UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA PARA ILUSTRAR O … · é o operador produto de Kronecker e Vec é o operador que transforma a matriz em um vetor empilhando suas colunas.

UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA PARA

ILUSTRAR O EFEITO DA AUTOCORRELAÇÃO

NO GRÁFICO DE CONTROLE T2 DE HOTELLING

Roberto Campos Leoni (UNESP )

[email protected]

Antonio Fernando Branco Costa (UNESP )

[email protected]

Marcela Aparecida Guerreiro Machado (UNESP )

[email protected]

Um gráfico de controle é uma das técnicas principais do controle estatístico

de processos e o emprego desta técnica pressupõe a ausência de

autocorrelação entre os dados da(s) característica(s) de qualidade

mensurada(s). Este artigo estuda o efeito da autocorrelação e da correlação

no gráfico T2 de Hotelling quando há duas características de qualidade X e Y,

cuja estrutura de correlação e autocorrelação é representada por um modelo

VAR(1). Utilizando-se uma abordagem geométrica com elipses, os resultados

advertem que a presença autocorrelação reduz o desempenho do gráfico de

T2, restringindo a capacidade do gráfico em sinalizar uma causa especial que

esteja atuando no processo. Alguns exemplos são apresentados para ilustrar

o efeito prejudicial ao gráfico de T2 quando a autocorrelação está presente

no processo.

Palavras-chaves: autocorrelação, gráfico T2 de Hotelling, modelo VAR (1),

controle estatístico de processos

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10

Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10


2

1. Introdução

Uma das hipóteses básicas para uso de gráficos de controle é a independência entre

observações ao longo do tempo. Porém, em muitos processos, medidas da característica de

qualidade de itens vizinhos, segundo o instante em que foram produzidos, podem apresentar

algum grau de dependência entre as observações. Este fenômeno é denominado

autocorrelação. De acordo com Mason e Young (2002), muitas operações industriais de fluxo

contínuo apresentam autocorrelação e uma das possíveis causas é o desgaste gradual de

componentes críticos do processo. Kim et al. (2010) afirmam que a hipótese de independência

entre as observações de uma variável pode ser violada pelas altas taxas de produção que

geram correlação e dependência entre as observações de produtos vizinhos segundo o instante

de fabricação.

A autocorrelação prejudica o desempenho dos gráficos de controle tradicionais

(KALGONDA e KULKARNI, 2004). Estudos recentes apresentam alternativas para

monitorar esses tipos de processos. Du e Lv (2013) propuseram um gráfico de controle

baseado na distância euclidiana mínima para detectar desvios na média em processos

autocorrelacionados. Lin et al. (2012) consideraram o design econômico do gráfico de

controle ARMA, utilizado em processos autocorrelacionados. Franco et al. (2012) utilizaram

o modelo AR(1) para descrever o comportamento oscilatório da média e apresentaram os

parâmetros ótimos do gráfico de X usando o modelo de Duncan. Costa e Machado (2011)

também empregaram o modelo AR (1) para investigar o efeito do comportamento oscilatório

da média no desempenho no gráfico de X com amostragem dupla. Com a intensão de

reduzir o efeito negativo da autocorrelação no desempenho do gráfico de X , Costa e

Castagliola (2011) apresentaram uma técnica de amostragem sistemática denominada s–skip.

Sistemas modernos com tecnologia avançada e altas taxas de produção geraram

processos complexos que são multidimensionais, ou seja, muitas características de qualidade

são mensuradas e controladas. Pan e Jarret (2012) descrevem alguns desses processos que

podem apresentar observações correlacionadas e autocorrelacionadas.

Hotelling (1947) sugeriu o uso da estatística 2T para o monitoramento do vetor de

médias em processos multivariados. Sete décadas após, Chen (2007) e Chen e Hsieh (2007)



3

apresentaram os esquemas adaptativos que melhoram o desempenham do gráfico de 2T . De

acordo com Hwarng e Wang (2010), a autocorrelação aumenta a taxa de alarmes falsos,

enquanto que a correlação diminui o poder do gráfico de controle. O feito combinado da

autocorrelação e da correlação no desempenho do gráfico 2T é digno de investigação.

Este artigo tem como objetivo avaliar graficamente o efeito da autocorrelação em duas

características de qualidade mensuráveis X e Y quando existe correlação entre as observações

de X e Y. O modelo VAR(1) foi adotado para representar a estrutura de correlação e

autocorrelação. Considerou-se na avaliação que o deslocamento na média seja o mais

importante em todo o processo e que o vetor de médias e a matriz de covariância sejam

conhecidos ou estimados com precisão.

O artigo está organizado da seguinte forma: na seção 2, descreve-se o modelo que

representa as características de qualidade quando há autocorrelação no processo; Na seção 3

são apresentadas algumas características do gráfico T2 de Hotelling; O efeito da

autocorrelação em processos bivariados é discutido e avaliado na seção 4 e, por fim, conclui-

se acerca do trabalho na seção 5.

2. Modelo autorregressivo e a matriz de covariância cruzada

Os procedimentos clássicos de controle em processos multivariados consideram a

hipótese básica de que as observações seguem distribuição normal multivariada e sejam

independentes, com vetor de médias 0μ e matriz de variância-covariância .

1,2,...,te t T t 0

X = μ (1)

sendo: tX representa as observações através de um vetor de ordem p x 1 (p é o número de

variáveis); te são vetores aleatórios independentes de ordem p x 1 com distribuição normal

multivariada cuja média é zero e matriz de variância-covariância e .

A hipótese de independência é violada em muitos processos de manufatura. Vetores

autoregressivos de primeira ordem - VAR(1) são usados para modelar processos

multivariados com correlação temporal entre observações de uma mesma variável e

correlação entre observações de diferentes características de qualidade (MASTRANGELO e

FORREST, 2002; BILLER e NELSON, 2003; KALGONDA e KULKARNI, 2004; ARKAT



4

e NIAKI, 2007; JARRETT e PAN, 2007; ISSAM e MOHAMAD, 2008; PFAFF, 2008;

NIAKI e DAVOODI, 2009; HWARNG e WANG, 2010; KIM et al., 2010; KALGONDA,

2012). O modelo VAR(1) é representado por:

1( )t t t

X μ X μ ε (2)

sendo p~ N , t X μ o vetor de observações de dimensão 1p no instante t (p é o

número de variáveis), μ é o vetor de médias, tε é um vetor aleatório com observações

independentes e distribuição normal multivariada com média zero e matriz de covariância e

é uma matriz com parâmetros de autocorrelação de ordem p p .

De acordo com Kalgonda e Kulkarni (2004), a matriz de correlação cruzada de tX

possui a seguinte propriedade: ' . Após alguma manipulação algébrica, é possível

obter a relação:

2

1

p

Vec I Vec

(3)

onde é o operador produto de Kronecker e Vec é o operador que transforma a matriz em

um vetor empilhando suas colunas.

Para estudar o efeito da autocorrelação e correlação no gráfico de 2T , considerou-se

um processo bivariado (p=2):

b

a

0

0 ;

1

1

(4)

A partir de (2) e (3), segue-se que:

1 12 2

11 2 2

1 1

1 1

X XY

XY Y

a ab

ab b

(5)

3. Gráfico de controle T2 de Hotelling

O gráfico de controle 2T de Hotelling é um dos mais conhecidos esquemas de

controle para detectar desvios na média de processos multivariados (HOTELLING, 1947).



5

Quando o vetor de médias ),( 02010 e a matriz são conhecidos, a estatística de

monitoramento 2T de Hotelling é representada por:

2 1

0 0

'T X X (6)

Com o processo em controle, 2 2~ pT . Se ocorrer uma causa especial que provoque a

mudança no vetor de médias para ),( 12111 , 2 2

( ,~ pT com parâmetro de não

centralidade 2 ´ 1 X

δ δ , sendo 1 11 01 2 12 02 , ) δ ( , veja Wu e Makis (2008).

Quando o vetor de médias e a matriz de covariâncias são desconhecidos e precisam ser

estimados, os limites de controle são calculados de acordo com a fase de monitoramento

(BERSIMIS et al., 2007).

Alguns autores utilizam o parâmetro de não centralidade ( 2 ) como medida de

deslocamento no vetor de médias do processo (ALT, 1985; APARISI, 1996; APARISI e

HARO, 2001; MASON e YOUNG, 2002). Nesse caso, o desempenho do gráfico é medido

por:

1

2

( , )1 Pr pARL LC

(7)

sendo: ARL o número médio de amostras até o sinal; LC o limite de controle do gráfico de 2.T

O ARL mede o número médio de amostras até a ocorrência de um alarme falso se 2 0 .

Quando o processo está fora de controle, o gráfico com menor ARL detecta com maior rapidez

mudança no processo.

4. Efeito da autocorrelação em processos bivariados

O gráfico 2T de Hotelling foi criado para ser usado quando a hipótese de

independência entre as observações de uma ou mais características de qualidade não é

violada. Desconsiderar o efeito dessa hipótese é bastante prejudicial para o desempenho do

gráfico de controle. Para estudar o efeito da autocorrelação, considerou-se a distância do vetor

X ao vetor de médias μ denominada distância de Mahalanobis (MAHALANOBIS, 1936). A

distância de Mahalanobis é dada por:



6

2 1

0 0

'D X X (8)

A relação entre a matriz de covariância cruzada ( ) e os elementos das matrizes e

é obtida utilizando a equação (3). Na presença de autocorrelação e correlação, a distância

de Mahalanobis é dada por:

2 1

0 0

'D X X (9)

Sem perda de generalidade, considerando o caso bivariado em que

b

a

0

0 e

1

1

, quando 01 020; 0

0μ e o vetor ;x yX a distância 2D equivale a:

3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 2 - 2 - - 2 - 2 -

-1 - - 2 - 1

a bx a b xy a x a xy ab y abx aby b xy b y x xy yD

ab a b a b a ab b

(10)

A equação (10) revela a influência de a ,b e na distância 2D .

Se 0a b , ou seja, 0 (não há autocorrelação), a distância 2D se reduz a:

2 2 2 2(x -2 xy+y ) 1-D (11)

Quando não há autocorrelação, ou seja, os dados são independentes, 2 2

( ; )~ pD . Para

avaliar o efeito da autocorrelação, utilizou-se no presente artigo o caso bivariado e = 0,01

(2

( 2; 0,01)p ), sendo, neste caso, 2D 10,5966.

O desempenho de um gráfico de controle pode ser avaliado em função do número de

amostras que o gráfico utiliza para detectar um deslocamento na característica que se deseja

monitorar. Quando não há deslocamento, o processo encontra-se em controle estatístico.

Espera-se, neste caso, que o sinal dado pelo gráfico seja um alarme falso. O valor

2D 10,5966 equivale a um alarme falso, em média, para cada 200 amostras avaliadas

quando é utilizado o gráfico 2T de Hotelling (COSTA et al., 2008).

Na avaliação gráfica do efeito da autocorrelação, considerou-se que o deslocamento

seja do tipo 1 11 01 2 12 02 , ) δ ( , ou seja, a ocorrência de uma causa especial



7

desloca o vetor de médias 01 020; 0 0μ para um novo patamar

01 1 02 2; 1μ . Nas seções 4.1 e 4.2, realizou-se a avaliação do efeito da

autocorrelação do processo em controle (δ =0) e do processo fora de controle ( 0δ ),

respectivamente.

4.1 Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo em controle

Em um processo isento de autocorrelação, 0a b e = 0,7, tem-se que

2 2 21,9608 2,7451 1,9608D x xy y . A elipse que representa a curva de nível da distribuição

para 2D 10,5966 é ilustrada na Figura 1. A Figura 2 ilustra a curva de nível para 0,5a b

e = 0,7.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1. Elipse: 0a b e = 0,7. Figura 2. Elipse: 0,5a b e = 0,7.

Fonte: Os próprios autores. Fonte: Os próprios autores.

Para e 0,0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9a b , pode-se observar na Figura 3

uma demonstração gráfica em que quanto maior for a autocorrelação, maior é a região

elíptica, ou seja, se o processo está em controle e há autocorrelação nas variáveis, é necessário

ajustar o limite de controle do gráfico, caso contrário, muitos alarmes falsos ocorrerão.



8

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Figura 3. Elipses: e 0,0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9a b e = 0,7.

Fonte: Os próprios autores.

Se os dados são normalmente distribuídos, as elipses da Figura 3 representam todos os

pontos equidistantes, na distância de Mahalanobis, da origem. Isto sugere que todos esses

pontos têm a mesma probabilidade de serem regidas por uma distribuição normal

multivariada com centro em (0,0), pois = 00μ . No gráfico 2T de Hotelling o limite de

controle (LC) igual a 2D 10,5966, gera, em média, um alarme falso a cada 200 amostras

coletadas quando 0a b . O mesmo não ocorre quando 0,0a b , ou seja, a taxa média

de alarmes falsos não corresponde a um alarme a cada 200 amostras coletadas, mesmo que

seja usado como LC o valor 10,5966. Isso significa na prática que, quando usamos o gráfico

2T de Hotelling, considerar o LC do gráfico com distribuição qui-quadrado com p graus de

liberdade 2

( )p na presença de autocorrelação nos fornecerá uma taxa de alarmes falsos

diferente da desejada.

4.2 Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo fora de controle

A Figura 4 ilustra um processo isento de autocorrelação com 0a b e = 0,7. A

elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é

2 2 21,9608 2,7451 1,9608 10,5966D x xy y . As demais elipses representam a ocorrência

de uma causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar:

= 0,9a b

= 0,8a b

= 0,7a b

= 0,0a b



9

a) Deslocamento 1 01 021; 1 1μ ; sendo:

2 2 21,9608 2,7451 1,1765 1,9608 1,1765 1,1765 10,5966D x xy x y y

b) Deslocamento 2 01 022; 2 1μ ; sendo:

2 2 21,9608 2,7451 2,3529 1,9608 2,3529 4,7059 10,5966D x xy x y y

c) Deslocamento 3 01 023; 3 1μ ; sendo:

2 2 21,9608 2,7451 3,5294 1,9608 3,5294 10,588 10,5966D x xy x y y

A Figura 5 ilustra um processo com autocorrelação com 0,7a b e = 0,7. A

elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é:

2 2 21,4 10,06D x xy y . O valor 10,06 foi usado para que fosse possível fazer um

comparação justa que, na presença de autocorrelação, mantém a taxa média de alarmes falsos

igual a um alarme a cada 200 amostras. As demais elipses representam a ocorrência de uma

causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar:

a) Deslocamento 1 01 021; 1 1μ ; sendo:

2 2 21,4 0,18 0,18 0,054 10,06D x xy x y y

b) Deslocamento 2 01 022; 2 1μ ; sendo:

2 2 21,4 0,36 0,36 0,216 10,06D x xy x y y

c) Deslocamento 3 01 023; 3 1μ ; sendo:

2 2 21,4 0,54 0,54 0,486 10,06D x xy x y y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Figura 4 - Elipses: 0a b e = 0,7. Figura 5 - Elipses: 0,7a b e = 0,7.

Fonte: Os próprios autores. Fonte: Os próprios autores.



10

Da Figura 4, observa-se que em processos sem autocorrelação o deslocamento no

vetor de médias causado por uma causa especial é representado pelas elipses que se afastam

do centro em (0,0), caracterizando que o gráfico 2T , nesse caso, apresenta desempenho

superior em relação ao processo em que a autocorrelação está presente. Na Figura 5, as elipses

apresentam maior resistência em se manter próxima ao centro em (0,0) quando ocorrem

deslocamentos que desajustam o vetor de médias, significando que o desempenho do gráfico

2T é inferior quando há presença de autocorrelação.

4.3 Exemplo

Dois tipos de processos bivariados foram simulados e o gráfico de 2T aplicado para

controlar as variáveis desses processos. No primeiro processo: 0 (0;0) ; a=b=0,0; =0,7 e

LC=10,5966 (ARL0=200). No segundo processo: 0 (0;0) ; a=b=0,7; =0,7 e LC=10,06

(ARL0=200). Três tipos de deslocamentos foram realizados no vetor de médias: 1,0;1,0)δ ( ,

2,0;2,0)δ ( e 3,0;3,0)δ ( . As observações das variáveis do primeiro e segundo

processos foram geradas com os modelos da equação (1) e equação (2), respectivamente. As

Figuras 6, 7 e 8 ilustram os resultados. Em cada gráfico de 2T , o processo sofre

deslocamentos no vetor de médias a partir da amostra 50. Os resultados evidenciam que a

autocorrelação diminui o poder do gráfico em detectar uma causa especial que atua no vetor

de médias do processo. Resultados similares foram ilustrados nas Figuras 4 e 5.



11

Figura 6 – Gráficos T2 de Hotelling; 1 2 1,0 ; 1,0) δ ( .






12



5. Conclusão

Este artigo avaliou o efeito da autocorrelação no gráfico de controle de 2T por ser uma

das ferramentas mais populares no meio acadêmico e industrial. A distância de Mahalanobis,

mesma estatística utilizada no gráfico de 2T , foi empregada para representar

geometricamente o comportamento de um processo na presença e ausência de causas

especiais que afetam o valor médio das variáveis monitoradas.

A violação da hipótese de autocorrelação afeta o desempenho do gráfico de 2T ,

reduzindo a capacidade em detectar desvios no vetor de médias. A utilização de elipses

ilustrou como os dados de um processo se comportam na presença da autocorrelação, ou seja,

mascarando o efeito do deslocamento no vetor de médias das variáveis. Os exemplos

apresentados ilustraram a redução que ocorre no poder do gráfico de 2T em detectar a

presença de uma causa especial que desloca o vetor de médias no processo. Sugere-se, em

trabalhos futuros, a apresentação de estatísticas ou técnicas que aprimorem desempenho de

gráficos de controle na presença de autocorrelação.



13

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