SENAI CIMATEC PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MODELAGEM COMPUTACIONAL E TECNOLOGIA INDUSTRIAL Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial Disserta¸ c˜ ao de mestrado Um Elemento de Cosserat para Simula¸ c˜ ao de Vigas com Raio de Curvatura e Se¸ c˜ ao Transversal de Mesma Ordem de Grandeza Apresentada por: Adchon Angelo Gomes da Silva Orientador: Josemar Rodrigues de Souza Maio de 2012
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Um Método Numérico Utilizando a Teoria de Cosserat para ...
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SENAI CIMATEC
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MODELAGEM
COMPUTACIONAL E TECNOLOGIA INDUSTRIAL
Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial
Dissertacao de mestrado
Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigascom Raio de Curvatura e Secao Transversal de
Mesma Ordem de Grandeza
Apresentada por: Adchon Angelo Gomes da Silva
Orientador: Josemar Rodrigues de Souza
Maio de 2012
Adchon Angelo Gomes da Silva
Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigas
com Raio de Curvatura e Secao Transversal de
Mesma Ordem de Grandeza
Dissertacao de mestrado apresentada ao Programa de Pos-gra-
duacao em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial,
Curso de Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia
Industrial do SENAI CIMATEC, como requisito parcial para a
obtencao do tıtulo de Mestre em Modelagem Computacio-
nal e Tecnologia Industrial.
Area de conhecimento: Interdisciplinar
Orientador: Josemar Rodrigues de Souza
SENAI CIMATEC
Salvador
SENAI CIMATEC
2012
S586e
Silva, Adchon Angelo Gomes da
Um elemento de cosserat para simulação de vigas com raio de curvatura e seção transversal de mesma ordem de grandeza. / Adchon Angelo Gomes da Silva. 2012.
106f.; il.; color.
Orientador: Prof. Dr. Josemar Rodrigues de Souza.
Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial) - Faculdade de Tecnologia Senai-CIMATEC, Salvador, 2012.
1. Peças flexíveis. 2. Vigas de cosserat. 3. Elemento helicoidal. 4. Simulação computacional. 5. Energia de deformação. I. Faculdade de Tecnologia Senai-CIMATEC. II. Souza, Josemar Rodrigues de. III. Título.
CDD: 620.00113
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC
Nota sobre o estilo do PPGMCTI
Esta dissertacao de mestrado foi elaborada considerando as normas de estilo (i.e. esteticas
e estruturais) propostas aprovadas pelo colegiado do Programa de Pos-graduacao em Mo-
delagem Computacional e Tecnologia Industrial e estao disponıveis em formato eletronico
(download na Pagina Web http://ead.fieb.org.br/portal faculdades/dissertacoes-e-teses-
mcti.html ou solicitacao via e-mail a secretaria do programa) e em formato impresso
somente para consulta.
Ressalta-se que o formato proposto considera diversos itens das normas da Associacao
Brasileira de Normas Tecnicas (ABNT), entretanto opta-se, em alguns aspectos, seguir um
estilo proprio elaborado e amadurecido pelos professores do programa de pos-graduacao
supracitado.
Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATECPrograma de Pos-graduacao em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial
Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial
A Banca Examinadora, constituıda pelos professores abaixo listados, aprova a Defesa
de Mestrado intitulada “Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigas com Raio
de Curvatura e Secao Transversal de Mesma Ordem de Grandeza”, apresentada no dia
11 de maio de 2012, como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do tıtulo de
Mestre em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial.
Dedico este trabalho a minha mae D. Rosilda Oliveira Angelo.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer a todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuıram para
que fosse possıvel a realizacao deste trabalho. Agradeco a minha mae, D. Rosilda, pela
educacao que me deu (ainda hoje, em meus atos procuro o seu olhar, mesmo que a ima-
gina-lo, de aprovacao), pois assim fui capaz de mais este passo no meu crescimento pessoal
e profissional. Agradeco a minha companheira Andreza principalmente pela inspiracao e
tambem pela paciencia e incentivo durante este perıodo tao decisivo. Sou sinceramente
agradecido ao meu orientador professor Josemar de Souza pela confianca e apoio indis-
pensaveis para que pudessemos alcancar juntos o objetivo deste trabalho. Pelos muito
bem-vindos comentarios, crıticas e elogios, agradeco aos membros convidados para a banca
examinadora, professores doutores Ramiro Willmersdorf, Marcelo Magalhaes e Alex San-
tos. Aos professores do Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional e
Tecnologia Industrial do SENAI-CIMATEC, especialmente ao coordenador professor Her-
A Formas Locais da Conservacao da Massa e do Impulso 89
Referencias 92
iv
Lista de Figuras
4.1 Elemento helicoidal em sua configuracao de referencia. . . . . . . . . . . . 34
5.1 Vista do modelo CAD da viga utilizada como exemplo. A esquerda, vistado plano xy. A direita, vista do plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Vista da curva de referencia da viga dada pela equacao (5.2.1). A esquerda,
projecao da curva em coordenadas polares no plano xy. A direita, vistaespacial da mesma curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Nos e trıades de vetores diretores di sobrepostos na curva de referencia daviga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores en. . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores nD1 e nD3. . . . . . . . . . . 69
5.6 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores 1D1 e 1D3. . . . . . . . . . . 70
5.8 Fluxograma geral do processo de simulacao da deformacao da viga. . . . . 80
5.9 Diferentes valores para o modulo de cisalhamento do material leva-nos adiferentes quantidades de deformacao na curva de referencia de uma viga.Raio da secao = 5mm e aceleracao da gravidade = 9, 81m/s2 . . . . . . . . 85
5.10 Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resul-tantes de diferentes raios da secao utilizados. Curva de referencia da viganao-deformada em azul. Modulo de cisalhamento = 0, 01GPa e aceleracaoda gravidade = 9, 81m/s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.11 Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, re-sultantes de diferentes valores de aceleracao da gravidade utilizados. Raioda secao = 5mm e modulo de cisalhamento = 0, 01GPa . . . . . . . . . . . 86
5.12 Evolucao das coordenadas dos pontos em funcao do numero de iteracoes. . 86
v
Lista de Sımbolos
z . . . . . . . . . . . . . Vetor posicao de um ponto material no espaco 3D.
θi . . . . . . . . . . . . Conjunto de Coordenadas convectivas.
t . . . . . . . . . . . . . Coordenada de tempo.
gi,gi . . . . . . . . . Sistemas covariante e contravariante de coordenadas convectivas.
g . . . . . . . . . . . . . O determinante da matriz de termos gij .
gij . . . . . . . . . . . As metricas dos espacos definidos pelos produtos internos gi · gj .
da, dv, ds . . . . . Elementos infinitesimais de area, de volume e de linha.
δji . . . . . . . . . . . . O delta de Kronecker.
F,F∗ . . . . . . . . . O gradiente de deformacao na teoria de Cosserat e na teoria do contınuo tridimensional.
J, J∗ . . . . . . . . . . O fator de dilatacao na teoria de Cosserat e na teoria do contınuo tridimensional.
P, P0 . . . . . . . . . Configuracao em um tempo qualquer e configuracao de referencia de um corpo contınuo.
∂P . . . . . . . . . . . Superfıcie externa de um corpo contınuo.
ρ, ρ∗ . . . . . . . . . . A massa por unidade de comprimento de uma viga e a densidade de um ponto material.
c∗ . . . . . . . . . . . . A forca de corpo por unidade de massa atuando em um ponto material.
t∗ . . . . . . . . . . . . O Vetor tensao agindo sobre um elemento de area.
n∗ . . . . . . . . . . . . Vetor unitario normal.
T∗ . . . . . . . . . . . O tensor tensao de Cauchy.
K,W . . . . . . . . . A Energia cinetica e a taxa de trabalho realizado por forcas externas sobre um ponto material.
U,P,P∗ . . . . . . . A energia total de deformacao da viga, a potencia de deformacao por unidade de comprimento
da viga de Cosserat e a potencia de deformacao de um ponto material.
L∗,D∗,W∗ . . . O gradiente de velocidade de deformacao e suas partes simetrica e antissimetrica.
Σ∗ . . . . . . . . . . . A energia de deformacao por unidade de massa de um ponto material.
Para resolver as integrais envolvendo o produto interno h ·h usaremos a expressao (4.2.65)
para h para escrever
h ·h = |h|2 =
[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc(1− θ1κ0)
]2µ2(θ2)2 +[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
(1− θ1κ0)2
]2ν2(θ1)2 +
[(1− µθ1κ1 − νθ2κ2)
(1− θ1κ0)
]2d33 , (4.4.42)
51
Capıtulo Quatro 4.4. Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao
onde utilizamos os resultados di ·di = |di|2 e (4.2.39). Se utilizamos as definicoes (4.4.35
- 4.4.38) e o resultado acima, poderemos escrever∫A0
|h|2 da =[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2Z2
02 +[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2Z2
20 +[Z2 + (µκ1)
2Z220 + (νκ2)
2Z202 − 2µκ1Z
210 − 2νκ2Z
201 + µνκ1κ2Z
211
]d33 , (4.4.43)
De maneira similar, podemos chegar ao resultado∫A0
|h|2 θ1 da =[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2Z2
12 +[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2Z2
30 +[Z2
10 + (µκ1)2Z2
30 + (νκ2)2Z2
12 − 2µκ1Z220 − 2νκ2Z
211 + µνκ1κ2Z
221
]d33 . (4.4.44)
As proximas integrais a serem resolvidas apresentam o produto interno dα ·h no inte-
grando. Se utilizarmos a definicao (4.2.65) e a ortogonalidade entre dα e d3, poderemos
escrever
d1 ·h =µ2D
1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)θ2 , d2 ·h = −ν
2D1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)θ1 , (4.4.45)
∫A0
(d1 ·h) da =[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z01 , (4.4.46)
∫A0
(d2 ·h) da = −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z10 , (4.4.47)
a partir das quais podemos deduzir que∫A0
(d1 ·h) θ1 da =[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11 , (4.4.48)
∫A0
(d2 ·h) θ1 da = −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z20 , (4.4.49)
∫A0
(d1 ·h) θ2 da =[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z02 , (4.4.50)
∫A0
(d2 ·h) θ2 da = −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11 . (4.4.51)
52
Capıtulo Quatro 4.4. Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao
Com as definicoes (4.2.65) e (4.4.45) podemos escrever os produtos (dα ·h) h da forma
(d1 ·h) h =
[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc(1− θ1κ0)
]2µ2(θ2)2 d1 −[
µ2D1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)
][D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc(1− θ1κ0)
]θ1θ2 d2 +[
µ2D1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)
][θ2 − µθ1θ2κ1 − ν(θ2)2κ2
(1− θ1κ0)
]d3 , (4.4.52)
(d2 ·h) h = −
[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τ
(1− θ1κ0)
][ν2D
1/233τ0 − d1/2τ
(1− θ1κ0)
]θ1θ2 d1 +[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τ
(1− θ1κ0)
]2ν2(θ1)2 d2 −[
ν2D1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)
][θ1 − µ(θ1)2κ1 − νθ1θ2κ2
(1− θ1κ0)
]d3 , (4.4.53)
que ao integrarmos sobre a secao transversal obteremos∫A0
(d1 ·h) h da =[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2Z2
02 d1 −[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z2
11 d2 +[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
01 − µκ1Z211 − νκ2Z02
]d3 , (4.4.54)
∫A0
(d2 ·h) h da = −[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
] [ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z2
11 d1 +[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2Z2
20 d2 −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
10 − µκ1Z220 − νκ2Z2
11
]d3 . (4.4.55)
E as ultimas integrais envolvidas no calculo dos vetores ti serao dadas por∫A0
(d1 ·h) θ1 h da =[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2Z2
12 d1 −[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z2
21 d2 +[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
11 − µκ1Z221 − νκ2Z12
]d3 , (4.4.56)
53
Capıtulo Quatro 4.4. Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao
∫A0
(d2 ·h) θ1 h da = −[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
] [ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z2
21 d1 +[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2Z2
30 d2 −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
20 − µκ1Z230 − νκ2Z2
21
]d3 . (4.4.57)
Com os resultados (4.4.41), (4.4.43), (4.4.44), (4.4.50), (4.4.51), (4.4.54), (4.4.55), (4.4.56)
e (4.4.57) substituıdos em (4.4.30), teremos
t1
2ρ∗0= K1D
1/233A0 dα + τ0
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z02 d1 −[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z11 d2 +
[Z01 − µκ1Z11 − νκ2Z02
]d3
)+
K2D−1/233
(µ2[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02 − κ0Z212
]+ ν2
[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20 − κ0Z230
]+
d33
[Z2 − κ0Z2
10 + (µκ1)2(Z2
20 − κ0Z230
)+ (νκ2)
2(Z2
02 − κ0Z212
)−
2µκ1(Z2
10 − κ0Z220
)− 2νκ2
(Z2
01 − κ0Z211
)+ 2µνκ1κ2
(Z2
11 − κ0Z221
)])dα −
K2τ0
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z02 d1 −
[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11 d2
)−
K2 D−1/233
([D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]µ2d1+
[D
1/233τ0−ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
]ν2d2−[
D1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
][D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
][Z2
11 − κ0Z221
][ν2 d1 + µ2 d2
]+[
µ2D1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
01 − κ0Z211 − µκ1
(Z2
11 − κ0Z221
)− νκ2
(Z2
02 − κ0Z212
)]d3 −[
ν2D1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
10 − κ0Z220 − µκ1
(Z2
20 − κ0Z230
)− νκ2
(Z2
11 − κ0Z221
)]d3
). (4.4.58)
54
Capıtulo Quatro 4.4. Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao
Com os resultados (4.4.40), (4.4.43), (4.4.44), (4.4.48), (4.4.49), (4.4.54), (4.4.55), (4.4.56)
e (4.4.57) substituıdos em (4.4.31), teremos
t2
2ρ∗0= K1D
1/233A0 dα + τ0
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z11 d1 −[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z20 d2 +
[Z10 − µκ1Z20 − νκ2Z11
]d3
)+
K2D−1/233
(µ2[D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02 − κ0Z212
]+ ν2
[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20 − κ0Z230
]+
d33
[Z2 − κ0Z2
10 + (µκ1)2(Z2
20 − κ0Z230
)+ (νκ2)
2(Z2
02 − κ0Z212
)−
2µκ1(Z2
10 − κ0Z220
)− 2νκ2
(Z2
01 − κ0Z211
)+ 2µνκ1κ2
(Z2
11 − κ0Z221
)])dα −
K2τ0
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11 d1 −
[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z20 d2
)−
K2 D−1/233
([D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]µ2d1+
[D
1/233τ0−ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
]ν2d2−[
D1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
][D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
][Z2
11 − κ0Z221
][ν2 d1 + µ2 d2
]+[
µ2D1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
01 − κ0Z211 − µκ1
(Z2
11 − κ0Z221
)− νκ2
(Z2
02 − κ0Z212
)]d3 −[
ν2D1/233τ0 − d
1/2τc
][Z2
10 − κ0Z220 − µκ1
(Z2
20 − κ0Z230
)− νκ2
(Z2
11 − κ0Z221
)]d3
). (4.4.59)
Os resultados das integrais (4.4.39), (4.4.46) e (4.4.47), quando substituıdos de volta na
expressao (4.4.32), e com alguma reorganizacao, completam a especializacao do vetor t3:
t3 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z01 d1 −[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z10 d2 +
[Z − µκ1Z10 − νκ2Z01
]d3
)+
K2 dα
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z01 −
[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z10
)]. (4.4.60)
Os resultados das integrais (4.4.40), (4.4.41), (4.4.48), (4.4.49), (4.4.50) e (4.4.51) quando
substituıdos de volta na expressao (4.4.33) completam a especializacao dos vetores mα:
m1 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z11 d1 −[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z20 d2 +
[Z10 − µκ1Z20 − νκ2Z11
]d3
)+
K2 dα
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11 −
[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z20
)]. (4.4.61)
55
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
m2 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z02 d1 −[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z11 d2 +
[Z01 − µκ1Z11 − νκ2Z02
]d3
)+
K2 dα
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z02 −
[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11
)]. (4.4.62)
4.5 Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
As expressoes globais para a conservacao de massa (3.3.5), impulso (3.3.31) e momento
dos vetores diretores (3.3.57) para o elemento de Cosserat, nesta ordem, estao sumariadas
abaixo:
d
dt
∫P
ρ ds =d
dt
∫ ξ2
ξ1
mdθ3 = 0 ,
d
dt
∫P
ρ(v + yα wα)ds =
∫P
ρ c ds+ t3∣∣s2s1,
d
dt
∫P
ρ(yα v + yαβ wβ
)ds =
∫P
(ρcα − d
−1/233 tα
)ds+ mα
∣∣s2s1,
Alem dos vetores-tensao ti e dos momentos mα, podemos especializar outras grandezas
que aparecem nestas expressoes, se para isto considerarmos as hipoteses apresentadas no
inıcio deste capıtulo.
4.5.1 Massa do Elemento, Inercias e Forcas Externas
A grandeza m e definida por (3.3.2), repetida abaixo.
m(θ3) =
∫A
ρ∗g1/2 dθ1dθ2 .
Com a definicao (2.2.23) para J∗, considerando-se um elemento helicoidal constituıdo de
um material homogeneo, poderemos escrever a forma local da lei de conservacao de massa
da teoria tridimensional (2.3.2) da forma
ρ∗g1/2 = ρ∗0 G
1/2 . (4.5.1)
56
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
A densidade tridimensional na configuracao de referencia ρ∗0 para tal elemento homogeneo
e constante e independente das coordenadas θi. Com este fato, a expressao acima, e o
resultado (4.2.26), poderemos escrever a integral (3.3.2) da forma:
m = ρ∗0 D1/233
∫A
(1− θ1κ0
)dθ1dθ2 = ρ∗0 D
1/233
[∫A0
da− κ0∫A0
θ1 da
]= ρ∗0 D
1/233A0 , (4.5.2)
onde A0 e a area, e da = dθ1dθ2 e o elemento de area da secao transversal do elemento
na configuracao de referencia. Nota-se que a integral envolvendo θ1 nesta expressao sera
sempre nula, pois trata-se do primeiro momento, ou momento estatico de area da secao.
Com isso, a massa total do elemento sera constante e podera ser calculada da forma
M =
∫ ξ2
ξ1
mdθ3 = α0 ρ∗0 D
1/233A0 = ρ∗0 LA0 . (4.5.3)
Com a ajuda da expressao (4.2.26), a definicao para as inercias dos diretores yα (3.3.13)
pode ser especializada para um elemento helicoidal homogeneo da seguinte forma
yα =1
A0
∫A
(1− θ1κ0
)θα dθ1dθ2 =
1
A0
[∫A0
θα da− κ0∫A0
θ1θα da
]. (4.5.4)
A primeira integral desta expressao sera sempre nula, pois trata-se do momento estatico de
area da secao. Portanto, para o elemento helicoidal, as expressoes para yα serao reduzidas
a
y1 = − κ0A0
I22 , y2 = − κ0A0
I12 , (4.5.5)
onde I22 e I12 sao respectivamente o momento de inercia em relacao ao eixo D2 e o produto
de inercia de area da secao transversal A0, e sao dados por (4.4.37) e (4.4.38).
Para um elemento helicoidal homogeneo submetido a uma forca de corpo igualmente
homogenea, teremos
cb =1
m
∫A
ρ∗g1/2 c∗ dθ1dθ2 = c∗ . (4.5.6)
Por sua vez, a forca de contato cc e dependente da forma da secao transversal, atraves
do vetor normal η, e do vetor tracao t∗. A secao transversal pode ter as mais diversas
formas, assim como a distribuicao da forca de contato sobre sua borda. Por este motivo,
nao especializaremos a expressao para a forca de contato para o elemento helicoidal dada
por (3.3.23), porem podemos simplificar substancialmente a expressao para o vetor normal
η dada por (3.3.19). Devido a hipotese 5, deduz-se que a normal a superfıcie lateral nao
tem componente na direcao de g3, pois esta hipotese significa que as funcoes∧θ2 serao
independentes de θ3. A expressao para a normal sera entao reduzida a
η(ζ, θ3) =∂∧θ2
∂ζg1 − ∂
∧θ1
∂ζg2 , (4.5.7)
57
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
que pode ser substituıda em (3.3.23) para obtermos o valor da forca de contato resultante
cc agindo na superfıcie lateral do elemento.
Aproveitando-se da hipotese 2, a exemplo das quantidades yα, as inercias dos diretores
yαβ podem ser especializadas para o elemento helicoidal da forma
yαβ = yβα =1
m
∫A
ρ∗g1/2 θαθβ dθ1dθ2 =
1
A0
∫A
(1− θ1κ0
)θαθβ dθ1dθ2 , (4.5.8)
y11 =1
A0
[∫A0
(θ1)2 da− κ0∫A0
(θ1)3 da
]=I22A0
, (4.5.9)
y22 =1
A0
[∫A0
(θ2)2 da− κ0∫A0
θ1(θ2)2 da
]=
1
A0
(I11 − κ0Z0
12
), (4.5.10)
y12 = y21 =1
A0
[∫A0
θ1θ2 da− κ0∫A0
θ2(θ1)2 da
]=
1
A0
(I12 − κ0Z0
21
). (4.5.11)
A grandeza cα e a soma do momento especıfico cαb , resultante da forca de corpo, com o
momento especıfico cαc , resultante das forcas de contato na superfıcie lateral do elemento.
Nao iremos especializar a expressao para cαc pelos mesmos motivos porque nao o fizemos
para cc, porem podemos utilizar a expressao simplificada para o vetor normal (4.5.7) para
obtermos seu valor. Por sua vez, a expressao para o momento especıfico cαb (3.3.53) pode
ser simplificada se considerarmos uma forca de corpo homogenea c∗ agindo sobre um
elemento helicoidal de viga como o descrito nas hipoteses iniciais deste capıtulo, obtendo-
se assim a seguinte expressao:
cαb =1
m
∫A
ρ∗g1/2 θα c∗ dθ1dθ2 = yαc∗ . (4.5.12)
4.5.2 Integracao dos Vetores tα ao Longo do Elemento Helicoidal
Para integrarmos os vetores-tensao tα sobre a curva de referencia do elemento helicoi-
dal, como e requerido na forma global da lei de conservacao dos momentos dos vetores
diretores, partiremos das expressoes (4.4.58) e (4.4.59). Se considerarmos que a taxa
β′s e constante ao longo do elemento (e, portanto, constante tambem a torcao material
τc) poderemos observar que nestas expressoes as unicas grandezas que tem dependencia
na coordenada θ3 sao os vetores di e os escalares κ1 e κ2. Importante resolvermos pri-
meiro, separadamente, as integrais que envolvem estas grandezas que aparecerao nestas
expressoes quando as integramos ao longo do elemento helicoidal.
Se definirmos um vetor kinp = kinp (t, θ3) como
kinp =
∫κn1κ
p2 di dθ
3 ,
∫ ξ2
ξ1
κn1κp2 di dθ
3 = kinp∣∣ξ2ξ1, (4.5.13)
58
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
poderemos representar todas as integrais que precisam ser resolvidas nas expressoes (4.4.58)
e (4.4.59), e poderemos escreve-las da forma
1
2ρ∗0
∫t1 dθ3 = K1D
1/233A0k
α + τ0
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z02k
1 −[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z11k
2 + Z01k3 − µZ11k
310 − νZ02k
301
)+
K2D−1/233
(µ2[D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]+ ν2
[D
1/233τ0− ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
])kα +
K2D−1/233 d33
[(Z2 − κ0Z2
10
)kα + µ2
(Z2
20 − κ0Z230
)kα20 + ν2
(Z2
02 − κ0Z212
)kα02 −
2µ(Z2
10 − κ0Z220
)kα10 − 2ν
(Z2
01 − κ0Z211
)kα01 + 2µν
(Z2
11 − κ0Z221
)kα11
]−
K2τ0
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z02k
1 −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11k
2
)−
K2D−1/233
([D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]µ2k1 +
[D
1/233τ0−ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
]ν2k2−[
D1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
][D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
][Z2
11 − κ0Z221
][ν2k1 + µ2k2
]+[
µ2D1/233τ0 − d
1/2τc
][(Z2
01 − κ0Z211
)k3 − µ
(Z2
11 − κ0Z221
)k310 − ν
(Z2
02 − κ0Z212
)k301
]−[
ν2D1/233τ0 − d
1/2τc
][(Z2
10 − κ0Z220
)k3 − µ
(Z2
20 − κ0Z230
)k310 − ν
(Z2
11 − κ0Z221
)k301
]), (4.5.14)
1
2ρ∗0
∫t2 dθ3 = K1D
1/233A0k
α + τ0
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]Z11k
1 −[D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]Z20k
2 + Z10k3 − µZ20k
310 − νZ11k
301
)+
K2D−1/233
(µ2[D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]+ ν2
[D
1/233τ0− ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
])kα +
K2D−1/233 d33
[(Z2 − κ0Z2
10
)kα + µ2
(Z2
20 − κ0Z230
)kα20 + ν2
(Z2
02 − κ0Z212
)kα02 −
2µ(Z2
10 − κ0Z220
)kα10 − 2ν
(Z2
01 − κ0Z211
)kα01 + 2µν
(Z2
11 − κ0Z221
)kα11
]−
K2τ0
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z11k
1 −[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]Z20k
2
)−
K2D−1/233
([D
1/233τ0−µ−2d
1/2τc
]2[Z2
02−κ0Z212
]µ2k1 +
[D
1/233τ0−ν−2d
1/2τc
]2[Z2
20−κ0Z230
]ν2k2−[
D1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
][D
1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
][Z2
11 − κ0Z221
][ν2k1 + µ2k2
]+[
µ2D1/233τ0 − d
1/2τc
][(Z2
01 − κ0Z211
)k3 − µ
(Z2
11 − κ0Z221
)k310 − ν
(Z2
02 − κ0Z212
)k301
]−[
ν2D1/233τ0 − d
1/2τc
][(Z2
10 − κ0Z220
)k3 − µ
(Z2
20 − κ0Z230
)k310 − ν
(Z2
11 − κ0Z221
)k301
]). (4.5.15)
59
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
4.5.3 Integracao da Energia Elastica
A energia de deformacao elastica de um elemento helicoidal sera denominada EE, e em
uma configuracao P sera obtida integrando-se a energia de deformacao tridimensional no
volume do elemento:
EE =
∫P
ρ∗Σ∗ dv = ρ∗0D1/233
∫P
(1− θ1κ0
)Σ∗ dθ1dθ2dθ3 , (4.5.16)
onde utilizamos as definicoes de dv (2.2.7) e G1/2 (4.2.26), a propriedade (4.5.1) e a hipotese
de homogeneidade do material do elemento. Desta maneira, integrando-se no volume do
elemento a expressao para a energia do modelo Mooney-Rivlin (4.3.6), poderemos escrever
EE
ρ∗0D1/233
= A0α0
(K1
[|dα|2 − 3
]+K2
[|d1|2 |d2|2 − 3
])+
D−133
[K1 +K2 |dα|2
](∫ ξ2
ξ1
[∫A0
|h|2 da− κ0∫A0
|h|2 θ1 da]dθ3
)−
K2D−133
(∫ ξ2
ξ1
[∫A0
(dα ·h)2 da− κ0∫A0
(dα ·h)2 θ1 da
]dθ3
). (4.5.17)
Com a ajuda dos resultados (4.4.45), poderemos escrever
(d1 ·h)2 =
[µ2D
1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)
]2(θ2)2 , (4.5.18)
(d2 ·h)2 =
[ν2D
1/233τ0 − d1/2τc
(1− θ1κ0)
]2(θ1)2 . (4.5.19)
Com estes resultados e a definicao de Zjmn (4.4.35), poderemos ainda escrever∫
A0
(d1 ·h)2 da =[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2Z2
02 , (4.5.20)
∫A0
(d2 ·h)2 da =[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2Z2
20 , (4.5.21)
∫A0
(d1 ·h)2 θ1 da =[µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2Z2
12 , (4.5.22)
∫A0
(d2 ·h)2 θ1 da =[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2Z2
30 . (4.5.23)
Com os resultados acima e os resultados (4.4.43) e (4.4.44) substituıdos em (4.5.17) e
60
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
alguma reorganizacao, chegaremos a seguinte expressao:
EE
ρ∗0D1/233
= A0α0
(K1
[|dα|2 − 3
]+K2
[|d1|2 |d2|2 − 3
])+
D−133
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2α0
[Z2
02 − κ0Z212
]+[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2α0
[Z2
20 − κ0Z230
]+[
α0
(Z2 − κ0Z2
10
)+ µ2
(Z2
20 − κ0Z230
)∫ ξ2
ξ1
κ21 dθ3 +
ν2(Z2
02 − κ0Z212
)∫ ξ2
ξ1
κ22 dθ3 − 2µ
(Z2
10 − κ0Z220
)∫ ξ2
ξ1
κ1 dθ3 −
2ν(Z2
01 − κ0Z211
)∫ ξ2
ξ1
κ2 dθ3 + µν
(Z2
11 − κ0Z221
)∫ ξ2
ξ1
κ1κ2 dθ3]d33
)−
K2α0
D33
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
02 − κ0Z212
]+[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
20 − κ0Z230
]). (4.5.24)
Definiremos β′3 como a taxa de variacao do angulo β (entre os vetores p e d1) por unidade
de θ3 e que possui as seguintes relacoes:
β′3 = β′3(t) =β(ξ2, t)− β(ξ1, t)
α0
, β′3 = d1/233β′s . (4.5.25)
A partir da expressao acima e de (4.2.55) e (4.2.56), considerando-se que β′3 6= 0, podere-
mos escrever ∫ ξ2
ξ1
κ1 dθ3 = κ
∫ ξ2
ξ1
cosβ dθ3 = κsinβ
β′3
∣∣∣ξ2ξ1
=κ2β′3
∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.26)
∫ ξ2
ξ1
κ2 dθ3 = κ
∫ ξ2
ξ1
sinβ dθ3 = −κcosβ
β′3
∣∣∣ξ2ξ1
= −κ1β′3
∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.27)
∫ ξ2
ξ1
κ21 dθ3 = κ2
∫ ξ2
ξ1
cos2β dθ3 = κ2β + sinβ cosβ
2β′3
∣∣∣ξ2ξ1
=β + κ1κ2
2β′3
∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.28)
∫ ξ2
ξ1
κ22 dθ3 = κ2
∫ ξ2
ξ1
sin2β dθ3 = κ2β − sinβ cosβ
2β′3
∣∣∣ξ2ξ1
=β − κ1κ2
2β′3
∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.29)
∫ ξ2
ξ1
κ1κ2 dθ3 = κ2
∫ ξ2
ξ1
cosβ sinβ dθ3 = κ2sin2β − cos2β
4β′3
∣∣∣ξ2ξ1
=κ22 − κ21
4β′3
∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.30)
61
Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal
que substituiremos em (4.5.24) para obter a expressao especializada para a energia de
Mooney-Rivlin do elemento helicoidal:
EE
ρ∗0D1/233
= A0α0
(K1
[|dα|2 − 3
]+K2
[|d1|2 |d2|2 − 3
])+
D−133
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2α0
[Z2
02 − κ0Z212
]+[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2α0
[Z2
20 − κ0Z230
]+[
α0
(Z2 − κ0Z2
10
)+
µ2
2β′3
(Z2
20 − κ0Z230
)[β + κ1κ2
]ξ2ξ1
+
ν2
2β′3
(Z2
02 − κ0Z212
)[β − κ1κ2
]ξ2ξ1− 2
µ
β′3
(Z2
10 − κ0Z220
)κ2∣∣ξ2ξ1
+
2ν
β′3
(Z2
01 − κ0Z211
)κ1∣∣ξ2ξ1
+µν
4β′3
(Z2
11 − κ0Z221
)[κ22 − κ21
]ξ2ξ1
]d33
)−
K2α0
D33
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
02 − κ0Z212
]+[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
20 − κ0Z230
]). (4.5.31)
No caso especial de β′3 = 0 teremos κ1 e κ2 constantes, e as integrais (4.5.26) a (4.5.30)
terao as formas ∫ ξ2
ξ1
κ1 dθ3 = α0κ1 ,
∫ ξ2
ξ1
κ2 dθ3 = α0κ2 , (4.5.32)
∫ ξ2
ξ1
κ21 dθ3 = α0κ
21 ,
∫ ξ2
ξ1
κ22 dθ3 = α0κ
22 , (4.5.33)
∫ ξ2
ξ1
κ1κ2 dθ3 = α0κ1κ2 , (4.5.34)
e a energia de deformacao elastica do elemento sera escrita
EE
ρ∗0D1/233
= A0α0
(K1
[|dα|2 − 3
]+K2
[|d1|2 |d2|2 − 3
])+
D−133 α0
[K1 +K2 |dα|2
]([D
1/233τ0 − µ−2d
1/2τc
]2µ2[Z2
02 − κ0Z212
]+[
D1/233τ0 − ν−2d
1/2τc
]2ν2[Z2
20 − κ0Z230
]+[(Z2 − κ0Z2
10
)+ µ2κ21
(Z2
20 − κ0Z230
)+
ν2κ22(Z2
02−κ0Z212
)−2µκ1
(Z2
10−κ0Z220
)−2νκ2
(Z2
01−κ0Z211
)+µνκ1κ2
(Z2
11−κ0Z221
)]d33
)−
K2α0
D33
([µ2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
02 − κ0Z212
]+[ν2D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2[Z2
20 − κ0Z230
]). (4.5.35)
62
Capıtulo Cinco
Aplicacao: Um Procedimento Numerico
5.1 Introducao
Neste capıtulo desenvolveremos um procedimento numerico para resolver um problema
especıfico, com a intencao de demonstrar o uso do elemento helicoidal desenvolvido no
capıtulo anterior. Uma vez desenvolvido, o procedimento sera utilizado para pegarmos
uma viga homogenea e inicialmente curva e modelarmos como uma sequencia de elemen-
tos helicoidais, e assim simularemos deformacoes elasticas nesta viga. Embora empregado
na simulacao de uma viga especıfica, este procedimento podera ser generalizado para a
simulacao de uma grande variedade de vigas, necessitando para isto que sejam introduzi-
dos rotinas para adaptar o procedimento para casos em que as curvas de referencia das
vigas apresentam trechos retos ou pontos de inflexao.
Dada a geometria da configuracao de referencia de uma viga, esta configuracao repre-
sentara um estado em que a energia de deformacao elastica desta viga e nula e a sua
energia potencial gravitacional e qualquer numero real. As deformacoes elasticas a se-
rem simuladas nesta viga serao resultantes da prescricao de deslocamentos numa de suas
extremidades enquanto mantemos a extremidade oposta fixa e da atuacao de uma forca
gravitacional sobre a viga, cabendo-nos utilizar o procedimento numerico para determinar
a nova configuracao desta, ou seja, a deformacao e a nova posicao de cada elemento que
a constitui. Destacamos que nesta nova configuracao a viga se encontrara em equilıbrio
estatico e alem da energia potencial gravitacional ela possuira alguma energia de de-
formacao elastica armazenada.
Partiremos de alguns princıpios para obter numericamente a configuracao de equilıbrio
estatico de uma viga curva:
1. No equilıbrio estatico da viga cada elemento individualmente tambem estara em
equilıbrio e tera associada a si uma energia de deformacao e uma energia potencial
gravitacional;
2. O somatorio das energias de deformacao elastica de todos os elementos determinara
a energia de deformacao elastica da viga, e o somatorio das energias potenciais
gravitacionais de todos os elementos determinara a energia potencial gravitacional
da viga;
3. A energia total da viga e a soma da sua energia de deformacao elastica com a sua
energia potencial gravitacional;
4. Prescritos o deslocamento e nova orientacao dos vetores diretores num ponto extremo
da curva de referencia da viga, a configuracao de equilıbrio estatico relacionada a esta
63
Capıtulo Cinco 5.2. A Viga
prescricao e aquela, dentre as infinitas configuracoes possıveis para esta prescricao,
na qual a energia total da viga e a menor.
5.2 A Viga
Nesta secao apresentaremos a viga especıfica que utilizaremos no exemplo de aplicacao
do modelo. A viga sera dada como uma haste curva, construıda de material que con-
x
y
x
z
Figura 5.1: Vista do modelo CAD da viga utilizada como exemplo. A esquerda, vista do planoxy. A direita, vista do plano xz.
sideraremos incompressıvel e homogeneo, de densidade ρ∗ conhecida, com secao circular
constante ao longo de seu comprimento. Na configuracao de referencia, as coordenadas
-50
-25
0
25
50 -50
-25
0
25
50
0
25
50
x y
z 10
20
30
40
50
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
R
θ3
Figura 5.2: Vista da curva de referencia da viga dada pela equacao (5.2.1). A esquerda, projecaoda curva em coordenadas polares no plano xy. A direita, vista espacial da mesma curva.
64
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
dos pontos pertencentes a curva de referencia desta viga serao dadas atraves da equacao
X(θ3) =
[R(θ3) cos θ3 R(θ3) sin θ3
θ3
4π
], 0 ≤ θ3 ≤ 3π
2, (5.2.1)
com R dado por
R(θ3) =1
2− θ3
4π. (5.2.2)
As grandezas X e R serao dadas em metros (m), θ3 sera dado em radianos, e o aspecto
da curva de referencia pode ser observado na figura 5.2.
Este formato de viga nos permitira a analise do comportamento do modelo em funcao da
variacao do raio de curvatura ao longo do comprimento da viga. Iremos tambem medir
o comportamento do modelo em funcao do valor do diametro da secao da viga. Tambem
devido a simplicidade da geometria da viga, nao precisaremos nos preocupar com pontos
de inflexao e se limitarmos os deslocamentos da extremidade livre da viga tambem nao
precisaremos nos preocupar em lidar com inversoes de curvatura, dispensando-nos de
preparar o procedimento numerico para estes casos.
5.3 Discretizacao
Para que possamos medir a energia total e as tensoes agindo sobre os elementos da viga,
precisaremos descrever a posicao e a deformacao de cada elemento desta. Entao se faz
necessario que a divisao da viga em elementos helicoidais se de na configuracao de re-
ferencia. A quantidade de elementos em que uma viga pode ser dividida e a princıpio um
1
n
n – 1
n + 1
N + 1
23
NN – 1
Figura 5.3: Nos e trıades de vetores diretores di sobrepostos na curva de referencia da viga.
65
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
numero arbitrario, porem, e certo que quanto mais elementos tivermos em um modelo de
viga (discretizacao mais refinada), maior sera a correspondencia do modelo discretizado
com a viga real, e maiores tambem serao os recursos computacionais consumidos durante
os calculos. Por outro lado, quanto menor a quantidade de elementos (discretizacao mais
grosseira), mais precaria sera a correspondencia do modelo com a curva de referencia da
viga real, e menores os recursos computacionais consumidos durante os calculos. Na ver-
dade, a quantidade de elementos que um modelo deve ter e uma preocupacao intrınseca
a qualquer metodo que usa elementos finitos para descrever um contınuo, mas nao discu-
tiremos neste trabalho a quantidade ideal de elementos em que deverıamos dividir a viga
que utilizaremos como exemplo.
Utilizando um metodo arbitrario, na configuracao de referencia da viga descrita na secao
5.2, criaremos N+1 pontos cujas coordenadas em relacao a um sistema fixo sejam distintas
entre si e incidam sobre a curva de referencia desta viga. Faremos isso de modo que ao
final exista um ponto em cada extremidade desta curva, e cada ponto assim criado sera
chamado individualmente de no. Rotularemos os nos sequencialmente de 1 a N+1, ao
longo da curva de referencia, dividindo-se assim esta curva em N segmentos que serao
representados no modelo de viga por elementos helicoidais rotulados sequencialmente de
1 a N , que por sua vez podem ter comprimentos de curva, raios de helice e inclinacoes de
helice diferentes entre si. Para nos referirmos a grandezas relacionadas a um elemento ou
no especıfico, utilizaremos o rotulo de tal elemento subscrito ou sobrescrito nessas gran-
dezas. Tal subscrito ou sobrescrito podera ser um numero ou uma expressao numerica
que resulte no numero do rotulo do no a que a grandeza se refere, porem podemos nos
abster de utilizar os rotulos em grandezas relacionadas a um no ou elemento arbitrario n.
Alem dos elementos e dos nos, o modelo da viga tera um conjunto finito de trıades de
vetores diretores nDi e ndi, em sua configuracao de referencia e num instante t qualquer,
respectivamente, com n = 1, . . . , N+1 indicando o no onde a origem da trıade se encon-
tra. As orientacoes dos vetores 1D3 e N+1D3 serao obtidas a partir da viga original, na
configuracao de referencia. Embora com suas magnitudes ainda por definir, sabemos que
os vetores 1D3 e N+1D3 serao colineares aos vetores normais as superfıcies que definem as
respectivas extremidades da viga, e que tambem serao tangentes a curva de referencia da
viga, respectivamente, no no 1 e no no N+1. As orientacoes dos vetores 1di serao iguais
as orientacoes originais de 1Di, assim como as coordenadas do no 1 serao mantidas fi-
xas, pois consideraremos esta extremidade como engastada. Ja as orientacoes dos vetoresN+1di serao prescritas, assim como as coordenadas do no N+1, como parte da simulacao
da deformacao da viga. Na viga deformada as orientacoes de todas as outras trıades
de vetores diretores dos outros nos serao variaveis do problema, porem sera garantida a
ortogonalidade e a regra da mao direita entre os vetores de cada trıade.
Um dado elemento rotulado como n compartilhara com os elementos vizinhos n−1 e n+1
os nos n e n+1, respectivamente, e estes nos limitarao o elemento como extremidades de
sua curva de referencia (ver figura 5.3).
Mais adiante descreveremos o procedimento que usaremos para atribuir a um elemento
66
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
n os valores da sua curvatura κ e torcao τ , partindo das coordenadas dos nos e das
orientacoes das trıades localizadas nos nos n e n+1 nas suas extremidades, porem, por
conveniencia, definiremos a seguir como serao medidas as orientacoes das trıades de veto-
res diretores.
5.3.1 Orientacao das Trıades de Vetores Diretores
Descreveremos a orientacao das trıades no espaco atraves de angulos de Euler [KUIPERS,
1998] na sequencia ZYX, ou sequencia aeroespacial. No caso dos vetores diretores di,
aplicaremos primeiro uma rotacao de magnitude ϕ1 = ϕ1(t) em torno do eixo d3, depois
uma rotacao de magnitude ϕ2 = ϕ2(t) em torno do novo eixo d2, e, por fim, uma rotacao
de magnitude ϕ3 = ϕ3(t) em torno do novo eixo d1. As grandezas ϕ1, ϕ2 e ϕ3 serao os
angulos de Euler dados em radianos. Utilizaremos uma matriz R = R(t) para transformar
os vetores de uma trıade constante d0i , dada por
d01 =
1
0
0
, d02 =
0
1
0
, e d03 =
0
0
d1/233
, (5.3.1)
em uma trıade di = di(t) parametrizada com os angulos de Euler ϕi. Esta matriz sera
escrita da forma
R =
cosϕ1 cosϕ2
(cosϕ1 sinϕ2 sinϕ3 −
sinϕ1 cosϕ3
) (cosϕ1 sinϕ2 cosϕ3 +
sinϕ1 sinϕ3
)
sinϕ1 cosϕ2
(sinϕ1 sinϕ2 sinϕ3 +
cosϕ1 cosϕ3
) (sinϕ1 sinϕ2 cosϕ3 −
cosϕ1 sinϕ3
)
− sinϕ2 cosϕ2 sinϕ3 cosϕ2 cosϕ3
, (5.3.2)
obtida compondo-se as matrizes de rotacao em torno dos eixos coordenados d0i , na sequencia
i = 3, 2, 1. As componentes dos vetores di em relacao ao sistema de coordenadas global
serao obtidas efetuando-se o produto
di = Rd0i . (5.3.3)
Por outro lado, se quisermos obter os angulos ϕi a partir das componentes (dix, diy, diz)
dos vetores de uma trıade posicionada no espaco, poderemos utilizar o produto acima
Podemos entao encontrar o valor de ϕ2 pela primeira expressao acima e substituir o
resultado nas demais para encontrar os angulos restantes. Os limites para os valores
desses angulos nos garantem o mapeamento um-para-um entre ϕi e o grupo das rotacoes
tridimensionais SO(3).
5.3.2 Obtencao da Geometria do Elemento Helicoidal
Definimos os vetores Xn e xn, n = 1, . . . , N+1, como os vetores que determinam a posicao
conhecida de cada no n da viga, respectivamente, em sua configuracao de referencia e em
um instante t qualquer. Definimos tambem os vetores unitarios (veja a figura 5.4) En e
o
n
n+1
xn
xn+1
xn+1 – xn
n–1
xn – xn–1
xn–1
Cn-1
Cnên–1
ên
Figura 5.4: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores en.
en, n = 1, . . . , N , da forma
En =Xn+1 −Xn
Ln, en =
xn+1 − xnln
, (5.3.7)
68
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
onde Ln e a distancia entre os nos n e n+1 na configuracao de referencia, e ln e a distancia
entre estes mesmos nos num instante t. Estas distancias tem seus valores dados por
Ln = |Xn+1 −Xn| , ln = |xn+1 − xn| . (5.3.8)
Utilizaremos estas distancias nodais Ln e ln para aproximar, respectivamente, os compri-
mentos dos segmentos das curvas nC0 e nC correspondentes a um elemento arbitrario n.
0
n+1
nD1
n–1Ên–1
Ên
Ên– Ên–1
n
nα∗
Ên+ Ên–1nD3
Figura 5.5: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores nD1 e nD3.
Os vetores unitarios normais as superfıcies das extremidades da viga serao conhecidos e
denominados Nα e n2, na configuracao de referencia e num instante t, respectivamente,
sendo N1 referente a extremidade do no 1, e N2 e n2 referentes a extremidade do no N+1,
estes vetores serao direcionados no sentido a apontar de dentro para fora da viga, nas
respectivas superfıcies.
Neste contexto, observando-se a figura 5.5, para n = 2, . . . , N , definimos o angulo nα∗0como o angulo entre os vetores En e En−1, e o angulo nα∗ como o angulo entre os vetores
en e en−1, e estes angulos serao dados pelas expressoes
nα∗0 = arccos(En−1 · En
)nα∗ = arccos
(en−1 · en
). (5.3.9)
Para n = 1 e n = N+1, estes angulos serao dados por (ver figura 5.6)
1α∗0 = 2 arccos(−N1 · E1
), 1α∗ = 2 arccos
(−N1 · e1
), (5.3.10)
N+1α∗0 = 2 arccos(EN · N2
), N+1α∗ = 2 arccos
(eN · n2
). (5.3.11)
69
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
N1
2
3
n=1
Ê1
Ê2
1D3
1D1 1α∗/20
Figura 5.6: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores 1D1 e 1D3.
Com a ajuda destas definicoes, a trıade nDi com a origem em um no n = 2, . . . , N sera
dada por
nD1 =En − En−1
2 sin (α∗0/2), (5.3.12)
nD2 =En−1×En
sinα∗0, (5.3.13)
nD3 = nD1/233
nD3 , (5.3.14)
onde nD3 e o vetor unitario tangente a curva de referencia, dado por
nD3 = nD1×nD2 . (5.3.15)
Com o auxılio dos vetores unitarios normais, os vetores 1D3 e N+1D3 serao entao definidos
da forma
1D3 = −1D1/233 N1 , (5.3.16)
N+1D3 = N+1D1/233 N2 . (5.3.17)
70
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
Observando a figura 5.6, a partir dos vetores Nα e En, podemos deduzir as seguintes
formas para os vetores 1Dα e N+1Dα
1D1 =E1 + cos (α∗0/2) N1
sin (α∗0/2), N+1D1 =
cos (α∗0/2) N2 − EN
sin (α∗0/2), (5.3.18)
1D2 = 1D1×N1 ,N+1D2 = N2×N+1D1 , (5.3.19)
Os vetores 1dα serao constantes e identicos a 1Dα, devido a condicao de engaste desta
extremidade e por µ e ν serem iguais a unidade. A orientacao dos vetores N+1di sera
prescrita de forma a simular uma deformacao na viga, respeitando-se a ortogonalidade
entre eles. Por sua vez, os vetores ndi, n = 2, . . . , N , serao obtidos transformando-se os
vetores d0i atraves de (5.3.3), com R (5.3.2) parametrizado de acordo com os angulos de
Euler ϕin correspondentes. Por fim, o vetor normal principal p (4.2.36) e o vetor binormal
b (4.2.37) serao definidos nos nos n = 2, . . . , N da forma
np =en − en−1
2 sin (α∗/2), (5.3.20)
nb =en−1×en
sinα∗, (5.3.21)
e nos nos n = 1 e n = N+1 da forma
1p =e1 + cos (α∗/2) N1
sin (α∗/2), N+1p =
cos (α∗/2) n2 − eNsin (α∗/2)
, (5.3.22)
1b = 1p×N1 ,N+1b = n2×N+1p . (5.3.23)
Nota-se que usamos um asterisco nos valores α∗0 e α∗ com a intencao de caracteriza-los
como valores nodais, diferenciando-os de α0 e α, que usaremos para representar os valores
dos angulos centrais dos elementos helicoidais, valores estes definidos na secao 4.2. Os
angulos centrais dependem diretamente do comprimento, curvatura e torcao do elemento.
Estas duas ultimas grandezas serao calculadas a seguir.
Para calcular a curvatura κ0 de um elemento n em sua configuracao de referencia, usaremos
uma forma aproximada linearizada da expressao (4.2.22):
∆D3
Ln= κ0 D1 , (5.3.24)
onde utilizamos (5.3.14) e a definicao abaixo para o vetor D1 medio do elemento
D1 =n+1D1 + nD1
|n+1D1 + nD1|, (5.3.25)
71
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
e ainda a definicao da diferenca entre os vetores D3 dos nos nas extremidades do elemento:
∆D3 = n+1D3 − nD3 . (5.3.26)
Se efetuarmos o produto interno dos dois lados de (5.3.24) por D1 e reorganizarmos,
teremos
κ0 =1
Ln∆D3 ·D1 . (5.3.27)
Similarmente, a partir da expressao (4.2.50), chegaremos as expressoes
κ =1
ln∆d3 ·p , p =
n+1p + np
|n+1p + np|, ∆d3 = n+1d3 − nd3 , (5.3.28)
onde
d3 = d1×d2 . (5.3.29)
As componentes κ1 e κ2 definidas em (4.2.53) serao simplificadas e calculadas como gran-
dezas nodais, de forma que em um no n:
κ1 = κ∗ p ·d1 , κ2 = κ∗ p ·d2 , (5.3.30)
onde a grandeza κ∗ e a curvatura nodal, referente a um no n, definida por
κ∗ =2
l∗nsin
α∗
2, (5.3.31)
onde α∗ e o angulo definido em (5.3.9), (5.3.10) e (5.3.11) e l∗n e a distancia nodal media
em torno do no n. Quando n = 2, . . . , N , esta distancia sera dada por
l∗n =ln−1 + ln
2, (5.3.32)
e quando n = 1 e n = N+1, l∗n sera igual ao comprimento do unico elemento conectado
ao no:
l∗1 = l1 , l∗N+1 = lN , (5.3.33)
com ln dado por (5.3.8). Neste no n, o angulo β (4.2.55) entre os vetores np e nd1 sera
dado por:
β = arccos(κ1κ∗
). (5.3.34)
A expressao (5.3.31) para a curvatura κ∗ foi deduzida a partir da figura 5.7, adaptada de
[GReGOIRE, 2007, pg. 32], onde aproveitamos a semelhanca entre triangulos e a relacao
entre hipotenusa e cateto oposto num triangulo retangulo. Seguimos com a definicao
da geometria do elemento, definindo a taxa β′3 (4.5.25) como uma grandeza relativa ao
elemento n, constante ao longo deste elemento e calculada da forma:
β′3 =n+1β − nβ
α0
. (5.3.35)
72
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
nL
*
2nL
1nL −
*nL
*nL
*
2nL
*1nκ
o
nα∗
n–1
n
n+1
nα∗/2
Figura 5.7: Esquema para obtencao da curvatura nodal κ∗, adaptado de [GReGOIRE, 2007, pg.32].
Formas aproximadas linearizadas para as expressoes (4.2.21) e (4.2.49), com µ = ν = 1,
podem ser escritas da forma
∆D2
Ln= −τ0D1 ,
∆b
ln= −τp , (5.3.36)
com D1 e p definidos em (5.3.27) e (5.3.28), respectivamente, e com ∆D2 e ∆b dados por
∆D2 = n+1D2 − nD2 , e ∆b = n+1b− nb . (5.3.37)
Se fizermos o produto interno dos dois lados das expressoes em (5.3.36) por D1 e p,
respectivamente, teremos
τ0 = − 1
Ln∆D2 ·D1 , (5.3.38)
τ = − 1
ln∆b ·p . (5.3.39)
Combinaremos as expressoes (4.2.18) com (4.2.19) e (4.2.8), e (4.2.46) com (4.2.47), e
73
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
obteremos o raio de curvatura e inclinacao da helice em funcao da curvatura e torcao
R =κ0
κ20 + τ 20, I =
τ0κ20 + τ 20
, (5.3.40)
r =κ
κ2 + τ 2, i =
τ
κ2 + τ 2, (5.3.41)
nos permitindo ainda reescrever a grandeza D33 (4.2.8) em funcao da curvatura e torcao:
D33 = R2 + I2 =1
κ20 + τ 20. (5.3.42)
Com este resultado e a expressao (4.2.7), obteremos o angulo central do elemento helicoidal
na configuracao de referencia tambem em funcao da curvatura e torcao:
α0 = D−1/233 Ln = Ln
[κ20 + τ 20
]1/2, (5.3.43)
que usaremos juntamente com (4.2.34) para escrever
d33 =
[lnα0
]2=
l2nL2n (κ20 + τ 20 )
, (5.3.44)
que por sua vez sera utilizado em (4.2.35), juntamente com as expressoes para r e i
(5.3.41), com o objetivo de encontrar uma expressao para o angulo central α, em um
instante t: [lnα0
]2=
[α
α0
]2(1
κ2 + τ 2
),
α = ln[κ2 + τ 2
]1/2, (5.3.45)
onde utilizamos a definicao da razao φ (4.2.29). Utilizaremos as definicoes para D33 e d33
acima nas expressoes (5.3.14) e (5.3.1), respectivamente, completando as definicoes dos
vetores nD3 e nd3. Por fim, as inercias Zjmn (4.4.35), com j = 0, . . . , 2, m = 0, . . . , 3 e
n = 0, . . . , 2, serao determinadas para cada elemento por integracao numerica, utilizando
o metodo Newton-Cotes [HOFFMAN, 2001] com a regra do trapezoide.
Com as definicoes acima temos a geometria necessaria para determinar o equilıbrio e a
energia dos elementos do modelo da viga.
5.3.3 Equilıbrio Estatico do Elemento Helicoidal
Neste trabalho utilizaremos um metodo de otimizacao para minimizar a energia total da
viga. Em termos de metodos de otimizacao, teremos uma funcao objetivo cujas variaveis
serao as coordenadas dos nos e os angulos ϕi nao prescritos, que determinam respectiva-
74
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
mente as origens e orientacoes das trıades da viga. O valor desta funcao sera um numero
real associado a energia total e ao equilıbrio da viga. Os valores iniciais das coordena-
das e dos ϕi serao aqueles relativos a configuracao de referencia ou resultantes de uma
solucao imediatamente anterior. A cada iteracao, a partir dos novos valores obtidos para
as variaveis da funcao objetivo, determinaremos os valores das grandezas t3 e mα nas
extremidades dos elementos com as expressoes (4.4.60), (4.4.61) e (4.4.62), e determina-
remos tambem a energia total desses elementos com a expressao (4.5.24).
Tambem utilizaremos as expressoes de conservacao em conjunto com as equacoes cons-
titutivas para formar um sistema de equacoes nao-lineares que resolveremos para obter
as coordenadas dos nos e os ϕi da viga em equilıbrio. Mostraremos aqui as formas que
tomam as expressoes da conservacao do impulso e da conservacao dos momentos dos ve-
tores diretores para o caso especial da viga que iremos simular.
Consideraremos apenas as energias de deformacao elastica e potencial gravitacional, o que
exclui a energia cinetica, e consideraremos que os elementos que compoem a viga tem as
propriedades:
1. Em relacao ao sistema fixo escolhido, os elementos terao velocidade nula;
2. Os elementos se encontram em equilıbrio;
3. Os elementos estarao isentos de forcas de contato;
4. A forca da gravidade e a unica forca de corpo a atuar, e de forma homogenea, sobre
os elementos.
A incompressibilidade do material da viga e representada por J = 1 (2.2.24), e a ine-
xistencia de deformacao da secao transversal significa µ = ν = 1, o que requer que o
elemento de comprimento da curva de referencia seja constante: ds = dS (3.2.28, 4.2.15,
4.2.40 e 3.3.6), assim como a densidade ρ da teoria de Cosserat, como pode ser visto em
(3.3.5). Assim as expressoes para o vetor tensao t3 (4.4.60) e para os vetores mα (4.4.61,
4.4.62) podem ser simplificadas da forma
t3 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 + 2K2
]([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z01 d1 − Z10 d2
]+
[Z − κ1Z10 − κ2Z01
]d3
)+K2 dα
([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z01 − Z10
])], (5.3.46)
m1 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 + 2K2
]([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z11 d1 − Z20 d2
]+
[Z10 − κ1Z20 − κ2Z11
]d3
)+K2 dα
([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z11 − Z20
])], (5.3.47)
75
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
m2 = 2ρ∗0 D−1/233
[[K1 + 2K2
]([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z02 d1 − Z11 d2
]+
[Z01 − κ1Z11 − κ2Z02
]d3
)+K2 dα
([D
1/233τ0 − d
1/2τc
] [Z02 − Z11
])]. (5.3.48)
Se observarmos (3.3.11), deduziremos que a forma global (pois d33 e D33 sao propriedades
globais do elemento helicoidal) da lei de conservacao da massa do elemento reduz-se entao
a exigencia
d33 = D33 . (5.3.49)
Com a definicao para a massa do elemento (4.5.3), a definicao para a resultante de uma
forca de corpo homogenea (4.5.6), e pelas propriedades acima, a lei de conservacao do
impulso em sua forma global (3.3.31) sera reduzida a
0 = M c∗ + t3∣∣ξ2ξ1, ou t31 − t32 = M c∗ , (5.3.50)
onde t31 = t3(0) e o vetor forca atuando no elemento n, na extremidade do no n, e
t32 = t3(α0) e o vetor forca atuando no mesmo elemento n, porem na extremidade do no
n+1. Estes vetores serao calculados com a expressao (4.4.60). Por sua vez, c∗ e o vetor
aceleracao da gravidade, dado em metros por segundo ao quadrado (m/s2) e definido por
c∗ =[0 0 −9.81
]. (5.3.51)
Utilizando a expressao (4.5.12) para o momento especıfico de uma forca de corpo ho-
mogenea agindo sobre o elemento, e com as propriedades do elemento listadas no inıcio
desta secao, a forma global da conservacao dos momentos dos vetores diretores (3.3.57)
em nosso modelo sera escrita
0 = yαM c∗ −∫ ξ2
ξ1
tα dθ3 + mα∣∣ξ2ξ1. (5.3.52)
A inercia y2 (4.5.5) e nula para a secao da viga que estamos modelando, entao poderemos
reescrever a expressao acima da forma
m12 −m1
1 =
∫ α0
0
t1 dθ3 − y1M c∗ , (5.3.53)
m22 −m2
1 =
∫ α0
0
t2 dθ3 , (5.3.54)
com a inercia y1 determinada a partir do momento de inercia da area circular do elemento:
y1 = − κ0A0
I22 = − κ0A0
πR4
4. (5.3.55)
76
Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao
Com estas expressoes e com (4.4.61) e (4.4.62) para os valores de mα1 = mα(0) e mα
2 =
mα(α0), nos nos n e n+1, respectivamente, encontraremos os valores das integrais contendo
tα. Estas integrais serao uteis na definicao do equilıbrio da viga.
5.3.4 Energia Total do Elemento Helicoidal
Para os fins de simular a deformacao da viga em equilıbrio estatico, a energia total de um
elemento helicoidal, representada pela variavel ET , num instante t, sera a soma da sua
energia potencial gravitacional com a sua energia de deformacao elastica, representadas
respectivamente pelas variaveis EG e EE. Isto esta declarado na relacao
ET = EG + EE . (5.3.56)
Na configuracao de referencia o elemento tera energia de deformacao nula, e sua energia
total sera a energia potencial gravitacional:
E 0T = E 0
G . (5.3.57)
A energia potencial gravitacional de um elemento n sera dada em Joules (J) e definida da
forma classica, como
E 0G = M c∗ ·X , EG = M c∗ ·x , (5.3.58)
onde M e a massa do elemento, em quilogramas (kg), definida por (4.5.3), e X e x sao as
coordenadas do centro de gravidade do elemento n, aproximadas pelo ponto medio nodal
do elemento, tais que
X =Xn+1 −Xn
2, e x =
xn+1 − xn2
, (5.3.59)
onde X refere-se a configuracao de referencia.
A energia de deformacao elastica sera dada tambem em Joules pelas expressoes (4.5.31)
e (4.5.35). Porem, devido as restricoes a deformacao da secao transversal e a incom-
pressibilidade do material, estas expressoes podemesta expressao pode ser simplificadas e
77
Capıtulo Cinco 5.4. Equilıbrio estatico da Viga
reescritas da forma
EE
ρ∗0D1/233
= −A0α0
[K1 + 2K2
]+
D−133 α0
[K1 +K2
] [D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2(Z2
02 + Z220 − κ0
[Z2
12 + Z230
])+
D−133
d33
β′3
[K1 + 2K2
](α0
[Z2 − κ0Z2
10
]+
1
2
[Z2
20 − κ0Z230
][β + κ1κ2
]ξ2ξ1
+
1
2
[Z2
02 − κ0Z212
][β − κ1κ2
]ξ2ξ1− 2[Z2
10 − κ0Z220
]κ2∣∣ξ2ξ1
+
2[Z2
01 − κ0Z211
]κ1∣∣ξ2ξ1
+1
4
[Z2
11 − κ0Z221
][κ22 − κ21
]ξ2ξ1
), (5.3.60)
quando β′3 6= 0, ou
EE
ρ∗0D1/233
= −A0α0
[K1 + 2K2
]+
D−133 α0
[K1 +K2
] [D
1/233τ0 − d
1/2τc
]2(Z2
02 + Z220 − κ0
[Z2
12 + Z230
])+
D−133 α0
[K1 + 2K2
](Z2 − κ0Z2
10 + κ21
[Z2
20 − κ0Z230
]+ κ22
[Z2
02 − κ0Z212
]−
2κ1
[Z2
10 − κ0Z220
]− 2κ2
[Z2
01 − κ0Z211
]+ κ1κ2
[Z2
11 − κ0Z221
])d33 , (5.3.61)
para os elementos que tem o valor β′3 proximos de zero.
5.4 Equilıbrio estatico da Viga
No nosso modelo, para considerarmos que uma viga esta em equilıbrio estatico, requeremos
que os nos estejam nesta mesma condicao. Desde que nao estamos considerando forcas
nem momentos concentrados aplicados nos nos, um no estara em equilıbrio se forem iguais
os valores da tensao t3 e dos momentos mα nas duas extremidades de elemento que este
no define. Isto nos leva a escrever
nt32 = n+1t31 ,nmα
2 = n+1mα1 , n = 1, . . . , N − 1 , (5.4.1)
onde o sobrescrito do lado esquerdo indica o elemento ao qual a grandeza se refere. Reque-
rimentos deste tipo sao referidos por autores como Rubin como equacoes de acoplamento
cinematico [RUBIN, 2005].
Se observarmos a segunda expressao em (5.3.50) e a primeira expressao acima e definirmos
78
Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga
a massa total da viga como
M =N∑n=1
Mn , (5.4.2)
onde Mn e a massa do elemento n, como definida em (4.5.3), chegaremos a
1t31 − Nt32 = M c∗ , (5.4.3)
o que e o esperado, se olharmos a viga como um corpo rıgido sob a acao do proprio peso e
das forcas 1t31 e Nt32 nas extremidades. De maneira similar, se observarmos as expressoes
(5.3.53) e (5.3.54) e a segunda expressao em (5.4.1), poderemos escrever
Nm12 − 1m1
1 =N∑n=1
[∫ α0
0
nt1 dθ3 − y1nMn c∗]
=N∑n=1
[nm1
2 − nm11
], (5.4.4)
Nm22 − 1m2
1 =N∑n=1
∫ α0
0
nt2 dθ3 =N∑n=1
[nm2
2 − nm21
]. (5.4.5)
As expressoes (5.4.1), (5.4.3), (5.4.4) e (5.4.5) formam o conjunto que agora chamaremos
de equacoes de equilıbrio da viga.
5.5 Minimizacao da Energia da Viga
Consideraremos que depois de prescrevermos deslocamento e orientacao na extremidade
do no N+1 da viga, deveremos encontrar as novas coordenadas e orientacao dos nos livres
que definem um novo equilıbrio estatico da viga. Nesta nova configuracao a soma das
energias totais dos elementos tera o menor valor possıvel no qual as condicoes de contorno
e a condicao de equilıbrio individual dos elementos ainda e respeitada. Claramente trata-
se de encontrarmos os valores das coordenadas dos nos e as orientacoes das trıades que
satisfacam simultaneamente todas as equacoes de equilıbrio dos elementos e da viga, e isto
resultaria no menor valor para a soma das energias totais dos elementos, dadas as condicoes
de contorno. Este e basicamente um problema de resolucao de um sistema de equacoes
nao-lineares com 6×(N−1) variaveis, onde N e a quantidade de elementos no modelo,
pois teremos N−1 nos livres com tres coordenadas de posicao e tres angulos de Euler
cada. O que propomos nesta secao e trocar este sistema de equacoes por um problema
de minimizacao de uma funcao. O problema de minimizacao, ao inves de envolver uma
funcao (no caso, o somatorio das energias totais dos elementos) com restricoes (equacoes
de equilıbrio), sera reduzido, a seguir, a minimizacao sem restricoes de uma outra funcao.
Esta outra funcao sera obtida adicionando-se penalizacoes ao somatorio das energias totais
dos elementos, penalizacoes estas calculadas em funcao do quanto as tensoes e momentos
encontrados nas extremidades dos elementos desrespeitam as equacoes de equilıbrio da
79
Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga
viga, que sao as equacoes (5.4.1), (5.4.3), (5.4.4) e (5.4.5).
5.5.1 Funcao Objetivo
Por conveniencia, definiremos o vetor a, cujos elementos aj, j = 1, . . . , 6(N−1), serao
definidos da forma
aj =
xin se j = 6 (n− 2) + i
ϕin se j = 6 (n− 2) + i+ 3; n = 2, . . . , N ; i = 1, 2, 3 , (5.5.1)
onde xin e o i-esimo componente de xn e ϕin sao os angulos de Euler da orientacao das
trıades ndi, portanto o vetor a contem em sequencia as coordenadas de todos os nos
internos e angulos de Euler de todas as trıades internas da viga, onde nao ha prescricao
de condicao de contorno ou deslocamento. Este vetor em conjunto com as condicoes de
contorno no no 1 e do deslocamento e orientacao no no N+1 nos fornecerao a geometria
e a deformacao da viga, como foi mostrado na secao 5.3.2, e a sera o que chamaremos de
vetor das variaveis de projeto (ou vetor de projeto) do nosso problema de minimizacao,
sendo as energias potencial e de deformacao elastica da viga funcoes deste vetor. A
InícioDescrição do material e
seção da viga
Fim
Prescrição do deslocamento
Vetor a inicial
IteraçõesResultado
Figura 5.8: Fluxograma geral do processo de simulacao da deformacao da viga.
energia potencial gravitacional EG e a energia de deformacao elastica EE da viga serao a
soma das energias potenciais gravitacionais e a soma das energias elasticas dos elementos,
respectivamente:
EG = EG(a) =N∑n=1
EG , EE = EE(a) =N∑n=1
EE . (5.5.2)
80
Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga
A energia total da viga sera representada pela variavel ET , que entao sera a soma das
energias EG e EE da viga:
ET = ET (a) = EG + EE . (5.5.3)
A funcao objetivo no nosso problema de minimizacao sera a soma da energia total da viga
ET com a funcao penalidade P :
F = F (a) = ET + P , (5.5.4)
onde a funcao penalidade P = P (a) sera definida como
P = W1
N∑n=1
[nd33 − nD33
nD33
]2+W2
N−1∑n=1
[∣∣nt32 − n+1t31∣∣2 +
∣∣nmα2 − n+1mα
1
∣∣2]+
W3
∣∣1t31 − Nt32 −M c∗∣∣2 +W4
∣∣∣∣Nmα2 − 1mα
1 −N∑n=1
[nmα
2 − nmα1
]∣∣∣∣2 +
W5
N−1∑n=1
[arccos
(n+1d1 · (en+1 − en)
|en+1 − en|
)]2+
+W6
N∑n=1
[(nκ− nκ∗
nκ∗
)2
+
(n+1κ∗ − nκ
nκ
)2], (5.5.5)
Podemos perceber que a funcao penalidade leva em consideracao os restos das expressoes
de equilıbrio da viga e das leis de conservacao da massa, impulso e conservacao dos momen-
tos diretores. Alem disso, as duas ultimas parcelas desta expressao inserem penalidades
com dois objetivos: O primeiro e manter os planos definidos pelos vetores dα de cada
trıade perpendiculares a curva de referencia, e o segundo e manter os vetores d1 contidos
no plano osculante [KREYSZIG, 1991] da curva de referencia.
Na expressao (5.5.5) os termos Wm, m = 1, . . . , 6, sao os pesos das diferentes fontes de
penalidade do modelo. Estes pesos servem para homogeneizar as ordens de grandeza de
cada parcela da funcao penalidade e tambem para que seja atribuıda uma prioridade en-
tre as restricoes que resultaram nestas penalidades. Podemos observar que a primeira e
as duas ultimas parcelas sao grandezas relativas. Com a finalidade de termos as mesmas
unidades entre as parcelas e mantermos a proporcao entre a funcao penalidade P e o valor
da energia F independente da geometria e material, os pesos Wm terao a forma
W1 = C1M
ρ∗(K1 + 2K2
), W2 = W3 = W4 =
C2
A30
, (5.5.6)
W5 = C5M
ρ∗(K1 +K2
), W6 = C6
M
ρ∗(K1 + 2K2
), (5.5.7)
onde C1, C2, C5 e C6 sao fatores multiplicadores que usaremos para definir o grau de
severidade de cada restricao considerada na penalidade.
81
Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga
5.5.2 Metodo (Fletcher-Reeves) do Gradiente Conjugado
A figura 5.8 ilustra os passos que precisam ser percorridos por um metodo numerico
iterativo para simular a deformacao da viga. Para encontrar o vetor a∗ que minimizara a
funcao objetivo (5.5.4) utilizaremos o metodo do gradiente conjugado, tambem conhecido
como o metodo Fletcher-Reeves [RAO, 1996; NOCEDAL; WRIGHT, 2006].
O procedimento do metodo Fletcher-Reeves pode ser resumido da seguinte forma:
1. Inicie com um valor a0.
2. Determine a primeira direcao de busca p0:
p0 = −∇F (a0) = −∇F0 , (5.5.8)
onde ∇F0 e o gradiente da funcao F , em relacao aos componentes do vetor a, no
ponto a0.
3. Faca k = 1
4. Encontre ak com a expressao
ak = ak−1 + λ∗k−1 pk−1 , (5.5.9)
onde λ∗k−1 e o passo otimo na direcao de busca pk−1.
5. Com o gradiente ∇Fk = ∇F (ak) faca
pk = −∇Fk +|∇Fk|2
|∇Fk−1|2pk−1 . (5.5.10)
6. Calcule o passo otimo λ∗k na direcao pk e encontre o novo vetor ak+1:
ak+1 = ak + λ∗k pk . (5.5.11)
7. Teste o vetor ak+1 com os criterios de parada. Se algum criterio de parada foi
alcancado, pare o processo. Se nao, faca k = k + 1 e volte ao passo 5.
Utilizaremos a formula da diferenca finita central [RAO, 1996] para a aproximacao dos
componentes do gradiente ∇F (a), assim estes componentes serao dados por
∂F (a)
∂aj=F (a + h aj)− F (a− h aj)
2h, j = 1, . . . , 3(N−1) , (5.5.12)
onde aj e um vetor unitario cujo componente aj e o unico diferente de zero, e h e um
incremento pequeno o suficiente para que a expressao acima aproxime-se do valor real dos
82
Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga
componentes do gradiente, porem grande o suficiente para evitar erros de arredondamento
durante o calculo numerico.
O incremento otimo λ∗k e o valor que minimiza a funcao Fλk = F(a(λk)
), que e o conjunto
de valores de F obtidos a partir de valores de a restritos pela equacao
a(λk) = aλk = ak + λk pk , (5.5.13)
onde λk e uma variavel escalar.
Para encontrar o incremento otimo λ∗k, usaremos o metodo quasi-Newton [RAO, 1996]
para a minimizacao unidimensional de Fλk , com λk sendo a variavel de projeto. Usaremos
a formula da diferenca finita central adaptada para a aproximacao da primeira e segunda
derivadas de Fλk , dadas respectivamente por
dFλk
dλk= F ′λk =
F(ak + [λk + h] pk
)− F
(ak + [λk − h] pk
)2h
, (5.5.14)
d2Fλk
(dλk)2 = F ′′λk =
F(ak + [λk + h] pk
)− 2Fλk + F
(ak + [λk − h] pk
)h2
. (5.5.15)
A derivada F ′λk tambem poder ser obtida da forma
F ′λk =dFλk
daλk
·daλk
dλk= ∇Fλk ·pk , (5.5.16)
onde ∇Fλk e o gradiente de F nos pontos aλk . Se usarmos o valor inicial λ0k = 0, tornando
Fλ0k= Fk, nos sera permitindo escrever
F ′λ0k= ∇Fk ·pk , (5.5.17)
e a primeira iteracao pode ser entao escrita da forma
λ1k = −
h[F(ak + hpk
)− F
(ak − hpk
)]2[F(ak + hpk
)− 2Fk + F
(ak − hpk
)] . (5.5.18)
Nas demais iteracoes, os valores de λk serao dados por
λm+1k = λmk −
h[F(ak + [λmk + h] pk
)− F
(ak + [λmk − h] pk
)]2[F(ak + [λmk + h] pk
)− 2Fλmk
+ F(ak + [λmk − h] pk
)] . (5.5.19)
83
Capıtulo Cinco 5.6. Resultados
5.5.3 Criterios de Parada
O processo de minimizacao cessara por ocasiao de convergencia ou se o limite de iteracoes
kmax for atingido. Serao encerrados com status de convergentes os processos de mini-
mizacao que, estipulado um erro admissıvel ε > 0, atingirem um dos seguintes criterios
durante o processo de iteracao:
1. A distancia entre os valores da funcao objetivo Fk obtidos em duas iteracoes conse-
cutivas e menor ou igual ao erro admissıvel:
|Fk − Fk−1| ≤ ε . (5.5.20)
2. A norma do gradiente ∇Fk e menor ou igual ao erro admissıvel:
|∇Fk| ≤ ε , (5.5.21)
3. A norma da diferenca entre os valores do vetor de projeto ak obtidos em duas
iteracoes consecutivas e menor ou igual ao erro admissıvel:
|ak − ak−1| ≤ ε . (5.5.22)
No caso de algum dos criterios acima ser testado positivamente, teremos encontrado o
vetor a∗, que minimiza a funcao F , que sera retornado junto com o status de convergencia.
No caso de o numero maximo de iteracoes ser atingido, o ultimo valor ak sera retornado
juntamente com o status de nao-convergencia.
5.6 Resultados
Abaixo mostraremos ilustracoes com linhas e pontos representando as diferentes con-
figuracoes que assumem a curva de referencia e os nos da viga descrita na secao 5.2,
quando modificamos os parametros que descrevem a geometria ou o material desta viga
ou quando a forca da gravidade e alterada. O modelo reagiu apropriadamente as mu-
dancas no material da viga, como mostram as linhas na figura 5.9, onde estao mostradas
linhas resultantes de quatro simulacoes com o modulo de cisalhamento igual a 0, 0001,
0, 01, 1, 0 e 100GPa, intervalo que abrange modulos de cisalhamento da maioria dos ma-
teriais utilizados em pecas de maquinas, de borrachas macias a metais de alta resistencia.
Nestas simulacoes utilizamos aceleracao da gravidade de 9, 81m/s2, e diametro de 5mm.
Na figura 5.10 podemos ver a influencia do diametro da secao da viga na deformacao
resultante. Podemos notar que para o diametro de 1, 5mm a deformacao e menor. Isto se
deve ao menor peso desta viga em relacao as outras duas. No entanto, a viga de 30mm
84
Capıtulo Cinco 5.6. Resultados
Módulo de
Cisalhamento (GPa)
0,0001
0,01
1
100
Figura 5.9: Diferentes valores para o modulo de cisalhamento do material leva-nos a diferen-tes quantidades de deformacao na curva de referencia de uma viga. Raio da secao = 5mm eaceleracao da gravidade = 9, 81m/s2
Raio da Seção (mm)
Config. de Referência
1,5mm
5
30
Figura 5.10: Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resultantesde diferentes raios da secao utilizados. Curva de referencia da viga nao-deformada em azul.Modulo de cisalhamento = 0, 01GPa e aceleracao da gravidade = 9, 81m/s2
de diametro tem deformacao menor que a de 5mm. Isto se deve a rigidez conferida a viga
pelo diametro maior de sua secao. Quanto a sensibilidade do modelo a variacao no valor
da aceleracao gravidade, podemos observar nas figuras 5.11 que esta de acordo com o que
e esperado do comportamento fısico de uma peca real. Nesta figura, vigas com diferentes
diametros reagem de maneira diferente aos mesmos valores de aceleracao da gravidade.
85
Capıtulo Cinco 5.6. Resultados
0
5
9,81
Aceleração da
Gravidade (m/s2)
Figura 5.11: Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resultantesde diferentes valores de aceleracao da gravidade utilizados. Raio da secao = 5mm e modulo decisalhamento = 0, 01GPa
Nas simulacoes de onde foram obtidas estas curvas nao houve deslocamento aplicado as
extremidades.
Para obtermos a figura 5.12 uma curva foi desenhada a cada cinco iteracoes de uma oti-
mizacao com um erro maximo permitido muito pequeno, de modo que foram necessarias
muitas iteracoes para se chegar a solucao e pudessemos obter um grande numero de linhas.
0
100
200
300
400
500
Iterações
Figura 5.12: Evolucao das coordenadas dos pontos em funcao do numero de iteracoes.
86
Capıtulo Cinco 5.6. Resultados
Nesta figura podemos observar que a convergencia obtida pelo metodo de otimizacao uti-
lizado e relativamente lenta, se comparada com o metodo de Newton, por exemplo.
87
Capıtulo Seis
Conclusoes
O procedimento numerico foi bem sucedido na obtencao do estado de equilıbrio (como
definido nas hipoteses do inıcio do capıtulo 5) para diferentes valores nas variaveis de
caracterizacao do material, raio da secao e deslocamentos utilizados para simular a viga
descrita no capıtulo anterior, embora tenha sido necessario um numero de iteracoes con-
siderado elevado para o metodo utilizado (se considerarmos que para um algoritmo de
gradiente conjugado otimo a solucao seria encontrada em n iteracoes, onde n e a di-
mensao do vetor de projeto).
Quanto a formulacao do elemento helicoidal, por ser mais complexa que a formulacao do
elemento desenvolvido por Rubin, baseado no ponto de Cosserat, se justifica teoricamente
quando o elemento e usado para vigas espessas, onde as dimensoes da curvatura e do
diametro da secao sao equivalentes.
Embora o exemplo utilizado nao tenha nos permitido comparar de forma direta a con-
veniencia de cada modelo, pode-se demonstrar que o modelo do ponto de Rubin seria
equivalente a um caso especial de elemento helicoidal. Concluımos que uma viga espessa
que apresentasse secoes retas e curvas poderia ser modelada aproveitando-se os pontos
fortes de cada modelo: A simplicidade e eficiencia dos elementos de ponto para represen-
tar as secoes retas e a fidelidade geometrica dos elementos helicoidais em representar os
trechos com curvaturas e secao transversal de mesma ordem de grandeza.
Propostas de Desenvolvimento Futuro Seria interessante para a continuidade das in-
vestigacoes sobre a representatividade do elemento e sua praticidade em modelos mais
complexos. Para isto e necessario o aprimoramento do procedimento numerico inici-
ado neste trabalho. Seria interessante verificar o impacto no tempo de simulacao se
utilizassemos o metodo do gradiente conjugado em conjunto com outros metodos de oti-
mizacao, por exemplo, o metodo de Newton. Neste caso, o metodo do gradiente conjugado
seria utilizado para chegarmos a uma aproximacao da solucao, a partir da qual o metodo
de Newton seria empregado, e garantir ao ponto de partida deste ultimo a proximidade
necessaria da solucao, como requerido.
Importante tambem que este trabalho seja continuado com a comparacao entre o erro
relativo obtido quando aplicamos o elemento helicoidal aquele obtido quando aplicamos
o modelo de Rubin quando comparamos as solucoes encontradas a um exemplo de viga
cuja solucao analıtica seja conhecida, e que esse erro seja comparado ao mesmo exemplo.
88
Apendice A
Formas Locais da Conservacao da Massa e do
Impulso
Para simplificar o desenvolvimento da teoria de Cosserat expressaremos as equacoes
d
dt
∫P
ρ∗ dv = 0 ,
d
dt
∫P
ρ∗ z dv =
∫P
ρ∗ c∗ dv +
∫∂P
t∗ da ,
respectivamente, a conservacao de massa (2.3.1) e a conservacao do impulso (2.3.3), em
suas correspondentes formas locais ou eulerianas.
Para tanto, e preciso desenvolver expressoes para a derivada em relacao ao tempo de uma
integral sobre uma regiao P do espaco, e utilizar o teorema do divergente para transformar
uma integral sobre a superfıcie ∂P em uma integral sobre o volume.
Uma integral sobre uma regiao P pode ser transformada em outra sobre a regiao P0, que e
a regiao associada a configuracao inicial ou de referencia de P . Basta para isto utilizarmos
a expressao (2.2.24) para a transformacao∫P
f dv =
∫P0
fJ dV , (A.0.1)
onde f e uma funcao escalar ou vetorial.
Como P0 e invariante no tempo, e assumindo a continuidade das funcoes, poderemos
permutar a diferenciacao no tempo com a integral no volume P0:
d
dt
∫P
f dv =d
dt
∫P0
fJ dV =
∫P0
d(fJ)
dtdV , (A.0.2)
Para continuarmos o desenvolvimento, devemos transformar o lado direito da expressao
anterior de volta a uma integral sobre a regiao P .
O fator de dilatacao J e uma funcao do gradiente de deformacao F∗. Utilizando a regra
da cadeia, sua derivada em relacao ao tempo pode ser escrita como
J =dJ
dF∗· F∗ . (A.0.3)
E por F∗ nao ser singular, pode-se escrever
dJ
dF∗= J(F∗)−T . (A.0.4)
89
Capıtulo A
Utilizando (2.2.14) e derivando F∗ em relacao ao tempo, obteremos
F∗ =∂F∗
∂t=
∂
∂t
(∂z
∂Z
)=
∂
∂Z
(∂z
dt
)=∂z
∂Z=∂z
∂z
(∂z
∂Z
), (A.0.5)
ou
F∗ = L∗F∗ , (A.0.6)
onde
L∗ =∂z
∂z(A.0.7)
e o gradiente de velocidade relativo a posicao z.
Uma forma conveniente de se representar L∗ pode ser obtida se considerarmos um sistema
de coordenadas convectivas θi, onde θi = 0, tal que
L∗ =∂z
∂z=∂z
∂θi⊗ ∂θi
∂z= wi ⊗ gi . (A.0.8)
Com estas definicoes, podemos reescrever (A.0.3) deste modo
J = J(F∗)−T · (L∗F∗) = J[(F∗)−T (F∗)T
]·L∗ = JL∗ · I = J div z . (A.0.9)
Podemos agora escrever (A.0.2) da forma
d
dt
∫P
f dv =
∫P0
d(fJ)
dtdV =
∫P0
J(f + f div z
)dV =
∫P
(f + f div z
)dv . (A.0.10)
Com a definicao acima, poderemos escrever a conservacao da massa (2.3.1) da forma
d
dt
∫P
ρ∗ dv =
∫P
(ρ∗ + ρ∗ div z) dv = 0 , (A.0.11)
que devido a continuidade do integrando, nos leva a forma local ou euleriana da con-
servacao de massa
ρ∗ + ρ∗ div z = 0 . (A.0.12)
Nas expressoes (2.3.3) e (2.3.5) para a conservacao do impulso e conservacao do momento
angular, respectivamente, encontramos termos que sao derivadas em relacao ao tempo
de integrais cujos integrandos consistem da densidade de um ponto material ρ∗ multipli-
cada por alguma funcao. Para definirmos uma expressao geral para esse tipo de termo,
usaremos a expressao (A.0.10) e a regra da derivada do produto:
d
dt
∫P
ρ∗f dv =
∫P0
(ρ∗f + ρ∗f
)J dV =
∫P0
[ρ∗f + f (ρ∗ + ρ∗ div z)
]J dV . (A.0.13)
90
Capıtulo A
Com a forma local de conservacao de massa (A.0.12), podemos ainda simplificar este
resultado:d
dt
∫P
ρ∗f dv =
∫P
ρ∗f dv . (A.0.14)
Agora precisamos converter a integral sobre a superfıcie ∂P em uma integral sobre o
volume P . Para isto, lembremos do teorema do divergente:∫∂P
fn da =
∫P
(div f) dv . (A.0.15)
Agora a lei da conservacao do impulso (2.3.3) pode ser escrita em sua forma local, com
ajuda das duas ultimas expressoes e da relacao (2.3.4):
ρ∗ z = ρ∗ c∗ + div T∗ . (A.0.16)
Se definirmos tres vetores ti∗ tais que
ti∗ = g1/2 T∗ gi , (A.0.17)
g1/2 T∗ = ti∗ ⊗ gi , (A.0.18)
a conservacao do impulso podera ser escrita de uma forma alternativa:
ρ∗g1/2 z = ρ∗g1/2 c∗ +(ti∗)′i. (A.0.19)
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Referencias Bibliograficas
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Contınuo de Cosserat. Tese (Doutorado) — Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de
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