Ung Dung Tich Phan

7/21/2019 Ung Dung Tich Phan

http://slidepdf.com/reader/full/ung-dung-tich-phan 1/33

NG DNG CA TÍCH PHÂN

TS. Lê Xuân Đi

Trưng Đi hc Bách Khoa TP HCM

Khoa Khoa hc ng dng, b môn Toán ng dng

Email: [email protected]

TP. HCM — 2013.

TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 1 / 1



Tính din tích min phng Công thc tính din tích min phng

Đnh lýCho f (x ) kh tích trên [a, b ]. Khi đó din tíchmin phng gii hn bi y = f (x ), x = a, x = b ,

trc Ox là

S =

b a |f (x )|dx .





Đnh lý

Nu min phng D gii hn bi y = f (x ), y = g (x ), x = a, x = b thì

S =

b a |f (x )− g (x )|dx .






C




1 Tính yu t din tích dS 2 Ly tng suy rng các dS

Chia [a, b ] thành n đon bi phân hocha = x 0 < x 1 < . . . < x i −1 < x i < . . . < x n = b . Yu tdin tích

S i = [f (ξ i )− g (ξ i )].∆x i

Din tích hình phng

S = limn→∞

ni =1

S i = limn→∞

ni =1

[f (ξ i )− g (ξ i )].∆x i

= b

a

dS = b

a

[f (x )

−g (x )]dx


Tí h di í h i h Ví d



Tính din tích min phng Ví d

Ví d

Tính din tích hình phng, gii hn bi y = 4x − x 2 và trc Ox

Phương trình hoành đ giao đim ca y = 4x − x 2 và trc Ox

4x − x 2 = 0 ⇔x = 0

x = 4


Tí h di tí h i h Ví d




S =

4

0

(4x − x 2)dx =

2x 2 − 1

3x 3

4

0

= 32

3






Tìm din tích hình phng gii hn bi y = (x − 1)2 và

x 2

− y 2

2 = 1






Phương trình hoành đ giao đim ca parabol vàhyperbol

x 2− (x − 1)4

2 = 1 ⇔ x 4− 4x 3 + 4x 2− 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(

x − 3)(

x 2

+ 1) = 0 ⇔

x = 1

x = 3

S =3

1

[

2(x 2 − 1)− (x − 1)2]dx =

=√ 2

2

x √ x 2 − 1 + ln |x +√

x 2 − 131− 1

3

(x − 1)3

31

=

= 10

3

+

√ 2

2

ln(3 +√

8)


Tính din tích min phng Bài tp



Tính din tích min phng Bài tp

Bài 1.Tính din tích min phng gii hn bi y = x − x 2, y = x √ 1− x


Th tích ca vt th tròn xoay Công thc tính th tích ca vt th tròn xoay




Đnh lý

Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang cong 0 y f (x ), a x b quanh trc Ox là

V x = π

b a

f 2(x )dx .






1

Tính vi phân th tích dV : ng vi vi phân dx ta có 1 vt th vô cùng bé là 1 lát mng, cóth coi là hình tr đáy S (x ) và chiu cao dx .

Do đó dV = S (x )dx 2 Ly tng suy rng

V =

b a dV =

b a S (x )dx = π

b a f

2

(x )dx






Đnh lý

Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang

cong 0 x g ( y ), c y d quanh trc Oy là

V y = π

d c

g 2( y )dy .





y g y

Đnh lý

Th tích ca vt th to bi khi quay hình thang

cong 0 y f (x ), a x b quanh trc Oy là

V y = 2π

b a

xf (x )dx .





y g y

1 Tính yu t th tích dV : ta hình dung lp

hình hp này có đáy là tm hình ch nht vichiu rng là f (x ) chiu dài là 2πx và chiucao dx . T đó

dV = 2πxf (x )dx

2 Ly tng suy rng

V =

b

a

dV = 2π

b

a

xf (x )dx


Th tích ca vt th tròn xoay Ví d



Tính th tích vt th tròn xoay, khi quay hìnhphng gii hn bi y 2 = (x

−1)3, y 0 và x = 2,

quanh trc Ox .

V = π

2

1 y 2

dx = π

2

1 (x − 1)3

dx =

= 1

4π (x − 1)4

21 =

π

4TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) NG DNG CA TÍCH PHÂN TP. HCM — 2013. 16 / 1

Th tích ca vt th tròn xoay Ví d



Ví dTính th tích vt th tròn xoay, khi quay hình

phng gii hn bi y = x 2, x = 1, x = 2, y = 0quanh trc Oy




Th tích ca vt th tròn xoay Bài tp



Bài 1

Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quaymin phng gii hn bi y = x 2, y = 0, x + y = 3

quanh trc Ox

Bài 2.Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quay

min phng gii hn bi y = ln x , y = 0, x = 1, x = 2 quanh trc Ox . ĐS.

V x = 2π ln2 2− 4π ln 2 + 2π.


Th tích ca vt th tròn xoay Bài tp



Bài 3Tính th tích vt th tròn xoay to nên khi quay

min phng gii hn bi y = x + arctan x , y = x − arctan x , x = 0, x = 1

quanh trc Ox . ĐS. V x = π2 − 2π.


Tính đ dài cung Công thc tính đ dài cung



Đnh lýCho cung AB có phương trình y = f (x ),

a

x

b . Khi đó đ dài cung AB là

L =

b a

1 + f 2(x )dx .





Chia đon [a, b ] bi nhng đimA = M 0,M 1, . . . ,M i

−1,M i , . . . ,M n = B . Đ dài

cung M i −1M i là

Li =

(x i

−x i −1)2 + ( y i

− y i −1)2





Theo đnh lý Lagrange, ta có

y i − y i −1 = f (ξ i )(x i − x i −1) = f (ξ i ).∆x i ,

ξ ∈ (x i −1, x i ). Khi đó đ dài ca c cung AB làL = lim

n→∞

ni =1

Li = limn→∞

ni =1

1 + (f (ξ i ))2∆x i =

=

b

a

1 + f 2(x )dx


Tính đ dài cung Ví d



Ví d

Tính đ dài cung y =

x 2

2 −ln x

4 , 1 x 3.


Tính đ dài cung Ví d



Ta có f (x ) = y = x − 1

4x

L = 3

1 1 + x −

1

4x 2

dx = 3

1 x 2 + 1

16x 2 +

1

2dx .

=

3

1

4x 2 + 1

4x dx =

x 2

2 − 1

4 ln |x |

3

1

= 4 + 1

4 ln 3


Tính đ dài cung Bài tp



Bài 1Tính đ dài cung y =

x 3

12 +

1

x , 1 x 4. ĐS

25

6

Bài 2

Tính đ dài cung y = ln(1− x 2),−1

2 x

1

2.

ĐS. 2 ln 3− 1


Tính din tích mt tròn xoay Công thc tính din tích mt tròn xoay



Đnh lýDin tích mt tròn xoay to bi khi quay cung

tròn y = f (x ), a x b quanh trc Ox là

S = 2π

b a |

f (x )

|

1 + f 2(x )dx


Tính din tích mt tròn xoay Công thc tính din tích mt tròn xoay



1 Yu t din tíchdS = 2π|f (x )|d = 2π|f (x )| 1 + f 2(x )dx

2 Din tích mt tròn xoay là

S =

b a

dS = 2π

b a

|f (x )|

1 + f 2(x )dx


Tính din tích mt tròn xoay Ví d



Ví dTính din tích b mt tròn xoay to bi khi quay

cung y = sin 2x , 0 x π2 quanh trc Ox





y = 2 cos 2x . Khi đó

S = 2π

π/2

0

sin2x √

1 + 4 cos2 2xdx .

Đt t = 2 cos 2x ⇒ dt = −4sin2xdx ⇒sin2xdx =

−

1

4

dt , x 0 π

2

t 2 −2

.





Vy

S = 2π

−

2

2√ 1 + t 2

−1

4

dt =

=

π

2

2

−2√ 1 + t 2dt =

= π

2

t

2

√ 1 + t 2 +

1

2

ln(t +√

1 + t 2)

2

−2

=

= π

2[2√

5 + ln(2 +√

5)]


Tính din tích mt tròn xoay Bài tp



Bài 1.Tính din tích b mt tròn xoay khi quay cung y =

√ x 2 + 4, 0 x 1 quanh trc Ox . ĐS.

π√

2

√

3 + ln 1 +√ 3√

2


Tính din tích mt tròn xoay Bài tp



THANK YOU FOR ATTENTION


Ung Dung Tich Phan

Documents