1 Unidad 13 – Representación gráfica de funciones PÁGINA 315 SOLUCIONES 1. Las funciones son: a) x x x f 8 2 ) ( 2 - = • Dominio: = f Dom • Puntos de corte con el eje OX: ⇒ ⇒ = - = ) 0 , 4 ( ) 0 , 0 ( 0 8 2 2 Q P y x x y Puntos de corte con el eje OY: ) 0 , 0 ( 0 0 8 2 2 P y x x x y ⇒ = ⇒ = - = • Simetrías: x x x x x f x x x f 8 2 ) ( 8 ) ( 2 ) ( 8 2 ) ( 2 2 2 + = - - - = - - =
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Unidad 13 – Representación gráfica de funciones
PÁGINA 315
SOLUCIONES
1. Las funciones son:
a) xxxf 82)( 2−=
• Dominio: =fDom
• Puntos de corte con el eje OX:
⇒
⇒
=
−=
)0,4(
)0,0(
0
82 2
Q
P
y
xxy
Puntos de corte con el eje OY:
)0,0(00
82 2
Pyx
xxy⇒=⇒
=
−=
• Simetrías:
xxxxxf
xxxf
82)(8)(2)(
82)(22
2
+=−−−=−
−=
2
fxfxf ⇒−≠ )()( no es simétrica respecto al eje OY
fxfxf ⇒−−≠ )()( No es simétrica respecto al origen de coordenadas.
• Periodicidad: f no es periódica.
• Asíntotas: no tiene asíntotas.
• Monotonía:
84)( −=′ xxf
Estudiamos el signo de )(xf ′ .
0)( <′ xf en )2,( ∞−
0)( >′ xf en ),2( ∞+
f es estrictamente decreciente en )2,( ∞−
f es estrictamente creciente en ),2( ∞+
• Extremos relativos:
• Concavidad:
⇒>=′ 04)(xf f es cóncava hacia las positivas en todo
• No existen puntos de inflexión.
b) 4
)(2
3
−=
x
xxg
• Dominio: =gDom }2,2{ −+−
• Puntos de corte con el eje OX:
)0,0(0
0
42
3
Px
y
x
xy
⇒=⇒
=
−=
Puntos de corte con el eje OY:
)0,0(0
0
42
3
Py
x
x
xy
⇒=⇒
=
−=
3
• Simetrías:
44)(
)()(
4)(
2
3
2
3
2
3
−=
−−
−=−
−=
x
x
x
xxg
x
xxg
Como )()( xgxg +=− la función g es simétrica respecto al origen de coordenadas.
• Periodicidad: g no es periódica.
• Asíntotas:
Asíntotas verticales: las rectas de ecuaciones.
22 −== xyx .
Asíntotas horizontales:
No existen las asíntotas horizontales.
Asíntotas oblicuas:
Son de la forma bmxy +=
La asíntota oblicua es la recta y = x.
• Monotonía:
±=⇒=−
±=
=⇒=−
−
−=′
204
32
0012
)4(
12)(
2
24
22
24
xx
x
xxx
x
xxxg
( ) 0g x′ > en ( , 2 3) (2 3, ) g− ∞ − ∪ + ∞ ⇒ es estrictamente creciente en
( , 2 3) (2 3, )− ∞ − ∪ + ∞ .
( ) 0g x′ < en ( 2 3, 2) ( 2,0) (0,2) (2,2 3) g− − ∪ − ∪ ∪ ⇒ es estrictamente decreciente en
( 2 3, 2) ( 2,0) (0,2) (2,2 3)− − ∪ − ∪ ∪ .
4
• Extremos relativos:
• Concavidad:
0)( <′′ xg en g⇒+∪−∞− )2,0()2,( es cóncava hacia las y negativas en )2,0()2,( +∪−∞−
0)( >′′ xg en ),2()0,2( ∞+∪− .
• Puntos de inflexión:
Existe un punto de inflexión en el punto (0, 0).
2. La solución es:
Dominio � – {0} Recorrido � – [0, 2,7)
Creciente ( )2,7;+ ∞
Decreciente ( ) ( ),0 0;2,7−∞ ∪
Mínimo relativo (1; 2,7)
Cóncava ( )0,+∞
Convexa ( ),0−∞
Asíntotas x = 0 ; y = 0
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PÁGINA 329
SOLUCIONES
1. Supongamos que todas las palabras indicadas se pueden numerar y por tanto colocar todas una detrás de otra. La lista de todas ellas es la siguiente:
XYXYXYYYYXXYYXXYYYYX…
YYXXYXYYYYXXXYYYXYXX…
XXXYYXXXXYXYXYXYXYYY…
XYXYXYYXYXYXYXYXYXYX…
YYYYXXXYYYXXXYYYXXXY…
Nos fijamos ahora en la primera palabra infinita XYXYX…, que se obtiene en la lista anterior tomando la primera letra de la primera palabra, la segunda de la segunda, la tercera de la tercera, la cuarta de la cuarta, la quinta de la quinta…, es decir tomando las letras de la diagonal del cuadro de letras.
A partir de esta palabra XYXYX…formamos otra cambiando en ella cada X por Y y cada Y por X. obtenemos así una palabra que empieza:
YXYXY…
Esta palabra tendría que ocupar alguna fila de la lista, pues estamos suponiendo que allí están todas, pero por otra parte, difiere de la primera palabra en la primera letra, de la segunda palabra en la segunda letra, de la tercera palabra en la tercera letra…, de la palabra 538 en la letra 538…Es imposible que este en la lista. Esta contradicción demuestra que nuestro punto de partida es falso.
Podemos afirmar, por consiguiente, que la colección de las palabras infinitas de dos letras no puede ser numerable.
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SOLUCIONES
1. La solución en cada caso es:
a) La función es
−<−−
−>=
222
22)(
xsix
xsixf y su grafica:
b) La función es1
1
−
−=
x
xy y su gráfica:
c) la función es y su grafica:
8
d) La función es y= 3 3x x− + + y su gráfica:
e) La función es
≥−
<+
=
03
4
03
4
)(3
3
xsixx
xsixx
xf y su gráfica:
f) La función es 2
x xy
−= y su gráfica es:
X
Y
3
3
4si 0
3( )
4si 0
3
x x x
f x
x x x
+ <
= − ≥
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2. La solución queda:
a) )()2)(2( xfxxxy =−+=
• Dominio: =fDom
• Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al origen y no es periódica.
• Puntos de corte con los ejes: (0,0),( 2,0),(2,0)−
• Asíntotas y ramas infinitas: no tiene asíntotas.
• Extremos relativos:
Mínimo
−
33
16,
3
2 máximo
−−
33
16,
3
2
• Puntos de inflexión: (0, 0)
• Intervalos de signo constante:
b) )2)(1( −−= xxxy
• Dominio: =fDom
• No presenta simetrías ni periodicidad.
• Puntos de corte con los ejes: )0,2)(0,1)(0,0(
• no tiene asíntotas.
• Tiene ramas parabólicas
• Extremos relativos:
Mínimo )38,0;58,1( − máximo )38,0;42,0(
• Puntos de inflexión: (1, 0)
c) 33 xxy −=
10
d) 4 22y x x= −
• Dominio: =fDom
• Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al eje de coordenadas y no es periódica.
• Puntos de corte con los ejes: (0,0),( 2,0),( 2,0)−
• Asíntotas y ramas infinitas: no tiene.
• Extremos relativos:
Mínimo )1,1()1,1( −−− y máximo )0,0(
• Puntos de inflexión:
−−
−
9
5,
3
1
9
5,
3
1
• Intervalos de signo constante:
e) xx
y +−=6
3
• Dominio: =fDom
• Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al origen de coordenadas y no es periódica.
• Puntos de corte con los ejes: )0,6)(0,6)(0,0( −
• Asíntotas y ramas infinitas: no tiene.
• Extremos relativos:
Mínimo
−
3
22,2 máximo
3
22,2
• Puntos de inflexión: )0,0(
• Intervalos de signo constante:
11
f) 1-x-2x =y 42
g) )(452 23 xfxxxy =−+=
• Dominio: =fDom
• Simetrías y periodicidad: ni es simétrica ni es periódica.
• Puntos de corte con los ejes: (0,0),(0,64;0),( 3,14; 0)−
• Asíntotas y ramas infinitas: no tiene.
• Extremos relativos: Mínimo
−
27
19,
3
1 máximo )12,2(−
• Puntos de inflexión:
− 65,5;
6
5
• Intervalos de signo constante:
12
h) )(82 24 xfxxy =−−=
• Dominio: =fDom
• Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al eje de coordenadas y no es periódica.
• Puntos de corte con los ejes: (0, 8),(2, 0),( 2,0)− −