-
Undervisningsforløb om
befolkningssammensætning
Svend Runge Nielsen
Indhold
1 Præsentation 2
2 Lærerens udviklingsm̊al 2
3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet 2
4 Beskrivelse for forløbet 3
4.1 De enkelte moduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 34.2 Gruppedannelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4
5 Udvalgte pædagogiske observationer 5
5.1 Arbejdet i grupperne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 5
6 Elevernes udbytte i forhold til intentionerne 8
7 Hvad jeg selv har lært 10
8 Samarbejde med andre fag 11
A Elevnote om befolkningssammensætning 13
A.1 Lidt grundlæggende notation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 13A.2 Et eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 14A.3 Befolkningspyramider . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 14A.4 Dødelighed og fødselsrate . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A.4.1 Dødelighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 14A.4.2 Fødselsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 16
B Elevarbejdsark 1 17
C Elevrarbejdsark 2 18
D Eksempler p̊a befolkningspyramider 19
1
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
E Regnearksskabelon 20
1 Præsentation
Denne rapport beskriver et undervisningsforløb matematik, som
det blev udførti en 1. g klase. Klassen havde matematik p̊a C-
niveau og gik i en sprogligt orien-teret studieretning. Klassen
havde samfundsfag som et af sine studieretningsfagog derfor fandt
jeg det naturligt at tage emnet om befolkningssammensætningop til
behandling, idet emnet ogs̊a nemt kunne indg̊a i et tværfagligt
samarbejdemed samfundsfag. Selv om emnet afvikles som et rent
matematikforløb, vil dervære en hvis transfer-værdi for
eleverne.Det beskrevne forløb er rent matematikforløb, og der havde
ikke været koordi-neret med klassens undervisning i samfundsfag.
Dette skyldes alene, at der medden tidsmæssige placering af dette
forløb, ikke var mulighed for at lave et samletforløb. Det er dog
tanken, at der i tilsvarende fremtidige forløb kan det indg̊a iet
samarbejde med samfundsfag.Projektforløbet forgik over en periode
p̊a 2 undervisningsuger med i alt 6 mate-matik moduler á 95
minutters varighed.
2 Lærerens udviklingsm̊al
Som lærer var det mit m̊al med forløbet, at opn̊a erfaringer med
matematiskmodellering/simulering af autentisk data materiale og
blive bedre til at formidlematematiks anvendelsesmuligheder.Desuden
var det min mening at ”slippe”eleverne løs og give dem flere
frihedsgra-der til selv at modellere. Specielt i den sidste halvdel
af forløbet skulle elevernehave mulighed for helt selv at udforske
deres model og eksperimentere med den.Denne form for undervisning
var ikke noget, som jeg havde praktiseret meget meddette matematik
hold. Dette skyldes til dels at jeg først ville give dem et
godtfagligt fundament inden, jeg kaster dem ”ud p̊a dybt vand”. Jeg
vil dog vedg̊a, atman godt kan eksperimentere med matematik uden at
det nødvendigved behøverat foreg̊a ”i den dybe ende af
svømmebassinet”.Jeg h̊abede ogs̊a, at jeg med dette forløb kunne
gøre nogle pædagogiske erfaringermed h̊andtering af den frie
projekt-arbejdsform s̊aldes, at man p̊a den ene sidelader eleverne
arbejde selvstændigt og selv lade dem n̊ar frem til nogle
resultater,men at man samtidigt ogs̊a søger for at eleverne rent
faktisk lærer det de skal.
3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet
Undervisningsforløbet havde flere m̊al for eleverne. Det var min
mening, at skulleeleverne stifte bekendtskab med en mere
anvendelsesorienteret matematik end
2
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
den, de er vant til.Klassen blev som nævnt undervist p̊a
C-niveau i en sprogligt orienteret studieret-ning. Det faglige
niveau i klassen var noget differentieret idet, en forholdsvis
stordel at klassens elever var fagligt svage samtidigt samtidigt
med, at der sidder enh̊andfuld elever som har godt fat om
matematikken p̊a det p̊agældende niveau.Det var tanken med forløbet
at give alle elever en oplevelse af, at de kunne an-vende matematik
til noget virkeligt og selv finde ud af hvad man kan bruge
denkonkrete model til - hvad kan modellen beskrive og hvad den ikke
kan beskrive.Desuden skulle eleverne lære hvordan, man ved hjælp af
et IT-værktøj (i dettetilfælde et regneark) kan bruge en matematisk
model til at beskrive et stykkevirkelighed og dermed bruge modellen
til at opn̊a kvalificeret viden om dennevirkelighed, som kan bruges
i andre sammenhænge (samfundfag etc.).
4 Beskrivelse for forløbet
Emnet, som forløbet drejede sig om var befolkningssammensætning
og befolk-ningsudvikling. Mere præcist om befolkningssammensætning
i alder og hvordandenne sammensætning udvikler sig med tiden.
Eleverne skulle blandt andet vedhjælp at regneark konstruere
befolkningspyramider, som kunne give et realistiskbud p̊a en
befolkningssammensætning samt dennes tidslige udvikling.Eleverne
skulle afslutte forløbet med et rapport, hvori de skulle gøre rede
for deres”opdagelser”i forbindelse med modelleringen af en
befolkningssammensætning.Selve opgaveformuleringen kan ses p̊a
elevarbejdsark 2 (bilag C)Eleverne kunne benytte sig at skolens
Fronter-systema til at uploade og gemmederes elektroniske arbejde.
Ligeledes skulle eleverne aflevere deres rapport samttilhørende
regneark i elektronisk form via Fronter.
4.1 De enkelte moduler
De 6 moduler, som forløbet var fordelt p̊a, var spredt ud p̊a 2
uger med en mellem-liggende uge i mellem. Grunden hertil var, at
eleverne havde en mellemliggendeuge med AT-forløb, hvor det ikke
var matematik p̊a skemaet. Dette var klartikke hensigtsmæssigt, men
det var nu en gang den eneste mulighed for at
afvikleforløbet.Herunder følger en kort beskrivelse af indholdet i
de enkelte moduler.
1. Introduktion og teorigennemgang.
De skrevne noter (bilag A) om befolkningsudvikling blev
udleveret og de-le af teorien blev gennemg̊aet kursorisk. Der blev
arbejdet med notationog om hvordan, man kan opdele en befolkning i
grupper. Eleverne blev
aFor en beskrivelse af Fronter henvises til
http://www.fronter.com.
3
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
introduceret for befolkningspyramider som metode til at opstille
en befolk-ningssammensætning p̊a en overskuelig m̊ade.
2. Teorigennemgang og øvelser
Med noten som lektie til dette modul blev begreber som
dødelighed ogfødselrate gennemarbejdet med sm̊a
beregningseksempler. Desuden prøvedeeleverne at fremskive en
befolkning ud fra en kendt dødelighed og fødselsrate.
3. Introduktion til model i regneark
Eleverne skulle i dette modul arbejde med regneark. De fik
udleveret en ska-belon (bilag E), som viste en
befolkningssammensætning og dennes frem-skrivning 15 gange. Et
arbejdsark blev givet til eleverne (bilag B), som de igrupper
skulle arbejde med og gøre færdigt til næste modul (som l̊a en
goduge senere pga. AT-uge).
4. Arbejde med model
Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet p̊a
arbejds-ark (bilag C)
5. Arbejde med model
Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet p̊a
arbejds-ark (bilag C)
6. Opsummering og ”Gæt et land-konkurrence
Eleverne skulle til dette modul have gjort deres arbejde med
modellen fær-dig. Eleverne fik i grupperne udleveret et ark med i
alt 6 befolkningspyra-mider for 6 forskellige lande. Herefter fik
eleverne ca. 40 minutter til at laveen mini-beskrivelse af landene,
hvor de forsøge at bestemme hvilke typelande, der var tale om - og
evt. gætte hvilke lande der var repræsentereti de 6 pyramider.
Mini-beskrivelserne blev herefter kigget igennem af læ-reren imens
eleverne fik mulighed for at finpudse deres arbejde med
deresbefolkningsmodel. I den sidste del af modulet blev vinderen af
”Gæt etland-konkurrencen bekendtgjort og præmieret Modulet blev
rundet af meden klassedisskusion om, hvad man kan læse ud af
befolkningspyramider. Derblev vist eksempler p̊a hvordan en
befolkningssammensætning kan ændresig i tidb.
4.2 Gruppedannelse
I størstedelen af forløbet (modul 3-6) skulle eleverne arbejde
sammen i sm̊a to-mandsgrupper. Størrelsen af grupperne blev sat til
to, da to personer fint kan sidde
bDer blev brugt animerede modeller fra US Census som kan findes
p̊ahttp://www.census.gov/ipc/www/idbpyr.html
4
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
ved én computer og arbejde, hvorimod det bliver tiltagende mere
besværligt desflere personer der er i gruppen. Jo mindre grupper
man bruger, jo bedre undg̊arman ogs̊a, at elever bevidst eller
ubevidst kommer til at sidde ”p̊a sidelinjen”ogikke deltage
passende i gruppens arbejde.Klassen bestod af 28 elever, hvilket
betød at 14 grupper skulle dannes. Jeg valgteat inddele eleverne
primært efter fagligt standpunkt og sekundært efter enga-gement og
aktivitet i undervisningen. Grupperne blev lavet s̊aledes at elever
p̊asamme (eller næsten samme) faglige niveau blev sat sammen og, at
elever medsamme aktivitet/fagligt engagement kom i samme gruppe.
Grunden til denneinddeling skete ud fra den betragtning, at ”lige
børn leger bedst”. Alts̊a at eleverp̊a samme faglige niveau vil f̊a
en jævnbyrdig arbejdsdeling Desuden kan mansom lærer g̊a ud fra, at
de to elever i gruppen kan forst̊a hinanden p̊a det fagligeplan og
ikke snakker over (eller under) hovedet p̊a hinanden. Denne
opdeling igrupper blev ogs̊a udført med den bagtanke, at grupper
med fagligt stærke eleverville være mere eller mindre selvkørende,
s̊aledes at læreren ville have mere tidtil at tage sig af fagligt
svage grupper.
5 Udvalgte pædagogiske observationer
Jeg har valgt at koncentrere mig om elevernes gruppearbejde og
afrapportering.Grunden hertil er, at det var her at eleverne blev
”sluppet”løs og mere ellermindre skulle arbejde p̊a egen h̊and. Jeg
var spændt p̊a at se hvorledes de styrededette ansvar, og hvordan
de havde det med at arbejde selvstændigt med et - fordem svært fag
- som matematik.
5.1 Arbejdet i grupperne
Gruppeinddelingen viste sig overordnet set at være passende. Der
opstod dognogle problemer idet nogle enkelte elever var fraværende
og der derfor m̊atteflyttes rundt p̊a nogle grupper og at to
grupper kom til at best̊a af 3 elever.Eleverne havde tilsyneladende
ikke problemer med gruppedannelsen. Det var dogheller ikke
forventet, da klassen fungerede ganske fint socialt
set.Gruppestørrelsen p̊a 2 elever virkede tilsyneladende ogs̊a
passende.Eleverne startede med elevarbejdsark 1. Eleverne havde
tidligere arbejdet medregneark i forbindelse med regression og før
det i forbindelse med introduktion tilIT. Jeg havde derfor regnet
med at eleverne i det mindste havde grundlæggendestyr p̊a
opbygningen af et regneark og hvordan man skal læse formlerne i
etregneark. Det viste sig derimod desværre at en stor del af
eleverne havde sværtved at forst̊a regnearkets opbygning.Denne
usikkerhed gav sig udslag i at eleverne stillede meget konkrete
spørgsm̊altil hvordan de skulle forst̊a en formel eller f̊a
indtastet deres beregningsudtryk iregnearket. Spørgsm̊al som ”Hvad
betyder =($B$8*C17)/2 ?”og ”Skal vi rette alle
5
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
formlerne til?”kom fra flere grupper. Disse spørgsm̊al tydede
p̊a, at eleverne havdeglemt deres basale viden om regneark, hvilket
gjorde arbejdsprocessen unødigtbesværlig. Det var jo ikke meningen
af eleverne skulle bruge kræfter for at laveet regneark, som netop
var tænkt som en hjælp til eleverne.Det viste sig at problemer med
regneark kom til at skygge en del for projektetsegentlige
udfordring - modellering af en befolkningssammensætning, hvilket
varærgerligt. Moralen m̊a naturligvis være, at man som lærer sikrer
sig, at eleverneer klædt ordentligt p̊a til brug af regneark, hvis
dette redskab skal i spil. Dettekan evt. gøres ved et placere
genopfriskningsmodul inden forløbet startes.Elevernes arbejde med
det andet elevarbejdsark, som ogs̊a beskrev produktkravettil
rapporten, var delt en flere trin. Det startede en kort
regneopgave, hvor eleverneskulle ændre parametre som fødselsrate og
dødelighed for at ændre p̊a antalletaf individer i populationen.
Denne øvelse klarede eleverne storset alle sammen.Eleverne kunne
hurtigt se, at man ændrede befolkningens størrelse, n̊ar manændrede
p̊a fødselsrate og dødelighed. De to ting som eleverne spekulerede
mestp̊a var, om de skulle finde to eksakte tal, som gav det rigtige
antal menneskerefter 10 tidsskridt og om antallet af mænd/kvinder
skulle være præcis 11000henholdsvis 16500 mennesker, eller om de
m̊atte nøjes med antal, som l̊a tætp̊a disse værdier (afrunde
resultaterne til 11000 og 16500). Grunden til denneforvirring var
nok, at eleverne havde været vant til at matematikresultater
erpræcise og eksakte. Denne opfattelse kolliderede med denne
opgave, idet man ikkelige kan f̊a eksakt 11000 individer ved blot
at vælge et par ”gode/nemme”tal fordødelighed og fødselsrate. Da
dette gik op for eleverne accepterede de dog ogs̊a, atman kunne
”nøjes”med at angive et passende talpar, s̊aledes at
befolkningstalletstemte nogenlunde.En anden skæg observation var,
at en gruppe ikke brød sig om at ændre p̊a toparametre p̊a én
gang. istedet satte de dødeligheden til eksakt 0 og ændredeherefter
kun p̊a fødselsraten indtil de fik et resultat, som var tæt ved
11000henholdsvis 16500. Man kan sige at dette ikke giver et
realistisk resultat, menomvendt viser det ganske godt, hvordan man
kan reducere problemet til kun atskulle finde en værdi for én
parameter.Efter denne introducerende opgave, som skulle gøre
eleverne opmærksomme p̊ahvordan de to parametre har indflydelse p̊a
modellen, var det tiden til at eleverneselv skulle ændre p̊a
modellen for at tilpasse den mere til den virkelige
verden.Størstedelen af eleverne fandt p̊a at ”virkeliggøre”deres
model ved at varieredødsraten efter alder og tilføje fødselsrater
(> 0) for kvinder i andre aldersgrupperend de 21-30 årige. Der
opstod igen problemer med at skrive til tilføjelser ind
iregnearkets formler og læreren m̊atte bruge meget tid p̊a ”bare”at
hjælpe elevernemed at bruge regnearket fornuftigt. Det er dog mit
indtryk, at eleverne havde enmatematikforst̊aelse af formlerne -
problemet var blot at omsætte formlerne tilberegninger i
regneark.Ikke alle grupper af elever fik gennemarbejdet det andet
elevarbejdsark heltfærdigt- mest p̊a grund af de ovenfor anførte
problemer med regneark. Men nogle
6
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
grupper fik tygget sig igennem, og det var interessant at se
hvilke ting de valgteat lægge vægt p̊a i deres model.Flere grupper
valgte at tage temaet sygdom op i deres model. Alvorlige
(fatale)sygdommen som AIDS og fugleinflueza blev forsøgt
modelleret. Det blev typiskgjort ved at eleverne øgede dødsraten
for en bestemt befolkningsgruppe (ForAIDS var det personer i den
seksuelt aktive alder) og for flugleinfluenza blevdødsraten blot
øget dramatisk for alle befolkningsgrupper. Kinas 1-barnspolitkvar
ogs̊a et tema hos nogle grupper.Nedenst̊aende citat er taget fra en
gruppe, som har overvejet betydningen for-skellige ting. Det viser,
at de har forst̊aet hvordan modellen skal bruges til ath̊andtere de
fænomener de nævner (omend man kan diskutere realismen i dem).
”En masse ting har betydning for en befolknings udvikling. Det
kanblandt andet være, AIDS epidemier i Afrika, her ville det
primærtvære de unge mellem 11-20 der ville dø, dette vil sige at
dødelighedenville være noget højere i denne aldersgruppe. I Kina er
der mangebørn der dør p̊a grund af børnearbejde, her ville
dødeligheden i al-dersgruppen 0-10 og 11-20 været høj. Gamle
mennesker i Afrika leverikke særlig længe fordi der ingen mad er,
s̊a de sulter.”
Det var ogs̊a et gennemg̊aende træk, at eleverne nogle gange
tænkte for megetmatematik og fokuserede s̊a meget p̊a deres
formler, at de helt glemte at tænkeover, om deres antagelse havde
været realistiske, hvilket følgende citat illustrerer.
”Vi laver tre nye fødselsrater for aldersgrupperne 11-20, 21-30
og 31-40. De nye fødselsrater bliver nu 5, 5,2 og 4,9. derefter
sætter vi demind i denne formel,
=($B$24*C12)+($B$25*C13)+($B$26*C14)/2. Det-te viste at der blev
født 20.750 børn, hvilket svarer til vores teori omat der blev født
utroligt mange børn før i tiden.”
Her ser man, at eleverne i deres iver efter at simulere mange
fødsler ikke overvejerat deres formel betyder, at kvinder p̊a 40
år i gennemsnit har født 15,1 børn -hvilket m̊a siges at være lige
i overkanten.Nogle elever har dog overvejet dette oglaver en mere
realistisk begrundet fødselsrate.
”I det skema vi har f̊aet udleveret, er det antaget at det kun
er kvinderi alderen 21-30 år der føder børn. Dette interval er for
snævert, derforantager vi at gruppen bør ændres til at have tre
aldersgrupper. Defølgende grupper er:
Kvinder i alderen 11-20 år, der har en fødselsrate p̊a 0,01.
Kvinderi alderen 21-30 år, der har en fødselsrate p̊a 1,7. Kvinder
i alderen31-40, der har en fødselsrate p̊a 1”
Dette samme gør sig gældende med dødsrater, som stort set alle
elever har ændret,s̊aledes at denne ændrer sig med alderen.
7
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
”Iagttagelserne over dødeligheden bør ogs̊a ændres, da
sandsynlig-heden for at der dør lige mange i alle aldre ikke er
særlig stor. Viiagttager følgende:
Gruppen 0-10: Dødelighed = 0,015
Gruppen 11-20: Dødelighed = 0,014
Gruppen 21-30: Dødelighed =0,02
Gruppen 31-40: Dødelighed =0,02
Gruppen 41-50: Dødelighed =0,04
Gruppen 51-60: Dødelighed =0,1
Gruppen 61-70: Dødelighed =0,3
Gruppen 71-80: Dødelighed =0,4
Gruppen 81-90: Dødelighed =0,6
Gruppen 90 + : Dødelighed =0,8”
I ovenst̊aende kan man lægge mærke til sprogbruget ”...der dør
(ikke) lige mangei alle aldre...”. Her beskrives dødsraten, som
antal mennesker der dør. Men det erjo en brøkdel mennesker, som dør
ud af en given aldersgruppe. Denne mangel p̊apræcision er typisk
for elevernes beskrivelser. Det er klart noget man efterfølgendekan
tage op med eleverne. Samme eksempel illustrerer ogs̊a den detalje,
at ele-verne i denne gruppe ikke har overvejet at 20% af de
90-̊arige faktisk er udødeligeifølge deres model!
Det fremg̊ar ikke om eleverne checker deres bud p̊a fødsels og
dødsrater svarertil virkeligheden. Et par grupper snakkede dog
undervejs i forløbet om at ”hverkvinde i gennemsnit føder 1,7
barn”og at dette tal er lavt, da man jo skal op p̊aet tal, som er
større en 2 for at antallet af individer i populationen ikke
falder.Eleverne n̊aede faktisk ogs̊a frem til, at det ikke er nok
at den samlede fødselsrateblot er skarpt større end 2, men at dette
tal skal være større des større dødsraten erfor børn og unge
(fødedygtige) kvinder. Oplysningen om 1,7 barn havde elevernefra
samfundsfag, hvor de havde arbejdet med velfærdssamfundet som
emne.
6 Elevernes udbytte i forhold til intentionerne
N̊ar man kigger tilbage p̊a forløbet, kan man spørge sig selv om
man n̊aede de sat-te m̊al for elevernes udbytte. Her er svaret
b̊ade ja og nej. Eleverne fik et indblik ihvordan man kan modellere
en befolkningssammensætning. Det er ogs̊a tydeligt,at langt de
fleste elever har forst̊aet begreberne fødselsrate og dødsrate og
deresbetydning for beregning af antallet af personer i en given
aldersgruppe. De har
8
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
ogs̊a set hvordan lav fødselrate og lav dødelighed giver en mere
jævn befolknings-sammensætning end en høj fødselsrate og høj
dødelighed. S̊a den forst̊aelse hareleverne opn̊aet.Ved gennemgang
af elevernes rapporter tegnede der sig et tydeligt billede af
hvadeleverne havde - og ikke havde - f̊aet ud af forløbet.En del
grupper havde prøvet at modellere en mere realistisk model ved at
ændrep̊a fødsels- og døds-rater, hvilket ogs̊a fremg̊ar af
citaterne overfor i afsnit 5.1.Desudover havde flere grupper prøvet
at inddrage ting, som ikke lod sig modellere(ifølge eleverne). For
eksempel skriver en gruppe;
Befolkningsmodellen begrænser sig p̊a den m̊ade at man ikke
kankomme ud af den før man dør. Rejser man for eksempel ud af
landetbliver dette ikke registreret i modellen, og omvendt hvis man
rejserind i landet gør det samme sig gældende.
Denne gruppe har fundet en klar begrænsning i modellens
virkeomr̊ade. Der erikke noget i vejen for at medtage ind- og
ud-vandring, men dette vil kræve enmere kompliceret model, hvilke
eleverne erkender. Man kan alts̊a se, at modellensumiddelbare
begrænsninger kan ses af eleverne En anden gruppe skriver;
Modellens udregninger er ikke p̊alidelige, da der er visse
faktorer, denikke tager i betragtning, disse faktorer kan f.eks.
være: Der udbryderen 3. verdenskrig, som udsletter x antal
mennesker, man finder en kurmod nuværende helbredelige sygdomme,
eller en helt tredje mulighed,og s̊adan kan man blive ved
Denne gruppe ser ogs̊a modellens begrænsninger, men netop de
nævnte ting ermulige at modellere ved at dreje p̊a dødeligheden
og/eller ”dræbe”nogle individeri en årgang ved simpelthen at
fjerne ”x antal mennesker”fra data.Grunden til at eleverne ikke har
arbejdet mere med denne del at modelleringen,tror jeg skyldes dels
manglende ide til hvordan disse ting rent teknisk skulleindarbejdes
i modellen, dels manglende tid. Eleverne havde 2 moduler til
deresegen modellering, og en stor del af tiden i det første af
disse moduler gik med atopsummere/gentage arbejdet fra den forrige
uge, da langt de fleste elever havdebrug for at f̊a opfrisket
regnearket og dets virkem̊ade.Selve niveauet i grupperapporterne
var meget svingende. Dette forklares til delsmed den store
spredning i elevernes faglige niveau Der er ogs̊a en klar
sammen-hæng mellem grupperapporterne niveau og elevernes faglige
niveau - hvilket ikkeer overraskende. Mange har haft svært ved at
bygge videre p̊a modellen p̊a grundat regneark-problemer. Det betød
at en del besvarelser var meget overfladiske iforholde til den
matematiske model. En del skriver noget om, at de godt ved atditten
og datten har betydning for fødselsrate og dødsrater. Men de fører
det ikkeud i modellen, men nøjes med blot at nævne det i tekstdelen
i deres rapport.Min konklusionen i forhold til elevernes udbyttet
m̊a være, at elevernes modellerings-kompetence er blevet berørt,
men ikke brugt nok. Det har været for stor spredning
9
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
p̊a elevernes udbytte Det var forventet, at der ville være en
vis spredning, menikke at den ville være s̊a stor og at en relativ
stor del af eleverne ikke rigtigt f̊ar”fingrene i skidtet”.Hvad der
desværre ikke gik tilfredsstillende var konceptet om, at eleverne
selvskulle udbygge deres model. Eleverne kom generelt ikke langt
med denne del. Dervar synd, da det netop var disse punkter, som
skulle gøre dette forløb specieltved, at eleverne skulle arbejde
selvstændigt med modellen og gøre den til deresegen.
7 Hvad jeg selv har lært
Generelt m̊a man sige, at forløbet ikke levede helt op til mine
forventninger afelevernes udbytte. Og hvorfor s̊a ikke det? En af
grundende var, at eleverne havderegneark-problemer - det er derfor
klart, at man en anden gang m̊a sikre sig bedrep̊a den kant.En
anden grund til det lidt utilfredsstillende resultat var, at
forløbet nok harværet for løst styret i den sidste fase. Nogle
fastere rammer evt. med direktemodelforslag til hvad eleverne kunne
gøre for at lave en tilfredsstillende opga-ve/rapport kunne m̊aske
have forbedret kvaliteten af rapporterne.Jeg mener dog, at de
nævnte problemer med projektforløbet er overkommeligeat løse.Mulige
løsnings-forslag kunne være følgende;Man kunne overveje, om man
burde konstruere regnearket mere simpelt, og e-ventuelt skjule
nogle af de mellemliggende formler. S̊a ville eleverne kun
skullekoncentrere sig om at ”dreje”p̊a fødselsraten og dødsraten,
hvilket vil gøre heleprocessen mere overskuelig om samtidigt
koncentrere arbejdet mod det egentlige- modellering ud fra disse
parametre. Man kunne ogs̊a lave to eller flere regnearks-skabeloner
som svarede til forskellige komplekcitetsnivieauer for modellen.
Mendette vil omvendt tage initiativet fra eleverne og vanskeliggøre
deres mulighederfor selv at udvikle modellen og derved f̊a ejerskab
over den.Hvis forløbet igen skulle køre p̊a nogenlunde samme vis,
ville det nok egne sigbedre til et matematikhold p̊a et A- eller
B-niveau og placeret i 2. g, idet manm̊a formode, at eleverne da
har bedre forudsætninger for arbejdet med modellenog
regnearket.
Da eleverne ikke i forvejen havde arbejdet med modellering i s̊a
stor detalje, villedet m̊aske have været en ide at snakke om selve
det at modellere, inden de giki gang med deres projekt. Jeg valgte
ikke at gennemg̊a modelleringsteori medeleverne inden start. Det
gjorde jeg fordi, jeg gerne ville have, at eleverne selvskulle
finde ud af, hvordan man kunne bære sig ad. Jeg ville ikke give dem
en”opskrift”p̊a hvordan man modellerer. Set i bakspejlet er jeg
heller ikke sikker p̊a,at det ville være en god ide, da jeg mener
det er meget nemmere at teoretisereover modelleringsporcessen, hvis
man allerede har været igennem en af slagsen.
10
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
I stedet burde man nok have afholdt et mindre forløb om
modellering tidligerei undervisningen, som kunne bruges til en
efterfølgende diskussion med eleverneom processen.Der var meget
sparsomt hvad man som lærer fik snakket med sine elever
omkringselve modellen og dens begrænsninger, hvilket skyldes at
lærertiden blev opbrugttil at hjælpe eleverne med
regnearksproblemer. Det var ærgerligt, da man netopmed denne
”snak”kunne udfordre elevernes model (og dermed eleverne selv)
Detviste sig ogs̊a, at nogle grupper, bevidst eller ubevidst, havde
nok i blot at anvendeden simple model, og dermed ikke aktivt
byggede videre p̊a modellen.For at stimulere modelleringen og f̊a
eleverne til at overveje deres models række-vidde og realisme kunne
man ”pinde”det endnu mere ud i oplægget og direkteskrive, at
eleverne skulle lave en bestemt model med fastlagte parametre og
her-efter sammenligne den med virkelige data (og eventuelt angive
data med et linkellers tabel)Denne ekstra ”tagen h̊and om
eleverne”havde jeg bevidst holdt mig fra i forløbet.Jeg ville gerne
give slip p̊a eleverne og lade dem selv udvikle deres projekt.
Jegmener, at dette er vigtigt for lærigen, men m̊a samtidigt
erkende, at det kan væresvært af f̊a elevernes faglige m̊al og
studiekompetence-m̊al til at mødes p̊a dennem̊ade. Set i bakspejlet
ville det nok have være bedre om eleverne havde haftet
mini-modellerings-projekt som fundament for arbejdsprocessen et
stykke tidinden projektets start og/eller man burde flytte dette
forløb til 2. eller 3.g. Detsidste ville dog afskære 1.g elever med
”kun”C-niveau i matematik fra at prøveforløbet, da faget afsluttes
efter 1. g. Jeg kan ikke finde p̊a et Columbusæg, somangiver
løsningen p̊a dette. Jeg vil blot angive, at jeg tror et mere
stramt styretforløb eventuelt kombineret med et foreg̊aende
mini-model-forløb ville give etbedre resultat med denne type elever
(1. g i en sprogligt orienteret studieretning).
8 Samarbejde med andre fag
Eftersom faget geografi er blevet til natur-geografi med den nye
gymnasiereform,er befolkningsudvikling et emne, som hører til i
samfundsfag (eller evt. histio-rie). Som sagt havde denne klasse
samfundsfag som studieretningsfag, men tidengjorde det ikke muligt
at koordinere et tværfagligt forløb. Dette er ellers gan-ske
oplagt. Den p̊agældende klasse havde for eksempel i samfundsfag
behandletemnet ”velfærdssamfundet”. Diskussion om ældre-byrde,
faldende arbejdsstyrkemm. kan matematiseres i en befolkningsmodel
og simpel fremskrivning kan ansku-eliggøre de nævnte
problemstillinger. Netop ved at have et fag som samfundsfagmed, kan
det betyde at eleverne bliver bedre rustet til at stille
spørgsm̊alstegnved deres model. Dette skyldes, at man i samfundsfag
vil komme ind p̊a nogle defaktorer, som bestemmer en befolknings
udvikling. Heraf er nogle sikkert merekvalitative end kvantitative
og derfor svære at modellere. Eleverne vil dermedopdage hvor
kompliceret en model hurtigt kan blive, og det vil sætte deres
model
11
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
i perspektiv i forhold til virkeligheden. Omvendt vil det ogs̊a
være muligt, at ele-verne ser hvordan relativt simple modeller kan
beskrive en befolkning med visseantagelser. Eleverne vil dermed
anvende matematik p̊a et stykke virkelighed ogse matematikken
anvendt som et kraftfuldt redskab, som kan bruges i en
ikkeuvæsentlig beslutningsproces omkring eksempelvis
velfærdssamfundet.
12
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
A Elevnote om befolkningssammensætning
Denne note introducerer det emne, som vi i de følgende par uger
skal arbejdemed - Befolkningsvækst og befolkningssammensætning.
A.1 Lidt grundlæggende notation
Der er mange m̊ader man kan anskue en befolkning p̊a. I det
følgende vil vi gøredet simpelt og blot betragte en befolkning som
en samling individer med forskelligalder og køn.For at f̊a et bedre
overblik over en befolknings sammensætning, kan man
opdelebefolkningen i undergrupper. En befolkning kan eksempelvis
opdeles i undergrup-per s̊aledes, at alle individer i alderen 0-10
år sættes i en gruppe, alle i alderen11-20 år i en anden gruppe
osv. indtil alle individer er sat i en gruppe. Mankan lave en
yderligere opdeling efter køn. P̊a denne m̊ade kommer alle kvinder
isamme aldersinterval i samme gruppe osv.For at skrive det mere
præcist
Definition 1 En befolkningsgruppe best̊aende af individer i
alderen fra n til m
år skrives som Bn,m, hvor n ≤ m og n, m ∈ N.
Antallet af individer i gruppen Bn,m betegnes #Bn,m.
P̊a denne m̊ade vil en klasse af gymnasieelever i alderen 16-20
år skrives somB16,20 og #B16,20 = 28 vil betyde, at der er 28
elever i klassen.Hvis man vil lave en opdeling efter køn, er det
naturligt at anvende samme no-tation og blot betegne en gruppe af
samme køn med M eller K for henholdsvismænd og kvinder.
Gymnasieklassen fra før p̊a 28 elever kan opdeles i to grupper-
nemlig M16,20 og K16,20 hvor der gælder at #M16,20 = 6 og #K16,20 =
22.
Da hvert enkelt individ enten er en mand eller en kvindec, m̊a
der gælde følgendesammenhæng for en befolkningsgruppe
#Bn,m = #Mn,m + #Kn,m (1)
Der m̊a desuden gælde at
#Bn,m = #Bn,s + #Bs+1,m hvor n < s < m (2)
Det vil eksempelvis sige at antallet af individer i en
befolkningsgruppe best̊aendeaf individer i alderen 10 til 35 år
blot er summen af antallet af individer fra 10til 26 år og
antallet af individer fra 27 til 35 år. Dette skrives alts̊a
#B10,35 = #B10,26 + #B27,35
cI denne sammenhæng skelnes der ikke mellem mand og dreng eller
kvinde og pige.
13
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
A.2 Et eksempel
Lad os se p̊a et tænkt eksempel. Vi skriver en befolkning op p̊a
følgende m̊ade
Alder (̊ar) 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90
91-100Ialt 1501 1459 1245 1221 1178 889 644 349 129 35Mænd 781 758
648 612 577 435 289 139 39 12Kvinder 720 701 597 609 601 455 355
210 90 23
Tabel 1: Et eksempel p̊a en befolkning
Man kan alts̊a se at #B21,31 = 1245 og at #K31,60 = 609 + 601 +
455 = 1665
A.3 Befolkningspyramider
En anden m̊ade at repræsentere data fra tabel (1) p̊a er ved at
anbringe datai en s̊akaldt befolkningspyramide. En s̊adan pyramide
er opbygget ved at manplacerer de enkelte aldersgrupper oven p̊a
hinanden, s̊aledes at gruppen med deyngste individer ligger nederst
og oven p̊a dem ligger gruppen med de næstyngsteog s̊a videre
indtil man slutter at med gruppen af de ældste individer.
Pyramidener som regel todelt i en venstre side og i en højre side,
s̊a at man har individer afsamme køn i samme side.En s̊adan
pyramide ses i figur(1)
A.4 Dødelighed og fødselsrate
En befolkning er ikke en statisk størrelse, men udvikler sig
hele tiden. Noglebefolkninger vokser kraftigt med tiden og andre
ændrer deres sammensætningog/eller mindskes.I det følgende ser vi
p̊a en meget ididealiseretilfælde. Vi antager at b̊ade
befolk-ningssammensætningen og antallet af individer er konstant og
ikke ændrer sigmed tidend.
A.4.1 Dødelighed
Efterh̊anden som tiden g̊ar vil individerne i en befolkning dø
ud. Dette ganskenaturlige fænomen kan beskrives med en
sandsynlighed for at et individ dør i etaldersinterval i stedet for
at blive ældre og rykke op til et andet aldersinterval.Hvis man
kigger p̊a data fra tabel (1) ser man at #B51,60 = 889 og #B61,70 =
644.Man kan se, at der er 889 − 664 = 225 færre individer i
aldersgruppen med de
dDenne antagelse vil ikke gælde for virkelige befolkninger, men
egner sig godt til at intro-ducere nogle nye begreber som
fødselsrate og dødelighed.
14
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
Figur 1: Befolkningspyramide fra Ethiopien årgang 1995.
61-70 årige. Man kan ud fra disse tale beregne dødeligheden for
de 51-60 årige.Denne betegnes DB51,60 og findes idet
DB51,60 =#B51,60 − #B61,70
#B51,60(3)
=889 − 664
889= 0, 253 · · · ≈ 25, 3% (4)
Generelt defineres dødelighed p̊a følgende m̊ade
Definition 2 Dødelighed for en befolkningsgruppen Bn,m betegnes
DBn,m og an-
giver brøkdelen af individer i Bn,m som dør imens de befinder
sig i denne alders-
gruppe.
Der gælder at 0 ≤ DBn,m ≤ 1
Antallet af individer, som dør i en given aldersgruppe kan
beregnes som dødelighedenfor den p̊agældende gruppe multipliceret
med antallet af individer i gruppen.
Antal individer, som dør = DBn,m · #Bn,m (5)
Da antallet af individer, som dør m̊a være lig antallet af de
individer, som ikkerykker op i næste aldersgruppe m̊a der gælde
at
#Bn,m − #Bñ,m̃ = DBn,m · #Bn,m (6)
15
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
Idet ñ og m̃ angiver det umiddelbart efterfølgende
aldersinterval.UdUd fraormel (6) f̊ar man netop dødeligheden idet
at
#Bn,m − #Bñ,m̃#Bn,m
= DBn,m (7)
Man kan p̊a helt tilsvarende vis definere dødelighed for grupper
af mænd oggrupper af kvinder. Disse dødeligheder betegnes
henholdsvis DMn,m og DKn,m.
A.4.2 Fødselsrate
Nu er naturen s̊a snedigt indrettet, at en befolkning ikke uddør
efterh̊anden somtiden g̊ar. Dette skyldes at der fødes nye
individer. For at beskrive denne tilvæksti befolkningen benyttes en
s̊akaldt fødselsrate
Definition 3 Lad Fn,m betegne fødselsraten for en aldersgruppen
Bn,m.
Der gælder at 0 ≤ Fn,m og at antallet af nyfødte individer
produceret af gruppenBn,m er givet ved følgende udtryk
Antal nyfødte inindivider = Fn,m · #Bn,m
Det kan være besværligt at bestemme fødselsraten, da man ikke
umiddelbart kanse p̊a et datamateriale hvem (hvilke aldersgrupper)
der føder børn. Derfor gøresder ofte den antagelse at alle børn
fødes af en bestemt aldersgruppe. I eksempletfra tabel (1) kan man
passende antage at alle børn fødes af gruppen B21−30.Man kan under
denne antagelse bestemme fødselsraten for B21−30 idet
#B0−10 = F21,30 · #B21,30 ⇔ (8)
#B0−10#B21,30
= F21,30 ⇔ (9)
F21,30 =1501
1245= 1, 2056 · · · ≈ 1, 21 (10)
16
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
B Elevarbejdsark 1
Arbejdsark
I det føfølgendekal I arbejde to og to i grupperne, som der
fremg̊ar p̊a Fronter (semappen befolkning).
1. Log ind i Fronter og download regnearket
befolkningsudvikling.xls framappen befolkninge og gem det p̊a din
computer.
2. Åbn regnearket (Du kan anvende programmet Microsoft Excel
eller O-penOffice.orgf , som er installeret p̊a skolens
computere
3. Kig p̊a regnearket og uundersøghvordan formlerne i de enkelte
celler ser ud.
4. Åbn et nyt tekstdokument
5. Lav en opskrift, som forklarer hvordan man skal lave et
s̊adant regnearkud fra formlerne om befolkningsudvikling. I
opskriften skal man forklarehvorfor formlerne ser ud som de gør
(begrunde formlerne med den teori duhar fra noten om
befolkningssammensætning.
6. Opskriften skal gemmes som et tekstdokument. Upload den til
Fronter i diteget arkiv.
/Svend
eEller regnearket befolkningsudvikling.ods, hvis man hellere vil
bruge åbne dokument-formater (kræver et regnearksprogram, som
understøtter dette).
fOpenOfice.org er en gratis kontorpakke, som kan downloades
frahttp://da.openoffice.org
17
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
C Elevrarbejdsark 2
Arbejdsopgave
I skal lave en rrapportover nedenst̊aende punkter. Rapporten
skal indeholde be-skrivelser og de overvejelser, som ligger til
grund for jeres beregninger. Ved rap-porten vedlægges et regneark
som beskriver jeres model (som uploades i Fronteri den tilhørende
afleveringsmappe.
• Brug det udleverede regneark som en skabelon. Undersøg hvad
parametresom fødselsrate og dødelighed/overlevelsesrate betyder for
en befolkningssamlede størrelse. Giv eksempler p̊a hvad fødselsrate
og dødelighed skalvære hvis en befolkning skal henholdsvis
fordobles eller tredobles p̊a 10tidsskridt.
Modellen i den udleverede skabelon er simpel og tager ikke højde
for ændringeri fødselsrate og/eller dødelig n̊ar alderen for et
individ ændres.
• Overvej hvordan I kan lave en mere realistisk model og beskriv
hvor bereg-ningerne i regnearket skal ændres
• Lav ændringer i regnearket, s̊a I f̊ar en mere realistisk
model.
EEnormtmange ting har betydning for hvordan en befolkning
udvikler sig, og enstor del af disse er stort set umulige at
indbygge i en matematisk model for enbefolkningsudvikling.
• Giv eksempler p̊a ting, som betyder noget for en
befolknings-sammensætningog -udvikling. Overvej om I kan beskrive
disse eksempler i en model.
• Arbejd videre med modellen og prøv at indføre nogle af jeres
ideer i den.Husk at beskriv hvad I gør og hvordan I laver
beregningerne i jeres regneark.
• Undersøg hhvilkeoplysninger I kan f̊a ud af jeres
befolkningsmodeller. Harjeres model noglebegrænsningerr (begrund
jeres svar)?
/Svend
18
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
D Eksempler p̊a befolkningspyramider
Figur 2: Papir udleveret i forbindelse med ”Gæt et
land”konkurrencen.
19
-
Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006
E Regnearksskabelon
Figur 3: Regnearksskabelon udleveret til gruppearbejdet.
20