Uji Chi Dan Smirnov Kolmogorov

Kompetensi

Mahasiswa dapat menentukan jenisdistribusi data

Uji Kecocokan Model Distribusi- Uji Chi-kuadrat- Uji Smirnov-Kolmogorov

Untuk menenukan kecocokan distribusifrekuensi dari sampel data terhadap fungsidistribusi peluang yang diperkirakan dapatmenggambarkan/mewakili distribusifrekuensi tsb diperlukan pengujianparameterPengujian parameter yang dapat dipakai:1) Chi-kuadrat2) Smirnov-kolmogorov

Uji Chi-Square• untuk menetukan a’pkah p’smaan distribusi

peluang yg telah dipilih dpt mewakili dri distribusistatistik sampel data yg dianalisis.

• Rumus

• Dimana• h

2= parameter chi-kuadrat terhitung

• G = jumlah sub-kelompok• Οι = jumlah nilai pengamtan pada sub kelompok

ke - i• Ei = jumlah nilai teoritis pada sub kelompok ke -

i

Prosedur Uji-Kuadrat1. Urutkan data pengamatan (dari besar ke kecil atau

sebaliknya)2. Kelompokkan data menjadi G sub-group, tiap-tiap sub group

minimal 4 data pengamatan3. Jumlahkan data pengamatan sebesar Oi tiap-tiap sub group4. Jumlahkan data dari persamaan distribusi yang digunakan

sebesar Ei5. Tiap-tiap sub group hitung nilai: dan

6. Jumlah seluruh G sub group nilai untukmenentukan nilai chi-kuadrat hitung

7. Tentukan derajat kebebasan dk=G – R – 1 (nilai R = 2,untuk distribusi normal dan binomial, dan nilai R = 1, untukdistribusi Poisson)

Interpretasi hasilnya adalah:

Apabila peluang > 5% maka persamaandistribusi teoritis yg digunakan dptditerima Apabila peluang < 1%, maka persamaan

distribusi teoritis tdk dpt diterima Apabila peluang berada antara 1 – 5 %, tdk

mungkin mengambil keputusan, misalnyaperlu tambahan data.

Contoh:

Dari pos pengamatan volume total debittahunna dari DPS Cikapundung di posduga air Gandok, telah diperoleh data daritahun 1958-1980, seperti ditunjukkantabel 1. pada derajat kepercayaan 95%diterima, lakukan uji hipotesis bahwa datapada tabel 1, mengikuti distribusi normal,dgn menggunakan Uji Chi-Kuadrat.

Tabel 1. PerkiraanVolume TotalDebit Sungai Cikapundung-Gandok

No Volume Total(juta m3/tahun)

Peluang(%)

Periode Ulang(tahun)

1 92.16 50 2

2 113.95 20 5

3 125.37 10 10

4 134.71 5 20

5 145.35 2 50

Jawab

Berdasarkan data tabel 1, maka dpt disusunnilai peluang perhitungan sepertiditunjukkan pada tabel 2. Peluangperhitungan dihitung berdasarkan rumusmaka: diperoleh garis lurus distribusinormal:X = + k. SX = 92.16 + 25.95 kk = nilai variabel reduksi Gauss

Volume X(Juta m3)

Peringkat(m)

149.4132.4125.0121.0114.7109.0101.799.297.897.491.190.089.184.683.683.878.677.873.068.565.045.241.6

1234567891011121314151617181920212223

0.040.080.130.170.210.250.290.330.380.420.460.500.540.580.630.670.710.750.790.830.880.920.96

25.0012.507.695.884.764.003.453.032.632.382.172.001.851.721.591.491.411.331.271.201.141.091.04

N = 23 buah= 92.16 juta m3/tahun

S = 25.95 juta m3/tahun

Tabel 2.Perhitunganperingkat –peluang –Periode ulangVolume TotalDebit ahunanSungaiCikapundung–GandokTahun 1958-1980

Untuk pengujian maka dpt dibuat subkelompok, setiap sub kelompok minimalterdapat 5 buah data pengamatan.Apabilanilai peluang dari batas setiap sub kelompokpeluang (P) = 0.25, maka variabel dari datapengamatan akan terletak sbb:

Sub Kelompok 1 X < 74.77Sub Kelompok 2 74.77 < X < 92.16Sub Kelompok 3 92.16 < X < 109.54Sub Kelompok 4 X > 109.54

Tabel 3. Perhitungan Uji Chi-Kuadrat

NoNilai Batas

Sub kelompok

Jumlah DataOi- EiOi Ei

1 X < 74.77 5 5.75-0.75 0.097826

2 74.77 – 92.16 8 5.752.25 0.880435

3 92.16 – 109.54 5 5.75-0.75 0.097826

4 109.54 > X 5 5.75-0.75 0.097826

Jumlah 23 23 -1.173913

Dari tabel 3, diperoleh nilai chi-kuadrat hitungadalah h

2 = 1.17. berdasarkan tabel chi-kuadrat,Untuk mencapai nilai chi-kuadrat > 1.17; padaderajat kebebasandk = G-R-1 = 4-2-1=1, peluangnya beradaantara 5% - 95% yaitu sekitar 65%Karena peluang nya > 5%, maka hipotesisbahwa volume debit tahunan DPSCikapundung-Gandok, mengikuti distribusinormal dapat diterima. Batas kepercayaannyadapat dilihat pada tabel 4

Tabel 4. Volume Total DPSCikapundung-Gandok

No. Peiode Ulang(tahun)

Nilai Perkiraan(juta m3)

Batas DaerahKepercayaan

(juta m3)12345

25102050

92.93113.95125.37134.71145.35

80.93 – 103.38100.00 – 125.99110.20 – 140.40116.80 – 151.80125.00 – 165.00

Uji Smirnov-Kolmogorov

Uji kecocokan Smirnov-Kolmogorov, seringjuga disebut Uji kecocokan non parametrik,karena pengujiannya tidak menggunakanfungsi distribusi tertentu.

Prosedur Uji Smirnov-Kolmogorov

1. urutkan data (dari besar ke kecil atausebaliknya) dan tentukan besarnya peluang darimasing-masing data tersebut;

2. tentukan nilai masing-masing peluang teoritisdari hasil penggambaran data (persamaandistribusinya);

3. dari kedua nilai peluang tersebut tentukanselisih terbesarnya antara peluang pengamatandengan peluang teoritis,

D = maksimum [P (Xm) – P’(Xm)]

4. berdasarkan tabel nilai kritis (Smirnov –Kolmogorov test) tentukan harga Do

Apabila D < Do maka distribusi teoritis ygdipakai u/ m’nentukn pers. distribusidapat digunakan.

Apabila D > Do maka distribusi teoritis ygdipakai u/ m’nentukn pers. Distribusitidak dapat digunakan.

Tabel 5. Nilai Kritis Do u/ Uji Smirnov-Kolmogorov

Na

0,2 0,10 0,05 0,015 0,45 0,51 0,56 0,67

10 0,32 0,37 0,41 0,49

15 0,27 0,30 0,34 0,40

20 0,23 0,26 0,39 0,36

25 0,21 0,24 0,27 0,32

30 0,19 0,22 0,24 0,29

35 0,18 0,20 0,23 0,27

40 0,17 0,19 0,21 0,25

45 0,16 0,18 0,20 0,24

50 0,15 0,17 0,19 0,23

N>50 1,07/N0.5 1,22/N0.5 1,36/N0.5 1,63/N0.5

a= Derajat Kepercayaan

Contoh

Tentukan persamaan distribusi normaluntuk data debit minimum sesaat sungaiCikapundung-Gandok tahun 1965-1984.lakukan uji kecocokan persamaannyadengan uji smirnov-kolmogorov

Tabel 4. Debit Minimum S. Cikapundung-GandokNo Tahun Debit (m3/dt)1234567891011121314151617181920

19651966196719681969197019711972197319741975197619771978197919801981198219831984

0.020.020.020.240.260.300.360.410.150.150.560.140.100.180.38

-0.440.350.380.59

=0.266 m3/dtS =0.176 m3/dtShg persamaannyaX = 0.176. k + 0.266 m3/dtPeriode ulang untuk debit minimum tidakmenyatakan suatu nilai sama atau lebih daribesaran tertentu, akan tetapi menyatakan suatunilai sama atau kurang dari besaran tertentu. Olehitu apabila:P [ X > (X + k. S)] = aMakaP [ X < (X + k. S)] = 1- a

Uji Smirnov-KolmogorovDari pers garis lurus distribusi normal data debitminimum S. Cikapundung-Gandok adalah:X = 0.176. k + 0.266 m3/dtApabila

P’(x) = f (t)Dimana :

X = debit minimum pengamatan (m3/dt)X = debit minimum rata-rata (m3/dt)

t = variabel reduksi GaussP’(x) = peluang dari k (lihat tabel luas dibawah kurva

normal)

Tabel 5. Uji Smirnov-Kolmogorov Debit Minimum S. Cikapundung-Gandok

X m P(x)=m/(n+1)

P(x<) f(t)=(x-x)/s P’(x) P’(x<) D

1 2 3 4 = nilai1- kol.3

5 6 7 = nilai 1– kol.6

8 = 7-4

0.590.580.440.410.380.380.360.350.300.260.240.180.150.150.140.100.020.020.02

123456789

10111213141516171819

0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.95

0.950.900.850.800.750.700.650.600.550.500.450.400.350.300.250.200.150.100.05

1.8401.7840.9880.8180.6470.6470.5340.4770.193-0.034-0.147-0.488-0.659-0.659-0.715-1.943-1.397-1.397-1.397

0.0320.0370.1630.2060.2570.2570.2980.3190.4240.5100.5560.6850.7430.7430.7610.8260.9170.9170.917

0.9680.9630.8370.7940.7430.7430.7020.6810.5760.4900.4440.3150.2570.2570.2390.1740.0830.0830.083

0.0180.0630.0130.0060.0070.0430.0520.0810.0260.010.0060.0850.0930.0430.0110.0260.0670.0170.033

Data Kolom 4 = niai 1.0 – nilai kolom 3

Data kolom 5,

misal X = 0.59

Maka

P’(x) = f (t), dari tabel wilayah luas dibawah kurvanormal, dari nilai f(t) = 1.840, luasnya = 1-0. 968 =0.032 shg nilai kolom 6 adalah P’(x) = 0.032, dannilai kolom 7 adalah P’(x<) = 1-0.032 = 0.968

Dari perhitungan nilai D, tabel 5,menunjukkan nilai Dmak = 0.093, danpada peringkat ke m = 13. dgnmenggunakan data pada tabel Do degnderajat kepercayaan 5% ditolak denganN=19, maka diperoleh Do = 0.38. Karena Dmak =0.093< Do = 0.38 Maka pers distribusi normal yg diperoleh

dpt diterima untuk menghitung distribusinormal yg diperoleh u/ menghitungdistribusi peluang data debit minimum