Une interpr´ etation particulaire ` a rebours de mesures de Feynman-Kac sur des espaces de trajectoires Pierre Del Moral INRIA Centre Bordeaux - Sud Ouest & Institut de Math´ ematiques de Bordeaux, ´ Equipe ALEA S´ eminaire du CMAP, 26 avril 2011 1 / 49
49
Embed
Une interprétation particulaire à rebours de mesures de ...people.bordeaux.inria.fr/pierre.delmoral/CMAP-2011.pdf · Une interpr etation particulaire a rebours de mesures de Feynman-Kac
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Une interpretation particulaire a rebours de mesures de Feynman-Kacsur des espaces de trajectoires
Pierre Del Moral
INRIA Centre Bordeaux - Sud Ouest & Institut deMathematiques de Bordeaux, Equipe ALEA
• Pour des modeles G = G θ lies a un θ ∈ R f := ∂∂θ log G θ
∂
∂θlog λθ 'n
1
n + 1
∂
∂θlogZθn+1 'N QN
n (F n)
44 / 49
Etats fondamentaux d’operateurs de Schrodinger
Modeles a temps continu
(M,G ) = (Id + ∆t L, e−V∆t) Q = Id + ∆t LV
avec l’operateur de Schrodinger
LV (f ) = L(f )− Vf
⇓
Valeur propre maximale et etat fondamental
−1
tlogE
(e−
∫ t0V (Xs )ds
)=
1
t
∫ t
0
ηs(V )ds ' λ = η∞(V ) ' 1
t
∫ t
0
ηNs (V )ds
etLV (h) = λ h & η∞ = Ψh(µ) 'n,N ηNn
[DM-Miclo, ESAIM 03; DM-Doucet SAA 04; M. Rousset SIAM 06]
45 / 49
Mathematiques financieres
Probabilites de ruine + defauts = Proba de depassement de niveaux
Gn(Xn,Xn+1) = eV (Xn+1)−V (Xn) favorise V (Xn+1) ≥ V (Xn)
Xn = Excursion niveau An−1 vers An ∪ B
Gn(Xn) = 1Xn atteint le niveau superieur An
• R. Carmona and S. Crepey. Interacting particle systems for theestimation of markovian credit portfolio loss distribution (2009).
• R. Carmona, J.-P. Fouque, and D. Vestal. Interacting particlesystems for the computation of rare credit portfolio losses. Financeand Stochastics, 13(4):613-633 (2009).
• + Fr. Patras Interacting path systems for credit portfolios riskanalysis. Recent Adv. in Credit Derivatives. Bloomberg (2010).
46 / 49
Mathematiques financieres - travaux en cours
Calcul de derivees par rapport a un parametre θ ∈ R lorsque
Qθn (xn−1, dxn) = Hθ
n (xn−1, xn) νn(dxn)
⇒ ∂
∂θE
fn(X θ0 , . . . ,X
θn )
∏0≤p<n
G θp (X θ
p )
∝ Qθn(fn × Γθn)
avec la fonctionnelle additive
Γθn(x0, . . . , xn) =∑
1≤p≤n
∂
∂θlog Hθ
p (xp−1, xp)
47 / 49
Mathematiques financieres - travaux en cours
Calculs de derivees de semigroupes (d = 1)
Pn(f )(x) := E (f (Xn(x)))
avecXn+1(x) = Fn(Xn(x),Wn) X0(x) = x
⇓∂Xn
∂x=∂Fn−1
∂x(Xn−1,Wn−1)
∂Xn−1
∂x=
∏0≤p<n
Gp(Xp,Wp)
et
∇Pn(f )(x) := Ex
∇f (Xn)∏
0≤p<n
Gp(Xp,Wp)
d > 1 Formules de FK non commutatives projections sequentielles surla sphere unite [J. Vanneste, Phys. Rev. E (2010)]
48 / 49
Mathematiques financieres - travaux en cours
Temps d’arrets optimaux
supT≤n
E
fT (XT )∏
0≤p<T
Gp(Xp)
Arret optimal: T ? = inf {0 ≤ p ≤ n : Up(Xp) ≤ fp(Xp)}avec l’enveloppe de Snell (Un = fn) :
Up(x) = fp(x) ∨∫
Qp+1(x , dy) Up+1(y)
= fp(x) ∨∫ηp+1(dy)
dQp+1(x , .)dηp+1
(y) Up+1(y)
' fp(x) ∨ ηNp (Gp)
∫ηNp+1(dy)
Hp+1(x , y)
ηNp (Hp+1(., y))Up+1(y)
Gn = 1 Grille Monte Carlo de Broadie-Glasserman (2004).