ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICAS DE LA RECTA y EJERCICIO RESUELTO 1. Halla las ecuacíones paramétricas de la recta que pasa por A(-2, 3) y tiene como vector drrector ü = (3, -1) Comprueba sí los puntos P (4. 1) y 0(7, 1) pertenecen o no a la recta e indica otro punto diferente que también pertenezca a dicha recta EJERCICIOS PROPUESTOS Una recta queda determinada s1 se conoce un vector que lleve su d1recc1ón. llamado vec- tor y un punto que pertenece a ella La ecuac16n de una recta es una exprestón matemática que SINe para dec1d1r Que pun- tos del plano pertenecen a ella v que puntos no Ecuación vectorial de la recta Sea la recta r que pasa por el punto A(e,. a 1 } y que lleva la d1recc1ón ü = (u,. u,) y sea P(x. y) un punto cualQUiera del plano Para que P pertenezca a la recta r, el vector AP trene que tener la m sma drr eccrón que el vector u. es dec1r debe ser proporcron al a ü, por tanto AP ;:: AÜ con A E R Llamando {J y § a los vectores de postC:Ión de P y A respectivamente. se o bt1ene p = ii + 1\Ü 'J...E R A ulttmd exo 9Stón se le denomtna ecuactón vectorial de la r ecta r y al vector ü vector director de dirección de ra recta Ecuaciones paramétricas de la r ecta Si en la ecuacrón vectonal de •a recta se sustttuyen los vect ores ;s . ü y a por sus coor- denadas se obttene (x. y} == (a,, a 2 ) + A (u,. u2) = (a 1 + 'J...u,, a2 + X.u .) E Igualando coordenada a coordenada· >.. E R Estas expre5,ones se llaman ecuaciones paramétricas de fa recta Las ecuaciones paramétncas son r a {x = - 2 + 3 'A y=3-'J... Al sus ttturr las coordenadas de P en una y otra ecuactón se obtiene el mtsmo valor de l\. en ambos casos Esto tndtca que el punto P pertenece a la recta { 4 = -2 + 3>.. { ;\ = 2 1 = 3 - ;\ => >..= 2 =>PE r Por el contrario, al sustituir O se obtienen valores dtferentes, lo que signrtrca que O no pertenece a la recta. { 7 = -2 + 31\ { h = 3 1= 3-A. => ).. ;:: 2 =>0flr Para obtener más puntos de r no hay más que dar valores a >.. Por e¡emplo, para h = 2 {X = -2 + 3 · (-2) :::: -8 =» y= 3 _ (- 2 ) = 5 => A( - 8. 5) E r 1. Comprueba SI los puntos A( - 2, 3). 8(2, - 3) y e perte necen o no a la recta que pasa por P(- 2, 6) y tiene como vector dtrector v = (0, 3) Calcula dos puntos más de es ta recta 2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, - 2) Y lle- va la dtrección del vector v = (- 2, 2) a) Calcula su ecuactón vectonal b) Halla sus ecuaciones parametrícas.
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ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
y
-----·~or-~a~1------~x-=x
EJERCICIO RESUELTO
1. Halla las ecuacíones paramétricas de la recta que pasa por A(-2, 3) y tiene como vector drrector ü = (3, -1) Comprueba sí los puntos P(4. 1) y 0(7, 1) pertenecen o no a la recta e indica otro punto diferente que también pertenezca a dicha recta
EJERCICIOS PROPUESTOS
Una recta queda determinada s1 se conoce un vector que lleve su d1recc1ón. llamado vector d~rector, y un punto que pertenece a ella
La ecuac16n de una recta es una exprestón matemática que SINe para dec1d1r Que puntos del plano pertenecen a ella v que puntos no
Ecuación vectorial de la recta
Sea la recta r que pasa por el punto A(e,. a1} y que lleva la d1recc1ón ü = (u,. u,) y sea P(x. y) un punto cualQUiera del plano
Para que P pertenezca a la recta r, el vector AP trene que tener la m sma drreccrón que el vector u. es dec1r debe ser proporcronal a ü, por tanto
AP ;:: AÜ con A E R
Llamando {J y § a los vectores de postC:Ión de P y A respectivamente. se obt1ene
p = ii + 1\Ü 'J...E R
A &.:>t<~ ulttmd exo 9Stón se le denomtna ecuactón vectorial de la recta r y al vector ü vector director de dirección de ra recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si en la ecuacrón vectonal de •a recta se sustttuyen los vectores ;s. ü y a por sus coordenadas se obttene
Estas expre5,ones se llaman ecuaciones paramétricas de fa recta
Las ecuaciones paramétncas son r a {x = - 2 + 3'A y=3-'J...
Al susttturr las coordenadas de P en una y otra ecuactón se obtiene el mtsmo valor de l\. en ambos casos Esto tndtca que el punto P pertenece a la recta
Para obtener más puntos de r no hay más que dar valores a >..
Por e¡emplo, para h = 2 {X = - 2 + 3 · (-2) :::: -8 =» y= 3 _ (-2) = 5 => A(- 8. 5) E r
1. Comprueba S I los puntos A( - 2, 3). 8(2, - 3) y e perte necen o no a la recta que pasa por P(- 2, 6) y tiene como vector dtrector v = (0, 3) Calcula dos puntos más de esta recta
2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, - 2) Y lleva la dtrección del vector v = ( - 2, 2)
a) Calcula su ecuactón vectonal b) Halla sus ecuaciones parametrícas.
ECUACIONES CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA
Ecuación contrnua de la recta
Sr lo:~" c-.~ordenadas (u, u .. ) del Je~...tor diiE:~tor u de una recta r son ambas d1s1rntas de cero se puede despe¡ar e 1gualar el valor de' Pa' ·,,.,.,t ro A. en cada una de las ecuaciones paramétrrcas de la recta. obten•éndose la ecuac1ón continua de la recia
A.=-x = a, + A.u. u, ¡ x-a
e = a2 + 'Au ~ A. = y - al ==>
u2
Ecuación general de la recta
x- a, = y- a2 u, U
2
f d 1 Ó x - a, y - a2 Operando y s1mpii1Can o en a ecuac1 n continua. - = -. se obt1ene
Para simplificar los cálculos, se ha tomado como vector director AC uno paralelo al obtenrdo que, obviamente, tamb1én es director de la recta buscada
L d Be {B(2, 2), C(2, - 3) => x - 2 = O=> BC = X= 2 a 0
. BC = (O, - 5)
=~-~-
3, En cada caso, calcula la ecuac16n general de la recta que pasa por los puntos. 4. Calcula las ecuac1ones de las med1anas del trrángulo de
vért1ces· A(2, 3), 8(-1. O) y C(O. -3). a) A(2, -5) y 8(1, -3)
b) A(3, -3) y 8( - 3, -3) e) A{1, 4) y 8(1, -3)
d) A(-2, -4) y 8(3, -2) 5. Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los e1es
que pasan por el punto A(-3, 5)
ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA
3. Escnbe un vector dtrector y un vector normal a fa recta que pasa por los puntos A(3, -3) y 8(0, -2)
4. Dado el segmento de extremos A{3, 1), 8(7, 4). halla la ecuación general de la recta que es medíatriz del segmento
EJERCICIOS PROPUESTOS
Vector perpendtcular a una recta
/ u
Dada la recta r de ecuactón genera¡ l\x + By + e, - o. el '' ·c,or r (A 8) e., un vector perpendtcular 0 normal a ,·
El vector dtrector de ( es i1 = ( -8. A) Para probar que el vector ñ es perpendrcular a la recta r. basta con ver que el product - - o o escalar de n y u es
_.....,....¿:_ __ ,J-.------xx ñ · ü = -A · B + B · A == o o 1 . otro dt'rector de fa recta r 2x - 3y + 7 0 EJemplo. Determma un vector norma Y _ =
Un vector normal 8-> n (2. 3) Y uno drrector d = (J. 2)
Ecuación normal de la recta. Ecuación normal canónica
:,ea O(a1• a
2) un puNo por el que pasa la recta r Ax + By + C = O Y sea P(x. y), un
punto cualqUiera de la recta. entonces se verrl!ca
ñ·OP=O
Susutuyendo las coordenadas se obtrene
(A 8) • (x - 81• y - a2) = O A(x - a,) + B(y - a2 ) = O
Esta ul~ma e1(presron es a ecuactón normal de la recta
e::. 1 ..:ha ex1 "'r se desarrolla y se dlvtde por el módulo de ñ se obtrene fa ecuación
o bren, multtphcando por 2 la ecuación r· 8x + 6y - 55 = o
6. Halla un vector dtrector y otro normal de la recta que pasa
por el punto A(-2. ~) y por el ongen de coordenadas.
8. Indica un vector director y otro normal de la recta de ecuación -3x + 2y- 4 = O.
9. Escnbe las ecuactones general. normal y normal canónica de la recta que pasa por A(3, -3) y 8( -1, 2). 7. Una recta ttene como vector normal el ñ :: (2. -3) y pasa
por el punto A( -1, 2) Escnbe su ecuación normal. su ecuacrón normal canóntca y su ecuacrón general
1 O. Halla la ecuacrón de la recta perpend•cular al segmento de extremos A(O, - 2) y 8(1, 4) y que pasa por el pun· to C(3, O)
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Pendiente y ordenada en el origen de una recta
;::,~ l'dma pendiente de una recta r. y se denota por m, a la tangente tngonoméwca del flngufo a quG torma dicha recta con la parte pos1t1va del e¡e ox.
m = tga E! ángulo a se denom1na mclinación
Sr la recta es crec1ente la pendiente es POSitiVa, por el contrano s1 fa recta es decrectente la pendiente es negativa
Dada una recta r Ax + By + C = O con vector director ü = (u,, u1
) = {-B. A). su pen-A d1ente es m = 8
Se llama ordenada en el o rigen de una recta r a! valor de la ordenada del punto de la recta cuya absc1sa es x = O
La ordenada en el ongen puede ser posaiva o negattva según que el punto de corte esté por enc1ma o por deba¡o del ongen de coordenadas
Ecuación explicita de la recta
S1 r AX + By + C = O se t1ene que el vector ü = (-B. A) es d~rector de r Por tanto.
tamb1én será dlfector de la recta el vector d = ~1 a = (1 -¿') ""' (1. m). ya que es
proporc1onar a ü y Siendo m la pendiente de fa recta
Además. s1 la ordenada en el ongen de r es b. la recta pasa por el punto P(O. b) Por X Y- b tanto. la ecuac1ón cont1nua de esta recta será 1 = --;n-
Operando y despe1ando se obuene la ecuación explfctta de la recta de pendiente m y ordenada en el ongen b
y = mx + b
Ecuación punto pendiente
La ecuac1Cf1 cont1nua de una recta cuya pend1ente es m y que pasa por el punto A(a,. a2)
es. x-a. _ y- a2
1 - m Operando esta expres1ón se obtiene la ecuacrón punto-pendtente de la recta
y - a2 = m(x - a,)
~JERCICIO RESUELTO
y
ECUACIÓN EXPLICITA
SI r Ax + By + e e o Oespe¡ando y se ltene
-A e Jl = Bx- 8
A como m = -8 y st se denota
e b "" - 73. se t1ene
y=mx + b
y= mx+ b
X
1 5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(a, a2) y B(b~o b2) Verifica que su pendiente es:
---- --- --- ---- -- ---- -------------------. El vector AB = (b, - a,, b2 - a7) es director de la recta Por tanto fa ecuac16n continua de la recta será (supontendo que b1 * az).
b2 - a m= z b,- a,
x - a, y- a2 l b, - a, "" b1 - a
2
Despe¡ando en esta Igualdad, se llega a la ecuac16n expltc1ta y al valor de m
Y = ; - a, . (b2 - az) + al ~ b¡ - al . x - b2 - a2 . a, + a, => ' m = bz - al J 1 - a, b, - a, b, - a,
1 b, - a,
EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1
• Calcula la ecuactón de la recta que pasa por el punto
A(-2, 4) y t1ene de pendiente m = t -
12. Calcula la pendtente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos A( - 1. 5) y 8(2, -2)
POSJCIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL PLANO
Ew;lfdof do Afe/llndrla ( 326 a.c - 265 o.c .¡
Mntem!l!tco qrtcgo quo $lstomatJz6 todcM IO:'i conocimientos ooomélllcos dr su 6pocn on w obm 'C:Iomonros· quo fuo mforenc/;¡ mdxtmo de kt macomtlttca occidonr,1J por mus de
2000 ",""
TEN EN CUENlA
La c.omparactón de los .¡ectoros cJ·roctoros o normales o de las pcrd1entos no es suhc1ente p;¡ra dtsUngUir st dos rectas son pamleléQ o co•r'ICIO mes En osre caso es nec es.'lno apltcar atqun Clfter•o odl Clonnl como compraba~ si ~n p1.1ntv do unil pert"'.,ec'-' a :il otra o
11enon l.l m ma ordenllda ("l e1 o tg ,
Secantes Paralelas Cotnctdentes
-- r
o X
Nmgún punto en común Infinitos puntos en común
J
E)(1s1en vanos cntenos analittcos para determtnar la postctón relatMl de dos rectas. basa. do"' r.n la compnrac16n de algunas de su~ caractensttcas
Comparación de tos vectores dírectores o normales
Dos recta r y ~. do vec.tore& dtrectores i1 v ü'. y vectores normales ñ y ñ'. son • secantes )1 sus vectores do dlfecctón o sus vectores normales no son paralelos . es
dü' tr nr r¡on proporCionales
a * )\ a· ñ * ~ r:· • paralelas o coincidentes s• sus vectores de d1re~c16n o sus vectores normales son
r ~r 111 1lc ') j( 1r 1 ~ ¡oporcronalss
ü = >. Ü'
Comparación de las pendientes
Dos rectH:; r y .s, úe f.ll.:lfld1untes m y m' .. on
ñ = >. ñ'
• secantes SI sus pendientes son dtferentes m :f: m'
• paralelas o coincidentes <;1 sus pend1entes son 1guales m = m'
Estudio del sistema formado por las ecuaciones de las rectas
Üi;~Oa~ do~ M.:to::> sus ocuac1ones forn,dra un s1sterra. cuyu €:>tud1o nos permtte determ1nar su pos1C1ón relat1va No os nccesano 11evar a cabo su resoluCión completa ya que basta con comparar las ecuaciones generales para deterrTl!nar de Qué tiPO es el s1stema Las rectas de ecuac1oncs r Ax + By + C = O y s A' K + B'y + C' = O son
• secantes SI ~e ver•ftca ..1. .-, .!!. A' ~· B' El s. ~tema que fori'J'lan es compat.Oie determmado. esto es. ~~ene soluc16n u mea D1cha soluc,on es el punto de rntersecc.ón de ras dos •actas
A B C • paralelas f., A' .. 7f .;: C'
El Sistema es •rcompauble es oec1r. 1'\0 trene solución y, por tanto. no extsten puntos comunes a ,as dos recta&
• comctdentes SI se venttca ~ = .!ª- = .f. A' B' C'
El SIStema es cornpaHble tndotermtnado. esto es. tiene 1nfmrtas soluctones que se conespoPden con todos los puntos de la recta.
Ejemplo .. Halla el punto de corte de las rectas r 2x - 3y - 1 = o y s: 2x + 3y - 7 = O.
las rechlS son socaPtes Yd que 2 tf. ~-;, Para hallar er punto de corte. se resuelve el s1stema·
Ce ma haz do rectas -secantes con vértice P(a, b) al del p no que pa 10 PQr 1 Pll"l1o p
LO ecu .. 16:1 de cu IQu cr recta de haz o CIJJe ón de h.:>z .,00
Y- b = m(x- a)
dood m es un p~~t,metro QUE' PUede tornar cua:q~ cr v.lfor real y repc; Cnt.l pene! '1te do cad<J recu
Par .. cada valor quo so as•gne a m se outendrá t.na recta concreta oel haz P<Jro que. el haz <liH~de completo .• se donara al'\ad1r In mera x = a p,uralela a c,e ov y Qll no esté lnCIUicln ' r , J1 1 1 , ,
flemplo. Determina el haz ele rectas cuyo vértice es e/ punto P(3, -1; .
Susmuycndo en la l_U;J(':IÓn Jul hill .-L Ob!mne {y ¡.. 1 ... m(x- 3) m E R¡ u rx- 3)
U" haz de recws socontos con vértiCe P también puecJe ven,r detorm n~do por dos roct Ax ~ By + C • O Y A'x + B'y + e• = o quo SC' corran en p En e.ste caso, la ecuac1ón del hllz es
Ax + By + C + A.(A'x + B'y + e') = O
donde A. es el parámetro Que Put..J~:: tomar cualqUier vatur r~..~~ pero quo en este caso no repre enta fa pendaento Además para que el haz quede completo se debe ar~td.r la recta A'x + B'y + C' = O
Haz de rectas paralelas
se ltamu haz de rectas paralelas a la recta r Ax + By + e = O ,¡ con,.!.mro de todJS las recttts del plano que son paralela., 3 r
La ecuactón de este hnz será
Ax +By+ K= O
dando K es un parámetro que puede tomar cualQUier valor reul
HAZ DE RECTAS SECANTtS
HAZ OE RECTAS PARALElAS
y
1. Calcula la ecuación general de la recta paralela e 2x - 3y + 5 • O y que pasa por el punto A(-2, 4)
Todas las rectas paralelas a 2x - 3y + 5 = O son de la forma 2x - 3y + k • O
Como la recta que se ptde debe pasar por ( -2. 4), se deberá cumplir que
2 • (-2) - 3 • 4 + k= O :::> k = 4 + 12 m 16 => la recta buscada es 2x - ~Y+ 16 • O
8. Halla el valor de k para que las rectas kx + 2y - 3 = O y x + 2Ky + 1 =O sean paralelas.
~. Halla la J>OS'cfón rolattva de las recta"
[x = 2 + e fx = 1 - s '· }y = 1 + 3r Y 5' lY = 2 + s
EJERCICIOS PROPUIITOI
k 2 Se deberá cumplu que T • 2k =k-' 1 => k = 1 y k ... -1
Pura averiguar su pos1c16n relativa Ge resuelve el Sistema
Al obtener soluciÓn ün!Co. las rectos son SCCílntes y se cortan en P(2, 1)
·---~--~
13. Estudia la posiCión relai1V41 de las rectos n) 2x -t 5y - S • O y 3x - 5y + 5 • O b) 3x + 5y 5 • o y 9x + 15y -t 5 • O
14. e !tufo 1 ocu c1ón de la recta paralela e la recta r 2A t y +- 1 • O y que pa${1 POr el punto de lnteJSecdón d IJS rectas s· x y + 5 • O y r .~ Y ~ 5 • O f
o
DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS
X
Distancia entre dos puntos La dtstanc~a entrt- los puntos P(p,, p.¡) '1 O(q1, a,) del plano cotnclde con el módulo del
vector PO Por lanto
La distancia entre Jos puntos P(p p) y O(q. q2) es
Dados un punto P y una recta r. se ent,ende por distancia del punto P a la recta r la m1n1ma d1stancta entre d1cho punto y cualQUier punto df> l • C(!Ct<J
Se obt1ene en la perpendtcutar trazélda desde el punto a la recta Se quiere calcular la diS
tancia del punto P(p, p2 ) a la rect? r Ax + Bv + C == O
p
El vector ñ = (A. B) es un vector perpendiCular a la recta. y Q(q,. q)) un punto cualqu1era
de la recta S1 se rea!iza el producto escalar de ñ y de OP y se toma su valor absoluto.
se obttene
lñ · OPI = lñl · !OPI · lcos a l = lñl · IOPI · d = lñl · d IOPI Entonces
jñ. OPI IA·(p,- q,) + B·(p?- q,)l d = '_, = , IA2 + B' =
1n1 V'
/Ap, + Bp2 - ( -C)I
1,/A2 + 82
IAPt + BP2 - (Aq, + Bq1) 1
'l/k+87
La distancia del punto P(p,, Pz) a la recta r: Ax + By + C = O es
jAp, + Bp2 + Cj d(P, r) = VA2 + B2
=
Ejemplo. Halla las distancias de los puntos P(-2, 4) y O( 2. 11) a la recta r: 3x - y + 5 = O.
13·(-2)-1·4+51 _l-6-4+51 5 V1o -Para P. es d(P. r} = V32 + (-lY - v1Q = v1o '~ ~u
- Para O. es d (O. r) = 13 . 2 - 1 . 11 + 51 = _o_ -:: O u y3) + (-1)' 00
Este resultado 1nd1ca que el punto O pertenece a la recta r
Distanc1a entro don rectas
Se en unu por dlallmc.ln ontre dos rectas a ra menor distancia quo so puotJe ~ener a 10 rr •n P' 111 • di coda un.1 úe ellas
oov .... mente. Cl lu' roc.!1D r)fl sccumes o cou1crdentes la d1stanc1a entro ollao oq o lnto resa pcr tanto. únrr_¿¡rnonlo ol coso de rectas paralelas
La distancia entro lo u roctM paralelas r Ax + 8}' + e = 0 y " Ax + Ay+ C' • 0 es
IAp, + BP: + e· 1 e· - e¡ d (r, .,) d (P. s) = \ A + 8 ' = Y A2 + 8 1
g¡endo P(p,. p7) un pur 110 c::unlqu1om de la recta r
EjemplO. Calcula /tJ dlsttmcln entre las rectas r
13 - 21
d(r s) = --;::;::::;::.::.;~ v'27 + < -1 y
-~ = v'5
2x - y + 3 = O, y s . 4x - 2y + 1 = O
,...
\" urudades de longrtud (u)
y
p
~ lj (
...... _, o
\ d( t, S) o d(r, s) d(P, s' d
~---------------------------------, 10. Comprueba que el triángulo
A(4, 4) 8(1 , -1) y C(6, 2) es ísósceles y calcula la ecuación de la altura sobre el lado desigual.
Al4, 4)
11. calcula el área del triángulo de vértices A( -3. 2) 8(1 -2) y C( -6, -3)
y 1 1
0-6, -3}
EJERCICIOS PROPUESTOS
Para demostrar que es Isósceles se comprueba que los Indos AB y CB trencn la m1sma longrtud.
La altura correspondrente al lado des1gua1 es la recta perpendiCUI<~r al Indo AC y que pasa por B. Por tanto Ae es su vector normal.
ñ = .4C = (6 - 4. 2 4 > - (2. - 2}
La ecuación de la altura es:
2(x - 1) - 2 (y + 1) O -~ x - y - 2 O
. . base · altura ~ · AH El area del tnangulo es A = -- 2 - • -
2 -
BC :e d(B. C) = V(-6 - 1)2 + ( 3 + 2)1 .. Y49 + 1 - \!5o u
La distancra AH es la d1stanc1a de A a la recta BC. la ecuación de la recta BC os.
. ~ ae S -- = - ·~ X - 1 {8(1 - 2) X - 1 Y t 2 BC = (-7, -1) -7 1 ly + 14 ~X ly 15 • 0
v5o . 32 v'5o 32
Po1 tanto: A = ---2-"'-- = 2 • 16 unidades de superfiCie (u').
15. Comprueba s1 los s•gu1entos triúngulos son equiláteros. 16. a} Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A { -2. 3) y 8(2. 2). Isósceles o escalenos
a) A(-2, 1). 8(0, 3) y C(3. 7)
b) (..!. ..!..) (3 1.) ( 1 A 2' 2 . B i· 2 y C 1, ~2 v':i)
b) Halla la di6tanc1a del punto C(lO, O) a la recte que pasa por A y 8
e) ¿Cuál es la pOSICIÓn reiEJl iVél de A, 8 y C?
;
AN<:ULO HE DOS lU~CTAS
IJIRCICIOI RIIUflTOI
12. Cnlculn ol ilngulo A dfJI trll\ng~1lo do v~rtlcoo A(2, 1 ), 8(4, - 5) y C(O, - 3)
13, Cnlc ultl la r«.~chl por¡11mdlculur n f X 1 Y J 0 y tlUO ¡>l\'JII pot el runto fl( J. 3)
Ángulo do dos roctas como se mutJ~tra e.n "' f¡gura cto la tZQU crda dOS rectas secantes dMden el plano en cuatro tlngutos JgunlC1' dos o dos LOs ángulos ct y ~ son suplementDnos entre si
So Uarníl óngulo formndo por dos rectas al menor de los ángu'os que de1erm1nan
u tmgulo quo tortllr)n dos rect:~s se p1.1ode dctermtnar de dos formas
Ct\lculo o portlr do lo!) vectores directores o los normales
·lun lo ,,:, v ... te.._ I0~;1urv;, de cllrc:; ....... .J 1 e , ) s r:..~sr;t.ctrvamente se cumple que·
J- -, - --:- Ut • Us COS l~ • COS(f S) • jCOS (Ü,' u,)f •o.1 ¡-¡ IV, • <Js
SIr h'-t By+ C • O y .s A',·+B'y+C' • O. es fi, = (-8, A) Y Üs = ( - 8', A' )
~~ mtsmo cá!cuto os vñl1do st se IJIItzan dos vectores normales a las rectas
Cálculo n partir do las pendientes
St r y,. rm +by" y • m'x -t b' sus penCltcntes son m= rg a y m' = rg a"
l;l éngl.llo Qu form<ln ambG rectas será o bien n = o - o o blt>'"l a 1 OC!'- a + a En ambos CclSOS lg ,, e pued(l oblú"Cr como
RectJs perpendiculares
Do, rectus S(tll porpondlculores st forman un ángulo de 90° Sus pend•entes son tnvcr"o~ y oput"l ·r
L " r <:m r Y , CiC 1 1 guro son perpendiCulares ObseNat1do 'os ángulos que se forman wO opiO IJ QUO m c:s tg (l (TI = lg (90 + <'í)
Por tonto tg (90 ~ ··) son (90 + n) • cos n l
m .. ... -c.-otg ('( = coc (90 + n) -sen e, - - ~ --tg a m,
Ali (2. 6)• (1 . 3)} IIC ( 2, 4) - (1 ,2) ~COSA
l n ecunrtón u~ptlcl\n de r es Y • - x + 3 y, por tanto, su pendiente vale m, = -1
lt1 pencltentü de lodos lns rectos perpondtculares a r valdrá m "" ,
l ll ecu K Ión do In recta bu senda os v - 3 ... 1 (x + 3) ~ x - y + 6 = o
!JIRCICIOI PROPUESTOS
t7. Ct,lculo (11 ónuuto Qlu torm.m lll$ roctns· &) 1 ~~ 4y • O y ~ 2x f- 2y ·1 '3 • o
b) r y x !l y s y • 2x -+ 2
18. Cntculn tos ángulos del tnéngulo de vérhces A(4, O). B(- 1, 6) Y C(- 6, O) e 1ndlca que t1po de tnéngulo es en función de sus ángulos.
PUNTOS Y RECTAS 5 1 M É1'RH.:os
Simetría central
uado u1 oJnto 11 1 M IJ¡r ld0 contro de In slmotrlo los J)Lmtos 1\ y A' con mót11ro en la simetrla central do contro M c..ut1ncJo M <•; ol punto modtu clol nogmnoto (JI extr 'mo ~ Y A'
La d1stanc1a entro los puntos M y A es 1gua1 a In cJtstanctn flntro los puntos M y A'
s1metría axial
Dada t 1 ·ecta 1 r llarr 1d 1 eje do lo slmetrla 11 >s puntos A y A' son .,u-n~triCO:l , n 10 simetria axial de eje r Ct ando t •1 • gmt~nto \.4.' ( s pcrpon<ltC\IIur 11 r y orlrJrnñ:; or rJunto de conf je este .E;qmcnto con el OJO os su ~)unto modto M
La d1stanc1a del punto A al OJO comcKIO con lo dtstanc1o dol punto A' ol o¡o
t..a J¡gura s•métnca de una recta cualqUior,a del plano. tnnto on uno Slmetrfo contr 11 con o en 1./la s1metria axtal. es otra recto Para lldllar esm rectn S1mótncn os suhcfonto con cutcu lar tos puntos s1métncos a dos puntos do la racta de partKta
EJERCICIOS RESUELTOS:...__. _____ _
y
. A
14 Calcula el punto simétrico de A(3, 2) respecto de la
Se trata da una ~lrnotrln oxlíll el<> OjCJ r St por A.
15. Calcula la recta $lmétrlca de r 2x y = O respecto de la simetría central con centro M(1, 2).
X
S • {A(3, 2) ñ(2. - 1)
x - 3 y - 2 - • ~ ~ - x i 3 • ?.y 11 o S X 1 2y 2 - 1 1 "' o
So halla d punto M lnter5ccción do r y s quo scró ul pu11tO rr11JdiO <lt 1 (Jrn '"'o AN,
{2X - Y + 1 • O { '2x - y 1 1 • O 5y 1 H> • O e;) V"" 3, X M( 1, 3) x + 2y - 7 • o d - 2x - 1\y 1· t 4 • O d
¡ A(3. 2) M(1, 3) A'(a. t>)
3+n 1'"""CI ~ ~- - 1. • a ,, A'( 1, •1)
se tomon dos puntos P y o cualesqlllora clo r y so corcul(ut u6 81111Óhlco JI' y 0' respecto de M tonif·nc1o on cuento que M soró ol punto rumllo (lt IO!l oomon\Oll f'J(J ' y w La roct.l qU(' pasa por p. y por o· os la ructu l)llliiJiriGll l>u oodo
¡P(O, O) O r 'l P(O, O) {¡ r M(1, · 2) ::::> -f-• 1 t=> u• 2,
P' (a, b)
¡0(1 , 2) 1 +D 0(1, 2) r M(l, - 2) t=> ~- 1
O' (11 b)
Ln recto P'O' pusn por P'(2, ")y llene vwctor d1roc tor
pro:' . (1 - 2, - 6 + 4) • (- 1, - 2)
x - 2 Y-1 4 214 y 4 P'O' •-• o - x • - 1 -2
b O'(t, O)
X
EJERCICIOS PROPUeSTOS
19. Calcula el stmétnco da P( -2, 3) rospecto dOI punto M(l -4)
21. Clllculu 1o rocto sirnótrtClt d 1 010 el Of(lonnd 8 ttJilf)t>C.to dO y • X ·1 1
20. Calcula el sirnétrtco de P(5, - 1) ror;pocto de In lllCiu
rx-y+3=0
22. Hnlln ol oxtr01110 B <lnl IHl{lrHOnkl iUf t!IOIItlo A(?., 1) V llt rnodlntuz dol t~c,¡monto o • r: x 1 2y O O
LlG \RES GEOMÉTRICOS. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ
~ Pu#g Adam (t900-1969)
lklo s lás ll'IIX'It.tt.it\5
n~~ espa/loles del ~lo lfJí..
T~ en didk:lca de s ma!i'mét.>..".l..~ y es~biÓ numerosas ovN-caQOne.S en::e las que déstaca su -Geomettn mét!ica".
y
Lugar geométrico
.. ' Se Uama lugar geometrico del plano -'~ conJunto de todos lo~ pun•CN de. P'áOO a
Fbr e¡emplo. una recta es e rugar geométnCO del plano formado por Jos P:AI!OS qoo eza:¡
arneaefoS con un punto dado y con una dlrecCJón dada. La ecuaC!6n de \JO lugar geométtJC.O es una relaoón entre laS vanables /e y q ~ 0~
- Las coordenadas de cualquier punto P (x v) del JUgar geornéwco sa· '"!a =en ra
ecuactón - St las coordenadas de un punto cumplen la ecuact6n. este Pertenece al f,_;r•af
geométnco
Med1atnz de un segmento
Dado un segmento de extrefl'lOS A y 8 se denomtna med1atnz r't1 diCho Gegm€rno a '" recta r q0e es pe<pend1cular a d cho segmento por su p¡.;r o rr" 1 o M
TodOs los puntos de la medatlll verifJCaO que su ólStaflO"~ ;:~ A ':Dincide con SIJ (f:<;anoa a B
Sea P un punto cua1qUlera de la medJatnz. r Y!
los tnángu!os APM y BPM verfrcar que • Tienen un ángulo común. PMA == PMB = 900
• Tienen un 1ado comun e PM • Tienen dos lados 1guales MA =- MB o
Al rener un ~ngu o y dos !ados cotncrdentes. los r~áng .. O<> son •guales y, por tanto
PA = PB
X
En vtsta de esta proptedad se puede defln•r la med1awz de un segmento corr.o ~aar geométriCO
La medtatnz de un segmento de extremos A y 8 es el lugar geométrico ne loS putr.os
del n ., •t') r:¡ue equ1d stan de A y de 8
Este lugar co nc de con la perpendtcular al segmento por S«.. punto rned10
Bisectriz de dos rectas
Dacas dos ree!as r y s se denom,.,r,.., b1sectnces de dtct>.as rectas a las rectaS b V b. que dMden a los ángu'os determma J· v · r , s en dos partes rguales
Las rectas b, y b~ son perpendiCUlares ya que
; +%=~== 'f ~900 Todos los puntos de la btsectnz verd1can que su dtstancJa ~ r cotnctde con su dtstarlCJ.3 a Sea P un punto cua\qutera de b, Los triángulos OOP '1 OF?P son rectángulOs en O Y €11' fl respectivamente, t'eneo la hipotenusa común y otro angu10 '! · tmbrén comun Por tan•.o.
son 1guales y en consecuencra PO = PR 2
Esta proptedad perrntte deflnlf la bJsecwz de dos rectas como lugar geométnco
la5 b1sectnces de dos rectas r Y s constnuyen el Jugar geometnco de tos puntos a .. P'"'"' Oue r.qwdtstan de r y de S
Cálculo de la mediatnz de un segmento , __ g1, u .• ntv de extrer1o, ,.,._a, a2) y B(b, b
2¡
,J\1 .... -
¡>ara calcu'ar la med1atnz del segmento AB
1 se calcula el pLnto med10 M del segmento AB.
2. se calcula la perpendicular a la recta AB y que pasa por M
Existe ot•o método para calcular la med1atnz del segmento A8 pan1e'1do de la def•n1C16n corno lugar geométnco es el con¡unto de puntos P (x, y) que venhcan
23. Dadas las rectas r. x -- 3y + 4 = O y s· x + y - O, calcula sus b1sectnces y comprueba que
24. Dado el tnángulo de vérttces A(5. 1). 8(3. 7) y C(-2, 3):
a) Calcula el cncuncentro y el rad1o de \a c1rcunferencía c1rcunscnta a) Se cortan en el punto de mtersecc16n de r y s
b) Son perpendiculares. b) Calcula el incentro y el radio de la circunferencia 1nscnta
l
l 1¡
1
EJERCICIOS ~RESUEUOS--+------------------
Poatctón relativa de rectas
Eatudla In pastelón relativa de las slgul&ntes. rectos, segun los diferentes valoros del parámetro m r· mx- (2m - 2)y + 1 = O
s (8m-3)x+(2 - 10m)y-1 =O
Ángulo de doa rectas
Dada la recta r 2x + 4y = 5, halla la ecuación do la recta s, perpendicular a r qua pasa por el punto P(1, -2)
¿Qué ónoulo forma la recta s con la recta t y= x + 5?
Puntot simétricos
• Un rayo parte del punto P(-1, 4) en dirección al espejo determmado por la recta
, . 'J( + 2y- 2 =o SI el rayo reflejado se observa en et punto 0(3, 2), calcula en qué punto del espejo incide
el rayo
r :JPt2y- 2=0
Las rectas r y s serán paralelas s1 m 2-2m m
""'s-m---3 = 2 - 10m ~ Bm - 3 1 -m
= 1 - 5m
Operando se obMne la sigUiente 1gualdad
m - 5rrr = am - 3 - anr + 3m => 3nr - 1 Om + 3 = o
Se resuelve la ecuac16n de segundo grado·
1 o = v' 1 00 - 36 1 o :t 8 m = 6
= - 6- ==> m, = 3,
- Para m = '3 las rectas son paralelas
r 3x 4y + 1 = o y s · 21 x - 28y - 1 = O
- Para m - ~ las rectas son c01nc1dentes.
1 4 - 1 4 r 3x + '3Y + 1 "' O y s 3x - 3Y - 1 = O
1 - Para m -¡: 3 y m :f. 3, las rectas son secantes.
Como ñ, = (2, 4), un vector perpendicular a él es. por e¡emplo, ñs = ( - 4, 2) - ( - 2, 1 ), por lo que la recta buscada es de la forma - 2x + Y + e = O.
Al pasar por P(\, -2), se debe cumplir. -2 · 1 + 1 • ( -2) + e = O=> e = 4
La ecuacrón general de la recta s ped1da es - 2x + y + 4 = O
La pendiente de la recta t es m = 1 y la de s es m' ~ 2, as1 el ángulo oc que
forman ambas rec\as vrene dado por
tga= = -- =- =-=0333 1
m - m' l ! 1 - 2 1 ~- 1 j 1 1 + mm' 1 + 1 2 3 3 '
Con lo que resulta a = 18.435° = 18Q 26' 6".
Los ángulos que forman los rayos 1ne1dente y refle¡ado con la recta r deben ser 1guales.
Sr O' es el 51métrrco de O respecto de r, los tnángulos OTM y O' TM son rguales y.
por tanto, sus ángulos OMT y éfMf son 1guales Así resul1a que para calcular M es suf1crente con hallar el punto O' y la 1nterseccrón
de r con PO'. • Recta 00': es la perpendrcutar a r por O
2x - y + e = O ~ 6 - 2 + e == o ~ e = -4 => 00' = 2x - y - 4 = O
• Punto T. Intersección de r y oo·
{X + 2Y - 2 = O ::..) { 2x - 4y .,. 4 = O ~ y = O, X == 2 ~ T(2, O) 2x - y - 4 == O 2x - y - 4 = O
• Punto O'(a, b) Se uhhza que Tes el punto medio de 00'
a+3 b+2 -r = 2 ~a= 1, -2
- =O~ b = -2 => 0'(1, -2)
• Recta PO'· El vector drrector es PO' = {2, -6)- (1, -3)
b) Las med1anas AP. BM y CN ¡on las rectas que pasan por un vért1ce y por el punto med1o del lado opuesto. El bancentro G es el punto donde se cortan las tres med1anas
AP . {A(?. 2) = ! - 3 = y - 2 ~ x - 3 = y - 2 ~ AP · ( · 3, -3),.. (1, 1) 1 1
= AP • x - y - 1 = O
(8(1, -2)
BM: BM = (0, 3) = BM • X e: 1
{C(-1. O)
CN: CÑ ., (3, O) ~ CN • y= O
e) Las alturas son las rectas que pasan por un vért1ce y son perpendiculares al iado opuesto El ortocentro. H. es el punto donde se cortan las tres alturas
hro: x - y+ k = O Pasa por A (3. 2) ~ 3 - 2 + k = O = k = -1 = = hac X- y- 1 = O
h,4C 2x +y+ k= O, Pasa por 8(1, -2) ::) 2- 2 +k::: O =* k= O ~
~ h~C: 2x+ y= O
hAB: x + 2y +k= O. Pasa por C( -1, O) = - 1 +O+ k= o ~ k= 1 ~
~ hAB: X + 2y + 1 :: 0
r-y-1=0 2 H: ~ 3y + 2 = O ~ y = --
X + ·2y + 1 • 0 3' X=_!_~ H = (-!- .::1) 3 3' 3
d) Las mediatrices de los lados del tnángulo se cortan en el c~rcuncentro R. Msc · x-y+ k= O. Pasa por P(O, - 1) ::) 1 + k= O ~ k= - 1 ~
= MIIC X - y - 1 = o M)C 2x+ y+ k=O. Pasa por M(1, 1)::) 2 + 1 +k=O =k= -3 =>
::) MltC. 2x+ y- 3 =O
Mw: x + 2y +k.= O. Pasa por N(2, O) ::) 2 +O+ k= o => k= -2 = ::) MAII: X + 2y- 2 = o
R. {X- y- 1 = O ~ 3y _ 1 = O= y :::.l. 4 R (4 1) ' X + 2y - 2 ::: 0 3' X ::: 3 = = J' J
-~c-., w:::cf"" V e<-"" •J o.l
,.. 1 1
Ci(V Ci\.{ 1C/ "'\
~O..llí\.~l \.-l (~ x:: ~1 t t · ~1
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A , •
~ e..J.'""h ~ ~------\f-r Gx.ve..c/{""'1
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J. ~5 ~ -e t'"' "'"' ~> S Y
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/:¡; """x+\t)l -E e V ~e:: "1 ~ - O¡ lV'\ 'fy.,,
- -----------------·--- --
-
- ------
'f\ e 0-1l l o..J)
6 (b", bJ)
b" _______ ____
----1 d (A,IJ) = l (i::>x -"-< )2 + ( .!>::¡ -~ )z
f\ ( C\.; . QJ) -------·--}-\ rr , ,';""'~' -J ,______--- B \ ,..-------=-- \ A .. o..~ ·1- . a a + e \ -J_(A"J~ ·~ --' y Y-\<l....~- Bz.
1.- Halla el ángulo que forman las rectas: r: x + 2y - 3 = 0 y s: 3x - 5y + 4 = 0
2.- De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son perpendiculares o cuáles se cortan en un punto sin ser perpendiculares, hallando las coordenadas del punto de intersección en su caso:
a) r: 2x + 3y = 0 y s: 4x + 6y + 8 = 0 b) r: x – y = 0 y s: 2x + y – 1 = 0 c) r: 3x + 2y – 5 = 0 y s: 2x – 3y + 4 = 0
3.- Halla la ecuación de la recta perpendicular a r: x – 2y + 1 = 0 trazada desde el punto de intersección de las rectas: s: 3x – y – 2 = 0 y t: x + y + 2 = 0
4.- Dadas las rectas r: 3x + y = 0 y s: 3x + y + k = 0, determina el valor de k para que la distancia entre ellas sea de 2 unidades.
5.- Sean los puntos A(1,0); B(0,1); C(3,3); D(4,2). Demuestra que es un paralelogramo y calcula su área.
6.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0), y el ángulo que forma dicha mediatriz con el eje OX.
7.- Halla un punto de la recta x – 5y + 4 = 0 que equidista de los puntos M(1,4) y N(-1,-2).
8.- Halla el área del triángulo determinado por el punto C(1,-3) y por los puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa por A(-1,3) y B(1,4).
9.- Los puntos A(2,-3), B(-2,-2) y C(0,3) son los vértices de un triángulo. Calcula las siguientes ecuaciones:
a) De la mediana correspondiente al vértice A.b) De la altura correspondiente al vértice B.c) De la mediatriz correspondiente al lado AB
10.- Halla el punto simétrico de A(-1,2) respecto de la recta 3x – 2y + 5 = 0
11.- Halla las ecuaciones punto-pendiente de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas: : 4 3 0r x y+ = y : 3 4 21 0s x y− + = .
12.- Halla el ortocentro del triángulo determinado por el punto C(-2,-1) y por los puntos de
intersección con los ejes coordenados de la recta r: 4 2
5 5
x t
y t
= + = − −
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MATEMÁTICAS I – EJERCICIOS DE RECTAS EN EL PLANO – Hoja 2
1.-Halla el valor de k para que sean paralelas las rectas: ( ): 2 2 2 0r k x y k− − + = y
( ) ( ): 1 1 17 0s k x k y− + + − = . Solución: 3
12
k k= = − .
2.- Dadas las rectas ( ): 1 2 2 0r k x y k− − + = y ( ) 2: 3 4 0s k x y k− + + = , encuentra los
valores de k para que sean perpendiculares. Solución: 1
23
k k= =
3.- Un rayo de luz r, que pasa por el punto A(1, 2), incide sobre el eje de abscisas y se refleja formando con él un ángulo de 30º. Halla las ecuaciones de los rayos incidente y reflejado.
Solución: Rayo incidente: 3 6 3
3 3y x
+= − + . Rayo reflejado: 3 6 3
3 3y x
+= −
4.- Dado el triángulo de vértices A(1, 3); B(-1, 2) y C(0, -3).
a) Calcula las coordenadas del baricentro. Solución: 2
0,3
.
b) Calcula las coordenadas del ortocentro. Solución: 29 25,
11 11 −
.
c) Calcula las coordenadas del circuncentro. Solución:29 3,
22 22 −
.
d) Comprueba que los tres puntos están alineados (recta de Euler).
5.- Dada la recta : 4 2 0r x y− + = y : 2 3 4s x y− = − :a) Calcula su punto de corte. Solución: (-2, 0)b) Demuestra que el punto P(1, 2) pertenece a s y calcula su simétrico respecto de la recta r.
Solución: 27 6,
17 17 −
.
c) Calcula la ecuación de la recta simétrica de s respecto de la recta r.Solución: 6 61 12 0x y+ + = .
6.- Calcula el perímetro y el área del triángulo de vértices A(-2, 2); B(5, -1) y C(3, 4)
Solución: Perímetro= 58 2 29 u+ Área = 229
2u
7.- Halla el extremo B del segmento AB siendo A(2, 1) y la mediatriz del segmento es
: 2 9 0r x y+ − = . Solución: B(4, 5).
8.-Calcula los puntos de la recta : 3 0r x y+ − = que están a distancia 1 del punto P(1, 1)Solución: A(2, 1) y B(1, 2).
9.- Halla las coordenadas de los puntos de la recta : 2 2 0r x y+ − = y que distan 2 unidades
de la recta : 4 3 13 0s x y− + = .
Solución: 1(0,1)P ; 2
40 31,
11 11P −
10.- Calcula el valor de k para que la recta x y k+ = forme con los ejes coordenados un triángulo de 5 unidades cuadradas de área.
Solución: 10k = ±
11.- Calcula el valor de k para que el triángulo de vértices A(4, 3); B(6, -3) y C(6, k) tenga por área 20 unidades cuadradas.Solución: 17; 23k k= = −
.t_ \o\C.\.~k.' e' \.:10..\.c• 0::! U. 'tC-'o.. ~ ':>.!!<:><.:. r:>"-o.ec~ (:b.s ~~·. " · l 2..l;c. - z..) ·,.;. - '--6 ...- 2!A ~e:;, ~ -s. · C.~--·') x .... (.u...'*~ ) '-0 - n :::a .l~ " s_;_ ~ ~~·