Ud energia i treball 1406

Apunts de Física:

ENERGIA I TREBALL

1r de BATXILLERAT

jvsirerol – 2014

2

1. Energia 1.1. Introducció

En cursos passats hem definit l’energia com una propietat (per tant, no és alguna

cosa material) dels cossos o sistemes que està relacionada amb la capacitat de produir canvis en altres sistemes o/i en ells mateixos.

Per exemple, les plantes utilitzen part de l’energia rebuda del Sol per fer possible les reaccions químiques necessàries per produir el seu aliment. A la vegada algunes d’aquestes plantes, quan les mengem, ens proporcionen l’energia que necessitem per a la nostre vida diària. En tots aquests processos, es produeixen canvis, en el Sol, en les plantes i en noltros mateixos, tots ells relacionats amb el concepte d’energia.

També vam veure i estudiar alguns dels aspectes en què es presenta l’energia. Els més important són: • Energia cinètica: Propietat assignada als cossos que tenen velocitat.

E mvc =12

2

• Energia potencial: Propietat relacionada amb la posició o deformació del cossos. Principalment, hem estudiat l’energia potencial gravitatòria que assignem als cossos que es troben a prop de la superfície de la Terra.

E mghp = • Energia interna: Propietat relacionada amb l’estructura interna dels cossos o

sistemes (energia química associada a l’energia dels enllaços entre els àtoms), de la temperatura del cos i de la seva massa.

Recordem les unitats de l’energia. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ La unitat de l’energia en el Sistema Internacional és el Joule, J. Altres unitats d’energia són:

- La caloria, cal, que equival a 4,18 Joules. No és del Sistema Internacional. - També és unitat d’energia el kilowatt per hora, kWh, que és la unitat

d’energia que utilitzen les companyies elèctriques. L’equivalència amb el Joule és: 1 kWh =3.600.000 J. Correspon a l’energia subministrada per una potència de 1000W al llarg d’1 hora.

Si tenim en compte que una barreta d’una estufa elèctrica petita normalment transfereix en una hora 1 kWh, podem comprendre que el Joule és una unitat d’energia molt petita. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ També sabem que l’energia és una magnitud ESCALAR. Aquest curs profunditzarem un poc més en el concepte d’energia.

3

1.2. Concepte i propietats de l’energia. Anem a revisar alguns dels conceptes del curs passat i introduir-ne de nous.

1.2.1. L’energia es transforma.

Podeu comprovar que en qualsevol sistema que hi hagi una transformació de l’energia el sistema va canviant. Per exemple, quan pugem un cos des d’ un pis a un altre, disminueix la nostre energia interna i augmenta l’energia potencial del cos i la nostra, tot això acompanyat dels canvis de posició corresponents(es produeix un canvi d’estat). Quan mengem, una part de l’energia interna del menjar la guanyem noltros, cosa que ens possibilita poder realitzar treballs, pensar, ... . Quan un cos cau, l’energia potencial es transforma en cinètica i a la vegada van canviant la seva posició i la quantitat de moviment, en definitiva, es modifica el seu estat.

1.2.2. L’energia es transfereix.

És a dir, quan un sistema guanya energia és perquè existeix un altre que perd aquesta energia i igual a l’inrevés, si un sistema perd energia és perquè un altre la guanya. Hi ha diferents maneres de transferir energia, però bàsicament es redueixen a realitzar un treball sobre un sistema o subministrar-li calor.

1.2.3. L’energia és una magnitud que es conserva.

L’energia es presenta de moltes maneres i es transforma d’un aspecte a un altre i es transfereix d’un sistema a un altre. En aquest punt, la pregunta és: Existeix algun requisit per aquestes transformacions i transferències?. Són totes possibles?. La primera pregunta té una resposta senzilla, la segona no tant. Aquesta és la propietat més important de les que caracteritzen l’energia. Amb això hem contestat a la primera pregunta. Contestar a la segona pregunta és més complicat i està relacionat amb el següent apartat.

L’energia es transforma i es presenta en aspectes diferents a mida que els sistemes canvien.

L’energia es transfereix d’un sistema a un altre.

El requisit essencial per a qualsevol transformació i/o transferència d’energia, és que l’energia es conservi.

4

A-1. Indica les formes d’energia que podem trobar en un saltador de perxa al llarg de tot el procés que implica l’esmentat salt, des de l’instant en què l’atleta encara no ha començat la cursa, fins que cau sobre el matalàs després del salt. Avaluar, qualitativament la conservació de l’energia al llarg de tot el procés.

A-2. Quin tipus d’energia té l’aigua d’un pantà?. D’on prové aquesta energia, és a dir qui l’ha subministrada a l’aigua?.

A-3. Com expliques que una bombeta de les antigues subministrés 1 Joule d’energia lluminosa de cada 20 J d’energia elèctrica consumida?.

1.2.4. L’energia és una magnitud que es degrada.

Per exemple, el motor d’un cotxe transforma aproximadament un 21% de l’energia interna de la benzina en energia cinètica d’un cotxe, la resta passa al medi en forma de calor. Finalment, quan el cotxe es pari tota l’energia cinètica passarà al medi per mitjà de la calor (ara, amb els cotxes híbrids i elèctrics, una part de l’energia cinètica és recupera). L’energia interna guanyada pel medi és difícilment reutilitzable o aprofitable ja que està molt dispersa. És en aquest sentit en què volem fer veure que l’energia es degrada quan és utilitzada. Per tant, no tots els aspectes en què es presenta l’energia són de la mateixa qualitat, no tots els aspectes de l’energia són igualment utilitzables. L’energia elèctrica o l’energia interna de la benzina són de bona qualitat ja que són fàcilment utilitzables, en canvi, difícilment podem fer ús de l’energia que ha guanyat el medi a través de la calor. L’energia interna del medi és de baixa qualitat, l’energia s’ha degradat.

Quan utilitzem l’energia, aquesta es transforma i es presenta en aspectes menys utilitzables. ES DEGRADA.

5

A-4. Hem vist en les activitats A1, A2, i A3, processos en els quals l’energia es transforma i canvia el seu aspecte. Analitza l’evolució dels aspectes en què es presenta l’energia en cada activitat i, en particular, l’aspecte final en cada procés. Creus que són equivalents totes les formes d’energia?.

A-5. Posa alguns exemples més de degradació de l’energia.

1.2.5. L’energia és una magnitud que depèn de l’estat del sistema, no de com s’hi ha arribat.

En primer lloc precisem el significat d’estat d’un sistema. Cada tipus de sistema té les seves variables pròpies que determinen l’estat del sistema, per exemple: En la mecànica clàssica, la que estudiem ara, les variables que determinen l’estat d’un sistema són la posició i el moment lineal. El concepte d’Estat és essencial per resoldre molts problemes de Física (Mecànica, Termodinàmica, Electromagnetisme, ...) i també de Química. En aquesta UD ens dedicarem a aplicar el concepte a la Mecànica. Així, direm que un cos es troba en un estat quan podem determinar la seva posició i el seu moment lineal, la qual cosa també determina els valors de les energies cinètica i potencial i, lògicament, la seva suma.

Per altra banda, és molt important donar-se compte que si Ep = f(posició) i Ec = f(moment lineal) del corresponent estat, el valor de l’energia no depèn de com ha arribat el sistema a aquest estat, és a dir, el valor de l’energia no depèn en absolut de la història anterior del sistema fins arribar a l’estat actual.

Per exemple, quan un cotxe es mou a 5 m/s dalt de la muntanya del Toro i per un sistema de referència situat al peu de la muntanya, les seves energies potencial i cinètica estan totalment determinades per la velocitat i l’alçada de la muntanya i no té cap incidència en aquest valors el camí seguit pel cotxe per arribar a dalt.

Un altre exemple. L’energia interna d’un gas depèn de l’estat del gas, no de com s’hi hagi accedit a l’estat. En el cas d’un gas ideal el valor de la seva energia interna únicament depèn de la temperatura, del nombre de mols i d’una constant denominada capacitat calorífica; U =f(N,T,Cv). En aquesta equació no apareix cap referència de com ha arribat el gas a aquest estat.

Direm que UN SISTEMA ES TROBA EN UN ESTAT quan les seves propietats i les variables que el determinen prenen valors específics.

El valor de l’energia tan sols depèn de l’estat on es troba. No depèn del procés per accedir a aquest estat.

6

Exemple - 1: Un cos que baixa per un pla inclinat.

Considerem un cos de 0,5 Kg de massa que es troba en repòs sobre un pla inclinat a 2m per sobre de la superfície horitzontal tal com mostra la figura. En aquesta situació si escollim com a origen d’energies potencials la superfície horitzontal, podem calcular amb facilitat les energies cinètica i potencial del cos en aquest estat. Així, per l’estat inicial, tindrem:

Figura 1 a. Que la seva energia potencial vindrà donada per:

E mgh x x Jp = = =0 5 9 8 2 9 8, , , b. I que la seva energia cinètica serà nul·la ja que el cos es troba en repòs

sobre el pla inclinat: 𝑣 = 0 ↔ 𝑝 = 0 i Ec=0. c. NO tindrem en compte la seva energia interna, U, ja que considerarem

que el seu valor no es modificarà i no afectarà al possible moviment de caiguda del cos pel pla inclinat. És a dir, de tots els tipus d’energia que es poden definir d’un cos, tan sols fem balanç d’aquelles energies que es poden modificar en aquest procés de baixada del cos que ocasiona canvis d’estat.

Si suposem que no hi ha fricció, l’energia total del sistema, que serà igual a

la suma de les energies cinètica i potencial (Ja hem dit que no tindríem en compte l’energia interna del cos), es conservarà. Així i tot, tant com vagi baixant el cos per el pla inclinat es produiran diverses transformacions de l’energia. El cos va perdent energia potencial ja que va perdent alçada i, per altra banda, la velocitat i conseqüentment el moment lineal i l’energia cinètica van augmentant. En el moment en què el cos arribi al final del pla inclinat, l’energia potencial serà nul·la i la cinètica tindrà el seu valor màxim. En aquest procés, les magnituds que determinen l’estat del sistema, la posició i la velocitat, van canviant de forma continuada i , per tant, el sistema va canviant també d’estat d’una manera continuada. En tot el procés sempre és possible establir comparacions energètiques entre dos estats qualssevol. Això es pot fer sempre, tant si el cos conserva la seva energia com si no ho fa (En aquest cas cal saber com o quanta energia ha perdut el cos).

La pregunta que us podeu fer és: Per què serveix fer comparacions energètiques entre dos estats diferents?. La resposta és que a partir d’aquestes comparacions podem deduir-ne el valor que prenen les variables característiques que determinen un dels dos estats del sistema que comparem si coneixem els valors de les variables a l’altre estat.

Si retornem a l’exemple que ens ocupa i apliquem aquest procediment, poden trobar el valor de la velocitat, del cos del nostre problema inicial, quan passa per la posició del pla inclinat que es troba, per exemple, a 1m d’alçada:

7

Com ja hem assenyalat, basta comparar l’estat inicial amb l’estat del cos quan es troba a 1m d’alçada i imposar que el cos conserva la seva energia total ja que suposem que no hi ha fricció i tampoc es modifica la seva energia interna:

- Estat inicial, h=2 m, v= 0 m/s: ET = Ep + Ec = 9,8 + 0 = 9,8 J - Estat final, h= 1 m, v= ? m/s : ET = Ep + Ec = mgh + 12 mv2 = 9,8 J Substituint valors i operant podem trobar amb facilitat que el valor de la rapidesa quan es troba a 1m d’alçada és 4,43 m/s.

1.2.6. L’energia és una magnitud extensiva. El seu valor és directament

proporcional a la massa. Si la massa del sistema es duplica l’energia del sistema també ho farà, i si la massa d’un cos es redueix a una quarta part, l’energia també es reduirà en la mateixa proporció.

A-6. Indica altres magnituds diferents de l’energia que siguin extensives. Enumera magnituds que siguin intensives.

1.2.7. El valor de l’energia que assignem a cada estat del sistema no és absolut.

Com hauràs pogut comprovar, el valor que pren l’energia potencial d’un

cos depèn del punt que elegim com origen, h=0, i l’energia cinètica pren un valor que varia en funció del sistema de referència de l’observador (No és la mateixa l’energia cinètica d’un cotxe mesurada per un observador que es troba parat a la carretera que per un observador que també es troba en moviment dintre d’un altre mòbil).

L’energia és una magnitud que denominem extensiva perquè augmenta o es redueix si augmentem o reduïm la massa del sistema, i sempre amb la mateixa proporció.

D’això podem deduir que el valor de l’energia que assignem a cada estat del sistema no està totalment determinat, no és absolut, és arbitrari.

En definitiva direm: • Que una magnitud és Extensiva si és directament

proporcional a la massa. L’energia ho és. • Per contraposició, direm que una magnitud

és Intensiva quan el seu valor no es modifica, encara que multipliquem o dividim el sistema.

8

A-7. Dos observadors determinen experimentalment l’energia cinètica d’un mòbil. Per a un dels observadors, l’energia cinètica pren el valor de 300.000 J i , per a l’altre, el valor de l’energia és de 250.000 J. És possible que els dos observadors tinguin raó?. Explica la resposta. A-8. Dos cossos, de la mateixa massa, tenen respectivament unes energies potencial inicials de 400 J i 100 J, els dos cossos estan inicialment en repòs i els deixem caure de manera no simultània. Indica quin dels dos tindrà major rapidesa en l’instant que el primer li resta una energia potencial de 375 J i al segon una energia potencial de 50 J. Raona la resposta.

Resum del concepte d’energia. Definició: a) Encara que no tenim un coneixement precís d’allò que és l’energia, sí

sabem que és una propietat que té tot cos o sistema. És una magnitud que es conserva, però que té la propietat de poder canviar d’aspecte (es transforma), energia cinètica, potencial, radiant, nuclear, ..., i quan es transforma es degrada.

b) La Física disposa de fórmules que permeten quantificar el valor de l’energia en cadascun dels aspectes en el que es presenta. Algunes d’aquestes fórmules ja les coneixeu: La de l’energia cinètica, potencial, energia subministrada per un generador elèctric,... .

c) Tal i com ja hem indicat els fenòmens, passar d’un estat a un altre estat, depenen de les variacions o transformacions de l’energia i no del valor de l’energia que puguem assignar a un estat.

Definició: L’energia és una propietat extensiva que associem a

cada estat del sistema. La principal característica d’aquesta propietat és que el valor numèric que puguem assignar al sistema es manté constant si el sistema està aïllat, encara que es puguin produir canvis en ell.

Ràpidament un pot pensar que això és molt greu ... , però la realitat és que no ho és:

a. No és greu si quan fem un problema som coherents amb l’origen elegit. És a dir, cal mantenir el mateix origen i criteri de signes al llarg de tot el problema.

b. El segon, i el més important punt, és que els fenòmens i el comportament dels cossos venen determinats per les variacions de l’energia i no pel valor absolut d’aquesta. Quan un cos cau, el valor de la seva rapidesa no depèn del valor de l’energia potencial inicial, sinó de la variació de l’energia potencial que ha tingut el cos.

9

Exercicis: E-1. El signe de l’energia:

a. Pot ser negativa l’energia cinètica d’un mòbil? Posa un exemple. b. Pot ser negativa l’energia potencial gravitatòria? Posa un exemple.

E-2. Troba l’expressió que relaciona l’energia cinètica d’un cos amb el seu moment lineal “p= m·v” en lloc de la velocitat . E-3. Escriu l’expressió de l’energia cinètica d’un mòbil de massa “m” que es desplaça a una rapidesa “v”. Indica com varia l’energia cinètica en els següents casos:

a. La massa del mòbil es redueix a la meitat. Quina propietat de l’energia apliques?.

b. La rapidesa del mòbil es redueix a la meitat. E-4. Indica com varia l’energia potencial d’un cos en el següents casos:

a. La massa del cos es redueix a la meitat. b. L’alçada del cos es redueix a la meitat.

E-5. Si 7 litres de benzina permeten a un cotxe recorre 100 km, quants quilòmetres podrà recórrer el mateix cotxe, per carreteres semblants, amb un dipòsit amb 42 litres de benzina?. Quina propietat de l’energia apliques?. E-6. Un ciclista, de 70 kg bicicleta inclosa, es troba en repòs en una superfície horitzontal. Arranca de manera uniforme amb a= 0,5 m/s2 fins arribar a una rapidesa de 40 km/h. En una altra ocasió, el mateix ciclista baixa un pendent i arriba a un tram horitzontal amb una rapidesa de 40 km/h. Indica per quin dels dos procediments té més energia cinètica final. Quina propietat de l’energia apliques?. E-7. Un cotxe de 1000 kg, amb el motor avariat, es troba en la part superior d’un pendent de manera que està 10 m per sobre d’un tram de carretera horitzontal. Deixem anar el cotxe, que inicialment estava en repòs, i aquest baixa el pendent i continua pel tram horitzontal, recorrent en el pla 100 m fins que es para.

a. Indica el tipus d’energia que té el cotxe inicialment. Calcula el seu valor i indica quina hipòtesi fas per trobar el seu valor.

b. Quin tipus d’energia té el cotxe al final del recorregut?. Quines forces actuen sobre el mòbil al llarg del seu recorregut?.

c. Indica les transformacions energètiques que s’han produït al llarg del recorregut.

d. Explica per cadascun dels apartats anteriors quina o quines propietat de l’energia apliques

10

2. Com podem variar l’energia d’un sistema?.

La termodinàmica és la part de la Física que estudia macroscòpicament (macroscòpicament vol dir, que estudia les magnituds que podem mesurar directa o indirectament amb els instrument normals de la vida quotidiana, per exemple la pressió, la temperatura, el volum, el número de mols, la velocitat d’un cotxe, la seva energia cinètica, ... . Magnituds microscòpiques són aquelles que determinen el comportament de les molècules, àtoms o partícules que no podem observar ni mesurar sense l’ajuda de d’instruments específics) les transformacions de l’energia, canvis d’aspecte de l’energia, els diversos estats d’agregació de la matèria i les condicions d’equilibri ja sigui tèrmic o químic. En particular El Primer Principi de la Termodinàmica ens indica com podem variar l’energia d’un sistema.

El Primer Principi de la Termodinàmica implica

i. La conservació de l’energia. ii. La definició del treball i el calor com a dues maneres de transferir

energia. (*) Aquí “E ” representa l’energia total del sistema que és igual a la suma de les energies Interna,

Cinètica i Potencial. Això és: E (energia total)= U(energia interna)+ Ep(energia potencial)+ Ec(energia cinètica)

Per Energia Interna, U, entendrem l’energia que tenen els cossos deguda a la seva estructura atòmica, la seva temperatura i la massa del cos. En la majoria de problemes considerarem que l’energia interna dels cossos roman invariable i no la tindrem en compte en la resolució de problemes. A més, en molts dels nostres exercicis la masses seran puntuals i per elles no té sentit definir energia interna, la Termodinàmica estudia sistemes macroscòpics. Per calor , Q, entendrem tota forma de transferir energia entre dos sistemes a diferent temperatura, radiació, convecció, conducció.

(**) És fàcil trobar llibres en què els criteris de signes són diferents als d’aquests apunts però no representa cap problema si els canvis de signes són coherents.

*

Primer Principi de la Termodinàmica: Canviar l’energia d’un sistema únicament es pot fer de dues maneres i a través dels límits del sistema: realitzant un treball o proporcionant calor. Expressem matemàticament aquesta idea de la manera següent: on “Q” representa el calor, és a dir, l’energia transferida al o pel sistema a causa d’una diferència de temperatura, i “W” representa el treball realitzat per o sobre el sistema. En general, “Q” i “W” seran positius quan són subministrats al sistema i la variació d’energia del sistema pren un valor positiu,

>0, i seran negatius en el cas contrari, <0 .

11

Exemple - 2: Donar energia a un sistema, en aquest cas, un gas.

Podem transferir energia a un gas donant-li calor, escalfant. El resultat d’aquest procés, des del punt de vista macroscòpic, serà que el gas augmenta la seva temperatura i pressió. També podem augmentar la temperatura del gas realitzant un treball sobre ell, comprimint-lo o sacsejant-lo. Els efectes macroscòpics produïts són exactament els mateixos que els que hem mencionat abans. (Pel sistema, des del punt de vista microscòpic hi ha subtils diferències entre l’aportació d’energia per treball i l’aportació d’energia per calor)

En definitiva els dos processos es tradueixen en un augment de l’energia interna del gas.

A-9. En l’exemple anterior, hem vist que podem augmentar l’energia interna d’un sistema donant-li calor o realitzant un treball sobre ell. Però, si , per exemple, volem pujar un cos d’un quilogram a un metre d’alçada no ho aconseguirem subministrant-li l’energia necessària,ΔE mgh Jp = = 9 8, , en forma de calor, Q= 9,8 J, però sí que ho aconseguirem si subministrem aquesta energia en forma de treball. Una altra possibilitat és tenir un mecanisme al qual li subministrem calor, per augmentar la seva energia interna, i que la utilitzi per realitzar el treball. Coneixes algun d’aquests mecanismes?.

12

3. El treball

3.1. Definició de treball.

La definició precisa de treball l’expressem de la següent manera:

La quantitat d’energia transferida, treball, del cos o partícula A al cos B , quan la primer exerceix sobre la segon una força constant 𝐹!" i aquest es desplaça segons el vector ∆𝑟, ve donada per:

Figura 2 On ∆𝑟 i 𝐹!" , són magnituds vectorials i el punt representa el seu producte

escalar.

Si utilitzem la definició de producte escalar, podem torna escriure l’expressió anterior de la següent manera: 𝑊!" = 𝐹!" · ∆𝑟 · cos𝛼

On “ 𝐹!" i ∆𝑟 ” són els mòduls dels vectors força i desplaçament anteriors i

“𝛼” és l’angle que formen la direcció de la força amb la direcció del desplaçament. Aquesta última expressió ens permet una nova interpretació dient que el treball és igual al producte del desplaçament, ∆𝑟 , per la component de la força que té la direcció del desplaçament, 𝑭𝑨𝑩 · 𝐜𝐨𝐬𝜶 = 𝑭𝒕 , força tangencial al desplaçament o força en la direcció del moviment * * (Aquesta força tangencial pot tenir el mateix sentit que el desplaçament o sentit contrari. En el dibuix la força tangencial té el mateix sentit que el desplaçament. Si força i desplaçament tenen el mateix sentit tindran el mateix signe i si tenen sentit contrari tindran signes contraris. Així era com utilitzàvem aquesta equació a 4t d’ESO: 𝑊 = 𝑭𝒕 · ∆𝒙 ).

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = 𝑊!" = �⃗�!" · ∆𝑟!!!!⃗

El treball no és una propietat del sistema com l’energia. Realitzar un treball és el nom que donem a una manera de transferir i/o transformar energia. El treball realitzat sempre serà igual a la quantitat d’energia transferida i/o transformada. Aquesta manera de transferir energia entre dos sistemes, cossos o

partícules, que denominem treball, es basa en la interacció que existeix entre elles, la força.

13

Algunes conseqüències de la definició de treball: A-10.

a. Indica el treball realitzat per una força quan el cos no es desplaça. b. Troba el valor del treball realitzat per una força que actua

perpendicularment al desplaçament. c. Indica el valor del treball realitzat per una força que actua en sentit contrari

al desplaçament. Fes el mateix quan actua en el mateix sentit del desplaçament.

d. Quin és el significat físic d’un treball que sigui positiu?. I d’un negatiu?. e. Per què quan traslladem un moble d’un lloc a un altre procurem fer-ho pel

camí més curt? * .

* Veurem que existeixen unes forces que tenen la propietat de que el seu treball no depèn del camí seguit i tan sols depenen del punt de partida i del d’arribada.

3.1.1. Com podem calcular el treball quan ens donen la força, F=(Fx,Fy), i el desplaçament, ∆r(x,y), en components?.

En aquest cas existeix un mètode molt més ràpid de realitzar el producte escalar dels dos vectors. Per fer-ho és suficient aplicar la definició de producte escalar als vectors unitaris.

Així tenim: 1. =ii

!! ; 0. =ji

!! ; 1. =jj

!! ; 0. =ij

!!

I el producte escalar dels dos vector ens dona:

yFxFjjyFijxFjiyFiixF

jyixjFiFrFW

yxyyxx

yx

..).(.).(.).(.).(.

)..).(..(.

+=+++=

=++=Δ=!!!!!!!!

!!!!!!

És molt important que ens donem compte que quan fem una força sobre un cos, que realitza treball, el que transferim al cos NO és la força, les forces no es transfereixen, el que transferim és energia al cos. Per exemple quan tirem un cos verticalment cap amunt, quan surt de la nostre mà, al cos no li “queda” un “poc” de la força que li hem fet, el que li queda, el que li hem transferit, és energia, en aquest cas, energia cinètica.

a ⋅b = a ⋅

b ⋅cosα on α és l'angle que formen els dos vectors

14

A-11. Calcula el treball realitzat per una força de components 𝑭 =(3,2) N sobre un cos que es desplaça segons el vector ∆𝒓 =(-5,8) m. Fes una representació dels dos vectors. És necessari que la força provoqui el desplaçament del cos per calcular el seu treball?. Exemple - 3: Una home que es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció colpeja un cos de 0,200 kg de massa, amb una força de 400 N al llarg de 0,10 m. Calcula l’energia guanyada pel cos. L’energia subministrada al cos per l’home serà igual al treball realitzat per l’home sobre el cos. Aquest treball ve donat per l’expressió que acabem de trobar:

WAB= 𝑭 . ∆𝑟 . cos𝛼

En aquest cas la força aplicada sobre el cos i el desplaçament podem suposar que tenen la mateixa direcció i 𝛼 = 0. L’expressió del treball es redueix al producte de la força pel desplaçament. W F r x J= = =. ,Δ 400 010 40 Aquesta és l’energia guanyada pel cos a costa de la que ha perdut l’home. Si no tenim en compte altres factors, com suar o augment de la temperatura del cos o del medi, la pèrdua d’energia de l’home seria exactament igual a 40 Joules. Exemple - 4: Una persona vol aixecar un cos de 800 N amb l’ajuda d’una palanca (La palanca és una màquina simple i una màquina és un enginy que ens ajuda a transformar i a transferir energia, però mai a augmentar-la o disminuir-la) tal i com ens mostra la figura. Si la persona realitza una força cap avall de 280 N i desplaça el seu braç 1 m, quant pujarà el cos per l’acció de la palanca?.

Figura 3 El treball realitzat per la persona sobre la palanca serà igual al treball realitzat per la palanca sobre el cos. Si per simplificar suposem que les forces es realitzen en la direcció dels desplaçaments, el problema es redueix a: F(home) . Dr(desplaçament palanca)= F(palanca) . h(recorregut del cos) 280 N . 1 m = 800 . h ; h= 0,35 m

15

És a dir que el cos pujarà 35 cm. És important remarcar que els dos treballs, el del home i el de la palanca, són positius ja que les forces i els desplaçaments tenen el mateix sentit. També és important veure que la palanca ens permet transferir energia d’una manera més còmoda, però l’energia que guanya el cos és igual a la que perd la persona. A-12. Comenta la frase següent: El motor subministra energia a un cotxe perquè es pugui desplaçar. Indica altres màquines i especifica les transformacions energètiques que realitza.

3.2. Treball realitzat per diverses forces sobre un cos.

El problema que ens plantegem ara és calcular el treball realitzat per un conjunt de forces que actuen simultàniament sobre un mateix cos. La solució al problema és fàcil i és senzillament la suma de cadascun dels treballs realitzats per cada una de les forces amb els seus corresponents signes.

Hi ha alguna altra manera de fer el mateix?. La resposta és sí, i no és gens difícil demostrar que si les forces que actuen simultàniament sobre el cos són f1, f2, f3, ......, fn , i “FR” la força resultant de totes elles, llavors es compleix que:

W(f1) + W(f2) + W(f3) + ...... + W(fn) = W(FR)

És a dir, podem calcular el treball buscant primer la força resultant i després

calcular el seu treball. En general, no recomanem un determinat sistema i en cada problema cal escollir el més convenient. A-13. Demostra que el treball total realitzat per un conjunt de forces que actuen simultàniament sobre un cos és igual al treball realitzat per la força resultant. A-14. Arrosseguem, 12 m, un cos de 10 kg sobre una superfície horitzontal aplicant una força de 40,89 N que forma un angle de 12º respecte a l’horitzontal . La força de fricció és de 30 N. Ajuda’t d’un dibuix i calcula la força resultant, treball realitzat per cada una de les forces, el treball total i el treball realitzat per la força resultant. A-15. Per a cada una de les forces del problema de l’activitat anterior, A-14, representa gràficament la seva component en la direcció del moviment en funció del desplaçament. Per a cada representació, calcula l’àrea que queda entre la gràfica i l’eix d’abscisses. Compara els resultats obtinguts amb els de l’activitat A-14.

16

3.3. Treball realitzat per una força variable.

La definició que hem donat de treball en l’apartat 3.1., únicament és vàlida

quan la força que actua sobre el cos és constant i l’angle que formen la força i el desplaçament també ho és. 𝑊!" = 𝐹!" · ∆𝑟 · cos𝛼

En aquest apartat ens plantegem calcular el treball realitzat per una força que no sigui constant. El problema que ens trobem és que no podem aplicar l’equació anterior i hem de buscar una nova expressió per calcular el treball en aquests casos.

En primer lloc, recordarem un procediment per calcular el treball que sempre és vàlid. El procediment consisteix en representar gràficament la component tangencial de la força com a variable depenent respecte al desplaçament com variable independent i calcular l’àrea que queda entre la gràfica i l’eix d’abscisses. Aquesta àrea sempre és igual al treball realitzat per la força. Per comprovar que això funciona bé, començarem pel cas més senzill, el cas d’una força constant, FAB, que realitza un treball al llarg d’un desplaçament, ∆𝒙, i veurem, tal i com mostra la figura adjunta, que efectivament es compleix que:

Figura

Ara, anem a fer una aplicació a una força variable. Com a primera aplicació

escollim el procés de comprimir, a velocitat constant i molt lentament sense que hi hagi increment d’energia cinètica, un cos contra una molla. D’aquesta manera, ens assegurem que la força que fem noltros sobre el cos és igual i de sentit contrari a la força que fa la molla sobre el cos al llarg de tot el recorregut, tal i com mostra la figura.

En el gràfic es representa la component tangencial de la força al desplaçament. L’àrea compresa entre el gràfic d’aquesta

component de la força i l’eix abscisses sempre és igual al treball realitzat per la força.

Figura 5

17

Escollim aquest cas perquè la força que fa la molla té una expressió matemàtica

d’aspecte agradable. Efectivament, suposarem que la molla compleix la Llei de Hooke i , per tant, l’expressió matemàtica de la força ve donada per:

• Força que fa la molla sobre el cos: 𝑭𝒎 = −𝒌 · ∆𝒙 • La força que fem noltros, 𝐹!, sobre el cos serà: 𝑭𝒂 = 𝒌 · ∆𝒙

On “k” és una constant que dóna compte de la duresa de la molla i “∆𝒙” és el desplaçament de la molla respecte a la seva posició d’equilibri. El signe negatiu ens indica que la força que fa la molla sobre el cos sempre és de sentit contrari al del desplaçament provocat per la força exterior (Amb el criteri de signes de la figura anterior, la força aplicada que fem noltros i el desplaçament són positius i la força que fa la molla tindria signe negatiu. Cal remarcar que, com sempre, els signes de les forces i desplaçaments depenen únicament del nostre criteri). També és important adonar-se que la força que fa la molla i, conseqüentment, la que hem de fer noltros per a comprimir o estirar la molla, augmenten de forma directament proporcional al desplaçament de la molla, per tant, en aquest cas sempre són iguals i de signe contrari, 𝐹! = −𝐹!. Si representem les forces que actuen sobre el cos mentre s’estira la molla llavors el treball fet per cada força és l’àrea compresa entre el gràfic de les forces i l’eix del desplaçament entre “0” i el valor “x”. Així podem veure que el treball fet per la força aplicada i el treball fet per la força de la molla són iguals i de signe contrari. És a dir, les àrees compreses són iguals i de signe contrari.

Ha de quedar clar que si la força aplicada fos més gran en mòdul que la força de la molla, el seu treball seria major (en valor absolut) que el treball realitzat per la força de la molla. Per tant, mentre que quan s’estira o comprimeix una molla una longitud “x” el treball fet per la molla sempre valdrà:

𝑊 𝐹! = −12 𝑘 · 𝑥

! el treball fet per la força aplicada pot ser igual, en valor absolut, al treball fet per la molla si 𝐹! = 𝐹! o més gran que el treball fet per la molla si 𝐹! > 𝐹! *. • Aquí es plantegen un parell de qüestions interesants:

− Què li passa al sistema quan 𝐹! > 𝐹! ? − És possible que 𝐹! < 𝐹! ?

El valor d’aquestes àrees ve donat per: • À𝑟𝑒𝑎 �⃗�! =

!!·!!= !·!·!

!= !

!!·!!

• À𝑟𝑒𝑎 �⃗�! = !!·!!= !!·!·!

!= !!!!·!

! Per tant el treball: • 𝑊!�⃗�!! =

!!𝑘 · 𝑥!

• 𝑊!�⃗�!! = − !

!𝑘 · 𝑥!

• Figura 6

18

Potència =EnergiaTransferida

tempsCalor Treball

temps=

/

La potència pot expressar-se en Joules partit per segon, però generalment en el

Sistema Internacional, la unitat utilitzada és el watt, W. Una altra unitat de potència és el kilowatt, 1 kW = 1000 W. Finalment, cal destacar el cavall de vapor, CV, que equival a 735 W*.

Tots els aparells domèstics, vehicles, motors, bombetes, ..., surten de fàbrica amb la informació corresponent al treball o energia que poden transferir per unitat de temps, és a dir, la potència. Per exemple, si una bombeta du la indicació de 100 W, vol dir que transfereix i transforma 100 Joules cada segon. * No confondre amb una unitat de potència del sistema anglès, horse-power, HP, 1 HP=746 W A-16. Una persona porta una motocicleta de 50 cm3 i una altra persona una moto de 250 cm3. Totes dues pugen la costa de Ses Piques. Quines són les diferències i similituds que hi ha entre els dos mòbils respecte les variables treball, temps i potència. A-17. Indica, de forma raonada, si la potència és una magnitud escalar o vectorial. A-18. Demostra que la potencia desenvolupada per un mòbil que es mou a velocitat constant ve donada per:

vFP !!.= On ,F

!, és la força que fa moure el mòbil i , v! , la seva

velocitat. El punt representa el producte escalar dels dos vectors.

4. Potència

La potència és una unitat que, com totes les altres, ens l’hem inventada i que ens dóna informació del ritme amb què es realitza un treball. És a dir, ens diu la quantitat d’energia que es transfereix per unitat de temps a través d’un treball o en forma de calor.

19

5. Relacions treball i energia: Alguns exemples de les relacions entre treball i energia 5.1. Treball realitzat per una força aplicada sobre un cos quan sobre ell hi

actuen altres forces dissipatives i la força resultant és nul·la. A-19. En molts dels processos relacionats amb esforços que realitzem en la vida quotidiana passa que la força resultant que actua sobre un cos és nul·la. Un cas d’aquest tipus sol passar quan empenyem un moble pesant per un camí horitzontal. Sempre procurem moure’l a velocitat constant i que les acceleracions tan sols representin una petitíssima part del trajecte. Explica raonadament el motiu d’aquesta manera de procedir.

A-20. Indica i dibuixa les forces que actuen sobre el moble de l’activitat anterior quan es desplaça a velocitat constant. Comenta els treballs de cada una de les forces. Quant valdria el treball total o resultant?. A-21. Indica si transferim o no energia al moble quan el desplacem. Què ha passat amb aquesta energia?. Ha variat l’energia del moble al llarg del seu recorregut?.

Exercicis: E-8. Calcular la força, paral·lela a la superfície, i el treball necessaris per fer lliscar un moble de 40 kg al llarg de 14 m sobre una superfície horitzontal, sense que hi hagi fricció ni augment de la velocitat. E-9. Repeteix el mateix exercici anterior però suposa que el coeficient de fricció val 0,6. E-10. Un cos de 10 kg es troba en la part superior d’un pla inclinat 30º i 4 m de longitud. Deixem lliscar el cos i aquest baixa a velocitat constant. Trobar: a. Totes les forces que actuen sobre el cos mentre baixa. b. El coeficient de fricció entre el pla i el cos. c. El treball realitzat per a cada una de les forces i el treball de la força resultant.

Definició: Força dissipativa. A una força, com la força de fricció, la denominarem

dissipativa, sense que amb això es vulgui dir que el seu treball faci desaparèixer l’energia, quan volem indicar que transfereix i transforma l’energia de tal manera que presenta poques o nul·les possibilitats de ser aprofitada.

20

5.2. Forces Conservatives. Energia Potencial: Treball realitzat per una força aplicada sobre un cos quan també hi realitzen treball forces conservatives i la força resultant és nul·la.

Tal i com ja hem vist en l’apartat anterior, el treball que realitzem sobre un

cos, és a dir, l’energia que li transferim, no queda emmagatzemada totalment en el cos quan sobre el sistema també hi realitza treball una força dissipativa fr , que s’encarrega de dissipar totalment l’energia mecànica del cos a través del seu treball.

Hi ha altres casos en què encara que el treball resultant sigui nul, degut a que realitzen treball més d’una força, el sistema o el cos, sí guanya energia. Anem a veure un parell d’aquests casos:

5.2.1. La força d’una molla és conservativa. Considerem una altra vegada el cas de comprimir o estirar una molla de l’apartat 3.3.. Revisem el procés de comprimir la molla a través de la força, Fa, que apliquem al cos, des del punt “x=xo=0” fins el punt “x=x1”, veure la figura. Recordem que el procés es realitza de manera que no hi hagi increment apreciable de la velocitat, és a dir, no hi ha increment de l’energia cinètica de la massa. En segon lloc, en tot moment , Fa = - Fm , i la resultant de les forces que actuen sobre el cos serà nul·la, FR = 0. Aquesta última condició imposa que el treball resultant sobre el cos també serà zero.

Figura 9 D’entrada, sembla que la situació és la mateixa que la de l’apartat anterior en el qual el treball resultant sobre el cos és també nul, però aquest és un cas totalment diferent. Aquí, inicialment, la massa es troba en repòs en el punt , x=xo=0, la molla no fa cap força i noltros tampoc. En aquesta situació podem assignar al sistema una energia mecànica inicial que perfectament podem escollir com a zero. Després de comprimir la molla fins, x=x1, el sistema massa - molla ja no es troba en les mateixes condicions que quan es trobava a l’origen, x=0. En x1, si deixem en llibertat al sistema, la massa no romandrà en repòs sinó que oscil·larà entre els punts x=x1 i x=-x1 de forma indefinida sempre que no existeixi fricció.

Definició: A la suma de les energies cinètica i potencial d’un cos li donem

el nom d’ENERGIA MECÀNICA del cos.

21

És evident que el sistema “massa – molla” ara té una energia que abans no tenia. Aquesta energia li hem subministrat noltros amb el nostre treball fet per la força, 𝑭𝒂. La diferència entre aquest cas i el de l’apartat anterior no és el nostre treball, la nostra força, la diferència està en l’altre força que actua sobre el cos, la de la molla, 𝐹!. Ara, la força de la molla no és una força dissipativa, és una força que permet que el sistema emmagatzemi l’energia que li transferim amb el nostre treball.

La variació d’energia potencial de la molla serà igual a l’energia que li hem

subministrat amb el nostre treball, ∆𝐸! =𝑊 𝐹! o bé a menys el treball fet per la molla ∆𝐸! = −𝑊 𝐹! . Noltros escollirem aquesta última definició.

En l’apartat 3.3 hem calculat l’expressió del treball, per tant:

∆𝑬𝒑 = −𝑾 𝑭𝒎 = 𝟏𝟐·𝒌·𝒙𝟐

El motiu d’escollir la variació de potencial d’aquesta manera és el següent: quan s’estira una molla una distància “x” el treball fet per la molla sempre val el mateix, en canvi, com ja sabeu, no passa el mateix amb la força aplicada. 5.2.3. Definició de Força Conservativa. A continuació veurem algunes idees bàsiques sobre les forces conservatives

i les seves propietats:

Una definició intuïtiva de força conservativa: Imagina un cos sotmès a l’única acció d’una força conservativa. Per fitxar idees, considerem el cas del cos i la molla. Què fa el sistema, després d’haver-lo comprimit, quan el deixem en llibertat sota l’única acció de la força de la molla?. Tots sabem que el cos comença a oscil·lar entre “x=x1 i x=-x1” . En els extrems el sistema, la molla, té energia potencial i quan passa pel punt d’equilibri, x=0, el sistema, ara la massa, té energia cinètica. En el procés es realitza de forma reiterada una transformació i transferència d’energia potencial de la molla a cinètica del cos i de cinètica del cos a potencial de la molla. El treball realitzat per la força de la molla és el responsable de la transformació i transferència energètica, però fixeu-vos que l’energia mecànica del sistema NO ES MODIFICA. Aquesta idea ens pot servir per establir una primera definició de força conservativa.

De la definició que acabem de veure, podem concloure que a cada força conservativa li podem associar una energia potencial, per tant, tindrem tantes energies potencials diferents com forces conservatives hi hagi. En aquest curs

A aquest tipus d’energia emmagatzemada pel sistema es denomina Energia Potencial i la força feta per la molla , 𝑭!!⃗ 𝒎, que possibilita, amb el seu treball, que el sistema pugui emmagatzemar l’energia rep el nom de Força Conservativa.

22

n’hem vist dues, la força gravitatòria i l’elàstica de la molla, per tant, tenim l’energia potencial gravitatòria i l’energia potencial elàstica. L’equació que relaciona les forces conservatives amb el seus potencials és la que acabem de veure.

∆𝐸! = −𝑊 𝐹!"#$%&'()*'(

5.2.2. La força gravitatòria també és conservativa.

Seguint un raonament paral·lel al que hem utilitzat en l’apartat anterior resol

les següents activitats:

A-22. Suposa que aixequem un cos de massa “m” des del terra fins una alçada “h”. Ho fem amb les mateixes condicions que quan vam comprimir la molla en l’apartat anterior, és a dir, pugem el cos de manera que no hi hagi un increment apreciable en la seva velocitat i energia cinètica.

a. Representa el cos i totes les forces que actuen sobre ell mentre puja i el valor de les forces.

b. Troba les expressions que ens donen el treball de cadascuna de les forces i calcula el treball total.

A-23. Creus que quan el cos arribi al final del seu recorregut tindrà la mateixa energia que en la posició inicial?. A què es deu aquest resultat?. A-24. Quin tipus de força és el pes?. Com es diu el tipus d’energia que queda emmagatzemada en el sistema *?. Indica la relació que hi ha entre aquesta energia i el treball fet per la força aplicada i la relació que hi ha amb el treball fet pel pes.

* En aquest cas, quan diem Sistema, hem d’entendre el conjunt format per la Terra i la massa. I quan diem que el cos ha guanyat energia, en realitat és el sistema “Terra – cos” que guanya energia, ja que el pes és el resultat de la interacció entre la terra i el cos. Quan estudiem el Camp Gravitatori s’entendrà millor aquesta idea i que el que fem aquest any és una bona aproximació degut

Definició: FORÇA CONSERVATIVA I FORÇA NO CONSERVATIVA.

Quan el treball realitzat per una força en un sistema no modifica el

valor de l’energia mecànica del sistema sinó que únicament la transforma, direm que la FORÇA ÉS CONSERVATIVA.

Conseqüentment, quan el treball realitzat per una força

sobre un sistema modifica l’energia mecànica del sistema direm que la força és NO CONSERVATIVA.

23

que les variacions d’energia potencial que experimenta la Terra en procés d’aquest tipus és inapreciable.

5.3. Teorema de l’Energia Cinètica Treball realitzat sobre un cos per una força resultant no nul·la.

En els apartats anteriors, hem vist què li passava a un sistema quan les forces i el

treball resultant sobre ell era zero. Ara veurem el que passa quan la força resultant no és nul·la i el seu treball tampoc.

Si la força resultant que actua sobre un cos no és nul·la, !FR ≠ 0, el cos

accelerarà i, conseqüentment, es produirà una variació de la velocitat. Suposem que aquesta força resultant sigui constant, per facilitar les equacions; això implica que l’acceleració també ho serà. Amb aquestes condicions es poden produir les següents situacions:

i. La força resultant és perpendicular a la direcció del moviment del cos. ii. La força resultant té la mateixa direcció que el moviment del cos. iii. La força resultant té una direcció que no és cap de les anteriors.

A-25. Indica en cada un dels casos anteriors:

a. El tipus de moviment que realitzarà el cos. b. El treball que realitza la força resultant en cada cas. c. En quins casos hi ha variació del mòdul de la velocitat, és a dir, de

l’energia cinètica?. Calculem el treball realitzat per la força resultant i trobem una relació entre aquest

treball i la variació de la velocitat del cos. Ja que solament realitza treball la component de la força resultant en la direcció

del moviment, suposarem que tenen la mateixa direcció i sentit. Si !FR , és la força

resultant i Δ!r el desplaçament, el treball ve donat per:

W F F r F rR R R( ) . .! ! !

= =Δ Δ

Per altra banda, si l’acceleració és constant, el moviment és uniformement accelerat i es complirà:

F m aR R= . i també Δr v t a tR= +021

2. .

i, a més, es compleix que tv vaR

=− 0 . Substituint totes aquestes expressions en

l’equació del treball ens queda:

24

Si la rapidesa final és major que la inicial, la massa haurà guanyat energia

cinètica i si la rapidesa final és menor que la inicial, haurà perdut energia cinètica. Ha de quedar clar que si la massa guanya o perd energia és perquè hi ha un altre cos que la perd o la guanya. El resultat que hem obtingut té el desafortunat nom de Teorema de les Forces Vives. Nosaltres li donarem el nom de “Teorema de l’Energia Cinètica”. Aquest resultat és totalment compatible amb l’obtingut en l’apartat 5.2, és a dir, si entre les forces que actuen sobre el cos n’hi ha que són conservatives o si la resultant és una força conservativa, a més de produir-se una variació en l’energia cinètica, també es produirà una variació de l’energia potencial. Saps algun exemple en què la força resultant sigui una força conservativa i que, per tant, el seu treball produeixi variacions de les energies potencial i cinètica?. Què passa en aquest cas amb l’energia mecànica del sistema?.

Exemple - 5: Un coet de 20 Tm, accelera partint del repòs amb 𝑎 = −2 · 𝑔 , on

𝑔 = −9,8 · 𝚥 𝑚/𝑠!. Calculeu: a. La força que impulsa el coet i la força resultant. b. El treball realitzat per cadascuna de les forces al llarg dels primers 100 m. c. Les variacions de les energies cinètica, potencial i l’energia mecànica en aquest

100 m. Solució: En primer lloc, passem les unitats al Sistema Internacional: m(massa del coet)= 20 Tm=2x104 kg

𝒑 =𝒎 · 𝒈 = 2x104. (-9,8 j)= -1,96x105 j N 𝒂= - 2.𝒈 = - 2. (-9,8 j) m/s2 = 19,60 j m/s2. a. Les forces que actuen sobre el cos són el seu pes, 𝒑, i la força de propulsió dels

motors del coet, Fa. La resultant, FR, d’aquestes dues forces és la que provoca l’acceleració al coet.

𝑭𝑹 =𝒑+ 𝑭𝒂 i 𝑭𝑹 = m. 𝒂 El valor de la força resultant el trobem de la segona equació:

𝑭𝑹 = 2x104 . 19,60 j = 3,92x105 j N

Ara, de la primera equació, podem trobar el valor de la força aplicada que fan els motors:

𝑭𝒂 = 𝑭𝑹 - 𝒑= 3,92x105 j - 2x104 . (-9,8 j) N = 5,88x105 j N

b. El treball realitzat per cada força ve donat per:

L’equació obtinguda ens indica que el treball realitzat per una força resultant és igual a la variació de l’energia cinètica del cos.

* El Teorema de l’Energia Cinètica és vàlid SEMPRE, fins i tot per forces variables.

25

W(Fa)= Fa . ∆x = 5,88x105 j. 100 j = 5,88x107 Joules W(FR)= FR . ∆x = 3,92x105 j. 100 j = 3,92x107 Joules W(p)= p . ∆x = -1,96x105 j. 100 j = -1,96x107 Joules

c. Segons els continguts que acabem de veure tenim: Que el treball realitzat per la

força resultant és igual a la variació d’energia cinètica del coet i que el treball realitzat per la força conservativa del pes és igual a menys la variació de l’energia potencial. Per tant:

∆Ep = -W(p) = 1,96x107 Joules ∆Ec = W(FR) = 3,92x107 Joules

El coet ha augmentat les seves energies potencial i cinètica i la suma de les dues

ens dóna l’augment de la seva energia mecànica. Aquest augment de l’energia mecànica és igual al treball realitzat per la força del motor:

Variació de l’energia mecànica = W(Fa)= 5,88x107 Joules

Exercicis: E-11. Deixem caure un cos des d’una alçada “h” , podem considerar que no hi ha fricció. Indica: a. Actuen forces conservatives sobre el cos?. Realitzen treball?. Hi haurà variació

de l’energia potencial del cos?. b. Existeix una força resultant no nul·la sobre el cos?. Realitza treball la força

resultant? Hi haurà variació de l’energia cinètica?. E-12. Un cos de 30 kg de massa descansa sobre una superfície horitzontal. Si apliquem una força paral·lela a la superfície de manera que el cos arranca amb una acceleració de 0,5 m/s2, calcula: a. El valor de la força si el coeficient de fricció és 0,34. b. El treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos i per la

força resultant al llarg d’un recorregut de 12 m. c. Calcula la variació de l’energia cinètica del cos i la velocitat final en arribar als

12 m. E-13. Un projectil de 16 g de massa travessa els tres llapis de la figura. La velocitat d’arribada és de 300 m/s i la de sortida 200 m/s. Calcula el treball realitzat per les forces de fricció.

26

6. Sistemes Conservatius: Teorema de la conservació de l’energia Mecànica.

En l’apartat 5.2.3 sobre forces conservatives, hem dit i posat un exemple en el qual es mostra que si sobre un sistema solament realitza treball una força conservativa, l’energia mecànica del sistema es conserva. Ara ho demostrarem d’una manera més rigorosa: Suposem que la força resultant, FR, és a la vegada una força conservativa. En aquestes condicions, quan el sistema passa d’un estat a un altre, es compleix simultàniament:

- Per ser força resultant: W(FR)= ∆Ec - Per ser força conservativa: W(FR)= - ∆Ep

Combinant les dues equacions tenim: ∆Ec = - ∆Ep , és a dir:

; o, el que és el mateix :

Teorema de conservació de l’Energia Mecànica: Si sobre el sistema tan sols realitzen treball forces conservatives, al passar d’un estat a un altre, la suma de les variacions de les energies cinètica i potencial ha de ser zero. En unes altres paraules, la suma de l’energia cinètica i potencial és una constant del moviment. Definició:

Un sistema sobre el qual únicament realitzen treball forces conservatives es denomina SISTEMA CONSERVATIU.

27

Exemple - 6: L’estat inicial que mostra la figura està format per tres masses iguals “m” lligades per una corda que passa per dues politges. Calcular la distància màxima “h” que baixarà el cos del centre quan es deixi en llibertat el sistema. Solució: La massa del mig baixa i les dues laterals pujaran. La pèrdua d’energia potencial de la massa del mig serà igual a la que guanyaran les dues laterals. Es tracta d’un sistema conservatiu i per tant es complirà: ΔEc +ΔEp = 0 En aquest cas, si comparem l’estat inicial i el final no hi ha variació de l’energia cinètica, ja que en els dos estats Ec=0. Si la massa del mig baixa “h” cadascuna de les masses laterals pujarà “ h’=D- l ”. Per tant es complirà:

m ⋅ g ⋅h = 2 ⋅m ⋅ g ⋅h ' on h ' = D− l = l2 + h2 − l de la primera equació trobem que: “h’= h/2” ( resultat lògic si tenim en compte pugen dues masses, en baixa una i les masses són iguals)que substituint en la segona equació trobem

h2= l2 + h2 − l i trobem per "h" h = 4

3 h =

43l

D

l

m m

m α

p

T

p p

h

l politges

28

7. Sistemes NO conservatius.

Què passa quan sobre un sistema hi realitzen treball forces no conservatives?. Existeix alguna equació de balanç energètic semblant a la que tenim per sistemes conservatius?. És que no es compleix el principi de conservació de l’energia per sistemes NO CONSERVATIUS?. En aquest apartat procurarem donar resposta a aquestes preguntes.

En primer lloc, EL PRINCIPI DE CONSERVACIÓ DE L’ENERGIA ES COMPLEIX SEMPRE. Amb sistemes NO CONSERVATIUS volem indicar que el sistema no manté l’energia mecànica, tal i com passa en els conservatius. L’energia no desapareix, es transfereix a altres sistemes. Per exemple, quan deixem caure un cos per un pla inclinat, en el qual la fricció no és insignificant, part de l’energia potencial inicial es transfereix i es transforma en un augment de les energies internes del cos i del pla, degut al treball realitzat per les forces de fricció.

En els sistemes no conservatius hi haurà, per tant, una variació de l’energia mecànica, EM, l’energia mecànica final no serà igual a la inicial, i aquesta diferència serà exactament igual al treball realitzat sobre el sistema per les forces no conservatives. Efectivament:

ΔE E E W FM Mf

Mi

nc= − = ( )

donat que l’energia mecànica és: E E EM c p= + , podem reescriure l’equació anterior amb aspecte semblant al de l’equació corresponent dels sistemes conservatius.

Aquestes comparacions energètiques les podem fer mentre actuïn sobre el sistema forces conservatives.

Definició: Direm que un sistema és NO CONSERVATIU quan sobre el

sistema hi realitzen treball forces no conservatives.

A-27: L’helicòpter puja el cotxe. El cotxe guanya energia potencial gravitatòria. El cotxe guanya energia mecànica. a. Quina força fa el treball de variar, en

aquest cas augmentar, l’energia mecànica del cotxe?

b. És o no conservativa aquesta força?

29

8. Resolució de problemes per “Balanç Energètic” o per “Dinàmica”?

Les equacions de balanç energètic ens serveixen, principalment quan sobre el sistema hi actuen forces conservatives i així, poder comparar dos estats diferents d’un determinat sistema. Per exemple, si coneixem l’estat inicial i la variació de l’energia potencial, o energies potencials, d’un sistema al passar d’un estat a l’altre, amb l’equació de balanç energètic, podrem trobar la variació d’energia cinètica i la velocitat de la partícula en l’estat final. Com és lògic la proposta també és vàlida a l’inrevés.

• Si el sistema és conservatiu, no hi ha variació en l’energia mecànica del sistema i

l’equació de balanç energètic és: Δ ΔE Ep c+ = 0 • Si el sistema és no conservatiu, La variació de l’energia mecànica del sistema és

igual al treball realitzat per les forces no conservatives que actuen sobre el sistema, i l’equació és:

Δ ΔE E W Fp c nc+ = ( )

!

on “

!Fnc ” són les forces no conservatives que actuen sobre el sistema

Exemple - 7:

Considerem un cos de massa de 10 kg que es troba en repòs a una alçada de 4m sobre un pla inclinat “30º”. Calcular la velocitat del cos quan arribi al final del pla inclinat si la força de fricció sobre el cos val 17 N. Solució: En aquest cas degut a l’existència d’una força de fricció, ja veiem que no es tracte d’un procés conservatiu i el cos que baixa pel pla inclinat no conservarà la seva energia mecànica. En aquest cas l’equació de balanç energètic és: Δ ΔE E W Fp c nc+ = ( )

!

i la força no conservativa és la força de fricció,

! !F fnc r= .

En la situació inicial l’avaluació energètica és el següent: 𝐸!! = 𝑚 · 𝑔 · ℎ i Ec

i = 0.

Per altra banda, l’avaluació energètica final serà: Epf = 0 i E mvc

ff=

12

2

El treball realitzat per la força no conservativa de fricció prendrà el següent valor:

30

W f f s fhsinr r r( ) = − = −α

Substituint tots aquests resultats a l’equació de balanç energètic, ens queda:

012

02− + − = −mgh mv fhsinf r α

La velocitat final ens queda:

𝑣! =!" !"!!! !"#!

!=

!·!(!"·!,!!!" !,!)

!"= 7,16 𝑚/𝑠

Volem insistir, una vegada més, que mentre el cos que baixa pel pla inclinat no es troba en un únic estat, sinó que, a mesura que baixa, canvia constantment el seu estat i constantment varien les seves energies cinètica i potencial. Les equacions de balanç energètic ens permeten comparar qualsevols dos estats diferents del sistema.

En aquest exemple, que hem resolt a través de les equacions de balanç energètic, no hem tingut en compte en cap moment com ha estat el moviment ( uniforme, accelerat, uniformement accelerat) no ens ha fet falta, ja que l’energia és una funció d’estat i és suficient comparar els dos estats que ens interessen; aquest és un dels avantatges d’utilitzar les equacions de balanç energètic. Un altre avantatge, és que les equacions de balanç energètic són escalares mentre que les equacions de la Dinàmica són vectorials i, com sabeu, les equacions escalares són més fàcils de resoldre. Dit això, cal afegir que aquest exemple també es pot resoldre perfectament utilitzant els principis de la dinàmica i, en aquest cas, com la força resultant és constant i el moviment és uniformement accelerat, la solució és fàcil. Però, què passa si la força resultant no és constant i, per tant, el moviment no és uniformement accelerat?. La resposta és que no passa res, tan sols que la solució no és tan fàcil i necessitem saber fer operacions que ara desconeixem (resoldre equacions diferencials). Aquesta és una bona raó per utilitzar les equacions de balanç energètic sempre que sigui possible. No sempre és possible aplicar les equacions de balanç energètic.

A continuació us indiquem algunes situacions en els quals hem d’aplicar les

equacions de la dinàmica i no podem aplicar les de balanç energètic: • Per saber si un cos es troba o no en un estat d’equilibri. Per exemple, saber

l’acceleració amb la qual es mourà un cos quan el col·loquem sobre un pla inclinat i volem saber si es quedarà parat o si baixarà i, si baixa, amb quina acceleració ho farà.

• Per trobar l’equació del moviment del cos, e(t), és a dir, saber com evoluciona un cos al llarg del temps, o trobar v(t), o a(t).

• Per calcular la velocitat amb què ha de girar un satèl·lit per mantenir-se en òrbita circular al voltant d’un planeta.

31

Exemple - 8: Anem a veure un exemple en què es combinen els 2 mètodes Considerem un cos de 2 kg de massa que es troba 0,5 m per sobre d’una molla, de constant K= 200 N/m, col·locada verticalment, tal com mostra la figura 13 (a). Si deixem caure el cos, que inicialment es troba en repòs, sobre la molla, calculeu: 1. El desplaçament màxim de la molla, x1, respecta a la posició inicial per

l’impacte del cos, tal i com mostra la figura 13 (b). 2. La posició final d’equilibri, x2, respecte la posició inicial de la molla, si el

sistema pateix una petita dissipació d’energia que va esmorteint el moviment vibratori, tal i com mostra la figura 13 (c).

Figura 13 (a) Figura 13 (b) Figura 13 (c) Solució: a. Per trobar quant es comprimeix la molla, el valor d’x1 de la figura (b), ho farem

per balanç d’energies comparant l’estat inicial, figura (a), amb l’estat final , figura (b). En l’estat inicial, amb el criteri signes i origen escollits, el sistema té tan sols energia potencial gravitatòria de la massa de 2 kg, mentre que l’energia potencial elàstica és nul·la ja que la molla no es troba deformada: E vita mghp

i (gra .) = i E mollapi ( ) = 0

En l’estat final, figura (b), les respectives energies potencials prenen els següents valors:

E v mgxpf (gra ) = 1 i E molla Kxp

f ( ) =12 1

2

En les equacions de balanç energètic no intervé el temps i, per tant, no podem obtenir a partir d’elles equacions del tipus e(t), o v(t), o a(t). Tampoc podem fer comparacions amb altres estats si el sistema es troba en un sol estat com el d’equilibri(les energies cinètica i potencial del sistema no varien i són constants). Són aquestes les situacions en les que únicament és possible resoldre el problema aplicant les equacions de la dinàmica.

32

cal remarcar que amb el nostre criteri de signes, x1 ha de ser negatiu. També és important veure que en aquest exemple no hi ha variació de l’energia cinètica, ja que és zero, tant en l’instant inicial com en final. Si suposem que la pèrdua d’energia del sistema és mínima en una primera oscil·lació, el sistema serà conservatiu i es complirà l’equació de balanç energètic per a aquests sistemes. Δ ΔE v E mollap p(gra ) ( )+ = 0 ⇔ E g E g E m E mp

fpi

pf

pi( ) ( ) ( ) ( )− + − = 0

substituïm les expressions ens queda:

mgx mgh Kx1 121

20 0− + − =

substituint les dades del problema ens queda la següent equació de segon grau: 100 19 6 9 8 01

21x x+ − =, ,

D’aquesta equació obtenim dos resultats: x1= -0,426 m i x1= 0,23 m El resultat que demana el problema és x1= -0,426 m, ja que ha de ser negatiu. Quin és el significat físic de l’altre resultat?.

b. En aquest apartat ens trobem en una situació, figura 13 (c), en la qual el sistema es troba en un únic estat i no tenim informació del valor de la pèrdua d’energia del sistema, per tant no podem aplicar les equacions de balanç energètic i cal aplicar la dinàmica.

Per tant, en la situació d’equilibri es complirà que la suma de forces sobre el cos ha de ser zero:

! !F pm + = 0. Si considerem que cap dalt és el sentit positiu i substituïm el valor de les forces, tenim: − − =K x i mg iΔ 2 0

! !.

Ara tan sols ens falta aïllar l’increment d’ics. ΔxmgK2 = −

substituint el valors de l’enunciat trobem: Δx x m2 2 0 098= = − , , per a la posició d’equilibri.

33

Exercicis: E-14. Tenim un cos de 0,8 kg que penja d’una molla de constant K= 1200 N/m. Quant s’ha estirat la molla? És pot resoldre el problema per energies? E-15. Llancem un cos de 2 Kg sobre una superfície horitzontal amb una velocitat inicial de 8 m/s. Després de recorre 3m sobre la superfície, la velocitat s’ha reduït a la meitat. Calculeu: a. El treball realitzat per la força de fricció. b. El valor de la força de fricció. c. El coeficient de fricció. E-16. Disparem perpendicularment i cap amunt un projectil de 100 g amb una velocitat de sortida de 3000 m/s. Calcula l’alçada a què arribarà. E-17. Deixem lliscar un cos de 4 kg de massa per un pla inclinat 30º i 4 m de longitud. Si la velocitat inicial del cos és nul·la i la d’arribada al final del pla 3 m/s, indiqueu: a. Si el sistema és o no conservatiu. b. En cas que no ho sigui trobeu el coeficient de fricció. E-18. Un muntacàrregues, de 200 Kg de massa, baixa amb una acceleració de 0,25 m/s2. Calculeu: a. La força que fa el cable del muntacàrregues. b. Les variacions de les energies cinètica, potencial i total després de recórrer 2 m.

RESUM DE LES RELACIONS ENTRE TREBALL I ENERGIA:

• Tan sols té sentit parlar d’Energia Potencials (gravitatòria, elàstica, elèctrica, ...) en els processos en què realitza treball una Força Conservativa. La relació existent entre els dos és:

• El Treball realitzat per una Força Resultant sobre un cos, sigui

conservativa o no, sempre és igual a la variació de l’Energia Cinètica del cos:

• En un Sistema Conservatiu les úniques forces que realitzen treball

són les conservatives. En els sistemes conservatius tan sols es produeixen transformacions entre l’energia potencial i la cinètica però l’energia mecànica total és manté constant:

o bé

• Un sistema tan sols pot variar, guanyar o perdre, la seva energia

mecànica si sobre ell realitzen treball forces no conservatives:

34

9. Qüestions i Problemes. 1. Indica si són vertaderes o falses les següents afirmacions:

a. Si dividim una habitacle amb una paret per la meitat, l’energia interna de cadascuna de les parts és la meitat de la total inicial.

b. L’energia cinètica d’un mòbil que es desplaça a velocitat “v” depèn del tipus de moviment que ha realitzat per arribar a aconseguir la velocitat.

c. De l’equació de l’energia cinètica en podem deduir el vector velocitat. d. L’energia elèctrica “consumida” per una bombeta es dissipa i desapareix. e. El treball és un dels aspectes en què es presenta l’energia. f. El treball realitzat per una força sobre un cos sempre és diferent de zero quan

el cos es desplaça. g. El treball realitzat per una força sobre un cos és igual a l’àrea de la gràfica

força tangencial al desplaçament sobre l’eix “y” i desplaçament eix “x”. h. Les màquines i motors són enginys que subministren energia. i. La potència del treball d’una força és constant si la força ho és. j. La potència ens informa de la quantitat d’energia subministrada per unitat de

temps. k. Els motors més potents realitzen més treball. l. El treball realitzat per una força sobre un cos és igual a la variació de

l’energia cinètica del cos. m. El treball realitzat sobre un cos en contra d’una força conservativa és igual a

la variació de l’energia potencial del cos, sempre que la força resultant sigui nul·la.

n. La suma dels treballs realitzats per forces no conservatives és igual a la variació de l’energia mecànica del cos.

o. El treball i l’energia són magnituds escalares però la potència és vectorial.

Solució: a) V; b) F; c) F; d) F; e) F; f) F; g) V; h) F; i) F; j) V; k) F; l) F; m) V; n) V; o) F.

2. Descriu tots els canvis energètics que es produeixen quan un tenista colpeja la pilota. Estudia el procés, segueix la pista de l’energia, des de l’instant que el jugador prepara el cop fins que la pilota arriba al terra i, finalment, es para.

3. Una força de 100 N actua sobre un cos quan aquest es desplaça 5 m en línia recta.

Calcula el treball realitat per la força en els següents casos. Interpreteu els resultats. a. La força té la mateixa direcció i sentit que el desplaçament. b. La força forma un angle de 30º amb el desplaçament. c. Forma un angle de 120º amb el desplaçament. d. Forma un angle de 180º amb el desplaçament. e. Forma un angle de 270º amb el desplaçament.

Sol: a) 500J; b) 433J; c) -250J; d) -500J; e) 0J.

35

4. Fem girar un cos de 200 g que es troba sobre una plataforma horitzontal a 1 m de l’eix de rotació, la rapidesa màxima a què es pot moure el cos sense sortir disparat de la plataforma és 1,26 m/s. Calculeu: a. Quin tipus d’acceleració té el cos? Quin és el valor

d’aquesta acceleració?. b. El valor de la força que provoca l’acceleració. Qui o

què realitza la força?. c. Quin és el valor mínim del coeficient de fregament. d. El treball realitzat per la força.

Sol: a) Centrípeta, 1,59m/s2; b) 0,32N, la força de fricció; c) 0,16 ; d) 0J.

5. El valor de la força de fricció que actua sobre un cos és 100 N, calculeu el treball realitzat per la força quan traslladem el cos des del punt (0,0) fins el punt (4,3), pels següents camins: a. Seguint la línia recta que uneix els dos punts. b. Del punt (0,0) al punt (4,0) i, després, fins el punt (4,3). c. Una altra manera de definir força conservativa és utilitzar la propietat que

tenen aquestes forces que el seu treball per traslladar un cos entre dos punts no depèn del camí seguit per anar d’un punt a un altre. Justifica, utilitzant aquesta definició, si la força de fricció és o no conservativa. Sol: a) 500J; b) 700J ; NO.

6. Un cos de 30 kg es troba sobre una superfície horitzontal amb la qual té un

coeficient de fricció de 0,2. Calcula la força, paral·lela a la superfície, que cal aplicar per aconseguir una acceleració de 0,4 m/s2. Si fem un recorregut de 10m, calcula el treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos. Quina és la variació de l’energia cinètica del cos?. Sol: W(Fa)= 708J ; W(Ff)= -588J ; W(p)=W(N)=0 ; 𝑊 𝐹! = ∆𝐸! = 120𝐽.

7. Estirem un cos de 60 kg sobre una superfície horitzontal amb la qual té un coeficient de fricció de 0,4. Estirem el cos al llarg de 20 m amb una força de 240 N que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. Calculeu: a. El treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos i el

treball realitzat per la força resultant. b. Representa gràficament la component tangencial de la força aplicada en

funció del desplaçament i troba l’àrea compresa entre la gràfica i l’eix d’abscisses.

c. Calcula l’acceleració del cos d. Calcula la variació de l’energia cinètica del cos. e. Troba l’equació que ens dóna la potencia que desenvolupa la força aplicada a

cada un dels instants que dura el recorregut. Sol: a) W(p)=W(N)=0 , W(Fa)=4157J , W(Ff)= -3744J , W(FR)= 413J c)a=0,34m/s2 d) 𝑊 𝐹! = ∆𝐸! = 413𝐽 ; e) mua à 𝑃 = !!·!"# !"·!.!

!= 𝑐𝑡𝑒. 𝑡

36

8. La força resultant que actua sobre un cos de 10

kg varia amb l’espai recorregut de la manera que indica la figura. Calcula el treball realitzat per la força i la velocitat del cos quan arriba als 15 m si el treball s’inverteix en donar energia cinètica al cos. Sol: 250J

9. Un projectil de 0,020 kg és disparat per una escopeta. La longitud del canó és 0,5 m i un diàmetre intern de 8,0 mm. La pressió dels gasos per sobre de l’atmosfèrica, que considerem constant és de 6,91x103 atmosferes (1 atmosfera = 1,013x105 N/m2). Suposa que no hi ha fricció i que l’escopeta roman immòbil i calcula: Recorda que P=F/S.

a. La força dels gasos sobre el projectil i el treball realitzat per la força.

b. L’energia cinètica del projectil i la velocitat de sortida del canó. Sol: a) 35185 N ; b) Ec=17592,5J , v= 1326 m/s.

10. Calcula el temps mínim que necessita un motor d’1 CV de potència efectiva, la transmet al moble, per pujar un moble de 120 kg a una alçada de 18 m. Sol: 28,8s

11. Troba la potència efectiva que desenvolupa un motor quan puja un cos de 120 kg de massa a una alçada de 100 m en 1 minut. Sol: 1960 W

12. Un llançador de pes accelera des del repòs fins 15 m/s una bola de 7,3 kg. Si en

el procés inverteix 1,5 s, calcula la potència que transmet ala bola. Sol: 547,5W

13. Un urbanista treballa en un projecte d’una part de la ciutat que es troba a la falda

d’una muntanya. Quin és el pendent màxim que poden tenir els carrers perquè els pugui pujar fins i tot un cotxe poc potent de 900 kg i 30 CV amb una velocitat mínima de 54 Km/h?. Sol: 9,6º

14. Un pèndol simple està format per una massa de 300 g que penja d’un fil d’1 m de

longitud i massa inapreciable. Separem el pèndol un angle de 30º respecte de la posició d’equilibri. Calculeu: a. La variació de l’energia potencial del pèndol en aquest procés. b. El treball realitzat per cadascuna de les forces que han actuat sobre el sistema

i si el desplaçament s’ha realitzat sense augment de l’energia cinètica. c. Si deixem en llibertat el sistema, troba la velocitat de la massa quan passi per

la posició d’equilibri. Sol: a)Ep= 0,39J ; b) W(Fa)= 0,39J , W(p)= -0,39J , W(T)=0J ; c) v=1,6m/s.

37

15. Tarzan corre a 8 m/s i, per a pujar a un arbre de forma ràpida, s’agafa a la carrera a una liana, de massa inapreciable, que penja verticalment. A quina alçada aconseguirà arribar Tarzan?. Depèn el resulta de la longitud de la liana?, i de la massa de Tarzan?. Sol: 3,27 m, NO i NO.

16. Un cos de massa 4 kg es mou sobre una superfície

horitzontal sense fricció amb una velocitat de 10 m/s. Xoca contra una molla de constant 1000 N/m, quina és la longitud màxima que es comprimirà la molla?.

Sol: 0,63m.

17. Un pantà deixa caure aigua a raó de 600 kg/s sobre una turbina generadora d’electricitat que es troba 100 m més avall. Si el rendiment del mecanisme és del 65%, quina és la potència que subministra la turbina?. Sol: 382,2x103W

18. Tenim un cos de 6 kg lligat a una molla de constant 700 N/m. El conjunt es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció. Si estirem el cos de manera que la magnitud de la força aplicada augmenti amb la mateixa proporció que ho fa la força de la molla, el cos es desplaçarà sense que guanyi energia cinètica. Així, augmentem la força aplicada fins un valor màxim de 350 N. Es demana: a. Quant s’estirarà la molla?. b. Quin és treball realitzat per la força aplicada?. I per la força de la molla?. c. Quina és la variació d’energia potencial del sistema?. d. Si deixem oscil·lar en llibertat al sistema, quina serà la velocitat del cos quan

passi per la posició d’equilibri?. Sol: a) 0,5 m; b) 87,5J, -87,5J; c) 87,5J; d) 5,4 m/s.

19. Dels extrems d’una corda que passa per una politja pengen dues masses de 3 i 4

kg respectivament. Si, inicialment, les dues masses es troben a la mateixa alçada i deixem en llibertat el sistema, calcula la velocitat de les masses quan es troben separades 2 m. Sol: 1,67 m/s

20. Una massa de 0,6 kg es troba sobre una plataforma horitzontal sense fricció i pot girar al voltant d’un eix central. La massa es troba lligada a l’eix de rotació per una molla de 20 cm de longitud quan no està deformada. Si la constant de la molla és de 400 N/m, i la massa gira amb una velocitat angular de 10,6 rad/s, calcula: a. L’increment de longitud de la molla. b. L’energia mecànica del sistema.

Sol: a) 0,04 m ; b) 1,1J

38

21. Des d’1 m per sobre d’una molla que està col·locada verticalment sobre el terra,

deixem caure un cos de 250 g. Calcula la constant de la molla si la seva deformació màxima, per l’impacte del cos, és de 50 cm. Sol: K=19,6 N/m

22. Des d’una alçada de 20 m sobre la superfície de la Terra, llancem una massa de

200 g amb una velocitat de 20 m/s i formant un angle de 60º amb l’horitzontal. Escull com a origen la superfície de la Terra i calcula:

a) L’energia total inicial de la massa (Es considera situació inicial l’instant que la massa surt amb la velocitat de 20 m/s).

b) L’energia total quan es troba a 25 m sobre el terra. c) La velocitat del cos per a aquesta alçada. d) L’alçada màxima a què arribarà i la seva energia cinètica en aquest

instant. Sol: a) EM= 79,2J ; b) 79,2J ; c) 17,4 m/s ; d) 35,3m , 10J.

23. Calcula el treball necessari per aturar un cotxe de 950 kg que es mou amb una

velocitat de 108 km/h sobre un tram horitzontal. Sol: 427,5x103J

24. Una massa de 2 kg és empesa contra una molla, de constant k= 500 N/m,

comprimint-la 20 cm. Es deixa en llibertat el sistema i la molla impulsa el cos sobre una superfície horitzontal de 20 cm de longitud (que és el que es comprimeix la molla), que continua amb un pla inclinat 45º. El coeficient de fricció val 0,2

a. Troba la velocitat del cos quan abandona la molla. b. Troba l’espai recorregut sobre el pla inclinat. c. Podries trobar l’equació del moviment del cos, e(t), a partir de les

equacions de balanç energètic?. Sol: a) 3 m/s ; b) 0,45 m; c) No

25. Deixem caure verticalment una massa de 10 kg des d’una alçada de 20 m i arriba

al terra 2,4 segons més tard. Calcula la velocitat d’arribada al terra i indica si podem considerar el sistema com a conservatiu. Si no ho és, calcula el treball realitzat per les forces no conservatives. Sol: NO, W(Ff)= -571J

26. Un alumne utilitza l’ascensor de l’Institut per pujar al segon pis. Indica les

variacions de les energies cinètica i potencial de l’alumne quan passa pel primer pis. Introdueix les variables que creguis necessàries.

39

27. Dues vagonetes petites estan pressionant fortament una molla encara que no estan

enganxades a ella, com mostra la figura. Estant inicialment tot el sistema en repòs. En un moment donat es deixa anar el sistema i les dues vagonetes surten disparades en sentits contraris i cal suposar que no hi ha fricció:

a. On està emmagatzemada l’energia del sistema? Quina és la quantitat de moviment inicial del sistema?.

b. Si la vagoneta de 10 kg surt amb una rapidesa de 12 m/s, amb quina velocitat sortirà l’altra vagoneta?

c. Quina era l’energia potencial elàstica de la molla?. Sol: a) molla, 0 kg.m/s; b) 20m/s; c) 1920J.

28. Un tauró blanc de 5,4 m de llarg i 2175 kg de massa es llança des de sota a una velocitat de 9 m/s contra una foca de 120 kg que prenia el sol tranquil·lament a la superfície de l’aigua, determina: a. La velocitat amb què sortirà de l’aigua

el tauró després d’engolir-se la foca tal i com mostra la imatge. Per a fer aquest càlcul no tenir en compte forces de fricció ni pes.

b. Si el temps de l’impacte amb la foca és de 0,6 s quina és la força que hi hagut entre la foca i el tauró. Sol: a) 8,53m/s ; b) 1704N

29. Seguint amb el problema anterior: Si l’angle d’incidència del tauró amb la superfície de l’aigua en el moment d’engolir-se la foca era de 30º i surt de l’aigua amb el mateix angle respecte a la superfície i surt amb la velocitat que has calculat en l’aparta “a” del problema anterior, calcula:

a. L’alçada màxima a què arribarà. b. La distància que hi haurà entre el punt d’on ha sortit de l’aigua i el punt

on torna a caure. Nota: per aquest problema sí cal tenir en compte la gravetat. Es tracta d’un moviment parabòlic. Sol: a) 0,93m ; b) 6,43m

40

30. Tenim dos cossos de masses “ M1= m” i “M2= 2.m” on “m= 3 kg” que es troben

sobre una superfície horitzontal sense fricció. Entre els dos cossos hi ha una molla pressionen gràcies a unes lligadures externes. La molla , de constant k= 1200 N/m, es troba comprimida 20 cm i no està lligada a cap dels dos cossos. Tot el sistema està lligat i inicialment en repòs.

a. Quina energia potencial té emmagatzemada la molla? Quina és la quantitat de moviment total del sistema en aquesta situació inicial?.

b. Si traiem les lligadures i deixem que la molla impulsi els dos cossos, quina serà l’energia cinètica total de les dues masses impulsades per la molla? Què valdrà la quantitat de moviment total del sistema? Quina serà la relació entre les quantitats de moviment de les dues masses?

c. Dedueix l’expressió de l’energia cinètica en funció de la quantitat de moviment.

d. Quina serà la quantitat de moviment i la velocitat de cada massa en abandonar la molla?

Sol: a) 24J; b) 24J, 0 kg.m/s, 𝑝! + 𝑝! = 0 ; c) 𝐸! =!!

!! ; d) -4,6m/s, 2,3 m/s.

31. Un peix es mou amb acceleracions ràpides i curtes. La seva massa és d’1 kg i es

desplaça gràcies a la seva cua que impulsa 1,5 l d’aigua en 0,5 s i una velocitat de 5 m/s en sentit contrari al moviment. Calcula:

a. La velocitat del peix després de cada impuls. b. La força que impulsa el peix mentre accelera. c. L’energia total que consumeix el peix en cada impuls. d. La potència del peix.

Sol: a) 7,5 m/s; b) 15 N; c) 47J; d) 94W.

32. Un bloc de fusta de 5 kg es troba lligada a una molla de constant 1000 N/m que es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció. Un projectil de 150 g de massa i una velocitat de 300 m/s, s’incrusta en el bloc de fusta. Calcula: a. La velocitat del bloc després d’incrustar-se el projectil, tot suposant que es

tracta d’una col·lisió perfectament inelàstica. b. La longitud que es comprimirà la molla.

Sol: a) 8,74 m/s; b) 0,63m. 33. Calcula la velocitat a la qual es mourà el sistema de

la figura quan la massa que penja hagi baixat 2 m sortint del repòs. El coeficient de fricció en la superfície horitzontal és 0,3. Sol: 3,7 m/s

41

34. El sistema que tenim en la figura es troba inicialment

en repòs i la molla no fa força. La constant de la molla val 400 N/m, el coeficient de fricció val 0,2 i les masses respectives són m1= m2= 3 kg. Calcular el punt més baix que arribarà la massa m1 respecte de la posició inicial quan es deixa en llibertat al sistema. Sol: 0,12m.

Ud energia i treball 1406

Education