União –Considere 2 grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2) onde V1 e V2 são conjuntos distintos –A união G1 G2 é formada pelo grafo com conjunto de vértices V1 V2.

União

– Considere 2 grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2) onde V1 e V2 são conjuntos distintos

– A união G1 G2 é formada pelo grafo com conjunto de vértices V1 V2 e conjunto de arestas E1 E2

Operações com grafos

Exemplo

G: V1={1,2} e E1={(1,2)}H: V2={3,4} e E2={ }

G H: V={1,2,3,4} e E={(1,2)}

Soma

– Considere 2 grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2) onde V1 e V2 são conjuntos distintos

– A soma G1 + G2 é formada por G1 G2 e de arestas ligando cada vértice de G1 a cada vértice de G2.

Exemplo

G: V1 = {1,2} e E1 = {(1,2)}H: V2 = {3,4} e E2 = { }G + H: V={1,2,3,4} e E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

1 2

G H

3 4

G H G + H

1 2

3 4

Exemplo

1 2

3 4

União e Soma

– Podem ser aplicadas a qualquer número finito de grafos

– São operações associativas

– São operações comutativas

Remoção de Aresta

– Se e é uma aresta de um grafo G, denota-se G-e o grafo obtido de G pela remoção da aresta e

– Genericamente, se F é um conjunto de arestas em G, denota-se G-F ao grafo obtido pela remoção das arestas em F.

Remoção de Vértice

– Se v é um vértice de um grafo G denota-se por G-v o grafo obtido de G pela remoção do vértice v conjuntamente com as arestas incidentes a v.

– Genericamente denota-se G-S ao grafo obtido pela remoção dos vértices em S, sendo S um conjunto qualquer de vértices de G.

Contração de aresta

– Denota-se por G/e o grafo obtido pela contração da aresta e.

– Isto significa remover e de G e unir suas duas extremidades v,w de tal forma que o vértice resultante seja incidente às arestas originalmente incidentes a v e w.

Embora seja conveniente a representação de grafos através de diagramas de pontos ligados por linhas, tal representação é

inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um

computador

Representação de grafos

Uma maneira simples de armazenar grafos, é listando os vértices adjacentes a cada vértice do grafo

u: v,yv: u,y,ww: v,x,yx: w,yy: u,v,w,x

u

y v

x w

Representação de grafos

Matriz de adjacência

Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao vértice j

Matriz de incidência

Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n} e arestas {1,2,3,...,m}, sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é o número de vezes em que o vértice i é incidente à aresta j.

• Cadeia (= passeio)– Uma cadeia (walk) é uma seqüência

qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices.

– O conceito de cadeia vale também para grafos orientados, bastando que se ignore o sentido da orientação dos arcos.

A seqüência de vértices (x6, x5, x4,

x1) é um exemplo

de cadeia

Cadeias, caminhos, ciclos...

Cadeia elementar (= caminho = path) Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice

1 2

3 4

1 2

3 4

Cadeia de tamanho 21 2 4

Cadeia de tamanho 33 1 4 2

Cadeia simples (= trilha = trail)Uma cadeia é dita ser simples se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco).

1 2

3 4

1 2

3 4

Cadeia de tamanho 41 2 4 1 3

Cadeia de tamanho 51 2 4 1 3 2

• Caminho– Um caminho é uma cadeia na qual todos os

arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados

A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6,

x3)

é um exemplo de caminho

• Ciclo– Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o

vértice inicial é  o mesmo que o vértice final).

• Circuito

– Um circuito é um caminho simples e fechado. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados

A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4,

x1)

é um exemplo de circuito

Grafo Conexo

– Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G. .

G1 G2

Conectividade

Grafo desconexo

– Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia. .

Componente conexa

– Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices

– Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G.

Vértice de corteUm vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) provoca uma redução na conectividade do grafo.

X2 é um vértice de corte

PonteUma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção provoca uma redução na conectividade do grafo.

(X1,X4) é uma ponte

Grafo cíclico (ou grafo circuito)Um grafo conectado que é regular de grau 2 é um grafo cíclico (= ciclo)

Cn é um grafo cíclico com n vértices

Outros tipos de grafos

C6

Grafo caminhoO grafo obtido a partir de Cn através da remoção de um aresta é o grafo caminho em n vértices, Pn

C5 P5

Grafo rodaO grafo obtido a partir de Cn-1 através da ligação de cada vértice a um novo vértice v é um grafo roda em n vértices, Wn

Corresponde à soma de N1 com Cn-1

C5 W6

Grafos cúbicosSão grafos regulares de grau 3

O primeiro deles é conhecido como Grafo de Petersen

Exemplos de ciclos

1 2

3 4

1 2

3 4

Ciclo de tamanho 31 2 4 1

Ciclo de tamanho 31 2 3 1

• Grafo fortemente conexo– No caso de grafos orientados, um grafo é dito ser

fortemente conexo (f-conexo) se todo par de vértices está ligado por pelo menos um caminho em cada sentido

– ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito.

– Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de qualquer outro vértice do grafo.

•Componente fortemente conexaUm grafo G(V,A) que não é fortemente conexo é formado por pelo menos dois subgrafos fortemente conexos, disjuntos em relação aos vértices

Cada um destes subgrafos é dito ser uma componente fortemente conexa de G

Um grafo conectado G(V,A) é dito ser euleriano se existe um ciclo que contém todas as arestas de G.

Grafos Eulerianos

cadeia simples fechada – que não passa 2 vezes pela mesma aresta e termina no mesmo vértice

Grafo semi-eulerianoUm grafo conectado, não-euleriano G é semi-euleriano se existe uma cadeia simples contento todas as arestas de G

Teorema (Euler 1736)Um grafo conectado G é euleriano se e

somente se o grau de cada vértice de G é par

Prova: Ida: Seja G um grafo euleriano. Logo ele contém um ciclo euleriano. Por cada ocorrência de vértice desse ciclo, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do ciclo, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.

Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo. Tentemos, a

partir de vi, construir uma cadeia que não passa

duas vezes pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice v i

onde a cadeia vai terminar. Se essa cadeia, que chamaremos C1, contém todas as arestas de G,

temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1. No grafo

resultante G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1, senão o grafo não seria conexo.

Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1, obtendo assim um novo ciclo C2. A figura

abaixo mostra que dois ciclos que têm um vértice em comum podem formar um ciclo único: chegando no vértice comum em um dos dois ciclos, continuamos o percurso no outro ciclo. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um ciclo único que contém todas as arestas de G.

Algoritmo de HierholzerAlgoritmo para a construção de um ciclo

euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler

Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo

Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado

Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum