Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL

BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada

Con el objetivo de iniciar al alumno en la utilización de la herramienta interactiva, en esta presentación se muestra (de forma animada) cómo se usaría para llevar a cabo la resolución gráfica de un PROBLEMA CON REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA Y SOLUCIÓN ÚNICA.Recordamos que la herramienta interactiva parte de un diagrama de árbol, en el que los diferentes nodos plantean al alumno una tarea que debe realizar y, a continuación, una pregunta a la que debe contestar en función de los resultados de la tarea realizada. La elección de cada una de las posibles respuestas resalta las ramas del diagrama de árbol correspondiente a la respuesta elegida y encamina al alumno hacia una nueva tarea y posterior pregunta. De esta manera, al completar todos los pasos planteados, el alumno llega finalmente a la solución del problema que quiere resolver.

AVISO: Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

SI

NO

SI

NO

SI

Solución acotada

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0


http://www.ugr.es/~mjgarcia

http://www.ugr.es/~proman



http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/

Región

-x1+ x2 ≤ 2

El punto (0,0) pertenece ya que

0 + 0 = 0 ≤ 2

(0,2)

(-2,0)

Recta

r1: -x1+ x2=2

Corte con el eje x1

x2=0 x1=-2

Corte con el eje x2

x1=0 x2=2

Representación de la región factibleMáx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

r1







Recta

r2: x2=4

Corte con el eje x2

x1=0 x2=4

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Región

x2 ≤ 4

El punto (0,0) pertenece ya que

0 ≤ 4

(0,2)

(-2,0)

r1

(0,4) r2

Representación de la región factible







Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2


(0,4)







Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2

Región factible


(0,4)







SI

NO

SI

NO

SI

Solución acotada

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0







Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

NO

SI

NO

SI

Solución acotada

NOSolución acotada

SI

NO

SI







NO

NO

SI

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI







Representación de una curva de nivel de la función objetivo y dirección de máxima optimización

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2

Región factible

-2x1+x2 = z

Dirección de máxima optimización:

(0,4)

Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente.

Vector (-2,1)

Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo

Perpendiculares a la dirección de máxima optimización







NO

NO

SI

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI







NO

NO

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI







(0,0)

Representación de puntos extremos candidatos a solución óptima

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2

Región factible

-2x1+x2= z

(0,4)

Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada

• Intersección de r1 y r2

r1: -x1+ x2=2

r2: x2=4(2, 4)

(2,4)

• (0,0)

• (0,2)







NO

NO

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI







(0,0)

Evaluación de la función objetivo en los puntos extremosMáx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2

Región factible

-2x1+x2= z

(0,4)

Puntos extremos de la región factible a la izquierda de la curva de nivel considerada

(2,4)

Z=0

Z=2

Z=0

• Intersección de r1 y r2

r1: -x1+ x2=2

r2: x2=4(2, 4)

• (0,0)

• (0,2)







NO

NO

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI







NO

NO

NOSolución acotada

SI

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI

NO

X1=0

X2=2Z=2







NO

NO

NOSolución acotada

SI

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI

NO

X1=0

X2=2Z=2







(0,0)

Análisis de cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible

en la dirección de máxima optimización

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(0,2)

(-2,0)

r1

r2

Región factible

-2x1+x2= z

(0,4) (2,4)

Dirección de máxima optimización:

Notemos que el vector (-2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente.

Vector (-2,1)

Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo

Perpendiculares a la dirección de máxima optimización







NO

NO

NOSolución acotada

SI

NO

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

SI







NO

NO

NOSolución acotada

SI

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

NO

SI

X1=0

X2=2Z=2







NO

NO

NOSolución acotada

SI

Máx Z= -2x1+x2

s. a. -x1+x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

SI

Solución acotada

SI

NO

SI

X1=0

X2=2Z=2




Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL

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