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Anne universitaire 2014/2015Universit Joseph Fourier (UJF)
Grenoble I - Tous droits rservs
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Anne universitaire 2014/2015Universit Joseph Fourier (UJF)
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Chapitre 2 :Evaluation des mthodes danalyse applique
aux sciences de la vie et de la sant
Pr. Philippe CINQUIN
UE 4 : Mathmatiques Biostatistiques
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Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables relles
Nous nous limiterons ltude des Fonctions de Rn
dans R
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Fonctions de Rn dans R
Construction de Rn Les lments de Rn sont des n-uplets x = (x1,
x2, x3, , xn) x est un vecteur de dimension n On pourra sintresser
des sous-ensembles de Rn, par exemple [a,b] X [c,d] reprsente
lensemble des vecteurs x =(x1, x2) tels que : a x1 b c x2 d
Une fonction f de Rn dans R est une fonction qui associe tout
n-uplet x un certain rel, not f(x) = f(x1, x2, x3, , xn)
Exemples : Altitudes dune carte IGN : soit z laltitude, la carte
est une reprsentation de la fonction
z= f(x, y), o (x, y) est le vecteur qui donne la latitude et la
longitude du point considr. Pression atmosphrique utilise en mto :
P(x, y, z)
Les notions introduites pour les fonctions dune variable se
gnralisent facilement aux fonctions de plusieurs variables. Nous ne
dtaillerons que la gnralisation de la notion de drive et ses
applications.
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Exemple de reprsentation dune fonction de 2 variables
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Drives partielles dune fonction de 2 variables
La fonction profil dlvation des outils de cartographie numrique
permet de choisir une portion de plan vertical contenant un point
origine A et un point arrive B.
Le profil dlvation reprsente laltitude sur le chemin fictif qui
mnerait du point A au point B en restant dans le plan
slectionn.
A tout moment, le randonneur fictif se dplaant sur ce chemin est
au point M de latitude x et de longitude y. Son altitude est z(x,
y).
Soit s la distance de A la projection au sol de M (voir schma).
Laltitude z du randonneur dpend bien sr de s, on peut crire tout
moment de la randonne : z(M) = z(s) = z(x, y).
Bien sr, si vous utilisez un outil de ce genre pour prparer
votre randonnes, lintrt que vous y trouverez sera de pouvoir prvoir
la difficult du trajet Par exemple, si vous me demandez mon avis,
je vous dconseillerai fortement ce chemin, car une pente rocheuse
de 83% me paratrait suicidaire
Mais quavez-vous fait en utilisant cet outil ? Vous avez
transform une fonction de 2 variables en une fonction dune seule
variable, s, qui vous parle mieux !
A B
M
s
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Drives partielles dune fonction de 2 variables
Dans cet exemple, peut-on, au vu des donnes prsentes dans le
schma, estimer la drive z(s0) au point M0 figurant sur le schma, en
tenant compte des indications sur les variations entre M0 et M
?
On lit : distance = 407 m ; gain dlvation = -296 m
Soit s = 407 ; z = -296 ; donc
A B
M0
s
z (s0 ) zs 296407
0, 73
s=407z= -296 M
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Drives partielles dune fonction de 2 variables
z(s) a pu tre obtenu en contraignant le randonneur se dplacer
selon un chemin qui se projette sur la base de la carte sur une
ligne droite : on a ainsi pu se ramener ltude dune fonction dune
seule variable (s), suppose drivable.
Cest ce mme principe qui permet de construire les drives
partielles . Au voisinage du point M0 (x0, y0), on va construire 2
profils :
Un profil parallle laxe des y. Cela revient fixer y = y0 et
tudier la fonction. Si g est drivable, sa drive g sera appele
drive partielle de f par rapport x.
Un profil parallle laxe des x. Cela revient fixer x = x0 et
tudier la fonction. Si h est drivable, sa drive h sera appele
drive partielle de f par rapport x.
z f (x, y0 ) fy0 (x) g(x)
z f (x0, y) fx0 (y) h(y)
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Notation des drives partielles dune fonction de plusieurs
variables
Le procd dcrit plus haut peut tre appliqu pour une fonction avec
un nombre quelconques de variables : on obtiendra n drives
partielles pour une fonction de Rn dans R.
Ce procd peut tre appliqu en tout point de lespace de dfinition
de f, sous rserve que les fonctions unidimensionnelles tudies
soient drivables. Dans ce cas, on construit donc, partir de f, n
nouvelles fonctions.
Pour viter de confondre les drives des fonctions dune variable
et les drives des fonctions de plusieurs variables, on choisit
dutiliser des lettres rondes . Dans le cas dune fonction f de 3
variables, on pourra crer ainsi :
fx (x, y,z)fy (x, y, z)fz(x, y, z)
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Gnralisation de la notion de drive
Pour une fonction f(x) dune seule variable, nous avons vu que si
f tait drivable sur un intervalle I, on pouvait en tout point x0 de
I construire la tangente au graphe de f, droite de pente f (x0), et
dquation : y =f (x0)x + f(x0)
La fonction A(x) qui tout x rel associe y=f (x0)x est appele
application linaire tangente f .
NB1 le terme application traduit le fait que cette fonction A
est dfinie sur R tout entier
NB2 le terme linaire traduit le fait que pour tout k rel,
A(kx)=kA(x)
Donc la drive f permet dassocier tout rel x non seulement un
autre rel, f (x), mais aussi lapplication linaire tangente
A(x).
Pour des fonctions de plusieurs variables, on peut gnraliser
cette notion.
Commenons par le cas dune fonction de 3 variables, f(x,y,z),
suppose drivable. Dfinissons lapplication linaire tangente f en
(x0, y0, z0) par
A(x, y, z) fx (x0, y0, z0 ) xfy (x0, y0,z0 ) y
fz(x0, y0,z0 ) z
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Gnralisation de la notion de drive
On voit que A dpend de (x0, y0, z0), exactement comme en
dimension 1 la drive dpendait du point considr.
Notion de produit scalaire de 2 vecteurs de dimension quelconque
(ici, dimension 3) : Soient 2 vecteurs a(xa, ya, za) et b(xb, yb,
zb) On appelle produit scalaire de a par b, et on note a.b le rel
a.b =xa.xb + ya.yb +za.zb
Notion de gradient : on appelle gradient de f au point (x0, y0,
z0), et on note G(x0, y0, z0) le vecteur dont les trois coordonnes
sont les drives partielles de f par rapport respectivement x, y et
z. Par commodit, on pourra reprsenter ces trois coordonnes sous
forme verticale , et donc noter :
La drive f (x0, y0, z0) peut alors tre vue comme lapplication
linaire qui tout
vecteur u=(x, y, z) associe [G(x0, y0, z0) . u] =
)z,y,x(zf
)z,y,x(yf
)z,y,x(xf
)z,y,x(G
000
000
000
000
fx (x0, y0, z0 ) x
fy (x0, y0, z0 ) y
fz(x0, y0, z0 ) z
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Premire tape de la gnralisation de la formule de Taylor
En dimension 1, nous avions vu quil tait possible dapproximer f
en x0 par sa tangente , et la formule de Taylor nous rassurait sur
le fait que lerreur commise tait faible quand x est suffisamment
proche de x0 :
et quen pratique on pouvait crire, en notant df = f(x) f(x0) et
dx = x - x0 :
En dimension suprieure 1, ici 3, on dispose dune formule
similaire (le . reprsente ici le produit scalaire :
avec
)z,y,x(zf
)z,y,x(yf
)z,y,x(xf
)z,y,x(G)z,y,x(f
000
000
000
000000
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )
f (x, y,z) f (x0, y0, z0 ) f (x0, y0,z0 ) (x x0, y y0, z z0
)
df f (x0 ) dx
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Premire tape de la gnralisation de la formule de Taylor
(suite)
Notons
Alors :
En pratique, on nhsitera pas crire :
Il faut bien voir que cela revient dire que lon peut approximer
f par lapplication linaire tangente (notion qui gnralise donc la
notion de droite tangente utilise en dimension 1).
dz)z,y,x(zfdy)z,y,x(
yfdx)z,y,x(
xfdu)z,y,x(Gdu)z,y,x(fdf 000000000000000
df f (x, y,z) f (x0, y0, z0 )du (x x0, y y0,z z0 )
dz)z,y,x(zfdy)z,y,x(
yfdx)z,y,x(
xfdf 000000000
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Intuition graphique de lapplication linaire tangente
Supposons connue la surface sur laquelle se dplace le
randonneur, sous forme dune fonction z(x,y). Le randonneur est au
point M0 (x0, y0), et il veut se dplacer au point (x0+dx, y0+dy).
Que vaudra sa variation d altitude df ?
On peut lapproximer en considrant quau voisinage de M0, la
surface de la montagne est suffisamment proche de la surface de la
portion de plan tangent reprsente par un paralllogramme sur le
schma.
On peut alors remplacer les mouvements du radnonneur sur la
montagne par ses mouvements sur le plan tangent, autrement dit
approximer df par :
dy)y,x(yfdx)y,x(
xfdf 0000
M0 (x0, y0)
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Drives partielles secondes
Chaque drive partielle est une fonction de Rn dans R, qui peut
donc son tour tre drivable.
Soit par exemple f une fonction de 3 variables, dont la drive
partielle par rapport x existe et est elle-mme drivable. Notons
cette drive partielle
On va pouvoir construire, en drivant g successivement par
rapport x, y puis z, trois nouvelles drives partielles :
2 fx2 (x, y, z)
gx (x, y, z)
2 fyx (x, y,z)
gy (x, y, z)
2 fzx (x, y, z)
gz (x, y, z)
g(x, y,z) fx (x, y, z)
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Drives partielles secondes
Supposons maintenant que les drives partielles de f par rapport
x, y et z existent toutes et soient toutes nouveaux drivables
partiellement . Nous pouvons alors construire, pour une fonction 3
variables, 9 drives partielles secondes :
On dmontre que les drives partielles croises sont indpendantes
de lordre de drivation :
2 fx2
2 fyx
2 fzx
2 fxy
2 fy2
2 fzy
2 fxz
2 fyz
2 fz2
2 fxy
2 fyx
2 fxz
2 fzx
2 fyz
2 fzy
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Deuxime tape de la gnralisation de la formule de Taylor
En dimension 1, si on pousse la formule de Taylor jusqu la drive
seconde, on obtient :
Autrement dit :
Ou encore, en notant
Ce qui peut sinterprter de la manire suivante : lcart entre f et
la droite tangente peut tre approxim par la fonction parabolique
(polynome de degr 2 en dx) reprsente dans le membre droit de cette
quation.
NB on comprend alors pourquoi le signe de la drive seconde
dtermine le sens de la convexit de f. En effet, si f "(x0)>0, la
parabole du membre droit de lquation est convexe, donc f est aussi
convexe.
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) 12 f (x0 ) (x x0 )2
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) 12 f (x0 ) (x x0 )2df f (x) f x0
dx x x0df f (x0 ) dx 12 f (x0 ) dx
2
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Deuxime tape de la gnralisation de la formule de Taylor
On peut gnraliser cette interprtation en dimension
quelconque.
En dimension 2, soit f(x,y), suppose drivable 2 fois sur R ,
dont les drives en (x0,y0) sont :
et
Notons
On dmontre quon peut crire :
Autrement dit, lcart entre f et le plan tangent est un polynome
Q de degr 2 en dx et dy. On dira que Q est une forme quadratique
.
Etudier le comportement de Q nous permettra de mieux comprendre
le comportement (la forme) de f.
df gx dx gy dy 12 adx2 2bdx dycdy2
Ggx fx x0, y0 gy fy x0, y0
a 2 f
x2 x0, y0 b2 fyx x0, y0
b 2 f
xy x0, y0 c2 fy2 x0, y0
df f (x, y) f x0, y0 dx (x x0 )
dy (y y0 )
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Drives partielles : exemple 1
Calculez les drives partielles premires et secondes de
Lcart entre f et son plan tangent vaut donc :
f (x, y) 12
x2 2xy 52
y2
Ggx fx x 2y
gy fy 2x5yH
2 fx2 1
2 fyx 2
2 fxy 2
2 fy2 5
df gx dx gy dy 12 dx2 4dx dy5dy2
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Drives partielles : exemple 1
Etudions le polynme
Avec un changement de variable :
On observe que Q est donc toujours positif.
On remarque que, si lon fixe V, Q se comporte comme une
parabole.
De mme, si on fixe U, Q se comporte aussi comme une
parabole.
Un point (x,y) dune fonction tel que lcart de la fonction son
plan tangent en ce point puisse scrire comme somme de deux
paraboles dont la convexit est oriente dans le mme sens sera dit
parabolique
Q(X,Y) X2 4X Y 5Y2
Q(X,Y) (X 2Y)2 Y2U X 2YV Y
Q(X,Y) Q(U,V) U 2 V2
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Drives partielles : exemple 2
Calculez les drives partielles premires et secondes de
Lcart entre f et son plan tangent vaut donc :
f (x, y) x2 xy
Ggx fx 2x y
gy fy xH
2 fx2 2
2 fyx 1
2 fxy 1
2 fy2 0
df gx dxgy dy 12 2dx2 2dx dy dx2 dx dy
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Drives partielles : exemple 2
Etudions le polynme
Avec un changement de variable :
On observe que Q est donc la diffrence de 2 paraboles:
si lon fixe V, Q se comporte comme une parabole convexe.
si on fixe U, Q se comporte comme une parabole concave.
Un point (x,y) dune fonction tel que lcart de la fonction son
plan tangent en ce point puisse scrire comme diffrence de deux
paraboles sera dit hyperbolique
Q(X,Y) X2 X YQ(X,Y) (X 1
2Y)2 1
4Y2
U X 12
Y
V 12
Y
Q(X,Y) Q(U,V) U 2 V2
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Quelques lments de gomtrie diffrentielle
On dmontre quil est possible de gnraliser en dimension
quelconque ce que nous avons vu dans les deux exemples prcdents en
dimension 2 :
Soit f(x1, x2,, xn) une fonction de Rn dans R, deux fois
drivable. Soit G son gradient.
Il est possible de trouver un changement de variable u=(u1, u2,,
un) = P(x1, x2,, xn) tel que lcart entre f et son application
linaire tangente puisse scrire
Nous nous limiterons au cas o tous les i sont diffrents de 0. f
sera dite elliptique en un point si tous les i sont de mme signe en
ce point f sera dite hyperbolique en un point si les i ne sont pas
tous de mme signe en ce
point
df G u 1u21 2u22 ...nun2
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Bassins, cols et gomtrie diffrentielle
Une zone o tous les points sont elliptiques et o tous les isont
positifs peut tre vue comme un bassin , qui gnralise la notion de
convexit vue en dimension 1.
Un bon exemple est le parabolode de rvolution , cest--dire la
surface engendre par la rotation dune parabole autour de son axe
(cf. schma, repris de Wikipedia).
Bien sr, si tous les i sont ngatifs, le bassin se transforme en
dme .
Notez ds ce stade quune bille lche sans vitesse en un point
quelconque de ce bassin ne pourra en sortir
On voit donc dj intuitivement que la notion de point elliptique
sera associe une notion de stabilit
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Bassins, cols et gomtrie diffrentielle
Au contraire, la notion de point hyperbolique sera associe une
notion dinstabilit, comme on le voit dans ce schma (repris de
Wikipedia) de la surface z=x2-y2.
On conoit en effet quune bille lche en un point quelconque de
cette surface pourra, selon son point de dpart et sa vitesse
initiale, verser du ct des y>0 ou du ct des y
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Gradient et ligne de niveau
Tout randonneur connat la notion de gradient !
La direction du gradient est en effet la direction de la ligne
de plus grande pente , et son module (son intensit ) donne la
valeur de cette pente.
Soit un randonneur qui se trouve en un point M0 (x0, y0)
daltitude z0 =f(x0, y0). Montrons que pour suivre une ligne de
niveau (traduire choisir une direction telle que son altitude z
reste constante), il doit avancer dans une direction orthogonale
(perpendiculaire) au gradient
Soit M(x,y) sa position courante, dont laltitude est f(x,y).
Soit s la distance parcourue entre M0 et sa position courante
M(x,y).
On peut considrer que M est une fonction de s : M(s) =
(x(s),y(s)).
Si x(s) et y(s) sont drivables :
dx = x(s)ds
dy= y(s)ds
Le vecteur t=(x(s), y(s)) sera appel vecteur tangent la
trajectoire du randonneur
G(x0, y0 )
fx (x0, y0 )fy (x0, y0 )
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Gradient et ligne de niveau
En utilisant la premire gnralisation de la formule de Taylor, il
vient :
Remplaons dans cette formule dx et dy par leur expression en
fonction de s :
Or, si le randonneur reste sur une ligne de niveau, f(s) reste
constant, donc df=0, do
La partie droite de cette quation signifie que le produit
scalaire entre le gradient G et le vecteur tangent t est gal 0, ce
dont on montre que cela traduit le fait que ces deux vecteurs sont
orthogonaux (perpendiculaires).
Donc quand le randonneur suit le vecteur tangent, son altitude
ne varie pas. Sil scarte de plus en plus du vecteur tangent pour
descendre , son altitude va baisser de plus en plus vite , jusqu ce
quil soit dans la direction du gradient. L, la vitesse de baisse de
son altitude sera maximale, car il sera dans la ligne de plus
grande pente .
NB le gradient est donc la direction que prendra une goutte deau
lche sans vitesse initiale sur une surface.
df fx (x0, y0 ) dxfy (x0, y0 ) dy
df fx (x0, y0 ) x '(s)dsfy (x0, y0 ) y'(s)ds
0 fx (x0, y0 ) x '(s)dsfy (x0, y0 ) y'(s)ds
fx (x0, y0 ) x'(s)
fy (x0, y0 ) y'(s)
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Exemple de reprsentation graphique du vecteur tangent une courbe
de
niveau et du gradient
TangenteGradient
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