Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + J =0 A 6=0 B = C =0 Ax 2 + Gx + Hy + Iz + J =0 G 6=0 Ax 2 + G A x + G A 2 - G A 2 + Hy + Iz * J =0 x + G 2A 2 + Hy + Iz + J - G 2 4A =0 J - G 2 4A ∈ R x + G 2A x + G 2A 2 + Hy + Iz + J - G 2 4A =0 H 6=0 J - G 2 4A 6=0 Hy + J 0 = H y + J 0 H x + G 2A 2 + H y + J 0 H + Iz =0 y + J 0 H A 6=0 H 6=0 J 6=0 x 2 + Hy + Iz =0
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
Una ecuación de segundo grado en tres variables sin términos mixtos tiene la forma
Ax2 +By2 + Cz2 +Gx+Hy + Iz + J = 0
Vamos a revisar algunos casos de los valores de los coe�cientes de los términos cuadráticosCaso 1: Solo uno de los coe�cientes cuadráticos es diferente de cero.
En éste caso consideramos A 6= 0 y B = C = 0, que produce la ecuación
Ax2 +Gx+Hy + Iz + J = 0
Donde si G 6= 0, entonces
Ax2 +G
Ax+
(G
A
)2
−(G
A
)2
+Hy + Iz ∗ J = 0
(x+
G
2A
)2
+Hy + Iz +
(J − G2
4A
)= 0
donde
(J − G2
4A
)∈ R y la interpretación geométrica del término
(x+
G
2A
)signi�ca una traslación sobre
el eje X de la super�cie que determina(x+
G
2A
)2
+Hy + Iz +
(J − G2
4A
)= 0
Si H 6= 0 y
(J − G2
4A
)6= 0, entonces
Hy + J ′ = H
(y +
J ′
H
)y la ecuación se escribe (
x+G
2A
)2
+H
(y +
J ′
H
)+ Iz = 0
donde ahora la interpretación geométrica del término
(y +
J ′
H
)signi�ca una traslación sobre Y, entonces
si A 6= 0, H 6= 0 y J 6= 0 será su�ciente analizar qué tipo de super�cie deterrmina una ecuación de laforma
x2 +Hy + Iz = 0
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
Ejemplo Según el análisis anterior tenemos la siguiente ecuación A 6= 0 H, I 6= 0
3x2 + 2y + 4z = 0
representa un cilíndro parabólico
Ejemplo Según el análisis anterior tenemos la siguiente ecuación A 6= 0, H 6= 0
3x2 + 2y = 0
representa un cilíndro parabólico
Ejemplo Según el análisis anterior tenemos la siguiente ecuación A 6= 0, J 6= 0
3x2 − 2 = 0
representa un par de planos paralelos
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
Ejemplo Según el análisis anterior tenemos la siguiente ecuación
3x2 = 0
representa un plano YZ
Caso 2: Solo dos de los coe�cientes cuadráticos son diferentes de cero.
Dada la ecuaciónAx2 +By2 + Cz2 +Gx+Hy + Iz + J = 0
Consideraremos A 6= 0, B 6= 0, C = 0, que produce la ecuación
Ax2 +By2 +Gx+Hy + Iz + J = 0
Si tomamos G = 0, H = 0, I = 0, J > 0, obtenemos
Ax2 +By2 + J = 0 ⇒ x2(−JA
) + y2(−JB
) = 1
vamos a analizarJ
A< 0 y
J
B< 0
considerando B > 0, A > 0, J < 0 la ecuación se puede escribir
x2(√−JA
)2 +y2(√−JB
)2 = 1
esta super�cie corresponde a un cilindro elíptico
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
considerando B > 0, A < 0, J > 0 la ecuación se puede escribir
x2(√−JA
)2 − y2(√JB
)2 = 1
esta super�cie corresponde a un cilindro hiperbólico
Para la ecuaciónAx2 +By2 = 0
considerando A > 0, B > 0 la ecuación representa un cilindro elíptico degenerado si A 6= B (Eje Z)
considerando A > 0, B < 0 la ecuación se puede escribir
(√Ax+
√−By)(
√Ax−
√−By) = 0
esta super�cie corresponde a dos planos que se cortan
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
Caso 3: Los tres coe�cientes cuadráticos son diferentes de cero.
En este caso se tiene la ecuaciónAx2 +By2 + Cz2 + J = 0
donde ACBJ 6= 0considerando A > 0, B > 0, C > 0 y J < 0 se tiene la ecuación
x2(√−JA
)2 +y2(√−JB
)2 +z2(√−JC
)2 = 1
esta super�cie corresponde a un elipsoide
considerando A > 0, B < 0, C < 0 y J < 0 se tiene la ecuación
x2(√−JA
)2 − y2(√JB
)2 − z2(√JC
)2 = 1
esta super�cie corresponde a un hiperbolóide de dos mantos
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Unidad 1. Super�cies Cuádricas 1.3 La ecuación de 2do grado sin términos mixtos
considerando A > 0, B > 0, C < 0 y J < 0 se tiene la ecuación
x2(√−JA
)2 +y2(√−JB
)2 − z2(√JC
)2 = 1
esta super�cie corresponde a un hiperbolóide de un manto
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