX XXC XCC
b) P (salir dos caras)
2
6
c) P (salir una cara)
26
De una caja con 20 bolas iguales numeradas del 1 al 20 se saca una bola al azar Escribe los resulta-dos favorables a los sucesos siguientes y calcula su probabilidad
a) Sacar un nuacutemero par
b) Sacar un nuacutemero primo
c) Sacar un nuacutemero par mayor que 8
c) Sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10
d) Sacar un multiplo de 3 que sea mayor que 10
a) Sucesos favorables (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par)
1200
12
b) Sucesos favorables (1 2 3 5 7 11 13 17) P (sacar un nuacutemero primo)
280
25
c) Sucesos favorables (10 12 14 16 18 20) P (sacar un nuacutemero par mayor que 8)
260
130
d) Sucesos favorables (12 15 18) P (sacar un nuacutemero muacuteltiplo de 3 que sea mayor que 10)
230
Lanzamos un dado formado por veinte caras pintadas de diferentes colores 10 rojas 5 azules 3 ver-des y 2 amarillas Calcula la probabilidad de
a) Que salga cara roja
b) Que salga cara amarilla
c) Que no salga cara verde
d) Que salga cara verde
a) P (salga cara roja)
1200
12
b) P (salga cara amarilla)
2
2
0
1
1
0
c) P (no salga cara verde) P (salga roja azul o amarilla)
1270
d) P (salga cara verde)
230
Ejercicio resuelto
En probabilidad se definen dos sucesos particulares el suceso seguro cuya probabilidad es 1 y el su-ceso imposible cuya probabilidad es 0 Define un suceso seguro y un suceso imposible en el experi-mento que consiste en lazar un dado con las caras numeradas del 1 al 6
Un suceso seguro seriacutea sacar un nuacutemero del 1 al 6
Un suceso imposible seriacutea sacar un nuacutemero mayor que 6
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Tenemos una caja con 50 boliacutegrafos azules 30 negros y 20 rojos Sacamos un boliacutegrafo al azar y mi-ramos de queacute color es
Define en este experimento un suceso imposible y un suceso seguro
Suceso seguro sacar un boliacutegrafo azul negro o rojo
Suceso imposible sacar un boliacutegrafo verde
P A R A A P L I C A R
Para ganar un juego hay que sacar una bola blanca de una caja Podemos elegir entre una primera cajacon 4 bolas blancas y 2 bolas negras y una segunda en la que hay 6 bolas blancas y 4 negras iquestCuaacutelelegiriacuteas
Para decidir calculamos la probabilidad de sacar una bola blanca en cada caja
1a caja P (sacar bola blanca)
46 0666 2a caja P (sacar bola blanca)
160 06
Elegimos la primera caja ya que es maacutes probable sacar una bola blanca
En una rifa para recaudar fondos para el viaje fin de curso se venden mil papeletas numeradas del000 al 999 Luis ha comprado dos con los nuacutemeros 726 y 727 y la Asociacioacuten de madres y padres dealumnos ha comprado las papeletas con los nuacutemeros del 100 al 350 Ademaacutes del primer premio se vana dar premios de consolacioacuten a las papeletas cuyas dos uacuteltimas cifras coincidan con las del nuacutemero ele-gido Calcula la probabilidad de que
a) El primer premio le toque a la Asociacioacuten de madres y padres
b) El primer premio le toque a Luis
c) Luis tenga alguacuten premio
d) El primer premio corresponda a un nuacutemero que acabe en cero
a) P (1er premio a la Asociacioacuten) 1205000 025
b) P (1err premio a Luis) 0002
c) P (Luis tenga alguacuten premio) P (1er premio) P (premio consolacioacuten) 0002 10 0002 0022
d) P (1er premio acabe en 0) 01
Matemaacuteticas cotidianas
P A R A A P L I C A R
Interpreta este graacutefico sobre consumo de energiacuteas no renovables de un paiacutes
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Razona cuaacutel de los valores es la media de estos datos
6 7 8 7 8 6 7 7
a) 10 b) 7 c) 6 d) 9
La media es 7
iquestCuaacutel es la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 6 5 9 1 5 7 3 7 b) 40 60 50 90 10 50 70 30 70
Las medias son a) 52 b) 52 2
Calcula la media aritmeacutetica de estos datos
a) 4 4 5 6 7 8 8 b) 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
Las medias son a) 6 b) 6
Se sabe que la media aritmeacutetica de 7 8 y x es 9 iquestCuaacutento vale x
7
38 x 9 x 12
P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R
Para estudiar el peso y el color de ojos de los recieacuten nacidos en Maacutelaga se eligen los nacidos en unhospital de la ciudad
a) Decide cuaacutel es la poblacioacuten y la muestra
b) iquestCuaacuteles son los caracteres estadiacutesticos estudiados Clasifiacutecalos
Poblacioacuten Los recieacuten nacidos en Maacutelaga Muestra Los recieacuten nacidos en ese hospital
Caracteres El peso (cuantitativo) y el color de ojos (cualitativo)
La tabla representa el nuacutemero de goles marcados en la Liga espantildeola de fuacutetbol de Primera Divisioacutendurante la primera vuelta en cuatro temporadas
Construye un diagrama de barras y otro de sectores que represente los datos
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (1893) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato 2003-2004 de frecuencia absoluta 484 le corresponden48
148
93360 92 1 Anaacutelogamente se actuaraacute con los res-
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
En una encuesta a 1000 personas se les ha preguntado por los diacuteas que dedican a la semana a hacerdeporte cada uno de ellas La tabla muestra los resultados obtenidos
Construye un histograma que represente los datos
La tabla presenta las distancias que corren lasatletas de un club en sus entrenamientos sema-nales
a) Sabiendo que la media semanal de distancias recorridas es 1875 kiloacutemetros calcula el valor de x
b) Halla la moda y la mediana
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango
d) Elabora un diagrama de barras que represente los datos
a) 1875 rarr 1875 24
103
2 x 0 x rarr 1875 (13 x ) 240 20 x rarr
rarr 24375 1875 x 240 20 x rarr 375 125 x x 3
b) Mo 25 Me 20
c) Valor maacuteximo 25 km d)
Valor miacutenimo 5 km
Rango 20 km
Se da a elegir a Ana y Olga la posibilidad de escribir en un papel sin que lo vea la otra un nuacutemero
entre 1 2 y 3 Asiacute se obtendraacute un nuacutemero de dos cifras siendo la que escriba Ana la primera y laque escriba Olga la segunda
a) Escribe el espacio muestral del experimento
b) iquestCuaacutel es la probabilidad de que escriban el nuacutemero 32
c) iquestY de que escriban un nuacutemero con las cifras iguales
d) iquestY de que escriban un nuacutemero mayor que 22
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
La tabla presenta los datos de las ventas de una heladeriacutea seguacuten los sabores elegidos por sus clientes
Construye un diagrama de barras y otro de sectores de los datos
a)
Para calcular las amplitudes de los sectores aplicamos la proporcionalidad directa entre el total de datos (690) y la amplituddel ciacuterculo (360) Asiacute
Al dato Fresa de frecuencia absoluta 60 le corresponden60
6
93060 31 18 Anaacutelogamente se actuaraacute con los restantes datos
La tabla refleja las ventas de diferentes artiacuteculos en un comercio durante una semana seguacuten su precio
a) Calcula los ingresos totales del comercio en esa semana
b) iquestCuaacutel es la media la moda y la mediana de ventas
c) Calcula el valor maacuteximo el valor miacutenimo y el rango de los precios
a) Los ingresos totales son 20 9 22 8 36 2 50 1 478 euro
b) x
42708 239 Mo 20 Me 22
c) Maacuteximo 50 euro Miacutenimo 20 euro Rango 50 20 = 30 euro
La oferta de actividades de un gimnasio y su demanda estaacuten representadas en este diagrama de sec-tores Si el gimnasio tiene 1800 socios y cada uno solo hace una actividad elabora una tabla de fre-cuencias
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Un grupo de alumnos formado por 4 chicas y 2 chicos va a hacer un trabajo para el colegio y debenelegir un portavoz Para ello introducen papeles con sus nombres en una bolsa y extraen uno de ellos
a) Calcula la probabilidad de que el portavoz sea chico y de que sea chica
b) iquestCuaacutento suman ambas probabilidades iquestPor queacute
a) P (chico)
26 P (chica)
46
b) P (chico) P (chica) 1 porque es un suceso seguro
P A R A A M P L I A R
La tabla representa 400 datos cuya media es 625
Calcula los valores de a y b
Si hay 400 datos 400 70 b 55 100 105 rarr 400 330 b rarr 70 b
625 rarr 2500 55a 2170 rarr 330 55a rarr 6 a
En un hospital de Meacutedicos Mundi se ha atendido a nintildeos mujeres y hombres seguacuten representa el dia-grama de sectores
a) Sabiendo que se han tratado a 80 mujeres iquestcuaacutentos nintildeos se han atendido
b) Expresa el porcentaje del total de personas atendidas de hombres asistidos
c) Construye una tabla de frecuencias de los datos
a) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad de la amplitud del sector de las mujeres (96) con sufrecuencia (80) Entonces
Nintildeos x 80
9
6120 175 Hombres x
809
654 45
b) Total de personas 96 175 45 316 Porcentajes de hombres 45 13
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Cada uno de los alumnos de un colegio ha elegido su deporte favorito Los datos se han publicado enel perioacutedico del colegio mediante un diagrama de sectores
a) Calcula el valor de x
b) Sabiendo que 28 alumnos han elegido balonma-no construye un diagrama de barras
c) Se sortea un lote de libros entre todos los alum-nos del colegio iquestQueacute probabilidad hay de que letoque a un aficionado al fuacutetbol
a) x 70 3 x 90 360 rarr 4 x 200 rarr x 50
b) Para calcular las frecuencias absolutas aplicamos la proporcionalidad del sector de balonmano (70) con su frecuencia (28) Asiacute
Atletismo x 28
7
050 20 Fuacutetbol x
287
0150 60 Baloncesto x
287
090 36
Con estos datos construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
El que maacutes el fuacutetbol con un 42 y el que menos el atletismo con un 14
c) P(aficionado al fuacutetbol) 042
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R
El expediente acadeacutemico
Una caja de ahorros concede becas para estudiar franceacutes o ingleacutes en el extranjero durante el veranoA ellas pueden optar los alumnos que hayan aprobado todas las materias al final de 2 de ESO
Seguacuten las bases se otorgaraacuten las ayudas a los mejores expedientes asignaacutendose a estos la media arit-meacutetica de las cinco mejores notas obtenidas en el curso mencionado seguacuten la siguiente conversioacuten
Sobresaliente 4 Bien 2
Notable 3 Suficiente 1
Calcula la nota del expediente de Javier si las cinco mejores calificaciones obtenidas por eacutel han sido lassiguientes
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28
Calcula el valor de k para que la media aritmeacutetica de los datos sea 24
24 rarr 24 31k 9
4k 2 rarr 24 (19 k ) 3k 42 rarr
rarr 456 24k 3k 42 rarr 36 06k rarr 6 k
El diagrama de sectores representa las ventas de 1080 artiacuteculos en una tienda de comercio justo se-guacuten su precio
Considerando el precio como caraacutecter cuantitativo calcula la mediana la moda y la media aritmeacuteticade los datos
Construimos la tabla de frecuencias utilizando los aacutengulos delos sectores y los artiacuteculos en venta 1080 Obtenemos las fre-
cuencias absolutas multiplicando las amplitudes por 1306800 3
Asiacute la tabla de frecuencias queda como se indica a la derecha
Me 10
215 Mo 5 x
119048205 17986hellip
Un examen consiste en el desarrollo de un tema elegido al azar de entre los 30 que constituyen el te-mario Alberto se sabe los 20 primeros y Beatriz los temas cuyo nuacutemero es muacuteltiplo de 3 Calcula laprobabilidad de que se extraiga un tema que
a) No se lo sepa Alberto c) Se lo sepan Alberto y Beatriz
b) Se lo sepa Beatriz d) No se lo sepa ninguno de los dos
a) P (no se lo sepa Alberto)
13
00 c) P (se lo sepan los dos) P (muacuteltiplo de 3 y menores que 20)
360
b) P (se lo sepa Beatriz)
1300 d) P (no se lo sepan ninguno de los dos)
45
U N R I N C Oacute N P A R A P E N S A R
iquestCuaacutel de estas secuencias de teclas da como resultado 28 Comprueacutebalo con tu calculadora iquestPara queacute sirvela tecla CE
La tecla CE o CL sirve para borrar el uacuteltimo nuacutemero que se ha escrito en la pantalla De esta forma cuando nos equivocamos al te-clear un nuacutemero no hace falta borrar toda la secuencia anterior con la tecla C basta con pulsar CE y despueacutes introducir el nuacutemero co-
rrecto7 3 6 3 8 CE 1 Esta secuencia equivale a 7 3 6 3 1 20
4 6 6 4 9 CE 8 Esta secuencia equivale a 4 6 6 4 8 28