LK Mathe 12 Kepler 2006 LK Mathe 12 Kepler 2006 Charlotte Schmengler Charlotte Schmengler Ungewöhnliche Ungewöhnliche Trefferzahlen Trefferzahlen Testen von Testen von Hypothesen Hypothesen
Jan 15, 2016
LK Mathe 12 Kepler 2006LK Mathe 12 Kepler 2006Charlotte Schmengler Charlotte Schmengler
Ungewöhnliche Ungewöhnliche TrefferzahlenTrefferzahlen
Testen von Testen von HypothesenHypothesen
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100 mal Würfeln, Treffer: 6
• Welche Trefferzahlen sind ungewöhnlich, wenn p= 1/6 gilt?
• Welche Trefferzahlen sind nicht verträglich mit p=1/6 ?
• Bei welchen Trefferzahlen kann man verwerfen, dass der Würfel okay ist (Laplace-Würfel ist)?
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ToleranzgrenzeToleranzgrenze festlegenfestlegen
z. B.: Welche Trefferzahlen liegen außerhalb des 95%-Intervalls um
den Erwartungswert 16 2/3?Binomialverteilung der Trefferzahl einer Bernoullikette mit n=100, p=1/6
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
P(X=k)
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Welche Trefferzahlen liegen in Welche Trefferzahlen liegen in den Außenintervallenden Außenintervallen
links mit P(X links mit P(X ≤ k k11) = 2,5% ) = 2,5%
rechts mit P(X rechts mit P(X ≥≥ k k22) = 2,5% ?) = 2,5% ?
mit Tabelle oder GTR:mit Tabelle oder GTR:
kumulierte Binomialverteilung betrachtenkumulierte Binomialverteilung betrachten
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Binomialverteilung der Trefferzahl einer Bernoullikette mit n=100, p=1/6
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34
P(X=k)
P(X P(X ≤ 9) = 0,0219 9) = 0,0219 P(X P(X ≤ 23) = 0,9621 23) = 0,9621 0,0250,025 0,9750,975
P(X P(X ≤ 10) = 0,0427 10) = 0,0427 P(X P(X ≤ 24) = 24) = 0,97830,9783
P(X P(X ≤ 9) = 0,0219 letztmals < 2,5% 9) = 0,0219 letztmals < 2,5% P(X P(X ≥≥ 25) = 1-P(X 25) = 1-P(X ≤ 24) = 1-0,9783 = 0,0217 erstmals < 24) = 1-0,9783 = 0,0217 erstmals < 2,5%2,5%Echt außerhalb des 95%-Intervalls liegen also Echt außerhalb des 95%-Intervalls liegen also
alle Trefferzahlen bis einschließlich 9 und ab 25 !alle Trefferzahlen bis einschließlich 9 und ab 25 !
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Binomialverteilung der Trefferzahl einer Bernoullikette mit n=100, p=1/6
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 4 7 10
13
16
19
22
25
28
31
34
P(X=k)
10 10 ≤ X X ≤ 24 ist verträglich mit p= 1/6, 24 ist verträglich mit p= 1/6, das heißt aber nicht, dass p=1/6 unbedingt das heißt aber nicht, dass p=1/6 unbedingt
stimmen muss.stimmen muss.
Ein Gegenbeispiel reicht:Ein Gegenbeispiel reicht:X=20 ist auch verträglich mit p= 0,2X=20 ist auch verträglich mit p= 0,2
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Rückblick• Welche Trefferzahlen sind
ungewöhnlich, wenn p= 1/6 gilt?• Welche Trefferzahlen sind nicht
verträglich mit p=1/6 ?• Bei welchen Trefferzahlen kann
man verwerfen, dass der Würfel okay (ein Laplace-Würfel) ist?
Auf 95%-Niveau sind dies die Trefferzahlen
aus der Menge V = {0 … 9, 25 … 100}
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1.Bei wie vielen 6en in 100 Würfen verwerfen wir in diesem Beispiel die Hypothese, dass der Würfel okay ist?
2.Wie groß ist bei p=1/6 die Wahrschein-lichkeit dafür, dass die Trefferzahl im Verwerfungsbereich landet?
3.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir die Hypothese verwerfen, obwohl der Würfel okay ist?
Drei Fragen:Drei Fragen:
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Ausblick: Testen von Hypothesen heißtSchauen, wann man
die Nullhypothese (den „Normalfall“ p=p0)
mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit, z. B. 5%,
verwerfen kann
zugunsten einer neuen Hypothese.
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Aufgaben: Testen von HypothesenQuelle: PROST-Lehrgang von Heinz Böer, MUED e. V.
Vorgehensweise bei einseitigen Tests: Blatt 22
Kindersicherheit und Schnupfen: Blatt 23
zweiseitige Tests: Blatt 25, Übungen 1, 2, 6
einseitige Tests: Blatt 25, Übungen 3, 4, 5
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Danke für Eure Danke für Eure Aufmerksamkeit!Aufmerksamkeit!