Unidad 1

Unidad 1

"Un matemático, al igual que un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más duraderos que los de los otros dos, es porque en ellos se da la circunstancia de que están hechos de ideas"

Godfrey Harold Hardy (1877-1947)

¿Qué opinas acerca de estas palabras? ¿Crees que nos hacen reflexionar sobre la importancia de las ideas, del razonamiento? En este sentido, la Matemática tiene un papel primordial que desempeñar. Nos permite desarrollar el pensamiento para que sea estructurado, analítico, lógico y con mayor poder de abstracción. La preparación matemática permite resolver problemas y situaciones de diversa índole. Por esta razón, la sociedad actual requiere de personas que posean una formación matemática y por lo tanto, sean capaces de desempeñar cualquier ocupación. Así que ¡adelante!, recorre con gusto, convencimiento y empeño este curso y los que te esperan más adelante.

Sistemas de NumeraciónPropósito: Que el estudiante distinga entre número y numeral (símbolo), comprenda el origen de los sistemas de numeración, en particular el origen del sistema decimal, sus características y manera de operar para sentar las bases de las operaciones aritméticas con números reales; para leer, escribir y comprender adecuadamente los números, por muy grandes que sean.

¿Cuándo crees que se originó la Matemática? La matemática se origino cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, de realizar cálculos (cálculo viene del latín calcŭlus: piedrecilla, ya que al principio, los hombres usaban pequeños guijarros para hacer cuentas).

Sabemos que mucho antes de que se inventara la escritura, el hombre empezó a rayar (o tarjar) en las paredes de las cuevas que habitaba y en las rocas para indicar “cuántos”. Los primeros hombres tenían la intuición de número. Eran suficientes los dedos de la mano para contar, ya que sólo necesitaban representar cantidades pequeñas. Tal vez únicamente podían distinguir entre uno, dos o muchos.

En la actualidad existen pueblos primitivos que aún cuentan con las manos. El Dr. José Antonio de la Peña, en su libro Álgebra en todas partes (que te recomendamos mucho), señala que los miembros de la tribu Sibiller de Nueva Guinea, cuentan hasta el 27

utilizando para ello la mano izquierda y diferentes partes del cuerpo.

La noción de número siempre ha sido necesaria. El hombre la ha utilizado para manejar y resolver desde sencillos problemas hasta otros de mayor dificultad. El ser humano tiene esa gran capacidad de abstraer conceptos plasmados en la naturaleza y convertirlos en símbolos.

A medida que la sociedad evolucionaba, se requerían cálculos más complicados, por lo que el hombre comenzó a sistematizar estos símbolos. Creó reglas para establecer algoritmos (es decir, métodos, procedimientos o patrones para encontrar sumas, diferencias, productos o cocientes). Los algoritmos dieron pie a las operaciones aritméticas y a la creación de los sistemas de numeración. Estos sistemas de numeración permiten, de una manera estructurada y simbólica, manejar la noción de número.

n la actualidad, el ser humano tiene contacto con la Matemática desde muy temprana edad. Por lo general, un niño aprende a decir cuántos años tiene, aunque sea indicándolo con los dedos de la mano, y estamos tan familiarizados con los numerales (símbolos con los que representamos a los números), que no estamos conscientes de su lenta evolución y de los siglos que tuvieron que pasar para que se fusionaran y desarrollaran los nombres hablados de los números y las rayas, en un sistema de símbolos que representaran esta fusión.

Como se puede observar en la tabla siguiente, los numerales usados para un mismo número son diferentes según la cultura. Fíjate en la forma en que algunos usan igual número de signos que la cifra representada por su numeral. Así los mayas, egipcios y romanos usaban tres signos para representar el 3.

Seguramente recordarás los sistemas de numeración, como el egipcio, que es de los más antiguos. El babilonio floreció en Mesopotamia con los sumerios, asirios y caldeos, y también tenemos otros como el griego, romano, chino y maya.

Algunos de estos sistemas son posicionales, y otros no. Los que no son posicionales resultan inadecuados para hacer operaciones. ¿Qué significa entonces la palabra posicional?

Posicional significa que en un numeral, el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa dentro del numeral, y a este valor se le llama valor relativo. Por ejemplo, el 34 significa que hay 4 unidades y que el 3 vale 30, por su posición en el numeral.

Un ejemplo de un sistema no posicional es el romano, en donde VIII significa 8 y XXXIV significa 34. Sumar 8+34 usando VIII + XXXIV no es nada fácil, como puedes ver.

SISTEMA DECIMAL INDOARABIGOUno de los Sistemas Numéricos más importantes es el nuestro, el Sistema Decimal, llamado así por tener base 10.

¿Por qué su base es diez?Porque son 10 los símbolos básicos que se utilizan, llamados dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y el cero. La razón de que la base sea diez y no otra diferente, es que en las primeras culturas el proceso de contar en muchos casos, recordarás, se realizaba con los dedos de las manos.

Al parecer, la notación que usamos para los numerales del 1 al 9 se originó en la India por el año 500 de nuestra era, y alrededor del siglo X los árabes se apropiaron de todos estos conocimientos y los llevaron a España, de donde se extendieron al resto de Europa. Por esa razón también se le conoce a este sistema decimal como sistema indoarábigo, o simplemente arábigo.

Con el cero es otra historia. El cero es un gran logro de la humanidad, y uno de los más grandes aciertos de la ciencia. El número cero fue el último de los números en ser descubierto, y su representación, o sea, su numeral “0”, fue inventado en último lugar. Sin el cero, nuestro Sistema Decimal no sería más eficiente que el romano.

Se dice que los babilonios ya tenían un símbolo para el cero, y que inicialmente dejaban un espacio para este número. La cultura maya tenía un sistema de numeración vigesimal (de base veinte) y también el concepto de cero, que manejaban como el cierre de un ciclo y el principio de otro en sus calendarios y relaciones astronómicas. Esta cultura fue de las primeras en usar un sistema posicional y un símbolo para el cero.

Características del Sistema Decimal IndoarábigoEl Sistema Decimal es uno de los más perfectos y se utiliza en la mayor parte del mundo. Es un Sistema Internacional, porque permite escribir cualquier número por muy grande que sea con pocos símbolos (sólo 10), gracias a que es posicional.

Recordarás que es posicional porque el valor de cada dígito depende del lugar que ocupa dentro de un numeral. A este valor se le llama valor relativo, y facilita también los algoritmos de las operaciones aritméticas.

Son dos las características del sistema decimal:1. Cada dígito de un numeral tiene dos valores

En un numeral, cada dígito (también se le puede llamar cifra y va del 0 al 9) que lo constituye tiene dos valores:

   Valor absoluto, el valor del dígito (o de la cifra; en el 34 el valor absoluto del 3 es 3).

Dos valores

   Valor relativo, el valor de acuerdo a la posición que ocupa el dígito (o la cifra) en el numeral (En el 34, el valor relativo del 3 es 30).

A continuación, se presenta una tabla que aclara esta idea. Obsérvala y contesta lo que se solicita más adelante.

Analicemos el caso del 2 en el primer numeral de la tabla:

2. Los números del sistema decimal obedecen a un orden y una clase bien definida                                         El orden y la clase se explican a continuaciónOrden

El orden se basa en la idea de agrupamientos de 10 en 10: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

Lectura y escritura de los números del sistema decimal Para poder leer, escribir y comprender adecuadamente los números del sistema decimal, por muy grandes que sean, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la que pertenecen. El orden permite conocer con precisión el valor relativo, o sea la posición de cada cifra del número en consideración. Vamos a entenderlo bien:

Observa nuevamente la tabla.

Una vez conocidas las partes separadas por órdenes de un número, éste se lee y se forma como se indica en el siguiente ejemplo:

85 317 234

Se lee: 8 decenas de millón, 5 unidades de millón, 3 centenas de millar, 1 decena de millar, 7 unidades de millar, 2 centenas, 3 decenas, 4 unidades.

Lo que significa que este número se forma con:

El sistema decimal además de ser posicional es también aditivo, porque el valor relativo de cada cifra se obtiene al multiplicar la cifra por el orden que indica su posición. Fíjate en el

caso anterior: 8 por   10 000 000 , 5 por   1 000 000 , 3 por 100 000, etc., y los resultados de estas multiplicaciones se van sumando para formar el número que se está

considerando, en este caso, el 85 317 234. Este número queda formado así:

85 317 234 = 80 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 10 000 + 7 000 + 200 + 30 + 4

Esta forma de escritura se llama notación desarrollada o extendida. Entonces la notación desarrollada consiste en escribir una cantidad como la suma de los valores relativos (o sea, de las posiciones) de cada cifra que la constituye.

Ahora sabes que, conocidas las partes separadas por órdenes que tiene un número, éste se forma como antes se indicó. Ejemplo:

Los números enteros positivos son los que hasta ahora hemos tratado, pero no son los únicos. Estudiaremos los números decimales más adelante, en la unidad relativa a los racionales.

¿Cómo le vas a hacer para acordarte de los conceptos que hemos revisado: valor posicional y orden? Detente un momento y piensa: ¿qué es el valor posicional? Ahora, ¿cómo me voy a acordar de que el valor posicional es el valor relativo que tiene una cifra por el lugar que ocupa en un numeral? Quizá uses una clave personal como “decena” para acordarte que el

3 en 34 no vale 3 sino 30; quizá uses otra estrategia. Lo importante es que sepas cómo te acordarás. Tómate un momento para registrarlo en tu memoria.

Clase

Como se indicó, para poder leer, escribir y comprender de forma adecuada los números del sistema decimal, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la cual pertenecen. Ya hablamos del orden, ahora analizaremos la clase.

Podemos también observar que el agrupamiento de tres cifras recibe el nombre de clase o periodo, y para una mayor comprensión al escribir el numeral, la clase se separa por medio de un pequeño espacio, como en los ejemplos siguientes:

1. En el número 85 317 234

En cada una de las clases, los dígitos se leen de forma normal (ochenta y cinco, trescientos diecisiete, doscientos treinta y cuatro, etc.), y se le añade el nombre de la clase o un derivado, por ejemplo "millones","mil", etc.

Por tanto este número 85 317 234 se lee como:

Ochenta y cinco millones trescientos diecisiete mil doscientos treinta y cuatro unidades.

2. En el número 625 529 718  432

En primer lugar se consideran cada una de las clases que están entre los grupos de tres cifras.

Por tanto este número  625 529 718 432 se lee como:

Seiscientos veinticinco mil quinientos veintinueve millones, setecientos dieciocho mil cuatrocientos treinta y dos unidades.

Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales Revisa los problemas que se presentan a continuación. Tal vez en este momento sientas que no puedes resolverlos, pero al terminar la unidad relativa a números naturales que en seguida inicia, serás capaz de resolver éstos y más.

Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra. Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos, para encontrarse. Uno de ellos va a 7 km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿a qué hora se encontrarán?

Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115 mochilas, y recibió 137 mochilas de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este momento le quedan 204 mochilas, ¿cuántas tenía al principio?

Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de su compañero?

Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425m2, 850m2 y 1 700m2 respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la medida que deben tener los terrenos para que todos tengan la misma superficie?

Algoritmo de la adición con notación desarrolladaLa notación desarrollada ayuda a entender razonadamente el algoritmo de las operaciones aritméticas, evitando su aprendizaje como “recetas de cocina”, porque claramente se confirma que sólo se pueden sumar  las unidades con las unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc., (es decir, dígitos de la misma naturaleza). El proceso se inicia con las unidades.

Los ejemplos siguientes lo ratificarán. Efectuaremos las sumas utilizando notación desarrollada empezando con las unidades.

Como se mostró y muestra en los ejemplos siguientes, debemos sumar unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. Si al estar haciendo esto nos queda en la columna de las unidades un resultado con decenas, o en la columna de las decenas un resultado con centenas, se escribe el número en notación desarrollada y se acomoda cada dígito en su lugar. Por ejemplo 9 + 6 da 15. El 15 se descompone en 10 + 5, se escribe el 5 en las unidades y se dice que se lleva 1 porque efectivamente se lleva una decena, que se escribe con un “1” en la columna de las decenas. Después, debemos sumar todos los elementos de la misma naturaleza (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.), y finalmente dar el resultado en forma condensada.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados con notación desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí (que sabemos es larguísimo), el cual expusimos para que tengas idea del por qué “se llevan” números al sumar verticalmente.

Algoritmo de la adición usando notación condensadaHacer todo lo anterior cada vez que sumamos sería muy tardado. Vamos a usar la forma más práctica, la notación condensada. El procedimiento es el mismo: se suman cifras de la misma naturaleza, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc., empezando con las unidades.

Si has observado, las operaciones que siempre realizamos son binarias, es decir, sólo podemos sumar dos números al mismo tiempo. Si queremos sumar más de dos, tenemos que sumar primero dos de ellos, y al resultado sumarle el siguiente número. El problema anterior, en el que pide la maestra tres formas diferentes de sumar 3, 5 y 8, sirve de ejemplo:

Para sumar 3, 5 y 8, podemos agrupar dos sumandos, ya sea como se indica a la izquierda o como se indica a la derecha:

Fíjate que en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado.A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.

Jerarquía de las operaciones (primera parte) Ya se habló de la propiedad asociativa, que es muy importante conocer para saber cómo se pueden sumar más de dos números cuando la asociación no se ha señalado previamente con los respectivos paréntesis. Por ejemplo, si nos piden sumar 3 + 8 + 6, sin marcar los paréntesis, sabemos ya, por la propiedad asociativa, que:

Por tanto, no existe problema alguno con la decisión que se tome, puesto que tendremos siempre el mismo resultado.

Pero ¿qué hacer si tenemos la expresión 5 + 6 • 8?

Si sumamos primero 5 + 6 = 11 y luego lo multiplicamos por 8 da como resultado 88.

Pero, si multiplicamos primero 6 por 8 = 48 y a este resultado le sumamos 5, se obtiene 53, que es un resultado diferente al anterior: 88. Entonces, cuál es el resultado correcto?

Para una situación como ésta, existen reglas que indican la jerarquía de las operaciones, y son las siguientes:

1. Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.2. Después se efectúan las sumas y restas también en ese orden.

Entonces, en la expresión 5 + 6 • 8 la respuesta correcta es 53 porque, de acuerdo a las reglas sobre la jerarquía de la operaciones, se llevan a cabo primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, o sea, primero multiplicamos 6•8 = 48; y después se efectúan las sumas y restas también de izquierda a derecha, y por lo tanto a esta cantidad se le suma 5. Queda así: 48 + 5 = 53. A continuación observa los siguientes ejemplos.

Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos podemos usar las siguientes:

Jerarquía de las operaciones (segunda parte)Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden en el que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o asociatividad, como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas para aplicarlas correctamente.

Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones señaladas.

Cuando un signo de multiplicación está junto a un paréntesis, el signo se puede suprimir. Ejemplo:6•(4 + 8) puede quedar como 6 (4 + 8).

DivisiónImagínate que tenemos 12 chocolates y 3 bolsas. Necesitamos repartir los chocolates en cada bolsa, en forma equitativa. ¿Cuántos chocolates deben estar en cada bolsa?

El resultado de la división indica que corresponden 4 chocolates en cada bolsa.

Esta división también puede presentarse de la manera siguiente:

Así como el caso anterior la división de 12 entre 3 se prestó para ejemplificarla con una repartición de chocolates, ahora tú inventa una historia para cada una de las siguientes divisiones:

Entonces, ¿qué es dividir?

Dividir significa encontrar un número, de tal forma que al multiplicarlo por el divisor, nos dé como resultado el dividendo. Ese número encontrado se llama cociente

O encontrar un número que al multiplicarlo por el denominador dé el numerador.

Dividir 12 entre 3 consiste en encontrar un número que al multiplicarlo por 3 nos dé 12. ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 12? Únicamente el 4, este es el resultado de esa división y se llama cociente.

¿Cuánto es 14 entre 7? Necesitamos encontrar un número que al multiplicarlo por 7 dé 14. El resultado es 2, porque 2 • 7 = 14. A este 2 se le llama cociente. Si te fijas, dividir nos da la idea de repartir.

En estos casos las divisiones son exactas (recuerda que estamos en la unidad relativa a los números naturales). Las divisiones con residuo diferente a cero serán tema de los números racionales.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados utilizando notación desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí.

Algoritmo compacto de la división

DivisibilidadPara hablar de divisibilidad debemos primero recordar qué significa el factor de un número natural (lo vimos en la multiplicación). Analicemos los casos siguientes:

Entonces ¿qué es un factor?Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores. Comprobemos:

La divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.

Divisibilidad entre 2Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares).

Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0).

Divisibilidad entre 3Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible entre 3.

Ejemplos:

1) 111

Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero.

2) 54 132

Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18 044 y el residuo es cero.

3) 321 000

Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero. Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 107 000 y el residuo es cero.

Muy importante¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son

exactas. Los casos de las no exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos.

Divisibilidad entre 5Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5.

Ejemplos:

1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero.

2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero.

3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.

Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados, hasta que entiendas bien los criterios de divisibilidad. Compara tu resultado con el presentado.

Máximo Común Divisor (MCD)Problema

Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos, porque la tela tiene un ancho que puede usarse para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo?

Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grande de sus divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos.

Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.

egundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados también factores comunes.

Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.

240 = 2 4 • 3 • 5

168 = 2 3 • 3 • 7

48 = 2 4 • 3

Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7 no son comunes a los tres números en consideración.

Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.

Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en 24 cm. de longitud.

Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie.

Respuesta:

Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

Del retazo de 168 cm salen exactamente 7 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

Del retazo de 48 cm salen exactamente 2 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD?

Mínimo común múltiplo (mcm) de un naturalContesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8?

Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos conocer, en primer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4 por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000; que por supuesto es múltiplo de 4.

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,…

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n…

Ya sabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números.

Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72.

Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24.

Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24.

Otra forma de obtener el mcm es eligiendo cada uno de los factores primos de estos números, una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm.

Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece varias veces se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca en todos, es decir, en este caso se elige 2 3. Además aparece el 3, por lo que el mcm de 4, 6 y 8 es: 2 3 • 3 = 24.

Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números debe ser divisible entre cada uno de ellos. Recuerda que ser divisible significa que al dividirse, la división debe ser exacta, o sea el residuo debe ser cero.

Lo comprobamos 24: 4 = 6 y el residuo es cero.

24: 6 = 4 y el residuo es cero.

24: 8 = 3 y el residuo es cero.

Las aplicaciones de mínimo común múltiplo las manejaremos en el tema de números racionales.