UM MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA …‡ÃO... · MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM

UM MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE

MACIÇOS ROCHOSOS COM BASE NO CRITÉRIO DE RUPTURA DE

HOEK-BROWN

Autor: JEFFERSON TALES SIMÃO

Orientadora: Profa. Dr

a. CHRISTIANNE DE

LYRA NOGUEIRA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação do Departamento de Engenharia de

Minas da Escola de Minas da Universidade

Federal de Ouro Preto, como parte integrante

dos requisitos para obtenção do título de

Mestre em Engenharia Mineral.

Área de concentração:

Lavra de Minas

Ouro Preto/MG

Agosto de 2014

Catalogação: [email protected]

S593m Simão, Jefferson Tales.

Um modelo numérico para análise elastoplástica de maciços rochosos

com base no critério de ruptura de Hoek-Brown [manuscrito] / Jefferson

Tales Simão. - 2014.

90f.: il. color; grafs.; tabs.

Orientador: Profa. Dra. Christianne de Lyra Nogueira.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de

Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Mineral – PPGEM.

Área de concentração: Lavra de Minas.

1. Método dos elementos finitos - Teses. 2. Elastoplasticidade - Teses. 3.

Análise funcional não linear - Teses. 4. Solos - Compactação - Teses.

I. Nogueira, Christianne de Lyra. II. Universidade Federal de Ouro Preto.

III. Título.

CDU: 624.04:519.1

CDU: 669.162.16

mailto:[email protected]

ii

iii

AGRADECIMENTOS

À Universidade Federal de Ouro Preto e a CAPES pela contribuição à minha formação

acadêmica e apoio financeiro.

À minha orientadora, professora Dra. Christianne de Lyra Nogueira, pela transmissão

de conhecimentos, discussões, sugestões e contribuições técnicas a este trabalho.

Aos meus familiares, pela sustentação e apoio em todas as etapas da vida.

Aos meus colegas de casa em Ouro Preto, Pedro, Pedro Herinque, Lucas, Iure e

Oswaldo.

iv

RESUMO

Esta dissertação tem como objetivo a implementação computacional do modelo

constitutivo elástico perfeitamente plástico com base no critério de ruptura de Hoek-

Brown e com plasticidade associada para análise não linear tensão deformação de obras

geotécnicas, tais como escavações e fundações superficiais, em maciços rochosos. As

implementação computacionais foram realizadas no programa ANLOG com base na

formulação em deslocamento do método dos elementos finitos. Em função da natureza

não linear do modelo constitutivo adota-se um processo de solução em nível global

incremental interativo do tipo Newton-Raphson com incrementos automáticos de carga

de modo a garantir o equilíbrio. Além disto, um algoritmo explícito com sub-

incrementos automáticos de deformação é adotado para integração de tensão em nível

local de modo a garantir a condição de consistência. Os resultados de simulações

numéricas de ensaios triaxiais convencionais, adotando diferentes trajetórias de tensão,

confirmam a implementação computacional. Exemplos relacionados com abertura de

cavidades e capacidade de suporte em maciços rochosos foram usados para validar as

implementações computacionais e demonstrar a aplicabilidade do modelo numérico

gerado.

Palavras-chaves: critério de resitência de Hoek-Brown, método de elementos finitos,

elastoplasticidade, análise não linear, algoritmo de integração de tensão, capacidade de

suporte, abertura de cavidade, maciço rochoso.

v

ABSTRACT

This dissertation aims the computational implementation of an elastic perfectly

plastic constitutive model based on the Hoek-Brown failure criterion and with non-

associative plasticity in order to be applied to non-linear analysis of geotechnical

problems as excavation and shallow foundation in rock mass. The computational

implementation was carried out into ANLOG system based on the finite element

method displacement formulation. Due to the non-linear nature of the constitutive

model an incremental iterative Newton-Raphson procedure with automatic increments

of load is adopted in order to guarantee the equilibrium in global level. Besides, in order

to guarantee the consistency condition in local level, an explicit algorithm with

automatic sub increment of strain is adopted for the stress integration. Results from the

numerical simulation of conventional triaxial test, following different stress path, have

confirmed the computational implementation. Examples related to circular opening and

bearing capacity in rock mass were used in order to validate the computational

implementation and the applicability of the numerical model developed.

Key words: Hoek-Brown failure criterion, finite element method, elastoplasticity, non-

linear analysis, stress integration algorithm, circular opening in rock mass, bearing

capacity, rock mass.

vi

Sumário

Página

Lista de Figuras ......................................................................................................................... vii

Lista de Tabelas .......................................................................................................................... ix

Lista de Quadros .......................................................................................................................... x

Lista de Símbolos ....................................................................................................................... xi

Capítulo 1 – INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

1.1 - Considerações preliminares ................................................................................................... 1

1.2 - Objetivo e descrição do trabalho ........................................................................................... 2

Capítulo 2 – FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS ..... 4

2.1 - Equações de equilíbrio estático .............................................................................................. 5

2.2 - Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares ................................................ 6

2.3 - Estratégias de integração de tensão ..................................................................................... 12

Capítulo 3 – MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-

BROWN ...................................................................................................................................... 21

3.1 - Conceitos da plasticidade..................................................................................................... 22

3.2 - O Modelo Hoek Brown........................................................................................................ 25

Capítulo 4 – O PROGRAMA ANLOG .................................................................................... 34

4.1 - Macro comando ................................................................................................................... 37

4.2 - Elementos finitos e aproximações ....................................................................................... 38

4.3 - Matriz constitutiva ............................................................................................................... 41

4.4 - Implementações computacionais ......................................................................................... 44

Capítulo 5 – EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO ..................................................................... 52

5.1 - Simulação de um ensaio CTC .............................................................................................. 53

5.2 - Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico ......................................................................... 57

5.3 - Capacidade de suporte de fundação superficial ................................................................... 63

Capítulo 6 – CONCLUSÕES .................................................................................................... 70

Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 73

vii

Lista de Figuras

Capítulo 2 - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS

Figura 2.1 - Ilustração do método puramente incremental ........................................................... 10

Figura 2.2 - Processo de Newton Raphson .................................................................................. 11

Figura 2.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira 2006) ............. 15

Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN

Figura 3.1 - Tipos de comportamento tensão deformação ........................................................... 22

Figura 3.2 - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico ................ 24

Figura 3.3 - Modelo constitutivo geral ......................................................................................... 24

Figura 3.4 - Relação tensão deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico .......... 25

Figura 3.5 - Influência da resistência à compressão uniaxial (ζci) ............................................... 28

Figura 3.6 - Influência constante petrográfica (mb) ..................................................................... 29

Figura 3.7 - Influência do parâmetro s ......................................................................................... 29

Figura 3.8 - Influência do parâmetro a ......................................................................................... 30

Figura 3.9 - Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz, 2008) ...................................................... 31

Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG

Figura 4.1 - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 2010) .......................................... 36

Figura 4.2 - Mtool - TecGraf® (Nogueira, 2010) ........................................................................ 36

Figura 4.3 - Elemento finito quadrangular quadrático (Q8) ......................................................... 38

Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO

Figura 5.1 - Simulação de ensaios triaxiais CTC ......................................................................... 53

Figura 5.2 - Malha de elementos finitos – trajetórias de tensão ................................................... 54

Figura 5.3 - Curva tensão-deformação – ensaio CTC .................................................................. 55

Figura 5.4 - Trajetórias de tensão no espaço p-q.......................................................................... 57

Figura 5.5 - Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade ................................... 58

Figura 5.6 - Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico ............... 60

Figura 5.7 - Distribuição das tensões ao redor da abertura circular ............................................. 61

Figura 5.8 - Distribuição de tensão .............................................................................................. 62

Figura 5.9 - Regiões elásticas e plásticas ..................................................................................... 62

Figura 5.10 - Fundação superficial – rígida (Lisa e rugosa) ........................................................ 63

viii

Figura 5.11 - Curva carga-recalque - fundação corrida rígida e lisa - meio puramente coesivo .. 65

Figura 5.12 - Curva carga-recalque – fundação rígida – meio puramente coesivo - corrida versus

circular ......................................................................................................................................... 66

Figura 5.13 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - filito ....................................... 68

Figura 5.14 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - basalto .................................... 68

Figura 5.15 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - arenito .................................... 69

ix

Lista de Tabelas

Capítulo 2 - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS

Tabela 2.1 - Fator de incremento de carga ( λ) .............................................................................. 8

Tabela 2.2 - Critérios de convergência – ratio ≤ tolerância ......................................................... 11

Tabela 2.3 - Definição da ocorrência de fluxo plástico ................................................................ 16

Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN

Tabela 3.1 - Valores da constante mi para rocha intacta (Hoek e Brown 1997) .......................... 26

Tabela 3.2 - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown 1977) ....................................... 26


Tabela 4.1 - Alterações no código computacional ANLOG ........................................................ 44

Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO

Tabela 5.1 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC ............................................................. 53

Tabela 5.2 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC ................................................ 54

Tabela 5.3 - Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima....................... 56

Tabela 5.4 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade ...................................................... 60

Tabela 5.5 - Raio de transição e tensões (pi=5MPa e ri=5m) ....................................................... 60

Tabela 5.6 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - fundação ......................................... 64

Tabela 5.7 - Parâmetros da solução incremental-iterativa – efeito GSI ....................................... 67

Tabela 5.8 - Fator de capacidade de suporte - κult - (D=0; γ=0) ................................................... 69

x

Lista de Quadros


Quadro 4.1 – Sub-rotina DATNPROP ......................................................................................... 45

Quadro 4.2 – Sub-rotina DATIMAT ........................................................................................... 45

Quadro 4.3 – Sub-rotina PROPERTIES ...................................................................................... 46

Quadro 4.4 – Sub-rotina MATDE_ALL ...................................................................................... 47

Quadro 4.5 – Sub-rotina MATDEP_ALL .................................................................................... 47

Quadro 4.6 – Sub-rotina TCALCG_ALL .................................................................................... 47

Quadro 4.7 – Sub-rotina TCALC_2 ............................................................................................. 48

Quadro 4.8 – Sub-rotina TCALC_71 ........................................................................................... 48

Quadro 4.9 – Sub-rotina DHB ..................................................................................................... 49

Quadro 4.10 – Sub-rotina DHB_GAGB ...................................................................................... 50

Quadro 4.11 – Sub-rotina YIELD_FUNC_HB ............................................................................ 50

Quadro 4.12 – Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB ............................................................... 50

Quadro 4.13 – Sub-rotina TSUP_HB ........................................................................................... 51

xi

Lista de Símbolos

a - gradiente da função de plastificação

a - parâmetro do critério de Hoek-Brown

ah - função do incremento de deformação plástica

b - gradiente da função potencial plástico

B - matriz cinemática

bp - vetor de forças de corpo

D - fator de perturbação

De - matriz constitutiva elástica

Dep - matriz constitutiva elastoplástica

E - módulo de Young

F - função de plastificação

Fext - vetor de forças externas global

eδF - parcela de força externa devido aos deslocamentos prescritos não nulos

ebF - parcela de força externa devido às forças de peso próprio

esF

- parcela de força externa devido às forças de superfície

eextF - vetor de forças externas do elemento

Fint - vetor de força interna global

eintF - vetor de força nodal

G - função potencial plástico

GSI - índice geológico de resistência

I1- primeiro invariante do tensor de tensão

I2D - segundo invariante do tensor de tensão desviadora

I3D - terceiro invariante do tensor de tensão desviadora

J - matriz jacobiana

K - matriz de rigidez global

Ke - matriz de rigidez elementar

mb - parâmetro do critério de Hoek-Brown

mi - constante petrográfica da rocha intacta

xii

N - matriz que contém as funções de interpolação

Ni - função de interpolação

Q - força de reação

qn - vetor de forças de superfície

R - erro relativo local

RMR - classificação do maciço rochoso

s - parâmetro do critério de Hoek-Brown

ST0L - tolerância para o erro relativo local

T - pseudo tempo

U - vetor de deslocamentos nodais

û - vetor do incremento de deslocamento em cada elemento

x - vetor das coordenadas locais

- operador diferencial de primeira ordem

- coeficiente de Poisson

- fator de carga

- vetor de deformação

ci - resistência à compressão uniaxial da rocha intacta

p - ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica

(ζ1 – ζ3) - diferença de tensão

d - multiplicador escalar

δ - valor do deslocamento nodal prescrito

δΔUk - correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global

Δλi- fator de incremento de carga

ε1 - deformação axial

εvol - deformação volumétrica

θ - ângulo de Lode

κ - fator de carga

ζ - vetor das componentes de tensão

Ψk - vetor de força desequilibrada

1

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1. Considerações preliminares

Esta dissertação de mestrado está inserida na linha de pesquisa de Geomecânica

e Geotecnia da área de concentração de Lavra de Minas do Programa de Pós-Graduação

em Engenharia de Mineral (PPGEM) da Escola de Minas (EM) da Universidade Federal

de Ouro Preto (UFOP). Ela se justifica pela contribuição ao entendimento do

comportamento mecânico de obras geotécnicas em equilíbrio estático e em estados de

deformação plana e axissimétrica, com base na simulação numérica, via método dos

elementos finitos (MEF).

Esta dissertação está relacionada ao desenvolvimento do sistema computacional

ANLOG que se constitui num código aberto, escrito em linguagem de programação

FORTRAN, inicialmente desenvolvido na PUC-Rio (Zornberg, 1989) e que vem sendo

atualizado sob a supervisão da professora Christianne de Lyra Nogueira desde o final de

sua tese de doutorado na PUC-Rio em 1998 (Nogueira, 1998). Este programa contou

com a colaboração de vários alunos de iniciação científica, mestrado e doutorado

(Zornberg, 1989; Nogueira, 1992 e 1998; Machado Jr., 2000; Pereira, 2003; Pinto,

2004; Silva, 2005; Oliveira, 2006; Yang, 2009; Valverde, 2010; Armond e Nogueira,

2013).

A aplicação do método dos elementos finitos para análise de problemas

mecânicos em equilíbrio estático permite com certa facilidade investigar, dentre outros

aspectos, a influência dos diversos modelos de comportamento tensão deformação, ou

simplesmente constitutivos, nas previsões do comportamento de diversas obras

geotécnicas.

2

Vários modelos constitutivos podem ser encontrados na literatura. No entanto,

os que melhor representam o comportamento tensão deformação são os modelos não

lineares, tais como o elástico (Duncan e Chang, 1970), elástico perfeitamente plástico

(Sloan e Booker, 1986) e elastoplástico (Lade e Kim, 1990).

As grandes dificuldades encontradas na ampla utilização de análises tensão

deformação não lineares estão: no controle do processo de solução não linear, tanto em

nível global quanto local; e, na definição dos parâmetros dos modelos constitutivos, os

quais, em sua maioria são definidos a partir de resultados de ensaios de laboratórios tal

como o ensaio de compressão triaxial convencional (CTC).

Um modelo constitutivo que vem sendo cada vez mais adotado nas análises

tensão deformação de maciços rochosos e que considera parâmetros empíricos que

podem ser determinados a partir de observações do levantamento geológico-geotécnico

é o modelo elástico perfeitamente plástico com base no critério de resistência de Hoek-

Brown (Hoek, 2006).

O critério de resistência de Hoek-Brown foi inicialmente desenvolvido para

estimar a resistência de maciços rochosos não fraturados e em seguida foi modificado

levando em conta a condição de fraturamento do maciço (Hoek e Brown, 1980, 1988 e

1997; Hoek, 1980 e 1994; Hoek et al, 1992; 1995 e 2002). As dificuldades associadas

aos processos de integração de tensão e de solução de equação não linear também tem

sido objeto de estudo de alguns autores no âmbito da aplicação do critério de Hoek-

Brown (Clausen e Damkilde, 2008; Choi e Deb, 2005) e é objeto de estudo desta

dissertação.

1.2. Objetivo e descrição do trabalho

Esta dissertação de mestrado tem como objetivo o desenvolvimento de um

modelo numérico, com base no MEF, para análise tensão deformação em condição de

deformação plana e axissimétrica de obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos,

considerando o modelo elástico perfeitamente plástico com plasticidade associada de

Hoek-Brown (Clausen e Damkilde, 2008).

O desenvolvimento desta dissertação envolve: além das características básicas

do programa ANLOG, a obtenção da matriz elastoplástica com base na formulação em

3

deslocamento do MEF e do algoritmo de integração de tensão para o modelo Hoek-

Brown.

Esta dissertação está organizada em 6 capítulos, incluindo este. No Capítulo 2 é

apresentada a formulação via MEF do problema mecânico de equilíbrio estático, as

equações elastoplásticas, os procedimentos mais utilizados para a solução de sistemas

de equações não lineares, em nível global; e, os algoritmos de integração de tensão. No

Capítulo 3 apresenta-se o modelo constitutivo de Hoek-Brown. No Capítulo 4 é

apresentado o programa ANLOG e as mudanças necessárias para a implementação do

modelo Hoek-Brown. No Capítulo 5 são apresentados os resultados dos exemplos de

verificação e aplicação. E, finalmente, no Capítulo 6, apresentam-se as conclusões

obtidas nesta dissertação.

4

Capítulo 2

FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS

ELASTOPLÁSTICOS

A aplicação do MEF na análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático

levando em conta a natureza elastoplástica das relações constitutivas conduz a um

sistema de equações não lineares cuja solução deverá garantir a condição de equilíbrio,

em nível global, e a condição de consistência, em nível local, pela qual todo estado de

tensão deve permanecer no interior ou no máximo sob a superfície de plastificação

definida pelo modelo constitutivo adotado.

Neste capítulo apresenta-se o sistema de equação, na forma matricial com base

na formulação em deslocamento do MEF, que governa esse problema mecânico para

um estado generalizado de tensão e deformação juntamente com as estratégias de

solução da equação de equilíbrio e da integração de tensão ao longo de uma trajetória de

deformação qualquer.

A apresentação generalizada destas equações pode ser encontrada na literatura

específica cabendo destacar os trabalhos: Bathe (1982), Crisfield (1991 e 1997),

Nogueira (1998), Oliveira (2006); Sloan e Booker (1986) e Sloan et al (2001).

5

2.1. Equações de equilíbrio estático

O sistema de equação diferencial que governa um problema mecânico de

equilíbrio estático é dado por:

0bζ pT

em V (2.1)

em que é um operador diferencial de primeira ordem, ζ é o vetor das componentes de

tensão, bp é o vetor de forças de corpo (peso próprio) e V é o domínio do problema.

Esse sistema de equação deverá atender às seguintes condições de contorno:

nn qζ em Sq (condição de contorno natural) (2.2a)

δU i em Su (condição de contorno essencial) (2.2b)

em que qn é o vetor de forças de superfície, U é o vetor de deslocamentos nodais e δ é o

valor do deslocamento nodal prescrito (nulo ou não) num ponto do contorno do domínio

do problema. Sq e Su são, respectivamente, os contornos do domínio do problema com

força e deslocamentos prescritos.

Com base na formulação em deslocamento do MEF o sistema de equação de

equilíbrio (Equação 2.1) pode ser reescrito na seguinte forma simplificada:

extint FF (2.3)

em que extF é o vetor de forças externas que representam o arranjo global do vetor de

forças nodais equivalentes às forças externas do elemento e

extF definido como:

ee

b

e

s

e

ext FFFF (2.4)

em que

qe

ee

s dS

qeS

TqNF (2.5a)

6

representa a parcela de força externa devido às forças de superfície;

eVe

T dVep

e

b bNF (2.5b)

representa a parcela de força externa devido às forças de peso próprio; e por fim,

δKFee

(2.5c)

representa a parcela de força devido aos deslocamentos prescritos não nulos .

As Equações 2.5a e 2.5b são integradas, respectivamente, ao longo de uma face

(Sqe) e do volume (Ve) de um dado elemento finito. eK é a matriz de rigidez elementar

e N é a matriz que contém as funções de interpolação Ni que dependem do tipo de

elemento (Nogueira, 1998).

O vetor de força interna intF representa o arranjo global do vetor de força nodal

e

intF equivalente ao estado de tensão em um dado elemento, o qual é definido como:

eV

e

Te

int dVζBF (2.6)

O operador B é a matriz cinemática que relaciona as componentes de

deformação e deslocamento e, portanto, contém as derivadas das funções de

interpolação Ni.

As matrizes de rigidez, de interpolação e cinemática são descritas no Capitulo 4

juntamente com a descrição do programa ANLOG (Nogueira, 2010).

2.2. Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares

Problemas mecânicos de equilíbrio estático que envolve materiais com

comportamento elastoplástico são representados matematicamente por um sistema de

equações algébricas não lineares em função da não linearidade da parcela de força

interna (Equação 2.6). Assim, para a obtenção da solução deste sistema de equação,

7

alguma estratégia de solução deve ser adotada de modo a garantir a condição de

equilíbrio global (Equação 2.3).

Dentre as estratégias de solução de sistemas de equação não lineares as que

adotam um procedimento puramente incremental ou incremental iterativo são as mais

difundidas.

Nessas estratégias, a trajetória de equilíbrio é controlada pelo fator de carga, ,

que é atualizado a cada passo de carga i ao longo desta trajetória fazendo:

i1ii (2.7)

em que i é o fator de incremento de carga. O fator de carga varia de zero à unidade

ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio.

Para problemas fortemente não lineares o tamanho do passo de carga pode

conduzir a uma resposta numérica que se afasta da resposta real, no caso do

procedimento puramente incremental, ou pode inviabilizar a convergência do processo

iterativo, no caso do procedimento incremental-iterativo. Incrementos de carga muito

pequenos podem tornar o processo de solução muito lento. Desta forma, a seleção

automática do tamanho do incremento de carga é fator importante para o sucesso do

processo de solução do sistema de equação (Nogueira, 1998).

Uma estratégia eficiente de incremento automático de carga deve fornecer

grandes incrementos quando a resposta da estrutura for quase linear e conduzir a

pequenos incrementos quando a resposta da estrutura for fortemente não linear. A

Tabela 2.1 apresenta os valores dos fatores de incrementos de carga tal como sugerido

por Crisfield (1991 e 1997) os quais podem ser usados juntamente com um

procedimento de solução incremental-iterativo partindo de um valor inicial para o fator

de incremento de carga, 0 , previamente estabelecido.

8

Tabela 2.1 - Fator de incremento de carga ( )

Numa solução incremental-iterativa com incrementos automáticos de carga, os

fatores de incrementos de carga calculados automaticamente não poderão ser maiores

ou menores que valores máximos e mínimos (max e mín) fornecidos pelo usuário

para que o programa não entre num “loop” infinito. Se a convergência não é verificada

para um número máximo de iterações num dado passo, uma simples estratégia de corte

do tamanho do passo é utilizada.

Nas estratégias puramente incremental e incremental iterativa atualizam-se, no

final de cada passo de carga, a nível global (ou da estrutura), os vetores de

deslocamento, U, de força externa, Fext, e de força interna, Fint; e a nível local (ou do

elemento), os vetores de deformação, , e tensão, , de modo que:

i1ii UUU (2.8)

i1iiextextext FFF

(2.9)

i1iiintintint FFF

(2.10)

i1ii εεε (2.11)

i1ii ζζζ (2.12)

O incremento de deformação, , avaliado a nível do elemento depende da

relação cinemática e do incremento de deslocamento em cada elemento, u . O

Estratégia

1 2

1i

1i

d

I

I

1i

ratio

toler

ninc/10

Id é o número de iterações desejadas para se obter a convergência; Ii-1 é o número de iterações necessárias para a

convergência do passo anterior; é um expoente usualmente tomado como 0.5 ou 2.0; toler é a tolerância do processo

iterativo; ratio é uma variável que depende do tipo de critério de convergência adotado; ninc é o número de incremento de carga.

9

incremento de tensão, , depende, além do modelo constitutivo, do algoritmo de

integração de tensão adotado.

O incremento de deslocamento, U, em cada passo de carga i depende da

estratégia de solução adotada em resposta ao incremento de força externa:

extiextiFF (2.13)

No procedimento puramente incremental o vetor de incremento de deslocamento

nodal é obtido a nível global resolvendo o seguinte sistema de equação:

ext

1FKU

(2.14)

em que K é a matriz de rigidez global que representa o arranjo global das matrizes de

rigidez de cada elemento e

K definida como:

ev

eep

Te dVBDBK (2.15)

que depende da matriz constitutiva elastoplástica, epD , a qual é avaliada em função do

estado de tensão em cada elemento. Este procedimento pode ainda ter algumas

variações em função do estado de tensão adotado na avaliação da matriz de rigidez,

quais sejam: método da rigidez inicial (Figura 2.1a) e método da rigidez tangente

(Figura 2.1b).

No método da rigidez inicial (Figura 2.1a) a matriz de rigidez é avaliada em

função do estado de tensão inicial e é mantida constante ao longo de toda trajetória de

deformação. No método da rigidez tangente (Figura 2.1b) a matriz de rigidez é avaliada

em função de estado de tensão no início de cada incremento ou passo de carga.

10

a) Método da rigidez inicial b) Método da rigidez tangente

Figura 2.1 - Ilustração do método puramente incremental

A eficiência deste método (entendida como a capacidade de reproduzir uma dada

trajetória de equilíbrio) é altamente influenciada pelo tamanho dos incrementos

utilizados e pelo grau de não linearidade da relação constitutiva do material.

No procedimento incremental iterativo o vetor de incremento de deslocamento

nodal é obtido a nível global resolvendo a seguinte lei de recorrência:

iter

1k

k0UUU (2.16)

em que 0

U é a solução predita obtida de acordo com a Equação 2.14 tal como no

procedimento puramente incremental, e

k1kkΨKU

(2.17)

é a correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global, do tipo Newton-

Raphson, em que:

k k

ext int Ψ F F (2.18)

é o vetor de força desequilibrada em cada iteração k. Esse processo é interrompido

quando numa dada iteração k um dado critério de convergência (Tabela 2.2) é

verificado.

11

Tabela 2.2 - Critérios de convergência – ratio tolerância

Critério ratio

Força ext int extF F F

Deslocamento UU

Energia ext

0FUΨU

O símbolo indica produto escalar

O método de correção iterativa de Newton Raphson caracteriza-se por manter o

nível de força externa constante durante o ciclo iterativo. Com relação à matriz de

rigidez, dois procedimentos podem ser adotados: o padrão e o modificado. O

procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson é chamado de padrão quando a

matriz de rigidez é atualizada em cada ciclo iterativo (ver Figura 2.2a) ou de modificado

quando a matriz de rigidez é mantida constante durante o ciclo iterativo (ver Figura

2.2b). O procedimento modificado, apesar de ser mais lento é mais estável que o

procedimento padrão e, por isso é adotado neste trabalho.

a) Padrão b) Modificado

Figura 2.2 - Processo de Newton Raphson

Também colabora para o bom desempenho do procedimento incremental

iterativo a avaliação do vetor de força interna que depende do esquema de integração de

tensão adotado para avaliação do estado de tensão ao longo da trajetória de deformação.

12

2.3. Estratégias de integração de tensão

Os procedimentos apresentados anteriormente envolvem a avaliação do estado

de tensão em cada elemento e a cada ciclo iterativo. Esta avaliação é feita atualizando-

se o estado de tensão no início do passo corrente uma vez obtido as variáveis

incrementais:

uBε i (2.19)

iepi εDζ (2.20)

As Equações 2.11 e 2.12 (ou ainda, as Equações 2.19 e 2.20) só são válidas para

incrementos infinitesimais de tensões, dζ, e deformações, dε. No entanto, como estes

incrementos não são infinitesimais e erros podem ser cometidos e acumulados durante a

integração das tensões, algum esquema de integração de tensão em nível local deverá

ser adotado a fim de o critério de plastificação não seja violado.

Em uma situação multiaxial, ou generalizada em termos do estado tensão-

deformação, a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação

experimentado pelo corpo ao longo de uma determinada trajetória de deformação e/ou

tensão, pode ser escrito como a soma das componentes de natureza elástica e plástica

desta deformação, ou seja:

pe ddd εεε (2.21)

em que edε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação elástica e

pdε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação plástica. A

componente elástica pode ser escrita como:

ζDε dd1

e

e (2.22)

em que De é matriz constitutiva elástica cujos coeficientes são funções dos parâmetros

elásticos do material. A variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação

plástica pode ser escrito de acordo com a lei de fluxo como:

13

bε dd p (2.23)

em que

ζb

G (2.24)

em que d é um multiplicador escalar positivo que depende do acúmulo de deformação

plástica a ser definida por uma lei de endurecimento e b é o gradiente da função

potencial plástico, G(). A função potencial plástico define a direção do incremento de

deformação.

Ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio os estados de tensão devem

permanecer dentro ou, no máximo, sobre a superfície de plastificação. Desta forma,

tem-se que:

0daddh

h

Fd

FdF h

T

p

ab

ε (2.25)

ou ainda:

dad h

T a (2.26)

em que

Fa (2.27)

é o gradiente da função de plastificação, F(,h), e

bε

ph

h

h

Fa

(2.28)

é função do incremento de deformação plástica e h é uma função do parâmetro de

endurecimento. No caso de modelos de comportamento com plasticidade perfeita, a

função do incremento de deformação plástica é nula (ah=0).

14

Substituindo-se as Equações 2.22 e 2.23 na Equação 2.21, pré multiplicando-se

ambos os termos por e

TDa , e em seguida substituindo-se o resultado na Equação 2.26,

chega-se a:

ε

bDa

Dad

ad

he

T

e

T

(2.29)

Usando a definição da Equação 2.29 e considerando a decomposição aditiva da

Equação 2.21, pode-se definir a variação infinitesimal do vetor de componentes de

tensão, como sendo:

εDζ dd ep (2.30)

em que

e

he

T

TT

eeepa

DbDa

baDDD

(2.31)

é a matriz elastoplástica que deverá ser adota para avaliação da matriz de rigidez

durante o processo de solução incremental a nível global e para a integração de tensão a

nível local.

Nos casos em que a função potencial plástico, G, é tomada como igual à função

de plastificação, F, tem-se uma plasticidade associada e uma matriz elastoplástica

simétrica uma vez que o vetor b é idêntico ao vetor a. Caso contrário, quando a função

potencial plástico é diferente da função de plastificação, tem-se uma plasticidade não

associada e uma matriz elastoplástica não simétrica uma vez que os vetores a e b são

diferentes.

A integração, a nível local ou em cada ponto de Gauss, da equação constitutiva

elastoplástica ao longo de um incremento de deformação, , conhecido é uma tarefa

fundamental e não trivial, pois, apesar da magnitude da deformação incremental ser

conhecida, o modo como ela varia dentro do incremento é desconhecido.

15

Vários algoritmos para integração de tensão têm sido propostos e tem sido

observado que eles interferem diretamente na precisão da solução numérica, induzindo

erros que podem se propagar ao longo da solução incremental.

Desta forma, considerando a situação indicada na Figura 2.3 a qual representa

um fluxo plástico para uma condição de plasticidade associada, diferentes algoritmos

para integração das equações constitutivas podem ser representados através da seguinte

regra:

)Δ(Δ p

eint1n εεDζζ (2.32)

ou ainda,

p

e

*

1n1n ΔεDζζ (2.33)

em que

[0,1] ],)Δλ[(1Δ CA

p aaε (2.34)

e

εDζζ Δen

*

1n (2.35)

é a tensão elástica predita obtida no ponto B.

n

n+1

n

intζ

Figura 2.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira, 2006).

16

Quando =1, tem-se um algoritmo do tipo backward Euler ou completamente

implícito. Neste caso, como as tensões no ponto C não são conhecidas é necessário a

adoção de um processo iterativo. Quando =0, tem-se um algoritmo tipo forward Euler,

ou completamente explícito. Neste caso, é necessário calcular as tensões no limite da

região elástica no ponto A, intζ , assim como o gradiente da função de plastificação neste

ponto, aA.

Aeeint1n ΔλΔ aDεDζζ (2.36)

Durante uma dada trajetória de deformação incremental ε e partindo de um

estado de tensão inicial nζ quatro situações podem ser observadas tal como indicada na

Tabela 2.3.

Tabela 2.3 – Definição da ocorrência de fluxo plástico

Caso Observação

1 o estado de tensão é inicialmente elástico e

permanece elástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *

1n ζ

2 o estado de tensão inicial muda de elástico para

plástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *

1n ζ

3 o estado de tensão é inicialmenete plástico e

permanece plástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *

1n ζ

4

o estado de tensão é inicialmente plástico e

experimenta um descarregamento elástico

seguido de um fluxo plástico

FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *

1n ζ

2/

FTOL é uma pequena tolerância positiva. Sloan et al. (2001) sugerem 69 10,10FTOL

No caso 1 o incremento de tensão é completamente elástico e a tensão atualizada

considerando um incremento de tensão puramente elástico adotando a matriz

constitutiva elástica, ou seja, fazendo:

εDζζ en1n (2.37)

O caso 4 ocorre quando o ângulo β entre o vetor gradiente da função de

plastificação no ponto A, aA, e o vetor de incremento de tensão elástica, εDζ e , é

maior que 90°. A tensão atualizada, neste caso é obtida pela Equação 2.37. O ângulo β

pode ser obtido pela seguinte expressão:

17

ζa

ζa

Δ

Δcosβ

A

T

A1 (2.38)

Nos casos 2 e 3, é necessário determinar a porção elástica do incremento de

deformação, Δε. Isto pode ser feito, determinando-se o valor de que satisfaz a

seguinte equação:

FTOL)h,αΔF( nn ζζ (2.39)

em que α é um escalar que varia de 0 a unidade e é obtido resolvendo a inequação 2.39

iterativamente. Quando =0 o incremento de deformação gera apenas incremento de

tensão de natureza elastoplástica (caso 3). Quando =1 o incremento de deformação

gera variações de tensão apenas de natureza elástica (caso 1).

Uma vez conhecido o valor de , as parcelas do incremento de tensão elástica,

do incremento de deformação elástica e o valor da tensão no limite da região elástica

são avaliadas fazendo-se:

ζζ αΔe (2.40)

εε αΔΔ e (2.41)

enint Δζζζ (2.42)

Partindo-se de um estado de tensão na superfície de plastificação, intζ , e

assumindo-se a hipótese de que a direção do fluxo plástico permanece constante ao

longo do incremento de deformação de natureza elastoplástica, epε , pode-se atualizar

o estado de tensão no final do incremento fazendo:

epint1n ζζζ (2.43)

em que

epintepep )( εζDζ (2.44)

18

εε )1(ep (2.45)

Com o intuito de tornar mais precisa a integração de tensão ao longo de uma

trajetória incremental finita o incremento de deformação elastoplástica pode ser

dividido em subincrementos (nsub) de tal forma que:

k

ep

1kk dζζζ (2.46)

/nsub)(Δ)(d ep

nsub

1k

1-k

ep

k

ep εζDζ

(2.47)

A tensão é atualizada no final de cada subincremento, partindo-se do estado de tensão

corresponde ao ponto na superfície de plastificação (int

0ζζ ).

Este procedimento é mais eficiente quando o número de subincrementos é

calculado de forma automática, considerando-se o grau de não-linearidade do

comportamento tensão-deformação e/ou o erro cometido durante o processo.

Desta forma, vários critérios têm sido sugeridos para a definição do seu

tamanho. Sloan et al. (2001) sugeriram uma estratégia em que o tamanho do

subincremento de deformação de natureza elastoplástica, epdε , varia ao longo da

trajetória incremental, epε , fazendo:

ep

kk

ep ΔΔTd εε (2.48)

em que ΔTk é um escalar chamado de incremento de pseudotempo. O incremento de

pseudotempo varia de zero a unidade e é obtido em função do erro relativo local

cometido na avaliação das tensões. A primeira aproximação para o pseudotempo é feita

considerando-se um incremento unitário, ΔT=1. O processo é controlado pelo

pseudotempo T (0≤T≤1) que é atualizado a cada subincremento, ΣΔT=T=1.

Para um dado subincremento k de deformação (Equação 2.48), são calculadas

duas estimativas de variação de tensão, 1Δζ e 2Δζ , fazendo:

19

k

ep

1-k

ep1 )d(Δ εζDζ (2.49)

k

ep1

1-k

ep2 )dΔ(Δ εζζDζ (2.50)

A partir destas duas estimativas, dois estados de tensão aproximados são

definidos:

1

1-kk Δζζζ

(2.51)

)ΔΔ(2/1~21

1kkζζζζ (2.52)

Sloan et al. (2001) sugeriram o cálculo do erro relativo local, R, cometido ao

longo do subincremento corrente k, em função da diferença entre os estado de tensão

aproximados k

ζ

e k~ζ , fazendo:

STOL~

)ΔΔ(5.0

~

~

Rk

12

k

kk

k

ζ

ζζ

ζ

ζζ

(2.53)

em que ST0L é uma dada tolerância adotada. Sloan et al. (2001) sugerem uma

tolerância em torno de 10-6

a 10-2

.

Se o erro local relativo no subincremento corrente for menor que uma dada

tolerância o subincremento corrente será aceito, ou seja: a tensão aproximada será

atualizada, kk ~ζζ , o pseudotempo, T, será atualizado e um novo valor (maior ou igual

ao corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado.

Se o erro local relativo no subincremento corrente for maior que uma dada

tolerância o subincremento corrente não será aceito, ou seja: a tensão aproximada não

será atualiazada, o pseudotempo, T, não será atualizado e um novo valor (menor que o

corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado.

Independentemente de o subincremento corrente ser aceito ou não, os próximos

valores de ΔT são dados pela expressão:

k1k ΔT qΔT (2.54)

20

em que

kSTOL/R0.9q (2.55)

O incremento de pseudotempo pode aumentar ou diminuir ao longo da trajetória

ade incremento de deformação em função da tolerância adotada. Assim, de acordo com

Sloan et al. (2001), para acelerar o processo o incremento de psuedotempo pode ser

ampliado em até 10% do valor anterior, ou seja, k1k ΔT1.1ΔT

. Da mesma forma,

para que o tamanho do subincremento não fique muito pequeno o valor do incremento

de pseudotempo deve ser limitado a 10% do valor anterior, k1k ΔT1.0ΔT

.

21

Capítulo 3

MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO

DE HOEK-BROWN

Em uma análise tensão-deformação elastoplástica as variações nos campos de

deslocamento, tensão e deformação dependem do nível de tensão e deformação, mas

também, do histórico de tensões e deformações experimentadas ao longo de uma

trajetória de equilíbrio.

A formulação de um modelo de comportamento elastoplástico envolve

invariavelmente três conceitos: condição de plastificação, que define o estado de tensão

que corresponde ao início do fluxo plástico; a lei de fluxo plástico, que relaciona o

incremento de deformação plástica com as tensões correntes; e a lei de endurecimento,

que define como a condição de plastificação modifica durante o fluxo plástico.

Neste capítulo apresenta-se o modelo de comportamento tensão deformação

elástico perfeitamente plástico, com fluxo associado, baseado no critério de resistência

de Hoek-Brown (Clausen et al., 2006 e Clausen e Damkilde, 2008).

22

3.1. Conceitos da plasticidade

A fim de explicar o comportamento típico de alguns materiais inelásticos, ou

plásticos, considere a situação de compressão uniaxial ilustrada na Figura 3.1.

limζ

a) Elástico perfeitamente plástico

b) Elastoplástico com endurecimento

c) Elastoplástico com amolecimento

Figura 3.1 - Tipos de comportamento tensão deformação

23

Na Figura 3.1a tem-se um material com comportamento elástico perfeitamente

plástico. Neste caso, para valores de tensão inferiores à tensão limite ou de escoamento,

limζ , o corpo experimenta deformações de natureza elástica. Para um valor de tensão

igual à tensão limite o corpo experimenta uma deformação de natureza plástica.

A Figura 3.1b ilustra o comportamento de um material com endurecimento

plástico (strain hardening). Nesse caso a relação tensão-deformação é linear e elástica

até certo ponto (ponto B) a partir do qual se torna não linear com o material

experimentando acúmulos de deformação plástica.

A Figura 3.1c ilustra o comportamento de um material com amolecimento

plástico (strain softening). Neste caso, o material comporta-se como linear e elástico até

o limite de escoamento a partir do qual se inicia uma diminuição de tensão com o

aumento da deformação.

O conceito de tensão limite ou de escoamento é adotado apenas em situações

uniaxiais. Para situações multiaxiais deve-se usar o conceito de função de escoamento

ou plastificação (F).

A função de plastificação, que define uma superfície no espaço das tensões, é

uma função do estado de tensão e de deformação plástica. Sob a superfície de

plastificação, a função de plastificação é nula (F=0) e no interior desta superfície tem-se

um valor negativo (F<0) indicando que nesta região o comportamento do material é

elástico.

Uma vez alcançado o primeiro nível de plastificação, a superfície de

plastificação pode expandir na medida em que acumula deformação plástica. Este

fenômeno, ilustrado na Figura 3.2a, caracteriza um comportamento com endurecimento.

No caso do material que apresenta um amolecimento (Figura 3.2b) observa-se uma

contração da superfície de plastificação. Nestes casos a função de plastificação é uma

função do tipo:

))(h(F)(F))(h,(FF ppεε (3.1)

em que h é uma função da deformação plástica pε .

24

a) Endurecimento b) Amolecimento

Figura 3.2 - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico

A Figura 3.3 apresenta uma curva tensão versus deformação típica para um

modelo constitutivo que leva em conta tanto endurecimento quanto o amolecimento.

Figura 3.3 - Modelo constitutivo geral.

Num modelo elástico perfeitamente plástico a função, ou superfície, de

plastificação se confunde com a superfície de ruptura. Este modelo não adota o

endurecimento e, portanto, a função de plastificação depende apenas no nível de tensão,

ou seja,

0)(FF (3.2)

Uma curva tensão s deformação típica de um modelo constitutivo com

plasticidade perfeita é ilustrada na Figura 3.4. Nesta figura, )( 31 é a diferença de

25

tensão, 1 é a deformação axial, vol é a deformação volumétrica, E é o módulo de

Young, é o coeficiente de Poisson, r31 )( é a resistência à compressão e p é um

ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica que

dependem do critério de resistência adotado.

axial

E

1

(13)r

(1

3)

axial

vol

e

p

tg(e)=(12)

Figura 3.4 - Relação tensão-deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico

3.2. O Modelo Hoek Brown

O critério de resistência de Hoek-Brown (Hoek e Brown, 1980) foi desenvolvido

na década de 80, com base em observações empíricas, originalmente para estimar a

resistência de rochas duras. No espaço das tensões principais, o critério descreve uma

relação não linear, originalmente definida como:

sσ

σmσσσ

ci

3ici31 (3.3)

em que ci é a resistência à compressão uniaxial, mi é a constante petrográfica e s é um

parâmetro ajustável, obtido a partir de ensaios triaxais realizados com amostras de rocha

26

intactas. As Tabelas 3.1 e 3.2 apresentam, respectivamente, valores padrões para a

constante petrográfica e a resistência à compressão uniaxial de algumas rochas.

Ao longo das últimas décadas várias atualizações foram propostas, motivadas

pelo número crescente obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos de qualidade

muito baixa, a fim de se considerar a condição do maciço.

Tabela 3.1 - Valores da constante mi para rocha intacta (Hoek e Brown, 1997)

Rocha mi

Mármore 9

Quartzito 24

Granito 33

Gnaisse 33

Tabela 3.2 - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown, 1997)

Rocha Condição ci (MPa)

Granito Extremamente forte >250

Gnaisse Muito forte 100-250

Filito Forte 50-100

Concreto Média 25-50

Gesso Fraco 5-25

Rochas alteradas 1-5

Solo Extremamente fraco 0.25-1

Em 1988, Hoek e Brown (Hoek e Brown, 1988) propuseram uma atualização de

modo a se levar em conta a qualidade da rocha utilizando o conceito do RMR proposto

por Bieniawski. Nesta nova versão tem-se que:

sσ

σmσσσ

c

3bic31 (3.4)

em que, para um maciço não perturbado:

28/)100RMR(

ib emm (3.5)

8/)100RMR(es (3.6)

e, para um maciço perturbado:

27

14/)100RMR(

ib emm (3.7)

6/)100RMR(es (3.8)

Em 1992, uma nova modificação foi proposta para aplicação em maciços

rochosos altamente fraturados e sem resistência à tração (Hoek et al, 1992). Nesta nova

versão, um novo parâmetro, a, é introduzido:

a

c

3bic31σ

σmσσσ

(3.9)

Na década de 90, Hoek (Hoek, 1994) introduziu o conceito do índice geológico

de resistência (GSI) como uma forma de reduzir a resistência do maciço rochoso com

base nas condições geológicas. O índice geológico de resistência varia de 0 a 100 e

depende da análise geológica estrutural levando em conta a existência de fraturas, o

estado da rocha e o grau de intemperização.

A partir daí uma nova versão do critério de Hoek-Brown é proposto (Hoek et al,

1995):

a

c

3bic31 sσ

σmσσσ

(3.10)

onde

28/)100GSI(

ib emm (3.11)

e para um maciço com GSI>25

8/)100GSI(es (3.12)

5.0a (3.13)

e para GSI<25

0s (3.14)

28

200

GSI65.0a (3.15)

As Figuras 3.5 a 3.8 ilustram a influência dos parâmetros do critério de

resistência. Da Figura 3.5 podemos observar que quanto maior a resistência à

compressão maior o nível de tensão admissível. Da Figura 3.6 pode-se observar que a

constante petrográfica afeta a inclinação da superfície de modo que quanto maior o mb

mais íngreme é a superfície. O parâmetro s afeta a resistência à tração de modo que

quanto maior o s maior a resistência à tração (Figura 3.7). A curvatura da superfície é

comandada pelo parâmetro a (Figura 3.8) de modo que quanto menor o valor do

parâmetro a maior a curvatura.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

(1+23

) (GPa)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

(

3)(

GP

a)

ci = 5MPa

ci = 50MPa

ci = 100MPa200300500 400

ci (MPa)

mb=m

i=33

s=1.0a=0.5

Figura 3.5 - Influência da resistência à compressão uniaxial (ci)

29

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

(1+23

) (GPa)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(

3)(

GP

a)

mb=m

i=1

ci=100MPa

s=1.0a=0.5

mb=mi=5

mb=m

i=15

mb=m

i=33

Figura 3.6 - Influência constante petrográfica (mb).

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300

(1+23

) (GPa)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

(

3)(

GP

a)

s=0.1

ci=200MPa

mb=2.0

a=0.5

s=0.5s=1.0s=1.5

Figura 3.7 - Influência do parâmetro s

30

-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

(1+23

) (GPa)

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

(

3)(

GP

a)

a=1

ci=200MPa

mb=2.0

s=0.1

a=0.5

a=0.3

a=0.1

a=0.1

a=0.3

a=0.5a=1.0

Figura 3.8 - Influência do parâmetro a

Recentemente, Hoek et al (2002) propuseram uma modificação na definição dos

parâmetros mb, s, e a, de tal forma que:

)D1428/()100GSI(

ib emm (3.16)

)D39/()100GSI(es (3.17)

6ee5.0a 3/2015/GSI (3.18)

D é fator de perturbação obtido em função do dano provocado pelo desmonte do maciço

e pela relaxação das tensões. Hoek et al (2002) apresenta alguns valores para D em

função da condição do maciço e do processo construtivo.

A Equação 3.10 pode ser considerada uma forma geral do critério de Hoek-

Brown. As diferentes versões apresentadas afetam os parâmetros mb, s e a, tal como

apresentado anteriormente. Este critério de resistência será usado como função de

plastificação (F) e potencial plástico (G) uma vez que será adotado, neste trabalho, um

31

modelo de comportamento tensão deformação linear elástico perfeitamente plástico com

plasticidade associada.

Assim sendo, a superfície de plastificação (e potencial plástico) do modelo

elástico perfeitamente plástico de Hoek-Brown é definida no espaço das tensões

principais, como:

0sσ

σmσσσ)G()F(

a

ci

3bci31

(3.19)

A Figura 3.9 ilustra a superfície de plastificação no espaço das tensões principais

e no plano desviador. No plano desviador, a superfície de plastificação é um hexágono

irregular.

compressão

extensão

a) Espaço das tensões

principais

b) Plano desviador

Figura 3.9 - Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz et al, 2008).

As tensões principais podem ser escritas em termos dos invariantes de tensão tal

como (Owen e Hinton, 1980):

3

Isen

3

1cosθ I

3

I

3

I

3

2θsen

3

I21

2D112D

1

(3.20)

3

Iθsen

3

I212D

2 (3.21)

3

Isen

3

1cosθ I

3

I

3

4θsen

3

I21

2D12D

3

(3.22)

32

em que

D2D2

D31

D3D2II

I

2

33sen

3

1)I,I( (3.23)

é o ângulo de Lode ( 6/6/ ); I1é o primeiro invariante do tensor de tensão; e, I2D

e I3D são, respectivamente, o segundo e o terceiro invariante do tensor de tensão

desviadora. Estes invariantes de tensão podem ser definidos em termos das

componentes cartesianas do tensor de tensão num estado de deformação plana e

axissimétrica como:

zyx1I (3.24)

)()(3

1)(

3

1I

2

xyxzzyyx

2

z

2

y

2

xD2 (3.25)

)()()(9

1

3

2

3

1

3

1)(

27

2

9

4I

yx

2

zxz

2

yzy

2

x

2

xyzyx

3

z

3

y

3

xzyxD3

(3.26)

Substituindo as Equações 3.20 e 3.22 na Equação 3.19 obtém-se a o critério de

plastificação do modelo de Hoek-Brown generalizado definido em termos dos

invariantes de tensão:

0s

3

Imsen

3

1cosθmI

2cosθ I),I,I(F ci

1bb2D

a/1

ci

2D

ciD21

(3.27)

Como pode ser observado na Figura 3.9, o modelo de Hoek-Brown apresenta

singularidades nas arestas. Assim, a seguinte modificação é sugerida para esses pontos:

Para θ = – 30° (na compressão):

0=sσ3

Im

3

3Im

σ

3IσF ci

1b

2Db

1/a

ci

2D

ci

(3.28)

Para θ = + 30°(na extensão):

33

0=sσ3

Im

3

3I2m

σ

3IσF ci

1b

2Db

1/a

ci

2D

ci

(3.29)

O critério de resistência de Hoek-Brown tem sido largamente utilizado para

estimar a capacidade de suporte e a deformação de maciços rochosos (Sharan, 2003;

Choi e Deb, 2005; Benz et al., 2008; Clausen, 2013 e Wang et al., 2011). Uma das

razões da popularidade do critério é a possibilidade de estimar os parâmetros do

material através de simples observações de campo e da resistência à compressão

uniaxial da rocha intacta

Com relação o módulo de deformabilidade elástico várias sugestões foram

indicadas. Serafim e Pereira (1983) sugeriram a seguinte relação em termos do RMR:

)40/10RMR(10E(GPa) (3.30)

Hoek e Brown (1997) a presentam a seguinte modificação:

10010E(GPa) ci)40/10GSI(

(3.31)

Em seguida, levando em conta a influência da perturbação do maciço, tem-se que:

/11GSI25D75

5

e1

D/2)10(1E(MPa)

(3.32)

ou ainda, em função do módulo de deformabilidade da rocha intacta, Ei, fazendo:

/11GSI15D60ie1

D/210.02EE (3.33)

34

Capítulo 4

O PROGRAMA ANLOG

O programa computacional ANLOG (Análise não linear de obras geotécnicas) é

escrito em linguagem de programação FORTRAN 90. Sua primeira versão foi

desenvolvida por Zornberg (1989) tendo sido utilizada na análise de problemas

mecânicos de equilíbrio estático, envolvendo a simulação de aterros e escavações, em

condição de deformação plana e axissimétrica e levando em conta comportamento

tensão-deformação elastoplástico.

Uma nova versão do programa foi desenvolvida por Nogueira (1998)

considerando o acoplamento entre fluxo e deformação. Dando continuidade aos

trabalhos desenvolvidos por Nogueira (1998) outras versões deste código foram

desenvolvidas. Machado Jr. (2000) desenvolveu uma versão (GEOFLUX) para análise

de problemas de fluxo em meio poroso não saturado. Pereira (2003) incorporou os

elementos de reforço que possibilitou a análise de problemas mecânicos de equilíbrio

estático de estruturas de solos reforçado (ANLOG v.2003). Pinto (2004) incorporou à

formulação acoplada o efeito da variação do nível d´água (ANLOG v.2004). Silva

(2005) introduziu os elementos tridimensionais e generalizou o código para situações

3D (ANLOG v.2005). Oliveira (2006) incorporou ao código os elementos de reforço e

interface axissimétricos e os modelos Mohr-Coulomb modificado para o solo e

Coulomb para a interface com comportamento elástico-perfeitamente plástico (ANLOG

v.2006). Yang (2009) incorporou a versão do modelo Lade-Kim proposta por Jacobsen

e Lade (2002), assim como, sugeriu uma nova modificação para a função de

amolecimento a fim de suavizar a curva tensão-deformação na condição pós-pico e

ainda levar em conta o efeito da tensão de confinamento na resistência residual

(ANLOG v.2009). Valverde (2010) generalizou os modelos constitutivos para

35

simulações 3D (ANLOG v.2010). Armond e Nogueira (2013) incorporaram os modelos

constitutivos Brooks e Corey (1964) e Fredlund e Xing (1994) para análise de

problemas de fluxo em meio não saturado (ANLOG v.2013).

De uma forma geral o programa ANLOG pode ser usado para análise de

problemas sem ou com acoplamento de fluxo e deformação (em condições saturadas);

análise de problemas de fluxo em meio poroso saturado e não saturado; simulação de

problemas mecânicos em condições de tensão plana e deformação plana, axissimétrica e

tri-dimensional; e, simulação de problemas acoplados em condições de deformação e

fluxo planos.

Do ponto de vista da aproximação por elementos finitos, o ANLOG apresenta os

seguintes elementos finitos: elementos unidimensionais (linear e quadrático); elementos

planos triangulares e quadrangulares (linear e quadrático); elementos sólidos (linear e

quadrático); elementos de interface de espessura nula e elementos específicos para

reforço; e, elementos finitos para análises acopladas: elementos planos (triangulares e

quadrangulares).

Em relação aos modelos constitutivos os seguintes modelos constitutivos

encontram-se implementados no ANLOG: modelos constitutivos para solos - elásticos

(Linear e Hiperbólico), elastoplásticos (CamClay Modificado, Lade 77, Lade & Kim,

Lade & Kim modificado) e elásticos perfeitamente plástico (Mohr-Coulomb e

Drucker&Prager, originais e modificados); modelos constitutivos para reforços -

elástico linear e elástico perfeitamente plástico von Mises; modelos constitutivos para

junta/interface solo-reforço - elástico linear e elástico perfeitamente plástico baseado no

critério de Coulomb; e, modelos constitutivos para fluxo não saturado - modelo

exponencial, modelo de van Genuchten, interpolação linear e por spline cúbica de dados

de ensaios.

Do ponto de vista de procedimento de solução de sistemas de equações

algébricas, os seguintes algoritmos encontram-se implementados no ANLOG: algoritmo

puramente incremental; algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson); e,

algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson) incluindo a estratégia de

incrementos automáticos de cargatempo.

36

No que diz respeito ao procedimento de integração de tensão, tem-se os

seguintes algoritmos: algoritmos de integração de tensão puramente explícitos;

algoritmos de integração de tensão puramente explícitos com sub-incremento; e,

algoritmos de integração de tensão explícitos com sub-incremento e controle do erro na

avaliação das tensões.

O ANLOG roda numa plataforma Windows (Figura 4.1) e o programa MTOOL

(Figura 4.2) desenvolvido pelo grupo de tecnologia em computação gráfica da PUC-Rio

(TecGraf®) é usado como pré e pós processadores gráficos.

Figura 4.1 - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 2010).

Figura 4.2 - Mtool - TecGraf

® (Nogueira, 2010).

37

O programa ANLOG adota uma estrutura em macro comando que permite a

simulação de processos construtivos de forma relativamente simplificada. Além disto,

ele adota, no mínimo, 2 arquivos de dados para análise tensão deformação acoplada ou

não: um arquivo com extensão “.D” contendo a sequência de macro-comandos e seus

respectivos conjunto de dados, e outro com extensão “.NF” contendo as informações da

malha de elementos finitos. Para uma análise de fluxo em meio não saturado se faz

necessário, além dos arquivos “.D” e “.NF”, um arquivo de dados com extensão “.INI”.

Os resultados são registrados em arquivos com extensões “.OUT” e “.POS”. O

arquivo com extensão “.POS” é compatível com o pós-processador gráfico através do

programa MTOOL.

4.1. Macro comando

Um macro comando é uma palavra chave utilizada para controlar a execução de

blocos de rotinas que devem ser acionadas para realização de uma tarefa específica. O

usuário deverá fornecer a sequência de macro comandos e todos os dados relacionados a

eles. Esta sequência de macro comandos define o fluxo de informação que deverá ser

usado na solução de um problema específico.

Para solução de um problema mecânico de equilíbrio estático se adota, de uma

forma geral, os seguintes macros comando: DADOS; CEDGE e/ou CPOINT e/ou

CGRAV; SOLVE; e FEXEC (Nogueira, 2010).

O macro comando DADOS ativa um bloco de rotinas as quais são responsáveis

pela leitura dos dados geométricos (coordenadas e conectividades), materiais (modelos

constitutivos e parâmetros) e condições de contorno (essencial).

Os macros comandos CPOIN, CEDGE e CGRAV ativam um bloco de rotinas

que fornecem o carregamento nodal devido às forças pontuais, de superfície e de

volume (ou corpo), respectivamente.

O macro comando SOLVE é usado para se obter as matrizes características

globais e resolver o sistema de equação algébrico característico do problema. As

38

variáveis secundárias (deformação, tensão, gradiente hidráulico, velocidade de fluxo,

etc.) são também obtidas através deste macro comando.

Além destes macros comando, ainda podem ser usados os seguintes macro

comando para definição de um estado de tensão inicial diferente de zero considerando

nulo o estado de deformação inicial: TINIS e TINK0. O macro comando TINK0 é

usado para se obter um estado de tensão geoestático e o TINIS para um estado de tensão

isotrópico.

4.2. Elementos finitos e aproximações

No âmbito desta dissertação foi adotado o elemento isoparamétrico:

quadrangular quadrático Q8, tal como ilustrado na Figura 4.3.

1

(-1,-1) 2 (0;-1)

6 (0,1)

ξ

3

(1;-1)

8

(-1,0)

5

(1;1)

7

(-1,1)

4

(1;0)

1

(-1,-1) 2 (0;-1)

6 (0,1)

ξ

3

(1;-1)

8

(-1,0)

5

(1;1)

7

(-1,1)

4

(1;0)

Figura 4.3 - Elemento finito quadrangular quadrático (Q8)

Relacionado a este elemento finito tem-se as seguintes funções de

forma/interpolação escritas em termos das coordenadas naturais (, ):

1N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1a) 2

2N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1b)

3N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1c) 2

4N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1d)

5N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1e) 2

6N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1f)

7N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1g) 2

8N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1h)

39

Para problemas em estado plano de deformação e axissimétrico, abordados no

âmbito desta dissertação, os deslocamentos em qualquer ponto do domínio do elemento

pode ser escrito em função dos deslocamentos nodais como:

uNu ˆv

u

(4.2)

onde

T

nnonno11 vu...vuˆ u (4.3)

é o vetor de deslocamentos nodais com u e v sendo, respectivamente, as componentes

do vetor de deslocamento nas direções x e y;

nno

nno

1

1

16x2N0

0N...

N0

0NN (4.4)

é a matriz das funções de interpolação quadráticas, definidas pelas Equações 4.1, e nno

é o número de pontos nodais de cada elemento. Para o elemento Q8, nno é igual a 8.

Usando o conceito de elemento isoparamétrico, as coordenadas cartesianas de

um ponto qualquer no domínio do elemento podem ser escritas em termos das

coordenadas dos pontos nodais tal como:

xNx ˆy

x

(4.5)

em que

T

nnonno11 yx...yxx (4.6)

é o vetor das coordenadas locais dos pontos nodais em relação ao sistema cartesiano

(x,y).

A matriz jacobiana J é utilizada na transformação de sistemas de coordenadas

local-natural (xy e ) e é definida como:

40

J

x y

x y (4.7)

onde

xN0

0N

N0

0N

y

x

nno

nno

1

1

(4.8a)

xN0

0N

N0

0N

y

x

nno

nno

1

1

(4.8b)

O volume elementar dV = dxdydz pode ser escrito em coordenadas naturais

como

dddettdV J (4.9)

onde, para problemas de deformação plana t é igual a unidade e para problemas

axissimétricos t é igual a 2r, em que:

nnonno11 xN...xNr (4.10)

O operador diferencial, , adotado na Equação 2.1 depende da condição de

deformação a qual o meio está sendo submetido. Desta forma, para a condição de

deformação plana, tem-se que:

x

0

y

0

y

0

0

x

(4.11)

e para a condição de deformação axissimétrica, tem-se que:

x

0

y

0

y

x1

0

x

(4.12)

41

Este operador é adotado para definição da equação cinemática que relaciona as

componentes de deformação, , com as componentes de deslocamento, u, ou seja:

uBuuε ˆˆ (4.13)

em que, para o estado plano de deformação

xN

0

yN

0

yN

0

0

xN

xN

0

yN

0

yN

0

0

xN

nno

nno

nno

nno

1

1

1

1

B (4.14a)

e para o estado axissimétrico de deformação

xN

0

yN

0

yN

xN

0

xN

xN

0

yN

0

yN

xN

0

xN

nno

nno

nno

nno

nno

1

1

1

1

1

B (4.14b)

O sinal negativo na relação cinemática (Equação 4.13) indica a convenção de sinal de

compressão positiva.

4.3. Matriz constitutiva

De uma forma geral a matriz constitutiva elastoplástica utilizada na definição

da matriz de rigidez (Equação 2.15) e da relação constitutiva (Equação 2.30) é dada por

e

he

T

TT

eeepa

DbDa

baDDD

(4.15)

No âmbito desta dissertação adota-se uma constitutiva com num modelo

elástico perfeitamente plástico (ah=0) com plasticidade associada (a=b). Desta forma a

matriz elastoplástica pode ser definida como:

e

e

T

TT

eeep DaDa

aaDDD (4.16)

42

onde

2

21000

01

01

01

211

EeD (4.17)

é a matriz constitutiva elástica, em que E é o módulo de Young e é o coeficiente de

Poisson; e o vetor a é o gradiente da função de plastificação.

O gradiente da função de plastificação é definido fazendo:

ζζζζa

D3

D3

D2

D2D2

1

1

D3D2D21 I

I

FI

I

F

I

FI

I

F))I,I(,I,I(F (4.18)

ou então:

332211 CCC aaaa (4.19)

em que, considerando as definições dos invariantes de tensão (Equações 3.24 a 3.26) ,

tem-se

0

1

1

1

I11

ζa (4.20)

xy

zyx

zyx

zyx

D22

2

3/)2(

3/)2(

3/)2(

I

ζa (4.21)

)2(3

23

2)22(

9

2)2(

9

13

1)2(

9

2)2(

9

13

1)2(

9

2)2(

9

1

I

zyxxy

2

xyxzzyyx

2

z

2

y

2

x

2

xyxzzyyx

2

z

2

y

2

x

2

xyxzzyyx

2

z

2

y

2

x

D33

ζa (4.22)

43

Da Equação 4.19 tem-se que:

1

1I

FC

(4.23)

D2D2

2I

F

I

FC

(4.24)

D3

3I

FC

(4.25)

Considerando a definição da Equação 3.27, tem-se que:

3

m

I

F b

1

(4.26)

2D

b2D

a/1

ci

2Dci

2D I2

1sen

3

1cosθmI

2cosθI

aI

F

(4.27)

sencos

3

1mItg

Icosθ2

a

Fb2D

a/1

ci

2Dci (4.28)

3cos2

33

II

I

I2

I

ID2D2

D3

D2

D3

D2

(4.29)

3cos2

3

II

1

ID2D2D3

(4.30)

Para 6

(na compressão), tem-se que:

3

mC b

1 (4.31)

2D

2Db

a/1

ci

2Dci2

2I

1

3

3Im

σ

3I

a

σC

(4.32)

0C3 (4.33)

44

Para 6

(na extensão), tem-se que:

3

mC b

1 (4.34)

2D

2Db

a/1

ci

2Dci2

2I

1

3

3I2m

σ

3I

a

σC

(4.35)

0C3 (4.36)

4.4. Implementações computacionais

Neste item são apresentadas as intervenções feitas no programa ANLOG a fim

de viabilizar a inclusão de mais um modelo constitutivo tensão-deformação. A Tabela

4.1 apresenta as sub-rotinas que sofreram alterações em função de cada macro comando

e ainda as sub-rotinas que foram criadas exclusivamente para o modelo Hoek-Brown.

Tabela 4.1 - Alterações no código computacional ANLOG

Macro comando Sub-rotina

Modificada Nova

DADOS

DATNPROP

DATIMAT

PROPERTIES

SOLVE

MATDE_ALL DHB

MATDEP_ALL DHB_GAGB

TCALCG_ALL YIELD_FUNC_HB

TCALC_2 e

TCALC_71

COEF_GRAD YIELD_HD

TSUP_HB

45

4.4.a. Macro comando DADOS

A sub-rotina DATNPROP lê ou determina o número de parâmetros necessários

para cada tipo de problema que se pretende resolver. Para a implementação do modelo

Hoek-Brown será incluída nessa sub-rotina o número de parâmetros necessários ao

modelo, conteúdo do vetor KELEM(29), o número de funções de plastificação,

conteúdo do vetor KELEM(30), e o número de funções de endurecimento, conteúdo do

vetor KELEM(31). No Quadro 4.1 o texto destacado em negrito é o que está sendo

adicionado à sub-rotina, sendo que a expressão „LCODE==19‟, representa o código do

modelo Hoek-Brown implementado.

A sub-rotina DATIMAT lê do arquivo de entrada os parâmetros que serão

necessários ao modelo e os escreve no arquivo de saída. Novamente, o texto destacado

em negrito no Quadro 4.2 é o que está sendo adicionado à sub-rotina.

A sub-rotina PROPERTIES é responsável por atribuir às constantes do modelo

os valores lidos no arquivo de entrada. O Quadro 4.3 mostra as linhas adicionadas à

sub-rotina.

Quadro 4.1 - Sub-rotina DATNPROP SUBROUTINE DATNPROP (KELEM,PROPG,THICK)

Use Global_variables

Use Local_variables

DO IKEL=KEL1,KEL2,INCR

IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN

ELSE IF (LCODE==19) THEN

KELEM(29,IKEL)=7

KELEM(30,IKEL)=1

KELEM(31,IKEL)=0

END IF

END IF

END DO

RETURN

END

Quadro 4.2 - Sub-rotina DATIMAT SUBROUTINE DATIMAT (LCODE,PROPS,LTIPEL,NPROPM)

Implicit None


ELSE IF (LCODE==19)THEN !Hoek & Brown

46

READ (1,*) (PROPS(I),I=1,3) !...E, , ci

READ (1,*) (PROPS(I),I=4,7) !...mb, s, a, ftol

WRITE (2,1204) (PROPS(I),I=1,7)

END IF

1204 FORMAT (/5X,'BILINEAR - HOEK & BROWN MODEL:',/, &

8X,'E =',G18.6,/, &

8X,' =',G18.6,/, &

8X,'ci =',G18.6,/, &

8X,'mb =',G18.6,/, &

8X,'s =',G18.6,/, &

8X,'a =',G18.6,/, &

8X,'Ftol =',G18.6,/)

END IF

RETURN

END

Quadro 4.3 - Sub-rotina PROPERTIES SUBROUTINE PROPERTIES (PROPS)


Use Local_variables

Use Properties_declare

IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR. &

LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN ! PLANE AND SOLID ELLEMENT

ELSE IF (LCODE==19)THEN !Hoek-Brown model ...E,,ci, mb,s,a,Ftol

E =PROPS(1)

NI =PROPS(2)

QCI =PROPS(3)

MHB =PROPS(4)

SHB =PROPS(5)

AHB =PROPS(6)

FTO =PROPS(7)

END IF

END IF

RETURN

END

4.4.b. Macro comando SOLVE

Neste item são apresentadas as rotinas incluídas e as alterações feitas em rotinas

já existentes no código do ANLOG e que estão relacionadas ao macro comando

SOLVE. Estas alterações estão relacionadas à obtenção da matriz constitutiva, à

definição de esquema de integração de tensão e à verificação do nível de tensão.

Os Quadros 4.4 e 4.5 apresentam as alterações feitas nas rotinas MATDE_ALL,

que gerencia a montagem da matriz constitutiva elástica, e MATDEP_ALL que

gerencia a montagem da matriz constitutiva elastoplástica de acordo com o critério de

plastificação adotado.

47

Os Quadros 4.6, 4.7.e 4.8 apresentam as alterações feitas nas rotinas

TCALCG_ALL, que gerencia o esquema de integração de tensão, e TCALC_2 e

TCALC_71 que executam o esquema de integração de tensão Forward-Euller.

Nos Quadros 4.9 a 4.13 são apresentadas, respectivamente, a sub-rotina DHB

que executa a montagem da matriz elastoplástica para o modelo de Hoek-Brown

(Equação 4.16); a sub-rotina DHB_GAGB que calcula o gradiente da função de

plastificação (Equação 4.19); a sub-rotina YIELD_FUNC_HB que avalia a função de

plastificação (Equações 3.27, 3.28 e 3.29); a sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB que

calcula os valores das constantes da superfície de plastificação (Equações 4.23, 4.24 e

4.25); e a sub-rotina TSUP_HB que verifica o estado de tensão de acordo com o critério

de Hoek-Brown para realizar a integração de tensão.

Quadro 4.4 - Sub-rotina MATDE_ALL SUBROUTINE MATDE_ALL (TENSAO,DEF,PROPS,DE,DT,SUP,THICK)


Use Local_variables



IF(LCODE==19)CALL DHOOKE (DE)

END IF

RETURN

END

Quadro 4.5 - Sub-rotina MATDEP_ALL SUBROUTINE MATDEP_ALL (TENSAO,PROPS,DE,DT,SUP,SUP2,ENDUC,ENDUC2,ET,EC,THICK)


Use Local_variables



IF (LCODE==19) CALL DHB (DE,DT,TENSAOG)

END IF

RETURN

END

Quadro 4.6 - Sub-rotina TCALCG_ALL SUBROUTINE TCALCG_ALL (PROPS,TENSAO,SUP,SUP2,ENDUC,ENDUC2,DDEF,DEF,STEP,THICK)


Use Local_variables

Use Solve_variables


48

IF(LCODE==19)THEN ! ORIGINAL HOEK BROWN

IF(LLINT==21.OR.LLINT==22.OR.LLINT==24)THEN ! EXPLICIT WITH SUBINCREMENT

CALL TCALC_2 (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP)

ELSE IF(LLINT==31)THEN !EXPLICIT WITH ATOMATICALY SUBSTEPS

CALL TCALC_71 (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP)

ELSE

WRITE(*,*)'LLINT MUST BE 21,22,24 OR 31'

STOP

END IF

END IF

END IF

RETURN

END

Quadro 4.7 - Sub-rotina TCALC_2 SUBROUTINE TCALC_2 (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP)


Use Local_variables


Use Solve_variables

DO ISUB=1,NSUB ! substeping loop

IF(LCODE==13.OR.LCODE==15.OR.LCODE==12

.OR.LCODE==16.OR.LCODE==19)THEN ! Evaluating the constitutive matrix

CALL DHOOKE (DE)

IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,TENSAO) ! Generalised Hoek Brown

END IF

IF(SUP(5)/=5.0D0.OR.(SUP(5)==5.0D0.AND.LLRUPT==0))THEN ! ------ updating the stess level

IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP) ! Generalised Hoek Brown

END DO

RETURN

END

Quadro 4.8 - Sub-rotina TCALC_71 SUBROUTINE TCALC_71 (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP)


Use Local_variables


Use Solve_variables

!-- VERIFYING THE INITIAL STRESS STATE

IF(LCODE==19)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS_OLD,F0)

!-- EVALUATING THE ELASTIC PREDICTOR STRESS

!-- VERIFYING THE ELASTIC FINAL STRESS SATE F(STRESS)

IF(LCODE==19)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS,F)

!--- CHECKING THE ELASTIC CONDITION PREDICTION

IF(F<=FTOL) THEN ! THE STRAIN INCREMENT IS PURELY ELASTIC

! UPDATE THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL

IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP)

49

ELSE IF (F>FTOL)THEN ! THE STRAIN INCREMENT IS ELASTIC AND PLASTIC

IF(F0<-FTOL) THEN !EALSTOPLASTIC PATH

ELSE IF(DABS(F0)<=FTOL) THEN ! UNLOADING ELASTOPLASTIC

IF(LCODE==19)CALL DHB_GAGB (DE,STRESS_OLD,GA,GB,DEN,F0)

END IF

DO WHILE (TSUB<1.0D0) ! LOOP OF SUBINCREMENT

! EVALUATING THE FIRST TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS1)

IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,STRESS1_T)

! EVALUATING THE SECOND TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS2)

IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,STRESS2_T)

! EVALUATING THE ERROR ON STRESS

IF(R>STOL) THEN ! 'THE SUBSTEP HAS FAILED - A NEW SIZE WILL BE CALCULATED'

ELSE IF(R<=STOL) THEN ! 'THE SUBSTEP HAS SUCCEED'

END IF

END DO ! END OF SUB-STEP LOOP

!---- UPDATING THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL

IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP)

END IF

RETURN

END

Quadro 4.9 - Sub-rotina DHB SUBROUTINE DHB (DE,DT,TENSAOG)

Use Local_variables



Implicit None

CALL DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F)

IF (FHB<-FTOL)THEN

! --- ELASTIC REGIME

DT=DE

DEALLOCATE(GA,GB,DP,CP)

RETURN

END IF

! --- PERFORMING CP=B*At/DEN

DO I=1,NCOMP

DO J=1,NCOMP

CP(I,J) = (1.0D0/DEN)*GB(I)*GA(J)

END DO

END DO

! DEFINING HE PLASTIC MATRIX [DP]= [D EL] * [CP] [D EL]

DP = MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(DE),CP),DE)

! -- CALCULATING [DT]= [D EL] - [DP]

DT= DE-DP

DEALLOCATE (GA,GB,DP,CP)

50

RETURN

END

Quadro 4.10 - Sub-rotina DHB_GAGB SUBROUTINE DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F)

Use Local_variables


GA=0.0D0; GB=0.0D0

A1=0.0D0; A2=0.0D0; A3=0.0D0

AD1=0.0D0; AD2=0.0D0; AD3=0.0D0

CALL YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F)

CALL COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C1,C2,C3)

CALL DIFF_INVD (AD1,AD2,AD3,TENSAOG,NCOMP)

CALL DIFF_INV (A1,A2,A3,TENSAOG,NCOMP)

!--- YIELD FUNCTION GRADIENT (GA)---

GA=C1*A1+C2*AD2+C3*AD3

!--- POTENTIAL FUNCTION GRADIENT (GB)---

GB=GA

! CALCULATING DEN = GA*DE*B + H => H = 0

A1 = MATMUL(DE,GB)

DEN=DOT_PRODUCT(GA,A1)

DEALLOCATE (A1,A2,A3,AD1,AD2,AD3)

RETURN

END

Quadro 4.11 - Sub-rotina YIELD_FUNC_HB SUBROUTINE YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F)


Use Local_variables

PI=2.0D0*DACOS(0.0D0)

I2DTOL=1.0D-20

I1=TENSAOG(1)+TENSAOG(2)+TENSAOG(3)

CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,I1D,I2D,I3D)

IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0

IF(I2D>I2DTOL)THEN

RI2D=DSQRT(I2D)

T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(2.0D0*I2D*RI2D)

IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0

IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0

T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)

ELSE

I2D = I2DTOL

T = 0.0D0

T3 = 0.0D0

RI2D =DSQRT(I2DTOL)

END IF

X1= QCI*( 2.0D0*DCOS(T)*RI2D/QCI )**(1.0D0/AHB)

X2= MHB*RI2D*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) )

X3= -SHB*QCI-MHB*I1/3.0D0

F= X1+X2+X3

RETURN

END

Quadro 4.12 - Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB SUBROUTINE COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C1,C2,C3)


Use Local_variables

PI=2.0D0*DACOS(0.0D0)

I2DTOL=1.0D-20



!IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0

IF(I2D>I2DTOL)THEN

RI2D=DSQRT(I2D)

R3I2D=DSQRT(3.0D0*I2D)


IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0

IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0

T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)

51

ELSE

I2D = I2DTOL

T = 0.0D0

T3 = 0.0D0

RI2D =DSQRT(I2DTOL)

R3I2D =DSQRT(3.0D0*I2DTOL)

END IF

TL=PI/6.1D0

C4 = (QCI/AHB)*(RI2D*2.0D0*DCOS(T)/QCI)**(1.0D0/AHB)

C5 = MHB*RI2D

C6 = DSQRT(3.0D0)/(2.0D0*I2D*RI2D*DCOS(3.0D0*T))

DF_DI1 = -MHB/(3.0D0*QCI)

IF (DABS(T)>TL) THEN

DF_DI2=(QCI/AHB)*( R3I2D/QCI )**(1.0D0/AHB)

IF (T < 0.0D0)DF_DI2= DF_DI2 + MHB*R3I2D/(3.0D0)

IF (T > 0.0D0)DF_DI2= DF_DI2 + 2.0D0*MHB*R3I2D/(3.0D0)

DF_DI2 = DF_DI2/(2.0D0*I2D)

DF_DT = 0.0D0

DT_DI2 = 0.0D0

DT_DI3 = 0.0D0

ELSE IF (DABS(T)<TL) THEN

DF_DI2 = C4 + C5*(DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) + DCOS(T))

DF_DI2 = DF_DI2/(2.0D0*I2D)

DF_DT = -C4*DTAN(T) + C5*( DCOS(T)/DSQRT(3.0D0) - DSIN(T) )

DT_DI2 = (C6*I3D)/(2.0D0*I2D)

DT_DI3 = -C6

END IF

C1 = DF_DI1

C2 = DF_DI2 + DF_DT*DT_DI2

C3 = DF_DT*DT_DI3

RETURN

END

Quadro 4.13 - Sub-rotina TSUP_HB SUBROUTINE TSUP_HB (TENSAOG,SUP)


Use Local_variables


I2DTOL=1.0D-20



IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0

IF(I2D>I2DTOL)THEN

RI2D=DSQRT(I2D)


IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0

IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0

T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)

ELSE

I2D = I2DTOL

T = 0.0D0

T3 = 0.0D0

RI2D =DSQRT(I2DTOL)

END IF

X1= QCI*(2.0D0*DCOS(T)*RI2D/QCI)**(1.0D0/AHB)

X2= MHB*RI2D*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) ) - SHB*QCI - MHB*(I1/3.0D0)

SUP(1)= DABS(X1) !......... a/1

ci2Dci 2cosθ I)1(SUP

SUP(4)= DABS(X2) !......... s3)Im(3sencosθmI)4(SUP ci1bb2D

SUP(3)=SUP(1)/SUP(4)

IF(SUP(3)>1.0D0)SUP(3)=1.0D0

IF (SUP(3)==1.0D0)THEN

SUP(5) = 5.0D0

ELSE IF (SUP(3)<1.0D0)THEN

IF (SUP(1)>SUP(2)) SUP(5) = 1.0D0

IF (SUP(1)<=SUP(2))SUP(5) = 2.0D0

END IF

RETURN

END

52

Capítulo 5

EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO

Este capítulo apresenta uma série de exemplos com o objetivo de verificar a

implementação computacional do modelo constitutivo de Hoek-Brown no sistema

computacional ANLOG e exemplos com o objetivo de demonstrar a aplicação deste

sistema para análise de problemas geotécnicos incluindo a abertura de cavidades e

capacidade de suporte de fundações superficiais.

Desta forma, apresenta-se primeiramente a simulação de ensaios de compressão

triaxial convencional (CTC) considerando diferentes trajetórias de tensão.

Em seguida apresenta-se um exemplo relacionado à análise elastoplástica de

aberturas de cavidades cilíndricas (furos, poços e túneis) em maciços rochosos cuja

solução analítica, considerando um modelo elástico-frágil perfeito de Hoek-Brown, foi

apresentada por Sharan (2003 e 2005) e Park e Kim (2006) e é adotada neste trabalho

para verificação das implementações computacionais.

Por fim apresenta-se um exemplo de aplicação relacionado à capacidade de

suporte de fundações superficiais.

53

5.1. Simulação de um ensaio CTC

Neste item é apresentada a simulação de um ensaio CTC considerando as

trajetórias de tensão de compressão, por carregamento axial (CA) e descarregamento

lateral (DL), e extensão, por carregamento lateral (CL) e descarregamento axial

(DA tal como ilustrado na Figura 5.1, considerando duas tensões de confinamento de

1500kPa e 2500kPa.

10 c

m

5 cm

Eix

o d

e si

met

ria

axia

l

Eixo de simetria

horizontal

p

qEnvoltória de resistência na

compressão

Envoltória de resistência na

extensão

CA

DL DA

CL

Corpo de prova

Cilíndrico Trajetórias de tensão

Figura 5.1 - Simulação de ensaios triaxiais CTC

A malha de elementos finitos (constituída por 4 elementos Q8 e 21 pontos

nodais) e as condições de contorno são apresentadas na Figura 5.2. O controle de

deformação foi adotado, aplicando-se um deslocamento prescrito , de modo a

possibilitar a descrição do comportamento do material após a ruptura. Os parâmetros do

modelo Hoek- Brown são apresentado na Tabela 5.1.

Tabela 5.1 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC

E(MPa) ci(MPa) mb s a

2340 0.30 20 1.472 0.000073 0.5159

A Tabela 5.2 apresenta os parâmetros adotados no processo de solução

incremental-iterativo do tipo Newton-Raphson modificado com incrementos

54

automáticos de carga. Para a integração de tensão adotou-se o esquema explícito com

sub-incrementos avaliados em função do erro cometido na avaliação da tensão adotando

STOL=10-2

e FTOL=10-5

.

Tabela 5.2 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC

0 max min Id miter toler (%)

0.01 0.01 0.00001 3 5 0.001

5

cm

2.5 cm

5 c

m

2.5 cm

Carregamento Axial (CA)

=−0.10 cm Descarregamento Lateral (DL)

=0.05cm a) Trajetória de compressão

5 c

m

2.5 cm

5

cm

2.5 cm

Descarregamento Axial (DA)

=0.05cm Carregamento Lateral (CL)

=−0.10 cm b) Trajetórias de extensão

Figura 5.2 - Malha de elementos finitos – trajetórias de tensão

A Figura 5.3 apresenta as curvas tensão desviadora ( D2I3q ) versus

deformação axial (a) obtidas numericamente para as diferentes trajetórias de tensão

55

ilustradas na Figura 5.2 considerando dois níveis de tensão de confinamento iniciais de

1500kPa e 2500kPa. Como pode ser visto nesta figura, a resistência ao cisalhamento,

maxq , aumenta com nível de tensão de confinamento inicial, p0, independente da

trajetória de tensão. Para um mesmo nível de tensão de confinamento inicial, observa-se

que a resistência ao cisalhamento numa trajetória de compressão por carregamento axial

(CA) é idêntica à resistência ao cisalhamento numa trajetória de extensão por

carregamento lateral (CL), no entanto, a deformação axial neste estado é maior, em

módulo, na compressão que na extensão, indicando que a resistência ao cisalhamento é

mobilizada mais rapidamente na extensão. O mesmo comportamento se observa para as

trajetórias de compressão por descarregamento lateral (DL) e extensão por

descarregamento axial (DA).

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

a(%)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

q=

sqrt

(3I 2

D)

(kP

a)

CA-2500

CA-1500

CL-2500

CL-1500

DL-2500

DL-1500

DA-2500

DA-1500

CompressãoExtensão

Figura 5.3 - Curva tensão-deformação – ensaio CTC

56

A Tabela 5.3 apresenta os valores da resistência ao cisalhamento, qmax, e a

deformação axial na ruptura, εa max, de acordo com as propriedades do modelo de Hoek

Brown apresentadas na Tabela 5.1, para o para as tensões de confinamento de 1.5MPa e

2.5MPa.

Tabela 5.3 - Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima

Trajetória de tensão p0 (MPa) qmax (MPa) εa max (%)

CA 1.5 6.445 0.28

2.5 8.372 0.36

EA 1.5 -1.429 -0.064

2.5 -2.304 -0.1

A Figura 5.4 apresenta as envoltórias de resistência do modelo Hoek Brown no

espaço da tensão desviadora (D2I3q ) e da tensão normal média ( 3/Ip 1 ), para as

trajetórias de compressão (Equação 3.28) e de extensão (Equação 3.29). Nesta figura

são apresentados os resultados numéricos em termos das trajetórias de tensão indicadas

na Figura 5.2 para os dois níveis de tensão de confinamento inicial de 1500kPa e

2500kPa. Como esperado, as trajetórias de tensão caminham para a superfície de

plastificação e lá permanecem uma vez que a situação F>0 é uma situação não

permitida.

Pode-se concluir com esse exemplo que a implementação computacional, para

esse tipo de análise foi bem sucedida, fornecendo soluções de acordo com as obtidas

analiticamente.

57

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000

p=I1/3(kPa)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

q=

sqrt

(3I 2

D)

(kP

a)

Envoltória de Resistência

na Extensão

na Compressão

CA

CA

CL

CL

DL

DL

DA

DA

Comp. por CA

Comp. por DL

Exten. por CL

Exten. por DA

Figura 5.4 - Trajetórias de tensão no espaço p-q

5.2. Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico

O problema a ser analisado neste item é ilustrado na Figura 5.5 e consiste na

avaliação da distribuição das tensões e deslocamentos ao redor de uma cavidade

cilíndrica de raio interno, ri, executada a grande profundidade num maciço rochoso,

considerado homogêneo e isotrópico e submetido a um estado de tensão inicial

isotrópico, 0. O comportamento tensão deformação do maciço rochoso é representado

por um modelo elástico perfeitamente plástico, com plasticidade associada, adotando o

critério de plastificação de Hoek-Brown. O raio de transição plástico-elástico, R,

delimita a região de comportamento plástico (R-ri) no entorno da cavidade e o raio

externo, re, delimita o domínio do problema,

58

x,r

y,

ripi

Rre

0

r

r

elástica

plástica

Figura 5.5 - Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade

Sharan (2003 e 2005) e Park e Kim (2006) apresentaram uma solução analítica

para este problema considerando um material com comportamento elástico frágil

perfeito. Neste trabalho, apresenta-se uma adaptação esta solução para o material com

comportamento elástico perfeitamente plástico. Assim, a distribuição das tensões radial

e circunferencial na zona plástica, ou seja, para ri<r<R, é dada por:

i

2

ciicib

i

2

i

cibr psσpσm

r

rln

r

rln

4

σmσ

(5.1)

i

cib2

ciicibrr

rln

2

σmsσpσmσσ (5.2)

Na região elástica, ou seja, para R<r<re, tem-se que:

)σ(σr

Rσσ R0

2

0r

(5.3)

)σ(r

Rσσ R0

2

0

(5.4)

em que ζR é a tensão radial no raio de transição, R, definido como:

59

cib

21

σ2m

FF

IerR

(5.5)

Onde

0cibci

2

b0ci1 Fσm2σmFσF (5.6)

2

ciicib2 σ spσm4F (5.7)

0bci

2

bci0 σm61σmσ 16sF (5.8)

A distribuição dos deslocamentos radial na zona elástica é dada por:

r

R)σ(σ

E

1u

2

R0r (5.9)

Na transição plástico-elástico, tem-se:

)Rσ(σE

1u R0R

(5.10)

Este problema foi analisado numericamente por Wan (1992), Clausen et al

(2006) e Clausen e Damkidle (2008) considerando um estado de deformação

axissimétrico no plano (zx) enquanto Choi e Deb (2005) apresentam os resultados

obtidos considerando uma análise em estado de deformação plana no plano vertical

(xy).

Neste trabalho foi adotada a análise em estado plano de deformação no plano xy.

A Figura 5.6 ilustra a malha de elementos finitos adotada e a Tabela 5.4 apresenta os

parâmetros do modelo de Hoek-Brown adotados neste exemplo.

Para essa análise numérica foi adotado o procedimento incremental iterativo de

Newton-Raphson Modificado com incrementos automáticos de carga (Id=10, miter=20;

toler=0.1%; 0=0.01; min=10-6

; max=10-2

) e o esquema de integração de tensão

Foward Euler com sub incrementos variados (FTOL=10-5

e STOL=10-2

)

60

re=100m

ri=5m

x

y

0=30MPa

200 elementos isoparamétricos Q8 e 661 pontos nodais

Figura 5.6 - Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico

Tabela 5.4 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade

E(MPa) ci(MPa) mb s a

5500 0.25 30 1.7 0.0039 0.5

As respostas numérica, obtida pelo ANLOG, e analítica, considerando um estado

de tensão inicial isotrópico de 30MPa, são apresentadas na Figura 5.7, em termos da

distribuição de tensão ao longo da direção horizontal (y=0) e na Tabela 5.5, em termos

do raio de transição e das tensões de transição, radial e circunferencial. Como pode ser

observado, as soluções numérica e analítica apresentam uma excelente concordância.

Tabela 5.5 - Raio de transição e tensões (pi=0MPa e ri=5m)

Solução R/ri ζr/ζ0 ζθ/ζ0 ζz/ζ0

Analítica 2.833 0.526 1.474 0.500

Numérica 2.893 0.568 1.400 0.492

61

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

r/ri

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6T

ensõ

es

norm

aliz

adas

Numérica

Analítica

r/0

/0

z/0

Figura 5.7 - Distribuição das tensões ao redor da abertura circular

A distribuição de tensão no entorno da cavidade é apresentado na Figura 5.8

através das isócronas das componentes de tensão enquanto na Figura 5.9 são ilustradas

as regiões elástica e plástica. Estas regiões são definidas em função da razão de tensão

(SLR) definida como:

3

Imsσ

3

sinθcosθ Imσ cosθI2

SLR1

bci

2Db

1/a)-(1

ci

1/a

2D

(5.11)

Na região plástica, SLR=1 e na região elástica SLR <1.

62

0

5

15

25

35

45

Tensões

(MPa)

0

5

15

25

35

45

Tensões

(MPa)

a) x b) y

0

5

15

25

35

45

Tensões

(MPa)

-15

-10

-7.5

-5.0

-2.5

+1.0

Tensões

(MPa)

c) z d) xy

Figura 5.8 - Distribuição de tensão

Região elásticaRegião plástica

Figura 5.9 - Regiões elásticas e plásticas

63

5.3. Capacidade de suporte de fundação superficial

A capacidade de suporte de fundações superficiais, sem embutimento, rígida,

lisa ou rugosa, é abordada neste item. O terreno de fundação, considerado sem peso, é

idealizado com comportamento linear elástico perfeitamente plástico com plasticidade

associada.

As análises foram conduzidas por controle de deslocamento de modo a simular

fundações perfeitamente rígidas. Para tanto, um deslocamento prescrito foi aplicado

aos nós sob a fundação (Figura 5.10). A malha de elementos finitos apresentada na

Figura 5.10 apresenta 427 elementos Q8 e 1350 pontos nodais. Esta malha foi utilizada

para todas as análises apresentadas em termos de deformação plana (LLTYPE=1) para

uma fundação corrida e axissimétrica (LLTYPE=2) para uma fundação circular e foi

construída levando-se em consideração a simetria do problema

0.5m

5m

4.5m

Rígida e Lisa

x0; y

0.5m

5m

4.5m

Rígida e rugosa

x=0; y

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

0.5m

5m

4.5m

B=0.5m

Figura 5.10 - Fundação superficial – rígida (Lisa e rugosa)

Os resultados obtidos pelo ANLOG estão apresentados em termos do fator

definido como:

ref

A/Q

(5.12)

em que Q é a força de reação na base da fundação obtida pelo somatório das

componentes verticais da força interna equivalente ao estado de tensão dos elementos

sob a fundação (Potts e Zdravković, 2001); A é a área da fundação e ref é uma tensão

de referência que depende do modelo constitutivo adotado. Para o modelo Mohr

64

Coulomb modificado (Oliveira, 2006) a tensão de referência adotada é a coesão (c) e

para o modelo Hoek-Brown é a resistência à compressão uniaxial da rocha intacta ( ci ).

A Tabela 5.6 apresenta os parâmetros adotados no processo de solução

incremental-iterativo do tipo Newton-Raphson modificado com incrementos

automáticos de carga. Para a integração de tensão adotou-se o esquema de explícito com

subincrementos variados (LLINT=31) adotando as tolerâncias FTOL=10-6

e

STOL=10-2

.

Tabela 5.6 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - fundação

0 max min Id miter toler (%)

0.01 0.01 0.00001 3 5 0.01

A Figuras 5.11 apresenta curvas carga-recalque em termos do fator e do

deslocamento relativo /B, para fundação rígida e lisa numa condição de deformação

plana levando em conta os modelos de Morh Coulomb (MC), Oliveira (2006), e Hoek-

Brown (HB). Os parâmetros constitutivos adotados por cada modelo são apresentados

na Figura 5.11 e correspondem a uma situação de um meio puramente coesivo. Nesta

condição, a solução convencional com base na teoria do equilíbrio limite de Terzaghi

(1943) fornece um fator de capacidade de suporte de 5.14. Como pode ser observado na

Figura 5.11, uma boa concordância com a solução convencional é obtida para os valores

de fator de capacidade de suporte (ult) fornecidos pelo ANLOG tanto para o modelo de

Mohr-Coulomb quanto para o modelo de Hoek-Brown proposto neste trabalho.

65

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

/B

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fundação Lisa

Mohr-Coulomb

Hoek-Brown

ult (HB)=5.19

ult (MC)=5.10

E=100MPa

49

MC

c=100kPa;

HB

c=100kPa; mb=0.0; s=2.0; a=1.0

Figura 5.11 - Curva carga-recalque - fundação corrida rígida e lisa – meio

puramente coesivo

A Figuras 5.12 apresenta curvas carga-recalque, para as condições de

deformação plana e axissimétrica, considerando um fundação rígida e lisa, adotando o

modelo de Hoek-Brown para um meio equivalente a um meio puramente coesivo. Neste

caso, a solução convencional com base na teoria do equilíbrio limite de Terzaghi (1943)

fornece um fator de capacidade de suporte de 5.14 para uma fundação corrida

(deformação plana) e 6.20 para a fundação circular (axissimétrica). Como pode ser

observado na Figura 5.12, uma boa concordância com a solução convencional é obtida

para os valores de fator de capacidade de suporte (ult) fornecidos pelo ANLOG.

66

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

/B

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fundação Lisa

Plana

Axissimétrica

ult=5.19

E=100MPa; 49

HB

c=100kPa; mb=0.0; s=2.0; a=1.0

ult =6.36

Figura 5.12 - Curva carga-recalque – fundação rígida – meio puramente coesivo

- corrida versus circular

As Figuras 5.13 a 5.15 apresentam os resultados, em termos das curvas carga-

recalque, para uma fundação corrida, rígida e rugosa, considerando um terreno de

fundação constituído por um maciço rochoso, sem peso (=0) e não perturbado (D=0),

cuja resistência é governada pelo modelo de Hoek-Brown generalizado. Várias análises

foram conduzidas variando-se o índice de resistência geológico (GSI) de modo a se

observar a influência da qualidade do maciço rochoso na capacidade de suporte das

fundações superficiais.

A Figura 5.13 refere-se a um terreno de fundação constituído por um filito com:

E=10GPa; =0.26; ci=100MPa e mi=10. A Figura 5.14 refere-se a um terreno de

fundação constituído por um basalto com: E=40GPa; =0.2; ci=200MPa e mi=17. E

por fim, a Figura 5.15 refere-se a um terreno de fundação constituído por um arenito

67

com: E=30GPa; =0.14; ci=150MPa e mi=20. Estes dados foram obtidos da literatura

especializada (Goodman 1989). A Tabela 5.7 apresenta os parâmetros do modelo Hoek-

Brown de acordo com as Equações 3.16 a 3.18 tal como proposto por Hoek et al (2002).

Tabela 5.7 - Parâmetros da modelo Hoek-Brown - Efeito GSI

GSI mb

s a mi=10 mi=17 mi=20

20 0.5743 0.9764 1.1487 0.0001 0.5437

40 1.1732 1.9944 2.3464 0.0013 0.5114

60 2.3965 4.0741 4.7930 0.0117 0.5028

A Tabela 5.8 apresenta os resultados, em termos do fator de capacidade de

suporte (ult), obtidos pelo presente trabalho considerando uma fundação rígida e rugosa

e um terreno de fundação sem peso e não perturbado, e os obtido por Yang e Yin (2005)

com base no limite superior da análise limite, Merifield et al (2006) com base numa

formulação mista da análise limite; Kulhawy e Carter (1992) com base na formulação

do limite inferior da análise limite. Como pode ser visto nesta tabela os resultados

encontrados na literatura variam bastante indicando que esse assunto não se encontra

esgotado, pelo menos no que diz respeito à aplicação do critério de Hoek-Brown para

previsão de capacidade de suporte de fundações rasas.

68

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

/B

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Fundação rugosa

(; D=0)

GSI=20

GSI=40

GSI=60

ult(40) =0.56

Filito (mi=10; ci

=100MPa)

E=1GPa; 0.26

ult(60) =1.13

ult(20) =0.37

Figura 5.13 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - filito

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

/B

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Fundação rugosa

(; D=0)

GSI=20

GSI=40

GSI=60

ult(40) =1.48

Basalto (mi=17; ci=200MPa)

E=40GPa; 0.2

ult(60) =2.53

ult(20) =0.57

Figura 5.14 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - basalto

69

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

/B

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fundação rugosa

(; D=0)

GSI=20

GSI=40

GSI=60

ult(40) =0.83

Arenito (mi=20; ci=200MPa)

E=30GPa; 0.14 ult(60) =1.36

ult(20) =0.34

Figura 5.15 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - arenito

Tabela 5.8 - Fator de capacidade de suporte - ult - (D=0; =0)

mi GSI Presente

trabalho

Yang e Yin

(2005)

Merifield et al

(2006)

Kulhawy e

Carter (1992)

10

20 0.37 ***** 0.21 0.06

40 0.56 ***** 0.66 0.23

60 1.13 ***** 1.60 0.62

17

20 0.57 0.68 0.34 0.09

40 1.48 2.14 1.00 0.28

60 2.53 4.48 2.35 0.77

20

20 0.34 ***** 0.39 0.09

40 0.83 ***** 1.49 0.31

60 1.36 ***** 2.67 0.83

70

Capítulo 6

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

A análise do comportamento mecânico em equilíbrio estático de obras

geotécnicas executadas em maciços rochosos requer a adoção de um modelo

constitutivo que leve em conta não apenas as características de deformabilidade e

resistência da rocha intacta, mas também que leve em conta a condição do maciço. O

critério de resistência de Hoek-Brown foi inicialmente desenvolvido no início da década

de 80 para rochas duras e desde então foi sucessivamente modificado para levar em

conta as condições geológicas do maciço rochoso.

Nesta dissertação o modelo elástico perfeitamente plástico com plasticidade

associada e com base no critério de resistência Hoek-Brown foi implementado no

programa computacional ANLOG (Análise Não Linear de Obras Geotécnicas). A

natureza não linear do modelo elastoplástico implementado envolveu a adoção de um

procedimento de solução de sistema de equação não linear do tipo Newton-Raphson a

nível global e um procedimento explícito de integração de tensão a nível local.

As implementações computacionais foram verificadas através da simulação

numérica de ensaios triaxias convencionais sob diferentes trajetórias de tensão

indicando uma boa concordância entre as soluções analítica e numérica. Exemplos de

aplicação relacionados com aberturas de cavidade e capacidade de suporte em maciços

rochosos foram apresentados e os resultados comparados com as respostas analíticas e

numéricas disponíveis na literatura especializada indicando uma boa concordância entre

estes resultados e reafirmando a potencialidade da aplicação do sistema ANLOG para

análises do comportamento geomecânico de obras geotécnicas.

A partir das análises realizadas e apresentadas ao longo deste trabalho, chegou-

se às seguintes conclusões:

71

A resistência ao cisalhamento aumenta com nível de tensão de confinamento

inicial independente da trajetória de tensão seguida. Este característica é

importante na aplicação do modelo de Hoek-Brown para análise tensão

deformação de problemas de valor de contorno em que a distribuição de tensão

inicial não é uniforme;

Para um mesmo nível de tensão de confinamento inicial, observa-se que a

resistência ao cisalhamento é mais rapidamente mobilizada na extensão do que

na compressão;

Uma diminuição do nível da tensão circunferencial é observada na região

plástica que se estende no entorno de uma cavidade em função, dentre outros, no

nível de pressão interna. Este valor é máximo para a condição de pressão que

corresponde a uma escavação sem suporte;

A utilização de um esquema de integração de tensão explícito com

subincrementos automático de deformação foi fundamental para obtenção de

uma resposta numérica precisa a nível global;

O modelo de Hoek-Brown apresenta uma boa concordância entre os resultados

apresentados por Terzaghi (1943) com base na teoria do equilíbrio limite para

capacidade de suporte de fundações rasas corridas e circulares para o caso de

solos puramente coesivos usando o critério de Mohr-Coulomb. Para materiais

granulares, não foi possível encontrar os parâmetros do modelo Hoek-Brown

que apresentasse uma equivalência com os parâmetros c e do critério de Mohr-

Coulomb.

A utilização do modelo Hoek-Brown para determinação da capacidade de

suporte de maciços rochosos apresenta a grande vantagem da possibilidade de se

introduzir o efeito da condição geológica do maciço através do índice de

resistência geológica (GSI);

Para uma fundação corrida, rígida e rugosa, considerando um terreno de

fundação constituído por um maciço rochoso, sem peso (=0) e não perturbado

(D=0) os resultados observados mostram uma relação direta entre o fator de

72

capacidade de suporte e o GSI de modo que um maciço mais competente

apresenta uma maior capacidade de suporte;

Os resultados, em termos do fator de capacidade de suporte, obtidos pelo

presente trabalho e os encontrados na literatura especializada variam bastante

indicando que esse assunto não se encontra esgotado, pelo menos no que diz

respeito à aplicação do critério de Hoek-Brown para previsão de capacidade de

suporte de fundações rasas.

Em função da importância do tema central desta dissertação, modelagem

constitutiva de problemas geotécnicos, sugerem-se os seguintes tópicos a serem

abordados futuramente:

A continuidade das análises paramétricas de fundações rasas levando em conta o

peso (0) e o embutimento da fundação;

A realização de análises paramétricas de outras aplicações, tais como,

estabilidades de taludes artificiais e escavações escoradas.

73

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