SIMULATIONS NUMERIQUES DIRECTES A L’ECHELLE MICROSCOPIQUE : UN NOUVEL OUTIL DE RHEOLOGIE G.BEAUME 1, 2 P. LAURE 1, 3 & T.COUPEZ 1 1 Centre de Mise en Forme des Mat´ eriaux , Ecole Nationale Sup ´ erieure des Mines de Paris UMR 7635 CNRS 06904 Sophia Antipolis, France 2 Schneider Electric-Technopˆole 38 TEC , Grenoble 3 Institut Non-Lin´ eaire de Nice-UMR 6618 CNRS Universit ´ e de Nice Sophia Antipolis C 06560 Valbonne, France Contexte industriel ■ Injection de ” Bulk Molding Compound” ■ R ´ esine fortement charg ´ ee en particules solides ■ Forme et taille des charges variables ( fibres de ren- forts, charges min ´ erales ...) ■ G ´ eom ´ etrie complexe des moules `a injecter Objectifs ■ Simulation num ´ erique directe de l’ ´ ecoulement fluide/particules ■ 1 ere Application : ´ ecoulement m´ esoscopique ( di- mensions moule ≈ longueur des fibres) ■ 2 nde Application : homog ´ en ´ eisation num ´ erique : obtention directe de loi de comportement macrosco- pique I. Simulation num´ erique directe 1. Probl` eme ´ etudi´ e ■ ´ ecoulement de Couette (cisaillement plan) d’un fluide newtonien charg ´ e de particules ■ relocalisation des particules dans la bo ˆ ıte de calcul (conditions limites ” p ´ eriodiques” sur Γ 2 /Γ 4 ) H L σ = −pId +2η ˙ ǫ p j Ω j s ∂ Ω j s ∂ Ω i s Ω i s u = d X i,j dt , + ω i,j × (x − X i,j ) sur ∂ Ω i,j s u = 0 sur Γ 1 u =˙ γHe x sur Γ 3 u y =0 sur Γ 1 m j d 2 X j dt 2 = F j h J j d ω j dt = Γ j h d p j dt = ω j × p j Domaine fluide Ω f : ∇.u =0 ∇.σ = 0 Sphere i : ( X i ,v i , ω i ) m i d 2 X i dt 2 = F i h J i d ω i dt = Γ i h Fibre j : ( X j , p j ,v j , ω j ) u y =0 sur Γ 2 IV Calcul du champ de vitesse 1. Contrainte de rigidit´ e ■ P´ enalisation du lagrangien ■ Expression de la contrainte : ∀ x ∈ Ω s (t) ∇.u( x,t)=0 ˙ ǫ (u)=0 2. Probl` eme variationnel Trouver u(t n ),p(t n ) tel que ∀ v,q ∈H 1 (Ω) ×L 2 0 (Ω) : 0=2η f Ω I Ω f (t n )˙ ǫ (u(t n )) : ˙ ǫ ( v )dΩ − Ω p(t n )∇.vdΩ+ Γ (σ .n ext ).vdΓ +2α Ω I Ω s (t n )˙ ǫ (u(t n )) : ˙ ǫ ( v )dΩ contrainte ˙ ǫ (u)=0 0= Ω q ∇.u(t n )dΩ 3. Interpr´ etation Probl ` eme de Stokes multi-domaines η = I Ω f η f + I Ω s α VI Cas simples [A. Megally] 1. Particules sph´ eriques ( faible concentration) 2. Fibres (faible concentration) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0,1 2,1 4,1 6,1 8,1 Temps (s) apparente Debut de rotation des fibres 1 2 II Homog´ en´ eisation num´ erique 1. Comparaison Num´ erique/Th´ eorique : a 4 = ... Relation de fermeture a 4 = f (a 2 ) mesur ´ ee Σ p =Σ total impos´ e − Σ f mesur´ e a 4 = ... Tenseurs : a 2 ij = 1 N N k=1 p i (k )p j (k ) Concentration ϕ = 1 V N k=1 V ol (k ) Relation de fermeture : mod` eles Σ p : analytique (cf mod` eles) Σ a 2 ij = p p i p j φ( p, t)dp Σ f =2η f 1 V V f ˙ ǫ (u)dΩ − 1 V V f pdΩ Id 2. Particules sph´ eriques : ■ Mod ` ele analytique : Σ = −pId +2 η f (1 + 2N s ) η eff ˙ ǫ ■ Viscosit ´ e effective : η eff = η f (1 + ϕ ϕ m ) 2.5ϕ m 3. Fibres : ■ Evolution de l’orientation : Da 2 Dt = −(Ω a 2 − a 2 Ω )+ λ(˙ ǫ a 2 + a 2 ˙ ǫ − 2a 4 :˙ ǫ )+ C I ˙ ¯ γ (Id − 3a 2 ) perturbation ■ Loi de comportement : Σ = −pId +2η f ˙ ǫ + N s (˙ ǫ a 2 + a 2 ˙ ǫ )+ N p a 4 :˙ ǫ V Evolution de la phase solide 1. D´ eplacement des particules ■ d ´ eplacement standart des particules : X i (t n+ 1 2 )= X i (t n )+Δt.u( X i (t n ),t n ) p i (t n+ 1 2 )= −−−→ X 1 i X 2 i (t n+ 1 2 ) || −−−→ X 1 i X 2 i (t n+ 1 2 )|| 2. Correction dues aux force de courte port´ ee ■ calcul des forces d’interactions : F j →i ■ correction du d ´ eplacement des particules : X i (t n+1 )= X i (t n+ 1 2 )+ δ X i (t n+ 1 2 ) δ X i (t n+ 1 2 )= j =i F j →i . Δt 2 m i p i (t n+1 )= p i (t n+ 1 2 )+ δ p i (t n+ 1 2 ) δ p i (t n+ 1 2 )= j =i l ij F j →i − ( F j →i . p i (t n+ 1 2 )) =0 . p i (t n+ 1 2 ) Δt 2 J i VII Cas complexes - 2D 1. Prise en compte d’interactions ` a courte port´ ee 2. Particules sph´ eriques grande concentration) III Strat´ egie num´ erique Solveur sur domaine fictif Solveur particules X i (t n+1 )= X i (t n )+Δt. d X i dt (t n ) p i (t n+1 )= p i (t n )+Δt. ( ω i (t n ) × p i (t n ) ) u(t n ) d X i dt (t n ), ω i (t n ) Mise a jour de I Ω f (t n+1 ) X i (t n+1 ), p i (t n+1 ) avec condition de rigidit´ e Solveur d X i dt (t n )= u( X i (t n ),t n ) sur Ω s sur Ω f Ω s 1. Calcul du champ de vitesse ■ M´ ethode sans remaillage : Domaines fictifs ■ Contrainte de rigidit ´ e du champ de vitesse sur Ω s ■ Suivi des particules `a l’aide des fonctions caract ´ eristiques I Ω s et I Ω f 2. D´ eplacement des particules ■ M´ ethode particulaire : d ´ eplacement des particules `a partir du champ de vitesse interpol ´ e ■ Ajout de forces `a courte port ´ ee entre particules `a grandes concentration (probl ` eme de chevauchement) V Evolution de la phase solide (suite) O i F j →i P ij O i −−−→ O i P ij = l ij p i F i→j p j O j fibre i fibre j sphere j sphere i 3. Mise ` a jour de I Ω s VIII Perspectives 1. Am´ eliorations num´ eriques ■ Imposer des conditions p ´ eriodiques r ´ eelles sur le champ de vitesse au bord , en tenant compte du cisaillement (conditions limites de Lee-Edwards) ■ Meilleure prise en compte de la rigidit ´ e des particules (m´ ethode de lagran- gien augment ´ e) 2. Etude rh´ eologique ■ ´ etude d’ ´ ecoulements ” m´ esoscopiques” r ´ ealistes (taille de l’entrefer ≈ lon- gueur des fibres ) ■ homog ´ en ´ eisation num´ erique : loi de comportement pour des fluides avec plusieurs populations de particules ■ ´ etude num´ erique du changement de r ´ egime hydrodynamique/ non- hydrodynamique en fonction de la r ´ epartition de charges solides