SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE ANÁLISE COMMBINATÓRIA ACYLENA COELHO COSTA 1 JORGE FELIPE GONÇALVES DA SILVA 2 TATIANA LEÃO VALDARES CARDOSO 3 RESUMO A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes agrupamentos formados sob certas condições, a mesma permite também que se realize contagem de elementos de um conjunto, sem a necessidade de enumerá-los, e também contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos. Porém, as pesquisas realizadas revelam que os alunos enfrentam muitas dificuldades na aprendizagem desse conteúdo, um dos motivos é que os mesmos apenas memorizam fórmulas, que não possuem significados para eles. Assim o objetivo desse minicurso é apresentar uma sequência de atividades voltadas para o ensino de tópicos de análise combinatória, a saber princípio fundamental da contagem (PFC), permutação, arranjo e combinação simples. Este minicurso apresentará, para discentes e docentes interessados no ensino e aprendizagem desse 1 Universidade do Estado do Pará, Doutora em Educação Matemática, [email protected]2 Universidade do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática, [email protected]3 Universidade do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática, [email protected]XXII Semana Acadêmica do CCSE/UEPA. “O que será o amanhã: escola, universidade e cidadania”. Belém, v.xx, n.xx, p. xxx – xxx, mês/mês. 2017 http://ccse.uepa.br/ccse /anais e-ISSN: 2237-9320
17
Embed
Uepa · Web viewPois, de acordo com Grymuza e Rêgo (2014), para Leontiev, o desenvolvimento do homem se dá pela realização de atividades e, portanto, a aprendizagem acontece por
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE ANÁLISE
COMMBINATÓRIA
ACYLENA COELHO COSTA1
JORGE FELIPE GONÇALVES DA SILVA2
TATIANA LEÃO VALDARES CARDOSO3
RESUMO
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes agrupamentos formados sob certas condições, a mesma permite também que se realize contagem de elementos de um conjunto, sem a necessidade de enumerá-los, e também contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos. Porém, as pesquisas realizadas revelam que os alunos enfrentam muitas dificuldades na aprendizagem desse conteúdo, um dos motivos é que os mesmos apenas memorizam fórmulas, que não possuem significados para eles. Assim o objetivo desse minicurso é apresentar uma sequência de atividades voltadas para o ensino de tópicos de análise combinatória, a saber princípio fundamental da contagem (PFC), permutação, arranjo e combinação simples. Este minicurso apresentará, para discentes e docentes interessados no ensino e aprendizagem desse conteúdo, cinco atividades que poderão ser desenvolvidas com alunos do segundo ano do ensino médio, e para alunos do ensino fundamental se forem feitas adaptações para a série destinada. O minicurso acontecerá em três encontros, sendo cada um com duas horas de duração. Para o desenvolvimento das atividades serão necessários materiais como: Mapa, folha de papel, caneta, cadeiras numeradas, Camisas não-numeradas, Papel cartão, canetas coloridas e tesoura. Entendemos que apresentar o conteúdo através de situações-problema torna o ensino mais fácil e agradável. A demonstração de fórmulas através da manipulação de situações também é um fator positivo, uma vez que o aluno conhece a origem dos algoritmos necessários para a resolução de problemas. Portanto esperamos com esse minicurso contribuir para o ensino aprendizagem do conteúdo de Análise Combinatória.
1Universidade do Estado do Pará, Doutora em Educação Matemática, [email protected] 2Universidade do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática,
[email protected] do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática,
XXII Semana Acadêmica do CCSE/UEPA. “O que será o amanhã: escola, universidade e cidadania”. Belém, v.xx, n.xx, p. xxx – xxx, mês/mês. 2017http://ccse.uepa.br/ccse /anais
e-ISSN: 2237-9320
Palavras-chave: Educação Matemática; Sequência de Atividades; Análise Combinatória.
INTRODUÇÃO
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de
elementos de um conjunto, sendo estes agrupamentos formados sob certas condições. De
acordo com Hazzan, “tais métodos podem parecer desnecessários quando trabalhamos com
problemas que envolvem número de elementos pequenos” (2010, p. 1). Porém, se o número
de elementos envolvidos for elevado, faz-se necessária a utilização de métodos especiais.
Em pesquisa realizada anteriormente, verificamos que os alunos possuem
dificuldades em questões de permutação, arranjo e combinação. Por meio de um teste
aplicado, percebemos que parte das resoluções estava incorreta por apresentar troca de técnica
para resolução das questões. Outro encontrado foi o de distorção em fórmulas. Autores como
Contessa et al. (2014), Pessoa (2009) e Teixeira et al. (2011), em seus trabalhos, observaram
dificuldades dos alunos em princípio multiplicativo e raciocínio combinatório.
A partir de estudos feitos por Vygotsky na década de 1930 em Moscou,
Leontiev desenvolveu a Teoria das Atividades, para buscar um caminho para a internalização
de conceitos através de atividades, pois acredita que o desenvolvimento do homem decorre
das atividades que ele realiza. O autor entende que o homem é um ser social e que, fora da
interação, nunca poderá desenvolver aquelas qualidades que surgirão como resultado de seu
desenvolvimento histórico e da humanidade. (GRYMUZA e RÊGO, 2014)
Em suma, o objetivo desse minicurso é apresentar uma sequência de atividades
voltadas para o ensino de tópicos de análise combinatória, a saber, Princípio Fundamental da
Contagem, permutação, arranjo e combinação simples. Pois, de acordo com Grymuza e Rêgo
(2014), para Leontiev, o desenvolvimento do homem se dá pela realização de atividades e,
portanto, a aprendizagem acontece por meio de atividades realizadas entre os indivíduos num
meio e entre o indivíduo e o objeto a ser aprendido. Cada atividade possui um objetivo, e é
este que impulsiona a ação do aluno, de forma que ele seja o responsável por sua
aprendizagem.
1. Metodologia
Neste minicurso nos propomos a apresentar uma sequência de atividades tomando
como base os estudos de Farias (2013) e Malagutti e Vazquez (2009), sobre tópicos de
Análise Combinatória. Afim de, contribuir para o ensino- aprendizagem dos alunos.
Produzimos uma sequência com cinco atividades, com uso de materiais concretos tais como
cartolina, papel A4, lápis, canetas coloridas e tesoura e objetos da própria sala de aula como
cadeiras e camisas.
As atividades abordam os conteúdos de Princípio Fundamental da Contagem (PFC),
Arranjo, Combinação e Permutação, partindo do conceito de PFC para ensinar os conceitos
dos demais conteúdos. As atividades são destinadas para alunos do 2° ano do Ensino Médio,
porém podem ser aplicadas com alunos do ensino fundamental, se for adaptada a série. O
minicurso acontecerá em três encontros, sendo cada um com duas horas de duração. As
Sem letras repetidas, o número de anagramas seria P3 = 6, porém (1) = (2), (3) = (4) e
(5) = (6). Logo, não temos 6, mas sim 3 anagramas.
Se temos um conjunto M com n elementos onde duas letras são iguais entre si
(“ANA”, por exemplo), então o número de permutações é Pn2 = n!2! .
Se temos um conjunto M com n elementos onde três letras são iguais entre si
(“CABANA”, por exemplo), então o número de permutações é Pn3 = n !3! .
Se temos um conjunto M com n elementos onde duas letras são iguais entre si e
outras três letras são iguais entre si (“BANANA”, por exemplo), então o número de
permutações é Pn2 ,3 =
n!2!3 ! .
Termo geral: se temos um conjunto M com n elementos, onde q elementos são iguais
entre si, outros r elementos são iguais entre si, outros t elementos são iguais entre si, etc.,
então, o número de permutações é dado pela fórmula:
Pnq , r ,…, t =
n !q !r !…t !
Atividade 4- Formando equipes.
Objetivo: Apresentar ao aluno o conceito de combinação e diferencia-lo de arranjo
Material: Camisas não-numeradas; folha de papel e caneta.
Conceitos envolvidos: Combinação e conjuntos.
Procedimentos: Os alunos serão divididos em grupos de 8. O professor ordenará,
então, que sejam formadas equipes de futebol a partir desses grupos. Inicialmente, cada grupo
receberá 8 camisas não-numeradas. O professor perguntará quantas equipes podem ser
formadas utilizando as camisas recebidas? Em seguida, o professor recolherá uma camisa de
cada grupo. Os alunos, que continuarão em grupos de 8 pessoas, terão que calcular quantas
possibilidades há de se formar um time com 7 jogadores a partir do grupo. Cada grupo deverá
anotas suas respostas.
A cada contagem, o professor recolherá uma camisa e o processo será repetido até
que os alunos tenham que calcular quantos times de 3 atletas podem ser formados em cada
grupo de 8. Ao final da atividade, o professor informará aos alunos que as camisas não são
numeradas para induzir o aluno à ideia de que a ordem não importa, mas sim o fato de o aluno
estar ou não na equipe. Em seguida, cada grupo apresentará as respostas que encontrou para
cada caso e as mesmas serão comparadas.
Formalizando: Combinação
Imaginemos a seguinte situação: Alex vai a um supermercado para comprar
refrigerantes. No supermercado há refrigerantes de 5 sabores diferentes: laranja, uva, guaraná,
limão e cola. Dos quais irá levar apenas 3 refrigerantes e que devem ser de sabores distintos,
de quantas formas ele pode escolher quais refrigerantes levar?
Consideremos A o conjunto dos sabores de refrigerantes disponíveis. Vamos
verificar os conjuntos de 3 elementos que podemos formar. Como se trata de, a ordem dos
elementos não importa.
Inicialmente, calculemos o número de possibilidades como se trabalhássemos
com arranjo. Há 5 possibilidades para o primeiro elemento, 4 para o segundo e outras 3 para o
terceiro. Logo, podemos formar 3! = 6 sequências diferentes com os três elementos
escolhidos. Entretanto, cada 6 sequências formadas a partir de cada trio de elementos será só
uma, pois, como já foi destacado, a ordem não importa. Logo, cada arranjo será dividido pelo
fatorial do número de elementos escolhidos.
Definição: seja M um conjunto de n elementos. Chamamos de combinação de
n elementos tomados p a p a qualquer conjunto de p elementos (n ≥ p) formado por elementos
de M, todos distintos. Calculamos o número de combinação de n elementos selecionando p
elementos através da seguinte fórmula:
Cn,p = n !
p ! (n−p ) !
Atividade 5- Criando Jogos
Objetivo: identificar a base de formação das peças de jogos.
Material: Papel cartão, canetas coloridas e tesoura.
Conceitos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem, Arranjo e Combinação.
Procedimentos: Os alunos serão divididos em 3 grupos. O primeiro deverá
desenvolver um baralho, o segundo irá criar um dominó com pedras de apenas uma cor e o
terceiro ficará responsável por um dominó com duas cores diferentes. As peças dos jogos
serão feitas de papel cartão. As canetas coloridas servirão para pintar pedras de dominós de
duas cores.
A equipe responsável pelo baralho deverá elaborar um baralho diferente do
tradicional, porém utilizando o mesmo princípio de formação. Nele, vamos considerar as
letras A, B, C, D, E e F, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e os naipes alfa, delta, ômega, pi e gama.
Assim como no baralho tradicional, as cartas terão número ou letra e naipe. As cartas devem
ser desenhadas em uma folha de papel e os alunos deverão informar quantas cartas distintas
foram produzidas e o conceito matemático utilizado para o cálculo.
Outas duas equipes formarão dominós nos moldes do tradicional, porém a equipe do
dominó de pedras de cor única irá considerar os números de 0 a 4 e a equipe do dominó de
pedras de duas cores formará peças com os números de 5 a 8. As pedras devem ser
desenhadas em uma folha de papel e, deverão informar quantas cartas distintas foram
produzidas e o conceito matemático utilizado para o cálculo. As equipes terão uma hora para
produzir os jogos. Cada uma deverá apresentar seus resultados. Após as apresentações, o
professor mostrará as leis de formação das peças dos jogos tradicionais e apontará diferenças
para os genéricos.
Sejam A o conjunto das letras e números das cartas de um baralho e B o conjunto dos
naipes. A possui 13 elementos e B tem 4. Cada carta possui um elemento de cada conjunto, o
que caracteriza PFC. São 13 elementos em A e 4 em B; portanto, um baralho possui 52 cartas
distintas (13 opções de elementos em A e 4 em B: 13 . 4 = 52). No caso do baralho genérico
produzido, são 12 opções de letras e números e 5 de naipes. Portanto, o baralho genérico
criado possui 60 cartas diferentes.
Seja M o conjunto de números representados em uma pedra de dominó. Como M tem
7 elementos e devemos selecionar 2 diferentes, exceto nos “carrões”, e a ordem na qual os
elementos estão dispostos não importa, as pedras com duas representações de números
distintos do dominó são criadas a partir de combinações de 7 elementos, tomados 2 a 2. Os
“carrões” fogem à regra, pois neles há repetição de números. Um dominó comum tem,
portanto, 28 pedras (C7,2, igual a 21, somada aos 7 “carrões”).
O dominó de pedras de cor única tem representações de 5 números distintos (0, 1, 2,
3 e 4). Como a pedra tem uma cor só, a ordem não importa. Logo, temos os carrões dos 5
números mais pedras com dois números diferentes (C5,2 = 10). São, portanto, 15 peças.
O dominó de pedras de duas cores tem representações de 4 números distintos (5, 6, 7
e 8). Como a pedra tem duas cores, a ordem importa. Logo, temos os 4 carrões somados às
pedras de dois números distintos (A4,2 = 12). Logo, temos 16 peças.
3. Considerações finais
Entendemos que apresentar o conteúdo através de situações-problema torna o
ensino mais fácil e agradável. Devido a isso, muitos alunos podem enxergar de uma forma
diferente a Matemática e, ao invés de tanto detestá-la, gostar de aprender. A demonstração de
fórmulas através da manipulação de situações também é um fator positivo, uma vez que o
aluno conhece a origem dos algoritmos necessários para a resolução de problemas.
Outro lado positivo de trabalhar com sequência de atividades é a ação do aluno.
Pois, ele participa ativamente e constrói a sua própria forma de pensar, tornando-se um ser
mais crítico e sendo capaz de avaliar eventuais erros nas resoluções de questões. A
diversidade de atividades é altamente recomendável tanto ao aluno quanto ao professor.
Portanto esperamos com esse minicurso contribuir para o ensino aprendizagem do conteúdo
de Análise Combinatória.
REFERENCIAS
CONTESSA, Nitiele Medeiros et al. Análise das dificuldades dos alunos do Ensino Médio em análise combinatória: anais da IV Escola de Inverno de Educação Matemática. Santa Maria, 2014. Disponível em: http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/ed_4/RE/RE_CONTESSA_NITIELE_MEDEIROS.pdf. Acesso em 24 ago. 2016.
FARIAS, Fernando Ramos de. Uma sequência didática alternativa para o ensino de Análise Combinatória para o ensino de Análise Combinatória na Educação Básica . Belém, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/473/2011_00365_FERNANDO_RAMOS_DE_FARIAS.pdf?sequence=1>. Acesso em 13 dez. 2016.
GRYMUZA, Alissá Mariane Garcia. RÊGO, Rogéria Gaudêncio do. Teoria da Atividade: Uma possibilidade no ensino de Matemática. Revista Temas em Educação. João Pessoa, v.23, n.2, p.117-138, 2014.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, 5: Combinatória, Probabilidade. 7. Ed. São Paulo: Atual, 2010,
MALAGUTTI, Pedro Luiz Aparecido; VAZQUEZ, Cristiane Maria Roque. Atividades experimentais de Análise Combinatória no Ensino Médio em uma escola estadual. São Carlos, 2009. Disponível em: <http://www.enrede.ufscar.br/participantes_arquivos/E5_Vazquez_TA.pdf>. Acesso em 12 dez. 2016.
PESSOA, Cristiane Azevêdo dos Santos. Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório do 2º do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio. Tese (Doutorado em Educação). Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2009, 267 p.
TEIXEIRA, Leny Rodrigues Martins et al. Problemas multiplicativos envolvendo combinatória: estratégias de resolução empregadas por alunos do Ensino Fundamental público: Educar em Revista. Curitiba, n. Especial, p. 245-270, 2011. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/er/nse1/16.pdf>. Acesso em 31 ago. 2016.