Un acercamiento a la Geometría F r a c t a l
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Transcript
Un acercamiento a la
GeometríaF r a c t a l
1) Introducción (texto leído)
2) ¿Qué es un objeto fractal?
3) La propiedad de homotecia
4) La dimensión
4.1 Dimensión topológica
4.2 Dimensión fractal
5) Construcción de fractales
6) Fractales famosos (en orden cronológico a su descubrimiento)
7) Galería fractálica
8) Geometría analítica fractal
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
¿Qué es un
objeto fractal?
Definición: Un objeto fractales un ente geométrico que posee la propiedad deautosemejanza y se loconstruye en un espacio dedimensiones fraccionarias, mediante un procedimiento iterativo ad infinitum de lafunción que lo genera.
•Fractal: Del latín
fractus, que significa fracturado, fraccionario, irregular, no liso, aserrado, rugoso, discontinuo o indiferenciable, etc.
Esta propiedad se observa en
objetos geométricos que
conservan su estructura tanto en la
escala macro como en la micro.
Cuando encontramos objetos así,
decimos que su estructura es
“invariante al cambio de escala”.
La propiedad de autosemejanza
Autosemejanza en el “Helecho matemático”
Autosemejanza en el “Helecho matemático”
Autosemejanza en los “cuadrados armónicos”
Autosemejanza en los “cuadrados armónicos”
Autosemejanza en la curva de Koch
Autosemejanza en el triángulo de Sierpinski
Autosemejanza en la carpeta de Sierpinski
Autosemejanza en la esponja de Menger
Autosemejanza en las magnolias fractales
Autosemejanza en las bóvedas fractales
Bronquios iterativos en un dominio planoAutosemejanza en los bronquios fractales
Autosemejanza en las bóvedas fractales
Dimensión
topológica
y
dimensión fractal
• ¿QUÉ ENTENDEMOS POR
DIMENSIÓN?
• ¿ QUÉ ENTENDEMOS POR
PUNTO?
Dimensión Topológica
= = conjunto vacío D = -1
• D = 0
D = 1
D = 2
D=3.
.
.
Relación entre la escala y el número de partes
Consiguientemente la relación entre la escala r y el número N de
elementos será: dimensión 1: Nr1 =1; dimensión 2: Nr2=1;
dimensión 3: Nr3=1 ; … dimensión D: NrD =1. De esta última
ecuación se obtiene
r
ND
1log
log
1
1
1
¿QUÉ ES LOGARITMO?
+ EJEMPLOS
DESPEJE DE LA FÓRMULA A PARTIR DE
LAS PROPIEDADES DE LOS
LOGARITMOS
r
ND
1log
log
Dimensión fractal
Como se puede constatar, en esta ecuación la
dimensión D puede tomar valores numéricos
enteros o fraccionarios. Cuando D toma estos
últimos se denomina dimensión fractal.
Ejemplos
...4649735.13log
5logD
...2618.13log
4logD
13log
3logD
Ejemplos
...4649735.1D
...2618.1D
1D
Como hemos podido percatarnos,
un objeto fractal está básicamente
caracterizado por dos aspectos, a
saber: la propiedad de Homotecia
o autosemejanza y la dimensión
fraccionaria o fractal en la que está
construido.
Conclusión
CONSTRUCCIÓN
DE
FRACTALES
EL “ COPO DE NIEVE“ DE
KOCH
Iniciador Generador
l =1
Generador
35
2Área
Construción del Triángulo de Sierpinski
Triángulo de
Sierpinski
Construcción de la carpeta de Sierpinski
La carpeta de Sierpinski
La esponja de Menger en el espacio euclideano
Menger (1902-1985)
La esponja de Menger en el espacio euclideano
Menger (1902-1985)
La esponja de Menger en el espacio esférico
Los fractales más famosos
5) La esponja de Menger
El cuadrado de Sierpinski como antena de un celular
Curva de Peano
Curva de Hamilton
Fractales del
sistema L
Los L-sistemas consisten en un dialecto del leguaje de la geometría fractal que fue concebido en 1968 por el biólogo Aristid Lindenmayer
(1925-1989) para describir el proceso natural de las plantas. Posteriormente, en 1984, fue adaptado por A. R. Smith a la tecnología de los PC para generar patrones fractales.
La idea central de Lindermayer consistió en
crear hileras de palabras, mediante un proceso
iterativo, de suerte que cada hilera h(n+1)
pueda ser obtenida de la hilera h(n) al
aplicar la reglas de producción o
crecimiento.
Los símbolos utilizados para formar las
hileras de palabras son letras ordinarias
como F, G, R, etc., y algunos símbolos
como + y - .
La curva de Koch como sistema L
Alfabeto: F, +, -
Axioma: F
Reglas: F -> F + F - - F + F
+ -> +
- -> -
Significado: F = Avanzar una unidad
+ = Giro de 60º
- = Giro de - 60º
Paso 1: F
Paso 2: F + F - - F + F
Paso 3:(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)- -(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)
Construcción de objetos reales
Generación de
paisajes
fractales
Fractales del tipo
SIF o Sistemas
Iterados de
Funciones
El Brócoli SIF
F
Los fractales del tipo SIF se establecieron en 1981. Una
década más tarde M. Barnsley publicó su popular libro fractals
everywhere, donde presenta la matemática de los SIF y prueba
el Teorema del Collage, que establece las condiciones
necesarias y suficientes para que un SIF pueda generar una
imagen. Con este invento nos encontramos en la privilegiada
situación de crear imágenes por codificación matemática, o sea,
se puede ir de una imagen a un sistema iterado de funciones que
pueda generar la original tan exacta como queramos. Ahora
bien, por un lado tenemos que la matemática fractal puede
generar imágenes cuasi reales y, por otro, con los SIF puedo
hacer el proceso inverso. Conclusión: Así pues, el logro más
significativo de la geometría fractal consiste en la codificación
de imágenes reales en conjuntos muy pequeños de números, que
son parámetros para un conjunto de funciones que envían una
región del espacio bidimensional sobre si misma.
En principio, una escena con cualquier
nivel de complejidad y detalle puede ser
almacenada y manejada con números,
dando lugar a una imagen con más de
300.000 pixeles y 8 bits por punto desde
un archivo con una semilla inicial de 1-
KB. Por ejemplo, un helecho puede ser
codificado usando 24 bits en los datos,
requiriendo tan solo cuatro funciones, cada
una con seis parámetros.
Universo homogéneo versus universo fractal
Está aceptado que a pequeña escala el universo no es
homogéneo. El universo tiene estructura fractal en escalas de
hasta 50 millones de años luz.
Dos opiniones:
1. El universo, a grandes escalas, es homogéneo.
2.El universo, a grandes escalas, tiene estructura fractal de
dimensión:
- Dimensión 1,00 (Mandelbrot)
- Dimensión 2,00 (L. Pietronero)
- Dimensión 1,2 - 1,5- 2,2 (otros autores)
Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee
estructura fractal.
Método 1.
M(r) es el número de galaxias en un
círculo de radio r centrado en la Tierra.
Si la distribución fuese homogénea, M(r)
crecería como r 3.
En una escala de 450 millones de años
luz, M(r) crece como r 2.
Universo homogéneo versus universo fractal
Universo homogéneo versus universo fractal
Indicadores de que nuestro universo (visible) posee
estructura fractal
Método 2.
C(r) es el número medio de galaxias
en un círculo de radio r.
Si la distribución fuese homogénea,
C(r) crecería como r 3.
En una escala de 450 millones de años
luz, C(r) crece como r 2 (otros autores
deducen exponentes distintos).
Ejercicios
Galería
fractálica
Conjunto de
MANDELBROT
Benoit Mandelbrot
CZZ 0
B u d d h a b r o t
Espiral fractal
Julia-Menge
C u a t e r n i ó n
Curva C de Levy
Way into my microchip
“W o r l d e g g"
Thailand-1
Scorpion fog
Blackhole
Blackhole Sun
Mutant daisies
BorgArt
Cuchillo en la oscuridad
Los fractales más
famosos
Matemático alemán nacido en San Petersburgo, Rusia y fallecido en Halle. Ya en la escuela mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente de ellas su profesión, al obtener el puesto de profesor en la universidad de Halle en 1872. En 1874 Cantor empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer una correspondencia biunívoca entre dos sucesiones cualesquiera. De este modo se puede razonar que la cantidad de números pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba que una serie completa de
números transfinitos, representaba diferentes órdenes o categorías de infinitos. De esta manera todos los números racionales podían establecer una igualdad a la serie de números enteros, pero no así los números racionales más los irracionales. Estos eran los números reales y representaban números
transfinitos más elevados que los números enteros. Así la definición de Cantor de número real identifica a este último con una sucesión convergente de números racionales
El Conjunto de G. Cantor (1845 -1918)
0 1
Fig. 1
La sucesión que describe este proceso de extracción es:
[A1] ,...}23
1,...,8
3
1,4
3
1,2
3
1,
3
1{)( 1
4321
n
nnS
1) El Conjunto de G. Cantor (1845 -1918)
Después de observar detenidamente,
cómo en cada paso de la construcción
van quedando los dos puntos extremos
de los segmentos involucrados,
concluimos que al n-ésimo paso habrá
2n puntos. Consiguientemente, cuando
n sea infinito habrá infinito número de
ellos.
El conjunto infinito de puntos que obtengo al final de este proceso se denomina conjunto C o “polvo” de Cantor. Aquí, lo más asombroso es que C contiene tantos puntos como el intervalo [0,1], pues los dos tienen la misma numerosidad, 1.
2
3
21
3
2
3
2)(
1
n
S
n
n
n
13
2
2
1)(
La suma de los términos de la sucesión [A1], donde n Z+ que tiende a
infinito, resulta:
Y, la suma de la progresión geométrica infinita de razón igual a 2/3 es:
[A1] ,...}23
1,...,8
3
1,4
3
1,2
3
1,
3
1{)( 1
4321
n
nnS
Por lo tanto, , que es la
longitud del segmento inicial. ¡Eh aquí una paradoja!: por un lado, comprobamos que la suma de las longitudes de los segmentos extraídos es 1, lo que significa que no quedó nada del segmento inicial después de las infinitas extracciones y, por otro, tenemos a C conteniendo infinitos puntos como producto de la pulverización que sufrió el segmento unitario y con una longitud igual a cero.
122
1)(
Este fractal data de 1904, cuando fue creado
por el matemático sueco Helge von Koch.
Helge von Koch
(1879-1924)
2) La curva de Koch
A diferencia del conjunto de Cantor éste se genera por una sucesión infinita de adiciones de segmentos de recta a un segmento inicial como se observa en la figura 2.
La sucesión que describe este
proceso es:
[A2] ,...}43
1,...,4
3
1,4
3
1,4
3
1,
3
1{)( 13
4
2
321
n
nnS
2) La curva de Koch
El proceso anterior es repetido hasta el infinito, o, mejor dicho, hasta
donde haya resolución en la pantalla del televisor, y lo que quede al
final será siempre la curva de Koch, K.
Para saber cuán larga es la curva K bastará sumar la longitud de los
segmentos que hemos añadido.
Así, de [A2] se tiene:
La expresión es la suma de los términos
de una progresión geométrica infinita de razón igual a 4/3. Y, como 4/3
es mayor que 1, resulta que la suma es infinita.
n
n
n
n
n
n
1
1
13
4
4
14
3
1)(
n
n
nS
13
4)(
Crecimiento bajo el área de la curva de Koch
3) El triángulo de Sierpinski
El matemático polaco W. Sierpinski creó varias figuras fractales, entre ellos, el célebre triángulo que lleva su nombre.
Waclaw Sierpinski (1882-1969)
Construcción del triángulo de Sierpinski
La sucesión que describe este proceso de extracción infinita es:
[A3]
Ahora, sumemos los términos de esta sucesión:
Pero, la expresión: es la suma de una progresión
geométrica infinita de razón ¾ , por tanto
,...}34
1,...,3
4
1,3
4
1,3
4
1,
4
1{)(
13
4
2
321
n
nnS
n
n
n
n
n
n
1
1
14
3
3
13
4
1)(
n
n
nS
14
3)(
3
4
31
4
3
4
3)(
1
n
S
Consiguientemente, , que
es el área unitaria inicial. O sea que, el
área removida en el triángulo de
Sierpinski es exactamente toda el área
inicial. Sin embargo, queda un
remanente de infinitos puntos
dispuestos en forma de “polvareda” .
133
1)(
Construcción de la carpeta de Sierpinski
La carpeta de Sierpinski
La esponja de Menger en el espacio euclideano
Menger (1902-1985)
La esponja de Menger en el espacio euclideano
Menger (1902-1985)
La esponja de Menger en el espacio esférico
Los fractales más famosos
5) La esponja de Menger
El cuadrado de Sierpinski como antena de un celular
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