Über die Berechnung der mittleren Ionisierungsenergie der Gase_Erich.Bagge

72 Annalcn der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Ubep* die B e r e c h n u n g der mnittleren Ionis2crzcngsenergie der Gase

V o n E r i c h B n g g e

(Mit 3 Abbildungen)

Es wcrden einfache nnalytische Ausdrucke fur die Geschwindigkeits- verteilung der nus Basatomen ausgelosten Sekundarelektronen hergeleitet (4), (14). AnBerdern wird eine Naherungsformel (16) fur die differentiale Ionisation ') fur Atorne mit mehreren Elektronen aufgestellt, die auBer Z, der Ionisierungs- spannung V, und universellen Naturkonstanten keine weiteren Parameter ent- halt. Beide stehen in ihrem Gultigkeitshereich innerhalh der experimentellen Fehlergrenzen mit der Erfahrung in Einklang. Mit ihnen wird die mittlere Ionisierungsenergie E herechnet. Es ergiht sich fur 20 kV Primarenergie hei H: E = 33,tl Volt; bei N,: E = ?S,G Volt und bei Ne: E = 42,2 Volt.

A. Allgemeines 5 1. Stand des Problems

Die mittlere Ionisierungsenergie E einer Reihe von Gasen ist bereits haufig gemessen worclen. Es wird dabei so verfahren, daB man die Gesamtzahl J aller iiberhaupt gebildeten Elektronen, also Sekundiir- + Tertiiir- + - - - -Elektronen bestimmt, die von einem in einen Gasraum eintretenden Elektron der Energie E herruhren. Als mittlere Ionisierungsenergie E wird dann der Quotient bezeichnet:

E J ' & = -

Die ersteu Rechnungen GroBe gab Bohrq . Gpater wellenmechanischen Fornieln

zur theoretischen Ermittelung dieser hat Bethes) unter Benutzung seiner fur clas Bremsvermogen und die diffe- -

rentiale Ionisation die mittlere Ionisierungsenergie fur N, erneut abgeschiitzt. Charakteristisch Eiir diese Rechnungen ist, daB in beiden Fallen der Differentialquotient d E / d J bestimmt und niit E

verglichen wurde. Man erhalt ihn im Prinzip dadurch, daB man das Bremsvermogen d E 1 dx dividiert durch einen Ausdruck d J / d x,

1) Bezuglich der Bezeichnungen halten wir uns an die von W. B o t h e irn Handb. d. Phys. XSII, 2 im Anschlu5 an P. L e n a r d gegebenen Definitionen.

2) N. B o h r , Phil. Mag. 50. S. 606. 1916. 3) H. B e t h e , Ann. d. Phya. [5] 5. 8. 325. 1930.

E. Bagge. Berechnung der mitthen Ionkierungsenergie der Gase 73

der die Gesamtzahl der pro Zentimeter vom PrimSirteilchen iiberhaupt gebildeten Elektronen angibt.

Nun ist einerseits experimentell bekannt, daB E fast iiber den gesamten physikalisch interessierenden Wertebereich von E nahezu konstant ist, andererseits ist das berechnete d E l d J auch nur sehr wenig geschwindigkeitsabhgngig. Damit erhalt die Ersetzung des Quotienten EIJ durch den Differentialquotienten d Eld J ihre teil- weise Rechtfertigung. Immerhin bedingt dieses Verfahren eine gewisse Unsicherheit der Rechnung. Aueerdem laBt sich der Aus- druck d J l d x , der j a streng genommen durch komplizierte Inte- grationsverfahren zu gewinnen ware, auf dem dort ein geschlagenen Wege unter zwar plausiblen, aber doch weitgehend willkiirlichen Annahmen nur UberschlagsmaBig bestimmen.

E

theoretisch abzuschatzen. Fur das in die Rechnungen eingehende Bremsvermogen wird im Falle der Atome mit mehreren Elektronen die gegeniiber B e t h e s Bremsformel noch besser mit der Erfahrung iibereinstimmende, von B loc h I) angegebene, beniitzt.

Ziel dieser Arbeit ist es, die GroBe J und damit auch E =

Q 2. Bezeichnungen

Es werden durchgehend einheitliche Bezeichnungen verwendet. tu ea

f i u = -g = reziproker Wasserstoffradius.

V, = Ionisierungsspannung des Atoms der Ord-

V , = Ionisierungsspannung von atomarem nungszahl 2, p = pl; -- I

I Wasserstoff. c = 1,105 =Konstante in Be thes Bremsformel fur Wasserstoff.

j ( K , k ) d k = Zahl der von einem Primarelektron der Wellenzahl K pro Zentimeter ausgelosten Sekundarelektronen der Wellen- zahl k im Bereiche k bis k + dk.

F ( l i , k )dk = Zahl der von einem Primarelektron der Wellenzahl K laugs dessen ganzer Bahn ausgelosten Sekundarelektronen der U'ellenzahl k im Bereiche k bis k + dk .

J ( K ) = Totales Ionisationsvermogen = Znhl aller von einem Primarelektron der Wellenzahl K bis zu seiner vollstandigen Bremsung iiberhaupt gebildeten Elektronen (vgl. auch Bo the , a. a. 0.).

K = -!Z = Wellenzahl des Primarelektrons. a

1) F. B l o c h , Ztschr. f. Phys. 81. S. 363. 1933.

74 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

k = = Wellenzahl des Sekundarelektrons.

x = 6,04 = Konstante der Blochschen Brenisformel. ti

; 3 I t 1 e v (T) F~ (r) = __- tL=

V ( r ) = Potential im Atom.

111 b h

q = -- = StoBvektor; 'ntv ist der vom Primarelektron an das Sekundirelektron iibertragene Impuls.

?3, = = Wellenzahlvektor eines Atomelektrons. ti s (K) = Differentiales IonisationsvermGgen = Zahl der von einem

Elektron der Wellenzahl K pro Zentimeter gebilcleten Sekundiirelektronen (vgl. B o t h e , a. a. 0.). R

5' ( K ) =l s (R) d x = Zahl der von eineni Prirnarelektron der

Wellenzahl K l h g s dessen ganzer Bahn gebildeten Sekundarelektronen.

u

8 3. Die Integralgleichung f u r die Totalionisation J

Es werde zunachst angenomnien, daB die Gesamtzahl der von einem Primarelektron bis zu seiner vollstandigen Bremsung gebildeten Sekundarelektronen S (I<) und deren Geschwindigkeitsverteilung F ( K , k ) d k bekannt sei. Dann erhalt man die Zahl der Tertiar- elektronen am:

T (10

Daraus folgt fur die

= Tl? (I<, k) S (k) d k . Quartarelektronen : k = p!

h'

= [ ~ ( ~ , k j T ( k ) a k . k = p

Entsprechende Ausdrucke ergeben sich fur die Elektronenzahlen aus hoheren Prozessen. Das totale Ionisierungsvermogen J (K), also die Gesamtheit aller uberhaupt gebildeten Elektronen, betragt damit:

( J ( K ) = S ( K ) + T ( K ) + Q ( K ) + -.. K

E. Bagge. Berechnung der mitt leren Ionisierungsenergie der Gnse 75

Das Bildungsgesetz der folgenden Summenglieder ist unmittelbar zu erkennen. Die Reihe (1) stellt die in der Theorie der Integral- gleichungen auftretende Neumann sche Reihe dar und kann auf- gefaBt werden als Losung der sogenannteri Vo I terraschen Integral- g l e i c h e y : ')

(2) J ( K ) = S ( I 9 + I F ( T I , k ) J ( f c ) d k .

Man kann dies durch Einsetzen von (1) in (2) leicht bestatigen. Aufgabe der folgenden Abschnitte wird es sein, die Funk-

tionen S ( K ) und F ( I i , k ) d k zu bestimmen und fur sie die Losung yon (2) aufzusuchen.

B. Wasserstoff a d. Geechwindigkeiteverteilung der Sekundirelektronen

Die Geschwindigkeitsverteilung der aus Wasserstoff ausgelosten Seknndarelektronen ist auf wellenmechanischem Wege von B e t h e (a. a. 0.) naherungsweise berechnet worden. Allerdings lie6 sie sich nicht in analytisch einfacher Form so darstellen, daB man damit weiterrechnen konnte. Es wird deshalb hier eine einfache Formel unter einer die Rechnung etwas vereinfachenden Annahme fur sie hergeleitet. AuBerdem wird nocli der EinfluB des Elektronen- austausches beriicksichtigt.

Kesentlich fiir die folgenden Rechuungen ist dabei der Ge- sichtspunkt, da6 bei dem hier vorliegenden Problem nur solche Se- kundarelektronen von Interesse sind, die selbst wieder ionisieren konnen. Damit beim Sto6 ein Elektron aber iiberhaupt soviel Energie erhalten kann, niuB sich, wie man leicht iiberschlagt, der wesentliche Teil des StoBvorgangs in einer Zeit abspielen, die klein gegen die Unilaufszeit des Elektrons in seiner Bahn ist.

Fur die an clas Sekundarelektron abgegebene Energie darf man also in erster Naherung 60 rechnen, als ob es ein freies Teilchen ware. Erst nachtraglich wird dnnn vermijge des Energiesatzes be- rucksichtigt, daB es j a eigeutlich an ein Proton gebunden war und sich gerade in einer ganz bestimmten Zelle des Phasenraumes befand.

Die Zahl der StoBe des Primarelektrons mit der Wellenzahl I<, deren StoBvektor q betragt, ist nach der Mottschen Streuformel gegeben durch:

h-

k = B

1) Vgl. z. B.: E. Pascal : Repertorium der hoheren Analysis. Bd. 1, S. 1258ff.


Das erste Glied in der geschweiften Klammer stellt das Ruther fordsche Streuglied dar, die beiden letzten riihren vom Sustausch her.

Nun gilt fur den Grundzustand des Wasserstoffatoms die Be- ziehung :

Q2 - q, (r) = - a2 (Energiesatz).

Hat aber infolge eines StoBes ein IonisationsprozeB statt- gefunden, dann ergibt sich die Wellezlzahl des Sekundarelek- trons k aus:

(a + S Y - (r) = k2 .

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt:

q = 1 / Q 2 ~ ~ ~ 2 8 + k 2 + a2 - Q cos I?, wobei

6 = + @, 9).

Dieser Wert fur q wird in (3) eingesetzt. Der so erhaltene Ausdruck ist sodann iiber alle moglichen Winkel, die der Stofi- vektor und der Wellenzahlvektor des Atomelektrons miteinander bilden konnen, und uber alle Phasenraumbesetzungen zu mitteln. Man hat also zu berechnen:

y ist dabei die auf Eins normierte Wellenfunktion cles Wasser- stoffatoms ini Grundzustande:

k d k 8 n cr= N f ( K , k ) d k = ~ K2 I 4 1 1

' (PG55 + -3 - (kY+ "2 ) ( (K2- kY) + @-).

I (4) I

Diese Formel gibt also die Zahl der pro Zentimeter von einem Primarelektron der W elleozahl Ii in Wasserstoff ausgelosten Sekundarelektronen der Wellenzahl k im Bereiche k bis k + d k wieder. Ihr wesentlichster Unterschied gegen die Mo ttsche Streu- formel besteht darin, daB sie fiir k --t 0 einem endlichen Grenz- wert zustrebt, wahrend jene fur q = 0 divergiert. Von B e t h e s Formel ,unterscheidet sie sich neben ihrer grofieren analytisclien Einfachhoit noch dadurch, daB bei ihr der Elektronenaustausch beriicksichtigt ist.

E. Bagge. Berechnung der rnittleren Ionkierungsenergie der Gase 77

Zum Vergleich der Formel (4) mit der Erfahrung werde aus ihr die Gesamtzahl der Sekundarelektronen berechnet, deren Wellenzahl k groBer ist als eine vorgegebene: k,. Sie ist also einfach iiber k von

k, bis zu - zu integrieren. Als obere Integrationsgrenze ist nicht, lK wie man zunachst meinen mochte, K sondern - zu nehmen, weil

wegen der Nichtunterscheidbarkeit der beiden am StoBprozeB be- teiligten Elektronen in der Mo ttschen Streuformel immer dasjenige,

K VF

VT

- das nach dem StoB die grogere Energie besitzt, als betrachtet wird. Der groBte iiberhaupt auftretende

Abb. 1.

R

t

Geschwindigkeitsverteilung der SekundLrelektronen

Primarelektr& StoBvektor ist

aus Wasserstoff. Primiirenergfe: 10,s kV. O : MeSwerte von I s h i n o (a. a. 0).

71 = Zahl der Elektronen, die die Gegenspannung V (Volt) iiberwinden

dann der, bei dem beideTeilchen nach dem StoB gleiche Geschwindig-

keit haben, also k = q = = ist. Man erhalt (wieder unter Beriick-

sichtigung, daB K > a): h-

V2

4nn2N 1 2 n2 $- 3 (k i2 +

1 K2 1 li" (k," + us

s ( K k,) = 7 { --In ~-

(5)

Formel (5) gibt die Gesamtzahl der von einem Primarelektron der Wellenzahl Ii pro Zentimeter ausgelbsten Sekundarelektronen an, die eine durch k, bestimmte Gegenspannung V , = iiberwinden kijnnen.

In Abb. 1 sind die aus ihr folgenden Werte als Kurve I auf- getragen. AuBerdem ist die von B e t h e (a. a. 0.) berechnete und eine


weitere eingezeichnet, die sich aus (5) dann ergibt, wenn man die beiden letzten Austauschglieder in der geschweiften Klammer ver- nnchl5Bigt. Die theoretischen Zahlwerte sind, da experimentell nur Relativmessungen vorliegen, alle so umgerechnet, dah sie bei 110 Volt Gegenspannung exakt mit den1 entsprechenden MeSwert von I s h i n o I)

zusammenfallen. Man sieht, daB sich Kurve I ini Gebiet von 10-1000 Volt

Gegenspannung praktisch viillig an die MeBwerte anschmiegt. Weiter zeigt sich, daS die Beriicksichtigung des Elektronenaustauschs nur eine kleiiie Korrektur darstellt, die man bei den weiteren Rechnungen ebensogut weglassen kann. Dies ist uiii so berechtigter, als alle sonst no& benotigten F'ormeln unter Tlernachliissigung des Austauschs gewonnen sintl.

9: 5. Totalionisation

Nunmehr laBt sich die Totalionisation berechnen , da sowohl die Ausdrucke fur die difierentiale Ionisation als auch die f u r das BremsvermGgen von B e t h e bereits nngegeben sind. Die Geschwinclig- keitsverteilung der Sekundarelektronen langs der ganzen Rahn des Primiirteilchens ergibt sich clurch Integration von (4) iiber die Reich- weite des Elektrons. Es ist also:

R K

F ( X , k ) d k = J \ f ( K , k ) d k j d z = S i f ( r i , , h ) d k j ( - - - ) d l i , . d K, 0 A-, = I;

Nach B e t h e (a.a.0.) gilt:

ax K S

Dies in die vorhergeheiide Gleichung eingesetzt, ergibt :

Dabei ist der Integral-Logaritlimus li (2) definiert dnrch die Gleichung ":

1) M. Ishino , Phil. Mag. 32. S. 202. 1916. 2) Tabuliert bei J a h n k e - E m d e , Funktionentafel, 2. A d . 1933.

E . Bagge.

Ganz langs der

Rerechnwng der mitt leren Ionisierungsenergie der Gase 79

analog folgt fur die Gesamtzahl der Sekundarelektronen ganzen Bahn des Primarteilchens:

Unter Berucksichtigung von B e t h e s Formel fur die differeutiale Iouisation s (K):

4 n N S 3 4 . K L K up

s (I;) = 0,285 I In f

erhalt man daraus: 2 gz a IP S ( K ) = 0,0788 { cas + 3,83 li (=) - 4,68. }

Allerdings ist die Renutzung der B e thesclien Formeln fur kleine Ti an sich unberechtigt, da diese nach der Bornschen Methode gewonnen sind und daher fur kleine Geschwindigkeiten nicht mehr zu gelten brauchen. Man kann aber trotzdem die Hoffnnng haben, daB die Formel (9) die Erfahrung nicht schlecht beschreibt; denn bei hohen Qeschwindigkeiten, bei denen der von der unteren Integrations- grenze herriihrende dritte Summand in der geschweiften Klammer klein ist gegen die Beitriige der ersten beiden, muB sie j a in dem- selben MaBe richtig sein, wie die zu ihrer Berechnung benutzten, vom Experiment bestatigten l) Formeln (6) und (8). AuBerdem aber wird durch die Wahl von a als untere Integrationsgrenze erreicht, daB (9) auch im Gebiete kleiner Geschwindigkeiten ein physikalisch verniiuftiges Verhalten zeigt. Es ergibt sich nanilich hier eine zur nberspannung (V - V,) proportionale Gesamtzahl der Sekundar- elektronen.

Mit (7) und (9) wurde auf graphischem Wege die Losung von (2) durch Auswertung der Integrale der Reihe (1) aufgesucht. Diese Berechuung ist moglich, da (1) sehr rasch konvergiert und hereits niit den ersten fiinf Gliedern rollstiindig erfaBt ist. Das Ergebnis ist in Tab. 1 zusammengefaBt. Alle Rechnungen wurden dabei so durchgefuhrt, als ob die Formeln (7) und (9) im ganzen Geschwindigkeits- bereich vou der Ionisierungsspannung bis zu 30 kV esakt galten.

Es zeigt sic11 also, daB die mittlere Ionisierungsenergie von Wasserstoff (und zwar gilt das fur automaren) nacli unseren Rech- nungen von 31,s Volt bei 1 kV sehr langsani auf 34,l Volt bei 30 kV ansteigt. Es laBt sich dabei nicht sicher entscheiden, ob diesem Anstieg reelle Bedeutung zukommt oder ob er etwa auf die nur

1) Vgl. E. J. Will ictms, Proc. Roy. SOC. London 135. S. 105. 1932.

80

1000 5000

10000 30000

Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

T a b e l l e 1 Totalionisation in Wasserstoff

21,s 9O)li

172 331

~ _ _ _ _ 31,s

33,a 299 589 33;9

34J

niiherungsweise Giiltigkeit der Formeln (7) und (9) im Gebiete kleiner Geschwindigkeiten zuriickzufiihren ist. Jedenfalls aber l%Bt sich als theoretisches Ergebnis feststellen, daB in dem betrachteten Spannungs- bereich E sich nur wenig andert und im Mittel etwa 33 Volt betragt.

Experimentell liegeu Messungen an H, von L e h m a n n und Osgoodl ) Tor, die im Gebiet von 200-1000 Volt eine mittlere Ionisierungsenergie von 37 Volt finden. R e n n man bedenkt, daB H, eine Ionisierungsspannung yon 16 Volt besitzt, die entsprechend ihrem gegen atomaren Wasserstoff (1 3,52 Volt) erhohten Wert auch theoretisch ein etwas groReres E ergeben sollte, so ist die Uber- einstimmung zwischen Experiment und Theorie befriedigend.

Bemerkenswert ist noch, daR sich das Verhaltnis der aus hoheren Prozessen stammenden Elektrouen (J - 8) zu der der Sekundar- elektronen iiberall < 1, namlich zu 0,48 bei 1 kV, zu 0,81 bei 30 kV ergibt.

C. Atome mit mehreren Elektronen

$ 6. Die Geschwindigkeitsverteilung der Sekundarelektronen

Im folgenden werde die in 8 4 angegebene Methode zur Be- rechnung der Geschwindigkeitsverteilung der Sekundarelektronen aus Rasserstoff auf das Thonias-Fermi-Atom iibertragen. Es ist dies ihre sinngemaBe Anwendung auf dtome mit mehreren Elektronen. Denn in T h o m a s - F e r m i s c h e r NSiherung diirfen alle Atomelektronen als frei betrachtet werclen. Ihre Bindung an den Kern wird lediglich dadurch besorgt, da8 ihre kinetische Energie in einem bestimmteu Kernabstand einen durch den Energiesatz festgelegten Maximalwert nicht iiberschreiten darf. I m iibrigen aber sind alle ImpulsgroBen vom R e r t Null bis zum Maximalimpuls stets gleich wahrscheinlich.

1) J. F. Lehmann u. T. H. O s g o o d , Proc. Roy. SOC. Lohdon 116. S. 609. 1927.

E. Bagge. Berechnung der mittleren Ionisierungsenergie der Gase 81

Bei den nun folgenden Rechnungen wird aber nicht mit dem ursprunglichen Thomas-Fermi-Potential l) gerechnet, sondern es wird ein nach F e r m i und Amaldi2) modifiziertes benutzt, bei dem die Wechselwirkung des einzelnen Elektrons mit sich selbst eliminiert ist. AuBerdem sind in diesem Falle zwei verschiedene Potentiale z u un te r s cheiden .

1. Das gewohnlkhe Atompotential V . Es ist das richtige, durch eine unendlich kleine Probeladung bestimmbare Potential, das sich vermoge der L a p l a ceschen Gleichung der Elektrostatik beini neutralen Atom einstellt:

(p (2) ist die bekannte von F e r m i (a. a. 0.) tabulierte Funktion. 3% h' Z'/S

X = L . p ' = - (2 - 1 ) 2 / 3

Fur V gilt die Beziehung:

v+o '

Das Produkt k q (s) stellt eine kleine Korrekturfuuktion dar, die das Potential bereits bei einem endlichen Wert x = xo zum Ver- schwinden bringt.

2. Das Potential des einzelnen Elektrons T7*. Es bestimmt die Kraft auf ein Elektron. Von V ist es deshalb verschieden, weil auf das einzelne Elektrou cler Kern und nur die 2 - 1 ubrigen Elektronen wirken:

Der Ausdruck --L stell t dabei die Ionisierungsspannung des

Thomas-Fermi-Atoms dar. Der Unterschied zwischen x,* und so ist im allgemeinen klein und sol1 im folgenden vernachlassigt werden. Weiterhin gilt:

P 5*

k 7 (x) m k* ?,* (X).

1) L. H . T h o m a s , Proc. Cambr. Phil. SOC. 29. S. 542. 1927; E. Ferrni,

2) E. Ferrni u. E. A m a l d i , Acc. d'Ital. Rom 6. 8. 119. 1934. Auch Ztschr. f. Phys. 48. S. 73. 1925.

H. Jensen , Ztschr. f. Phys. 101. S. 141. 1936. Anualen der Physik. 5. Folge. 30. G


Entsprechend dem Potential (12) lautet die Energiebilanz beim IonisierungsprozeB jetzt :

(Q + q)2 - (pp(r) = k2, niit cler Abkurzung: sp,"(~) =

Also wird :

(13)

2 me V* ( 7 9

i 2

4 = Vk2 + y*z - Q2 sin2 8 - Q cos 8.

Dieses q wird jetzt in die Streuforniel (3) eingesetzt, wobei aber die vom Austausch herriihrenden Glieder vernachlassigt werden. Dann ist zuniichst iiber alle Iniiglichen Winkel 9. zu mitteln. Bezeichnet ill diesen Mittelwert, so erhalt man:

TTnd nun ist der Erwartungswert von M fur alle moglichen Phasenraunibesetzungen des neutralen Atonis zu bilden , namlich:

Wie den Tabellen von F e r n i i und A m a l d i (a. a. 0.) zu entnehmen ist, gelten f u r alle Atoiiie im Gebiete z < z, die Un- gleichungen : * k*. )I*(%)< 1 und z x o kT/(X)<< 1 .

X

Da beide Ausdriicke niiherungsweise einander gleich sind und in der Diflerenz 'p; - 'p, voneinander abgezogen werden, so ist es erlaubt, den zweiten Summanden in der eckigen Iilammer als ver- nachlassigbar lilein zu betrachten uncl weiterhin einfach wegzulassen.

Berucltsiclitigt nian dies, so folgt unter Beachtung von (11) sofort die Endformel fur die Geschwindigkeitsrerteilung der von einem Elektron der Welleuzahl K pro Zeutimeter Wegstrecke aus

E. Bagge. Berechnung der mitileren 1onisieru.ngsenergie der Gase 83

neutralen Atomen der Ordnungszahl Z ausgelbsten Sekundarelektronen

mit der JT7ellenzahl k im Bereiche von k bis k + d k :

Das Ergebnis ist trotz der umstandlichen Mittelbildungen bei seiner Herleitung iiberraschend einfach und l&Bt eine ebenso einfache Deutung des Ionisationsprozesses zu. Der Faktor 2 in (14) besagt doch, daB sich alle Elektronen des Atoms bei der Ionisierung gerade so verhalten, als maren sie freie, gleichberechtigte Teilchen, obwohl sie sich, jedes fur sicli betrachtet, in sehr verschiedenen Z u s t h d e n befinden.

Das mu8 offenbar LeiBen, daB bei der Bewegung eines inneren Elektrons nach dem Atomrand sofort nlle ubrigen so stark an die verlassene Stelle hindriingen, daB dafiir keine Arbeit geleistet werden muB. Lediglich, wenn das Elektron das Atom vollstandig verlassen will, mu6 es eine gewisse Energie, und zwar gerade die durch die Ionisierungsspannung gegebene, aufwenden. In der hier betrachteten Naherung verhalt sich das Atom also ebenso wie eine homogene, aus 2-Teilchen bestehende Fliissigkeitskugel, die zwar eine gewisse Oberfliichenspnnnung besitzt, bei der aber sonst ohne Arbeitsaufwand in ihrem Innern unigeriihrt werden kann.

W-ollte man jetzt die Formel (14) auf cin ganz bestimmtes Atom anwenden, dann erhielte man Ergebnisse, die nur in grober Siiherung niit der Erfahrung iibereinstimmen. Das Thomas-Ferniimodell liefert j a infolge der etwas summarischen Behandlung der Elektronen- zustiincle nur Aussagen iiber ein Atom, dessen Xigenschaften iiber die seiner Nachbarn in periodischen System der Elemente ge- mittelt sind.

Nun zeigt aber die aus dem Ergebnis (14) geschlossene, oben entwickelte Modellvorstellung einen Weg, wie man die Formel in Richtung auf das indivicluelle Atom verbessern kann. Man wird zwar weiterhin annehmen, daB sich die Elektronen im Atom ohne Arbeitsaufwand gegeneinander bewegen lassen, aber man wird die F e r m i - Amaldische Ionisierungsspannung clurch die wirltlicli beobachtete ersetzen.

Wie weit durch diesen Eingriff die Formel (14) verbessert wird, kann man allerdings nur dadurch erfahren. daB man sie am Ex- periment priift. Es ist also im folgenden i n G1. (14) p’ durch /i’ er- setzt, wobei:

p 2 = v, E 1 2 . v,

ci*

84 Aiinalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Zum Vergleich mit den Messungen von I s h i n o an Luft (a. a. 0.) wird aus (14) genau wie in 5 4 die Gesamtzahl der pro Zentimeter Weg von einein Primarelektron der Wellenzahl K gebildeten Sekundiirelektronen berechnet, deren Wellenzahl k groBer ist als eiue vorgegebene k,. Es folgt: (K > p)

I n Abb. 2 ist die aus (15) folgende theoretische Kurve fur Luft (V, = 16 Volt) eingezeichnet und mit den MeBwerten von I s h i n o vergliclien. Dabei wurden aus dem gleichen Grunde wie bei Abb. 1 die tlieoretischen Werte so umgerechnet, daB sie bei 110 Volt

n

t

-r Abb. 2. Geschwindigkeitsvcrteilnng der Sekuudsrelektronen aus Luft.

PrimCrenergie: 10,5 kV. Iinrve nach Forrnel (151 fur T.', = 16 Volt. 0 : MeSwerte von I s h i n o (a. a. 0.).

11. = Zahl der Elektronen, die die Gegenspannung V (Volt) uberwinden

Gegenspannung mit dem entsprechenden MeBwert von I s h i n o zusammenfallen. Es zeigt sich, daB in dem Gebiet von 20-500 Volt, in llem Experiment uncl Theorie beide zuverliissig sein sollten, sie auch praktisch in ihreu Aussagen ubereinstimmen. F u r kleinere Spannungen ist das iiicht der Fall , weil dann die zur Herleitung von (15) benutzten theoretischen Voraussetzungen nicht mehr erfiillt sind.

Fur griiBere Spannungen sind die lieiden noch vorliegenden MeB- werte bei 790 und 990 Volt unbrauchbar. Den Messungen uberlagert sich niimlich ein von weicher Rontgenstrahlung herriihrender Restgang, cler nachtriiglich zu eliminieren ist. I s h i n o (a. a. 0.) hat nun einfach den Gesnmtstrom, den e r bei 1190Volt Gegenspannung noch miBt und der in den Einheiten cler -4bb. 2 n = 6,71 betragt(!), als Restgang

E. Bagge. Berechnung der niittleren Ionisierungsenergie der Gase 85

von allen MeBwerten abgezogen. Dadurch erhiilt er nur scheinbar das Ergebnis, da6 Sekundarelektronen, deren Energie > 1190 eV ist, gar nicht auftreten, wahrend sie sich in Wirklichkeit naturlich hinter dem Restgang verbergen, der j a um das 10-100 faclie gro6er ist als der zu erwartende Sekundarelektronenstrom. Es ist klar, daB dann auch die beiden am nachsten unter 1190 Volt liegenden MeB- punkte noch vollig entstellt sind.

nach T h o m s o n :

s=- ,

0 7. Die differentiale Ionisation der Gase

Eine ’Formel f u r die differentiale Ionisation der Gase kann man im Prinzip aus (15) entnehmen, indem man dort k, = 0 setzt. Diese ist aber aus denselben Grunden falsch, aus denen (14) bei kleinen Wellenzahlen k < ,5’ versagt.

Nun bat B e t h e die differentiale Ionisation nach der B o r n - schen Methode behandelt und einen Ausdruck fiir s erhalten, der dem besonderen Verhalten des Elektrons bei StoBen mit kleiner Impulsubertragung richtig Rechnung tragt. Dafur treten jedoch in seiner Formel gewisse schwer berechenbare GroBen auf, die es dann nicht erlauben, die GroSe s im Einzelfall zahlenma6ig zu herechnen.

Unt,er Ausniitzung der Ergebnisse sowohl der wellenmechanischen als auch der hier wiedergegebenen Rechnung, werde versucht, zu einer geeigneten Abschatzung fur s zu gelangen. Man erhalt sie am einfachsten aus der folgenden Gegeniiherstellung:

Es ergibt sich bei Wasserstoff:

nach B e t h e : n . K 3

s=-

.nach (5): 5 4 n N 3 K a

s = - . -

86 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 30. 1937

Die Gegeniilrtemttllung der m f klassischeni und der auf wellen- niechanischeni W‘ege abgeleiteten E’ormeln fur s zeigt, da6 dieser Faktor erst in der letzteren auftritt. Das ist zu verstehen, weil ja die klassische Beschreibung des Elektrons als Partikel bei den ganz kleinen Geschwindigkeiten, die fiir die Herleituug von s eine wesentliche Ilolle spielen, versagt und durch das Wellenbild zu ersetzen ist.

Der in der quantentheoretischen Formel auftretende Iogarith- mische Faktor ist clann offenbar nicht so sehr durch die speziellen Eigenschaften des Atoms, das n i m gerade betrachtet, als vielmehr durch das besondere wellenmechanische Verhalten des Elektrons bedingt. Und damit erscheint es gerechtfertigt, denselben Faktor fur alle Atonie auzunehmen.

Zur Beurteilung der G1. (16) sei noch angefiihrt: B e t h e hat unter Benutzung von Wasserstoffeigenfunktioneu die

Ionisierungsfaktoren en berechnet. Ihre Werte siud :

(nZ) i 1s ’ 2s I 2 p

eBt

3 s ! 3 p I 3 d ! 4 s ~ 4p I 4 r l 1 4f

1 0,ZS 1 0 3 1 0,13 I 0,17 1 0,IJ 1 0,07 1 0,15 1 0,13 1 0,09 I 0,04 ~~ ~ ~ ~ ~ _ _ _ _ _ _ _ _

Ihnen entspricht in (16) der mittlere Wert: 0,171. Formel (16) steht in der Ta t fur gro6ere Geschwindigkeiten

befriedigend in flbereinstimmung iiiit der Erfahrung. F u r kleinere gilt sie nicht, da sie infolge der Verwendung der Thomas-E’ermi- nietliode fiir ihre Herleituug Zhnlich wie die Blochsche (a. a. 0.) Bremsformel erst dann anniihernd richtige Ergebnisse liefern wird, wenn fur die Wellenzahl des Primarelektrons gilt:

d. h., wenn die Primiirenergie des stoBenclen Teilchens

E > 202 eV is t.

-4uBerdem gilt (1 ti) nur, solange relativistische Effekte noch ver- nachliissigbar klein sind.

In Abb. 3 sind einerseits die Messungen von Smith’) und C o m p t o n und v a n V o o r h i s 2 ) , andererseits gestrichelt die am (16j folgenden Kurven fiir -4rgon und N e o n eingezeichnet. Es ist clabei hercorzuheben, daB es sich in1 Gegensatz zu den Abb. 1 und 2, bei

~~

1) P. T. S m i t h , Phys. Rev. 36. S. 1293. 1930; 37. S. 808. 1931. 2) K.T. Compton 11. C. C. Voorh i s , Phys.Rev. 56. S. 436. 1925; 97.

S. 724. 1926.

E. Bagge. Berechnung der mittleren Ionisierungsenergk der Gase 87

denen nur Relativwerte verglichen werden konnten, hier um eine Darstellung der Absolutbetrkge der Messungen und der Bngaben con (16) handelt. Wie man sieht, stimnien innerhalb der Streuung der experimentellen Werte die Aussagen von Experiment und Theorie im Gebiete von 300-1400 Volt sowohl ihrem Verlauf nach als auch quantitativ iiberein.

AM. 3. Differentiale Ionisation von Argon und Neon. (-) E Messung von S m i t h (a. a. 0.) (-) 11: Messung von Compton und v a n V o o r h i s (a. a. 0.) (- - - -) 111: Theoretisch nach Formel (16)

Die Verhaltnisse bei hoheren Primarenergien sind aus Tab. 2 zu entnehmen.

T a b e l l e 2 Differentiale Ionisation von Luft und 0,

Gas I Primarenergie kV I Experiment ~ nach (16) I Beobachter

Luft . . 25 1 96 I 122,s I Wilson 0,. . . 43 40,5 Williams u. Terroux

Die erste Zeile stellt Xebelkammerzahlungen Ton W i l s o n l) dar, die zweite solche von W i l l i a m s und T e r r o u x Z ) . Die flbereinstimmung zwischen den esperimentellen und theoretischen Zahlen- angaben ist in Anbetracht der groBen meBtechnischen Schwierigkeiten dieser Methode befriedigend. AuBerdem ist eu bemerken, daB die Berucksichtigung I der relativistischen Korrektionen im zweiten F'alle s in Richtung auf die beobachtete GroBe noch etaas verbessern diirfte.

I) C. T. R. W i l s o n , Proc. Roy. SOC. London A. 104. S. 192. 1923. 2) E. J. W i l l i a m s u. F. R . T e r r o u x , Proc. Roy. SOC. London A. 1%.

8. 289. 1930.


5 6. Totalionisation

Die Berechuung der Totalionisation geschieht ganz analog der, wie sie in 8 5 bei Wasserstofl' durchgefiihrt wurde. Unter Benutzuog der Blochsclien Rremsformel fiir Elektronen:

4nar'NZ 4 n K 2 rl IL- In- d 2 zx .= ~ = -

und der Ausdriicke (14) und (16) ergibt sich fur die Gesamtzahl der Bekmi~lkelektronen der Welleuzahl k in1 Bereiche k bis k + d k , die Ton einem Primiirelektrou mit der Anfangswellenzahl K langs dessen ganzer Bahn gebildet u erden niiherungsweise unter Voraus- setmugen, die sogleich besprochen werden :

Ebenso folgt fiir die Gesamtznhl der Seltundarelektronen langs der gnuzen Rahn tles Primiiiteilchens mit der Anfangswellenzahl I<:

An sic11 ergibt die einfache Durclirechnung nicht genau die Ausdriicke (1s) und (19), sondern solche: bei deneii unter den Inte- grallogarithmen der Sumiiinnd l f'ehlt. I n dieser Form sind auch die beiden Formeln im Gebiete groAer Geschwindigkeiten, wo la sowieso ___ > 1 ist, wieder in derselben Naherung richtig, wie

die zu ihrer Herleitung beniitzten Formeln. F u r kleine K dagegen lciirden sie aber vollstiindig versagen, weil namlich (17) an der Stelle

4 n Ii2 zx u'i

-- 4 n K d - 1 fur die Rremsung den W'ert Null liefert. Das wurde Z X 0'

durch Hinzufiigung der Eins unter dem logarithmischen Faktor verhiitet. Diese Art der Korrektur liegt nahe, aei l dann die Brems- forinel gerade bei der Geschwindigkeit Null divergiert.

U'eiterhin erwies sie sich aucli deswegen als praktisch, weil damit f u r die hier betrachteten Gase Neon und N , die GroBe S ( K ) in der Gegeltd von deren Toliisierungsspannung von selbst ver- sch\\indet, wie es ja auch dem physikalischen Sachverhalt entspricbt. Wieder ergilrt sich aucli hier bei kleiuen Energien eine zur fjber- spannung (V - V,) proportionale Gesanitzahl der Sekundarelektronen.

Mit clen Formeln (18) und (19) wurde die LoBung der Integral- gleichung (2) genau wie in den1 analogen Fall bei Wasserstoff durch graphische Berechnung der einzelnen Glieder der N e u m a n n schen Heihe aufgesucht und damit die Totalionisation J (I() bestimmt. Die Ergebnisse sind in Tab. 3 zusammengestellt.

E. Bagge. Berechnung der mdttleren Ionisierungsenergie der Gase 89

T a b e l l e 3 Totalionisation in Ne und N,

Primiirenergie kV

10 5 l 20 I

J - S I V I a = - J I

Neon: V, = 21,5 V 3S,2

1,36 ~ 40,3 473 1,53 42,2

25,s :$ ~ 27,2

1 ss Stickstoff: V, = 16 V

71 194

233 2,07 2S,6

Zunachst stellt man fest, daB in erster Naherung die mittlere Ionisierungseuergie fur beide Gase annahernd konstant ist. Es ist nicht auszuschlieBen, dnB der noch verbleibende Anstieg von E auf die Korrektionen an der Bremsformel (1 7) zuruckzufuliren ist. Um die GroBe dieses Zuwachses im Bereich yon 5-20 kV sind die theoretischen Zahlen bestimmt noch unsicher. 3 s ist j a zu bedenken, daM fur die Berechnung der Zahl der Tertiar-, Quartar- usw. -Elektronen das Verhalten von S (I<) bei den kleinen Elektronen- geschwindigkeiten wenig uber der Ionisierungsspannung ziemlich wesentlich eingeht. I u diesem Gebiet hat aber die Formel (19) nur interpolatorische Gultigkeit.

Bei groBen Geschwindigkeiten sollte dagegen (19) die Erfahruiig richtig wiedergeben. Die S (Kj-Werte der zKeiten Spalte diirften deshalb nahezu richtig sein.

Experimentell wurde E von G e r b e s l ) fur Ne und N, bestimmt. Seine MeBwerte sincl:

Ne hei 20 kV 28,6 & 0,2 Volt N , ,, 20 kV 34,O f 0,2 Volt.

Bei einem Vergleich dieser Zahlen mit den entsprechenden Angaben der Tab. 3 zeigt sich folgendes:

I m Falle des Stickstoffs findet man experimentell 34,O Volt, wiihrend sich theoretisch ein E = 25,6 Volt ergibt. In Anbetracht der relativ groBen Unsicherheit der theoretischen Zahlwerte kann man mit diesem Ergebnis zufrieden sein.

Beim Neon zeigt sich dagegen bei den entsprechenden Zahlen eine groBe Verschiedenheit beider. Statt der theoretisch zu er- wartenden 42,2 Volt erhalt man experimentell den Wert 28,6 Volt.

1) W. G e r b e s , Ann. d. Phys. [5] ‘23. S. 648. 1935. Ein Teil der Messungen ist noch nieht veriiffentlieht. Herrn Prof. Dr. H. Kulenkampff danke ieh auch an dieser Stelle fur die freundliche brief liche Mitteilunp dieser Ergebnisse.

,

-~

90 Annalen der Physik. 5. Folge. Rand 30. 193'1

Bei einer Beurteilnng dieses Ergebnisses ist naturlich wieder einerseits zu bedenken, da6 es infolge irgendwelcher spezieller Eigen- schaften des Neon-Atoms, die im Interpolationsgebiet der Formel (19) nicht erfaf3t sind, mijglich ware, daB sich auch theoretisch ein kleineres E ergibt. Eeiterbin wurclen ja in der ganzen Rechnung alle Prozesse vernachlassigt, bei denen Selrundarelektronen etwa durch Augerspriinge entstehen. Doch zeigt der Vergleich der Formeln (15) und(16) rnit der Erfahrung, da6 dies offenbar erlaubt ist. Andererseits ist wohl zu beriicksichtigen, daB die Sngaben fiir B

bei verschiedenen Autoren zum Ted stark voneinander abweichen l). Ganz allgemein kann man ohne weitere Rechnung aus den

Formeln (18) und (19) zusarnmen mit (2) bezuglich der Berechnung von E noch folgendes ablesen: In erster Naherung ist die mittlere Ionisierungsenergie fiir alle Gase von Z nahezu unabhangig. Als wesentliches Bestimmungsstiick tritt dagegen deren Ionisierungs- spannung auf, Ein einfacher Zusarnmenhang zwischen E und V z besteht zwar nicht. Doch sollte in den meisten Fallen die Regel erfiillt sein, da6 beini Vergleich mehrerer Gase dasjenige mit der hiiheren Ionisierungsspannung auch die gro6ere rnittlere Ionisierungs- energie besitzt. -

Die Rechnungen wurden durchgefiihrt in1 Institut f u r theoretische Physik der Universitiit Leipzig. Herrn Prof. Dr. W. H e i s e n b e r g danlte ich lierzlich fiir viele Ratschliige, seine Hilfe und sein stetes Interesse bei der Rearbeitung der hie, hehandelten Fragen.

1) Jrgl. dazu: Handb. d. Phys. XSII. 2. Artikel von Bothe .

L e i p z i g , Institut fiir theoretische Physik, den 9. Juni 1937.

(Eingegangen 10. J u n i 1937)

Über die Berechnung der mittleren Ionisierungsenergie der Gase_Erich.Bagge

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