Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientados PÁGINA 174 SOLUCIONES_________________________________________________________________ Razones trigonométricas de ángulos agudos. Determina las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes triángulos. a) 2 2 2 2 2 2 Teorema de Pitágoras: 5 4 3 cm cateto opuesto 4 sen( ) 0'8 hipotenusa 5 cateto contínuo 3 cos( ) 0'6 hipotenusa 5 cateto opuesto 4 cos( ) 1'33 cateto contínuo 3 H C c C c b) 2 2 2 2 2 2 Teorema de Pitágoras: 12 5 13 cm cateto opuesto 5 sen( ) 0'38 hipotenusa 13 cateto contínuo 12 cos( ) 0'92 hipotenusa 13 cateto opuesto 5 cos( ) 0'42 cateto contínuo 12 H C c H H 471
49
Embed
Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientados...Razones trigonométricas de ángulos agudos. Determina las razones trigonométricas de los ángulos marcados en los siguientes
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Unidad 10 – Trigonometría en ángulos orientados PÁGINA 174
1.a) La división 735º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 15, luego da dos vueltas y se corresponde con un ángulo de 15º.
b) La división 1010º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 290, luego da dos vueltas y, al trasladar el ángulo de 290º al primer cuadrante, se corresponde con un ángulo de 70º.
c) La división 900º entre 360º, da como cociente 2, y de resto 180. Da dos vueltas y no tiene correspondencia con el primer cuadrante.
d) La división 630º entre 360º, da como cociente 1, y de resto 270, luego da una vuelta y se corresponde con un ángulo de 90º.
e) La división 1470º entre 360º, da como cociente 4, y de resto 30, luego da cuatro vueltas y se corresponde con un ángulo de 30º.
2.a)cos( ) primera coordenada del punto cos(90º ) 0
sen( ) segunda coordenada del punto sen(90º ) 1
sen( ) segunda coordenada del punto 1tan( ) tan(90º )cos( ) primera coordenada del punto 0
x
y
yx
la tangente del ángulo.
b)cos( ) primera coordenada del punto cos(270º ) 0
sen( ) segunda coordenada del punto sen(270º ) 1
sen( ) segunda coordenada del punto 1tan( ) tan(270º )cos( ) primera coordenada del punto 0
x
y
yx
la tangente del ángulo.
473
c)cos( ) primera coordenada del punto cos(360º ) 1
sen( ) segunda coordenada del punto sen(360º ) 0
sen( ) segunda coordenada del punto 0tan( ) tan(360º ) tan(360º )cos( ) primera coordenada del punto 1
x
y
yx
0
d)cos( ) primera coordenada del punto cos(450º ) cos(90º ) 0 cos(450º ) 0
sen( ) segunda coordenada del punto sen(450º ) sen(90º ) 1 sen(450º ) 1
sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera c
x
y
yx
sen(450º ) sen(90º )oordenada del punto
la tangente del ángulo
e)cos( ) primera coordenada del punto cos(720º ) cos(360º ) cos(720º ) 1
sen( ) segunda coordenada del punto sen(720º ) sen(360º ) sen(720º ) 0
sen( ) segunda coordenada del puntotan( )cos( ) primera coo
x
y
yx
0tan(720º ) tan(360º ) tan(720º ) 0 rdenada del punto 1
a) sen( ) 0 '2sen ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 0 '04 0 '96 cos ( )= 0'98Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su coseno tiene que ser negativo,
luego cos( ) 0 '98
1b) sen( )5
sen ( 2 2 2 1 24 2 6) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( )= 0 '9825 25 5
Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su coseno tiene que ser negativo,
luego cos( ) 0 '98
5.
2 2 2 2
2a) cos( )3
4 5 5sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 sen( )= 0 '759 9 3
Como queremos que el ángulo esté en el tercer cuadrante, su seno tiene que ser negativo,
luego sen( ) 0 '75
475
2 2 2
b) tan( ) 1sen( )tan( ) 1 sen( ) cos( )cos( )
2sen ( ) cos ( ) 1 2sen ( ) 1 sen( )2
Como queremos que el ángulo esté en el segundo cuadrante, su seno tiene que ser negativo,
2luego sen( )2
6.
2 2 2 2
a) cos( ) 0 '5sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 0 '25 0 '75 sen( ) 0 '87Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo, luego tomamos el valor 0 '87
sen( ) 0 '87tan( ) , luego cos( ) 0 '5
2 2 2 2
tan( ) 1'73
1b)sen( )4
1sen ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sen ( ) 1 0 '875 cos( ) 0 '948
Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su coseno es positivo, luego tomamos el valor 0 '94.1sen( ) 4tan( )
9.a) El ángulo de 133º pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 133º 47º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(133º) sen(47º) 0 '73cos(133º) cos(47º) 0 '68tan(133º) tan(47º) 1'07
b) El ángulo de 195º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 195º 180º 15º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(195º) sen(15º) 0 '26cos(195º) cos(15º) 0 '97tan(195º) tan(15º) 0 '26
c) El ángulo de 215º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 215º 180º 35º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(215º) sen(35º) 0 '57cos(215º) cos(35º) 0 '82tan(215º) tan(35º) 0 '7
d) El ángulo de 110º23'10'' pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 110º 23'10 '' 69º 36 '5 ''.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(110º23'10'') sen(69º 36 '5 '') 0 '94cos(110º23'10'') cos(69º36 '5 '') 0 '35tan(110º23'10'') tan(69º36 '5 '') 2 '69
e) El ángulo de 335º pertenece al cuarto cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 360º 335º 25º .Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(335º) sen(25º ) 0 '42cos(335º) cos(25º ) 0 '91tan(335º) tan(25º ) 0 '47
f) El ángulo de 260º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 260º 180º 80º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(260º) sen(80º) 0 '98cos(260º) cos(80º) 0 '17tan(260º) tan(80º) 5 '67
Solución: Sí existen ángulos que verifican la ecuación, por ejemplo 348º 27 '
25.a) sen(105º)>0 porque 105º II cuadrante. b) cos(300º)>0 porque 300º IV cuadrante. c) tan(250º)>0 porque 250º III cuadrante.d) sen(250º)<0 porque 250º III cuadrante.e) cos(68º)>0 porque 68º I cuadrante. f) tan(322º)<0 porque 322º IV cuadrante. g) cos(125º)<0 porque 125º II cuadrante. h) sen(190º)<0 porque 190º III cuadrante.i) tan(110º)<0 porque 110º II cuadrante.
26.
491
27.
2 2
2 2 2
2a) sen( )3
sen ( ) cos ( ) 1
4 5 5cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '759 9 3
Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el seno como el coseno son positivos.
sen( ) 2 5tan( ) 0 '89cos( ) 5
2Solución: sen( ) , cos( ) 0 '75, tan( ) 0 '893
2 2
2 2 2
1b) cos( )5
sen ( ) cos ( ) 11 24sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '9825 25
Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el seno como el coseno son positivos.
stan( ) en( ) 0 '2cos( )
1Solución: sen( ) 0 '98, cos( ) , tan( ) 0 '25
2 2 2 2 2
c) tan( ) 2sen( )tan( ) 2 sen( ) 2cos( )cos( )
1 5sen ( ) cos ( ) 1 4cos ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) 0 '455 5
Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el seno como el coseno son positivos.
2 5sen( ) 0 '895
Solución: sen( ) 0 '98, cos( ) 0 '45, tan( ) 2
492
2 2 2 2
2d) tan( )3
sen( ) 2 2tan( ) sen( ) cos( )cos( ) 3 3
4 9 3 13sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) 0 '839 13 13
Descartamos el valor negativo porque estamos en el primer cuadrante y tanto el senocomo el coseno son positivos.
2 13sen( ) 0 '5513
2Solución: sen( ) 0 '55, cos( ) 0 '83, tan( )3
493
28.
2 2
2 2 2
a) sen( ) 0 '3sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '09 0 '91 cos( ) 0 '95Descartamos el valor positivo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo, pero el coseno es negativo.
t sen( ) 0 '3an( ) 0 '31cos( ) 0 '95
Solución: sen( ) 0 '3, cos( ) 0 '95, tan( ) 0 '31
2 2
2 2 2
b) cos( ) 0 '8sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '64 0 '36 sen( ) 0 '6Descartamos el valor negativo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo.
sen( )tan( ) 0 '75cos( )
Solución: sen( ) 0 '6, cos( ) 0 '8, tan( ) 0 '75
2 2
2 2 2
1c) sen( )4
sen ( ) cos ( ) 1
1 15 15cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '9716 16 4
Descartamos el valor positivo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo, pero el coseno es negativo.
sen( )tan( ) 0 '26cos( )
1Solución: sen( ) , cos( ) 0 '97, tan( ) 0 '264
2 2
2 2 2
3d) cos( )4
sen ( ) cos ( ) 1
9 7 7sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '6616 16 4
Descartamos el valor negativo porque estamos en el segundo cuadrante y el seno es positivo.
494
sen( )tan( ) 0 '88cos( )
3Solución: sen( ) 0 '66, cos( ) , tan( ) 0 '884
29.
2 2
2 2 2
a) cos( ) 0 '4sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '16 0 '84 sen( ) 0 '91Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y tanto el seno como el coseno son negativos.
tan( sen( )) 2 '29cos( )
Solución: sen( ) 0 '91, cos( ) 0 '4, tan( ) 2 '29
2 2
2 2 2
1b) sen( )3
sen ( ) cos ( ) 1
1 8 2 2cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '949 9 3
Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y el coseno es negativo.sen( )tan( ) 0 '35cos( )
Sol 1ución: sen( ) , cos( ) 0 '94, tan( ) 0 '353
2 2
2 2 2
2c) cos( )5
sen ( ) cos ( ) 1
4 21 21sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( ) 0 '9225 25 5
Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y tanto el seno como el coseno son negativos.
ta sen( )n( ) 2 '29cos( )
2Solución: sen( ) 0 '92, cos( ) , tan( ) 2 '295
495
2 2
2 2 2
d) sen( ) 0 '7sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '49 0 '51 cos( ) 0 '71Descartamos el valor positivo porque estamos en el tercer cuadrante y el coseno es negativo.
a) cos( ) 0 '36sen ( ) cos ( ) 1sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 0 '1296 0 '8704 sen( ) 0 '93Descartamos el valor positivo porque estamos en el cuarto cuadrante y el seno es negativo.
1 35 35cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 cos( ) 0 '9936 36 6
Descartamos el valor negativo porque estamos en el cuarto cuadrante y el coseno es positivo.sen( )tan( ) 0 '1cos( )
7
1Solución: sen( ) , cos( ) 0 '99, tan( ) 0 '176
2 2
2 2 2
3c) cos( )5
sen ( ) cos ( ) 19 16 4sen ( ) 1 cos ( ) sen ( ) 1 sen( )25 25 5
Descartamos el valor positivo porque estamos en el cuarto cuadrante y el seno es negativo.
sen( ) 4tan( )cos( ) 3
Solución: 4 3 4sen( ) , cos( ) , tan( )5 5 3
498
2 2
2 2 2
d) sen( ) 0 '98sen ( ) cos ( ) 1cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1 0 '9604 0 '0396 cos( ) 0 '2Descartamos el valor negativo porque estamos en el cuarto cuadrante y el coseno es positivo.
sen( )tan( ) 4 'cos( )
92
Solución: sen( ) 0 '98, cos( ) 0 '2, tan( ) 4 '92
31.2 2
2 2
Si exite con estas condiciones debe cumplirse sen ( ) cos ( ) 1.
0'2 ( 0 '8) 0 '04 0 '64 0 '68 1.Solución: No existe ningún ángulo que cumpla esas condiciones.
a) Planteamos el siguiente sistema, con la ecuación que nos dan y una de las igualdades trigonométricas:5sen( ) 1cos ( )5sen( ) 2cos ( ) 1 5sen(sen ( )2
sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 12
2
1
2
) 1 12
2sen ( ) 5sen( ) 3 0Hacemos el cambio de variable sen( ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta:
5 25 24 5 72 5 3 04 4
1 1sen( )2 2
3 sen( ) 3 Descartamos esta sol
x
x x x
x
x ución porque el seno de un ángulo no puede ser menor que 1.
1Por lo tanto, verificarán nuestra ecuación todos los ángulos cuyo seno sea , es decir, 2
30º 2 150º 2 .
Solución: 30º 2 150º 2
k k
k k
22
2 22 2
b) Planteamos el siguiente sistema, con la ecuación que nos dan y una de las igualdades trigonométricas:7cos( ) 5sen ( )7cos( ) 3sen ( )+5 0 7cos( ) 5 c3
3sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) cos ( ) 1
2
2
os ( ) 1
3cos ( ) 7cos( ) 2 0
511
2
1
2
Hacemos el cambio de variable cos( ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta:
7 49 24 7 53 7 2 06 6
1 1cos( )3 32 cos( ) 2 Descartamos esta solución porque el coseno de
x
x x x
x
x un ángulo no puede ser menor que 1.
1Por lo tanto, verificarán nuestra ecuación todos los ángulos cuyo coseno sea , es decir,3
60. Si hacemos la equivalencia entre radianes y grados, obtenemos que
180º radianes 3030º 180 6Solución: Sigue mirando al frente, en la misma posición en la que estaba al principio.
xx
61.2 radianes 1 vuelta
75 1 75 9 '375 vueltas.75 4 2 8 vueltas4
Solución: Ha dado 9'375 vueltas.
xx
62.Primero calcularemos el ángulo en radianes. Si la velocidad angular es
3'2 0 '5 1'6 radianes.
Ahora hacemos la equivalencia con grados: radianes 180 grados 1'6 180 91º 4
1'6 radianes
v v tt
xx
0 '23'69 ''
Solución: En 0'5 segundos recorrrá un ángulo de 91º40'23'69''
63.1En cada segundo, la aguja avanza d e toda la circunferencia, entonces, 60
avanza un ángulo de 6º, es decir, radianes: 30
30 rads1 30
Solución: El segundero avanza a una velocidad angular de
v v vt
rad .s30
514
64.43Juan ha avanzado radianes, es decir 1290º en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.
6Esos 1290º, equivalen a haber dado 3 vueltas completas y 210º más. (El cociente de la división 1290º entre 360º, tiene como cociente 3 y como resto 210)Por otra parte, Pedro ha recorrido 870º en el sentido de las agujas del reloj, es decir, 2 vueltas y 150º.Podemos simplificar la situación diciendo que Juan se encuentra a 210º del inicio recorridos en sentido positivo, y Pedro, a 150º en sentido negativo, es decir, 360º 150º 210º
Solución: Pedro y Juan se encuentran en el mismo punto, pero Juan ha dado una vuelta más a la pista.
65.Los ángulos de un triángulo suma 180º, luego, 30º y el ángulo son suplementarios, así:
El área de un círculo viene dado por: AUn círculo completo tiene 360º, luego el área del sector circular dado podemos calcularla con una simple regla de tres:
360º 120360120º
r
r r rxx
2
22
sector circular
2
3
16 16 '76 m3 3
Solución: El área de tierra cultivable es de 16'76 m
rA
1.a) 360º-60º = 300º Solución: El ángulo que se forma es de 300º.
515
b) 360º-240º = 110º Solución: El ángulo formado es de 110º.
c) 2050º23'54'' equivale a haber dado 5 vueltas y a haber recorrido 250º23'. Solución: El ángulo formado es de 250º23'.
2.a) El ángulo de 1890º equivale a un ángulo recto, por lo tanto:
sen(1890º) = sen(90º) = 1
cos(1890º) = cos(90º) = 0
b) El ángulo -1170º equivale a un cuarto d circunferencia recorrida en sentido negativo, es decir, un ángulo de -90º.
sen(-1170º) = sen(-90º) = -1
cos(-1170º) = cos(-90º) = 0
3.Si resolvemos dicha ecuación obtenemos:
Solución: Los ángulos que tiene como seno la unidad, son 90º+2k .
4.
2 2 2 2
3cos( )4
9 7 7sen ( ) cos ( ) 1 sen ( ) 1 cos ( ) 1 sen( )16 16 4
7Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, su seno es negativo, luego tomamos el valor 4
b) Grados Radianes110'45'' 180º 0 '01 0 '01 radianes.
180 110'45''
x xx
6.a) El ángulo de 155º pertenece al segundo cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 180º 155º 25º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(155º) sen(25º) 0 '42cos(155º) cos(25º) 0 '91tan(155º) tan(25º) 0 '47
5b) El ángulo de pertenece al cuarto cuadrante, luego, su correspondiente en el pri3
mer cuadrante es:
52 .3 3
Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:
5 3sen sen3 3 2
5 1cos cos3 3 2
5tan tan 33 3
5 3Luego: sen3
5 1 5, cos , tan 32 3 2 3
c) El ángulo de 235º pertenece al tercer cuadrante, luego, su correspondiente en el primer cuadrante es: 235º 180º 55º.Así, sus razones trigonométricas se relacionan del modo siguiente:sen(235º) sen(55º) 0 '82cos(235º) cos(55º) 0 '99tan(235º) tan(55º) 1'43