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METODOS SEMI-ITERATIVOS PARAGRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

DIRECCIONES CONJUGADAS. PCGF. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs

GMNI — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Departamento de Metodos Matematicos y de RepresentacionEscuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universidad de A Coruna, Espana

e-mail: [email protected] web: http://caminos.udc.es/gmni

UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

mailto:[email protected]

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INDICE

I Direcciones Conjugadas

I Metodos de Direcciones Conjugadas

I Metodo de Gradientes Conjugados [CG]

I Planteamiento de Mınima Energıa

I Precondicionamiento

I Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG]

I Implementacion del Algoritmo PCG


Direcciones Conjugadas (Ia)

Sea el sistema

A˜ x = b, con

{A˜ = A˜T (A˜ SIMETRICA),

vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

Sean los vectores conjugados respecto a la matriz A˜ (o A˜–conjugados),

{si}i=1,n, tales que sTi A˜ sj{

= 0 si i 6= j,

6= 0 si i = j,

=⇒ FORMAN UNA BASE.


Direcciones Conjugadas (Ib)

Pues. . .

REDUCCION AL ABSURDO

Hipotesis:n∑i=1

λisi = 0 con algun λj 6= 0,

entonces sTj A˜(

n∑i=1

λisi

)=

n∑i=1

λi(sTj A˜ si

)= λj s

Tj A˜ sj︸︷︷︸>0

= 0,

luego λj = 0 ∀j (ABSURDO).

Por tanto, los vectores conjugados son linealmente independientes y(puesto que su numero n iguala al orden de la matriz) forman una basedel correspondiente espacio vectorial.


Direcciones Conjugadas (IIa)

EXPRESION DE LA SOLUCIONSean

x = A˜−1b la solucion del problema, y

x0 una aproximacion a x.

El vector (x− x0) se puede escribir como combinacion lineal de loselementos de la base de vectores conjugados.Luego,

x− x0 =

n∑i=1

αisi =⇒ x = x0 +

n∑i=1

αisi.


Direcciones Conjugadas (IIb)

Pero,A˜ x = b =⇒ A˜

(x0 +

n∑i=1

αisi

)= b

=⇒n∑i=1

αiA˜ si =(b− A˜ x0

)y premultiplicando por sTj obtenemos

sTj

(n∑i=1

αiA˜ si)

= sTj

(b− A˜ x0

)=⇒

n∑i=1

αi(sTj A˜ si

)= s

Tj

(b− A˜ x0

),

=⇒ αj(sTj A˜ sj

)= s

Tj

(b− A˜ x0

).

Por tanto

αj =sTj(b−A˜ x0

)sTj A˜ sj , j = 1, . . . , n.


Metodos de Direcciones Conjugadas (I)

FORMULACION SEMI–ITERATIVA:

Dados x0 y s1 −→ x1 = x0 + α1s1, con α1 =sT1(b− A˜ x0

)sT1A˜ s1

,

x1 y s2 −→ x2 = x1 + α2s2, con α2 =sT2(b− A˜ x0

)sT2A˜ s2

,

...

xn−1 y sn −→ xn = xn−1 + αnsn, con αn =sTn(b− A˜ x0

)sTnA˜ sn .

Finalmente

xn =

(. . .((x0 + α1s1) + α2s2

)+ . . .

)+ αnsn

= x0 +

n∑i=1

αisi = x = A˜−1b.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIa)

EN GENERAL:

Dados x0, {si}i=1,n

xk+1 = xk + αk+1sk+1, con αk+1 =sTk+1

(b− A˜ x0

)sTk+1A˜ sk+1

, k = 0, . . . , n− 1

y xn = x = A˜−1b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).

Pero tambien,

αk+1 =sTk+1

(b− A˜ x0

)sTk+1A˜ sk+1

=sTk+1

(b− A˜ xk)

sTk+1A˜ sk+1

,

pues

xk = x0 + α1s1 + . . .+ αksk =⇒ sTk+1A˜ xk = s

Tk+1A˜ x0+

α1 sTk+1A˜ s1︸︷︷︸

0

+ . . .+ αk sTk+1A˜ sk︸︷︷︸

0

.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIb)

Y FINALMENTE:

Dados x0, {si}i=1,n

rk = b−A˜ xk, αk+1 =sTk+1rk

sTk+1A˜ sk+1,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

k = 0, . . . , n− 1,

y xn = x = A˜−1b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).

PROBLEMA:

¿Como se genera la base de vectores conjugados {si}i=1,n?


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIa)

OBTENCION DE UNA BASE DE VECTORES CONJUGADOS {si}i=1,n

I METODO DE GRAM-SCHMIT

I METODO DE GRADIENTES CONJUGADOS(caso particular de Gram-Schmit)


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIb)

Metodo de Gram-Schmit

Se eligen los vectores {vi}i=1,n linealmente independientes.

Se obtienen los vectores conjugados {vi}i=1,n en la forma:

s1 = v1

s2 = v2 + β21s1

s3 = v3 + β31s1 + β

32s2

. . .sk = vk + β

k1 s1 + β

k2 s2 + . . .+ β

kk−1sk−1

. . .sn = vn + β

n1 s1 + β

n2 s2 + . . . + β

nn−1sn−1

con las condiciones (que permiten calcular los coeficientes{βki}i=1,k−1

)

sTj A˜ sk = 0, j = 1, . . . , k − 1.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIIc)

Luego

sk = vk +

k−1∑i=1

βki si

sTj A˜ sk = 0,

=⇒ sTj A˜(vk +

k−1∑i=1

βki si

)= 0, j = 1, . . . , k−1,

y por consiguiente

sTj A˜ vk +

βkj

(sTj A˜ sj)︷︸︸︷

k−1∑i=1

βki

(sTj A˜ si

)= 0 =⇒ β

kj = −

sTj A˜ vksTj A˜ sj j = 1, . . . , k − 1.


Metodos de Direcciones Conjugadas (IIId)

Y FINALMENTE:

Dados {vi}i=1,n

s1 = v1,

βkj = −sTj A˜ vksTj A˜ sj , j = 1, . . . , k − 1,

sk = vk +

k−1∑i=1

βki si,

k = 2, . . . , n.

PROBLEMA: Gran coste computacional, T (n3).


Metodos de Direcciones Conjugadas (IV)

PREGUNTA:

¿Es posible elegir (habilmente) los vectores {vi}i=1,n de forma que lamayor parte de los coeficientes

{βki}i=1,k−1; k=2,n

sean nulos?

Respuesta:

SI: Metodo de Gradientes Conjugados


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ia)

Dado el sistema

A˜ x = b,

definimos la funcion cuadratica

f(x) =1

2xTA˜ x− bT x+ c,

cuyo gradiente es

∇f =

(df

dx

)T= A˜ x− b.

Luego,

∇f(xi) = −ri, siendo ri = b− A˜ xi el residuo en la aproximacion xi.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ib)

Si elegimos como vectores {vi}i=1,n los gradientes (cambiados de signo)

v1 = −∇f(x0) = r0 =(b− A˜ x0

)v2 = −∇f(x1) = r1 =

(b− A˜ x1

)v3 = −∇f(x2) = r2 =

(b− A˜ x2

). . .vk = −∇f(xk−1) = rk−1 =

(b− A˜ xk−1

). . .vn = −∇f(xn−1) = rn−1 =

(b− A˜ xn−1

)entonces sucede que (*)

βkj = −

sTj A˜ rk−1

sTj A˜ sj{

= 0, j = 1, . . . , k − 2

6= 0, j = k − 1

(*) Se comprueba que esto es ası aunque no es evidente (ver equivalencias).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (Ic)

FINALMENTE, LA BASE DE GRADIENTES CONJUGADOS ES (*):

{r0 = b−A˜ x0

s1 = r0,

}

rk−1 = b−A˜ xk−1

βkk−1 = −sTk−1A˜ rk−1

sTk−1A˜ sk−1,

sk = rk−1 + βkk−1sk−1,

k = 2, . . . , n.

(*) EN LO SUCESIVO PRESCINDIREMOS DEL SUPERINDICE k EN βkk−1

(ya que no es necesario).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIa)

PRIMERA ITERACION k = 0

Dado x0 −→ r0 = b−A˜ x0,

s1 = r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1,

x1 = x0 + α1s1.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIb)

ITERACIONES SIGUIENTES k = 1, . . . , n− 1

Dado xk −→ rk = b−A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ rksTk A˜ sk ,

sk+1 = rk + βksk, −→ αk+1 =sTk+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIc)

El algoritmo se detendra al finalizar el paso k. . .

I si k = n− 1, pues xk+1 = xn y por tanto verifica

rk+1 = b−A˜ xk+1 = 0 (salvo errores de redondeo *),

I o si ha convergido segun un criterio tipo{‖xk+1 − xk‖ ≤max{εx, rx ‖xk‖} y

‖rk+1‖ ≤max{εr, rr∥∥b∥∥}

(*) Se suelen realizar algunas iteraciones mas para refinar la solucion.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIa)

Equivalencias

1) sTk+1A˜ sk+1 = sTk+1A˜ rk,pues sk+1 = rk + βksk,

y sTk+1A˜ sk = 0.

2) rk+1 = rk − αk+1A˜ sk+1,pues rk+1 = b− A˜ xk+1 = b− A˜

(xk + αk+1sk+1

)=(b− A˜ xk)− αk+1A˜ sk+1 = rk − αk+1A˜ sk+1.

3) sTk+1rk+1 = 0, LUEGO EL AVANCE ES OPTIMO (*),

pues sTk+1rk+1 = s

Tk+1

(rk − αk+1A˜ sk+1

)= s

Tk+1rk − αk+1

(sTk+1A˜ sk+1

)

y αk+1 =sTk+1rk

sTk+1

A˜ sk+1

.

(*) Vease el planteamiento de mınima energıa.


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIb)

4) A˜ sk = − 1αk

(rk − rk−1),pues rk = rk−1 − αkA˜ sk (por la equivalencia 2).

5) (rk − rk−1)Tsk = (rk − rk−1)

Trk−1,

pues sTk A˜ sk = s

Tk A˜ rk−1 (por la equivalencia 1) =⇒ s

Tk(A˜ sk) = r

Tk−1

(A˜ sk) ,

luego sTk

(−

1

αk

(rk − rk−1

))= r

Tk−1

(−

1

αk

(rk − rk−1

))(por la equivalencia 4).

6) sTk+1rk = rTk rk,

pues sk+1 = rk + βksk =⇒ sTk+1rk = r

Tk rk + βks

Tk rk,

y sTk rk = 0 (por la equivalencia 3).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIIc)

7) rTk+1rk = 0,

pues rTk+1rk =

(rk − αk+1A˜ sk+1

)Trk (por la equivalencia 2)

= rTk rk − αk+1

(sTk+1A˜ rk

)= r

Tk rk − αk+1

(sTk+1A˜ sk+1

)(por la equivalencia 1)

y αk+1 =sTk+1rk

sTk+1

A˜ sk+1

=rTk rk

sTk+1

A˜ sk+1

(por la equivalencia 6).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IIId)

Luego hay muchas formulas equivalentes. . .

βk = −sTkA˜ rksTkA˜ sk = −

rTkA˜ sksTkA˜ sk = −

rTk (A˜ sk)sTk

(A˜ sk) = −rTk

(− 1αk

(rk − rk−1

))sTk

(− 1αk

(rk − rk−1

)) (por la equivalencia 4)

=

(rk − rk−1

)Trk

−(rk − rk−1

)Tsk

=

(rk − rk−1

)Trk

−(rk − rk−1

)Trk−1

(por la equivalencia 5)

=rTk rk

rTk−1

rk−1


=

(rk − rk−1

)Trk

rTk−1

rk−1


=rTk rk

−(rk − rk−1

)Tsk

(por la equivalencia 7).


Metodo de Gradientes Conjugados [CG] (IV)

Formulas equivalentes para el calculo del coeficiente βk

βk = −sTk A˜ rksTk A˜ sk

βk =[rk − rk−1]T rk−[rk − rk−1]T sk

HESTENES–STIEFEL

βk =rTk rk

rTk−1 rk−1FLETCHER–REEVES

βk =[rk − rk−1]T rkrTk−1 rk−1

POLAK–RIBIERE

βk =rTk rk

−[rk − rk−1]T skMYERS


Planteamiento de Mınima Energıa (I)

Sea el problema:

Hallar x,

que VERIFICA r = 0,

siendo r = b−A˜ x,con

A˜ = A˜T (A˜ SIMETRICA),

vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

El problema anterior tambien puede escribirse en la forma siguiente...


Planteamiento de Mınima Energıa (II)

MINIMA ENERGIA

Hallar x,

que MINIMIZA f(x) =1

2xTA˜ x− xT b, (∗)

con

A˜ = A˜T (A˜ SIMETRICA),

vTA˜ v > 0 ∀v 6= 0 (A˜ DEF. +).

(*) Pues ∇f(x) =[dfdx

]T= −r, siendo r = b− A˜ x.


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIa)

AVANCE OPTIMO

Si aplicamos al problema anterior un metodo numerico tipo

xk+1 = xk + αk+1sk+1

diremos que el avance αk+1 es optimo cuando se cumpla

αk+1 = minα

Φ(α), con Φ(α) = f(x)

∣∣∣∣∣x=xk+αsk+1

,

o lo que es lo mismo . . .


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIb)

dΦ

dα

∣∣∣α=αk+1

= 0, siendodΦ

dα=df

dx

∣∣∣∣∣x=xk+αsk+1

sk+1

= −(b−A˜ (xk + αsk+1)

)Tsk+1.

Por tanto, la condicion de avance optimo es

rTk+1sk+1 = 0 ⇐⇒ sTk+1rk+1 = 0,

que tambien puede escribirse como

αk+1 =sTk+1rk

sTk+1A˜T sk+1

,

luego LOS METODOS DE DIRECCIONES CONJUGADAS SON DE AVANCE OPTIMO.


Planteamiento de Mınima Energıa (IIIc)

AVANCE OPTIMO


Precondicionamiento (I)

Sea el sistemaA˜ x = b.

Sea el precondicionador

P˜ = E˜E˜T , con det(E˜) 6= 0.

Reescribimos el sistema original en la forma(E˜−1

A˜E˜−T)

︸︷︷︸A˜

(E˜T x

)︸︷︷︸x

=(E˜−1

b)

︸︷︷︸b

,

y esperamos que al aplicar el Metodo de Gradientes Conjugados al sistemaprecondicionado

A˜ x = b

el proceso converja mas rapidamente a la solucion que en el caso delsistema original.


Precondicionamiento (IIa)


Dado x0 = E˜T x0 −→ r0 = b− A˜ x0,

s1 = r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1

,

x1 = x0 + α1s1.


Precondicionamiento (IIb)

ITERACIONES SIGUIENTES k > 0

Dado xk −→ rk = b− A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ rksTk A˜ sk ,

sk+1 = rk + βksk, −→ αk+1 =sTk+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1

,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn = E˜−T xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Precondicionamiento (IIIa)

Relacion del problema precondicionado con el problema original

1)

xk = E˜T xk −→ rk = b− A˜E˜T xk= E˜−1

b−(E˜−1

A˜E˜−T)E˜T xk

= E˜−1b− E˜−1

A˜(E˜−TE˜T

)xk

= E˜−1b− E˜−1

A˜ xk= E˜−1 (

b− A˜ xk)= E˜−1

rk, con rk = b− A˜ xk.


Precondicionamiento (IIIb)

2)

xk+1 = E˜T xk+1 −→ xk+1 = E˜−T (xk + αk+1sk+1)

=(E˜−TE˜T

)xk + αk+1E˜−T sk+1

= xk + αk+1sk+1, con sk+1 = E˜−T sk+1.

sk+1 = E˜−T(rk + βksk

)= E˜−T

(E˜−1

rk + βkE˜T sk)

=(E˜E˜T

)−1

rk + βksk

= P˜−1rk + βksk.


Precondicionamiento (IIIc)

3)

αk+1 =sTk+1rk

sTk+1A˜ sk+1

=

(E˜T sk+1

)T (E˜−1rk

)(E˜T sk+1

)T (E˜−1A˜E˜−T) (E˜T sk+1

)=

sTk+1

(E˜E˜−1

)rk

sTk+1

(E˜E˜−1

)A˜ (E−T˜ E˜T) sk+1

=sTk+1rk

sTk+1A˜ sk+1

.


Precondicionamiento (IIId)

4)

βk = −sTk A˜ rksTk A˜ sk

= −(E˜T sk)T (E˜−1A˜E˜−T) (E˜−1rk

)(E˜T sk)T (E˜−1A˜E˜−T) (E˜T sk)

= −sTk(E˜E˜−1

)A˜ (E−T˜ E˜−1

)rk

sTk(E˜E˜−1

)A˜ (E˜−TE˜T) sk

= −sTkA˜ (E˜E˜T)−1

rk

sTkA˜ sk= −

sTkA˜P˜−1rk

sTkA˜ sk .


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ia)


Dado x0 −→ r0 = b−A˜ x0,

s1 = P˜−1r0, −→ α1 =sT1 r0

sT1 A˜ s1,

x1 = x0 + α1s1.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ib)

ITERACIONES SIGUIENTES k > 0

Dado xk −→ rk = b−A˜ xk, −→ βk = −sTk A˜ P˜−1 rksTk A˜ sk ,

sk+1 = P˜−1rk + βksk, −→ αk+1 =sTk+1 rk

sTk+1 A˜ sk+1,

xk+1 = xk + αk+1sk+1,

Y xn verifica A˜ xn = b (SALVO ERRORES DE REDONDEO).


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (Ic)

El algoritmo se detendra al finalizar el paso k. . .

I si k = n− 1, pues xk+1 = xn y por tanto verifica

rk+1 = b−A˜ xk+1 = 0 (salvo errores de redondeo *),

I o si ha convergido segun un criterio tipo{‖xk+1 − xk‖ ≤max{εx, rx ‖xk‖} y

‖rk+1‖ ≤max{εr, rr∥∥b∥∥}

(*) Se suelen realizar algunas iteraciones mas para refinar la solucion.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (II)

Observaciones:

• Los sk son A˜–conjugados, pues

sTi A˜ sj =

(E˜−T si

)T (E˜A˜E˜T

)(E˜−T sj

)= s

Ti

(E˜−1

E˜)A˜(E˜TE˜−T

)sj

= sTi A˜ sj.

• El avance es optimo, pues

sTk+1rk+1 =

(E˜−T sk+1

)T(E˜ rk+1) = s

Tk+1

(E˜−1

E˜)rk+1

= sTk+1rk+1.

• En generalrTk+1rk = (E˜ rk+1)

T(E˜ rk) = r

Tk+1

(E˜TE˜

)rk

6= 0.


Gradiente Conjugado Precondicionado [PCG] (III)

CONCLUSIONES:

♥ Suele utilizarse el precondicionador diagonal P˜ = D˜A.

♣ Para calcular xn el tiempo de computacion es T (n3).♣ NO ES MEJOR QUE LOS METODOS DIRECTOS (GAUSS, CHOLESKY), A MENOS QUE

CONVERJA ANTES.

♥ Es un metodo directo, pero funciona como los metodos iterativos ya que♥ PUEDE DETENERSE ANTICIPADAMENTE, LO QUE PROPORCIONA UN APROXIMACION A

LA SOLUCION.♦ NO MODIFICA LOS COEFICIENTES DE LA MATRIZ,♦ POR LO QUE PUEDE SER UTILIZADO CON ESQUEMAS DE ALMACENAMIENTO MINIMO

PARA MATRICES DISPERSAS.

♣ Puede ser muy ventajoso (o la unica alternativa posible) cuando lamatriz es no-estructurada y muy dispersa.

♦ EN TALES CASOS SUELE UTILIZARSE SIN ENSAMBLAR LA MATRIZ.


Implementacion del Algoritmo PCG (Ia)

INICIALIZACION (k = 0)

Inicializamos:x0 → r0 = b− A˜ x0,

w0 = P˜−1r0 → s1 = w0

z1 = −A˜ s1 → s1 = −zT1 s1 → α1 = rT0 s1/s1

∆x0 = α1s1 → x1 = x0 + ∆x0 → r1 =

r0 + α1z1 (*)

b− A˜ x1 (**)

cnvgc=.false.

k = 0

(*) Pues r1 = b− A˜ x1 = b− A˜(x0 + α1s1) = (b− A˜ x0)− α1A˜ s1 = r0 + α1z1.

(**) De vez en cuando se recalcula el residuo para evitar la acumulacion de errores de redondeo.


Implementacion del Algoritmo PCG (Ib)

ITERACIONES SIGUIENTES (k > 0)

do while (k.lt.niter.and.not.cnvgc)

wk = P˜−1rk → βk = z

Tk wk/sk → sk+1 = wk + βksk

zk+1 = −A˜ sk+1 → sk+1 = −zTk+1sk+1 → αk+1 = rTk sk+1/sk+1

∆xk = αk+1sk+1 → xk+1 = xk + ∆xk → rk+1 =

rk + αk+1zk+1 (*)

b− A˜ xk+1 (**)

cnvgc=(‖∆xk‖.le. max(εx, rx ‖xk‖)) .and. (‖rk+1‖.le. max(εr, rr∥∥b∥∥))

k = k + 1

enddo

(*) Pues rk+1 = b− A˜ xk+1 = b− A˜(xk + αk+1sk+1) = (b− A˜ xk)− αk+1A˜ sk+1 = rk + αk+1zk+1.

(**) De vez en cuando se recalcula el residuo para evitar la acumulacion de errores de redondeo.


Implementacion del Algoritmo PCG (II)

TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE VINCULACION

Dado el sistema A˜ x = b+ R, con algunas xv = pv, se procede de lasiguiente manera:

1) Se inicializan los valores de los g.d.l. prescritos, xv = pv.

2) Cuando se calcula el residuo r = b− A˜ x se opera con toda la matriz.

3) Al actualizar los valores de x en cada iteracion se ignoran (no se modifican) lasincognitas correspondientes a los g.d.l. prescritos, xv = pv.

4) Al comprobar la condicion de convergencia en r hay que tener en cuenta que losterminos corespondientes a los g.d.l. prescritos no tienden a 0 sino a los valores delas reacciones correspondientes.

5) Finalmente, las reacciones se obtienen a partir del ultimo residuo, ya que R = −r.


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