Sumatoria y progresiones 474 3. Σ i = 1 n k μ i = k μ i Σ i = 1 n k = constante 4. Σ i = 1 n (μ i – μ i – 1 ) = μ n – μ o (propiedad telescópica) Ejercicios resueltos 5. Algunas sumas importantes y de uso frecuente: a) Σ i = 1 n i = 1 + 2 + 3 + ... + n = b) Σ i = 1 n i 2 = 1 + 4 + 9 + ... + n 2 = c) Σ i = 1 n i 3 = 1 + 8 + 27 + ... + n 3 = nn+1 2 2 Observación: Sean m y n números naturales tales que m £ n, entonces: μ i Σ i = m n = μ i Σ i = 1 n – μ i Σ i = 1 m–1 1. Desarrollar las sumatorias: a) Σ i = 1 n (– 1) i – 1 (i 2 + 1) b) k–1 k+1 Σ k = 1 ∞ Solución: a) 2 – 5 + 10 – 17 + 26 – ... + (– 1) n – 1 (n 2 + 1) b) 0+ 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 +... 2. Calcular el valor de Σ i = 1 12 (i – 1) (i + 1) Solución: (i – 1) (i + 1) = i 2 – 1 Σ i = 1 12 (i – 1) (i + 1) = Σ i = 1 12 (i 2 – 1) = Σ i = 1 12 i 2 – Σ i = 1 12 1 = 12 12 + 1 2 • 12 + 1 6 –1 • 12 = 12 • 13 • 25 6 – 12 = 638 Se aplicó la fórmula i 2 Σ i=1 n = nn+1 2n + 1 6 n(n +1) 2 nn+1 2n + 1 6 474-475 10/11/2001, 18:33 474
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Sumatoria y progresiones474
3. Σi = 1
n
k μi = k μiΣi = 1
n
k = constante
4. Σi = 1
n
(μi – μi – 1) = μn – μo (propiedad telescópica)
Ejercicios resueltos
5. Algunas sumas importantes y de uso frecuente:
a) Σi = 1
n
i = 1 + 2 + 3 + ... + n =
b) Σi = 1
n
i2 = 1 + 4 + 9 + ... + n2 =
c) Σi = 1
n
i3 = 1 + 8 + 27 + ... + n3 = n n + 1
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Observación:
Sean m y n números naturales tales que m £ n, entonces: