Ugrupperede observationer Middelværdi, varians og spredning

Ugrupperede observationerSpredning og varians

Antal tryksager Antal familier Frekvens Kum. Frekvens8 24 12% 12%9 30 15% 27%10 42 21% 48%11 40 20% 68%12 36 18% 86%13 28 14% 100%

200 100%

Middelværdien beregnes ved:8*12%+9*15%+10*21%+11*20%+12*18%+13*14%= 10.59

Familierne får altså i gennemsnit 10,59 reklamer

Spredning:Hvor spredt ligger observationerne i forhold til middelværdien?Vi udregner kvadraterne på forskellen mellem middelværdi og observationer:(8-10.59)^2, (9-10,59)^2,.....Nu er der jo ikke lige mange i hvert interval, så vi må

Ugrupperede observationer

Middelværdi, varians og spredning

Nu er der jo ikke lige mange observationer i hvert interval, derfor må vi vægte disse forskelle:

12%*(8-10,59)2+15%*(9-10,59)2+21%*(10-10.59)2+20%*(11-10,59)2+18%*(12-10,59)2+14%*(13-10,59)2=2,46

Dette tal kaldes observationssættets varians: Var(X)=2,46

Hvad fortæller Var(X) ?

Hvorfor tager vi kvadratet på forskellen mellem middelværdi og observation?

Varians

Spredning

Vi tager nu kvadratroden af variansen:

( ) 2,46 1,57X

Og får spredningen, betegnet med det græske bogstav sigma

Spredningen kaldes også standardafvigelsen

Forskellige observationssæt5 3 1,50% 1,50%

6 4 2,00% 3,50%

7 7 3,50% 7,00%

8 10 5,00% 12,00%

9 30 15,00% 27,00%

10 42 21,00% 48,00%

11 40 20,00% 68,00%

12 36 18,00% 86,00%

13 20 10,00% 96,00%

14 6 3,00% 99,00%

15 2 1,00% 100,00%

  200 1  

Her har jeg lavet et mere spredt sæt, lad os se på forskelle i middelværdi, varians og spredning

Først stolpediagrammer

Første observationssæt

0%

5%

10%

15%

20%

25%

8 9 10 11 12 13

antal tryksager

Fre

kven

s

Serie1

Andet observationssæt

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

antal tryksageran

tal

fam

ilie

r

Serie1

Middelværdi: 10,59 Middelværdi:10,52

Beregn varians og spredning for andet observationssæt!

Varians og spredning5 3 1,50%

6 4 2,00%

7 7 3,50%

8 10 5,00%

9 30 15,00%

10 42 21,00%

11 40 20,00%

12 36 18,00%

13 20 10,00%

14 6 3,00%

15 2 1,00%

Var(X)=1,5%*(5-10,52)2+……..

(resultat 3,6396)

( ) 3,6396 1,91x

Sammenlignet med første observationssæt får vi altså en større varians og en større spredning som forventet!

Udregning af varians3.Observation

ssæt x   f 

9 50 25%

10 100 50%

11 50 25%

Summen af frekvenserne er 100%=1

Middelværdien E(X)=μ=9*25%+10*50%+11*25%

Var(X)= 25% * (9-μ)2 + 50% *(10-μ)2 + 25% * (11-μ)2

Hvis vi ganger parenteserne ud fås:

25%*(92+μ2-2*9*μ) + 50%*(102+μ2-2*10*μ) + 25%*(112+μ2-2*11*μ) =

μ2 *(25%+50%+25%) -2μ*(9*25% + 10*50% + 11*25%)+ 25%*92+50%*102+25%*112

Altså er

Var(X)=μ2-2μ* μ +25%*92+50%*102+25%*112

Sidste 3 led (grønne) er middelværdien af X2 derved får vi:

Var(X)= - μ2 + E(X2) = E(X2) – E(X)2 og spredningen σ(X)= ( )Var X

Varians og spredning

Var(X)= E(X2)-E(X)2

σ(X)= ( )Var X

I regneark:

Antal (x) Frekvens (f) x*f x^2 x^2*f

8 0,12 0,96 64 7,68

9 0,15 1,35 81 12,15

10 0,21 2,1 100 21

11 0,2 2,2 121 24,2

12 0,18 2,16 144 25,92

13 0,14 1,82 169 23,66

E(X)=   10,59    

E(X)^2   112,1481    

E(X^2)=       114,61

Var(X)=E(X^2) - E(X)^2=   2,4619 σ(X)=  1,57

Grupperede observationerHvis talmaterialet er grupperet:

obs.interval Int. Midtp m Frekvens f m*f m^2 m^2*f

]10;12] 11 0,1 1,1 121 12,1

]12;14] 13 0,175 2,275 169 29,575

]14;16] 15 0,375 5,625 225 84,375

]16;18] 17 0,2 3,4 289 57,8

]18;20] 19 0,15 2,85 361 54,15

μ=E(X)=     15,25    

E(X^2)=         238

Var(X)= E(X^2)-E(X)^2=   5,4375      

Covarians

Hvis vi ønsker at sammenligne to observationssæt X og Y, kan vi bestemme deres Covarians ved:

Cov(X,Y)= E(X*Y)- E(X)*E(Y)

Altså som middelværdien af produktet af observationerne minus produktet af de to

middelværdier

Model v.hj.a. regression i regneark

Regression i regneark1. Marker de to observationssæt

2. Vælg ”Diagram”

3. Vælg XY-punkt

4. Tegn grafen

5. Højreklik på et af punkterne på grafen

6. Vælg ”Tilføj tendenslinje”

7. Klik på fanebladet ”Indstillinger”

Sæt hak i Vis ligning i diagram og i Vis R kvadreret

Bestemmelse af regressionslinje

Vi kan ud fra to observationssæt også bestemme regressionslinjen y=ax+b ved hjælp af formler:

Vi bestemmer a ved:

Og derefter bestemme linjens ligning ved:

Herved bestemmes b altså som E(Y)-a*E(X)

( , )

( )

Cov X Ya

Var X

( ) ( ( ))y E y a x E X

Korrelationskoefficienten

Korrelationskoefficienten er et mål for hvor god sammenhæng der er mellem X og Y.

Denne bestemmes ved:

( , )( , )

( )* ( )

Cov X Yr X Y

S X S Y

Regnearket beregner R2, som skal ligge tæt på 1, her skal r ligge tæt på -1 eller 1, for at vi vil finde en god sammenhæng.

Hvad kan regnearket beregne?