uc.fmf.uni-lj.siuc.fmf.uni-lj.si/.../gradiva/1516/diffAnalizator.docx · Web viewREŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike

REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČBZ MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI

Pino KocSeminar za učitelje matematike

FMF, Ljubljana, 25. september 2015

Vir: [1]1

Nekateri pripomočki in naprave za računanje:1a) Digitalni (mehanski)

Vir: http://history-computer.com/ , [2]

2

1b) Digitalni (fluidni)

Vir: [3]

1c) Digitalni (relejni)

1d) Digitalni (elektronski)

3

2) Analogni (mehanski)

4

Lastnosti mehanskih analognih računskih strojev- osnovne spremenljivke so pomiki in/ali zasuki, - zvezno spreminjanje količin,- mehanski principi delovanja komponent stroja so ekvivalentni računskim

operacijam, ki jih te komponente izvajajo,- zmožnosti izvajanja seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja, integracije,

razstavljanja vektorjev na komponente, računanja s trigonometričnimi funkcijami, računanja s poljubnimi, »hardwersko« nastavljenimi funkcijami.

- omejena natančnost,- težavno programiranje stroja,- počasnost, obsežnost, energijska potratnost.

5

a b

x

w

y

Računske operacije: (1) Množenje s konstanto pri translacijiPostavimo: w = 0xa= y

b→ y=b

ax

Vir: [4]

Napake pri znatnih zasukih droga 5.

6

rA rB

BA

Računske operacije: (1) Množenje s konstanto pri rotaciji

dl=r A dφA=r B dφB

φB=r A

rBφA

ker ob A=2 π r A=m z A

obB=2 π rB=m z B

jer A

r B=

z A

zB

7

a b

x

w

y

Računske operacije: (2) Seštevanje, odštevanje pomikovNajprej postavimo: x = 0w y

a= y

a+b→ w y=

aa+b

y

nato: y = 0w x

b= x

a+b→ w x=

ba+b

x

Seštejemo:w x+w y=w=bx+ay

a+b

Običajno: a=bw= x+ y

2

8

x w y

r

Računske operacije: (2) Seštevanje, odštevanje zasukovDiferencial

w= x+ y2

x=r φx ,w=r φw , y=r φy

φw=φx+φy

2

9

x w z

Diferencial v računskih strojih

Natančnost 5 do 10 kotnih minut.

Vir: [5]

10

Diferencial v avtomobilih

11

y

d

d

Računske operacije: (3) IntegracijaIntegrator z diskom

y d θ=r dφ

φ=1r∫ y dθ

φ → z, θ → x

z=1r ∫ y dx Vir: [6]

12

z = y dx

x

y = f(x)

Integrator z diskom, izvedba

Vir: [1]13

Ojačevalnik torzijskega momenta

F vitla=F roke eμ α̂

Vir: [6] Vir: [1]

14

Računske operacije: (3) IntegracijaIntegrator z valjem

Natančnost 0,01% do 0,5%.

Vir: [7] Vir: [5]

15

x

z = y dxy = f(x)

Računske operacije: (4) Množenje, deljenjeMnoženje pomikov

x1

x3= A

x2→ x3=

1A

x1 x2

Vir: [4]

Vir: [5]

16

Računske operacije: (4) Množenje, deljenjeMnoženje zasukov

Vir: [4]

Deljenje:xy

→ x 1y

17

Računske operacije: (5) InvertiranjeRecipročne vrednosti pri pomikih

xA

=By

→ y=AB 1x

Vir: [4]

18

Računske operacije: (5) InvertiranjeRecipročne vrednosti pri zasukih

Vir: [5]

19

Računske operacije: (6) Generiranje funkcijTabla za vnos krivulje

Vir: [8]

20

Računske operacije: (6) Generiranje funkcijKrivuljni mehanizmi v računskih strojih

Vir: [5]

21

Krivuljni mehanizmi v našem vsakdanu

22

Računske operacije: (6) Generiranje funkcijZ uporabo integratorjev

23

Sestavljanje računskega strojaDiferencialni analizator

MIT (1931) [8]

24

y

r

Primer 1: harmonično nihanjedφdt

=ω=konst . y=rsin φ=r sin(ωt)

dydt

=−r ωcos ( ωt ) d2 ydt 2 =−r ω2 si n (ωt )=−ω2 y

d2 ydt 2 =−ω2 y

Preuredimo:

dydt

=−ω2∫ y dt

Vir: [9]

25

-

1y dtt

dy/dty

Fup xmFg

Primer 2: padajoča masna točka a¿ Linearni zakonupora

m a⃑=∑i=1

n

F⃑ i

os x: m ax=−b v x+m g

uredimo, upoštevamo K=b/md2 xdt2 +K dx

dt−g=0

Preuredimo:dxdt

=−∫(K dxdt

−g)dt

Vir: [8]

26

b) Nelinearni zakon upora:F⃑up=m f ( v⃑), dodatno še: g=g(x)d2 xdt2 + f (dx

dt )−g (x)=0

Preuredimo:dxdt

=−∫ [ f ( dxdt )−g(x )]dt

Vir: [8]

27

Primer 3d3 ydt 3 =[2 y d2 y

dt 2 −sin( dydt )]

2

množenje

Vir: [10] sinus, kosinus

kvadriranje

28

Primer 4

Vir: [5]

29

Literatura:[1] http://www.meccano.us/differential_analyzers/robinson_da/index.html, (sept. 2015).[2] http://history-computer.com/, (sept. 2015).[3] Fluidika, Tehnička enciklopedija, 5. svezak, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, Zagreb.[4] Mabie H.H, Ocvirk F.W., Mechanisms and Dynamics Machinery, Third Edition, John Wiley

and Sons, 1978.[5] Basic Fire Control Mechanisms, Ordnance Pamphlet 1140, Department of the Navy, USA,

1944.[6] Kasper J.E., Construction and application of a mechanical differential analyzer, Dissertation,

State University of Iowa, 1955.[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Ball-and-disk_integrator, (sept. 2015).[8] Bush V., The Differential Analyzer. A New Machine for Solving Differential Equations,

Massachusetts Institute of Technology, 212, 1931.[9] Robinson T., The Meccano Set Computers, A history of differential analyzers made from

children's toys, IEEE Controls System Magazine, June 2006.[10] Brooks C. et all, The Marshall Differential Analyzer Project: A Visual Interpretation of

Dynamic Equation, Advances in Dynamical Systems and Applications, Volume 3 Number 1, 2008.

[11] http://www.meccano.us/differential_analyzers/robinson_da/vcf70.html - film prikazuje Meccano diferencialni analizavor v delovanju (sept. 2015).

[12] http://www.computerhistory.org/revolution/analog-computers/3/143/2394 film (sept. 2015).30