Ecuaciones diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Programa desarrollado de la asignatura: Ecuaciones diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Clave 22142313/21142313 Universidad Abierta y a Distancia de México
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Ecuaciones diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”
Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Ingeniería en Telemática
Programa desarrollado de la asignatura:
Ecuaciones diferenciales
Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”
Clave
22142313/21142313
Universidad Abierta y a Distancia de México
Ecuaciones diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”
Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 1
Índice
Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n” .......................................................... 3
Presentación de la Unidad ........................................................................................ 3
Propósitos de la unidad ............................................................................................. 3
Para saber más ....................................................................................................... 32
Cierre de la Unidad ................................................................................................. 32
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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 2
Fuentes de consulta ................................................................................................ 32
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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 3
Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n”
Presentación de la Unidad
En esta unidad utilizarás los conocimientos adquiridos en la primera unidad para
resolver problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior. Se utilizarán los
determinantes como herramienta para determinar la dependencia lineal de dos o más
funciones, y los operadores diferenciales para la solución de ecuaciones diferenciales
no homogéneas.
Propósitos de la unidad
Con el estudio de esta unidad podrás:
Identificar una ecuación diferencial lineal homogénea y no homogénea.
Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas.
Competencia específica
Identificar las ecuaciones de orden n, para determinar sus soluciones generales y particulares, así como interpretar sus resultados, utilizando los métodos de solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas
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2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Iniciarás esta unidad con el estudio de las ecuaciones diferenciales homogéneas y los
métodos para resolverlas. Se puede representar una ecuación diferencial lineal de
orden n homogénea, en su forma más general, de la siguiente forma:
1 2
1 2 01 2..... 0
n n n
n n n nn nx x x x
d y d y d ya a a a y
dx dx dx
(1)
Donde los coeficientes kxa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con 0n xa
Mientras que:
1 2
1 2 01 2.....
n n n
n n n nn nx x x x x
d y d y d ya a a a y g
dx dx dx
(2)
Se le llama ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea porque 0g x .
Nota: las funciones g x y n xa se suponen continuas en un intervalo ,I a b
dado.
Ejemplo 1:
3 '' 2 ' 4 0 y y y
Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea 0g x .
2''' 2 '' 4 ' xy y y y e
Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homogénea 0g x .
2.1.1. Teorema de existencia y unicidad
Teorema 1
Sea la ecuación diferencial:
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1 2
1 2 01 2.....
n n n
n n nn n n
d y d y d ya x a x a x a x y g x
dx dx dx
Y si, además, 1 2 0, , ,...., n n na x a x a x a x
y g x son funciones continuas en un
intervalo ,I a b con 0n xa para todo en este intervalo. Si 0x x es cualquier
punto que pertenezca al intervalo ,I a b , entonces existe una solución única y x
con valores iniciales en dicho intervalo.
En los siguientes ejemplos verás cómo se utiliza este teorema:
Ejemplo 2:
Verificar si 2 23 3 x xy e e x es una solución única de la siguiente ecuación con
valores iniciales:
2
24 12
d yy x
dx
0 4y
' 0 1y
La ecuación diferencial
2
24 12
d yy x
dx es lineal; los coeficientes, así como
12g x x , son funciones continuas en cualquier intervalo que incluye 0x . Se
puede concluir, por el teorema 1, que2 23 3 x xy e e x es solución única.
Ejemplo 3:
Verificar si la función2 3 y cx x es una solución del problema de valor inicial:
2 '' 2 ' 2 4 x y xy y
0 3y
' 0 1y
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Si bien la ecuación diferencial2 '' 2 ' 2 4 x y xy y es lineal, y los coeficientes y
4g x son continuos para todo x , el problema es que 2
2x xa es cero en
0x , por lo tanto 2 3 y cx x no es solución única.
2.1.2. Problema de valor inicial
Se puede presentar el caso de resolver una ecuación diferencial de 2º orden o
superior en la cual los valores iniciales variable dependiente y/o sus derivadas se
especifican en dos puntos diferentes a y b . Es decir, en la suposición que tiene la
siguiente ecuación con valores iniciales dados:
2
2 1 02
d y dya x a x a x y g x
dx dx
0y a y
1y b y
Se dice que se trata de un problema de valores de frontera de dos puntos o,
simplemente, un problema de valores en la frontera. Aunque se cumplan las
condiciones del teorema de unicidad, en un problema de frontera se pueden tener:
a) Soluciones infinitas
b) Solución única
c) Que no exista solución
En el siguiente ejemplo se proporciona la solución general de la ecuación diferencial, y
más adelante se explicará cómo se obtiene.
Ejemplo 4:
Se tiene la siguiente ecuación con valores en la frontera:
'' 64 0 y y
0 0y
02
y
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Donde 1 2cos8 8 y c x c sen x es la solución general (también recibe el nombre de
solución paramétrica; en este caso se tienen dos parámetros 1c y 2c ).
Si sustituimos la primera condición de frontera 0 0y , se tiene que:
1 20 cos 0 0 c c sen
1 20 1 0 c c
1 0c
Si sustituimos la segunda condición de frontera 02
y , se tiene:
1 20 cos 8* 8*2 2
c c sen
1 20 cos 4 4 c c sen
Como 1 0c
20 4 c sen
Como 4 0 sen
La igualdad se cumple para cualquier valor de 2c , por lo tanto hay un número infinito
de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y cuyas gráficas pasan por los
puntos 0,0 y 0,2
.
Actividad 1. Teorema fundamental
Bienvenido a la primer actividad de la segunda unidad. De acuerdo al teorema
fundamental de la existencia y unicidad, participa en esta actividad colaborativa.
Entra al foro y participa.
1. Atiende el documento de actividades para seguir las indicaciones.
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* Consulta los criterios de evaluación de la actividad.
*No olvides revisar los criterios de evaluación.
2.1.3. Principio de superposición
El siguiente teorema se conoce como principio de superposición y consiste en
reunir las soluciones particulares de una ecuación diferencial lineal para formar
una solución general.
Teorema:
Si se tiene que 1 2, ,.. ky y y son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
2
2 1 02( ) ... 0
n
n n
d y d y dya x a x a x a x y
dx dx dx
en un intervalo I, entonces la
combinación lineal:
1 1 2 2 .... k ky c y c y c y
En donde las 1 2, ,.. kc c c son constantes arbitrarias, también es una solución en el
intervalo I.
Ejemplo 5:
Utilizar el principio de superposición si las funciones 2
1 y x
y 2
2 lny x x , definidas
en el intervalo 0, , satisfacen la siguiente ecuación diferencial homogénea de
tercer orden:
3 2
3
3 22 4 0
d y d yx x y
dx dx
Por el principio de superposición, la combinación lineal:
1 1 2 2 y c y c y
2 2
1 2 ln y c x c x x
Esta es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo 0, . (Hay que
recordar que la función lny x está definida en el intervalo 0, ; ver figura 1)
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Figura 1. Gráfica de la función lny x
Ejemplo 6:
Las funciones2 3
1 2 3, , x x xy e y e y e , definidas en el intervalo x , son
funciones que satisfacen la siguiente ecuación diferencial homogénea:
''' 6 '' 11 ' 6 0 y y y y
Por el principio de superposición, la solución general será la combinación lineal:
1 1 2 2 .... k ky c y c y c y
2 3
1 2 3 x x xy c e c e c e
2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano)
Se dice que es un conjunto de funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x linealmente
independientes si las únicas constantes para las cuales son:
1 1 2 2 3 3 .... 0 n nc f x c f x c f x c f x
Para toda x en un intervalo I, son 1 2 .... nc c c .En otras palabras, dos funciones son
linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en un
intervalo I.
Ejemplo 7:
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Las funciones 1 2f x sen x y 2 4 cosf x senx x son linealmente dependientes
en el intervalo x , puesto que una función es un múltiplo de la otra (ver
figura 1):
Demostración:
Recuérdese la identidad trigonométrica 2 2 cossen x senx x
Si multiplicas por 2 ambos miembros de la ecuación, se tiene:
2 2 2(2 cos )sen x senx x
2 2 4 cossen x senx x
Por lo tanto, se obtiene:
2 12f x f x
Figura 1. Gráfica de dos funciones que son linealmente dependientes
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El Wronskiano
El siguiente teorema nos ayuda a determinar la dependencia lineal de n funciones en
un intervalo dado I. Cada función se supone que es diferenciable por lo menos 1n
veces.
Teorema
Supóngase que las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x tienen al menos 1n
derivadas. Si el determinante 1 2 3, , ,...., nw f x f x f x f x (Wronskiano) no es
cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones
1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes en el intervalo I.
Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x
Entonces, las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente dependientes.
Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x
Entonces, las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes.
El determinante (Wronskiano) se designa por:
1 2
1 2
1 1 1
1 2
....
' ' .... '
....
n
n
n n n
n
f x f x f x
W f x f x f x
f x f f
Ejemplo 8:
Utilizar el Wronskiano para determinar si las siguientes funciones 1 xf x e
6
2 xf x e son linealmente independientes:
6
6 7
6( , ) 5 0
6
x x
x x x
x x
e eW e e e
e e
Para todo valor real de x , por lo tanto 1 xf x e y 6
2 xf x e son linealmente
independientes en cualquier intervalo del eje x porque 6( , ) 0x xW e e .
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Actividad 2. Principios de superposición, dependencia e
independencia lineal
Considera los principios de superposición, de dependencia e independencia,
para la realización de esta actividad.
1. Consulta el documento de actividades.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
2.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de
orden n
Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n de la forma:
( ) ( 1)
1 2 1 0... 0n n
n na y a y a y a y a y
En donde los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a son reales, se puede resolver utilizando
su ecuación característica, la cual se forma con los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a de
la siguiente manera:
1 2
1 2 1 0... 0n n
n na m a m a m a m a
Primero se analizarán las ecuaciones de 2º orden para pasar después a las de orden
n.
2.2.1. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes
constantes de orden dos
Si se tiene una ecuación de 2º orden:
2 1 0 0 a y a y a y
La ecuación característica correspondiente será:
2
2 1 0 0 a m a m a
Una vez resuelta la ecuación característica, se pueden usar las raíces para obtener la
solución general de la ecuación diferencial.
Al resolver la ecuación característica se pueden presentar tres casos:
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a) Raíces reales y distintas
b) Raíces reales iguales
c) Raíces complejas conjugadas
2.2.2. Ecuación característica (raíces reales y distintas, reales e
iguales, raíces complejas conjugadas)
Caso I. Si al resolver la ecuación característica:
1 2
1 2 1 0... 0n n
n na m a m a m a m a
Se obtiene que todas las raíces sean reales y distintas 1 2 3 ..... nm m m m ,
entonces la solución general es:
1 2
1 2 ... nm xm x m x
ny c e c e c e
Ejemplo 9:
Resolver la siguiente ecuación diferencial de 2º orden:
'' 9 ' 8 0 y y
La ecuación característica será:
2 9 8 0 m m
Factorizando, se obtiene:
1 8 0 m m
Las raíces son:
1 1 m
2 8 m
La solución general es:
8
1 2
x xy c e c e
Caso II Si al resolver la ecuación característica:
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1 2
1 2 1 0... 0n n
n na m a m a m a m a
Se obtiene que todas las raíces sean reales e iguales a 1m , entonces la solución
general es:
1 1 1 12 1
1 2 3 ... m x m x m x m xk
ky c e c xe c x e c x e
Ejemplo 10:
Resolver la siguiente ecuación diferencial de 2º orden:
'' 4 ' 4 0 y y
La ecuación característica será:
2 4 4 0 m m
Factorizando, se obtiene:
2 2 0 m m
2
2 0 m
Las raíces serán:
1 2 m
2 2 m
La solución general será:
2 2
1 2
x xy c e c xe
Caso III. Si al resolver la ecuación característica:
2
2 1 0 0 a m a m a
Las raíces 1m y 2m son complejas, entonces pueden escribirse:
1m i
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2m i
Donde2 1 i La solución general será:
1 2 i iy c e c e
En la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en vez de funciones
exponenciales complejas. Para hacer la conversión se utiliza la fórmula de Euler:
cos ie isen
La solución general será:
1 2cos xy e c x c sen x
Ejemplo 11:
Resolver la siguiente ecuación diferencial de 2º orden:
'' ' 4 0 y y
La ecuación característica será:
2 4 0 m m
Se hallan las raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para ecuaciones
de segundo grado:
21 1 4 1 4
2 1
m
Las raíces serán:
1
1 15 1 15
2 2 2
im
1 15 1 15
2 2 2
im
La solución general será:
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1
21 2
15 15cos
2 2
x
y e c x c sen x
Ejemplo 12:
Resolver la siguiente ecuación diferencial de 3er orden:
3 2
3 23 19 36 10 0
d y d y dyy
dx dx dx
La ecuación característica será:
3 23 19 36 10 0m m m
Recuerda que cuando se tiene un polinomio, la obtención de las raíces incluye los
divisores de 3 y10, así como el cociente de los divisores de 10 entre los divisores de
3: 2 5 1 10
1,3,2,5,10, , , ,3 3 3 3
m
Al efectuar la división sintética entre cada uno de estos factores se encuentra que la
raíz es 1
1
3m
Si dividimos el polinomio entre 1
1
3
m , se obtiene:
3 2 213 19 36 10 (3 18 30)
3
m m m m m m
Simplificando y factorizando, se obtiene:
3 2 23 13 19 36 10 3( 6 10)
3
mm m m m m
3 2 23 19 36 10 3 1 ( 6 10) m m m m m m
Se encuentran las otras raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para
ecuaciones de segundo grado:
26 6 4 1 10
2 1
m
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Las raíces serán:
1
1
3m
2
6 43
2
m i
3
6 43
2
m i
Recuderda que 1 i
La solución general será:
331 2 3cos
x
xy c e e c x c senx
Actividad 3. La naturaleza de las raíces de una ecuación
característica
Resuelve los ejercicios que se proponen. Para ello:
1. Revisa el documento de actividades.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
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2.3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Ahora se estudiará la forma de encontrar una solución general de una ecuación lineal
no homogénea de la forma:
1 2
1 2 01 2.....
n n n
n n nn n n
d y d y d ya x a x a x a x y g x
dx dx dx
En donde 0g x
Uno de los métodos que existen para determinar la solución general de una ecuación
lineal no homogénea consiste en utilizar una solución particular. Se definirá una
solución particularpy como cualquier función que no contiene parámetros y que
satisface a la ecuación diferencial lineal no homogénea.
Ejemplo 13:
Verificar que 3py es una solución particular de la ecuación diferencial de 2º orden:
'' 4 12 y y
Solución:
Derivando, se obtiene: '' 0py
Al sustituir en la ecuación, se cumple la identidad:
0 4 3 12
12 12
Por lo tanto, 3py es una solución particular.
Actividad 4. Representación gráfica de la solución de una ecuación
diferencial lineal homogénea
Esta actividad es una tarea individual y es importante que sigas las indicaciones para
aprovechar mejor tu rendimiento académico.
1. Consulta el documento de actividades.
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*Revisa los criterios de evaluación.
2.3.1. Definición
Si se tiene apy como la solución particular de una ecuación diferencial lineal no
homogénea:
1 2
1 2 01 2.....
n n n
n n nn n n
d y d y d ya x a x a x a x y g x
dx dx dx
En un intervalo I, y además, se tiene que la función:
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x c y x c y x
Es la solución general de la ecuación homogénea:
1 2
1 2 01 2..... 0
n n n
n n nn n n
d y d y d ya x a x a x a x y
dx dx dx
Asociada en el intervalo, entonces la solución general de la ecuación no homogénea
en el intervalo I se define como:
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) n n py c y x c y x c y x y
c py y yx x
Donde 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) c n ny c y x c y x c y x recibe el nombre de función complementaria.