Un modello monetario di search con doppia coincidenza dei bisogni

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UN MODELLO MONETARIO DI SEARCH CON DOPPIA COINCIDENZA DEI BISOGNI

di Nicola Amendola*

RIVISTA ITALIANA DEGLI ECONOMISTI / a. XIII, n. 1, aprile 2008

1. Introduzione

L’approccio di search al problema dei fondamenti di economia monetaria (Kyiotaki e Wright 1991; 1993) ha raccolto, negli ultimi anni, un significativo consenso, giustificato, in ampia misura, dalla robustezza e generalità del ri-sultato di esistenza degli equilibri monetari in un contesto di equilibrio gene-rale1. Negli schemi analitici di search, il fondamento razionale della moneta viene usualmente associato alla presenza del ben noto problema della rarità della doppia coincidenza dei bisogni. Come già evidenziato da Jones (1976), in un contesto di scambi decentrati, ed in cui gli incontri bilaterali sono regolati da un meccanismo casuale, la presenza di specializzazione nel consumo in-duce una struttura sub-additiva dei costi di transazione; l’impiego di un unico intermediario degli scambi, pur prolungando la sequenza delle transazioni, consente di ridurre tali costi, generando un beneficio sociale e individuale. In altri termini la moneta, in ragione della sua generale accettabilità, permette di ridurre il tempo medio di attesa necessario per implementare le allocazioni desiderate e può emergere, pertanto, come strategia ottima di scambio.

* Dipartimento di Economia e Istituzioni. Università di Roma «Tor Vergata». Desidero ringraziare tutti i partecipanti dell’European Workshop in Monetary Theory, te-

nutosi presso la Facoltà di Economia dell’Università di Roma Tor Vergata il 27-28 ottobre 2006, e della 48ª riunione scientifica annuale della Società Italiana degli Economisti, svoltasi presso la Facoltà di Economia della Università degli Studi di Torino il 26-27 ottobre 2007. Un partico-lare ringraziamento va ad Aleksander Berentsen, Jean Cartelier, Marcello Messori, e Christopher Waller per i loro utili commenti ad una versione precedente del lavoro. Ringrazio, infine, due anonimi referees che, con i loro utili suggerimenti, hanno consentito di migliorare il lavoro nella sua stesura definitiva.

1 Per un’ampia rassegna sull’approccio di search al problema dei fondamenti di un eco-nomia monetaria si vedano Rupert et al. (2000) e Shi (2006).

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Più recentemente, tuttavia, alcuni autori hanno posto in dubbio se non la rilevanza, quantomeno l’essenzialità del problema della doppia coincidenza dei bisogni ai fini della dimostrazione dell’esistenza di equilibri monetari. Engi-neer e Shi (1998) e Berentsen e Rocheteau (2003) hanno dimostrato che, in un modello di search con coincidenza universale dei bisogni ma asimmetrie nelle preferenze, l’impiego della moneta può produrre un miglioramento allocativo paretiano. La moneta, difatti, in ragione della sua collocazione simmetrica nel sistema di preferenze degli agenti, consente di trasferire l’utilità in maniera più efficiente rispetto alle attività reali. La presenza di asimmetrie di contrattazione appare invece cruciale nel contributo di Engineer e Shi (2001); i due autori assumono difatti che gli agenti dotati di attività reali abbiano, nello scambio, un potere di contrattazione incerto che può risultare, ex post, eterogeneo. Di contro, la moneta offre un potere di contrattazione certo; nella misura in cui quest’ultimo risulta sufficientemente elevato relativamente a quello garantito dalle attività non monetarie, vi può essere una domanda positiva di moneta.

È da rilevare come in entrambi gli approcci sopra considerati l’esistenza degli equilibri monetari risulti intimamente connessa al ruolo sociale svolto dalla moneta stessa, ossia alla sua capacità di ridurre il grado di inefficienza allocativa riscontrabile nell’economia.

Il presente lavoro, pur ponendosi in continuità con i contributi sopra citati, si concentra invece sul ruolo esercitato dalla presenza di asimmetrie nella struttura di produzione e scambio. L’obiettivo principale è di dimostrare che: a) tali asimmetrie possono essere poste a fondamento dell’esistenza di equilibri monetari, b) l’esistenza di detti equilibri prescinde, logicamente, dalla questione dell’efficienza allocativa. In particolare, viene analizzato un modello di search in cui vi è coincidenza universale dei bisogni ed in cui, differentemente da quanto si assume di solito in letteratura, il processo di rinnovo delle dotazioni non si realizza mediante auto-produzione, bensì me-diante l’intervento congiunto di lavoratori ed imprenditori; gli imprenditori possono produrre beni di consumo solamente ricorrendo ai servizi produttivi forniti dai lavoratori. Tale emendamento allo schema classico di search, per-mette di introdurre una relazione di complementarità tra imprenditori e lavo-ratori e, contestualmente, un chiaro elemento di asimmetria nel ruolo svolto dai due tipi di agenti economici nel processo di produzione e scambio: gli imprenditori offrono beni di consumo e domandano fattori produttivi, men-tre i lavoratori offrono fattori produttivi e domandano beni di consumo.

Supponendo che le dotazioni reali iniziali degli agenti siano nulle, il prin-cipale problema strategico fronteggiato dagli imprenditori riguarda le mo-dalità di realizzazione della produzione. La modalità più semplice e diretta può essere descritta come segue: gli imprenditori e i lavoratori si incontrano nel settore della produzione raggiungendo un accordo bilaterale circa le ri-

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spettive quote del futuro prodotto e, a seguito di tale accordo, realizzano la produzione mediante i sevizi dei lavoratori e la tecnologia posseduta dagli imprenditori. Vi è tuttavia una modalità alternativa e più articolata: gli im-prenditori si rivolgono ad una banca prendendo a prestito una unità di mo-neta che impiegano poi per acquistare i servizi del lavoro e produrre i beni di consumo. Successivamente, gli stessi imprenditori si presentano nel settore dello scambio dove vendono una frazione del loro prodotto ai lavoratori in cambio della moneta, che possono quindi restituire alla banca. In altri ter-mini, gli imprenditori possono decidere di estendere la sequenza delle tran-sazioni contrattando il salario reale nel settore dello scambio piuttosto che direttamente nel settore della produzione.

Riferendosi alla nota classificazione introdotta da Keynes (1933), la prima strategia di produzione caratterizza una co-operative economy, mentre la se-conda può essere agevolmente interpretata come la strategia di produzione e scambio propria di una monetary economy.

Sono almeno tre gli elementi di distinzione fra una co-operative ed una monetary economy che appaiono rilevanti in riferimento al problema dei fon-damenti di un’economia monetaria: i) il processo di contrattazione tra lavo-ratori ed imprenditori si realizza in fasi differenti, ii) il processo di contrat-tazione tra lavoratori ed imprenditori si realizza in diversi settori, iii) il pro-cesso di contrattazione riguarda differenti coppie di imprenditori e lavoratori.

Con riferimento al punto i), osserviamo che in una economia coopera-tiva i lavoratori e gli imprenditori contrattano le rispettive quote di output prima che la produzione sia effettivamente realizzata; viceversa, in una eco-nomia monetaria il processo di contrattazione avviene in una fase successiva e specificamente nel settore dello scambio. Nella misura in cui vi è una disuti-lità positiva del lavoro, la differenza riguardante il timing della contrattazione ha una interessante implicazione. In un’economia monetaria gli imprenditori contrattano con lavoratori che, nella loro veste di consumatori, hanno già sostenuto il costo della disutilità del lavoro. Tali lavoratori saranno, quindi, disposti ad accettare un salario reale inferiore a quello che dovrebbe corri-spondere un imprenditore deviante, che decida cioè di proporre un accordo di tipo cooperativo nel settore della produzione. Vi è un effetto, legato alla disutilità del lavoro, che previene le potenziali deviazioni dall’equilibrio mo-netario.

Riguardo al punto ii) osserviamo che in una economia cooperativa gli im-prenditori contrattano direttamente con i lavoratori in un settore che, anche se non del tutto propriamente, potremmo definire mercato del lavoro. Vice-versa, in un’economia monetaria la sequenza delle transazioni si prolunga, e i salari reali sono determinati nel mercato dei beni, dove gli imprenditori ed i lavoratori compaiono, rispettivamente, come venditori e compratori. A

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meno di specifiche ipotesi, non vi è alcuna ragione per assumere che il po-tere di contrattazione degli imprenditori sul mercato dei beni coincida con il loro potere di contrattazione sul mercato del lavoro. Nel caso in cui i vendi-tori godano di un potere di contrattazione relativo sufficientemente elevato, emerge allora un nuovo argomento a sostegno dell’equilibrio monetario.

Infine, dato il punto iii), l’attività di produzione e scambio propria di un’economia cooperativa, costituisce un processo auto-contenuto; la mede-sima coppia di imprenditori e lavoratori produce il bene di consumo e ne stabilisce le rispettive quote di pertinenza. Al contrario, in un’economia mo-netaria il processo di produzione e scambio non può più dirsi tale. A causa della struttura decentralizzata e casuale degli incontri, il singolo lavoratore contratta sulle quantità con un imprenditore che è necessariamente diffe-rente dall’imprenditore che lo ha assunto nel periodo precedente; le coppie di agenti che realizzano la produzione sono sempre diverse dalle coppie che realizzano lo scambio di beni. La moneta costituisce allora, dal punto di vista degli imprenditori, uno strumento per evitare un commitment sulle quantità nel settore della produzione ogniqualvolta, in ragione dei punti i) e ii), risul-tasse più conveniente contrattare le quantità nel settore dello scambio.

È importante infine chiarire che, come già anticipato, nello schema qui proposto il problema dell’esistenza dell’equilibrio monetario risulta logi-camente separato dalla questione dell’efficienza di tale equilibrio. Il fonda-mento razionale della moneta dipende da ciò che la moneta può fare per una specifica classe di agenti, segnatamente gli imprenditori. L’economia moneta-ria, in assenza di un problema di doppia coincidenza dei bisogni, è evidente-mente inefficiente, in quanto prolunga la catena degli scambi senza produrre alcun beneficio sociale. D’altro canto, la tecnologia monetaria consente di modificare la distribuzione del prodotto a vantaggio degli imprenditori. Nella misura in cui la perdita di efficienza dovuta all’impiego della moneta sia più che compensata dai guadagni distributivi, gli imprenditori preferiranno un sistema di scambi monetari. In tal senso la moneta può rappresentare, dal punto di vista degli imprenditori, uno strumento per massimizzare la loro quota di prodotto.

Il resto del lavoro è organizzato come segue. Nel paragrafo 2 viene in-trodotto il modello di base, in cui si assume l’esistenza di una disutilità del lavoro non nulla, ma il potere di contrattazione degli agenti è ipotizzato sim-metrico tra i settori; ciò consente di analizzare le principali implicazioni del punto i). Nel paragrafo 3 si discutono invece le conseguenze analitiche deri-vanti dall’ammettere la presenza di un potere di contrattazione eterogeneo tra i settori; ciò consente di approfondire gli aspetti legati al punto ii). Il pa-ragrafo 4 è dedicata alle proprietà di efficienza dell’equilibrio monetario. Se-guono le conclusioni.

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2. Il modello

L’economia2 è popolata da un continuo di agenti di massa unitaria, l’oriz-zonte temporale è infinito ed il tempo è continuo. La popolazione è compo-sta da E imprenditori e 1 – E lavoratori. Gli imprenditori dispongono della tecnologia per produrre una unità di bene divisibile mediante i servizi del la-voro. I lavoratori, pur non essendo in grado di produrre direttamente beni di consumo, possono fornire i servizi del lavoro necessari per realizzare la pro-duzione. Vi è, dunque, una complementarità tecnologica fra imprenditori e lavoratori e la produzione, come anche il consumo, implicano una attività di scambio tra i due tipi di agenti. I servizi del lavoro sono indivisibili ed omo-genei e comportano un costo, espresso in termini di disutilità, pari a d < 1.

Le preferenze di lavoratori e imprenditori sono rappresentate da una fun-zione di utilità lineare u(Q) = Q, dove Q è la frazione di output consumato. Il consumo rappresenta un input necessario per ricostituire la capacità pro-duttiva di entrambi gli agenti3 e non vi è alcuna specializzazione nella produ-zione e nel consumo. Ne consegue che vi è sempre una doppia coincidenza dei bisogni fra imprenditori e lavoratori e che qualsiasi possibile spiegazione dell’esistenza della moneta deve essere identificata altrove.

Riguardo alla tecnologia di matching, assumiamo che gli agenti si incon-trino casualmente a coppie seguendo un processo di Poisson con parametro costante b normalizzato, per semplicità di notazione, ad uno. Tuttavia, al fine di isolare ed enfatizzare il ruolo della struttura asimmetrica degli scambi, si è scelto di minimizzare le frizioni legate alla struttura di search adottando uno schema di endogenous matching without commitment4. La regola di matching può essere condizionata al tipo di agenti (imprenditori o lavoratori) ma, nel-l’ambito dei tipi, gli incontri sono casuali.

Con riferimento al quadro di ipotesi sopra definito, l’imprenditore può selezionare due possibili strategie per realizzare la produzione: i) Strategia cooperativa: quando un imprenditore incontra un lavoratore propone a tale lavoratore l’accesso ad un processo di contrattazione sulle rispettive quote di output il cui esito è identificato dalla soluzione assiomatica di Nash simme-trica. L’accordo tra imprenditore e lavoratore da luogo alla produzione che viene poi suddivisa secondo la regola precedentemente definita. Dopo aver consumato entrambi gli agenti tornano nella posizione iniziale; ii) Strategia

2 La struttura del modello presentato in questo paragrafo è largamente mutuata da Amen-dola (2008a).

3 Ciò implica che, anche se non vi è alcun ostacolo fisico alla formazione di scorte, gli agenti non possano accumulare beni di consumo.

4 Si vedano Corbae et al. (2002; 2003).

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monetaria: un imprenditore prende a prestito da una banca una unità indi-visibile di fiat money. Egli può, quindi, proporre al lavoratore l’acquisto dei servizi del lavoro contro l’unità di moneta. Una volta realizzata la produ-zione, l’imprenditore si presenta nel settore dello scambio dove incontra la-voratori dotati di moneta e dove, ancora una volta seguendo la regola deter-minata dalla soluzione assiomatica di Nash simmetrica, cede una frazione del suo output in cambio di moneta. Dopo aver effettuato lo scambio, l’impren-ditore può ripagare la banca ritornando nella posizione iniziale.

I lavoratori non hanno accesso al sistema del credito ed il costo di fi-nanziamento per gli imprenditori è pari a zero5. Assumiamo, inoltre, che la banca possa imporre una default penalty infinita, motivo per cui gli impren-ditori avranno sempre incentivo a restituire la moneta presa in prestito.

La soluzione assiomatica di Nash viene assunta per l’evidente vantaggio che comporta in termini di trattabilità analitica. È noto tuttavia che tale solu-zione può essere opportunamente re-interpretata come l’esito di un processo di contrattazione sequenziale (Binmore, Rubinstein e Wolinsky 1986). Ad esempio, il gioco di contrattazione sottostante alla strategia cooperativa può essere descritto come segue: al principio della contrattazione la Natura sele-ziona, con eguale probabilità, uno dei due agenti, ad esempio l’imprenditore, che avrà l’opportunità di proporre una regola di suddivisione dell’output. Se il lavoratore accetta, il gioco ha termine e si da luogo alla produzione, che viene poi distribuita secondo la regola precedentemente definita. Altrimenti, dopo un intervallo temporale Dt, viene estratto un nuovo agente che formula un’offerta alternativa. La contrattazione ha virtualmente durata infinita e gli agenti possono abbandonare il gioco in ogni stadio, ma non possono incon-trare altri agenti durante l’intervallo Dt. Il gioco così descritto ha un unico equilibrio perfetto nei sottogiochi che prevede che la prima offerta venga sempre accettata. Inoltre, è possibile dimostrare che quando l’intervallo di ricontrattazione Dt → 0 la regola di suddivisione dell’output di equilibrio converge alla soluzione assiomatica di Nash simmetrica. In maniera del tutto simile può essere interpretato il gioco di contrattazione che caratterizza la strategia monetaria.

Nel seguito del lavoro ci concentreremo esclusivamente sui potenziali equilibri di steady state in strategie pure per l’economia sopra descritta. In particolare, l’obiettivo principale consisterà nel dimostrare che la modalità di produzione ii) può rappresentare un equilibrio sostenibile. In altri termini, se tutti gli imprenditori decidono di perseguire una strategia monetaria, allora

5 Ciò equivale ad assumere che la banca non abbia alcun ruolo attivo nel processo di allocazione dei beni. Tale assunzione nasce esclusivamente da esigenze di semplificazione del-l’analisi.

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nessun imprenditore avrà incentivo a deviare proponendo ai lavoratori un ac-cordo di tipo cooperativo.

2.1. Endogenous matching e distribuzione di steady state

Supponiamo, per il momento, che gli imprenditori decidano di offrire un contratto monetario e che i lavoratori siano disposti ad accettare tale con-tratto. Si possono identificare, in tal caso, quattro possibili stati: gli imprendi-tori possono trovarsi nel settore della produzione o nel settore dello scambio; nel primo caso essi saranno dotati di una unità di moneta mentre, nel secondo caso, possiederanno una unità di bene di consumo. Denotiamo il primo stato con p = produttori ed il secondo stato con v = venditori. Simmetricamente, i lavoratori possono trovarsi nel settore della produzione, dotati di potenziali servizi lavorativi, oppure nel settore dello scambio e dotati di una unità di moneta. Indichiamo il primo stato con l = lavoratori attivi e il secondo stato con c = compratori. In uno schema di endogenous matching gli agenti decidono il tipo che vogliono incontrare seguendo una regola di mat ching ottima. Nel caso specifico, la regola di matching ottima è la seguente: a) i lavoratori attivi decidono di incontrare i produttori e viceversa; b) i compratori decidono di incontrare i venditori e viceversa. Qualsiasi altra regola è subottima nella mi-sura in cui non dà accesso ad alcuna opportunità di scambio.

Data la regola precedentemente definita, le probabilità di incontro sono le seguenti:

pnn

pnnvc

c

vcv

v

c= ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

min , ; min ,1 1

pnn

pn

npll

plp

p

l

=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫min , ; min ,1 1⎬⎬

⎪

⎭⎪dove ni i = c, v, p, l descrive la distribuzione degli agenti fra i vari stati e pij rappresenta la probabilità che un agente di tipo i incontri un agente di tipo j. Le probabilità di incontro sono dunque determinate mediante una regola del lato corto.

Nell’analisi che segue l’attenzione è circoscritta agli equilibri di steady state ed al caso in cui 1 – E ≥ E; ossia il numero dei lavoratori è superiore o eguale al numero degli imprenditori. Il significato di quest’ultima restrizione appare abbastanza ovvio: si è scelto di analizzare un’economia in cui vi è un eccesso strutturale di offerta di lavoro o, al limite, un eccesso di offerta pari a zero.

Le condizioni di steady state si ottengono eguagliando i flussi in entrata e in uscita tra i vari stati e tenendo conto dei vincoli esogeni imposti dalla ipo-

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tesi di una popolazione costante nel tempo. È immediato verificare che tali condizioni sono date da:

(1) nnn

nn

ncv

cl

p

l

min , min ,1 1⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

(2) nc + nl = 1 – E ≥ E = np + nv

(3) nc = nv

In particolare, la condizione (3) deriva dal fatto che nel settore dello scambio vi è sempre, definitoriamente, un equilibrio nei flussi in entrata e, conseguentemente, un equilibrio di stock6. Dalle condizioni (2) e (3) otte-niamo nl ≥ np. Dunque, tenendo conto della (1) si ha nv = np. La distribu-zione di steady state è allora:

(4) n n nE

nE

v p c l= = = = −2

2 32

;

da cui segue che:

pnn

EE

Elpp

l=

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − =min , ( )12 3

g

e

pvc = pcv = ppl = 1

Si noti che se 1 – E > E, allora g(E) < 1 e ciò implica che la probabilità che un lavoratore incontri un imprenditore è inferiore all’unità. Viceversa, se 1 – E = E, allora g(E) = 1 e non vi è alcun lato corto nel settore della pro-duzione. Con tutte le dovute cautele, possiamo interpretare g(E) come una proxy del tasso di disoccupazione, ragione per cui g(E) = 1 identifica una eco-nomia di pieno impiego.

6 I produttori si presentano nel settore dello scambio se e soltanto se incontrano un la-voratore attivo e viceversa. Ciò implica che per ogni produttore che entra nel settore dello scambio vi è sempre un corrispondente lavoratore attivo che accede a tale settore; vi è sempre un equilibrio di flusso tra lavoratori attivi e produttori. Tuttavia, se ciò e vero, la sola possibile distribuzione di steady state coerente con la condizione iniziale n nv c

0 0 0= = (assenza di dota-zioni reali iniziali positive) richiede nv = nc.

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2.2. Le condizioni di ottimo

Data la distribuzione di steady state identificata dalla (4) possiamo deter-minare le seguenti equazioni di Bellmann per un equilibrio monetario:

(5) rVp = Vv − Vp

(6) rVv = Vp − Vv + Qm

(7) rVl = g(E)[Vc − Vl − d]

(8) rVc = Vl −Vc + 1 − Qm

dove Vj ; j = v, c, l, p è la funzione valore di un agente nello stato j, r > 0 è il tasso di preferenza intertemporale, d è la disutilità del lavoro e 1 − Qm è la quantità del bene di consumo ottenuta dal lavoratore in cambio di una unità di moneta. Per il momento assumiamo che Qm ∈ [0,1] sia esogenamente asse-gnato, riservandoci di determinare il valore di equilibrio di Qm nel paragrafo successivo.

Le condizioni (5)-(8) hanno la consueta interpretazione. Il flusso dei rendimenti nello stato j deve essere uguale ai guadagni attesi derivanti dagli scambi nello stato j. Ad esempio, il flusso dei rendimenti di un lavoratore at-tivo deve essere pari alla probabilità g(E) con cui egli incontra un produttore moltiplicata per il guadagno derivante dalla sottoscrizione di un contratto monetario, dove tale guadagno è dato dalla differenza tra la funzione valore di un compratore Vc e la funzione valore di un lavoratore attivo Vl al netto della disutilità del lavoro d.

Tuttavia, stante un vincolo di non-negatività sulle funzioni valore, non tutti i possibili valori di Qm risultano compatibili con le condizioni di ottimo. Dalle equazioni (5)-(8) possiamo derivare i seguenti vincoli di partecipazione per gli imprenditori:

(9) rVp ≥ 0

(10) Vp − Vv + Qm ≥ 0

e, ricorrendo ancora alle condizioni di ottimo, otteniamo:

rVQrp

m= + ≥2

0 per ogni Qm ∈ [0,1]e

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V V QQ r

rp v mm− + =

++( )1

2 ≥ 0 per ogni Qm ∈ [0,1]

Dunque, i vincoli di partecipazione (9) e (10) sono soddisfatti per ogni Qm ∈ [0,1]. Tale risultato non vale invece per i vincoli di partecipazione dei lavoratori che sono dati da:

(11) Vc − Vl − d ≥ 0

(12) Vl − Vc +1 − Qm ≥ 0

Ricordando le condizioni di ottimo, possiamo riformulare i due prece-denti vincoli come segue:

(13) Q r Qm m≤ − + =1 1d( )

(14) Qr

Qm m≤ − + =1 dg

g

In primo luogo, osserviamo che Q Qm m> . Ciò implica che, dato il vin-colo (13), il vincolo (14) non è mai stringente. Tuttavia, la condizione di non-negatività impone Qm ≥ 0 e ciò è verificato se e soltanto se:

(15) d ≤ +1

1r

Possiamo dunque concludere che se il vincolo (15) è rispettato, una possibile soluzione monetaria per il modello è data da Q Qm m∈[ , ]0 , dove 1 − Qm può essere interpretato come salario di riserva. Si noti che il salario di riserva è una funzione crescente di d e r, dove tale proprietà ha un inter-pretazione immediata. Se la disutilità del lavoro aumenta vi deve essere un corrispettivo aumento del salario di riserva. Se il saggio di preferenza inter-temporale r aumenta, aumenta anche il costo di rinviare il consumo, e tale costo deve essere compensato da un più elevato salario di riserva.

2.3. La determinazione del prezzo monetario

Il valore Qm è, a tutti gli effetti, un prezzo monetario che deve essere de-terminato endogenamente mediante un processo di contrattazione che coin-volge compratori e venditori. Come già anticipato, si assume qui che tale processo converga ad una soluzione assiomatica di Nash con punto di mi-

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naccia pari a zero (NBS). Al fine di caratterizzare tale soluzione è opportuno seguire una procedura in due fasi7. In primo luogo occorre identificare la quantità di equilibrio qm determinata in un singolo incontro. Tale quantità risolve il seguente problema:

(16) max( )( )q

p m l mm

V q V q+ + −1

s.t. Vl − Vc + 1 − qm ≥ 0

dove Vp = Vp(Qm), Vl = Vl(Qm), Vc = Vc(Qm), Qm rappresenta la quantità che il singolo agente si aspetta di ottenere sul mercato e il rispetto del vincolo garantisce che i lavoratori non abbiano mai incentivo ad abbandonare la contrattazione. La soluzione del problema (16) consente di determinare una funzione di risposta ottima qm = f(Qm). Tuttavia, in equilibrio Qm = qm motivo per cui un punto fisso di f identifica la NBS Qm* .

Definiamo un equilibrio monetario ammissibile come una collezione di valori ( , , , , ;  * )V i p l c v Qi m= > 0 che soddisfano le seguenti condizioni: i) q Q Qm m m= = * risolve il problema di contrattazione (16) assumendo Vp = Vp(Qm), Vl = Vl(Qm) e Vc = Vc(Qm) come date, ii) Vp, Vl, Vc e Vv risol-vono le condizioni di ottimo (5)-(8) sotto il vincolo (13), assumendo Qm come dato.

Possiamo allora dimostrare il seguente risultato:

Proposizione 1. Un equilibrio monetario ammissibile esiste se e soltanto se d ≤ 1/(1 + r). Se d ≤ a(r), dove a(r) è una funzione decrescente di r, la NBS Qm* è unica e risolve il problema (16) non vincolato. Se a(r) < d ≤ 1/(1 + r), il vincolo del problema (16) è stringente e Q Qm m* = .

Dimostrazione: vedi Appendice.

Concludiamo, dunque, che se per dato livello del tasso di preferenza intertemporale r la disutilità del lavoro d non è troppo elevata (oppure per un dato livello di disutilità del lavoro d gli agenti sono sufficientemente pa-zienti), allora un equilibrio monetario ammissibile esiste sempre. L’interpreta-zione economica della Proposizione 1 appare intuitiva: in un’economia mo-netaria né i produttori né i lavoratori attivi possono consumare immediata-mente l’output prodotto; entrambi debbono recarsi nel settore dello scambio, rispettivamente come venditori e compratori. In particolare, per i lavoratori

7 Si vedano, in particolare, Trejos e Wright (1995).

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il costo del consumo differito dipende da r. Qualora tale costo risultasse ec-cessivamente elevato rispetto alla disutilità del lavoro d, il sistema di scambi monetari non sarebbe più praticabile, a meno di violare il vincolo di parteci-pazione dei lavoratori stessi.

2.4. L’esistenza dell’equilibrio monetario

Nel precedente paragrafo abbiamo ipotizzato che gli imprenditori fossero vincolati alla strategia monetaria. In altri termini, abbiamo assunto l’equili-brio monetario ed abbiamo mostrato che tale equilibrio risulta, sotto oppor-tune restrizioni sui parametri del modello, coerente con i vincoli di parteci-pazione dei soggetti. Al fine di provare l’esistenza dell’equilibrio monetario occorre però anche dimostrare che non esistono incentivi a perseguire stra-tegie alternative. Più specificamente, si rende necessario identificare le condi-zioni, se ne esistono, tali per cui, con riferimento ad un economia monetaria, nessun produttore abbia incentivo ad offrire un contratto di tipo cooperativo in alternativa al contratto monetario.

Prima di analizzare il problema dell’esistenza dell’equilibrio monetario è però opportuno introdurre il seguente risultato:

Proposizione 2. Una deviazione permanente dal contratto monetario costi-tuisce una strategia ottimale se e soltanto se una singola deviazione dal con-tratto monetario è profittevole.

Dimostrazione: vedi Appendice.

La Proposizione 2 ha due principali implicazioni, prevalentemente tecni-che. La prima è che se un produttore decide di deviare allora deciderà di deviare permanentemente; ne consegue che possiamo restringere la nostra attenzione a strategie di deviazione permanente. La seconda è che per veri-ficare la profittabilità di una strategia di deviazione permanente è sufficiente verificare la profittabilità di una singola deviazione.

Definiamo ora qc come la quantità scambiata in un singolo accordo cooperativo. Un produttore deviante otterrà il pay-off V Q qc

pc c( ) + dove

V Q rpc

c= / indica la funzione valore di un produttore che decide di offrire sempre un contratto cooperativo e Qc è la quantità che tale produttore si aspetta di ottenere da un accordo cooperativo. Il corrispondente pay-off di un lavoratore attivo è V Q ql m c( *) + − −1 d . Come in precedenza, Il valore qc si determina endogenamente come soluzione del seguente problema:

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(17) max( )( )q

pc

c l cc

V q V q+ + − −1 d

s.t. qc < 1 − d

dove il vincolo di partecipazione tiene ora conto del flusso dei guadagni di un lavoratore coinvolto in un processo cooperativo. La condizione del primo ordine per il problema (17) non vincolato permette di derivare la seguente funzione di risposta ottima:

(18) qV V

g Q Qcl p

c

c m= +−

− =12 2 2

d( , *)

La funzione di risposta ottima dipende, dunque, dal valore di equili-brio Qm* e dal valore atteso Qc. Come nel caso precedente, in equilibrio si haq Q Qc c c= = * . Tuttavia, differentemente da quanto avviene per il problema (16), possiamo dimostrare che la NBS per il problema (17) è sempre non vincolata.

Lemma. Per ogni Qm* esiste sempre uno ed un solo valore 0 1< < −Qc* dtale che Q g Q Qc c m* ( *, *)= .

Dimostrazione: vedi Appendice.

È interessante inoltre notare che, data la (18), g Q Q f Q Qm m m m( *, *) ( *) *< =dove ciò implica che Q Qc m* *< . In equilibrio, dunque, un contratto coope-rativo deviante restituisce una quantità inferiore rispetto al contratto mone-tario. Ciò accade in quanto la contrattazione tra il produttore deviante ed il lavoratore si realizza in uno stadio differente; vi è una diversa sequenza di incontri che coinvolge differenti soggetti. In un contratto cooperativo de-viante il produttore contratta la quantità q con un lavoratore che deve ancora sopportare la disutilità del lavoro d. In un contratto monetario l’imprenditore (nella sua veste di venditore) contratta la quantità q con un lavoratore (nella sua veste di compratore) che ha già pagato il costo d. Ne discende che il pay-off di riserva di un lavoratore attivo è in generale più elevato del pay-off di riserva di un compratore.

La proprietà Q Qc m* *< non implica però, di per sé, che la deviazione dal contratto monetario non sia profittevole. In particolare, possiamo affermare che una deviazione dal contratto monetario non è profittevole se e soltanto se:

V Vpc

p≤

dove, ricorrendo alle condizioni di ottimo, la precedente può essere riscritta nella seguente forma:

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(19) Qr

Qmc

**+ ≥

2

Definiamo un equilibrio monetario sostenibile come un equilibrio moneta-rio ammissibile tale che la condizione (19) è sempre soddisfatta.

Le seguenti proposizioni consentono di esplicitare la relazione tra la con-dizione di sostenibilità (19) e i parametri r, g e d.

Proposizione 3. Si assuma un equilibrio monetario ammissibile non vinco-lato. Allora, un equilibrio monetario sostenibile esiste sempre se e soltanto se d ∈ A(g, r) ⊂ ℝ+ dove A(g, r) = {d; �(r, g) ≤ d ≤ a(r)} e �(r, g) è una funzione crescente di r.

Dimostrazione: vedi Appendice.

Proposizione 4. Si assuma un equilibrio ammissibile vincolato. Allora, un equilibrio monetario sostenibile esiste sempre se e soltanto se d ∈ B(r) ⊂ ℝ+ dove B(r) = {d; a(r) ≤ d ≤ f(r)} e f(r) è una funzione decrescente di r

Dimostrazione: vedi Appendice.

Proposizione 5. Un equilibrio monetario sostenibile esiste sempre se e sol-tanto se d ∈ A(g, r) ∪ B(r) ⊂ ℝ+

Dimostrazione: segue immediatamente dalle Proposizioni 3 e 4.

Le Proposizioni 3-5 caratterizzano l’equilibrio monetario. In particolare, consentono di affermare che, per dati valori di r e g, la disutilità del lavoro d non deve essere né troppo alta né troppo bassa. Se d fosse troppo elevato, il vincolo di partecipazione dei lavoratori non sarebbe soddisfatto, violando le condizioni di ammissibilità dell’equilibrio monetario; se d fosse troppo basso la deviazione cooperativa offrirebbe opportunità profittevoli e l’equilibrio monetario, anche se ammissibile, non sarebbe robusto.

A fronte di tale risultato non possiamo però essere sicuri che tale valore d esista nel suo dominio. Per provare che la restrizione necessaria sui parametri del modello non identifichi l’insieme vuoto dobbiamo analizzare il comporta-mento di A(g, r) e B(r).

Proposizione 6. L’insieme A(g, r) è un insieme non vuoto se e soltanto se r ≤ 1/2. Inoltre, se g ′ < g, A(g, r) ⊂ A(g ′, r).

53

Dimostrazione: vedi Appendice.

Proposizione 7. L’insieme B(r) è non vuoto se e soltanto se r ≤ 1/2.

Dimostrazione: vedi Appendice.

La figura 1 illustra l’insieme A(g, r) ∪ B(r) al variare di g e r. L’area pun-tinata identifica l’insieme dei parametri che ammettono equilibri non vinco-lati, mentre l’area tratteggiata contiene l’insieme dei parametri che ammet-tono equilibri vincolati. Come si può notare, al diminuire di g l’insieme degli equilibri non vincolati si estende, mentre l’insieme degli equilibri vincolati non dipende da g. L’insieme dei parametri che garantisce l’esistenza di equi-libri monetari ammissibili si restringe all’aumentare di g. L’intuizione è la se-guente: quando g converge all’unità, l’economia si avvicina ad uno stato di piena occupazione. Ciò implica un aumento di Vl che peggiora la posizione contrattuale dei lavoratori che si trovano nel settore della produzione, per-mettendo al produttore deviante di ottenere una maggiore quota di prodotto. Per tale motivo, la realizzazione di un equilibrio monetario diviene meno cre-dibile.

Un’osservazione conclusiva riguarda l’andamento di Qm* al variare di g. È immediato verificare che se r ≤ 1/2 e d ≤ a(r) e ossia se è rispettata la con-dizione necessaria per l’esistenza di un equilibrio monetario sostenibile non vincolato, si ha ∂ ∂ >Qm*/ g 0 [vedi eq. (27) in Appendice]. Poiché il prezzo monetario del bene di consumo è dato da 1 1/( *)− Qm la precedente pro-prietà implica che i prezzi monetari aumentino quando l’economia si muove

FIG. 1.

Soluzionivincolate

Soluzioninon vincolate

r

1/(1 + r)

(r)

(r)

(r, = 1)

(r, < 1)

1/2

54

verso uno stato di piena occupazione. In tal senso, l’economia analizzata esi-bisce prezzi monetari prociclici, dove tale caratteristica può essere spiegata come segue. Quando g aumenta, aumenta anche Vl; la riduzione del «tasso di disoccupazione» comporta un miglioramento del benessere dei lavoratori. Allo stesso tempo, tale miglioramento indebolisce la posizione contrattuale dei lavoratori che si presentano sul mercato dei beni e i venditori possono trarne vantaggio spuntando un prezzo monetario più elevato. Se, invece, d > a(r) gli equilibri monetari ammettono solamente soluzioni vincolate e ∂ ∂ = ∂ ∂ =Q Qm m*/ /g g 0 . In tal caso, i venditori non possono trarre alcun van-taggio dall’aumento di g, in quanto violerebbero il vincolo di partecipazione dei lavoratori.

3. Potere di contrattazione ed equilibrio monetario

Nell’analisi fin qui proposta, l’esistenza di un equilibrio monetario di-pende crucialmente dall’introduzione di una disutilità positiva del lavoro d. Se d fosse pari a zero, o non sufficientemente elevato, il risultato di esistenza dell’equilibrio monetario non sarebbe più valido. La ragione è abbastanza ovvia: la sostenibilità dell’equilibrio monetario dipende dal fatto che in un sistema monetario il processo di contrattazione si realizza in uno stadio dif-ferente rispetto a quanto accade in un’economia cooperativa. In particolare, in un’economia monetaria imprenditori e lavoratori contrattano sulle quote di prodotto dopo che la produzione si è realizzata, ossia in una fase in cui i lavoratori non debbono più sopportare il costo d. Ovviamente, se d = 0 tale differenza cessa di avere rilevanza.

Tuttavia, un’economia monetaria ed un’economia cooperativa sono di-verse non solamente perché gli agenti contrattano in fasi differenti, ma anche perché contrattano in settori differenti. Nel paragrafo 2, abbiamo assunto che il potere di contrattazione di un produttore fosse uguale al potere di con-trattazione di un venditore, e tale restrizione non ci consente di esplorare le conseguenze derivanti da quest’ultima differenza. Per superare tale limite oc-corre generalizzare l’analisi ammettendo l’esistenza di un potere di contrat-tazione eterogeneo fra i settori. Questo paragrafo si propone di illustrare le principali implicazioni derivanti da detta generalizzazione8.

Qualora si ammetta che il potere di contrattazione di un venditore possa essere diverso da ½, occorrerà adottare una soluzione di Nash generalizzata (GNBS) al fine di determinare la quantità scambiata in un equilibrio mone-

8 Per un’analisi formale del modello con eterogeneità nel potere di contrattazione si ri-manda ad Amendola (2008b).

55

tario. In particolare, il problema di contrattazione (16) assumerà la seguente forma:

(20) max( ) ( )q

p m l mm

V q V q+ + − −s s1 1

s.t. Vl − Vc + 1 – qm ≥ 0

dove 0 ≤ s ≤ 1 indica il potere di contrattazione del venditore. Come per il caso trattato nel paragrafo 2, le condizioni del primo ordine del problema (20) determinano una funzione di risposta ottima il cui punto fisso identifica la GNBS. L’unica differenza sostanziale è che la quantità di equilibrio Qm*( )sdipenderà ora positivamente da s. Al crescere di s, ossia del potere di con-trattazione del venditore, aumenta il prezzo monetario dei beni e diminuisce il salario reale.

Tuttavia, la generalizzazione del modello non produce solamente un «ef-fetto di scala» ma ha implicazioni rilevanti sulle condizioni di esistenza degli equilibri monetari. Tali implicazioni emergono chiaramente qualora si consi-deri il problema di contrattazione di un imprenditore deviante [ossia l’ana-logo del problema (17) nel paragrafo 2]. La quantità qc contrattata in un sin-golo incontro da un produttore deviante risolve ora:

(21) max( ) ( )q

pc

c l cc

V q V q+ + − − −h hd1 1

s.t. qc < 1 − d

dove 0 ≤ h ≤ 1 indica il potere di contrattazione di un produttore e Vpc e Vl

sono date. Il punto essenziale è che, nella misura in cui il settore della pro-duzione e il settore dello scambio sono settori distinti, non vi è alcuna ra-gione generale per assumere che il potere di contrattazione di un produttore coincida con il potere di contrattazione di un venditore. Di conseguenza, oc-corre ammettere la possibilità che h ≠ s.

Data la struttura del problema (21), la quantità di equilibrio ottenuta da un produttore deviante dipenderà sia dal potere di contrattazione del pro-duttore stesso, sia dal potere di contrattazione dei venditori. In altri termini, Q Qc c* *( , )= h s , dove ∂ ∂Qc*/ h > 0 e ∂ ∂Qc*/ s < 0. All’aumentare di h l’impren-ditore deviante otterrà, ovviamente, una quota più elevata dell’output ma, al-l’aumentare di s, ossia del potere di contrattazione dei venditori, si ridurrà il pay-off atteso dei lavoratori e, con esso, l’ammontare di surplus netto contrat-tato dall’imprenditore deviante e dal lavoratore.

In questo nuovo framework, l’esistenza dell’equilibrio monetario dipen-derà, oltre che dai consueti parametri (come illustrato nel precedente para-

56

grafo), anche dal rapporto fra i parametri h e s. In particolare, è possibile dimostrare (si veda Amendola 2008b) che l’equilibrio monetario è sostenibile se e soltanto se:

(22) s hd dd

h d≥ + − −+ −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=( ) ( )( )

( , )r r

rH r

1 11

2

Con riferimento alla (22), la prima cosa che occorre notare è che, men-tre in un’economia con potere di contrattazione omogeneo l’assenza di una disutilità positiva del lavoro è incompatibile con l’esistenza di un equilibrio monetario, nell’economia generalizzata un equilibrio monetario risulta soste-nibile anche se assumiamo una disutilità del lavoro pari a zero. Difatti, se d = 0 la (22) diviene s ≥ h(1 + r); è sufficiente dunque che il potere di con-trattazione dei venditori sia sufficientemente elevato rispetto al potere di con-trattazione dei produttori.

Quest’ultimo risultato è essenzialmente dovuto al fatto che un sistema di scambi monetari implica non solo una differente tempistica nella contratta-zione ma anche una differente collocazione di mercato del processo di con-trattazione. Anche se, in assenza di una disutilità positiva del lavoro, gli im-prenditori non possono avvantaggiarsi della prima differenza, possono tutta-via trarre vantaggio dalla seconda, posto che il loro potere di contrattazione sul mercato dei beni sia sufficientemente elevato rispetto al potere di mer-cato di cui godrebbero contrattando le quantità direttamente sul mercato del lavoro.

Più in generale, l’effetto dovuto all’esistenza di un potere di contratta-zione eterogeneo tra i mercati si aggiunge all’effetto legato alla disutilità del lavoro. Ciò rende l’equilibrio monetario più robusto e determina una rela-zione di sostituibilità tra i due effetti. È immediato infatti verificare cheH (r, d) è una funzione decrescente di d. In altri termini, rafforzando l’effetto legato alla disutilità del lavoro, il valore di soglia per s diminuisce; l’equili-brio monetario risulta cioè compatibile con un potere di contrattazione del venditore relativamente inferiore. In particolare, possiamo osservare che se d > (r + 1)/(r + 3) allora H(r, d) < 1 e ciò vuol dire l’equilibrio monetario può esistere anche se il potere di contrattazione sul mercato dei beni è inferiore al potere di contrattazione sul mercato del lavoro.

4. Efficienza

Nella precedenti sezioni abbiamo mostrato che, date alcune restrizioni sullo spazio dei parametri del modello, la strategia monetaria costituisce un equilibrio sostenibile. Assumendo un equilibrio monetario, nessun impren-

57

ditore avrà incentivo a deviare dalla strategia monetaria. È lecito tuttavia, chiedersi se gli imprenditori possano preferire la strategia monetaria anche in una prospettiva ex ante, indipendentemente cioè dai vincoli di interazione strategica.

L’equilibrio monetario è, senza dubbio, inefficiente in quanto prolunga la sequenza delle transazioni senza produrre alcun beneficio sociale. La produ-zione, difatti, non può essere aumentata e gli scambi monetari implicano, ne-cessariamente, una riduzione della dimensione del settore produttivo.

Tuttavia, anche se l’equilibrio monetario non costituisce un ottimo, può essere ottimale ex ante per gli imprenditori. Nello schema analitico proposto, la scelta del sistema di produzione e scambio è una prerogativa degli impren-ditori, e dal punto di vista di questi ultimi, il contratto monetario può essere preferito a quello cooperativo nella misura in cui comporti un vantaggio di-stributivo. La questione allora è se la perdita di efficienza riscontrabile in un sistema monetario sia più che compensata dai vantaggi distributivi percepiti dagli imprenditori. Per rispondere a tale interrogativo è necessario confron-tare la funzione valore di un produttore che opera in un’economia coopera-tiva con la funzione valore di un produttore che opera in un’economia mo-netaria.

Limitandosi, per semplicità di notazione, al caso di una economia di pieno impiego, le condizioni di ottimo di un’economia cooperativa si riducono alla seguente coppia di equazioni di Bellmann:

rV Qpc

ce=

rV Qlc

ce= − −1 d

dove Qce denota la frazione di output ottenuta dai produttori. Il valore di equilibrio Qce* si determina, come di consueto, risolvendo il problema di contrattazione individuale ed imponendo successivamente la condizione di simmetria. Se il potere di contrattazione dei produttori è pari a h, otteniamo Qce* ( )= −1 d h .

L’equilibrio monetario sarà preferito ex ante rispetto all’equilibrio coo-perativo se e soltanto se V Vp p

c≥ , ossia Q rm*( )/( ) ( )s d h+ ≥ −2 1 dove Qm*( )s è la GNBS del problema (20). A partire dalla forma esplicita di Qm*( )s , è possibile dimostrare che la precedente disuguaglianza risulta soddisfatta se e soltanto se:

(23) sd

dh d h≥ − + +

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=( )( )( )( , )

1 1 21

r rr

B r

58

Come era lecito attendersi, se il potere di mercato del venditore è suf-ficientemente elevato rispetto al potere di mercato del produttore, allora la perdita di efficienza implicata dall’adozione di un sistema monetario ri-sulta più che compensata dal guadagno distributivo. Osserviamo inoltre che B(r, d) ≥ H(r, d); per ottenere l’ottimalità ex ante occorre imporre una condi-zione più restrittiva su s rispetto a quella necessaria per garantire l’esistenza di un equilibrio monetario. Allo stesso tempo, si ha ∂B(r, d)/∂d < 0 l’effetto legato alla disutilità del lavoro permette di allentare il vincolo su s; in parti-colare è immediato verificare che, dato il vincolo di ammissibilità dell’equi-librio monetario, min {B(r, d)} = (1 + r). Dunque, anche nella situazione più favorevole è necessario che si abbia s > h.

Quest’ultimo risultato rende chiaro un punto. L’effetto legato alla disuti-lità del lavoro gioca un ruolo rilevante solamente in una prospettiva ex post, cioè qualora si assuma l’equilibrio monetario. In tal caso, i produttori che of-frono un contratto monetario hanno un vantaggio competitivo rispetto ad un potenziale produttore deviante che decida di proporre un accordo coopera-tivo, e ciò accade in quanto il produttore deviante si trova a contrattare con un lavoratore che ha la medesima utilità attesa ma, in aggiunta, una disutilità positiva del lavoro. Di contro, in una prospettiva ex ante, l’effetto di illusione monetaria non ha più carattere discriminante, e l’effetto legato alla eteroge-neità del potere di contrattazione diviene invece cruciale.

5. Conclusioni

Abbiamo analizzato un modello di search in cui si assume che gli agenti siano eterogenei rispetto al ruolo svolto nel sistema economico. Gli impren-ditori rivestono un ruolo dominante nella misura in cui hanno esclusivo ac-cesso al credito e possono decidere circa la strategia di scambio impiegata per realizzare la produzione. I lavoratori svolgono invece un ruolo residuale, potendo decidere solamente se partecipare o meno all’attività di scambio e produzione. Il modello in questione si differenzia sostanzialmente dallo schema analitico di search standard in quanto la soluzione monetaria dipende crucialmente dalla funzione obiettivo di una singola classe di agenti.

In assenza di un problema di doppia coincidenza dei bisogni, la tecnolo-gia di scambio cooperativa domina la tecnologia di scambio basata sull’uso della moneta. Ciò accade perché: a) i singoli livelli di produzione sono co-stanti per ipotesi; b) l’impiego della moneta prolunga inutilmente la sequenza degli scambi.

Tuttavia, la distribuzione del prodotto dipende dalla tecnologia di scam-bio, e ciò si rivela un argomento cruciale per l’esistenza di un equilibrio mo-

59

netario. De facto, la moneta viene creata e distrutta dagli imprenditori, men-tre le banche svolgono solamente una funzione di deterrenza. Tale funzione è necessaria al fine di evitare comportamenti opportunistici da parte degli imprenditori, ossia l’eventualità che questi ultimi, liberi dall’obbligo di resti-tuire la moneta, consumino integralmente la quantità prodotta. Volendo per-ciò individuare un fondamento razionale per l’impiego della moneta, occorre far riferimento al sistema di incentivi degli imprenditori. Se gli imprenditori possono trarre sufficiente vantaggio da una tecnologia di scambio monetaria, senza per questo estrarre tutto il surplus dai lavoratori, allora l’equilibrio mo-netario costituisce un esito robusto.

In particolare, abbiamo identificato due elementi che spiegano l’esistenza di un equilibrio monetario: la disutilità del lavoro ed il potere di contratta-zione relativo dei venditori. Un aumento della disutilità del lavoro comprime la quota di prodotto degli imprenditori sia nell’equilibrio monetario, sia in quello cooperativo. Allo stesso tempo, causando un incremento del salario reale relativo corrisposto in un accordo cooperativo, rende meno plausibile una deviazione dalla strategia monetaria.

Il potere di contrattazione relativo dei venditori ha un effetto diretto e positivo sulla quota di prodotto spettante agli imprenditori. È possibile indi-viduare due livelli di soglia per il potere di contrattazione relativo dei vendi-tori, H(r, d) e B(r, d). Se il potere di contrattazione dei venditori è superiore alla prima soglia, ma inferiore alla seconda, possiamo affermare che l’equili-brio monetario è robusto rispetto a deviazioni cooperative. Se è più elevato della seconda soglia, gli imprenditori preferiranno l’equilibrio monetario an-che in una prospettiva ex ante. Più precisamente, la perdita di efficienza do-vuta al prolungamento della sequenza degli scambi sarà più che compensata dal guadagno in termini di quota di prodotto spettante agli imprenditori. I due effetti sopra descritti sono inoltre sostituti; un aumento della disuti-lità del lavoro comporta, infatti, una riduzione di entrambi i valori di soglia H(r, d) e B(r, d).

Appendice

Dimostrazione della Proposizione 1: Supponiamo che la soluzione cercata sia interna. Dalle condizioni del primo ordine per il problema (16) non vin-colato otteniamo:

(24) qV Q V Q

f Qml m p m

m= +−

=12 2

( ) ( )( )

60

dove, ricorrendo alle condizioni di ottimo (5)-(8) possiamo scrivere:

(25) VQ

r rV

Q rr rp

ml

m= + =− − +

+ +( );

[ ( ) ]( )2

1 11

g dg

È immediato verificare che f è una funzione continua e differenziabile con ∂f/∂Qm < 0, e che tale funzione possiede un minimo ammissibile per Q Qm m= . Ciò consente di escludere la presenza di soluzioni multiple. Dob-biamo tuttavia ancora dimostrare l’esistenza di una soluzione ammissibile non vincolata. Osserviamo, in primo luogo, che f(0) > 0. Ne consegue che condi-zione necessaria e sufficiente per l’esistenza di una soluzione ammissibile non vincolata è f Q Qm m( ) ≤ . Ciò implica, infatti, che la curva decrescente f(Qm) intersechi in qualche punto la retta a 45°; vale a dire che esista una soluzione per f (Q) = Q. Si noti che se Q Qm m= si ha Vl = 0 e dalla (24) si ottiene:

qQ

r rmm= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 2( )

Dunque una NBS ammissibile non vincolata esiste se e soltanto se:

12

12

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤Q

r rQm

m( ) ⇔ d a≤ ++ −

=( )( )

( )r

rr

12 1 12

dove a(r) è una funzione decrescente di r. Se invece d > a(r) la funzione f(Q) non interseca mai la bisettrice principale ed il vincolo del problema (16) diviene stringente. In tal caso, la soluzione Qm* è determinata dal vincolo stesso, ossia Q Qm m* = . D’altro canto, dato il vincolo di non negatività su Qm

deve valere sempre d ≤ 1/(1 + r). ■

Dimostrazione della Proposizione 2: Supponiamo che una singola devia-zione sia profittevole e indichiamo con Vc

p( )1 la funzione valore di un pro-duttore che decide di effettuare una singola deviazione. Se la singola devia-zione è profittevole, si deve avere V Vc

pp( )1 > . D’altro canto, data l’ipotesi di

stazionarietà, la funzione valore di un produttore deviante dopo che ha effet-tuato la deviazione singola, coincide con Vp. Ciò vuol dire che tale produt-tore avrà sempre incentivo a deviare ulteriormente e la strategia ottima consi-sterà nel deviare permanentemente dal contratto monetario. Supponiamo, in-vece, che la strategia di deviazione permanente sia ottima. Ma allora, per una qualsiasi strategia di deviazione finita, il produttore avrà sempre incentivo a deviare ulteriormente. Data la condizione di stazionarietà, ciò implica che la singola deviazione dal contratto monetario sia sempre profittevole. ■

61

Dimostrazione del Lemma: Osserviamo, in primo luogo, che g è una funzione continua e differenziabile con ∂g/∂Qc < 0. Inoltre g Qm( , * )0 =(1/2)[Vl + 1 + d] > 0 e, ricordando l’equazione (25) si ha g Qm( * )1 1− < −d, d . Per continuità, allora, esiste sempre uno e un solo valore 0 1< < −Qc* d tale che Q g Q Qc c m* ( * , * )= . ■

Dimostrazione della Proposizione 3: Dalla Proposizione 1 sappiamo che un equilibrio monetario ammissibile è non vincolato se e soltanto se d ≤ a(r). Que-st’ultima condizione è dunque necessaria perché un equilibrio monetario non vincolato sia sostenibile. Si consideri ora una deviazione permanente dal con-tratto monetario. Dalla Proposizione 2 sappiamo che una deviazione perma-nente è profittevole se e soltanto se una singola deviazione è profittevole. Si in-dichi con Qc* ( )1 la quantità di equilibrio ottenuta da un produttore che adotti una strategia di deviazione singola. Dalle equazioni (18) e (24) deriviamo:

Q Qc m* ( ) *12

= − d

Ciò implica che la deviazione è profittevole se e soltanto se

QQrm

m**

− +d2 2

>

Concludiamo allora che una deviazione profittevole dal contratto moneta-rio non esiste se e soltanto se

(26) QQrm

m**

− ≤ +d2 2 ⇔ Q

rrm* ≤ +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d2

21

Ricorrendo alla (24) è possibile calcolare il valore Qm* come funzione dei parametri r, d e g.

(27) Qr r

r rm*( ) ( )

( ) ( )=

+ + −[ ]+ −( ) + + +( )⎡

2 1

2 1 1 2 1 12

g d

g⎣⎣ ⎤⎦

Sostituendo poi nella precedente, otteniamo:

(28) dg

g≥ + +

+ − + + +⎡⎣ ⎤⎦=2 1

2 1 1 4 1 12

( )( )( ) ( )

r rr r

�(r, g)

ed è immediato verificare che ∂�(r, g)/∂r > 0. ■

62

Dimostrazione della Proposizione 4: se l’equilibrio ammissibile è vincolato allora a(r) ≤ d ≤ 1/(1 + r), e Q Qm m* = . La quantità di equilibrio ottenuta da un produttore che adotti una strategia di deviazione singola è:

QQ

r rcm*( ) ( )

( )1

12

12 2

= − − +d

La condizione di sostenibilità diviene dunque:

Qr

Qr r

m m

+ ≥ − − +212

12 2

( )( )

d ⇔ Qr r

rm ≥ + −+

( )( )2 12 1

d

Ricordando che Q rm = − +1 1d( ) la precedente può essere riscritta nel seguente modo

d f≤ − −+ + =( )

( )( )

rr r

r2 11 1

È immediato verificare che ∂f/∂r < 0 e f(r) < 1/(1 + r) per ogni possibile valore di r. ■

Dimostrazione della Proposizione 6: Consideriamo il caso particolare g = 1. Si ha, allora:

�( , )rrr

113

= ++

È immediato verificare che �(r, 1) gode delle seguenti proprietà:

�(r, 1)r

> 0; �(0, 1) =13<1= a(0); lim

r�(r, 1) = 1> lim

ra(r) = 0

Di conseguenza, possiamo affermare che esiste sempre un singolo va-lore r* tale che se r < r*, �(r, 1) < a(r); se r > r*, �(r, 1) > a(r) e se r = r*, �(r, 1) = a(r). In particolare, si ha

(r, 1) = a(r) ⇔ r r= =12

*

Ciò implica che se r ≤ 1/2, allora �(r, 1) ≤ a(r) e l’insieme A(1, r) è non-vuoto. Definiamo ora la seguente funzione:

H(g, r) = �(r, 1) − �(r, g).

Dalla (28) otteniamo:

63

H rr r

r r( , )

( )( )( )( ){ ( ) [ (

gg

g= + − −

+ + − +1 1 1 2

3 2 1 1 42 rr + +1 1) ]}

e si può facilmente verificare che la funzione H(g) esibisce le seguenti due proprietà:

H(g, r) ≥ 0 ⇔ r ≤ 12

e ggg

∈ ∂∂ <( , ); ( , )

0 1 0H r

Ne deriva che se r ≤ 1/2, l’insieme A(g, r) è non vuoto e che se g ′ < g, A(g ′, r) ⊃ A(g, r). ■

Dimostrazione della Proposizione 7: L’insieme B(r) è non vuoto se e sol-tanto se f(r) ≥ a(r). È immediato verificare che tale condizione è rispettata se e soltanto se r ≤ 1/2. ■

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Abstract: JEL Classification: C78, E40

According to Engineer and Shi (1998, 2001) and Berentsen and Rocheteau (2003), the double coin-cidence of wants problem seems to be not essential to rationalize the use of money in a search theoretic framework. This paper analyzes an endogenous price search model of money where there is universal double coincidence of wants. The existence of a monetary equilibrium depends, essentially, on the asym-metry in the role played by economic agents in the exchange and production processes. In particular, entrepreneurs are assumed to produce a fixed amount of a divisible consumption good by means of la-bour services provided by workers. Entrepreneurs can offer a co-operative (barter) contract or a monetary contract to workers. Under the co-operative contract real wages are determined in the labour exchange sector, while in the monetary regime real wages are determined in the commodity exchange sector. The monetary contract is proved to be an equilibrium strategy provided that: i) the workers’ labour disutility is sufficiently high and/or ii) the entrepreneurs’ bargaining power in the commodity market is sufficiently large relative to their bargaining power in the labour market. The rationale for money comes from the fact that entrepreneurs use it as an instrument to maximize their output share.

Keywords: Money, Search, Double Coincidence, Bargaining.