UNIDAD 1 1 INSTITUTO TECNOLOGICO DE LAZARO CARDENAS ALGEBRA LINEAL INVESTIGACION UNIDAD I (NUMEROS COMPLEJOS) NOMBRE DEL ALUMNO(A) APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S) Díaz Martínez Katia SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2013 CARRERA: Ing. En sistemas computacionales GRUPO: 21T FECHA DE ENTREGA: 8 de febrero del 2013
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Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple
ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto
de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos.
Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i,
tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria,
pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente
definición de los números complejos.
Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde a y b son números reales.
Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número o b la parte
imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.
Ejemplos:
Z Re(z) Im(z)
7 + 5 i 7 5
-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3
-9 i = 0 + (-9) i 0 -9
4 = 4 + 0 i 4 0
Ejercicios:
1.- 5-9i= real 5 e imaginario es 9
2.- 8-90i= real 8 imaginario es 90
3.- -34i= real 0 imaginario (-34)
UNIDAD 1
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1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
S uma y d i fe renc i a de números comp le jos : La suma y d i fe renc i a de números comp le jos se rea l i za sumando y res tando pa rtes rea les
entre s í y pa rtes i mag i na r i as entre s í .
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
Mult i p l i cac i ón de números comp le jos : E l p roduc to de los números
comp le jos se rea l i za ap l i cando la p rop i edad d i s tr i but i va de l p roduc to respec to de la suma y teni endo en cuenta que i 2 = −1 .
( a + b i ) · ( c + d i ) = ( a c − bd ) + ( a d + bc ) i
D i vi s i ón de números comp le jos : E l coc i ente de números comp le jos se hace rac i ona l i zando e l denomi nador ; es to es , mult i p l i cando numerador y denomi nador po r e l conjugado de és te .
1.3 POTENCIAS DE “I”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
COMPLEJO.
Potencias de la Unidad Imaginaria:
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA REPRESENTACIÓN
CARTESIANA:
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte
imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos
se pueden representar como puntos del par ordenado.
Z 1 = a + b i = (a,b)
MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO:
Sea “z” un número complejo, se define el módulo de “z”, y lo notamos por |z|,
como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:
El módulo de z= |z| =+ (z · z´)1/2
Si el número complejo en forma binómica viene dado por “z = a + bi”, se tiene que |z|2 = (a + b·i) · (a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo:
1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número
complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ e y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Forma exponencial
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r(cos θ + i sen θ),
la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAL Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Fórmula para calcular las potencias z^n de un número complejo z. El teorema de Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x) , entonces z^n = r^n(cos nx + i sin nx), x= al ángulo, en donde n puede ser
enteros positivos, enteros negativos, y exponentes
La forma general de la ecuación polinómica de grado n
es: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0
Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces). En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.
Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser
números reales o complejos. (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución. Esto implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones
de grado impar tienen al menos una solución real).