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Una (mica tanto) breve introduzioneai pianeti extrasolari.
Alla ricerca di nuovi mondi (abitabili) nella nostra
galassia?
M. Sansottera
Risultati ottenuti in collaborazione conA. Giorgilli, U.
Locatelli, A.-S. Libert e M. Volpi
Meccanica Celeste — Milano, 07.06.2018
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Cos’è un pianeta extrasolare?
Un pianeta che orbita attorno ad una stella diversa dal
Sole.
Cos’è un pianeta?
La definizione è mutata con il progredire delle conoscenze
scientifiche:
tutti gli astri che si muovevano (attorno alla Terra) rispetto
allestelle fisse (comete escluse);
modello eliocentrico: la Terra diventa un pianeta, il Sole e la
Lunacessano di esserlo;
telescopio: Urano, Nettuno e Plutone;
Plutone, un pianeta anomalo: orbita eccentrica ed inclinata
rispettoal piano dell’eclittica, massa pari ad un quinto della
Luna.
serve una definizione precisa: 24 agosto 2006 Assemblea Generale
diPraga dell’Unione Astronomica Internazionale.
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Cos’è un pianeta extrasolare?
Un pianeta che orbita attorno ad una stella diversa dal
Sole.
Cos’è un pianeta?
La definizione è mutata con il progredire delle conoscenze
scientifiche:
tutti gli astri che si muovevano (attorno alla Terra) rispetto
allestelle fisse (comete escluse);
modello eliocentrico: la Terra diventa un pianeta, il Sole e la
Lunacessano di esserlo;
telescopio: Urano, Nettuno e Plutone;
Plutone, un pianeta anomalo: orbita eccentrica ed inclinata
rispettoal piano dell’eclittica, massa pari ad un quinto della
Luna.
serve una definizione precisa: 24 agosto 2006 Assemblea Generale
diPraga dell’Unione Astronomica Internazionale.
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Cos’è un pianeta extrasolare?
Un pianeta che orbita attorno ad una stella diversa dal
Sole.
Cos’è un pianeta?
La definizione è mutata con il progredire delle conoscenze
scientifiche:
tutti gli astri che si muovevano (attorno alla Terra) rispetto
allestelle fisse (comete escluse);
modello eliocentrico: la Terra diventa un pianeta, il Sole e la
Lunacessano di esserlo;
telescopio: Urano, Nettuno e Plutone;
Plutone, un pianeta anomalo: orbita eccentrica ed inclinata
rispettoal piano dell’eclittica, massa pari ad un quinto della
Luna.
serve una definizione precisa: 24 agosto 2006 Assemblea Generale
diPraga dell’Unione Astronomica Internazionale.
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La legge di Titius-Bode (1766-1772)
I semiassi maggiori ai delle orbite di ciascun pianeta
seguonoapprossimativamente la relazione:
ai = 0.4 + 0.3× 2i , i = −∞, 0, 1, 2, . . . ,
dove 1 u.a = distanza Terra-Sole.
Urano (1781) occupava esattamente la posizione prevista!
Bode: “c’è un pianeta mancante tra il quarto ed il quinto!”
Giuseppe Piazzi (1 Gennaio 1801) scopre Cerere.
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La legge di Titius-Bode (1766-1772)
I semiassi maggiori ai delle orbite di ciascun pianeta
seguonoapprossimativamente la relazione:
ai = 0.4 + 0.3× 2i , i = −∞, 0, 1, 2, . . . ,
dove 1 u.a = distanza Terra-Sole.
Urano (1781) occupava esattamente la posizione prevista!
Bode: “c’è un pianeta mancante tra il quarto ed il quinto!”
Giuseppe Piazzi (1 Gennaio 1801) scopre Cerere.
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La legge di Titius-Bode (1766-1772)
I semiassi maggiori ai delle orbite di ciascun pianeta
seguonoapprossimativamente la relazione:
ai = 0.4 + 0.3× 2i , i = −∞, 0, 1, 2, . . . ,
dove 1 u.a = distanza Terra-Sole.
Urano (1781) occupava esattamente la posizione prevista!
Bode: “c’è un pianeta mancante tra il quarto ed il quinto!”
Giuseppe Piazzi (1 Gennaio 1801) scopre Cerere.
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La legge di Titius-Bode (1766-1772)
I semiassi maggiori ai delle orbite di ciascun pianeta
seguonoapprossimativamente la relazione:
ai = 0.4 + 0.3× 2i , i = −∞, 0, 1, 2, . . . ,
dove 1 u.a = distanza Terra-Sole.
Urano (1781) occupava esattamente la posizione prevista!
Bode: “c’è un pianeta mancante tra il quarto ed il quinto!”
Giuseppe Piazzi (1 Gennaio 1801) scopre Cerere.
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Cerere, il pianeta mancante?
Piazzi non poté seguire il moto di Cerere abbastanza a lungo
(24osservazioni) prima che diventasse invisibile dalla Terra;
non fu possibile determinarne l’orbita, e Cerere andò
perduto;
Carl Friedrich Gauss, a 24 anni, sviluppa un nuovo metodo
dideterminazione dell’orbita di un corpo celeste con tre
soleosservazioni basato sui minimi quadrati, che Gauss
sviluppòappositamente per l’astronomia;
Gauss predisse la traiettoria di Cerere, in base ai dati
raccolti daPiazzi, e Cerere venne recupoerato!
Cerere: pianeta per 50 anni, ma troppo piccolo per essere degno
ditale nome in quanto furono scoperti corpi celesti più grandi tra
Martee Giove, ribattezzato “asteroide” (Herschel) o “planetoide”
(Piazzi).
Dal 2006 Cerere è l’unico asteroide del sistema solare
internoconsiderato un pianeta nano!
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Le orbite dei pianeti interni
Le orbite dei pianeti hanno piccole eccentricità ed
inclinazioni.
-
Le orbite dei pianeti esterni
Ad eccezione di Plutone, le orbite dei pianeti hanno piccole
eccentricitàed inclinazioni.
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IAU 2006Un pianeta è un corpo celeste che:
è in orbita intorno al Sole;
ha una massa sufficiente affinché la sua gravità possa vincere
le forzedi corpo rigido, cosicché assume una forma di equilibrio
idrostatico(quasi sferica);
ha ripulito le vicinanze intorno alla sua orbita.
Un pianeta nano è un corpo celeste che:
è in orbita intorno al Sole;
ha una massa sufficiente affinché la sua gravità possa vincere
le forzedi corpo rigido, cosicché assume una forma di equilibrio
idrostatico(quasi sferica);
non ha ripulito le vicinanze intorno alla sua orbita;
non è un satellite;
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IAU 2006Un pianeta è un corpo celeste che:
è in orbita intorno al Sole;
ha una massa sufficiente affinché la sua gravità possa vincere
le forzedi corpo rigido, cosicché assume una forma di equilibrio
idrostatico(quasi sferica);
ha ripulito le vicinanze intorno alla sua orbita.
Un pianeta nano è un corpo celeste che:
è in orbita intorno al Sole;
ha una massa sufficiente affinché la sua gravità possa vincere
le forzedi corpo rigido, cosicché assume una forma di equilibrio
idrostatico(quasi sferica);
non ha ripulito le vicinanze intorno alla sua orbita;
non è un satellite;
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IAU 2006Tutti gli altri oggetti, eccetto i satelliti, che
orbitano intorno al Soledevono essere considerati in maniera
collettiva come “piccoli corpi delsistema solare”.
La IAU inoltre decide che: Plutone è un pianeta nano secondo
ladefinizione prima citata ed è riconosciuto come prototipo di una
nuovacategoria di oggetti transnettuniani.
Perchè un paragrafo tutto per Plutone?
Il dibattito all’assemblea IAU fu molto acceso: Plutone era
l’unicopianeta scoperto dagli statunitensi!
Nettuno — una scoperta carta e penna!
Il primo pianeta ad essere stato trovato tramite calcoli
matematici.Il comportamento di Urano portò ad ipotizzare
l’esistenza di un pianetasconosciuto che ne perturbava
l’orbita.Nettuno fu scoperto entro appena 1◦ dal punto previsto da
Le Verrier.
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IAU 2006Tutti gli altri oggetti, eccetto i satelliti, che
orbitano intorno al Soledevono essere considerati in maniera
collettiva come “piccoli corpi delsistema solare”.
La IAU inoltre decide che: Plutone è un pianeta nano secondo
ladefinizione prima citata ed è riconosciuto come prototipo di una
nuovacategoria di oggetti transnettuniani.
Perchè un paragrafo tutto per Plutone?
Il dibattito all’assemblea IAU fu molto acceso: Plutone era
l’unicopianeta scoperto dagli statunitensi!
Nettuno — una scoperta carta e penna!
Il primo pianeta ad essere stato trovato tramite calcoli
matematici.Il comportamento di Urano portò ad ipotizzare
l’esistenza di un pianetasconosciuto che ne perturbava
l’orbita.Nettuno fu scoperto entro appena 1◦ dal punto previsto da
Le Verrier.
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IAU 2006Tutti gli altri oggetti, eccetto i satelliti, che
orbitano intorno al Soledevono essere considerati in maniera
collettiva come “piccoli corpi delsistema solare”.
La IAU inoltre decide che: Plutone è un pianeta nano secondo
ladefinizione prima citata ed è riconosciuto come prototipo di una
nuovacategoria di oggetti transnettuniani.
Perchè un paragrafo tutto per Plutone?
Il dibattito all’assemblea IAU fu molto acceso: Plutone era
l’unicopianeta scoperto dagli statunitensi!
Nettuno — una scoperta carta e penna!
Il primo pianeta ad essere stato trovato tramite calcoli
matematici.Il comportamento di Urano portò ad ipotizzare
l’esistenza di un pianetasconosciuto che ne perturbava
l’orbita.Nettuno fu scoperto entro appena 1◦ dal punto previsto da
Le Verrier.
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IAU 2006Tutti gli altri oggetti, eccetto i satelliti, che
orbitano intorno al Soledevono essere considerati in maniera
collettiva come “piccoli corpi delsistema solare”.
La IAU inoltre decide che: Plutone è un pianeta nano secondo
ladefinizione prima citata ed è riconosciuto come prototipo di una
nuovacategoria di oggetti transnettuniani.
Perchè un paragrafo tutto per Plutone?
Il dibattito all’assemblea IAU fu molto acceso: Plutone era
l’unicopianeta scoperto dagli statunitensi!
Nettuno — una scoperta carta e penna!
Il primo pianeta ad essere stato trovato tramite calcoli
matematici.Il comportamento di Urano portò ad ipotizzare
l’esistenza di un pianetasconosciuto che ne perturbava
l’orbita.Nettuno fu scoperto entro appena 1◦ dal punto previsto da
Le Verrier.
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Quale futuro per il nostro sistama solare?
Tante sono le domande aperte circa il nostro sistema solare, a
cuicerchiamo di rispondere con esplorazioni spaziali sempre più
sofisticate.
Il sistema solare è stabile?
Cosa intendiamo precisamente con la parola stabilità?
La stabilità del sistema solareLe orbite dei pianeti rimarranno
essenzialmente le stesse perl’eternità, o almeno per un tempo
paragonabile all’età stimatadell’universo?
In un futuro remoto, potranno avvenire drastici mutamenti
delsistema solare cos̀ı come lo conosciamo noi oggi, dovuti per
esempioalle collisioni tra due pianeti, alla caduta di un pianeta
sul Sole o aduna espulsione di un pianeta dal nostro sistema
solare?
-
Quale futuro per il nostro sistama solare?
Tante sono le domande aperte circa il nostro sistema solare, a
cuicerchiamo di rispondere con esplorazioni spaziali sempre più
sofisticate.
Il sistema solare è stabile?
Cosa intendiamo precisamente con la parola stabilità?
La stabilità del sistema solareLe orbite dei pianeti rimarranno
essenzialmente le stesse perl’eternità, o almeno per un tempo
paragonabile all’età stimatadell’universo?
In un futuro remoto, potranno avvenire drastici mutamenti
delsistema solare cos̀ı come lo conosciamo noi oggi, dovuti per
esempioalle collisioni tra due pianeti, alla caduta di un pianeta
sul Sole o aduna espulsione di un pianeta dal nostro sistema
solare?
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Quale futuro per il nostro sistama solare?
Tante sono le domande aperte circa il nostro sistema solare, a
cuicerchiamo di rispondere con esplorazioni spaziali sempre più
sofisticate.
Il sistema solare è stabile?
Cosa intendiamo precisamente con la parola stabilità?
La stabilità del sistema solareLe orbite dei pianeti rimarranno
essenzialmente le stesse perl’eternità, o almeno per un tempo
paragonabile all’età stimatadell’universo?
In un futuro remoto, potranno avvenire drastici mutamenti
delsistema solare cos̀ı come lo conosciamo noi oggi, dovuti per
esempioalle collisioni tra due pianeti, alla caduta di un pianeta
sul Sole o aduna espulsione di un pianeta dal nostro sistema
solare?
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Quale futuro per il nostro sistama solare?
Tante sono le domande aperte circa il nostro sistema solare, a
cuicerchiamo di rispondere con esplorazioni spaziali sempre più
sofisticate.
Il sistema solare è stabile?
Cosa intendiamo precisamente con la parola stabilità?
La stabilità del sistema solareLe orbite dei pianeti rimarranno
essenzialmente le stesse perl’eternità, o almeno per un tempo
paragonabile all’età stimatadell’universo?
In un futuro remoto, potranno avvenire drastici mutamenti
delsistema solare cos̀ı come lo conosciamo noi oggi, dovuti per
esempioalle collisioni tra due pianeti, alla caduta di un pianeta
sul Sole o aduna espulsione di un pianeta dal nostro sistema
solare?
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Sulle spalle dei giganti:
due teoremi fondamentali.
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Il teorema di Kolmogorov (1954)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere e che esista p∗ ∈ Rn
tale che lecorrispondenti frequenze ω = ∂h∂p (p
∗) soddisfino la condizione diofantea∣∣k · ω∣∣ ≥ γ|k|−τ , ∀0 6=
k ∈ Nn ,dove γ ≥ 0 e τ ≥ n− 1 . Allora, per ε abbastanza
piccolo,l’Hamiltoniana possiede un toro invariante sul quale il
moto èquasi-periodico con frequenze ω .
Possibile soluzione per il problema della stabilità del sistema
solare.
Problema: quanto deve essere piccola la perturbazione?
Hénon: massa di Giove paragonabile a quella di un protone!
-
Il teorema di Kolmogorov (1954)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere e che esista p∗ ∈ Rn
tale che lecorrispondenti frequenze ω = ∂h∂p (p
∗) soddisfino la condizione diofantea∣∣k · ω∣∣ ≥ γ|k|−τ , ∀0 6=
k ∈ Nn ,dove γ ≥ 0 e τ ≥ n− 1 . Allora, per ε abbastanza
piccolo,l’Hamiltoniana possiede un toro invariante sul quale il
moto èquasi-periodico con frequenze ω .
Possibile soluzione per il problema della stabilità del sistema
solare.
Problema: quanto deve essere piccola la perturbazione?
Hénon: massa di Giove paragonabile a quella di un protone!
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Il teorema di Kolmogorov (1954)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere e che esista p∗ ∈ Rn
tale che lecorrispondenti frequenze ω = ∂h∂p (p
∗) soddisfino la condizione diofantea∣∣k · ω∣∣ ≥ γ|k|−τ , ∀0 6=
k ∈ Nn ,dove γ ≥ 0 e τ ≥ n− 1 . Allora, per ε abbastanza
piccolo,l’Hamiltoniana possiede un toro invariante sul quale il
moto èquasi-periodico con frequenze ω .
Possibile soluzione per il problema della stabilità del sistema
solare.
Problema: quanto deve essere piccola la perturbazione?
Hénon: massa di Giove paragonabile a quella di un protone!
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Il teorema di Kolmogorov (1954)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere e che esista p∗ ∈ Rn
tale che lecorrispondenti frequenze ω = ∂h∂p (p
∗) soddisfino la condizione diofantea∣∣k · ω∣∣ ≥ γ|k|−τ , ∀0 6=
k ∈ Nn ,dove γ ≥ 0 e τ ≥ n− 1 . Allora, per ε abbastanza
piccolo,l’Hamiltoniana possiede un toro invariante sul quale il
moto èquasi-periodico con frequenze ω .
Possibile soluzione per il problema della stabilità del sistema
solare.
Problema: quanto deve essere piccola la perturbazione?
Hénon: massa di Giove paragonabile a quella di un protone!
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Il teorema di Nekhoroshev (1977/79)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere allora, senza
addentrarci in ulterioridettagli tecnici dell’enunciato, il teorema
di Nekhoroshev afferma che, perε abbastanza piccolo,
|p(t)− p(0)| < ε1/4 , per |t| < exp
(c
(1
ε
)1/(2a)),
dove c è una costante ed a = n2 + n .
Stabilità esponenziale: si rinuncia all’invarianza perpetua
delle orbite eci si accontenta di mostrare che gli elementi
orbitali critici dei pianeti(semiassi maggiori, eccentricità ed
inclinazioni) restino vicini a quelliiniziali per un tempo
esponenzialmente lungo.
-
Il teorema di Nekhoroshev (1977/79)
Consideriamo una Hamiltoniana
H(p, q) = h(p) + εf(p, q) ,
dove p e q sono variabili di azione-angolo. Assumiamo che la
componenteimperturbata h(p) sia non-degenere allora, senza
addentrarci in ulterioridettagli tecnici dell’enunciato, il teorema
di Nekhoroshev afferma che, perε abbastanza piccolo,
|p(t)− p(0)| < ε1/4 , per |t| < exp
(c
(1
ε
)1/(2a)),
dove c è una costante ed a = n2 + n .
Stabilità esponenziale: si rinuncia all’invarianza perpetua
delle orbite eci si accontenta di mostrare che gli elementi
orbitali critici dei pianeti(semiassi maggiori, eccentricità ed
inclinazioni) restino vicini a quelliiniziali per un tempo
esponenzialmente lungo.
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Che cosa sappiamo?
Breve rassegna di alcuni risultati più o meno recenti.
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Laskar, 1988
-
Laskar, 1990
-
Laskar, 1994
-
Locatelli & Giorgilli, 2000
-
Locatelli & Giorgilli, 2007
-
Hayes, 2007
-
Laskar & Gastineau, 2009
-
Giorgilli, Locatelli & Sansottera, 2009
-
Giorgilli, Locatelli & Sansottera, 2017
-
Paneta Nove, un “gigante” (10 masse terrestri)
ai confini del sistema solare?
-
Batygin & Brown, 2016
-
Batygin & Morbidelli, 2017
-
232nd Meeting of the American Astronomical Society
4 June 2018Madigan & ZdericCollective gravity, not
PlanetNine, may explain the orbitsof ’detached objects’.
-
I sistemi extrasolari:
la nuova era della meccanica celeste!
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Osservare o scoprire i pianeti estrasolari?
Velocità radiali (752/3786 p., 558/2834 s.p. / 135/629
s.p.m.);
Transito (2815/3786 p., 2106/2834 s.p. / 462/629 s.p.m.);
Astrometria (moto proprio di una stella, nessun pianeta
confermato);
Microlente gravitazionale (allineamento
stella-pianeta-osservatore);
Dischi circumstellari e protoplanetari;
Rilevamento diretto (pianeti molto massivi, lontani e
caldi).
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Osservazione diretta (telescopio Hubble)
-
Metodo delle velocità radiali
-
Metodo del Transito — un pianeta
Misurazione dalla Terra vs. la sonda Kepler
-
Metodo del Transito — più pianeti
-
Mayor & Queloz (1995) — Il primo successo!
La scoperta del primo pianeta extrasolare, scoperto con il
metodo dellavelocità radiale.
-
I primi 5 pianeti scoperti dalla sonda Kepler (hot Jupiters)
-
Tatooine — Star Wars
Il pianeta desertico orbitante attorno ad una stella binaria
dove ècresciuto Luke Skywalker!
Kepler-16
-
Tatooine — Star Wars
Il pianeta desertico orbitante attorno ad una stella binaria
dove ècresciuto Luke Skywalker!Kepler-16
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Extrasolar Systems vs. Solar System
The main difference between theextrasolar systems and the
SolarSystem regards the shape of theorbits.
In the extrasolar systems, themajority of the orbits describe
trueellipses (high eccentricities) and nomore almost circular like
in the SolarSystem.
The classical approach uses the circular approximation as a
reference.Dealing with systems with high eccentricities we need to
compute theexpansion at high order to study the long-term evolution
of theextrasolar planetary system.
-
Semiassi vs. Eccentricità
-
Superterre
-
Trappist-1 (sistema ultracompatto)
-
I sistemi extrasolari:
una breve panoramica di studi analitici.
-
Hamiltonian of a planetary system
F (r, r̃) = T (0)(r̃) + U (0)(r) + T (1)(r̃) + U (1)(r) ,
where r are the heliocentric coordinates and r̃ the conjugated
momenta.
T (0)(r̃) =1
2
∑j>0
‖r̃j‖2(
1
m0+
1
mj
),
U (0)(r) = −G∑j>0
m0mj‖rj‖
,
T (1)(r̃) =∑i
-
The Poincaré variables in the plane
Λj =m0mjm0 +mj
√G(m0 +mj)aj λj = Mj + ωj︸ ︷︷ ︸fast variables
ξj =√
2Λj
√1−
√1− e2j cos(ωj) ηj = −
√2Λj
√1−
√1− e2j sin(ωj)︸ ︷︷ ︸
secular variables
where aj , ej , Mj and ωj are the semi-major axis, the
eccentricity, the
mean anomaly and perihelion argument of the j-th planet,
respectively.
-
Expansion of the Hamiltonian
In order to compute the Taylor expansion of the Hamiltonian
around thefixed value Λ∗, we introduce the translated fast
actions,
L = Λ−Λ∗ .
The Hamiltonian reads,
H = n∗ · L+∞∑j1=2
h(Kep)j1,0
(L) + µ
∞∑j1=0
∞∑j2=0
hj1,j2(L,λ, ξ,η) .
where h(Kep)j1,0
is a hom. pol. of degree j1 in L and
hj1,j2 is a
hom. pol. of degree j1 in L ,
hom. pol. of degree j2 in ξ,η ,
with coeff. that are trig. pol. in λ .
We will choose the lowest possible limits in order to include
thefundamental features of the system.
-
Expansion of the Hamiltonian
In order to compute the Taylor expansion of the Hamiltonian
around thefixed value Λ∗, we introduce the translated fast
actions,
L = Λ−Λ∗ .
The computed Hamiltonian reads,
H = n∗ · L+2∑
j1=2
h(Kep)j1,0
(L) + µ
1∑j1=0
12∑j2=0
hj1,j2(L,λ, ξ,η) ,
where h(Kep)j1,0
is a hom. pol. of degree j1 in L and
hj1,j2 is a
hom. pol. of degree j1 in L ,
hom. pol. of degree j2 in ξ,η ,
with coeff. that are trig. pol. in λ .
We will choose the lowest possible limits in order to include
thefundamental features of the system.
-
First order averaging
We consider the averaged Hamiltonian,
H(L,λ, ξ,η) = 〈H(L,λ, ξ,η)〉λ .
Namely, we get rid of the fast motion removing from the
expansion ofthe Hamiltonian all the terms that depend on the fast
angles λ .
This is the so called first order averaging.
We end up with the Hamiltonian,
H(sec) = µ
12∑j2=0
h0,j2(ξ,η) .
-
Secular dynamics
Doing the averaging over the fast angles (as we are interested
in thesecular motions of the planets), the system pass from 4 to
2degrees of freedom,
H(sec) = H0(ξ,η) +H2(ξ,η) +H4(ξ,η) + . . . ,
where H2j is a hom. pol. of degree (2j + 2) in (ξ, η), for all j
∈ N .
ξ = η = 0 is an elliptic equilibrium point, thus we can
introduceaction-angle variables via Birkhoff normal form.
Having the Hamiltonian in Birkhoff normal form, we can
easilysolve the equations of motion and finally obtain the motion
of theorbital parameters.
-
Secular dynamics
If the remainder, Rr , is small enough, we can neglect it!
The equations of motion are
Φ̇j(0) = 0 , ϕ̇j(0) =∂H(r)
∂Φj
∣∣∣∣(Φ(0),ϕ(0))
.
The solutions are
Φj(t) = Φj(0) , ϕj(t) = ϕ̇j(0) t+ ϕj(0) .
-
Analytical integration
(η(0), ξ(0)
) (Φ(r)(0), ϕ(r)(0)
)
(Φ(r)(t), ϕ(r)(t)
)(η(t), ξ(t)
)
Secular + NF(r)
Φ(r)(t)=Φ(r)(0)ϕ(r)(t)=ϕ̇(r)(0)t+ϕ(r)(0)
Numericalintegration
(NF(r))−1
-
First order approximation (HD 134987)
HD 134987: the system is secular.
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06
Eccentricities analy_HD_134987_ord1
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
But. . . near mean-motion resonance (HD 108874)
HD 108874: the system is “close” to the 4:1 mean-motion
resonance.
First order averaged Hamiltonian failed.
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Eccentricities analy_HD_108874_ord1
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
Second order averaging
Coming back to the original Hamiltonian,
H = n∗ · L+∑j1≥2
hj1,0(L) + µ∑j1≥0
∑j2≥0
hj1,j2(L,λ, ξ,η) .
If we consider the point L(0) = 0, we have
L̇j = −µ∑j2≥0
∂h0,j2(λ, ξ,η)
∂λj.
In order to get rid of the fast motion, instead of simply
erasing the termsdepending on fast angles λ, we perform a canonical
transformation viaLie Series to kill the terms
∂h0,0(λ, ξ,η)
∂λ,∂h0,1(λ, ξ,η)
∂λ,∂h0,2(λ, ξ,η)
∂λ, . . . .
-
The scheme of the preliminary perturbation reduction
We perform a “Kolmogorov-like” step of normalization.
We determine the generating function, χ, by solving the
equation
n∗∂χ
∂λ+
KS∑j2=0
⌈h0,j2
⌉λ:KF
= 0 .
where d·eλ:KF means that we keep only the terms depending on λ
and atmost of degree KF . The parameters KS and KF are chosen so as
toinclude in the secular model the main effects due to the
possibleproximity to a mean-motion resonance.
The transformed Hamiltonian reads
H(O2) = expLµχH =∞∑j=0
1
j!LjµχH .
This is our Hamiltonian at order two in the masses.
-
Analytical integration
(η(0), ξ(0)
) (Φ(r)(0), ϕ(r)(0)
)
(Φ(r)(t), ϕ(r)(t)
)(η(t), ξ(t)
)
Secular + NF(r)
Φ(r)(t)=Φ(r)(0)ϕ(r)(t)=ϕ̇(r)(0)t+ϕ(r)(0)
Numericalintegration
(NF(r))−1
-
First order approximation (HD 11506)
HD 11506: the system is “close” to the 7:1 MMR (weak MMR).
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Eccentricities analy_HD_11506_ord1
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
Second order approximation (HD 11506)
HD 11506: the system is “close” to the 7:1 MMR (weak MMR).
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Eccentricities analy_HD_11506_ord2
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
First order approximation (HD 177830)
HD 177830: the system is “close” to the 3:1 and 4:1 MMR.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10000 20000 30000 40000 50000
Eccentricities analy_HD_177830_ord1
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
Second order approximation (HD 177830)
HD 177830: the system is “close” to the 3:1 and 4:1 MMR.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10000 20000 30000 40000 50000
Eccentricities analy_HD_177830_ord2
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
First order approximation (HD 108874)
HD 108874: the system is “close” to the 4:1 MMR (strong
MMR).
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Eccentricities analy_HD_108874_ord1
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
Second order approximation (HD 108874)
HD 108874: the system is “close” to the 4:1 MMR (strong
MMR).
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Eccentricities analy_HD_108874_ord2
"./ecc_0.dat""./ecc_1.dat"
"./orbitals_1.dat" u 1:4"./orbitals_2.dat" u 1:4
-
Proximity to a mean-motion resonance
We now want to evaluate the proximity to a mean-motion
resonance.
The idea is to rate the proximity by looking at the canonical
change ofcoordinates induced by the approximation at order two in
the masses.
ξ′j = ξj − µ∂ χ
∂ηj= ξj
(1− µ
ξj
∂ χ
∂ηj
),
η′j = ηj − µ∂ χ
∂ξj= ηj
(1− µ
ηj
∂ χ
∂ξj
).
In particular, we focus on the coefficients of the terms
δξj =µ
ξj
∂ χ
∂ηjand δηj =
µ
ηj
∂ χ
∂ξj.
-
δ-criterion
System a1/a2 δ
Sec
ula
rHD 11964 0.072 9.897× 10−4 sin(−λ1 + 2λ2)HD 74156 0.075 9.681×
10−4 cos( 4λ1 − λ2)HD 134987 0.140 9.897× 10−4 sin(−λ1 + 2λ2)HD
163607 0.149 1.376× 10−3 cos( 3λ1 − λ2)HD 12661 0.287 1.760× 10−3
sin(−λ1 + 2λ2)HD 147018 0.124 2.455× 10−3 sin(−2λ1 + λ2)
nea
ra
MM
R
HD 11506 0.263 2.943× 10−3 cos( λ1 − 7λ2)HD 177830 0.420 2.551×
10−3 cos( λ1 − 4λ2)HD 9446 0.289 2.328× 10−3 sin(−2λ1 + λ2)HD
169830 0.225 2.316× 10−2 cos( λ1 − 9λ2)υ Andromedae 0.329 1.009×
10−2 cos( λ1 − 5λ2)Sun-Jup-Sat 0.546 2.534× 10−2 cos(2λ1 − 5λ2)
MM
R HD 108874 0.380 4.314× 10−2 sin(−λ1 + 4λ2)
HD 128311 0.622 6.421× 10−1 sin(−λ1 + 2λ2)HD 183263 0.347 5.253×
10−2 cos( λ1 − 5λ2)
-
Results
1 Can we predict the long-term evolution of extrasolar
systems?
If the system is not too close to a mean-motion resonance,
providingan approximation of the motions of the secular variables
up to ordertwo in the masses, the secular evolution is well
approximated viaBirkhoff normal form.
2 How can we evaluate the influence of a mean-motion
resonance?
The secular Hamiltonian at order two in the masses is
explicitlyconstructed via Lie Series, so the generating function
contains theinformation about the proximity to a mean-motion.
We introduce an heuristic and quite rough criterion that we
think isuseful to discriminate between the different behaviors:
(i) δ ≤ 2.6× 10−3 : secular;(ii) 2.6× 10−3 < δ ≤ 2.6× 10−2 :
near mean-motion resonance;(iii) δ > 2.6× 10−2 : in mean-motion
resonance.
-
Laskar & Petit, 2018
-
Angular Momentum Deficit
The AMD is defined as the difference between the norm of the
angularmomentum of a coplanar and circular system with the same
semi-majoraxis values and the norm of the angular momentum (G)
G =
n∑k=1
Lk
√1− e2k cos ik , Lk = mk
õak
C =
n∑k=1
Lk
(1−
√1− e2k cos ik
)
AMD and instabilities (collisions)
The instabilities of a planetary system often result in a
modification of itsarchitecture. A planet can be ejected from the
system or can fall into thestar; in both cases this results in a
loss of AMD for the system. Theoutcome of the AMD after a planetary
collisions is less trivial, but itturns out that in all
circumstances we have a decrease of the angularmomentum deficit
during the collision.
-
AMD-Stability
We say that a planetary system is AMD-stable if the angular
momentumdeficit (AMD) amount in the system is not sufficient to
allow forplanetary collisions.The AMD is conserved in the secular
system at all orders, thus inabsence of short period resonances,
the AMD-stability ensures thepractical long-term stability of the
system.
The condition of AMD-stability is obtained when the orbits of
twoplanets of semi-major axis a, a′ cannot intersect under the
assumptionthat the total AMD C has been absorbed by these two
planets.
In the planar case one has
a(1 + e) = a′(1− e′)
m√µa(1−
√1− e2) +m′
√µa′(1−
√1− e′2) = C,
where (m, a, e) are the parameters of the inner orbit and (m′,
a′, e′)those of the outer orbit (a ≤ a′).
-
Collisional condition
Denoting α = a/a′, γ = m/m′, we have
D(e, e′) = αe+ e′ − 1 + α = 0
C(e, e′) = γ√α(1−
√1− e2) + (1−
√1− e′2) = C/Λ′
with Λ′ = m′√µa′, and where C(e, e′) = C/Λ′ is called the
relative
AMD.
The set of collisional conditions can be solved using Lagrange
multipliers.
Critical AMD Cc(α, γ)
For a given pair of ratios of semi-major axes and masses, (α,
γ), there isalways a unique critical value Cc(α, γ) of the relative
AMD C = C/Λ′which defines the AMD-stability. The system of two
planets isAMD-stable if and only if
C = CΛ′
< Cc(α, γ) .
-
Our approach (in pills)
Focus on exoplanets detected by RV method =⇒ inclinations
unknown.
“Reverse approach” in the framework of the Stability
Problem:
The stability of the observed multi-planet system is
prescribed.
One can determine the range of possible values that are
compatiblewith the stability of the system.
In the past, this has been done by means of many numerical
integrationsand using frequency analysis (Laskar & Correia,
A&A, 496 (2009)).
What’s new?We prescribe KAM-stability for the secular
dynamics.
We analyze a stability indicator, given by the construction of
theKolmogorov’s normal form (L.U. & Giorgilli, CMDA
(2000)).
Pros:“Synthetic Coverage”(via interval arithetics).
Pros & Cons:Understanding.
Cons:Optimality.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
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Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
Construction scheme of KAM tori: the secular SJS system
1 Start from the classical expansions of the three–body
Hamiltonian inPoincaré heliocentric coordinates and reduce the
angular momentum.
2 Average over the mean motion angles (λ1, λ2) , then remove
thecorresponding actions (L1, L2) , that now are constant of
motions.
3 The form of the secular Hamiltonian is now the following:
H(ξ1, ξ2, η1, η2) = P2(ξ1, ξ2, η1, η2) + P4(ξ1, ξ2, η1, η2) + P6
. . . ,
where (ξ, η) = O(ecc.) and P2j is a homogeneous polynomial
ofdegree 2j in the arguments. Therefore, it is useful to
first“diagonalize” the quadratic part by a linear canonical
transformation.
4 Perform a Birkhoff normalization up to a fixed degree (say,
6).
5 In action–angle coordinates such that (ξ, η) =√
2I(cosϕ, sinϕ) :
H(I, ϕ) = ν1I1+ν2I2+P4(I1, I2)+P6(I1, I2)+P8(I1, I2, ϕ1, ϕ2)+. .
. ,
6 “Shift the actions origin” so that the integrable part is
centeredabout the torus corresponding to the wanted secular
frequencies.
7 Perform the usual “Kolmogorov’s normalization algorithm”.
-
The Hamiltonian in Poincaré variables
1 Introduce new actions Lj = Λj − Λ∗j , where Λ∗j is the value
of Λjfor the observed semi-major axis aj .
2 Expand the Hamiltonian in power series of variables L, ξ,
η,parameter D2 and in Fourier series of λ , so to obtain
H(TF ) =
∞∑j1=1
h(Kep)j1,0
(L) + µ
∞∑j1=0
∞∑j2=0
Ds2 h(TF )s;j1,j2
(L,λ, ξ,η)
where h(Kep)j1,0
is a hom. pol. of degree j1 in L and
h(TF )s;j1,j2
is a
hom. pol. of degree j1 in L ,
hom. pol. of degree j2 in ξ,η ,
with coeff. that are trig. pol. in λ .
-
Parameter D2 ' a normalized Angular Momentum DeficitThe
parameter D2, appearing in the expansions, is defined as
D2 =(Λ1 + Λ2)
2 − C2
Λ1Λ2,
where C is the norm of the total angular momentum.
Remark:D2 = 0 for orbits that are circular and coplanar,
becauseD2 = O(e2 + i2).
Remark:The istantaneous value of the mutual inclination can be
calculatedstarting from the parameter D2 and the variables L, ξ,
η:
1− cos(i1 + i2) =D2 − 2
(1
Λ1+ 1Λ2
)(I1 + I2) +
1Λ1Λ2
(I1 + I2)2
2(
1− I1Λ1)(
1− I2Λ2) ,
where I1 =(ξ21 + η
21
)/2 and I2 =
(ξ22 + η
22
)/2.
-
The secular part of the Hamiltonian
Introducing the secular system (better, up to order 2 in the
masses):average over the fast angles λ, and put L = 0 ;hereafter,
we are considering a system with two degrees of freedom.
From the D’Alembert rules, it follows that
H(sec) = H(sec)1,1 +
2∑j=1
D2−j2 H(sec)2;j +
3∑j=1
D3−j2 H(sec)3;j + . . . ,
where H(sec)s,j is a hom. pol. of degree 2j in ξ and η , ∀ 1 ≤ j
≤ s .
ξ = η = 0 is an elliptic equilibrium point.A linear canonical
transformation D make the quadratic termdiagonal. The new
Hamiltonian is given by H(D) = H(sec) ◦ D ,being
H(D) = H(D)1,1 +D2H
(D)2,1 +H
(D)2,2 +D
22H
(D)3,1 +D2H
(D)3,2 +H
(D)3,3 +. . .
its decomposition in even homogeneous polynomials and
H(D)1,1 =
ν12
(ξ21 + η
21
)+ν22
(ξ22 + η
22
).
Let A be the can. transf. introducing action–angle variables
(I,ϕ)so that Ij =
(ξ2j + η
2j
)/2 for j = 1, 2 . We define H(I) = H(D) ◦A .
-
Partial Birkhoff normalization of the secular Hamiltonian
Let us focus on the Hamiltonian in action–angle coordinates:
H(I)(I,ϕ) = ν · I +∞∑s=2
s∑j=1
Ds−j2 P(I)s;j(I,ϕ) ,
where Ps;j is an hom. pol. of degree 2j in the square roots of
actions Iand a trigonometric pol. of degree 2s in angles ϕ .The
following way to expand the Hamiltonian highlights both the size
ofthe perturbation (with respect to both eccenticities and
inclinations, inthe horizontal direction) and the degree in action
(vertically):
·· ·
+ P(I)4,4(I,ϕ) . . .
+ P(I)3,3(I,ϕ) +D2P(I)4,3(I,ϕ) . . .
+ P(I)2,2(I,ϕ) +D2P(I)3,2(I,ϕ) +D
22P
(I)4,2(I,ϕ) . . .
H(I)(I,ϕ) = ν · I +D2P(I)2,1(I,ϕ) +D22P(I)3,1(I,ϕ) +D
32P
(I)4,1(I,ϕ) . . .
-
Partial Birkhoff normalization of the secular Hamiltonian
Let us solve the equation for the generating function
B(II):{B(II) , ν · I
}+D2P(I)2,1(I,ϕ) + P
(I)2,2(I,ϕ) = D2Z2,1(I) + Z2,2(I) ,
where {·, ·} is a Poisson bracket, Z2,1 and Z2,2 are angular
averages ofP(I)2,1 and P
(I)2,2, resp. That equation can be solved if |k · ν| 6= 0 ∀ k ∈
Z2
such that 0 < |k| ≤ 4 . Thus, we calculate the new
HamiltonianH(II) = expLB(II)H(I), the expansion of which can be
written as follows(with new terms P(II)s,j sharing the same
properties with P
(I)s,j
∀ 1 ≤ j ≤ s ):
·· ·
+ P(II)4,4 (I,ϕ) . . .
+ P(II)3,3 (I,ϕ) +D2P(II)4,3 (I,ϕ) . . .
+ Z2,2(I) +D2P(II)3,2 (I,ϕ) +D22P(II)4,2 (I,ϕ) . . .
H(II)(I,ϕ) = ν · I +D2Z2,1(I) +D22P(II)3,1 (I,ϕ) +D
32P
(II)4,1 (I,ϕ) . . .
-
Partial Birkhoff normalization of the secular Hamiltonian
Let us solve the equation for the generating function
B(III):
{B(III) , ν · I
}+
3∑j=1
D3−j2 P(II)3,j (I,ϕ) =
3∑j=1
D3−j2 Z3,j(I) ,
where {·, ·} is a Poisson bracket, Z3,j is the angular average
of P(II)3,j and∀ j = 1, 2, 3. That equation can be solved if |k ·
ν| 6= 0 ∀ k ∈ Z2 suchthat 0 < |k| ≤ 6 . Thus, we calculate
H(III) = expLB(III)H(II), theexpansion of which can be written as
follows (with new terms P(III)s,jsharing the same properties with
P(II)s,j ∀ 1 ≤ j ≤ s ):
·· ·
+ P(III)4,4 (I,ϕ) . . .
+ Z3,3(I) +D2P(III)4,3 (I,ϕ) . . .
+ Z2,2(I) +D2Z3,2(I) +D22P
(III)4,2 (I,ϕ) . . .
H(III)(I,ϕ) = ν · I +D2Z2,1(I) +D22Z3,1(I) +D32P(III)4,1 (I,ϕ) .
. .
-
Initial translation of the actions
Remark:
The action vector I is nearly constant, i.e. I(t) ' I(0) where
I∗ = I(0)can be approximately computed, by using the initial
(observed) values ofsemi-major axes and eccentricities.
We shift the origin of the actions so to center the actions
about I∗
Let the canonical transformation T be so thatT (I,ϕ) = (p+ I∗,
q) , introduce the new HamiltonianH(0) = H(III) ◦ T and expand
it:
......
......
...
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .
H(0)(p, q) =∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) . . . f(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
Initial translation of the actions
Remark:
The action vector I is nearly constant, i.e. I(t) ' I(0) where
I∗ = I(0)can be approximately computed, by using the initial
(observed) values ofsemi-major axes and eccentricities.
We shift the origin of the actions so to center the actions
about I∗
Let the canonical transformation T be so thatT (I,ϕ) = (p+ I∗,
q) , introduce the new HamiltonianH(0) = H(III) ◦ T and expand
it:
......
......
...
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .
H(0)(p, q) =∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) . . . f(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
Initial translation of the actions
Remark:
The action vector I is nearly constant, i.e. I(t) ' I(0) where
I∗ = I(0)can be approximately computed, by using the initial
(observed) values ofsemi-major axes and eccentricities.
We shift the origin of the actions so to center the actions
about I∗
Let the canonical transformation T be so thatT (I,ϕ) = (p+ I∗,
q) , introduce the new HamiltonianH(0) = H(III) ◦ T and expand
it:
......
......
...
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .
H(0)(p, q) =∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) . . . f(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
Some remarks about the algorithm constructing theKolmogorov’s
normal form
With respect to the method described in L.&G., Cel. Mech.
Dyn.Astr. (2000), we do not fix the frequency vector ω associated
to thewanted invariant tori.
The terms f(0,s)j appearing in the formula giving H
(0) are defined soto have particular functional properties:
f(0,s)j is a hom. pol. of degree j in actions p and a
trigonometric
pol. of degree 2s in q . Thus, the expansion of each f(0,s)j
is
representable on a computer because it is finite.
The Kolmogorov’s normalization algorithm requires to eliminate
allthe terms having degree equal to 0 or 1 in the actions, except ω
· p .Where is the small parameter? The size of the perturbation is
ruledby the translation vector I∗. Moreover, going to the right in
theexpansion of H(0), the terms get smaller and smaller.
-
Some remarks about the algorithm constructing theKolmogorov’s
normal form
With respect to the method described in L.&G., Cel. Mech.
Dyn.Astr. (2000), we do not fix the frequency vector ω associated
to thewanted invariant tori.
The terms f(0,s)j appearing in the formula giving H
(0) are defined soto have particular functional properties:
f(0,s)j is a hom. pol. of degree j in actions p and a
trigonometric
pol. of degree 2s in q . Thus, the expansion of each f(0,s)j
is
representable on a computer because it is finite.
The Kolmogorov’s normalization algorithm requires to eliminate
allthe terms having degree equal to 0 or 1 in the actions, except ω
· p .Where is the small parameter? The size of the perturbation is
ruledby the translation vector I∗. Moreover, going to the right in
theexpansion of H(0), the terms get smaller and smaller.
-
Some remarks about the algorithm constructing theKolmogorov’s
normal form
With respect to the method described in L.&G., Cel. Mech.
Dyn.Astr. (2000), we do not fix the frequency vector ω associated
to thewanted invariant tori.
The terms f(0,s)j appearing in the formula giving H
(0) are defined soto have particular functional properties:
f(0,s)j is a hom. pol. of degree j in actions p and a
trigonometric
pol. of degree 2s in q . Thus, the expansion of each f(0,s)j
is
representable on a computer because it is finite.
The Kolmogorov’s normalization algorithm requires to eliminate
allthe terms having degree equal to 0 or 1 in the actions, except ω
· p .
Where is the small parameter? The size of the perturbation is
ruledby the translation vector I∗. Moreover, going to the right in
theexpansion of H(0), the terms get smaller and smaller.
-
Some remarks about the algorithm constructing theKolmogorov’s
normal form
With respect to the method described in L.&G., Cel. Mech.
Dyn.Astr. (2000), we do not fix the frequency vector ω associated
to thewanted invariant tori.
The terms f(0,s)j appearing in the formula giving H
(0) are defined soto have particular functional properties:
f(0,s)j is a hom. pol. of degree j in actions p and a
trigonometric
pol. of degree 2s in q . Thus, the expansion of each f(0,s)j
is
representable on a computer because it is finite.
The Kolmogorov’s normalization algorithm requires to eliminate
allthe terms having degree equal to 0 or 1 in the actions, except ω
· p .Where is the small parameter? The size of the perturbation is
ruledby the translation vector I∗. Moreover, going to the right in
theexpansion of H(0), the terms get smaller and smaller.
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0); e.g.,
{χ(1)1 ,ω(0) · p} shares the same properties with f(0,1)0 ,
then
f̂(1,1)0 = f
(0,1)0 + Lχ(1)1 ω
(0) · p .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) f
(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0);
e.g.,
{χ(1)1 ,ω(0) · p} shares the same properties with f(0,1)0 ,
then
f̂(1,1)0 = f
(0,1)0 + Lχ(1)1 ω
(0) · p .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) f
(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0);
e.g.,
{χ(1)1 ,ω(0) · p} shares the same properties with f(0,1)0 ,
then
f̂(1,1)0 = f
(0,1)0 + Lχ(1)1 ω
(0) · p .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) f
(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0); e.g.,
{χ(1)1 ,ω(0) · p} shares the same properties with f(0,1)0 ,
then
f̂(1,1)0 = f
(0,1)0 + Lχ(1)1 ω
(0) · p .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 f(0,1)0 (q) f
(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0); e.g.,
{χ(1)1 ,ω(0) · p} shares the same properties with f(0,1)0 ,
then
f̂(1,1)0 = f
(0,1)0 + Lχ(1)1 ω
(0) · p .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 0 f(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
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A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)1H(0);
e.g., {χ(1)1 , f(0,0)2 }
is really like f(0,1)1 , then f̂
(1,1)1 = f
(0,1)1 + Lχ(1)1 f
(0,0)2 .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 0 f(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)1H(0); e.g.,
{χ(1)1 , f
(0,0)2 }
is really like f(0,1)1 , then f̂
(1,1)1 = f
(0,1)1 + Lχ(1)1 f
(0,0)2 .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f (0,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 0 f(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)1H(0); e.g.,
{χ(1)1 , f
(0,0)2 }
is really like f(0,1)1 , then f̂
(1,1)1 = f
(0,1)1 + Lχ(1)1 f
(0,0)2 .
......
......
......
f(0,0)2 (p) f
(0,1)2 (p, q) f
(0,2)2 (p, q) . . . f
(0,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f(0,2)1 (p, q) . . . f
(0,s)1 (p, q) . . .
0 0 f(0,2)0 (q) . . . f
(0,s)0 (q) . . .
-
A half of the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian Ĥ(1) = expLχ(1)1H(0) where the
generating function χ(1)1 (q) is such that{χ
(1)1 , ω
(0) · p}
+ f(0,1)0 = 0 ,
being χ(1)1 a trigonometric polynomial of deg. 2.
The expansion of the new Hamiltonian Ĥ(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)1H(0). Therefore, we can
get the recursive expressions of all f̂(1,s)j in the following
expansion:
......
......
......
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .
Ĥ(1)(p, q) =∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1); e.g.,
{χ(1)2 ,ω(0) · p} shares the same properties with f̂(1,1)1 ,
then
f(1,1)1 = f̂
(1,1)1 + Lχ(1)2 ω
(0) · p ....
......
......
...
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1);
e.g.,
{χ(1)2 ,ω(0) · p} shares the same properties with f̂(1,1)1 ,
then
f(1,1)1 = f̂
(1,1)1 + Lχ(1)2 ω
(0) · p ....
......
......
...
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1);
e.g.,
{χ(1)2 ,ω(0) · p} shares the same properties with f̂(1,1)1 ,
then
f(1,1)1 = f̂
(1,1)1 + Lχ(1)2 ω
(0) · p .
......
......
......
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1); e.g.,
{χ(1)2 ,ω(0) · p} shares the same properties with f̂(1,1)1 ,
then
f(1,1)1 = f̂
(1,1)1 + Lχ(1)2 ω
(0) · p ....
......
......
...
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p f̂ (1,1)1 (p, q) f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1); e.g.,
{χ(1)2 ,ω(0) · p} shares the same properties with f̂(1,1)1 ,
then
f(1,1)1 = f̂
(1,1)1 + Lχ(1)2 ω
(0) · p ....
......
......
...
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(0) · p 〈f̂ (1,1)1 〉 f̂(1,2)1 (p, q) . . . f̂
(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)2Ĥ(1);
e.g., {χ(1)2 , f̂(1,0)2 }
shares the same properties with f̂(1,1)2 , then f
(1,1)2 = f̂
(1,1)2 +Lχ(1)2 f̂
(1,0)2 .
......
......
......
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(1) · p 0 f̂ (1,2)1 (p, q) . . . f̂(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)2Ĥ(1); e.g.,
{χ(1)2 , f̂
(1,0)2 }
shares the same properties with f̂(1,1)2 , then f
(1,1)2 = f̂
(1,1)2 +Lχ(1)2 f̂
(1,0)2 .
......
......
......
f̂(1,0)2 (p) f̂
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(1) · p 0 f̂ (1,2)1 (p, q) . . . f̂(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying the
functional properties of all the terms of expLχ(1)2Ĥ(1); e.g.,
{χ(1)2 , f̂
(1,0)2 }
shares the same properties with f̂(1,1)2 , then f
(1,1)2 = f̂
(1,1)2 + Lχ(1)2 f̂
(1,0)2 .
......
......
......
f̂(1,0)2 (p) f
(1,1)2 (p, q) f̂
(1,2)2 (p, q) . . . f̂
(1,s)2 (p, q) . . .∑
ω(1) · p 0 f̂ (1,2)1 (p, q) . . . f̂(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f̂(1,2)0 (q) . . . f̂
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing the first Kolmogorov’s normalization step
We define a new Hamiltonian H(1) = expLχ(1)2Ĥ(1) where the
generating function χ(1)2 (p, q) is such that{
χ(1)2 , ω
(0) · p}
+f̂(1,1)1 = 〈f̂
(1,1)1 〉 with 〈f̂
(1,1)1 〉 =
∫f̂
(1,1)1 dq1 . . . dqn
(2π)n,
where χ(1)2 is linear in p and a trigonometric polynomial of
deg. 2 in q .
The expansion of the new Hamiltonian H(1) is calculated by
studying thefunctional properties of all the terms of expL
χ(1)2Ĥ(1). Therefore, we can
get the recursive expressions of all f̂(1,s)j in the following
expansion:
......
......
......
f(1,0)2 (p) f
(1,1)2 (p, q) f
(1,2)2 (p, q) . . . f
(1,s)2 (p, q) . . .
H(1)(p, q) =∑
ω(1) · p 0 f (1,2)1 (p, q) . . . f(1,s)1 (p, q) . . .
0 0 f(1,2)0 (q) . . . f
(1,s)0 (q) . . .
-
Completing all the Kolmogorov’s normalization algorithm
The Kolmogorov’s normalization step can be “infinitely”
iterated, if
the frequency vectors ω(r) are non-resonant enough
(e.g.,diophantine, i.e. |k · ω(r)| > γ
/|k|τ for each normalization step r,
with some fixed γ > 0 and τ > n− 1);the perturbation (or,
equivalently, ‖I∗‖) is small enough;the hessian of f
(0,0)2 (p) is non-degenerate, then frequencies ω
(0)
(for which the procedure works) form a set with positive
measure.
Therefore, the sequence of H(r) is convergent to a Hamiltonian
H(∞) inKolmogorov’s normal form, the expansions of which is written
as
......
......
...
f(∞,0)2 (p) f
(∞,1)2 (p, q) . . . f
(∞,s)2 (p, q) . . .
H(∞)(p, q) =∑
ω(∞) · p 0 . . . 0 . . .0 0 . . . 0 . . .
-
Definition of the computational algorithm
Input: masses, semi-major axes,eccentricities and a grid
oftemptative values for D2 .
Final operations: the behavior ofthe norms is
automaticallyanalyzed (they should decreaseexponentially to allow
theconvergence of the algorithm).Output: for each value of D2 ,
ifthe norms are regularly decreasing,the final result is 1, else it
is 0.
=⇒
⇐=
Procedure: algebraic manipulations ona computer so to implement
all theprescribed expansions & transformations.First (partial)
output: for each value
of D2 we plot ‖χ(r)2 ‖ as a function ofthe normalization step
r.
↓
1.0e-12
1.0e-10
1.0e-08
1.0e-06
1.0e-04
1.0e-02
1.0e+00
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
| chi
2[r]
|
Normalization step r
Behaviour of the norms of the generating function chi2
"norme_delle_chi.out" using 1:4
-
Definition of the computational algorithm
Input: masses, semi-major axes,eccentricities and a grid
ofinterval of values for D2 .
Final operations: the behavior ofthe norms is
automaticallyanalyzed (they should decreaseexponentially to allow
theconvergence of the algorithm).Output: for each set of D2’s,
ifthe norms are regularly decreasing,the final result is 1, else it
is 0.Remark: not a computer-assistedproof, but interval arithmetics
isused (nearly) everywhere.
=⇒
⇐=
Procedure: algebraic manipulations ona computer so to implement
all theprescribed expansions & transformations.First (partial)
output: for each set of
D2’s we plot ‖χ(r)2 ‖ as a function of thenormalization step
r.
↓
1.0e-12
1.0e-10
1.0e-08
1.0e-06
1.0e-04
1.0e-02
1.0e+00
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
| chi
2[r]
|
Normalization step r
Behaviour of the norms of the generating function chi2
"norme_delle_chi.out" using 1:4
-
Values of the mutual inclinations compatible with KAMstability
for the secular dynamics: the case of HD141399
HD141399 – ParametersMass of the Star: 1.14 M�Masses of the
planets:mc = 1.33 MJupmd = 1.18 MJup
Semi-major axes:ac ' 0.704 AUad ' 2.14 AU
Eccentricities:ec = 0.048± 0.009ed = 0.074± 0.025
ConclusionMutual inclinations up to ∼ 18◦are compatible with
KAMstability (in the sense of theconstruction of normal forms).
0
1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Tru
e (
1)
/ F
als
e (
0)
D2
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
Mutu
al
incli
nati
ons
D2
-
Values of the mutual inclinations compatible with KAMstability
for the secular dynamics: the case of HD143761
HD143761 – ParametersMass of the Star: 0.99 M�Masses of the
planets:mb = 1.045 MJupmc = 0.079 MJup
Semi-major axes:ab ' 0.228 AUac ' 0.427 AU
Eccentricities:eb = 0.037± 0.004ec = 0.050± 0.004
ConclusionMutual inclinations up to ∼ 10◦are compatible with
KAMstability (in the sense of theconstruction of normal forms).
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
Mutu
al
incli
nati
ons
D2
-
Values of the mutual inclinations compatible with KAMstability
for the secular dynamics: the case of HD40307
HD40307 – ParametersMass of the Star: 0.77 M�Masses of the
planets:mc = 0.0202 MJupmd = 0.0275 MJup
Semi-major axes:ac ' 0.081 AUad ' 0.134 AU
Eccentricities:ec = 0.060± 0.005ed = 0.070± 0.005
ConclusionMutual inclinations up to ∼ 15◦are compatible with
KAMstability (in the sense of theconstruction of normal forms).
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Mutu
al
incli
nati
ons
D2
-
Perspectives
Possible extensionsThe initial expansions can be adapted, by
using intervals, so to takeinto account the factor 1/ sin(i)
modifying the mass of each planet[not so trivial, modifying the
initial expansions is hard].
Range of values for the eccentricities (when they are
unknown)could be determined by adapting this same approach to
extrasolarsystems where the inclinations are known [it should be
easy].
The same analysis of the stability could be done by considering
thecomplete planetary problem instead of just the secular
dynamics[much harder from a computational point of view].
In order to consider richer systems, it is mandatory to consider
morethan two planets [well... This is both harder from a
computationalpoint of view and it requires also to modify the
initial expansions...].
It is important to modify the normal form approach so to
coveralso the case of extrasolar systems with large
eccentricities,where our method actually fails [This is the most
conceptualtask, some new ideas are required!].