u bài gi ng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 · · 2013-03-19Ph ương trình ti ếp tuy ến t ại điểm M x y C y f x(o o; :)∈ =() là ( )( ) ( )(

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1

DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

� Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ( ); :o oM x y C y f x∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

o oo o o ox xy y x x y y y x x f x′ ′= − + ⇔ = − +

� Các lưu ý : + Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo). + Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.

+ Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). + Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo. � Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

+ Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức ax b

ycx d

+=+

cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa

mãn các tính chất 0OAB

OA kOB

S S∆

= =

+ Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số ax b

ycx d

+=+

đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị lớn

nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước.

Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2 2 2y x x x= + + + . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại

a) giao điểm của đồ thị và Ox.

b) điểm uốn của đồ thị.

Ví dụ 2. Cho hàm số 3 23 1y x x x= + + + . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị đi qua

gốc tọa độ O.

Đ/s: ( 1;2)M −

Ví dụ 3. Cho hàm số 1

( )2

xy C

x

+=−

.

Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA

= 3OB, với O là gốc tọa độ.

Đ/s: Một điểm M là (3;4)M

Ví dụ 4. Cho hàm số ( )1

xy C

x=

+.

Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho khoảng cách từ điểm E(1; 2) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 1

.2

Đ/s: Một điểm M là (0;0)M

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Cho hàm số 3 22 6 3y x x x= − + − . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và Ox.

Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



Đ/s: 13 1

2 2y x

= −

Bài 2. Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − + có đồ thị là (C)

Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.

Đ/s: ( 1; 4)M − −

Bài 3. Cho hàm số 2

1

xy

x

+=−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 50

3 (với O là gốc toạ độ)

Đ/s: (2;4)M

Bài 4. Cho hàm số 2 3

1

xy

x

+=−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ)

Đ/s: 5 17; 5 3y x y x= − + = − −


xy

x=

+

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1)E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 2.

Đ/s: (0;0), ( 2; 2).M M − −


1

xy

x

+=−

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1)E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất.

Đ/s: max 2 (0;2), ( 2;0).d M M= ⇔ −


2 1

xy

x

−=+

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm 1 1

;2 2

I −

đến tiếp tuyến tại M bằng 7 2

.10

Đ/s: 7 11.y x= +


2

xy

x

+=−

(1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân

biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ)

Ví dụ 9. Cho hm số 3

1

xy

x

−=+

(C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB.


2 3

xy

x

+=+

(1).

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.



DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

� Công thức : Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ( ); :o oM x y C y f x∈ = là ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

o oo o o ox xy y x x y y y x x f x′ ′= − + ⇔ = − +

� Các lưu ý : + Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo). + Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.

+ Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). + Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo. � Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức ax b

ycx d

+=+

cắt các tiệm cận tại A, B. Khi đó ta có các tính chất sau:

+ M là trung điểm của AB + Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận + Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. + Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất.


( )1

xy C

x

+=−

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B.

a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận)

Ví dụ 2. Cho hàm số 2 3

( )2

xy C

x

−=−

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề độ dài

đoạn AB ngắn nhất.

Đ/s: (3;3), (1;1)M M

Ví dụ 3. Cho hàm số 2 1

( )1

xy C

x

+=−

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề chu vi

tam giác IAB nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đ/s: 1 3Mx = ±

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:


( )2

xy C

x

−=−

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đ/s: (3;3), (1;1)M M

Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích

đường tròn ngoại tiếp là 2

2π π4

ABS R= = , từ đó bài toán quy về tìm M để độ dài AB ngắn nhất.






( )mx

y Cx m

+=−

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác

IAB có diện tích bằng 64.

Đ/s: 58

2m= ±


( )1

xy C

x

−=+

.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp

tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.

Đ/s: 2(1 3)y x= + ±

Bài 4. Cho hàm số ( )1

xy C

x=

−.

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp

tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 2)+ .

Đ/s: 4

y x

y x

= − = − +

Bài 5. Cho hàm số 3 23 1y x x= + − .

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các trục tọa độ tại A, B. Tìm tọa độ điểm M

biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ.

Đ/s: ( 1;1)M −

Bài 6. Cho hàm số y = 2 1

1

−−x

x. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp

tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.



DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC

� Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox. Kí hiệu k = tanα. � Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.

� Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi −

=−

M Nd

M N

y yk

x x

� Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình ( )1 1: .= − +d y k x x y

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

� Cho hai đường thẳng 1 1 1

2 2 2

:

:

d y k x m

d y k x m

= + = +

+ d1 và d2 song song với nhau thì có cùng hệ số góc : 1 2

1 2

d dk k

m m

=

≠

+ d1 và d2 vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng −1 : 1 2 2

1

1. 1 .= − ⇔ = −d d d

d

k k kk

� Đạo hàm tại một điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Tức là ( ).′=tt ok y x

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc k của các đường cho dưới đây ?

a) 2 1 2

2 3 1 0 3 2 1 .3 3 3

−+ − = ←→ = − + ⇔ = + → = −x y y x y x k

b) 1 3 1

5 3 0 5 3 .5 5 5

− + + = ←→ = − ⇔ = − → =x y y x y x k

c) 2 3 0 2 3 2.+ + = ←→ = − → =x y y x k

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2( 1) 2 3y x m x mx= + − + +

Tìm m để tiếp tuyến

a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0

b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0

Ví dụ 3: Cho hàm số 4 22( 1) 8 2y x m x m= + − − −

Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ thị hàm số vuông góc với nhau.

Ví dụ 4: Cho hàm số 3x m

yx m

+=−

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy vuông góc với đường thẳng d : x – 2y + 1 = 0

Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 1y x x x= + − +

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao

cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.

Ví dụ 6: Cho hàm số 3 23 3.y x x x= − + + Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k.





Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho

a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.

b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 23 3 ( 2) 1 3 2 ( 2)− + + = − + ⇔ − + + = −x x x k x x x x k x

22

2( 2)( 1) ( 2)

( ) 1 0, (1)

=⇔ − − − = − ⇔ = − − − =

xx x x k x

g x x x k

a) Hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm khi (1) vô nghiệm 5

0 1 4(1 ) 0 .4

⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < −k k

Vậy với 4

5< −k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.

b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.

Điều đó xảy ra khi5

0 1 4(1 ) 04

(2) 0 (2) 1 01

∆ > + + > > − ⇔ ⇔ ≠ = − ≠ ≠

k k

g g kk

Vậy với 4

51

> − ≠

k

k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

c) Do nghiệm x = 2 > 0 nên để ba giao điểm có hoành đô dương thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt và khác 2.

Gọi hai nghiệm đó là x1 ; x2. Khi đó ta có 1 2

1 2

0 1 01

0 1 0

+ > > ⇔ ⇔ < − > − − >

x xk

x x k

Kết hợp với diều kiện tồn tại ba giao điểm ở câu b ta dược 4

15

− < < −k là giá trị cần tim.

Ví dụ 7: Cho hàm số 3 22 3 1.y x mx mx= − + +

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0.

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.


a) Ta có

2

3 26 6

2 3 112 6 0

2

′ = − += − + + →

′′ ′′= − → = ⇔ =

y x mx my x mx mx m

y x m y x

Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc là 2 23

6. 6 .2 4 2 2

′= = − + = − +

u

m m m mk y m m m

Đường thẳng ∆ có hệ số góc xác định bởi : 4 1 0 4 1 4.∆∆ + + = ⇔ = − − → = −x y y x k

Tiếp tuyến tại điểm uốn song song với ∆ nên 2

22

34 3 2 8 0 4

23

∆

== ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔ = −

u

mm

k k m m mm

Vậy, với 4

2;3

= = −m m thì tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị song song với đường thẳng ∆.



b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ( )2 24 12 13 24′= − = + + = +ttk y m m m

Đường thẳng ∆′ có hệ số góc xác định bởi 2 2 2

: 2 3 2 0 3 2 2 .3 3 3

′∆′∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = −x y y x y x k

Tiếp tuyến tại điểm x = −2 vuông góc với ∆′ nên ( )2 45. 1 13 24 1 26 48 3

3 26′∆ = − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = −ttk k m m m

Vậy, với 45

26= −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hàm số 3 2( 2) 3.= − − + +y x m x mx

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.

Bài 2. đồ thị hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1

Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.

Bài 3. Cho hàm số 3 23 2,y x x x= + + + có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k.

a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.

b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.

Bài 4. Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1.

Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương

của đồ thị hàm số.

Bài 5. Cho hàm số ( )3 1

.+ −

=+

m x my

x m

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5.



DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1

,1

−=−

xy

x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao

cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

,2

=−x

yx

có đồ thị là (C).

Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2=AB OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Đ/s: 9 65

8

−=m

Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho hàm số 1

,2 1

− +=−

xy

x có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B. Tìm k để tổng 1 2+k k đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: ( )1 2 min

1; 2= − + = −m k k


Bài 1: Cho hàm số 1

,2

+=−

xy

x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Bài 2: Cho hàm số ( )2 1, .

1

−=+

xy C

x

Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng −9.

Bài 3: Cho hàm số 3 22 3.= − + −y x x Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k.

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau.

Bài 4: Cho hàm số 3 – 3 1= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3.

Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

Bài 5: Cho hàm số 3 2– 3 4= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k. Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau.

Bài 6: Cho hàm số 3 22 5( 1) (3 2)

3 3= − + − + − −y x m x m x có đồ thị ),( mC m là tham số.

Tìm m để trên )( mC có hai điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0>x x và tiếp tuyến của )( mC tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0.− + =d x y

Bài 7: Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +y x m x m x m (1) với m là tham số.





Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1

cosα .26

=


1

−=+

xy

x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB.

Bài 9: Cho hàm số 3 2( ) 6 9 3= = + + +y f x x x x (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB2011.= .

Đ/s: 9

; 6039.2

= =k k

HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ


,2

+=−

xy

x có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Ta có 2

1 2 3 3 31

2 2 2 ( 2)

+ − + ′= = = + → = −− − − −

x xy y

x x x x

Gọi ( ) ( ) 3 3; 1 ;1 .

2 2

∈ ⇒ = + → + − −

o o o oo o

M x y C y M xx x

Ta có 2

1lim

21

lim 12

→

→∞

+ = ∞ − + = −

x

x

x

xx

x

, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.

Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).

� Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 2

3

( 2)′= = −

−tt oo

k y xx

� Đường thẳng IM có hệ số góc 2

31 1

2 3

2 ( 2)

− + −− = = =

− − −oI M

IMI M o o

xy yk

x x x x

� Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường IM khi 2 2

3 3. 1 . 1

( 2) ( 2)= − ⇔ − = −

− −tt IMo o

k kx x

2 2 3 2 3( 2) 3

2 3 2 3

− = = +⇔ − = ⇔ ⇔

− = − = −

o oo

o o

x xx

x x

+ Với ( )3 32 3 1 1 1 3 2 3;1 3

2 3= + ⇒ = + = + = + → + +

−o oo

x y Mx

+ Với ( )3 32 3 1 1 1 3 2 3;1 3

2 3= − ⇒ = + = + = − → − −

− −o oo

x y Mx

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2: Cho hàm số ( )2 1, .

1

−=+

xy C

x

Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng −9.


Ta có ( )2

3.

1′ =

+y

x Gọi ( )2 1

;1

− ∈ +

aM a C

a

Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc: ( )2

3( ) .

1′= =

+ttk y a

aGiao điểm hai đường tiệm cận I(−1; 2).



Đường thẳng IM có hệ số góc là ( )2

3.

1

− −= =− +

M IIM

M I

y yk

x x a

Theo bài ta có ( ) ( )

( )4

2 2

03 3. 9 . 9 1 1

21 1

=−= − ⇔ = − ⇔ + = → = −+ + tt IM

ak k a

aa a

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; −3), M(−2; 5).

Bài 3: Cho hàm số 3 22 3.= − + −y x x Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k.

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải : a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 22 3 ( 1) 2 2 1 ( 1)− + − = − − ⇔ − + − = −x x k x x x k x

22 2

1( 1)( 1) ( 1)

1 ( ) 1 0, (1)

=⇔ − − + + = − ⇔ − + + = ⇔ = − + − =

xx x x k x

x x k g x x x k

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 1.

Ta có điều kiện5

0 1 4( 1) 04

(1) 0 (1) 1 01

∆ > − − > < ⇔ ⇔ ≠ = − ≠ ≠

k k

g g kk

Vậy với 4

51

< ≠

k

k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt, trong đó có điểm M(1 ; −2).

b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 là hai nghiệm của g(x) = 0, theo định lí Vi-ét ta có 1 2

1 2

1

1

+ = = −

x x

x x k

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là ( )( )

21 1 1

22 2 2

3 4

3 4

′= = − +

′= = − +

A

B

k y x x x

k y x x x

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau khi ( )( )2 21 1 2 2. 1 3 4 3 4 1= − ⇔ − + − + = −A Bk k x x x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 29 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =x x x x x x x x k k k k k

Phương trình trên vô nghiệm, vậy không có giá trị k nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4: Cho hàm số 3 – 3 1= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3.

Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải :

• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 3 – ( 3) – – 2 0+ =x m x m

22

1 3( 1)( – – – 2) 0

( ) 2 0= − ⇒ =⇔ + = ⇔ = − − − =

x yx x x m

g x x x m

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 91;3 , , , 0

4M N P m m− ⇔ > − ≠

Khi đó xN ; xP là các nghiệm của phương trình 2 12 0

2+ =− − − = ⇒ = − −

N P

N P

x xx x m

x x m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k1 và k2 thỏa mãn 2

12

2

3 33 3

= − = −

N

P

k xk x

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 21 2

3 2 2

3. 1 9 18 1 03 2 2

3

− +== − ⇔ + + = ⇔

− − =

mk k m m

m

Đối chiếu với điều kiện ta được 3 2 2

3m

− ±= là các giá trị cần tìm.



Bài 5: Cho hàm số 3 2– 3 4= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k. Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải : Phương trình đường thẳng (d): y = k(x − 2). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 3 2 23 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0x x k x x x x k− + = − ⇔ − − − − =

( )2

2( ) 2 0, 1

Ax xg x x x k

= =⇔ = − − − =

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 0 9

0(2) 0 4

kf

∆ >⇔ ⇔ − < ≠ ≠

(*)

Theo định lí Viet ta có: 1

2M N

M N

x x

x x k

+ = = − −

Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau khi ( ) ( ). 1 . 1M NM N x xk k y y′ ′= − ⇔ = −

⇔ 2 2 2 3 2 2(3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0

3M M N Nx x x x k k k− ±− − = − ⇔ + + = ⇔ =

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 2 2

3m

− ±= là các giá trị cần tìm.

Bài 6: Cho hàm số 3 22 5( 1) (3 2)

3 3= − + − + − −y x m x m x có đồ thị ),( mC m là tham số.

Tìm m để trên )( mC có hai điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0>x x và tiếp tuyến của )( mC tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0.− + =d x y

Hướng dẫn giải:

Ta có hệ số góc của 1

: 3 1 0 .3

− + = ⇒ =dd x y k Do đó 1 2,x x là các nghiệm của phương trình ' 3= −y , hay

2 22 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0− + − + − = − ⇔ − − − − =x m x m x m x m (1)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 0>x x

2 3' ( 1) 2(3 1) 0

13 1 1 .032

< −∆ = − + + > ⇔ ⇔− − − < < −>

mm m

m m

Vậy kết quả của bài toán là 3< −m và 1

1 .3

− < < −m

Bài 7: Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +y x m x m x m (1) với m là tham số.

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1

cosα .26

=


Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp 1 ( ; 1)= −��

n k

Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là 2 (1;1)=��

n

Ta có 1

1 2 2

21 2

2

3. 11 2cosα 12 26 12 0

226 2 13

=−= ⇔ = ⇔ − + = ⇔

+ =

��

��

kn n kk k

n n k k

Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình: 1' =y k (1) và 2' =y k (2) có nghiệm x

⇔

2

2

33 2(1 2 ) 2

22

3 2(1 2 ) 23

+ − + − = + − + − =

x m x m

x m x m

⇔/1

/2

0

0

∆ ≥∆ ≥

có nghiệm

có nghiệm



⇔2

2

8 2 1 0

4 3 0

− − ≥

− − ≥

m m

m m⇔

1 1;

4 23

; 14

≤ − ≥ ≤ − ≥

m m

m m

⇔ 1

4≤ −m hoặc

1.

2≥m


1

−=+

xy

x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB Hướng dẫn giải:

Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có 1

tan4

= =OBA

OA⇒ tiếp tuyến AB có hệ số góc là

1

4= ±k

Phương trình 2

34 1' ...

54( 1)

== ⇔ = ⇔ ⇔ = −+

xy k

xx

+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình 1

( 3)4

= −y x

+ với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình 1 1 13

( 5) 24 4 4

= + + ⇔ = +y x y x



DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị.

Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k ( ):→ = − +A Ad y k x x y

+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm : ( ) ( )

( )( ) , 1

( ), 2

= − + ′=

A Af x k x x y

k f x

+ Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1). Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta được phương

trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ 1. Cho hàm số 3 6= − −y x x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số.

// câu c khi giảng thầy chép nhầm đề bài, đang lúc nhìn ví dụ 1 thì có con gì bay vào mắt nên nhìn nhầm sang ví dụ 2,

các em thông cảm cho thầy nhé. He he//

Ví dụ 2. Cho hàm số 3 9= − +y x x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số.

Ví dụ 3. Cho hàm số 3 9= − +y x x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số.

Ví dụ 4. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số 1

=+x

yx

đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận.


Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) Biết tiếp tuyến đi qua 2

; 13

−

A đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1

b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( )222 .= −y x

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )1; 2−A đến đồ thị hàm số 2

.2 1

+=−

xy

x

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )0; 1−A đến đồ thị hàm số 3 2 2.= + − +y x x x

Đ/s: 4 1= −y x





Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số 3 22 3 1.= − + +y x x x Đ/s: 3 1= +y x

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số 3 2 5.= − + +y x x Đ/s: 7 0+ − =x y

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm 1

;42

A đến đồ thị hàm số 4 22 3.= + −y x x

Đ/s: 8 8= −y x

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm ( )1; 6−A đến đồ thị hàm số 1

.2

+=+

xy

x

Đ/s: 3 3= − −y x

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số 2 3

.2

−=−

xy

x

Đ/s: 4= − +y x


Bài 1. Viết phương trình ti ếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) Biết ti ếp tuyến đi qua −

2; 1

3A đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1

Gọi d là đường thẳng qua 2

; 13

−

A và có hệ số góc k 2

: 1.3

→ = − −

d y k x

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm: ( )

( )

3

2

23 1 1, 1

3

3 3, 2

− + = − −

= −

x x k x

k x

Thế (2) lên (1) ta được ( )3 2 3 2 023 1 3 3 1 2 2 0

13

= − + = − − − ⇔ − = ⇔ =

xx x x x x x

x

� Với 2

0 3 : 3 1 3 13

= ⇒ = − → = − − − ⇔ = − +

x k d y x y x

� Với 1 0 : 1.= ⇒ = → = −x k d y

b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( )= −222 .y x

Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k : 4.→ = +d y kx

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )22 4 22 4 4= − = − +y x x x thì hệ sau có nghiệm: ( )

( )

4 2

3

4 4 4, 1

4 8 , 2

− + = +

= −

x x kx

k x x

Ta có ( ) 4 2

3

01 4

4

=⇔ − = ⇔ = −

xx x kx

k x x

� Với ( )0, 2 0 : 4= ⇔ = → =x k d y

� Với 3

3 3 3 323

04

4 4 4 8 3 4 0 4 24 8

3 3

= = − = − → → − = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±= −

xk x x

k x x x x x x x xx xk x x

+ Nếu x = 0 thì ta được d : y = 4.

+ Nếu 2 8 8 16 16

: 4.3 3 3 3 3 3 3 3

= ⇒ = − = − → = − +x k d y x

+ Nếu 2 8 8 16 16

: 4.3 3 3 3 3 3 3 3

= − ⇒ = − + = → = +x k d y x

Bài 2. Viết phương trình ti ếp tuyến kẻ từ điểm ( )−1; 2A đến đồ thị hàm số +=−2

.2 1x

yx

Gọi d là đường thẳng qua A(1; −2) và có hệ số góc k : ( 1) 2.→ = − −d y k x



Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số2

2 1

+=−

xy

x thì hệ sau có nghiệm:

( )

( )( )2

2( 1) 2, 1

2 15

, 22 1

+ = − − − − = −

xk x

x

kx

Thay (2) lên (1) ta được ( )

( )( ) ( ) ( )2

2

2 5( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0

2 1 2 1

+ −= − − ⇔ + − + − + − =− −

xx x x x x

x x

2 110 5 0

2⇔ − = ⇔ = ±x x

� Với ( )

( )2

1 5 5 5: 1 2

2 2 2 3 2 2 32 1

−= ⇒ = = → = − −− −−

x k d y x

� Với ( )

( )2

1 5 5 5: 1 2

2 3 2 2 3 2 22 1

− − −= − ⇒ = = → = − −+ +− −

x k d y x

Nhận xét : Ngoài cách giải trên, ta còn có thể thực hiện biến đổi hệ (1), (2) một cách linh hoạt hơn như sau :

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )2

2

1 52 1

2 2 2 1 2 1 5 1 52 1 2 21 , 2 . 2 1 22 2 2 1 22 2 15

2 1

− += − − − −−⇔ → + = − − − − −− = −

x k kx kx x

x xk

x

1 5 1 5 1 5 5 1 5. . 2

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10

− −⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ =− − − −

k k k

x x x x

Khi đó ( )2 2

21 52 5. 5. 30 25 0 15 10 2

2 1 10

− − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ± −

kk k k k k

x

Từ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là ( )( )15 10 2 1 2.= − ± − −y x

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

Xét hàm số bậc ba : 3 3 23 3′= + + + ⇒ = + +y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

� Nếu a = 0 thì 3 03

′ ′= + → = ⇔ = − cy bx c y x

b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị. � Nếu a ≠ 0 :

+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.

Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.

Ví dụ 1: Biện luận số cực tr ị của hàm số ( )= + − − −3 211 1

3y x m x mx tùy theo giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải: Ta có ( )2 2 1 .′ = + − +y x m x m

� Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Từ đó ta có điều kiện ( )2 2 3 5 3 50 1 0 3 1 0 .

2 2

− +′∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m

� Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

2

3 5

20 3 1 03 5

2

+>⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ −<

mm m

m

Kết luận :

- Hàm số không có cực trị khi 3 5 3 5

2 2

− +≤ ≤m

- Hàm số có hai cực trị khi 3 5 3 5

; .2 2

+ −≥ ≤m m

Ví dụ 2: Biện luận số cực tr ị của hàm số ( )= + − + + −3 22 2 3y mx m x mx m tùy theo giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải: Ta có ( )23 2 2 2 .′ = + − +y mx m x m

TH1 : m = 0. Khi đó 4 ; 0 0′ ′= − = ⇔ =y x y x , trong trường hợp này hàm số có một cực trị.

TH2 : m ≠ 0.

� Hàm số không có cực trị khi 2

02 2 6

2 2 600 550 5 4 4 0 2 2 6

2 2 65

5

≠ − +

≥− + ≠≠ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ′∆ ≤ + − ≥ − − ≤− − ≤

m

mmm m

m mm

m

Tài liệu tham khảo:

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng



� Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

2

2 2 6 2 2 6005 5

0 5 4 4 00

− − − +≠≠ < < ⇔ ⇔ ⇔ ′∆ > + − < ≠

mm m

m mm

Kết luận :

- Hàm số không có cực trị khi 2 2 6 2 2 6

; .5 5

− + − −≥ ≤m m

- Hàm số có một cực trị khi m = 0.

- Hàm số có hai cực trị khi 2 2 6 2 2 6

5 50

− − − +< < ≠

m

m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu:

a) ( )3 2 22 1 2= − + − +y x mx m x

b) ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 3 2 1= − − + − + − −y x m x m m x m m

Bài 2. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m không có cực trị.

Bài 3. Biện luận theo m số cực trị của hàm số ( ) ( )3 211 3 2 1

3= + + + − +y m x mx m x

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực tiểu). Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.

Theo định lí Vi-ét ta được 1 2

1 2

+ = − =

Bx x

AC

x xA

Phương pháp thực hiện : + Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*) + Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn. + Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng. Ta xét một số dạng tính chất điển hình.

Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = xo

� Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ):

+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ( ) 0 .′= ⇔ = →o ox x y x m

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm xo hay không.

� Cách 2 (sử dụng y’’) :

+ Hàm số đạt cực đại tại ( )( )

0.

0

′ == ⇔ → ′′ <

oo

o

y xx x m

y x

+ Hàm số đạt cực tiểu tại ( )( )

0.

0

′ == ⇔ → ′′ >

oo

o

y xx x m

y x

Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )( )

0

0

′ == ⇔ ′′ ≠

oo

o

y xx x

y x

Ví dụ mẫu: Cho hàm số = − + − +3 21( 2) 1.

3y x m x mx

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.



c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải :

Ta có ( )2 2( 2) 2 2 2 .′ ′′= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m

a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 10 5 4 0

4

> −′⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔ < −

mm m

m

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0. �� Cách 1: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì ( )0 0 0.′ = ⇔ =y m

+ Với m = 0 thì ta có 2 04 0

4

=′ = − = ⇔ =

xy x x

x

Ta có bảng biến thiên:

x −∞ 0 4 +∞

y’ + 0 − 0 +

y CĐ +∞ −∞ CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. �� Cách 2:

Hàm số đạt cực đại tại ( )( )0 0 0

0 02( 2) 00 0

′ = == ⇔ ⇔ ⇔ = − + <′′ <

y mx m

my

Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2. �� Cách 1:

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì ( ) 42 0 4 4( 2) 0 5 4 .

5′ = ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −y m m m m

+ Với 2 22

4 4 4 12 42 2 0 2

5 5 5 5 55

= ′ ′= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔ =

xm y x x y x x

x

Ta có bảng biến thiên:

x −∞

2

5 2 +∞

y’ + 0 − 0 +

y CĐ +∞ −∞ CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Vậy 4

5= −m là giá trị cần tìm.

�� Cách 2:

Hàm số đạt cực tiểu tại ( )( )

42 0 5 4 0 42 .5

2 0 52 0 0

′ = + = = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − − >′′ > <

y m mx m

my m

Vậy 4

5= −m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm số 3 2(2 1) 2 3.= − + − + −y x m x mx a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = −1. c) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 3.



Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

� Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.

Khi đó ta có 1 22 1

1 2

000

00

BS x x Ax xP x x C

A

− >= + > > > → ⇔ = > >

� Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm.


1 2

000

00

BS x x Ax xP x x C

A

− <= + < < < → ⇔ = > >

� Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu.

Khi đó ta có 1 2 1 20 0 0C

x x P x xA

< < ⇔ = < ⇔ <

� Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.

Khi đó ta có ( )( ) ( ) 22

1 2 1 21 2

2 1

1 2

α α 0α α 0α α 0

α2α 2α

2α

C Bx x x x

x x A Ax x B

x x BA

A

− − + >− + + > − − > > > ⇔ ⇔ ⇔ −+ > −> >

� Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.

Khi đó ta có ( )( ) ( ) 22

1 2 1 21 2

1 2

1 2

α α 0α α 0α α 0

α2α 2α

2α

C Bx x x x

x x A Ax x B

x x BA

A

− − + >− + + > − − > < < ⇔ ⇔ ⇔ −+ < −< <

� Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x1 < α < x2.

Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 2α α α 0 α α 0 α α 0

− < < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <

C Bx x x x x x x x

A A

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.


1 2

+ = − =

Bx x

AC

x xA

Ví dụ 1: Cho hàm số = + − − +3 2( 1) 3 .y x m x mx m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn + = 1 21 2

1 12 .x x

x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2. d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.


Ta có 23 2( 1) 3′ = + − −y x m x m

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

( )2 2

7 3 5

20 ( 1) 9 0 7 1 0 *7 3 5

2

− +>′⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔ − −<

mm m m m

m



Vậy với

7 3 5

2

7 3 5

2

− +> − −<

m

m

thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.


1 2

2(1 )

3

− + = = −

mx x

x x m

Ta có 2 21 21 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2(1 ) 1 132 2 2 3 1 0 .

3 6

+ − − ±+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =x x m

x x x x m m m mx x x x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 1 13

6m

− += là giá trị cần tìm.

c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.


1 2

2(1 )

3

− + = = −

mx x

x x m

Theo bài ta có ( )( ) ( )1 2 1 2

1 22 1

1 2

2 4 0 4(1 )2 2 0 4 0

2 32(1 )4 4 1 63

− + + > − − − > − − + > > > ⇔ ⇔ ⇔ −+ > > − >

x x x x mx x m

x x mx x m

880

8 5.35

5

+ > −> ⇔ ⇔ ⇔ − < < − < − < −

mm

mm

m


82

m− −− < < là giá trị cần tìm.

d) Ta có 1

21 2

2

1

60 3 2( 1) 3 01

6

′− − ∆= =′ = ⇔ + − − = ⇔ → < ′− + ∆= =

mx x

y x m x x xm

x x

Bảng biến thiên

x −∞ x1 x2 +∞

y’ + 0 − 0 +

y CĐ +∞ −∞ CT

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ 11

6

′− − ∆= mx

Theo bài ta có ( )1 2

5 011 1 6 5

6 5

− − ≥′− − ∆ ′ ′= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔ ′∆ < − −

mmx m m

m

2 2

5 58 5.

3 247 1 10 25

≤ − ≤ −⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ − > −+ + < + +

m mm

mm m m m


82

m− −− < < là giá trị cần tìm.

// Ví dụ này thầy tính nhầm nhé, hê hê //

Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + −3 23( 1) 9 .y x m x x m

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn − ≤1 2 2.x x




Ta có 23 6( 1) 9.′ = − + +y x m x

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2; 0′⇔ ∆ >x x

( )2 1 3( 1) 3 0 *

1 3

> − +⇔ + − > ⇔

< − −

mm

m

� Theo định lý Vi-et ta có 1 2

1 2

2( 1)

3

+ = + =

x x m

x x

Khi đó: ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 22 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤x x x x x x m m m


1 3 1

− ≤ < − −− + < ≤

m

m là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số = + − + − + +3 2(1 2 ) (2 .) 2y x m x m x m

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn − >1 21

.3

x x


Ta có 23 (1 2 .)2 2= − +′ + −x m x my

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2

( )2 2

5(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 *4

1

>′⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔

< −

mm m m m

m

� Theo định lý Vi-et ta có 1 2

1 2

(1 2 )

32

2

.

3

− + = − − =

mx x

mx x

Khi đó ( ) ( )2 2 21 21 2 2 1 21

14 4(1 2 ) 4(2 1

1

93)⇔− = + − > ⇔ − − − >> − x x x x mx mx x x

2

3 29

816 12 5 03 29

8

+>⇔ − − > ⇔ −<

mm m

m


81

+>

< −

m

m

là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Cho hàm số = − − + − +3 21 1( 1) 3( 2) .

3 3y x m x m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn + =1 22 1.x x


Ta có 2 2( 1) 3( 2).′ = − − + −y x m x m

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 2 5 7 0,′⇔ ∆ = − + > ∀m m m

� Khi đó ta có ( )( )

1 2 2 2 2

1 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2

2( 1) 1 2 2( 1) 3 23( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3

2 1 2 1 3( 2) 3 2 4 3 3 6

+ = − − + = − = − = − ⇔ = − ⇔ = − − = − + = + = = − ⇒ − − = −

x x m x x m x mx x m x x m x m mx x x x x x m m m m

2 4 348 16 9 0 .

4

− ±⇔ + − = ⇔ =m m m Vậy 4 34

4

− ±=m là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Cho hàm số = + + + +3 2(1 – 2 ) (2 – ) 2.y x m x m x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.


Ta có 23 2(1 2 ) 2 ( ).′ = + − + − =y x m x m g x

Do hệ số a = 3 > 0 nên yêu cầu bài toán trở thành y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn



2

1 2

4 5 05 7

1 (1) 5 7 04 52 1

12 3

′∆ = − − >< < ⇔ = − + > ⇔ < < − = <

m mx x g m m

S m

Ví dụ 6: Cho hàm số = +3 24 – 3 .y x mx x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn = −1 24 .x x


Ta có 2 212 2 3 36 0.′ ′= + − ⇒ ∆ = + >y x mx m Khi đó

1 2

1 2

1 2

4

9.

6 21

4

= − + = − → = ± = −

x x

mx x m

x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn 2 21 2 10.+ <x x

d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.

Bài 2: Cho hàm số ( ) ( )3 2 32 3 3 6 5 1 4 1.= − + + + − −y x m x m x m

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

Bài 3: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm

cực tiểu nhỏ hơn 2.

Bài 4: Cho hàm số ( ) ( )3 2 221 4 3 2.

3= + + + + + + +y x m x m m x m Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số.

a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.

b) Tìm m sao cho biểu thức ( )1 2 1 22= − +P x x x x đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hàm số 3 21( 6) 1.

3= + + + −y x mx m x

Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị.

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1

1 2

1 1.

3

++ = x x

x x

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ.

+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với yCĐ.yCT < 0. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với yCĐ.yCT > 0.

Ví dụ 1: Cho hàm số = + + +3 23 – 2y x x mx m , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành.


Ta có 23 6′ = + +y x x m, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Tức là 9 3 0 3.′∆ = − > ⇔ <m m



Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox: ( )3 2

2

13 – 2 0

( ) 2 2 0, 1= −+ + + = ⇔ = + + − =

xx x mx m

g x x x m

Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1

Ta có điều kiện 3 0 3( 1) 3 0

′∆ = − > ⇔ < − = − ≠

m mg m

Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + − − + −3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x , với m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.


Ta có 2 23 2(2 1) ( 3 2)′= − + + − − +y x m x m m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) ( )2 20 2 1 3 3 2 0′⇔ ∆ > ⇔ + − − + >m m m

2

13 3 21

213 5 013 3 21

2

− +>⇔ + − > ⇔ − −<

mm m

m

Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu

( )23 3 2 0 1 2.− + < ⇔ < <m m m

Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hàm số = − + − −3 21(2 1) 3

3y x mx m x , với m là tham số.

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung. Hướng dẫn giải:

Ta có 2 2 2 1′= − + −y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 20 2 1 0 1′⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠m m m Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm cùng

dấu 1

0 2 1 0 .2

⇔ > ⇔ − > ⇔ >ac m m

Kết hợp điều kiện ta được 1

12

< ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′′′′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’

Khi phương trình y′ = 0 có ( )2ax b∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là ( )2

0 0 .b

ax b xa

∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −

Khi đó, 1

2

0x x

yx x

=′ = ⇒ = và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số.

Ví dụ 1: Cho hàm số = − + − − +3 2 2 33 3( 1) .y x mx m x m m

Tìm giá tr ị của m để hàm số có cực tr ị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.


Ta có 2 2 2 23 6 3( 1) 0 2 1 0′ ′= − + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,′⇔ ∆ = > ∀m

Khi đó ( )( )

1 1;2 20

1 1; 2 2

= − ⇒ − −′ = ⇔

= + ⇒ + − −

x m A m my

x m B m m

Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số.

Theo bài ta có 2 3 2 22 6 1 0

3 2 2

= − += ⇔ + + = ⇔

= − −

mOA OB m m

m

Vậy 3 2 2= − ±m là các giá trị cần tìm.



Ví dụ 2: Cho hàm số ( )−

= − + − + −2

3 3 11(3 2) 1.

3 2

m xy x m x m

Tìm giá tr ị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2. c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn + >3 3

1 2 28x x

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn + =2 21 22 12x x


Ta có ( ) ( )2 23 1 3 2 0 3 1 3 2 0.y x m x m y x m x m′ ′= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có điều kiện ( ) ( )2 20 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1m m m m m∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠

b) Với

( )

( )

3 1 3 11

21 03 1 3 1

3 12

m mx

m ym m

x m

− − −= =

′≠ ⇒ = ⇔ − + −

= = −

Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3 1 2 1.m m− > ⇔ > Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2.

c) Ta có ( )33 31 2

428 1 3 1 28 3 1 3 .

3x x m m m+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >

d) Do vai trò bình đẳng của x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ra

� Với ( )22 21 2 1 2

1 101; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10

3x x m x x m m m

±= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =

Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 1 10

.3

m±=

� Với ( )22 21 2 1 2

22 2 223 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1

2 6x m x x x m m m

±= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =

Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được 2 22

.6

m±=

Ví dụ 3: Cho hàm số += +3 23y x x m

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho � .= 0120AOB Hướng dẫn giải :

Ta có 2 03 6 0

2 4

= ⇒ =′ ′= + ⇒ = ⇔ = − ⇒ = +

x y my x x y

x y m

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).

Ta có (0; ), ( 2; 4).= = − +OA m OB m��

Để � �0 1120 cos

2= ⇒ = −AOB AOB

( )( )2 2

22 2

4 0( 4) 14 ( 4) 2 ( 4)

3 24 44 024 ( 4)

4 012 2 3 2

412 2 33 3

3

− < <+ ⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔ + + =+ +− < < − +⇔ ⇔ = = − +− ± =

mm mm m m m

m mm m

mm

m

Vậy 2

43

= − +m là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Cho hàm số = − + − −3 23 3 1y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y −−−− 74 = 0. Hướng dẫn giải :

Ta có ( )2 03 6 3 2 0

2

=′ ′= − + = − − ⇒ = ⇔ =

xy x mx x x m y

x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 0



Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là 3 3(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )− − − − ⇒A m B m m m AB m m��

Trung điểm I của AB có toạ độ 3( ;2 3 1)− −I m m m

Đường thẳng d: ( ) : 8 74 0+ − =d x y có một véc tơ chỉ phương (8; 1)= −�u .

A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( )38(2 3 1) 74 0

2. 0

+ − − − =∈ ⇔ ⇔ ⇔ = ⊥ = �� m m mI d

d mAB d AB u

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Cho hàm số ( )= − + − +3 233 1 1

2m

y x x m x

Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại tại x = 0. d) hàm số không có cực đại, cực tiểu. e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1


a) Ta có ( ) ( ) ( )3 2 2 233 1 1 3 3 3 1 3 1

2

my x x m x y x mx m x mx m′= − + − + ⇒ = − + − = − + −

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có điều kiện ( )20 2 0 2.m m∆ > ⇔ − > ⇔ ≠

Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm (2) 0

, ( )(2) 0

′ = ′′ >

yI

y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó 4 2 1 0 3

( ) 312 3 0 4

m m mI m

m m

− + − = = ⇔ ⇔ ⇒ = − > <

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.

c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm (0) 0

, ( )(0) 0

′ = ′′ >

yI

y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ 1 0 1

( ) 13 0 0

m mI m

m m

− = = ⇔ ⇔ ⇒ = − < >

Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)2 ≤ 0 Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2. Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị. e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2 – mx + m – 1 = 0

( )11

2

2

2 2

3 221

2222 3 5 41

2 2

mm m yx mm

m m m mx y

−+ − == = − ∆ = − ⇒ ⇒

− + − + = = =

Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó 23 8 6

2 ;2

m mAB m

− += −

��

Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi

( )2

2 2

3 8 62 2/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0

9 1d o

m mm

AB u m m m m m vn

− +−⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →

−

��

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: Cho hàm số ( ) 2

3 2 112(2 1) 3.

3 2

m xy x m x

−= − − + +

Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm.



c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 4 41 2 17x x+ >

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 21 22 12x x+ =

Bài 2: Cho hàm số ( ) 2

3 23 11(2 ) 2.

3 2

m xy x m m x

+= − − + −

Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 21 2 40x x− =

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.

Bài 3: Cho hàm số 3 3 2= − +y x mx a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.

Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình

Lấy y chia cho y′ ta được . ( ) ,′= + +y y g x ax b khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì ( ) ( )1 1 2 2; , ;+ +M x ax b N x ax b, trong đó x1 ; x2 là hai nghiệm của

phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.

Ví dụ 1: Cho hàm số ( )= − + + − + −3 2 2 3 23 3 1y x mx m x m m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó.


Ta có 2 2 2 23 6 3(1 ) 0 2 1 0′ ′= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,′⇔ ∆ = > ∀m Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m.

Chia y cho y′ ta được 212

3 3 ′= − + − +

my x y x m m

Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó ( )

( )

1

2

21 1 1

22 2 2

12

3 31

23 3

′= − + − +

′= − + − +

x

x

my x y x m m

my x y x m m

Do ( ) ( ) ( )1 2

221 1

22 2

20 , : 2

2

= − +′ ′= = ⇒ ⇔ ∈ = − + = − +x x

y x m my y A B d y x m m

y x m m

Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 22= − +y x m m.

Ví dụ 2: Cho hàm số = − − +3 23 2y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −−−−4x + 3.


Ta có 23 6′ = − −y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m

Chia y cho y′ ta được 1 1 2

2 23 3 3 3 ′= − − + + −

mxy

mx y

Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là

( ) 2: 2 2

3 3 ∆ = − + + −

m my x



Theo bài ta có

22 4

3 3

2 33

/ / : 4 3

− + = − ⇔ ⇔ =∆ = − + − ≠

⇒

m

mm

d y x

Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số = − − +3 23 2y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x −−−− 1. Hướng dẫn giải :

Ta có 23 6′ = − −y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m

Chia y cho y′ ta được 1 1 2

2 23 3 3 3 ′= − − + + −

mxy

mx y

Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là

( ) 2: 2 2

3 3 = − + + −

m mAB y x

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp: � TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)

2 32 1 ,

3 2 − + = ⇔ = −

⇔ mm (thỏa mãn)

� TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng ( ) 1 2 1 21 12 2

+ +⇔ = − ⇔ = −I I

y y x xd y x

( ) ( )1 2 1 2

2 2 22 2 2 2 3 .2 6 0

3 3 3 3 − + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =

⇔

m m m mx x x x m

Vậy 3

0;2

= = −m m là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Cho hàm số = − +3 23y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x −−−− 2y −−−− 5 = 0. Hướng dẫn giải :

Ta có 23 6′ = − +y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m

Chia y cho y′ ta được 1 1 2 1

23 3 3 3 ′= − + − +

y x y m x m

Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó ( ) 2 1 22 2

3:

3 3 − + ⇒ = −

=

ABm x m kA mB y

Ta có ( ) 1: 2 5 0

2− − = ⇒ =dd x y k

A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có ( ) ( ) 1 2. 1 2 1 0

2 3 ⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =

AB dAB d k k m m

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d). Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 23( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m

Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( ) 1: .

2=d y x

Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số 3 23 2= − − +y x x mx Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng



( ) : 4 5 0+ − =d x y một góc 450.

Đ/s: .= − 12

m



I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tóm tắt lí thuyết cơ bản :

Xét hàm số bậc ba 3 3 23 3′= + + + ⇒ = + +y ax bx cx d y ax bx c

� Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có 3 03

′ ′= + ⇒ = ⇔ = − cy bx c y x

b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.

� Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆

+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0.

+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.

Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.

Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.

Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( )3 21 2 3= + + + − +y x m x mx m tùy theo giá trị của tham số m.

Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( )3 21( 1) 2 1 3 2

3= − + + − + + −y m x m x mx m tùy theo giá trị của tham

số m.

II. M ỘT SỐ CÁC TÍNH CH ẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.

+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu.

+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm.

Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước.

� Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)

+ Hàm số đạt cực đại tại ( )( )

00

0

0

0

′ == ⇔ ′′ <

y xx x

y x

+ Hàm số đạt cực tiểu tại ( )( )

00

0

0

0

′ == ⇔ ′′ >

y xx x

y x

Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )( )

00

0

0

0

′ == ⇔ ′′ ≠

y xx x

y x

� Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)


02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ( )0 0 0 .′= ⇔ = →x x y x m

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x0 hay không.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 3= + − + + + −y x m x m x m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu.

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2− =x x k

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2+ =ax bx c

� Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2

1 2

1 2

α

β

γ

< << << <

x x

x x

x x

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 23( 1) 9= − + + −y x m x x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2 2.− ≤x x

Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 22 9 12 1= + + +y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho 21 2.=x x

Ví dụ 6: Cho hàm số 3 21 1( 1) 3( 2)

3 3= − − + − +y x m x m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 22 1.+ =x x

Đ/s : 4 34

4

− ±=m

Ví dụ 7: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 23

= + − + − +my x m x m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2 1.< <x x

Đ/s : 5 4

.4 3

< <m

Ví dụ 8: Cho hàm số 3 213 4

3= − − +y x mx mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 2 21 2

2 22 1

2 92

2 9

+ + + =+ +

x mx m m

m x mx m

Đ/s : m = –4.

Ví dụ 9: Cho hàm số 3 2 21 1( 3)

3 2= − + −y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho 2 21 2

5.

2+ =x x

Đ/s : 14

.2

<m








Dạng 3. Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm

� Phương pháp:

Khi xét đến biệt thức ∆ của phương trình ' 0=y mà ta nhận thấy 2( )∆ = +am b thì ta nên nghĩ ngay đến việc giải ra nghiệm của phương trình ' 0=y .


31( 2) (1 ) 2 1

3 2= + − + − + +x

y x m m x m

Tìm m để

a) hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 3 31 22 9.+ <x x

c) hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.

d) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 2 21 24 13.+ =x x


3 21(2 1) ( ) 1

3 2= − + + + − +x

y x m m m x m

Tìm m để

a) hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho 2 21 22 6.+ =x x

c) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho 3 31 22 11.− = −x x

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 23 1= − + − +y x x m m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với C(–2 ; 4).

Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối B – 2012) Cho hàm số 3 2 33 3= − +y x mx m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 48, với O là gốc tọa độ.

Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 32 3( 1) 6= − + + +y x m x mx m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4 ; 0).

--------------------------------------------------------------

Ví dụ 6: Cho hàm số 3 3 2= − +y x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2 , với C(1 ; 1).





Đ/s : m = 2

Ví dụ 7: Cho hàm số 3 23( 1) 12 3 4= − + + − +y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với 9

1; .2

− −

C

Đ/s : 1

.2

= −m

Ví dụ 8: Cho hàm số 3 2 32 3( 1) 6= − + + +y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho 2.=AB

Đ/s : m = 0 ; m = 2.

Ví dụ 9: Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) 4 1= − + − − + −y x mx m x m m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.

Đ/s : 1; 2.= − =m m

Ví dụ 10: Cho hàm số 3 2 3 23( 1) 3 ( 2) 2= + + + + + +y x m x m m x m m Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.

Đ/s : 2 5.=AB

Ví dụ 11: Cho hàm số 3 2 21( 1) 1

3= − + − +y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.

Đ/s : 1

1 0

>− < <

m

m








Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

� Phương pháp:

Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được '. ( ) ( )= +y y h x r x trong đó r(x) là phần dư của phép chia.

Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm

cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số 3 23 1= − +y x x bằng hai cách.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số 3 2 23= − +y x x m .

Dạng 5. Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị.

� Phương pháp:

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là 1 1 2 2( ; ), ( ; ).A x y B x y Ta có một số kết quả sau :

+ A, B nằm về hai phía của trục Oy khi 1 2 0.<x x

+ A, B nằm cùng phía với trục Oy khi 1 2 0.>x x

+ A, B nằm về hai phía của trục Ox khi 1 2 0.<y y

+ A, B nằm cùng phía với trục Ox khi 1 2 0.>y y

+ A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi ,⊥

∈

AB d

I d với I là trung điểm của AB.

+ A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d. Chú ý : Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 2= + + + −y x x mx m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy.

c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox.

d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2 33 2= + +y x mx m





Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d : x –

2y + 9 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số 3 212 3 2

3= − + + +y x x x bằng hai

cách. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số

a) 3 2( 1) 2= + + + −y x m x x m

b) 3 2 2 3 23 3(1 )= − + + − + −y x mx m x m m.

Bài 3: Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= − + + − − + −y x m x m m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Bài 4: Cho hàm số 3 2 23= − + +y x x m x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

:2 2

= −d y x

Đ/s : m = 0

Bài 5: Cho hàm số 3 2 33 4= − +y x mx m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.

Đ/s : 2

.2

= ±m

Bài 6: Cho hàm số 3 23( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng 1

:2

=d y x

Đ/s : m = 1

Bài 7: Cho hàm số 3 23= − +y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0− − =d x y

Đ/s : m = 0

Bài 8: Cho hàm số 3 3= − +y x mx m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy.

Bài 9: Cho hàm số 3 23 2= − − +y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng : 1 0− − =d x y

Đ/s : m = 0

Hướng dẫn :

+ Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là 2

2 23 3

= − + +

m my x

+ A, B cách đều d nên xét hai trường hợp : AB // d và trung điểm I của AB thuộc d.








Dạng 6. Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

� Phương pháp:

+ Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu.

+ Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh). Giả sử

đường thẳng viết được có dạng :∆ = +y ax b. Ta có một số trường hợp thường gặp

� ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi =

≠

a A

b B

� ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi . 1= −a A

� ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì 2 2 2 2

.cosφ

. .

∆

∆

+= =

+ +

��

��

d

d

n n aA bB

n n a b A B

Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m.


2 (5 4) 23

= − + − +xy mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

:8 3 9 0.+ + =d x y

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 7 3= + + +y x mx x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

:9 8 1 0.+ + =d x y

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 2= − − +y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

: 4 5 0+ − =d x y góc 450.


Bài 1: Cho hàm số 3 23 2= − − +y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

: 4 3 0.+ − =d x y





Đ/s : m = 3.

Bài 2: Cho hàm số 3 2 7 3= + + +y x mx x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

: 3 7 0.− − =d x y

Đ/s : 3 10

.2

= ±m

Bài 3: Cho hàm số 3 2 2 23( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

: 4 20 0+ − =d x y góc 450.

Đ/s : 3 15

.2

±=m

Bài 4: Cho hàm số 3 23 2= − +y x x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn

2 2( ) : ( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m .

Đ/s : 4

2; .5

= = −m m

Bài 5: Cho hàm số 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)= + − + − + − +y x m x m m x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

9: 5.

2= +d y x








Dạng 7. Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 26 9 2= + + +y x mx x m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

bằng 4

.5

Đ/s : m = ±1.


3= − − + +y x mx x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ nhất.

Đ/s : min2 13

0; .3

= =m AB

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 2= − − +y x x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một

tam giác cân.

Đ/s : 3

.2

= −m

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 21 54 4

3 2= − − −y x mx mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho biểu thức 222 1

2 21 2

5 12

5 12

+ += ++ +

x mx mmA

x mx m m đạt

giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 5: Cho hàm số 3 23 1,y x x mx= − + + với m là tham số thực.

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm 1 11

;2 4

I

đến đường thẳng đi qua hai điểm

cực đại và cực tiểu là lớn nhất.


Ta có 3 2 23 1 ' 3 6y x x mx y x x m= − + + ⇒ = − +

+ Hàm số có cực trị khi m < 3.





+ Chia y cho 'y ta được 1 2 2

' 2 1 2 13 3 3 3 3 3

x m m m my y x y x

= − + − + + ⇒ = − + +

là phương trình đường

thẳng qua các điểm cực trị.

Đặt 2

: 2 13 3

m my x

∆ = − + +

.

Ta có ( )2 2 2 2

1 2 11 2 32 11 32 1 22 3 4 3 3 43 4 4

;12 2 2

2 1 2 1 2 13 3 3

m m mmt

d Itm m m

− − + + − −− − ∆ = = = =

+ − + − + − +

Đặt 2

2

3 1

4 3 253 11 2 164

uu t d

u u u

= − ⇒ = = + ++ +

Đặt max2 2 2

1 1 1 1 5 5

4 43 25 3 25 5 3 161 12 16 2 16 4 5 25

a d du a a a a a

= ⇒ = = = ≤ ⇒ = + + + + + +

Dâu bằng xảy ra khi 12 25 3 4 2 4

2 1.25 12 4 3 3 3

ma u t u m= − ⇔ = − ⇔ = + = − ⇔ − = − ⇔ =

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài này còn một cách giải khác khá hay và độc đáo, đó là sử dụng điểm cố định. Các em tìm hiểu thêm nhé!


Bài 1: Cho hàm số 3 2 21 1( 3) 2

3 2= − + − +y x mx m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 đồng thời x1 ;x2 là hai cạnh góc vuông của một tam giác có

độ dài cạnh huyền bằng 10

.2

Đ/s : 14

2=m , các em lưu ý về tìm đk cho x1 ; x2 dương nhé !

Bài 2: Cho hàm số 3 23 3( 6) 1= − + + +y x mx m x Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

Đ/s : m = 4

Bài 3: Cho hàm số 3 21

3 3= + + + m

y x mx x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0.

Đ/s : 1

2

>

≠ ±

m

m


3= + + +y x x mx m



Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15.

Đ/s : m = –2.

Bài 5: Cho hàm số 3 22 3( 1) 6 (1 2 )= + − + −y x m x m m x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0.

Bài 6: Cho hàm số 3 212 3

3= − +y x x x

Gọi A, B là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2.

Đ/s : M(1 ; 0) và M(5 ; 0).


Mobile: 0985.074.831

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f = f(x) và y = g(x) là ( ) ( ) ( ) ( )0, 1= ⇔ =f x g x h x

Số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện tồn tại chính là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. Việc biện luận số giao điểm của hai đồ thị quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1).

Ví dụ. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :

a) ( )3 3 2

2 = − − = −

y x xy m x

b) 2 1

22

+ = + = +

xy

xy x m

c) ( )4 2

2

11 2

= + + = − +

y x xy m x m


a) ( )3 3 2

2 = − − = −

y x xy m x

Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 2 2 2 2 1 2 , 1− − = − ⇔ − + + = −x x m x x x x m x

( ) ( ) ( )2 2

2

1 2 1 0, 2

=⇔ + = ⇔ = + + − =

x

x m h x x x m

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3. � Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm. Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.

Từ đó ta có điều kiện tương ứng

( )01 1 0 0

00.0

2 1 22

′∆ < − − < ⇔ < ′ ∆ = ⇔ ⇔ <= → = − = − =

o

m m

mmvnb

xa

� Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt. Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2.

Ta có điều kiện

( )

00

22

0 09

2 0 9

′ ∆ = → = = − ≠ ′∆ > > ⇔ → = = =

mbx

a

mm

h m

� Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt.

Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2 ( )0 0

2 0 9

′∆ > >⇔ ⇔ ≠ ≠

m

h m

Kết luận: + Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0. + Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9. + Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9.

b) 2 1

22

+ = + = +

xy

xy x m

. Điều kiện: x ≠ −2.

Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( )22 12 2 2 2 1 0 0, 1 .

2

+ = + ⇔ + + + − = ⇔ =+

xx m x m x m h x

x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2. � Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2.


03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO Thầy Đặng Việt Hùng


ế Mobile: 0985.074.831

Ta có

( )2

2

4 4 8 2 1 006 2 6 6 2 6

0 12 12 0 6 2 6 6 2 6.6 2 622 622 4

+ + − − <∆ < − < < + ∆ = − + = ⇔ ⇔ ⇔ − < < + = ± → += − = − =− = −

o

m m mm

m m mmvnb mx m

a

� Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có nghiệm kép khác −2 hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm là x = −2.

Ta có điều kiện:

( ) ( )

2

2

12 12 06 2 60 6 2 6262

422

6 2 60 12 12 0

6 2 62 0 8 2 2 2 1 03 0

− + = = ± ∆ = ⇔ → = ± + ≠− ≠ − = − ≠ − ⇔ > + ∆ > − + > ⇔ → < − = − + + − = =

o

m mm

mmmb

xa

mm m

vnmh m m

� Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác −2

Ta có điều kiện: ( ) ( )2 6 2 6

0 12 12 0 6 2 66 2 62 0 8 2 2 2 1 0 6 2 6

3 0

> +∆ > − + > > + ⇔ ⇔ → < −≠ − + + − ≠ < − ≠

mm m m

mh m m m

Kết luận: + Hai đồ thị không cắt nhau khi 6 2 6 6 2 6.− < < +m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi 6 2 6.= ±m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 6 2 6

6 2 6

> +

< −

m

m

c) ( )4 2

2

11 2

= + + = − +

y x xy m x m

Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( )4 2 2 4 21 1 2 1 2 0 0, 1 .+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1). Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4.

Đặt ( ) ( ) ( )2 2, 0 1 2 0, 2= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m

� Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai nghiệm âm phân biệt.

+ (2) vô nghiệm khi ( ) ( )22 20 4 1 2 0 8 4 0 4 20 4 2 5 4 2 5∆ < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ + < ⇔ − − < < − +m m m m m m

+ (2) có nghiệm kép âm khi

20 8 4 04 2 5

4 2 5.0 00

2 2

∆ = + − = = − ± ⇔ ⇔ → = − +− −= < ><

m mm

mb mt ma

+ (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi

2

1 2

1 2

4 2 5

4 2 50 8 4.01

0 0 0 4 2 5 .2

1 2 0 102

> − + < − −∆ > + − + < ⇔ − < ⇔ > →− + < <

− >> <

m

mm m

t t m m m

mt tm

Hợp ba khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị không cắt nhau là 1

4 2 5 .2

− − < <m

� Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có một nghiệm, điều đó chỉ xảy ra khi nghiệm đó là x = 0.

Từ đó ta được kiện 1

1 2 0 .2

− = ⇔ =m m

� Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương, hoặc có hai nghiệm trái dấu.


Mobile: 0985.074.831

+ (2) có nghiệm kép dương khi

20 8 4 04 2 5

4 2 5.0 00

2 2

∆ = + − = = − ± ⇔ ⇔ → = − −− −= > <>

m mm

mb mt ma

+ (2) có hai nghiệm trái dấu khi 1 21

0 1 2 0 .2

< ⇔ − < ⇔ >t t m m

Hợp hai khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm là 4 2 5

1

2

= − − >

m

m

� Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0.

Điều đó xẩy ra khi ( )

1 2

10 0 1 2 0

.200 0

= − = = ⇔ ⇔ → − >+ > <

o

h m mvn

mt t m

Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm. � Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai nghiệm đều dương.

Điều đó xẩy ra khi

2

1 2

1 2

4 2 5

4 2 50 8 4 0

0 0 0 4 2 5.

1 2 0 102

> − + > − −∆ > + − > + > ⇔ − > ⇔ < → < − −

− >> <

m

mm m

t t m m m

mt tm

Kết luận:

+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 1

4 2 5 .2

− − < <m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi 1

.2

=m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 4 2 5

1

2

= − − >

m

m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi 4 2 5.< − −m



Xét các hàm số ( )=y f x có đồ thị là (C), tập xác định D1 và hàm số ( )=y g x có đồ thị là (C’), tập xác định

là D2. Khi đó số nghiệm của phương trình ( ) ( )=f x g x với ( )1 2∈ ∩x D D chính là số giao điểm của hai đồ

thị đã cho.

Phương trình ( ) ( )=f x g x hay ( ) ( ) 0 ( ) 0− = ⇔ =f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của

hai đồ thị hàm số.

Ví dụ 1 : Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

a) 3 23

3 4

= + +

= +

y x x x

y x

b) 3

12 3

+ =−

= −

xy

xy x

Ví dụ 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị 3 2( 1) 2 2

3 4

= + − + +

= −

y x m x mx

y x theo tham số m.

Ví dụ 3: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị 2

11

+ =−

= +

x my

xy mx

theo tham số m.


Bài 1: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?

a)

( )

3

33

3

= − +

= −

xy x

y m x

b) ( )32 1

1

= − −

= −

y x x

y m x c)

1

12

+ =−

= − +

xy

xy x m

Bài 2: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?

a)

42

2

13

2 2

1

= − + +

= +

xy x

y mx

b) ( )4 2

2

2 3 1

2

= − + + −

= − −

y x m x

y x c)

2

21

=+

= − +

xy

xy mx


03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO Thầy Đặng Việt Hùng



Xét bài toán tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng :( )( )

:

:

= + + +

= +

3 2C y ax bx cx d

d y mx n

Xét phương trình hoành độ giao điểm ( )3 2 0 1y ax bx cx d mx n h( x ) , .= + + + = + ⇔ =

trong đó h(x) là hàm số bậc 3.

DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM

Các bài toán hỏi về tính chất giao điểm thì thông thường phương trình hoành độ giao điểm sẽ nhẩm được nghiệm và hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương.

Điều này chỉ xảy ra khi nghiệm xo > 0, và g(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt khác xo 1 2

1 2

0

0

0

0

∆ > − = + = >⇔ = = > ≠

g

o

BS x x

AC

P x xA

g( x )

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ âm.

Tương tự ta có điều kiện xo < 0, và g(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khác xo 1 2

1 2

0

0

0

0

∆ > − = + = <⇔ = = > ≠

g

o

BS x x

AC

P x xA

g( x )

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn một hằng số α cho trước.

Điều này xảy ra khi xo > α và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác xo và đều lớn hơn α.

Tức là ta có

( )( ) ( )( )( )1 1 1 1

1 2

1 2 1 2

α α

0 0

0 0

2α 2αα

α α 0 α α 0

o o

g g

o o

x x

g( x ) g( x )

B Bx x x x

x ;x A A *x x x x

> > ∆ > ∆ > ≠ ≠ ⇔

− − + = > + = > > ⇔ − − > − − >

Đến đây các em nên giải riêng (*) :

( )( ) ( )

1 11 11 1

2 21 2 1 2 1 2

2α2α2α

Bα α 0 α α 0 α α 0

−−− + = >+ = >+ = > ⇔ ⇔ − − > − + + > + + >

BBB x xx xx x AAAC

x x x x x x .A A

Kết hợp với các điều kiện ở hệ ta thu được giá trị cần tìm của tham số.

Bình luận: Cách giải trên đã làm tường minh hơn cho dạng bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hằng số cho trước, các em không nên đặt ẩn phụ t = x – α khiến bài toán rắc rối hơn!

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn một hằng số α cho trước.


04. TUƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2 Thầy Đặng Việt Hùng



Tương tự ta có điều kiện

( )( ) ( )1 2 1 2 1 21 2

221 2 1 2 1 2

α α αα

0 0 00

0 0 00

2α 2α 2αα

Bα α 0 α α 0 α α 0

o o oo

g g gg

o o oo

x x xx

g( x ) g( x ) g( x )g( x )

B B Bx x x x x xx ;x

A A ACx x x x x x .A A

< < < < ∆ > ∆ > ∆ > ∆ > ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

≠ − − − + = < + = < + = <<

− − > − + + > + + >

Bình luận: - Trong bài thi các em nên tách hệ trên thành các bất phương trình nhỏ để giải cho bài toán gọn gàng hơn. - Tổng quát hóa cho dạng câu hỏi kiểu này, ví dụ như 3 điểm phân biệt trong đó có 1 điểm có hoành độ lớn hơn (hay nhỏ) α, hai điểm lớn hơn (hay nhỏ hơn) α thì các em chủ yếu dựa vào giá trị của xo đã biết để định hướng biện luận các trường hợp có thể xảy ra nhé. - Dạng câu hỏi trên là tổng quát cho bài toán hỏi về ba điểm đều có hoành độ dương hay âm đã xét ở trên.

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn 2 2 21 2 3

2 2 21 2 3

+ + =

+ + >

x x x k

x x x k

Để giải bài toán dạng này các em thực hiện như sau :

+ Tìm điều kiện để tồn tại x1 ; x2 ; x3, đó là 0

0

∆ >

≠

g

og( x )

+ Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = xo, khi đó x2, x3 là hai nghiệm của g(x) = 0. Từ đó ta được

( )2

22 2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 3 2 3 2 32 2

− + + = ⇔ + = − ⇔ + − = − ⇔ − = −

o o o

B Cx x x k x x k x x x x x k x k x

A A

Giải phương trình trên ta thu được giá trị của tham số, kết hợp với điều kiện tồn tại giao điểm ta được giá trị cần tìm của tham số.

�Chú ý: Cách giải trên áp dụng tương tự cho bài toán có yêu cầu 2 2 21 2 3

2 2 21 2 3

+ + >

+ + <

x x x k.

x x x k.

� Ba điểm phân biệt đều có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lập thành một cấp số cộng.

Để giải bài toán dạng này các em cần nhớ điều kiện để x1 ; x2 ; x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng : 1 3 22+ =x x x . Ta thực hiện theo các bước sau :

+ Tìm điều kiện để tồn tại x1 ; x2 ; x3, đó là 0

( ) 0

∆ >

≠

g

og x

+ Giả sử x1 = xo, khi đó x2, x3 là hai nghiệm của g(x) = 0. Từ đó điều kiện 1 3 22+ =x x x được viết lại dạng

( )

2

3 2

3 2 2 3 3

2 3

32 2

23

2

, *3 3

− +=

= − − −− + = → + = ⇔ = − − = + − =

o

o

o

o

o o

Bx

Ax

x x x BxB Ax x x x x x

AC B Bx x x x CA A A

A

Giải (*) các em thu được giá trị của tham số. �Chú ý: Nếu trong yêu cầu của bài toán về các nghiệm rõ ràng hơn, cũng như giá trị xo đã biết, các em xác định được thì có thể loại trừ để gán giá trị nào trong số x1; x2; x3 là xo đã biết.

� Ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.



+ Nếu nghiệm xo > 0 thì khi đó g(x) = 0 chỉ cần có hai nghiệm trái dấu đều khác xo hoặc có nghiệm kép dương

và khác xo. Từ đó ta có điều kiện 0

0o

AC

g( x )

< ≠

hoặc 1 2

1 2

0

02

2

g

o

Bx x

AB

x x xA

∆ = − = = >

− = = ≠

+ Nếu nghiệm xo < 0 thì khi đó g(x) = 0 phải có hai nghiệm dương phân biệt, và khác xo

Từ đó ta có điều kiện 1 2

1 2

0

0

0

∆ > − = + = > = = > ≠

g

o

BS x x

AC

P x xA

g( x )

�Chú ý: Trong yêu cầu của bài toán trên thì chúng ta mặc định hiểu là trong 3 hoành độ thì có 1 hoành độ âm, 2 hoành độ dương.

� Ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ âm.

+ Nếu nghiệm xo < 0 thì khi đó g(x) = 0 chỉ cần có hai nghiệm trái dấu đều khác xo hoặc có nghiệm kép âm và

khác xo. Từ đó ta có điều kiện 0

0o

AC

g( x )

< ≠

hoặc 1 2

1 2

0

02

2

g

o

Bx x

AB

x x xA

∆ = − = = <

− = = ≠

+ Nếu nghiệm xo > 0 thì khi đó g(x) = 0 phải có hai nghiệm âm phân biệt và khác xo

Từ đó ta có điều kiện 1 2

1 2

0

0

0

0

∆ > − = + = < = >

≠

g

o

BS x x

AP x x

g( x )

Ví dụ 1. Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx + m). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt tr ục hoành tại 3 điểm phân biệt a) có hoành độ dương. b) trong đó có hai điểm có hoành độ dương. c) trong đó có hai điểm có hoành độ âm. d) có hoành độ lần lượt là x1; x2; x3 thỏa mãn + + <2 2 2

1 2 3 4.x x x

Hướng dẫn giải: � Tìm điều kiện để có 3 giao điểm:

Phương trình hoành độ giao điểm: ( )( )2

2

11 0

( ) 0

=− + + = ⇔ = + + =

xx x mx m

g x x mx m

Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Điều đó xảy ra khi ( )2

40 4 0 0

*1 2 0(1) 0 1

2

>∆ > − > <⇔ ⇔

+ ≠≠ ≠ −

g

m

m m m

mgm

a) Ba giao điểm có hoành độ dương khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 đều dương.


0 0 0

> − > < ⇔ ⇔ → > > >

S m m

P m m hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại giá trị của m.

b) Trong ba giao điểm, có 2 giao điểm có hoành độ dương khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 trái dấu nhau.



Khi đó ta có 1 20 0 0.< < ⇔ < ⇔ <x x P m

Kết hơp với điều kiện (*) ta được giá trị cần tìm của m là 0

1

2

< ≠ −

m

m

c) Trong 3 giao điểm, có 2 giao điểm có hoành độ âm khi g(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt x1; x2

Khi đó ta có 1 2

0 0 00

0 0 0

< − < > < < ⇔ ⇔ ⇔ → < < <

S m mx x

P m m hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại giá trị của m.

d) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = 1, khi đó g(x) = 0 có hai nghiệm x2; x3 thỏa mãn hệ thức

( )22 2 2 2 2 21 2 3 2 3 2 3 2 34 1 4 2 3 2 3 0 1 3.+ + < ⇔ + + < ⇔ + − < ⇔ − − < ⇔ − < <x x x x x x x x x m m m

Kết hợp với điều kiện ở (*) ta được 1 0

1

2

− < < ≠ −

m

m là các giá trị cần tìm của m.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 + (m – 1)x + 1. a) CMR khi m ≠≠≠≠ 0 thì đồ thị hàm số đã cho cắt tr ục hoành tại ba điểm phân biệt. b) Tìm m để đồ thị cắt tr ục Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 2. c) Tìm m để đồ thị cắt tr ục Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó chỉ có 1 điểm có hoành độ âm.

Hướng dẫn giải: � Tìm điều kiện để có 3 giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và Ox:

( ) ( ) ( )( )3 2 2

2

11 1 1 0 1 1 0

( ) 1 0

=− + + − + = ⇔ − − − = ⇔ = − − =

xx m x m x x x mx

g x x mx

a) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

Điều này xảy ra khi 20 4 0

0.1 1 0(1) 0

∆ > + >⇔ ⇔ ≠

− − ≠≠

g mm

mg

Vậy với mọi giá trị m ≠ 0 thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. b) Do nghiệm x = 1 < 2 nên để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 2 thì phương trình g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và cùng lớn hơn 2.

Ta có

( )( ) ( )1 2

1 21 2

1 2 1 21 2

42 4 32 4.2

2 4 0 1 2 4 0 22 2 0

+ + >> > < < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < < − + + > − − + > − − >

x xx x m

x x mx x x x m

x x

Vậy 3

42

< <m là các giá trị cần tìm của m.

c) Do nghiệm x = 1 > 0 nên để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ âm thì phương trình g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và trái dấu nhau. Ta có 1 20 0 1 0, .< < ⇔ < ⇔ − < ∀ ∈x x P m R

Vậy với mọi giá trị m ≠ 0 thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và trong đó luôn có một điểm có hoành độ âm.

Ví dụ 3. Cho hàm số = − − + +3 21 23 3

y x mx x m có đồ thị là (Cm)

Tìm m để đồ thị cắt tr ục Ox tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hon 15. Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox : 3 21 20

3 3− − + + =x mx x m

( )3 2 2

2

13 3 3 2 0 ( 1) (1 3 ) 2 3 0 0

( ) (1 3 ) 2 3 0, 1

= − − + + = ⇔ − + − − − = = ⇔ = + − − − =

xx mx x m x x m x m

g x x m x m

Đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 1.

Điều đó tương đương với ( ) ( )

22 9 6 9 00 1 3 4 2 3 0 1

.1 6(1) 0 1 6 06

+ + >∆ > − + + > ⇔ ⇔ ⇔ ≠ − ≠ ≠ −− − ≠

gm m

m mm

g mm

Không mất tính tổng quát, giả sử 3 hoành độ giao điểm là x1; x2; x3 với x1 = 1 và x2; x3 là hai nghiệm của (1).



Yêu cầu bài toán trở thành ( ) ( )2 22 2 21 2 3 1 2 1 215 1 2 15 3 1 2(2 3 ) 14+ + > ⇔ + + − > ⇔ − + + >x x x x x x x m m

2 19 9 1

1>⇔ > ⇔ > ⇔ < −

mm m

m

Kết hợp với điều kiện ta được 1

1>

< −

mm

là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4. Cho hàm số = + + + +3 22 ( 3) 4y x mx m x có đồ thị là (Cm) Cho đường thẳng d: y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B và C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2.

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox :

( ) ( )3 2 2

2

02 ( 3) 4 4 2 2 0

( ) 2 2, 1

=+ + + + = + ⇔ + + + = ⇔ = + + +

xx mx m x x x x mx m

g x x mx m

Đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B, C khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 0.

Điều đó tương đương với ( )2

10 2 0

*22 0(0) 0

2

≤ −∆ > − − > ⇔ ⇔ ≥ + ≠≠ ≠ −

g

mm m

mmg

m

Do A(0; 4) nên xB; xC là hai nghiệm phân biệt của (1), theo Vi-ét ta có 22

+ = − = +

B C

B C

x x mx x m

Mặt khác: ( , )1 3 4

22

− += =K dd . Do đó 2

( , )

18 2 . 8 2 16 256

2= ⇔ = ⇔ = ⇔ =KBC K dS BC d BC BC∆

[ ]22 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) 256 ( ) ( 4) ( 4) 256

1 1372( ) 256 ( ) 4 128 4 4( 2) 128 34 0

2

⇔ − + − = ⇔ − + + − + =±⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =

B C B C B C B C

B C B C B C

x x y y x x x x

x x x x x x m m m m m


2

±=m là giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 5. Cho hàm số = − +3 23 4y x x có đồ thị là (C)

Gọi dk là đường thẳng đi qua A(−−−−1; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B và C sao cho hai giao điểm B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Hướng dẫn giải: Đường thẳng dk có phương trình dK: y = k(x + 1).

Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )( ) ( )( )

3 2 22

13 4 1 1 4 4 1

2

= − =− + = + ⇔ + − + = + ⇔

− =

Ax xx x k x x x x k x

x k

dk cắt trục (Cm) tại ba điểm phân biệt A, B, C khi 0

9

> ≠

k

k

Khi đó ta có

( )( )( )

1 1;0

2 2 ;3

2 2 ;3

= − ⇒ − = + ⇒ + −

= − ⇒ − +

x A

x k B k k k k

x k C k k k k

Mặt khác, ta lại có 2( , ) ( , ) 2

2 1 ;1

= + = =+kO BC O d

kBC k k d d

k

2 3

2

1. .2 . 1 1 1 1 1

2 1→ = + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+OBC

kS k k k k k k

k∆

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 6. Cho hàm số = − +3 23 2y x x có đồ thị là (C)



Gọi E là tâm đối xứng của (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm phân biệt E, A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 với O là gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng, do vậy E(1; 0). Phương trình đường thẳng qua E có dạng d: y = k(x − 1). Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

( ) ( )( ) ( )3 2 2

2

13 2 1 1 2 2 1

( ) 2 2 0

= =− + = − ⇔ − − − = − ⇔ = − − − =

Ex xx x k x x x x k x

g x x x k

d cắt trục (C) tại ba điểm phân biệt E, A, B khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Tức là ( )0 3 0

3 *3 0(1) 0

′∆ > + >⇔ ⇔ > − − − ≠≠

g kk

kg

Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình ( )( )

1 1

2 2

;( ) 0

;

−= ⇒ −

A x kx kg x

B x kx k với 1 2

1 2

2

2

+ = = − −

x x

x x k

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 4 1 12 4 2 1 3 = − + − = + + − = + + = + +

AB x x k x x k x x x x k k k k

Ta có ( )( )2( , ) 2

11 1. 2 . .2 1 3 2 3 2

1 32 2 1∆

= −= = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ±+OAB O

kkS d AB k k k k

kk∆

Vậy có 3 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán là ( )1; 1 3 ( 1).= − + = − ± −y x y x



Xét các hàm số 3 2( )= = + + +y f x ax bx cx d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm : 3 2 3 2 0 ( ) 0+ + + = + ⇔ + + + = ⇔ =ax bx cx d mx n Ax Bx Cx D h x

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.

DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CH ẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 23( 1) 3 2= + − − +y x m x mx và đường thẳng : 5 1.= −d y x

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) có hoành độ dương

b) có hoành độ lớn hơn 2

c) có hoành độ 1 2 3; ;x x x thỏa mãn 2 2 21 2 3 21+ + =x x x

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2 Thầy Đặng Việt Hùng



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 23 3 3 2= − − + +y x mx x m và đường thẳng : 5 1.= −d y x

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) có hoành độ lớn hơn –1

b) có hoành độ 1 2 3; ;x x x thỏa mãn 2 2 21 2 3 15+ + >x x x

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 ( 1) 1= − + − + +y x mx m x m và đường thẳng : 2 1.= − −d y x m

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 4*: Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) ( 1)= − + − − −y x mx m x m

Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


Bài 1. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)

Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m

Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn 2 2 21 2 3 4.+ + <x x x

Bài 2. Cho hs 3 2 2( 3) 4y x m x mx m= − + + − .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho 2 2 2 8A B Cx x x+ + = .

Đ/s. 1m= . Gợi ý. Đoán nghiệm x m=

Bài 3. Cho hàm số 3 23 3 3 2y x mx x m= − − + + (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 3, ,x x x thỏa mãn 2 2 21 2 3 4x x x+ + ≤

Bài 4. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + mx. Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Bài 5. Cho hàm số y = x3

– 3x – 2, có đồ thị là (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ xA = 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. a) Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. b) Xác định k để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.



Bài 6. Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng. Bài 7. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2

– 1, có đồ thị là (C). Gọi (dk) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại a) 3 điểm phân biệt. b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.

Bài 8. Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 – 9x

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.



Xét các hàm số 3 2( )= = + + +y f x ax bx cx d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm : 3 2 3 2 0 ( ) 0+ + + = + ⇔ + + + = ⇔ =ax bx cx d mx n Ax Bx Cx D h x

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.


DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CH ẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Loại 2: Các bài toán về tọa độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 22 6 1= − + +y x x và đường thẳng : 1.= +d y mx

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 3 2= − +y x x .

Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho 2=Ax và 2 2=BC .

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 22 3( 1) 2= + + − +y x mx m x có đồ thị là (Cm) (với m là tham số). Cho đường thẳng : 2= − +d y x và điểm K(3; 1). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt

A(0; 2), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 2 2 .

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 2(2 ) 6 9(2 ) 2= − − + − −y m x mx m x có đồ thị là (Cm) Tìm m để đường thẳng : 2= −d y cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt (0; 2)−A , B và C sao cho diện tích tam giác

OBC bằng 13. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho hàm số = − + +3 25 3 9y x x x (1).

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua −( 1;0)A và có hệ số góc k. Tìm k để ∆ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) (O là gốc toạ độ).

Đ/s: 3

.4

=k

Bài 2. Cho hàm số 3 24 6 1= − +y x mx có đồ thị là (C) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d y x: 1= − + cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Đ/s : Không tồn tại m.

Bài 3. Cho hàm số = − +3 23 4y x x có đồ thị là (C).

Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm −( 1;0)A với hệ số góc k. Tìm k để kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân


04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng



biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8. Đ/s : k = 4.

Bài 4. Cho hàm số = − − +3 21 83

3 3y x x x .

Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).

Đ/s : 19

: .3

= −d y

Bài 5. Cho hàm số = − +3 23 2y x x có đồ thị là (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0) và cắt (C) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho diện tích tam

giác OBC bằng 2 5. Đ/s : : 2 2= −d y x

Bài 6. Cho hs 3 26 9y x x x= − + . Tìm m để đường thẳng =y mx cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt O(0; 0), A, B. Chứng tỏ khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn nằm trên cùng một đường thẳng song song với Oy.

Bài 7. Cho hàm số 3 22 3( 1) 2= + + − +y x mx m x có đồ thị là Cm. Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt đồ thị tại 3

điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2 6.

Bài 8. Cho hàm số : 3 21 12 3

3 3= − + −y x x x

Tìm m để đường thẳng 1

:3

∆ = −y mx cắt (C) tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho A cố định và diện tích

tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.



Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất ( )

( )

:

:

+ = + = +

ax bC y

cx dd y mx n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm ( )2 0 ( ) 0, 1+ = + ⇔ + + = ⇔ =+

ax bmx n Ax Bx C g x

cx d

Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai.

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm ≠ − dx

c của phương trình (1).



2 1

+=−

xy

x và đường thẳng : .= − +d y x m

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CH ẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm


1

+=−

xy

x và đường thẳng : 2.= − +d y mx

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.


1

− +=−x

yx

và đường thẳng : 2 .= +d y x m

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.


1

+=−

xy

x và đường thẳng : 3 1.= +d y mx

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.


1

−=+

xy

x

Viết phươn trình đường d đi qua ( 1;1)−I sao cho d cắt (C) tại M, N và I là trung điểm của MN.



3

− +=+

mxy

x và đường thẳng : ( 1) 2.= + +d y m x

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.


05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



Bài 2: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( ) 2: 2 , : .

2 1

+= − + =−

xd y x m C y

x Tìm giá trị của tham số m để

a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

Bài 3: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( )3 1: ; : 2 .

4

+= = +−

xC y d y x m

x Tìm giá trị của tham số m để

a) hai đồ thị không cắt nhau. b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.

Bài 4: Cho hai đồ thị hàm số ( ) ( )4 1: ; : .

2

−= = − +−

xC y d y x m

x Tìm giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm

số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 2 21 2 10.+ =x x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số



( )

:

:

+ = + = +

ax bC y

cx dd y mx n



cx d


Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm d

xc

≠ − của phương trình (1).




Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm


2

xy

x

−= và đường thẳng : .d y x m= − +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin.


1

xy

x

−=+

và đường thẳng : 2 .d y x m= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5.AB =


2 2

xy

x

+=−

và đường thẳng :d y x m= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2 37,

2OA OB+ = với O là gốc tọa

độ.


.1

xy

x

+=+

Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng : 2 1d y kx k= + + cắt đồ

thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.



1

xy

x=

−. Tìm m để đường thẳng : 2d y mx m= − + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho độ dài AB ngắn nhất.

Đ/s: m = 1.

Bài 2: Cho hàm số 1x

yx m

−=+

(1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2= + cắt đồ





thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho 2 2.AB =

Đ/s: m = 7.


2

xy

x

−=+

(1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): = +y x m cắt đồ

thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho 2 2.AB =

Đ/s: m = 7; m = –1.


( )1

xy f x

x

+= =−

. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y x m= + cắt (C) tại 2

điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (với I là tâm đối xứng của (C)).

Đ/s: m = 3; m = –1.


1

xy

x

+=−

có đồ thị là (C). Tìm các giá trị m để đường thẳng : 3y x m∆ = − + cắt (C) tại A

và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng : 2 2 0d x y− − = (với O là gốc tọa độ).

Đ/s: 11

.5

m= −




( )

:

:

+ = + = +

ax bC y

cx dd y mx n



cx d


Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm d

xc

≠ − của phương trình (1).




Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm (tiếp theo)


xy

x=

− và đường thẳng : 1.d y mx m= − −

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho 2 2AM AN+ đạt giá trị nhỏ nhất

với ( 1;1).A −


1

xy

x

−=−

và đường thẳng : .d y x m= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O

là gốc tọa độ.

Ví dụ 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2010)

Cho hàm số 2 1

1

xy

x

+=+

và đường thẳng : 2 .d y x m= − +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 3.OABS∆ =


2 4

xy

x

−=−

và đường thẳng : .d y x m= +

a) Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt M, N với mọi m.

b) Gọi P, Q là giao điểm của d và các tiệm cận của (C). Chứng minh rằng MP = NQ.


Bài 1: Cho hs 2 1

1

xy

x

−=−

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho O là trung điểm của AB. Đ/s: y = –2x.






xy

x=

−. Tìm m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B

sao cho tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 .

Gợi ý. . . 1

( , ).4 2OAB

OAOB ABS d O AB AB

R∆ = = . Suy ra 2

. 4 26

mOAOB

m

= −= → =


=−x

yx

có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng =− +y x m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 060 (với O là gốc tọa độ). Đ/s: m = 6.


2

xy

x

+=−

có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng :d y x m= + cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ).


2

xy

x

+=+

có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng : 1d y x m= − + + cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho góc �AOB tù.


2

xy

x

+=−

. Gọi (d) là đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho 2 .MA MB= −��



Xét phương trình hoành độ giao điểm ( )

4 24 21

4 24 2 22

ax 0 ( ) 0ax

( ) 0ax 0ax

+ + − = =+ + = ⇔ ⇔ =+ − + − =+ + = +

bx c m h xbx c m

h xb m x c nbx c mx n

trong đó h1(x), h2(x) là các hàm trùng phương. Ở đây, ta chỉ xét một phương trình đại diện là ( )4 2

1( ) 0, 1 .= + + − =h x ax bx c m

Số giao điểm của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình (1). Tương tự như tương giao của hàm bậc ba đã xét, chúng ta cũng có hai dạng toán cơ bản với hàm trùng phương.


Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 1= − + −y x mx m . Tìm m để đồ thị đã cho cắt trục Ox

a) tại hai điểm phân biệt

b) tại bốn điểm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho hàm số 4 2 2 42 2= − + +y x m x m m.

Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt Ox tại ít nhất hai điểm với mọi m < 0.

Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 22 1= + +y x m x (C) và đường thẳng d : y = x + 1.

Chứng minh răng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CH ẤT GIAO ĐIỂM

Loại 1: Các giao điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn .

.

+ + + =

+ + + =

4 4 4 41 2 3 4

1 2 3 4

x x x x α

x x x x β

Ví dụ 4: Cho hàm số ( )4 22 1 3= + − + +y x m x m , với m là tham số.

Tìm m để đường đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn a) 4 4 4 4

1 2 3 4 16+ + + =x x x x

b) 1 2 3 4 4 2+ + + =x x x x


Bài 1: Cho hàm số y = x4 + 2(1 + m)x2 − 1, (C) và đường cong (P) : y = −2x2.

Tìm giá trị của tham số m để

a) (C) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b) (C) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Bài 2: Tìm m để đồ thị các hàm số

a) 4 22 1 = − −

=

y x xy m

cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

b) ( )4 2 31= − + +y x m m x m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.


06. TUƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



c) ( )4 2 22 3 3= − − + −y x m x m m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Bài 3: Cho hàm số ( )4 21 2 3= − − + −y x m x m , với m là tham số.

Tìm m để đường đồ thị cắt đường thẳng y = 3 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1; x2; x3; x4 thỏa

mãn 4 4 4 41 2 3 4 10+ + + =x x x x

Đ/s: m = 4.

Bài 4: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m.

Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm phân biệt

a) đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

b) đều có hoành độ lớn hơn −3.

c) có hoành độ là x1; x2; x3; x4 sao cho 4 4 4 41 2 3 4 12+ + + <x x x x

Bài 5: Cho hàm số 4 2 2(2 1) 1= − + −y x m x (C) và đường thẳng d : y = 2x – 1.

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt.



Xét phương trình hoành độ giao điểm ( )

4 24 21

4 24 2 22

ax 0 ( ) 0ax

( ) 0ax 0ax

+ + − = =+ + = ⇔ ⇔ =+ − + − =+ + = +

bx c m h xbx c m

h xb m x c nbx c mx n

trong đó h1(x), h2(x) là các hàm trùng phương. Ở đây, ta chỉ xét một phương trình đại diện là ( )4 2

1( ) 0, 1 .= + + − =h x ax bx c m

Số giao điểm của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình (1). Tương tự như tương giao của hàm bậc ba đã xét, chúng ta cũng có hai dạng toán cơ bản với hàm trùng phương.


DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CH ẤT GIAO ĐIỂM (ti ếp theo)

Loại 1: Các giao điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn .

.

+ + + =

+ + + =

4 4 4 41 2 3 4

1 2 3 4

x x x x α

x x x x β

Loại 2: Các giao điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho hàm số 4 22( 2) 2 3y x m x m= − + + − − .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Đ/s: 13

3;9

m m= = −

Ví dụ 2. Cho hàm số 4 22( 1) 3y x m x m= + + − .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Loại 3: Các giao điểm có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số nào đó

Ví dụ 1. Cho hàm số 4 2 22( 1) 4y x m x m= − + + − .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn –4.

Đ/s: 5

222

m− < <

Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2(3 2) 3y x m x m= − + + .

Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thị hàm số 4 điểm phân biệt

a) có hoành độ nhỏ hơn 2.

b) có hoành độ lớn hơn –3.

c) có hoành độ thỏa mãn 4 4 4 41 2 3 4 12x x x x+ + + <

Ví dụ 3. Cho hàm số 4 22( 1) 2 1y x m x m= − + + + .


06. TƯƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng



Tìm m để đồ thị cắt Ox tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ tăng dần sao cho tam giác ACK có diện

tích bằng 4, với K(3; –2).


Bài 1. Cho hàm số: 4 2(3 2) 3y x m x m= − + + có đồ thị ( )mC .

Tìm m để đồ thị hàm số ( )mC cắt đường thẳng 1y = − tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 4; ; ;x x x x thỏa

mãn điều kiện: 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 4x x x x x x x x+ + + + = .

Đ/s: 1

9m= −

Bài 2. Cho hàm số: 4 22( 1) 2 1y x m x m= − + + + có đồ thị ( )mC .

Tìm m để đồ thị hàm số ( )mC cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.

Đ/s: 1

; 12

m m= − ≥

Bài 3. Cho hàm số 4 2( 1) 2 5y x m x m= − − + − .

Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt

a) có hoành độ nhỏ hơn 2.

b) có hoành độ thỏa mãn 4 4 4 41 2 3 4

17.

2x x x x+ + + =

Đ/s: b) 7

2m=

Bài 4. Cho hàm số ( )4 21 2 3y x m x m= − − + − , với m là tham số.

Tìm m để đường đồ thị cắt đường thẳng y = 3 tại bốn điểm phân biệt

a) có hoành độ cùng lớn hơn 2

b) có hoành độ thỏa mãn x1; x2; x3; x4 thỏa mãn 4 4 4 41 2 3 4 10x x x x+ + + =


Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( )2

4 2 4 2

2

21 2 3 3 1 2 6 0

3

=− − + − = ⇔ − − + − = ⇔

= −

xx m x m x m x m

x m

Để hai đồ thị cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì ( )3 0 3*

3 2 5

− > > ⇔ − ≠ ≠

m m

m m

Với điều kiện (*) thì ta có 4 nghiệm của phương trình là 2; 3= ± = ± −x x m

a) Các giao điểm có hoành độ đều lơn hơn 2 khi 3 2 5 7

5 7 52 3 2

− < < < ⇔ ⇔ < < ≠< − <

m m m

m mm

Kết hợp với điều kiện (*) ta được 3 7

5

< < ≠

m

m

b) Ta có ( ) ( ) ( )4 4 24 4 4 4

1 2 3 4

410 2 2 3 10 4 3 5

2

= + + + = ⇔ ± + ± − = ⇔ + − = ⇔ = −

mx x x x m m

m



Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm.

Bài 5. Cho hàm số ( ) ( )4 2: 2 1 2 1mC y x m x m= − + + + , với m là tham số.

Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox sao cho có ba giao điểm có hoành độ nhỏ hơn 3.


Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( )4 22 1 2 1 0, 1− + + + =x m x m

Đặt ( ) ( )2 2 10 ( ) 2 1 2 1 0

2 1

== ≥ → = − + + + = ⇔ = +

tt x t f t t m t m

t m

Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 thì ta có hai khả năng xảy ra:

� Khả năng 1: 1

2 1 0 .2

+ = ⇔ = −m m

� Khả năng 2: 2 1 3 2 1 9 4+ > ⇔ + > ⇔ >m m m

Vậy: 1

; 12

= − >m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

u bài gi ng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 · · 2013-03-19Ph ương trình ti ếp tuy ến t ại điểm M x y C y f x(o o; :)∈ =() là ( )( ) ( )(

Documents