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Teor,a deexponen-es .
/ogari-mos
S0
Exigencia académica para grandes cambios
Mg$ "erc. "EAME#INAppena2con-inen-a/$ed3$pe
MATEMÁTICA FINANCIERA – SEMANA 1A
2
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Operaciones aritméticas
#IRECTAS
S3ma M3/-ip/icaci4n "o-enciaci4n
IN(ERSASRes-a #i5isi4n Radicaci4n
Logari-maci4n
Exigencia académica para grandes cambios
%peraciones ari-mé-icas
3
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Simplifca, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términossemejantes.
Exigencia académica para grandes cambios
E6emp/os
a) b)
c) d)
4
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Exigencia académica para grandes cambios
"o-enciaci4n
#odemos establecer la siguienteregla de signos para potencias de
base negati+a/
#or ello/
(ec0procamente, seg*n ladefnición del eponente natural,
se +erifcan/
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"ropiedades de /a po-enciaci4n
TE%REMA 91ultiplicación indicada de bases
iguales.
jemplos eplicati+os
TE%REMA 90i+isión indicada de bases
iguales.
jemplos eplicati+os
5
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"ropiedades de /a po-enciaci4n
TE%REMA 9:#ropiedad distributi+a de la
potenciación respecto a lamultiplicación.
jemplos eplicati+os
C%R%LARI% 9:7enerali8ación del teorema 93.
jemplos eplicati+os
:
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"ropiedades de /a po-enciaci4n
TE%REMA 9;#ropiedad distributi+a de la
potenciación respecto de ladi+isión.
jemplos eplicati+os
C%R%LARI% 9;;n+erso multiplicati+o de una
racción <e!ui+alente al corolario92)
jemplos eplicati+os
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E6ercicios
Simplifca/ Si/ , reducir
(educe/ Si/ , calcula el +alor de/
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Radicaci4n
s a!uella operación algebraica !uese genera por la presencia deleponente raccionario, !ue consiste
en =allar una cantidad llamada (&;>,de tal manera !ue ele+ado al +alordel 0ndice nos reproduce otra,denominada S'?(&;@& o(&;@&$O.ALG%RITM%
#onde7
E8ISTENCIA = &NICI#A# #E LARAI*s el conjunto de los n*meros
reales, los radicales de 0ndice parcuyas cantidades subradicales sonnegati+as, no estAn defnidos. nlos demAs casos se establece laeistencia de la ra08, cuyo +alorintr0nseco es *nico.E8"%NENTE FRACCI%NARI%
jemplos aplicati+os/
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Radicaci4n
#odemos establecer la siguienteregla de signos para las ra0ces,cuyos subradicales son positi+os o
negati+os, +eamos/
onde las cantidades y nosepresan una cantidad impar y par,respecti+amente.
jemplos eplicati+os/
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"ropiedades de /a radicaci4n
7enerali8ación del eponente
raccionario. jemplo
TE%REMA 9>
jemplos eplicati+os
TE%REMA RECI"R%C%
s importante obser+ar !ue si es un
n*mero par, el +alor de no debe serun real negati+o.ebido a esto se tiene/
TE%REMA GENERAL 9?
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"ropiedades a3xi/iares
"R%"IE#A# 91
jemplos aplicati+os
"R%"IE#A# 90
jemplo aplicati+o
"R%"IE#A# 9:
jemplo aplicati+o
"R%"IE#A# 9;
16
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"ropiedades a3xi/iares
"R%"IE#A# 9<
jemplo aplicati+o
jemplo aplicati+o
1:
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E6ercicios
(educe/ @alcula/
Simplifca/ Simplifca/
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Ba//a e/ 5a/or de7 Ba//a e/ 5a/or de7
Exigencia académica para grandes cambios
L%GARITM%S
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& partir de la epresión , podemos plantear distintas ecuaciones,dependiendo de cuAl de su tres elementos es el desconocido.
Se desconoce e/ 5a/or de /a po-encia pD
Si/ , entonces se tiene !ue la ecuación $sto implica el cAlculo del +alor de una potencia,operación !ue se denomina po-enciaci4n.l +alor de BC es la enésima po-encia de b.
jemplo/
Se desconoce e/ 5a/or de /a po-encia pD La operaci4npo-enciaci4n no esconm3-a-i5apor3e en genera/$
Exigencia académica para grandes cambios
Logari-mos
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Se desconoce /a base de /apo-encia bD
Se desconoce e/ 5a/or de/exponen-e de /a po-encia nD
Si/ , entonces se tiene la ecuación/ .sto implica el cAlculo de una ra08enésima, operación !ue sedenomina radicaci4n.l +alor de BC es la ra, enésima
de p
jemplo/
Si/ , entonces se tiene la ecuación/ .sto implica calcular el eponentede una potencia conocida su base ysu +alor, operación !ue se denominaLogari-maci4n.
ste eponente BC es el logaritmode p en base b, lo !ue en s0mbolosse representa por /
jemplo/
"or -an-o aHrmamos 3e7 E/ /ogari-mo es e/ exponen-e de 3napo-encia$
Se desconoce /a base de /apo-encia bD
Se desconoce e/ 5a/or de/exponen-e de /a po-encia nD
"or -an-o aHrmamos 3e7 E/ /ogari-mo es e/ exponen-e de 3na
po-encia$Exigencia académica para grandes cambios
Logari-mos
23
6 /
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Encon-rar e/ 5a/or de /os sig3ien-es/ogari-mos7
1$ Logari-mo de @1 en base
0$ Logari-mo de 1> en base @
:$ Logari-mo de 0? en base
Ca/c3/a xJ en cada 3na de /as sig3ien-esexpresiones$
Exigencia académica para grandes cambios
E6emp/os
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" i d d d / / i-
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Si K en-onces7
#esarro//a cada 3na de /assig3ien-es expresiones como
s3ma o res-a de /ogari-mos$
Exigencia académica para grandes cambios
"ropiedades de /os /ogari-mos
2
" i d d d / / i-
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Red3ce cada 3na de /as sig3ien-es expresiones a
3n so/o /ogari-mo$
Exigencia académica para grandes cambios
"ropiedades de /os /ogari-mos
25
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E i4 d d d
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Exigencia académica para grandes cambios
Ec3aci4n de seg3ndo grado
Dorma general/
iscriminante
Si/ tiene dos ra0cesreales dierentes
Si/ tiene sólo una ra08real
Si/ no tiene ra0ces
reales
2:
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(esol+er la ecuación/ (esol+er la ecuación/
Reso/5er /a ec3aci4n7 Reso/5er /a ec3aci4n7
Exigencia académica para grandes cambios
E6emp/os
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Exigencia académica para grandes cambios
E6emp/os
#ropiedades de lasra0ces
#ropiedades de lasra0ces
31
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"ropiedades de /as ra,ces
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#ada /a ec3aci4n7 $ Ca/c3/ar e/prod3c-o de s3s ra,ces$
#ada /a ec3aci4n7 $ Ca/c3/ar e/prod3c-o de s3s ra,ces$
Exigencia académica para grandes cambios
"ropiedades de /as ra,ces
33
Reso/3ci4n de 3na ec3aci4n de seg3ndo grado
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Exigencia académica para grandes cambios
Reso/3ci4n de 3na ec3aci4n de seg3ndo grado
3
é t o d
o s Dactori8ación
@ompletando cuadrados
Dórmula general
3
é t o d
o s Dactori8ación
@ompletando cuadrados
Dórmula general
34
Mé-odo de ac-oriaci4n
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Reso/5er7 Reso/5er7
(esol+er/ (esol+er/
Exigencia académica para grandes cambios
Mé-odo de ac-oriaci4n
3
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Comp/e-ando c3adrados
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Reso/5er7 Reso/5er7
(esol+er/ (esol+er/
Exigencia académica para grandes cambios
Comp/e-ando c3adrados
35
/ i4 d i d -i i 4 i- / d i d
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(esol+er/ (esol+er/
Reso/5er7 Reso/5er7
Exigencia académica para grandes cambios
eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas con 3na inc4gni-a en e/ denominador
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eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas /i-era/es
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(esol+er/
Reso/5er7
Exigencia académica para grandes cambios
eso/3ci4n de ec3aciones c3adr-icas /i-era/es
3:
is-ema de ec3aciones /inea/es con dos inc4gni-as
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• (esol+er un sistema de ecuaciones, es =allar el conjunto solución delsistema.
Mé-odos para reso/5er3n sis-ema de dos
ec3aciones de primergrado con dos 5ariab/es
"orred3cci4n
"ors3s-i-3ci4n
"orig3a/aci4n
"orde-erminan-e
s
Exigencia académica para grandes cambios
is-ema de ec3aciones /inea/es con dos inc4gni-as
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Tarea domici/iaria
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Resolver:Resolver:
Exigencia académica para grandes cambios
Tarea domici/iaria
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"rogresiones
ari-mé-ic
asExigencia académica para grandes cambios
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S3cesiones . series
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#e-ermina /a reg/a 3-i/iada en /as sig3ien-es s3cesiones7
b
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones . series
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S3cesiones . series
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Si represen-amos con a/ primer -érmino de 3na s3cesi4n con a/seg3ndo -érmino con a/ -ercer -érmino . as, s3cesi5amen-e
en-onces podemos deno-ar /a s3cesi4n como7
A/ -érmino se //ama nOésimo -érmino$
Como a cada nmero na-3ra/ nJ /e corresponde 3n nmero se-iene 3e 3na s3cesi4n es 3na 3nci4n c3.o dominio es e/con63n-o de /os nmeros en-eros posi-i5os$
A men3do /as s3cesiones se designan median-e 3na 4rm3/a 3eda e/ 5a/or de para c3a/3ier nmero en-ero nJ$
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones . series
4
S3cesiones . series
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La 4rm3/a deHne 3na s3cesi4n c3.os primeros seis -érminosson7
scribimos la sucesión como/ 5, :, 11, 13, 1, 15, ...
#ara calcular el +igesimoseto término de esta sucesión se usa y seobtiene/
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones . series
4
S3cesiones . series
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EPEM"L%7Escriba /os primeros cinco -érminos . e/ 5igésimo -érmino de /a
s3cesi4n deHnida por7
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones . series
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S3cesiones . series
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SERIE7&na serie es /a s3ma de /os -érminos de 3na s3cesi4n inHni-a
es-o es7
Si nJ es 3n en-ero posi-i5o simbo/iar /a s3ma de /osprimeros nJ -érminos de 3na s3cesi4n$ As, para /a s3cesi4n se-iene7
En genera/ se -iene 3e7
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones . series
46
S3cesiones . series
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En genera/ se -iene 3e7
se //ama primera s3ma parcia/ es /a seg3nda s3ma parcia/ e-c$es /a nOésima s3ma parcia/$ La s3cesi4n se //ama s3cesi4n de
s3mas parcia/es$
E#O@alcule la suma con los primeros cuatro términos de la sucesión
defnida por
Exigencia académica para grandes cambios
.
4:
S3cesiones . series
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n los ejercicios del 1 al el patrón dado contin*a. scriba lossiguientes tres términos de las sucesiones/
Exigencia académica para grandes cambios
.
9
S3cesiones . series
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n los ejercicios del 1 al encuentre los primeros cinco términos y el+igesimosegundo término de la sucesión defnida por la órmula/
Exigencia académica para grandes cambios
.
1
S3cesiones . series
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n los ejercicios del 1 al obtenga la suma de los primeros seistérminos de la sucesión defnida por la órmula/
Exigencia académica para grandes cambios
.
2
"rogresi4n ari-mé-ica
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'na s3cesi4n ari-mé-ica es una sucesión en la cual cada término,después del primero, se obtiene sumAndole al término anterior una
cantidad constante llamada dierencia comn.
#or ejemplo/ la sucesión/ s una sucesión aritmética cuya dierencia com*n es .
a sucesión/ 3, 2, 1, , F, ... s una sucesión aritmética con dierencia
com*n es F19
& partir de la defnición anterior se tiene !ue, en toda sucesión aritméticala dierencia com*n se obtiene restAndole a un término cual!uiera eltérmino anterior.
Exigencia académica para grandes cambios
g
3
S3cesiones ari-mé-icas
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Sea una sucesión aritmética y sea su dierencia com*n. #or defnición, esposible escribir/
......................................
......................................
......................................
Exigencia académica para grandes cambios4
S3cesiones ari-mé-icas
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l nFésimo término se obtu+o al obser+ar !ue el coefciente numérico
de en cada término es uno menos !ue el correspondiente n*mero deorden del término. #or tanto, el nFésimo término de una sucesiónaritmética estA dado por la siguiente ecuación/
E#O/ncuentre el trigesimo!uinto término de la sucesión aritmética/19, 14, 16, 22, .....
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones ari-mé-icas
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Enc3en-re e/ -rigesimo3in-o-érmino de /a s3cesi4n
ari-mé-ica719 1; 1@ 00 $$$$$
E/ decimoseg3ndo -érmino de3na s3cesi4n ari-mé-ica es ?1 .
s3 dierencia comn es <$Enc3en-re e/ primer -érmino$
E/ primer -érmino de 3nas3cesi4n ari-mé-ica es 9 . e/5igésimo -érmino es 19$Enc3en-re /a dierencia comn$
QC3n-os -érminos -iene /as3cesi4n ari-mé-ica O? O: $$$$$ 0
Exigencia académica para grandes cambios
S3cesiones ari-mé-icas
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a suma de los términos de una sucesión aritmética recibe el nombre deserie ari-mé-ica$
a órmula general para calcular la suma de los BnC primeros términos deuna sucesión aritmética, estA dada por/
Exigencia académica para grandes cambios5
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"rogresiones
geomé-riExigencia académica para grandes cambios
:
"rogresi4n geomé-rica
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'na s3cesi4n geomé-rica es una sucesión en la cual cada término,después del primero. Se obtiene multiplicando el término anterior por
una cantidad constante llamada ra4n comn.
"or e6emp/o7La s3cesi4n7
Es una sucesión geométrica cuya razón común es 5.
En -oda s3cesi4n geomé-rica /a ra4n comn es ig3a/ a /adi5isi4n de 3n -érmino c3a/3iera en-re e/ -érmino an-erior$
Exigencia académica para grandes cambios9
"rogresi4n geomé-rica
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Sea una sucesión geométrica, con y sea su ra8ón com*n, donde . #ordefnición/
..........................................
..........................................
..........................................
Exigencia académica para grandes cambios1
"rogresi4n geomé-rica
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l nFésimo término se obtu+o al obser+ar !ue el eponente de BrC encada término es uno menos !ue el correspondiente n*mero de orden del
término. #or tanto, el nFésimo término de una sucesión geométrica estAdado por la siguiente ecuación/
E6emp/os
Enc3en-re e/ decimo3in-o-érmino de /a s3cesi4ngeomé-rica7? 1; 0@ <> $$$$$
Enc3en-re e/ nmero de-érminos 3e a. en /as3cesi4n7< 0 ;'< $$$$ >;':10< $$$$$
Exigencia académica para grandes cambios2
"rogresi4n geomé-rica
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a suma de los términos de una sucesión geométrica se llama seriegeomé-rica.
Sea una sucesión geométrica, con y sea su ra8ón com*n, donde y lanFésima suma parcial, se tiene/
Exigencia académica para grandes cambios3
"rogresi4n geomé-rica
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Enc3en-re /a s3ma de /os doce primeros -érminos de /a s3cesi4ngeomé-rica7
: 0? @1 $$$$
La s3ma de /os > primeros -érminos de 3na s3cesi4n geomé-rica
es 1>@$?<$ Si /a ra4n comn es 9$< enc3en-re e/ primer-érmino$
An-onio acaba de ser con-ra-ado con 3n sa/ario an3a/ de1?0099$ Si /a empresa /e prome-i4 a3men-os an3a/es de/ @Ud3ran-e 19 aVos Qc3/ ser e/ sa/ario de An-onio a/ inicio de/sex-o aVo