Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie - mathe … · Übungsaufgaben mit Lösungen Vektorgeometrie Punkte, Geraden und Ebenen Abstände berechnen Kreise und Kugeln Pyramiden

Übungsaufgaben mit Lösungen

VektorgeometriePunkte, Geraden und EbenenAbstände berechnenKreise und KugelnPyramiden… und mehr

Mathe-Trainings-Heft

Prüfungsvorbereitungfür Oberstufe und Abitur

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[5] Vektorgeometrie (Analytische Geometrie)

[5.1] Punkte, Geraden und Ebenen

[5.1.1] Zeichnen im 3D-Koordinatensystem[1] Zeichnen Sie A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1), D(0|5|-3).

Zeichnen Sie die Vektoren A⃗B , A⃗C , B⃗C .Wie entsteht B⃗C aus A⃗B und A⃗C ?

[2] Ein Quader hat die Eckpunkte: A(6|0|0), C(0|4|0), H(0|0|3).Zeichen Sie den Quader in ein Koordinatensystem.Bestimmen Sie die restlichen Eckpunkte.

[3] Zeichnen Sie die Gerade g : x⃗ = (−13

−2) + r⋅(

2−42)

[5.1.2] Mittelpunkte, Schwerpunkte, Richtungsvektoren

[1] A(3|2|0), B(7|-3|8), C(-1|4|-2)Bestimmen Sie den Mittelpunkt MAB der Strecke AB.Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC.Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren A⃗B , A⃗C , B⃗C .Zeichnen Sie die Punkte A, B, C und den Vektor A⃗B ein.

[2] Gegeben ist das Dreieck PQR mit P(3|2|0), Q(7|-3|8), R(-1|4|-2).Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmitten MPQ, MPR, MQR des Dreiecks PQR.Zeigen Sie: die Schwerpunkte der Dreiecke PQR und MPQMPRMQR fallen zusammen

[5.1.3] Parameterform von g aufstellenStellen Sie eine Parameterform der Gerade auf, die durch die beiden Punkte geht:

[1] durch A(5|4|1) und B(3|3|2) bzw. durch C(-3|4|-1) und D(-1|3|1)[2] durch P(0|-3|9) und Q(4|3|7) bzw. durch R(2|4|8) und S(4|5|7)

[5.1.4] Erklärung der Ebenenformen (PF, KF, NF, HNF, AAF)Machen Sie sich klar, wie die verschiedenen Ebenenformen aussehen,wofür man sie verwendet und welche Angaben zum Aufstellen notwendig sind.

[1] Parameterform (PF) [2] Koordinatenform (KF) [3] Normalenform (NF)[4] Hesse-Normal-Form (HNF) [5] Achsen-Abschnitts-Form (AAF)

[5.1.5] Parameterform von E aufstellenGeben Sie eine Parameterform der Ebene E an, welche bestimmt ist durch:

[1] A(2|4|1), B(1|2|-1), C(3|-4|-2) [2] A(2|-3|2), B(0|3|2) und C(3|0|-2)

[3] P(0|1|-1) und g : x⃗ = (−13

−2) + r⋅(

2−42) [4] P(-1|1|1) und h : x⃗ = (

32

−1) + r⋅(

11

−1)

[5] g : x⃗ = (324)+r⋅(

604) , h : x⃗ = (

−320)+r⋅(

11

−1) [6] g : x⃗ = (

234)+r⋅(

210) , h : x⃗ = (

234)+ r⋅(

523)

[7] g : x⃗ = (234)+r⋅(

26

−4) , h : x⃗ = (

15

−4)+r⋅(

−1−32) [8] g:x⃗=(

−152)+r⋅(

42

−4) , h:x⃗=(

32

−1)+ r⋅(

−6−36)

© Havonix Schulmedien-Verlag3

Videos mitLösungsweg

[5.1.6] Ebenenformen umwandeln (Parameterform in Koordinatenform)Geben Sie eine Koordinatenform der Ebene E an

[1],[4],[7] E1 : x⃗ = (241) + r⋅(

−1−2−2

) + s⋅(1

−8−3

) [2],[5],[8] E2 : x⃗ = (2

−32) + r⋅(

−260) + s⋅(

13

−4)

[3],[6],[9] E3 : x⃗ = (324) + r⋅(

604) + s⋅(

11

−1)

[5.1.7] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Parameterform)Geben Sie eine Parameterform der Ebene E an

[1] E : 2x1+x2–2x3=6 [2] E : 6x1+2x2+3x3=12 [3] E : 4x1+3x2+2x3=1

[4] E : x1+3x3=6 [5] E : 2x2–3x3=12

[5.1.8] Ebenenformen umwandeln (Koordinatenform in Normalenf. und zurück) Wandeln Sie die angegebene Koordinatenform (KF) der Ebene E in Normalenform um. Wenn Sie erfolgreich waren, dürfen Sie Ihr Ergebnis wieder in KF umwandeln.

[1] 2x1+x2–2x3=6 [2] 6x1+2x2+3x3=12 [3] 4x1+3x2+2x3=1

[5.1.9] KreuzproduktGeben Sie mithilfe des Kreuzprodukts denjenigen Vektor an, der auf den beiden angegeben Vektoren orthogonal (=senkrecht) steht.

[1] a⃗ = (21

−2) , b⃗ = (

2−32) [2] a⃗ = (

−1−11) , b⃗ = (

14

−3) [3] a⃗ = (

841) und b⃗ = (

206)

Bestimmen Sie mithilfe des Kreuzprodukts:

[4] Flächeninhalt des Dreiecks ABC: A(1|4|-3), B(2|0|1), C(5|2|0)[5] Flächeninhalt Parallelogramm ABCD: A(3|2|1), B(5|3|-1), C(7|0|1), D(5|-1|3)[6] Volumen der Pyramide: A(-2|2|1), B(4|4|4), C(1|2|2), S(1|4|0)[7] Volumen der Pyramide: A(-2|3|4), B(4|5|7), C(6|8|1), D(0|6|-2), S(1|11|9)

[5.1.10] Spurpunkte, besondere Lage von GeradeBestimmen Sie die Spurpunkte der Gerade g.Welche besondere Lage hat die Gerade im Raum?

[1] g : x⃗ = (262)+ t⋅(

1−20) [2] g : x⃗ = (

123)+ t⋅(

206) [3] g : x⃗ = (

−402)+ t⋅(

122) [4] g : x⃗ = (

143)+ t⋅(

223)

[5.1.11] Spurpunkte, besondere Lage von EbenenBestimmen Sie die Spurpunkte der Ebene E. Welche besondere Lage hat die Ebene im Raum?

[1] E: 2x1–3x2+6x3=12 [2] E: x1+3x2+2x3=6 [3] E: -2x1+3x3=6 [4] E: 3x2–x3=3

[5.1.12] Zeichnen von EbenenZeichnen Sie die Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem ein.[1] E: 2x1–3x2+6x3=12 [2] E: 3x2–x3=3

Zeichnen Sie die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem ein,zeichnen Sie auch die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein.[3] E: x1+3x2+2x3=6 und F : 2x1+3x3=6


[5.2] Schnittmengen

[5.2.1] Gegenseitige Lage von Geraden / Schnitt von GeradenBestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

[1] g : x⃗ = (541) + r⋅(

222) und h : x⃗ = (

−34

−1) + r⋅(

21

−1)

[2] g : x⃗ = (432) + r⋅(

−3−11) und h : x⃗ = (

5811

) + r⋅(234)

[3] g : x⃗ = (234) + r⋅(

26

−4) und h : x⃗ = (

15

−4) + r⋅(

−1−32)

[4] g : x⃗ = (111) + r⋅(

42

−4) und h : x⃗ = (

32

−1) + r⋅(

−6−36)

[5.2.2] Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene / Schnitt Ebene-GeradeBestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E.Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

[1] g : x⃗ = (−157) + r⋅(

2−1−2

) und E: 4x1–3x2+x3 = 6

[2] g : x⃗ = (−152) + r⋅(

24

−4) und E: 2x1+x2+2x3 = 7

[3] g : x⃗ = (123) + r⋅(

523) und E: -x1+x2+x3 = 2

[5.2.3] Gegenseitige Lage von Ebenen / Schnitt Ebene-EbeneBestimmen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2.Bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.

[1] E1: 2x1+4x2–4x3=2 und E2: x1+2x2–2x3=5[2] E1: 6x1–4x2+4x3=8 und E2: -3x1+2x2–2x3=-4[3] E1: 2x1+5x2+3x3=2 und E2: x1+2x2+x3=2[4] E1: x1+x2+3x3 = 4 und E2: 2x1+x2–x3=-2

[5.3] Abstände

[5.3.1] Abstand zweier PunkteBestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte.

[1] A(2|-1|3), B(4|1|2) [2] C(-4|2|5), D(2|5|3) [3] P(0|1|1), Q(3|8|-2)

[5.3.2, 5.3.3, 5.3.4, 5.3.5] Abstand Punkt-GeradeBestimmen Sie den Abstand von der Gerade zum angegebenen Punkt.

[1] g : x⃗ = (123) + r⋅(

523) und A(5|5|7) [2] g : x⃗ = (

301) + r⋅(

212) und P(-5|2|-1)

[3] g : x⃗ = (513) + r⋅(

−141) und Z(11|10|9)


[5.3.6] Abstand Punkt-Ebene über Lotgerade

Welcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Wie groß ist dieser Abstand?

[1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9 [2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7[3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6

[5.3.7] Abstand Punkt-Ebene über HNFWelcher Punkt der Ebene E vom Punkt P den geringsten Abstand? Verwenden Sie die Methode über die Hesse-Normal-Form?

[1] P(5|-6|4) und E: 4x1–8x2+x3 = -9 [2] P(13|4|5) und E: 6x1–3x2–2x3 = 7[3] P(4|7|8) und E: -2x1+x2+2x3 = 6

[5.3.8] Abstand von zwei parallelen ObjektenWeisen Sie nach, dass beide angegebenen Objekte parallel sind. Wie groß ist deren Abstand?

[1] g : x⃗ = (772) + r⋅(

26

−4) und h : x⃗ = (

15

−4) + r⋅(

−1−32)

[2] g : x⃗ = (−4−56) + r⋅(

227) und E: 7x1+7x2–4x3 = 3

[3] E1: 6x1+3x2–6x3 = 9 und E2: 2x1+x2–2x3 = 21

[5.3.9, 5.3.10] Abstand zweier windschiefen Geraden Wie groß ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden?

[1] g : x⃗ = (−264) + r⋅(

232) und h : x⃗ = (

47

−1) + r⋅(

130)

[2] g : x⃗ = (−2−21) + r⋅(

122) und h : x⃗ = (

542) + r⋅(

223)

[3] g : x⃗ = (123) + r⋅(

2−1−1

) und h : x⃗ = (−182) + r⋅(

01

−1)

[5.4] Spiegeln

[5.4.1] Spiegeln von Punkt an PunktSpiegeln Sie den einen Punkt am zweiten.

[1] A(3|1|0) an S(6|4|1) [2] B(-2|1 |3) an P(1|2|2) [3] P(7|5|-4) an Z(2|5|0)

[5.4.2] Spiegeln von Punkt an GeradeSpiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Gerade

[1] A(3|2|-1) an g : x⃗ = (−2−21) + r⋅(

122) [2] B(4|7|-1) an g : x⃗ = (

216) + t⋅(

34

−3)

[3] C(0|6|7) an g : x⃗ = (33

−2) + t⋅(

−4−11)

[5.4.3] Spiegeln von Punkt an Ebene

Spiegeln Sie den Punkt an der angegebenen Ebene E [1] P(0|11|4) an E: -2x1+5x2+3x3 =-9 [2] Q(6|-11|8) an E: 3x1–12x2+4x3=13[3] R(4|4|7) an E : -x1+x2+2x3=26


[5.4.4] Spiegeln von diversem ZeugErläutern Sie, wie man vorgeht, um folgende Spiegelungen durchzuführen

[1] Gerade an Punkt [2] Ebene an Punkt[3] Gerade an Gerade [4] Ebene an Gerade[5] Gerade an Ebene [6] Ebene an Ebene

[5.5] Diverses Zeug

[5.5.1] WinkelberechnungBestimmen Sie die angegebenen Winkel

[1] Winkel zwischen g : x⃗ = (321) + r⋅(

122) und h : x⃗ = (

321) + r⋅(

623)

[2] Winkel zwischen g : x⃗ = (−31

−2) + r⋅(

403) und h : x⃗ = (

535) + r⋅(

424)

[3] Winkel zwischen E : x1+2x2–2x3 = 5 und g : x⃗ = (132) + r⋅(

424)

[4] Winkel zwischen E1 : x1+2x2–2x3 = 5 und E2 : 6x1–3x2+2x3 = 12[5] Innenwinkel im Dreieck ABC mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1)[6] Innenwinkel im Parallellogramm ABCD mit den

Eckpunkten A(-2|1|2), B(2|5|4), C(4|-1|7) und D(0|-5|5).

[5.5.2] SkalarproduktBestimmen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren.Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander?

[1] a⃗ = (535) , b⃗ = (

2−41

) [2] a⃗ = (63

−2) , b⃗ = (

126) [3] u⃗ = (

123) mit v⃗ = (

3−21)

[5.5.3] Der vierte Punkt eines ParallelogrammsBestimmen Sie:

[1] D so, dass ABCD mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(-3|5|1) ein Parallelogramm ist.[2] A so, dass ABCD mit B(2|2|-1), C(3|4|1), D(7|0|3) ein Reckteck ist.[3] C so, dass ABCD mit A(-2|1|5), B(4|4|3), D(-4|7|8) ein Quadrat ist.

[5.5.4] Liegt ein Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms?[1] Liegt P(2|3|1) im Inneren des Parallelogramms ABCD

mit A(4|1|3), B(2|6|-2), C(0|2|2) und D(2|-3|7)?[2] Liegt P(0|-5|2) im Inneren des Quadrats ABCD

mit A(-2|1|5), B(4|4|3), C(2|10|6) und D(-4|7|8)?[3] Liegt D(3|5|2) im Inneren des Dreiecks ABC

mit A(-2|4|5), B(4|4|3) und C(2|6|1)?[4] Liegt D(4|3|-1) im Inneren des Dreiecks ABC

mit A(1|3|-5), B(3|1|3) und C(-2|0|-1)?

[5.5.5] DreiecksflächeBestimme den Flächenhalt des Dreiecks ABC über die Flächeinhaltsformel A=½·g·h(Sie erhalten hier bessere Zahlen, wenn Sie die Seite AB als Grundseite verwenden.)

[1] A(-3|1|0), B(5|-3|8) und C(2|0|8).[2] A(6|-1|3), B(2|3|3) und C(2|-1|7)[3] A(3|-2|-1), B(-1|2|1) und C(-3|7|5)


[5.5.6] DreiecksflächeBestimme den Flächenhalt des Dreiecks mithilfe des Kreuzproduktes (=Vektorprodukt)

[1]A(-2|-3|1), B(7|9|1) und C(-3|4|3)[2] A(6|-5|6), B(-2|9|-2) und C(5|2|1)[3] A(-3|1|2), B(3|3|5) und C(5|6|-1)

[5.6] Kreise und Kugeln

[5.6.1] Allgemeines zur Kreisgleichung [1] Stelle eine Kreisgleichung auf mit M(3|4) und r=5.[2] Welcher Kreis hat M(7|4) als Mittelpunkt und geht durch P(-5|-1)?[3] Beschreibt x1²+x2²+3x1–4x2+9=0 einen Kreis?

[5.6.2] Schnitt Kreis-GeradeUntersuchen Sie, ob sich der Kreis K und die Gerade g schneiden. Geben Sie ggf die Schnittpunkte an.

[1] K : (x–3)2+(y+1)2=25 g : y = x+3[2] K : (x+4)2+(y–2)2=100 g : y =-x+12[3] K : (x+2)2+(y–8)2=169 Gerade durch A(0|-11) und B(-5|-6)

[5.6.3] Schnitt von zwei KreisenUntersuchen Sie, ob sich die beiden Kreise schneiden.Geben Sie ggf. die Schnittpunkte an.

[1] K1 : (x+2)2+(y–1)2=25 K2 : (x–4)2+(y–4)2=10[2] K1 : (x+1)2+(y–2)2=5 K2 : (x–1)2+y2=1[3] K2 : (x–1)2+(y–7)2=26 K2 : (x+1)2+(y–10)2=65

[5.6.7] Allgemeines zur Kugelgleichung[1] Stelle eine Kugelgleichung auf mit M(3|4|5) und r=6.[2] Welche Kugel hat M(1|3|-5) als Mittelpunkt und geht durch P(4|1|-1)?[3] Beschreibt x1²+x2²+x3²–2x1+4x2–8x3=-20 eine Kugel?

[5.6.8] Schnitt Kugel-GeradeUntersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Gerade g schneiden. Geben Sie gegebenfalls die Schnittpunkte an.

[1] K : (x1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1 g : x⃗ = (1

−23) + r⋅(

101)

[2] K : [ x⃗−(1

−24) ]

2

= 1 g : x⃗ = (−1−40) + r⋅(

341)

[3] K : (x1+1)2+(x2–3)2+(x3+2)2=27 g : x⃗ = (−1−40) + r⋅(

341)

[5.6.9] Schnitt Kugel-EbeneUntersuchen Sie, ob sich die Kugel K und die Ebene E schneiden.Geben Sie ggf. den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an.

[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100 E : 2x1–2x2–x3 = -5[2] K : (x1–1)2+(x2–9)2+(x3–4)2 = 85 E : 6x1+2x2+3x3=49[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18 E : x1+2x2+2x3 = 10


[5.6.10] Schnitt zweier KugelnUntersuchen Sie, ob sich die beiden Kugeln schneiden.Geben Sie gegebenfalls den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises an.

[1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100 K2:(x1–3)2+x22+(x3–2)2=109

[2] K1:(x1–3)2+(x2–6)2+(x3–8)2=64 K2:(x1+9)2+(x2–2)2+(x3–2)2=64[3] K1:(x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 18 K2:(x1–4)2+(x2–5)2+(x3+2)2=43

[5.6.11] Punkt und KugelLiegt der Punkt P innerhalb oder außerhalb der Kugel K. Wie groß ist der Abstand?

[1] K:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=100, P(5|-2|1)[2] K : x1

2+(x2–4)2+(x3–3)2 = 85 P(8|-4|7) P∈K ?[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2=18 P(0|6|-4) P∈K ?

[5.6.12] Abstand Gerade-KugelBestimmen Sie den Abstand der Kugel K von der Gerade g.

[1] g : x⃗ = (123) + r⋅(

523) , K:(x1–5)2+(x2–5)2+(x3–7)2=1 (vergl: 5.3.2.1, 5.3.3.1, 5.3.4.1)→

[2] g : x⃗ = (301) + r⋅(

212) , K:(x1+5)2+(x2–2)2+(x3+1)2=9 (vergl.: 5.3.2.2, 5.3.3.2, 5.3.4.2)→

[3] g : x⃗ = (513) + r⋅(

−141) , K:(x1–11)2+(x2–10)2+(x3–9)2=4 (vergl.: 5.3.2.3, 5.3.3.3, 5.3.4.3)→

[5.6.14] Abstand zweier KugelnBestimmen Sie den Abstand der beiden Kugeln voneinander.

[1] K1:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=25 K2:(x1+7)2+(x2–3)2+(x3+1)2=9[2] K1:(x1+3)2+(x2–6)2+(x3–1)2=1 K2:(x1–1)2+(x2–2)2+(x3+1)2=25[3] K1:(x1+2)2+(x2–3)2+x3

2=81 K2:(x1+3)2+(x2–1)2+(x3+2)2=16

[5.6.15] TangentialebeneBestimmen Sie die Tangentialebene ETan an die Kugel K im Berührpunkt B.

[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=36 B(-3|-2|-1)[2] K : x1

2+(x2–4)2+(x3–3)2 = 9 B(2|2|c) mit c<3[3] K : (x1–3)2+(x2–3)2+(x3+4)2= 49 B(a|1|2) mit a<1

[5.6.17] Polarkreis / PolarebeneVom Punkt P werden Tangenten an die Kugel K gelegt.Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels?In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?

[1] K : (x1–1)2+(x2–2)2+(x3–3)2=16 P(-3|-2|-1)[2] K : x1

2+(x2–4)2+(x3–3)2 = 64 P(8|8|-5)

In welcher Ebene liegen alle Berührpunkte?

[3] K : (x1+3)2+(x2–3)2+(x3+4)2=9 P(4|-1|3)

[5.6.18] Umkugel: finden Sie in Kapitel [5.9.4]

[5.6.19] Inkugel: finden Sie in Kapitel [5.9.5]


[5.7] Pyramiden

[5.7.1] Pyramide zwischen Ebene und den KoordinatenebenenBestimmen Sie das Volumen der Pyramide, die von der Ebene E und den Koordinatenebenen gebildet wird.

[1] E : 2x1+4x3+3x3 = 12 [2] E : x1+x2+x3 = 6[3] E : -3x1+2x2+6x3 = 18

[5.7.2] Senkrechte, quadratische Pyramide

[1] Bestimmen Sie das Volumen der senkrechten, quadratischen Pyramide ABCDS mit A(-2|-2|0), B(4|-2|0), C(4|4|0), D(-2|4|0) und S(1|1|8).

[2] Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze der senkrechten, quadratischenPyramide mit den Eckpunkten der Grundfläche in A(8|0|0), B(8|8|0), C(0|8|0),D(0|0|0) und dem Volumen von V=128.

[3] Bestimmen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der senkrechten,quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze in S(0|0|12) und dem Volumenvon V=64, wenn die Grundfläche in der x1x2-Ebene liegt.

[5.7.3, 5.7.4] Volumen einer dreiseitigen PyramideBestimmen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A, B, C und D.

[1] A(-1|0|2), B(5|6|5), C(2|0|5), D(1|5|6) [2] A(-4|4|4), B(4|-4|4), C(4|4|-4), D(4|4|4)[3] A(1|3|2), B(3|-1|4), C(5|4|6), D(9|2|6)

[5.8] Parameter

[5.8.1] Ebenenscharen

[1] Welche Ebene der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 enthält A(1|2|-1) ?

[2] Welche Ebene der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 hat vom Punkt P(5|3|5) den Abstand d=6 ?

[3] Welche Ebene der Schar Et : tx1+3x2=t+4 schließt mitder Ebene F : x2–x3=3 einen Winkel von 45° ein?

[4] Alle Ebenen der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 haben eine gemeinsameSchnittgerade s. Bestimmen Sie eine Gleichung von s.

[5] Die Ebenen der Schar Et : 2tx1+tx2+2x3=t+4 rotieren alle um die Gerade

s : x⃗ = (012) + r⋅(

1−20) . Eine einzige dieser rotierenden Ebenen kann nicht

durch Et beschrieben werden. Bestimmen Sie deren Gleichung.

[5.8.2] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einer EbeneBestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zur Ebene E den Abstand d besitzen.

[1] g : x⃗ = (−5−14) + r⋅(

56

−4) , E : 6x1+2x2–3x3=5, d=7.

[2] g : x⃗ = (34

−6) + r⋅(

2−42) , E : 2x1+x2–2x3=4, d=6.


[5.8.3] Punkt einer Gerade mit bestimmten Abstand zu einem PunktBestimmen alle die Punkte der Gerade g, die zum Punkt P den Abstand d besitzen.

[1] g : x⃗ = (314) + r⋅(

−121) , A(3|4|4), d=3.

[2] g : x⃗ = (102) + r⋅(

1−11) , A(5|2|6), d=6.

[5.8.4] Lage von Gerade und Ebene in Abhängigkeit vom Parameter

[1] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : x⃗ = (240) + r⋅(

ü3

−2) und

der Ebene E : 3x1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von ü.

[2] Für welche Werte von a sind g : x⃗ = (123) + r⋅(

211) und E: x1+ax2+2x3=4 parallel ?

[3] Bestimme die gegenseitige Lage der Gerade g : x⃗ = (2y0) + r⋅(

13

−2) und

der Ebene E : 3x1+x2+2x3=4 in Abhängigkeit von y.

[5.8.5] Punkt einer Gerade bildet rechten Winkel mit zwei anderen Punkten

[1] Welcher Punkt G der Gerade g : x⃗ = (314) + r⋅(

−121) bildet mit A(1|1|3)

und B(4|3|2) ein im G-Punkt rechtwinkliges Dreieck ?

[2] Welche Punkt T der Gerade g : x⃗ = (102) + r⋅(

1−11) bildet mit A(6|0|-8) und B(8|3|3)

ein Dreieck, welches in A einen rechten Winkel hat ?

[5.9] Anwendungsaufgaben

[5.9.3] Senkrechte ProjektionenBestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade gauf die angegebene Koordinatenebene.

[1] A(3|4|1) und g : x⃗ = (346) + r⋅(

2−41) auf die x1-x3-Ebene.

[2] A(3|4|1) und g : x⃗ = (346) + r⋅(

2−41) auf die x2-x3-Ebene.

[5.9.4] Schattenaufgaben (schiefe Projektionen)Bestimmen Sie die senkrechte Projektion vom Punkt A und der Gerade gauf die angegebene Koordinatenebene.

[1] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast, der von einer Lampebeschienen wird, die sich im Punkt L(6|-5|9) befindet.Wie lang ist der entstehende Schatten ?

[2] Im Punkt B(4|1|0) befindet sich ein 6m hoher Mast. Aus der Richtung v⃗ = (−231)

fällt Sonnenlicht auf den Mast. Wie lang ist der entstehende Schatten ?


Lösungen der Aufgaben Vektorgeometrie

[5.1.1][1] [2]

B(6|4|0)D(0|0|0)E(6|0|3)F(6|4|3)G(0|4|3)

B⃗C = - A⃗B+ A⃗C[3]

[5.1.2][1] MAB(5|-0,5|4) [2] MPQ(5|-0,5|4)

S(3|1|2) MPR(1|3|-1)

A⃗B = (4

−58) MQR(3|0,5|3)

A⃗C = (−42

−2)

[5.1.3]

[1] gAB : x⃗ = (541) + r⋅(

−2−11) oder gAB : x⃗ = (

332) + r⋅(

21

−1) oder ...

gCD : x⃗ = (−34

−1) + r⋅(

2−12) oder gCD : x⃗ = (

−131) + r⋅(

−21

−2) oder ...

[2] gPQ : x⃗ = (0

−39) + r⋅(

46

−2) oder gPQ : x⃗ = (

437) + r⋅(

−4−62) oder ...

gRS : x⃗ = (248) + r⋅(

21

−1) oder gRS : x⃗ = (

457) + r⋅(

−2−11) oder ...

[5.1.5]

[1] EABC : x⃗ = (241) + r⋅(

−1−2−2

) + s⋅(1

−8−3

) oder EABC : x⃗ = (12

−1) + r⋅(

122) + s⋅(

2−6−1

) oder ...

[2] EABC : x⃗ = (2

−32) + r⋅(

−260) + s⋅(

13

−4) oder EABC : x⃗ = (

032) + r⋅(

2−60) + s⋅(

3−3−4

) oder ...

[3] EPg : x⃗ = (−13

−2) + r⋅(

2−42) + s⋅(

−12

−1) oder EPg : x⃗ = (

01

−1) + r⋅(

2−42) + s⋅(

−12

−1) oder ...

[4] EPh : x⃗ = (32

−1) + r⋅(

11

−1) + s⋅(

41

−2) oder EPh : x⃗ = (

−111) + r⋅(

11

−1) + s⋅(

41

−2) oder ...


A

1

x2

x3

1

1C

x1

H

B

DE F

G

1

x2

x3

1

1

x1

g

A

1

x2

x3

1

1

B=D

C

A⃗B

A⃗C

B⃗C

x1

A

1 x2

x3

1

1

C

x1

B

A⃗B

[5] Eg,h : x⃗ = (324) + r⋅(

604) + s⋅(

11

−1) oder Eg,h : x⃗ = (

−320) + r⋅(

11

−1) + s⋅(

604) oder …

[6] Eg,h : x⃗ = (234) + r⋅(

210) + s⋅(

523) oder …

[7] Eg,h : x⃗ = (234) + r⋅(

26

−4) + s⋅(

−12

−8) oder Eg,h : x⃗ = (

15

−4) + r⋅(

−1−32) + s⋅(

1−28) oder …

[8] Eg,h : x⃗ = (−152) + r⋅(

42

−4) + s⋅(

4−3−3

) oder Eg,h : x⃗ = (32

−1) + r⋅(

−6−36) + s⋅(

−433) oder …

[5.1.6][1], [4], [7]: -2x1–2x2+x3=-6 (oder Vielfache)

[2], [5], [8]: 6x1+2x2+3x3=12 (oder Vielfache)

[3], [6], [9]: -2x1+5x2+3x3=16 (oder Vielfache)

[5.1.7]

[1]: E : x⃗ = (300) + r⋅(

−360) + s⋅(

−30

−3) (oder viele andere Varianten)

[2]: E : x⃗ = (060) + r⋅(

20

−4) + s⋅(

06


[3]: E : x⃗ = (1/400

) + r⋅(1 /4

−1/30

) + s⋅(1/40

−1 /2) (oder viele andere Varianten)

[4]: E : x⃗ = (600) + r⋅(

−602) + s⋅(

070) (oder viele andere Varianten)

[5]: E : x⃗ = (30

−4) + r⋅(

−36

−4) + s⋅(


[5.1.8]

[1]: E : [ x⃗−(300) ]⋅(

21

−2) = 0 [2]: E : [ x⃗−(

004) ]⋅(

623) = 0 [3]: E : (

432)⋅[ x⃗−(

1−10) ] = 0

[5.1.9]

[1]: n⃗ = (−4−8−8

) ≙ (122)

[2]: n⃗ = (−1−2−3

) ≙ (123)

[2]: n⃗ = (24

−46−8

) ≙ (12

−23−4

)

[5.1.10][1] S12 --- S13(5|0|2) S23(0|10|2)[2] S12 (0|2|0) S13--- S23(0|2|0)[3] S12 (-3|-2|0) S13(-4|0|2) S23(0|8|10)[4] S12 (-1|2|0) S13(-3|0|-3) S23(0|3|1,5)


[5.1.11][1] S1(6|0|0) S2(0|-4|0) S3(0|0|2)[2] S1(6|0|0) S2(0|2|0) S3(0|0|3)[3] S1(-3|0|0) S2--- S3(0|0|2)[4] S1--- S2(0|1|0) S3(0|0|-3)

[5.1.12][1] S1(6|0|0) [2] S1---

S2(0|-4|0) S2(0|1|0)S3(0|0|2) S3(0|0|-3)

[3] E : S1(6|0|0)S2(0|2|0)S3(0|0|3)

F : S1(3|0|0)S2 ---S3(0|0|2)

[5.2.1][1] g und h sind windschief[2] g und h schneiden sich in S(1|2|3)[3] g und h sind parallel[4] g und h sind identisch

[5.2.2][1] E enthält g[2] E und g schneiden sich in S(3|3|3)[3] E und g sind parallel

[5.2.3][1] E1 und E2 sind parallel[2] E1 und E2 sind identisch

[3] E1 und E2 schneiden sich in g : x⃗ = (6

−20) + r⋅(

1−11)

[4] E1 und E2 schneiden sich in g : x⃗ = (−6100) + r⋅(

4−71)

[5.3.1][1] d(A,B)=3 [2] d(C,D)=7 [3] d(P,Q)=√67


1

x2

x3

1

1

x1

E

1

x2

x3

1

1

x1

E

Fs

1

x2

x3

1

1

x1

E

[5.3.2], [5.3.3], [5.3.4], [5.3.5][1] d(A,g)=√3≈1,732 [2] d(P,g)=6 [3] d(Z,g)=9

[5.3.6][1] d(E,P)=9 [2] d(E,P)=7 [3] d(E,P)=3

[5.3.7][1] d(E,P)≈2,785 [2] d(E,P)=7 [3] d(E,P)=3

[5.3.8][1] d(g,h)≈8,72 [2] d(E,g)≈8,43 [3] d(E1,E2)=6

[5.3.9][1] d(g,h)=7 [2] d(g,h)=6 [3] d(g,h)≈1,732

[5.3.10][1] d(g,h)=7 [2] d(g,h)=6 [3] d(g,h)=√3≈1,732

[5.4.1][1] A*(9|7|2) [2] A(4|3|1) [3] P*(-3|5|4)

[5.4.2][1] P(-5|-2|7) [2] B*(9|7|4) [3] P*(-2|-2|-9)

[5.4.3][1] P*(8|-9|-8) [2] Q*(0|13|0) [3] R*(0|8|15)

[5.5.1][1] α≈40,37° [2] α≈21,04° [3] α=0° [4] α≈79,02°

[5] α≈43,88° β≈76,70° γ≈59,42°

[6] α=γ≈103,77° β=δ≈76,23°

[5.5.2][1] a⃗⋅b⃗=3 [2] a⃗⋅b⃗=0 [3] u⃗⋅⃗v=2

[5.5.3][1] D(5|0|6) [2] A(6|-2|1) [3] C(2|10|6)

[5.5.4][1] P liegt im Inneren [2] P liegt nicht im Inneren[3] D liegt im Inneren [4] D liegt im Inneren

[5.5.5][1] A∆=18 [2] A∆≈13,856 [3] A∆=9

[5.5.6][1] A∆≈40,389 [2] A∆≈27,31 [3] A∆=24,5


[5.6.1][1] (x1–3)2+(x2–4)2=25 [2] (x1–7)2+(x2–4)2=169[3] Kreis wird beschrieben mit M(-3|2) und r=2.

[5.6.2][1] Zwei Schnittpunkte: S1(0|3) S2(-1|2)[2] Zwei Schnittpunkte: S1(2|10) S2(4|8)[3] Zwei Schnittpunkte: S1(-7|-4) S2(-14|3)

[5.6.3][1] Schnittgerade: s:y=-2x+7, Zwei Schnittpunkte: S1(1|5) S2(3|1)[2] Schnittgerade: s:y=x, Zwei Schnittpunkte: S1(0|0) S2(1|1)

[3] Schnittgerade: s:y=23x+2 Zwei Schnittpunkte: S1(0|2) S2(6|6)

[5.6.7][1] K : (x1–3)2+(x2–4)2+(x3–5)2=36[2] K : (x1–1)2+(x2–3)2+(x3+5)2=29[3] K : (x1–1)2+(x2+2)2+(x3–4)2=1

[5.6.8][1] S1(2|-2|4) S2(1|-2|3)[2] keine Schnittpunkte[3] Berührpunkt B(2|0|1)

[5.6.9][1] M*(1|2|3) r*=10[2] M*(7|7|7) r*=7[3] M*(4|5|-2) r*=3

[5.6.10][1] Schnittebene: E:4x1–4x2–2x3=-10, M*(1|2|3), r*=10[2] Schnittebene: E:6x1+2x2+3x3=5, M*(-3|4|5), r∗=√15

[3] Schnittebene: E:2x1+4x2+4x3=-14, M*( 199 ∣11

9 ∣−529 ) , r*≈3,3

[5.6.11][1] P liegt im Inneren von K[2] P liegt außerhalb von K, d(K,P)≈2,78[3] P liegt genau auf K

[5.6.12][1] d(K,g)≈0,732 [2] d(K,g)=3 [3] d(K,g)=7

[5.6.14][1] d(K1,K2)=1 [2] d(K1,K2)=0 [die Kugeln berühren sich][3] d(K1,K2)=2


[5.6.15][1] Tangentialebene: ETan :x1+x2+x3=-3,[2] Tangentialebene: ETan :2x1–2x2–x3=-2,[3] Tangentialebene: ETan :-3x1–2x2+6x3=10,

[5.6.17][1] Öffnungswinkel: α=70,53° Polarebene: EP : x1+x2+x3=2,

[2] Öffnungswinkel: α=83,6° Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14,[3] Polarebene: EP : 2x1+x2–2x3=14,

[5.7.1][1] VPyr=12 [2] VPyr=36 [3] VPyr=27

[5.7.2][1] VPyr=96 [2] Spitzen: S1(4|4|6), S2(4|4|-6) [3] A(2|-2|0) B(2|2|0) C(-2|2|0) D(-2|-2|0)

[5.7.3], [5.7.4][1] VPyr=13,5 [2] VPyr=85,33 [3] VPyr=12

[5.8.1][1] t=2 (E2 : 4x1+2x2+2x3=6)[2] t1=1 (E1 : 2x1+1x2+2x3=5)

t2=3 (E3 : 6x1+3x2+2x3=7)[3] t=0 (E0 : 3x2=4)

[4] Schnittgerade: s : x⃗ = (012) + k⋅(

1−20)

[5] Egesucht: x⃗ = (012) + μ⋅(

1−20) + λ⋅(

002) ( mehrere Formen dieser Ebene sind möglich!)←

[5.8.2][1] r1≈1,81 P⇒ 1(4,05|9,86|-3,24); [2] r1=0 P⇒ 1(3|4|-6);

r2=0 P⇒ 2(-5|-1|4) r2=9 P⇒ 2(21|-32|12)

[5.8.3][1] r1=0 P⇒ 1(3|1|4); [2] r1=0 P⇒ 1(1|0|2);

r2=2 P⇒ 2(1|5|6) r2=4 P⇒ 2(5|-4|6)

[5.8.4][1] parallel: ü=1/3. [2] parallel: a=4. [3] parallel: unmöglich.

g in E : unmöglich g in E : unmöglich g in E : unmöglich Schnittpkt: ü≠1/3. Schnittpkt: a≠4. Schnittpkt: immer.

[5.8.5][1] r1=0 P⇒ 1(3|1|4); [2] keine Lösung

r2=1/3 P⇒ 2(8/3|5/3|13/3)




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