Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = - + • I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 = + - - - L l = ( ) x x x 2 1 16 ln 4 9ln 3 + - - - = 1 25ln2 16ln3 + - . Câu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + • Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 =- + + + + I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln 2 ln5 2 2 2 8 1 2 Ø ø = - - + + =- + + Œ œ º ß Câu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = - - + • I 2 4 13 7 14 ln ln ln 2 3 3 15 6 5 =- + + Dạng 2: Đổi biến số Câu 4. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) - = + • Ta có: x x fx x x 2 1 1 1 () . . 3 2 1 2 1 ¢ - - = + + L l L l x I C x 3 1 1 9 2 1 - = + + L l Câu 5. ( ) ( ) x I dx x 99 1 101 0 7 1 2 1 - = + • ( ) x dx x x I d x x x x 99 99 1 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1 - - - = = + + + L l L l L l + x x 100 100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900 - Ø ø = = º -ß + L l Câu 6. x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) = + • Đặt t x 2 4 = + I 1 8 = Câu 7. I dx xx 4 3 4 1 1 ( 1) = + • Đặt t x 2 = t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1 = - = + L l Câu 8. dx I x x 3 6 2 1 (1 ) = +
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 1
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
Câu 1. xI dxx x
2 2
21 7 12
=− +
∫
• I dxx x
2
1
16 914 3
= + − − − ∫ = ( )x x x
2116 ln 4 9 ln 3+ − − − = 1 25ln 2 16 ln3+ − .
Câu 2. dxIx x
2
5 31
=+
∫
• Ta có: xxx x x x3 2 3 2
1 1 1( 1) 1
= − + ++ +
⇒ I x xx
22
21 1 3 1 3ln ln( 1) ln 2 ln52 2 2 812
= − − + + = − + +
Câu 3. xI dxx x x
5 2
3 24
3 12 5 6
+=
− − +∫ • I 2 4 13 7 14ln ln ln 2
3 3 15 6 5= − + +
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 4. xI dxx
2
4( 1)
(2 1)−
=+
∫ • Ta có: x xf xx x
21 1 1( ) . .3 2 1 2 1
′ − −= + +
⇒ xI Cx
31 19 2 1
−= + +
Câu 5. ( )
( )xI dxx
991
1010
7 1
2 1
−=
+∫
• ( )
x dx x xI dx x xx
99 991 1
20 0
7 1 1 7 1 7 12 1 9 2 1 2 12 1
− − −= =
+ + + +∫ ∫
xx
1001001 1 7 1 11 2 1
09 100 2 1 900 − = ⋅ = − +
Câu 6. xI dxx
1
2 20
5( 4)
=+
∫ • Đặt t x2 4= + ⇒ I 18
=
Câu 7. I dxx x
4 3
41
1( 1)
=+
∫ • Đặt t x2= ⇒ tI dtt t
3
21
1 1 1 3ln2 4 21
= − =
+ ∫
Câu 8. dxIx x
3
6 21 (1 )
=+
∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 2
• Đặt : xt1
= ⇒ tI dt t t dtt t
3163
4 22 2
1 33
111 1
= − = − + −
+ + ∫ ∫ = 117 41 3
135 12π−
+
Câu 9. dxIx x
2
10 21 .( 1)
=+
∫ • x dxIx x
2 4
5 10 21
..( 1)
=+
∫ . Đặt t x5= ⇒ dtIt t
32
2 21
15 ( 1)
=+
∫
Câu 10. xI dxx
1 7
2 50 (1 )
=+
∫ • Đặt t x dt xdx21 2= + ⇒ = ⇒ tI dtt
2 3
5 51
1 ( 1) 1 1.2 4 2
−= =∫
Câu 11. xI dxx x
2 7
71
1(1 )
−=
+∫ • x xI dx
x x
2 7 6
7 71
(1 )..(1 )−
=+
∫ . Đặt t x7= ⇒ tI dtt t
128
1
1 17 (1 )
−=
+∫
Câu 12. xI dxx
2 2001
2 10021
.(1 )
=+
∫
• xI dx dxx x
xx
2 22004
3 2 1002 10021 1 3
2
1. .(1 ) 1 1
= =+
+
∫ ∫ . Đặt t dt dxx x2 31 21= + ⇒ = − .
Cách 2: Ta có: x xdxIx x
1 2000
2 2000 2 20
1 .22 (1 ) (1 )
=+ +
∫ . Đặt t x dt xdx21 2= + ⇒ =
⇒ tI dt dt tt t
10002 21000
1000 2 10011 1
1 ( 1) 1 1 1 11 12 2 2002.2
−= = − − =
∫ ∫
Câu 13. I x x dx1
5 3 6
0(1 )= −∫
• Đặt dt t tt x dt x dx dx I t t dtx
1 7 83 2 6
20
1 1 11 3 (1 )3 3 7 8 1683
−= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − =
∫
Câu 14. xdxIx
10 3( 1)
=+
∫
• Ta có: x x x xx x
2 33 3
1 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)
− −+ −= = + − +
+ + I x x dx1 2 3
01( 1) ( 1)8
− − ⇒ = + − + = ∫
Câu 15. xI dxx
2 2
41
11
+=
+∫
• Ta có: x xx x
x
2 2
4 22
111
11
++
=+ +
. Đặt t x dt dxx x21 11
= − ⇒ = +
⇒ dtI dtt tt
3 32 2
21 1
1 1 12 2 2 22
= = −
− +− ∫ ∫
tt
3 / 21 2 1 2 1.ln ln12 2 2 2 2 2 1
− −= = + +
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16. xI dx
x
2 2
41
11
−=
+∫
• Ta có: x xx x
x
2 2
4 22
1 11
11
−−
=+ +
. Đặt t x dt dxx x21 11
= + ⇒ = −
⇒ dtI
t
52
22 2
= −+
∫ .
Đặt dut u dtu2
2 tan 2cos
= ⇒ = ; u u u u1 25 5tan 2 arctan2; tan arctan2 2
= ⇒ = = ⇒ =
⇒ u
uI du u u
2
1
2 12 2 2 5( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
= = − = −
∫
Câu 17. xI dxx
1 4
60
11
+=
+∫
• Ta có: x x x x x x x xx x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 61 ( 1) 1 11 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ − + + − += = + = +
+ + + − + + + +
⇒ d xI dx dxx x
1 1 3
2 3 20 0
1 1 ( ) 13 4 3 4 31 ( ) 1
π π π= + = + =
+ +∫ ∫
Câu 18. xI dx
x x
2 2
31
1−=
+∫ • Ta có: xI dx
xx
2 2
1
1 1
1
−=
+∫ . Đặt t x
x1
= + ⇒ I 4ln5
=
Câu 19. xdxIx x
1
4 20 1
=+ +
∫ . • Đặt t x2= ⇒ dt dtIt t
t
1 1
2 220 0
1 12 2 6 31 1 3
2 2
π= = =
+ + + +
∫ ∫
Câu 20. xI dxx x
1 522
4 21
11
+
+=
− +∫
• Ta có: x xx x x
x
2 2
4 2 22
111
11 1
++
=− + + −
. Đặt t x dt dxx x21 11
= − ⇒ = +
⇒ dtIt
1
20 1
=+
∫ . Đặt dut u dtu2
tancos
= ⇒ = ⇒ I du4
0 4
π
π= =∫
Câu 21. xI dxx
323
40 1
=−
∫
• xI dx dxx x x x
3 323 3
2 2 2 20 0
1 1 1 1 ln(2 3)2 4 12( 1)( 1) 1 1
π = = + = − +
− + − + ∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1. xI dxx x23 9 1
=+ −
∫
• xI dx x x x dx x dx x x dxx x
2 2 22
(3 9 1) 3 9 13 9 1
= = − − = − −+ −
∫ ∫ ∫ ∫
+ I x dx x C2 31 13= = +∫ + I x x dx2
2 9 1= −∫ x d x x C3
2 2 2 22
1 19 1 (9 1) (9 1)18 27
= − − = − +∫
⇒ I x x C3
2 321 (9 1)27
= − + +
Câu 2. x xI dxx x
2
1
+=
+∫
• x x dxx x
2
1
+
+∫ x xdx dx
x x x x
2
1 1= +
+ +∫ ∫ .
+ xI dxx x
2
11
=+
∫ . Đặt t= x x t x x21 1+ ⇔ − = x t3 2 2( 1)⇔ = − x dx t t dt2 24 ( 1)3
⇔ = −
⇒ t dt t t C2 34 4 4( 1)3 9 3
− = − +∫ = ( )x x x x C3
14 41 19 3
+ − + +
+ xI dxx x
21
=+
∫ = d x x
x x
2 (1 )3 1
+
+∫ = x x C2
4 13
+ +
Vậy: ( )I x x C34 1
9= + +
Câu 3. xI dxx
4
0
2 11 2 1
+=
+ +∫ • Đặt t x2 1= + . I = t dt
t
3 2
12 ln 2
1= +
+∫ .
Câu 4. dxIx x
6
2 2 1 4 1=
+ + +∫ • Đặt t x4 1= + . I 3 1ln
2 12= −
Câu 5. I x x dx1
3 2
01= −∫ • Đặt: t x21= − ⇒ ( )I t t dt
12 4
0
215
= − =∫ .
Câu 6. xI dxx
1
0
11
+=
+∫
• Đặt t x= ⇒ dx t dt2 .= . I = t tdtt
1 3
02
1++∫ = t t dt
t
12
0
22 21
− + − + ∫ = 11 4 ln2
3− .
Câu 7. xI dxx x
3
0
33 1 3
−=
+ + +∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
• Đặt t x tdu dx1 2= + ⇒ = ⇒ t tI dt t dt dt
tt t
2 2 23
21 1 1
2 8 1(2 6) 613 2
−= = − +
++ +∫ ∫ ∫
33 6 ln2
= − +
Câu 8. I x x dx0
3
11
−
= +∫
• Đặt t tt x t x dx t dt I t dt
11 7 4
3 2 33
00
91 1 3 3( 1) 37 4 28
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − = − = −
∫
Câu 9. xI dxx x
5 2
1
13 1
+=
+∫
• Đặt tdtt x dx 23 13
= + ⇒ = ⇒
t
tdtIt t
22
4
22
1 13 2.
31.3
− + =
−∫ dtt dt
t
4 42
22 2
2 ( 1) 29 1
= − +−
∫ ∫
tt tt
34 42 1 1 100 9ln ln .
9 3 1 27 52 2
−= − + = + +
Câu 10. x xI dxx
3 2
0
2 11
+ −=
+∫
• Đặt x t x t21 1+ = ⇔ = − ⇒ dx tdt2=
⇒ t t tI tdt t t dt tt
22 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 542 2 (2 3 ) 25 5
− + − −= = − = − =
∫ ∫
Câu 11. x dxIx x
1 2
02
( 1) 1=
+ +∫
• Đặt t x t x tdt dx21 1 2= + ⇒ = + ⇒ =
t tI tdt t dt tt tt
222 22 2 3
311 1
( 1) 1 1 16 11 2.2 2 2 23 3
− −⇒ = = − = − − =
∫ ∫
Câu 12. ( )
xI dxx
4
20
1
1 1 2
+=
+ +∫
• Đặt dxt x dt dx t dtx
1 1 2 ( 1)1 2
= + + ⇒ = ⇒ = −+
và t tx2 2
2−
=
Ta có: I = t t t t t tdt dt t dttt t t
4 4 42 3 2
2 2 22 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 232 2 2
− + − − + −= = − + −
∫ ∫ ∫
= t t tt
21 23 4 ln2 2
− + +
= 12 ln 2
4−
Câu 13. xI dxx
8
23
1
1
−=
+∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 6
• xI dx
x x
8
2 23
1
1 1
= − + +
∫ = ( )x x x8
2 231 ln 1 + − + + = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + − +
Câu 14. I x x x dx1
3 2
0( 1) 2= − −∫
• I x x x dx x x x x x dx1 1
3 2 2 2
0 0( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= − − = − + − −∫ ∫ . Đặt t x x22= − ⇒ I 2
15= − .
Câu 15. x x xI dxx x
2 3 2
20
2 3
1
− +=
− +∫
• x x xI dxx x
2 2
20
( )(2 1)
1
− −=
− +∫ . Đặt t x x2 1= − + I t dt
32
1
42 ( 1)3
⇒ = − =∫ .
Câu 16. x dxIx
2 3
3 20 4=
+∫
• Đặt t x x t xdx t dt3 2 2 3 24 4 2 3= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ I t t dt3
24 3
4
3 3 8( 4 ) 4 22 2 5
= − = − +
∫
Câu 17. dxIx x
1
211 1−
=+ + +
∫
• Ta có: x x x xI dx dxxx x
1 12 2
2 21 1
1 1 1 12(1 ) (1 )− −
+ − + + − += =
+ − +∫ ∫ xdx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 112 2− −
+= + −
∫ ∫
+ I dx x xx
11
1 11
1 1 11 ln | 12 2 −
−
= + = + = ∫
+ xI dxx
1 2
21
12−
+= ∫ . Đặt t x t x tdt xdx2 2 21 1 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ I2= t dt
t
2 2
22
02( 1)
=−
∫
Vậy: I 1= .
Cách 2: Đặt t x x2 1= + + .
Câu 18. ( )x x
I dxx
13 31
413
−= ∫ • Ta có: I dx
x x
11 3
2 313
1 11 . = −
∫ . Đặt t
x21 1= − ⇒ I 6= .
Câu 19. xI dxx
2 2
1
4 −= ∫
• Ta có: xI xdxx
2 2
21
4 −= ∫ . Đặt t = x t x tdt xdx2 2 24 4− ⇒ = − ⇒ = −
⇒ I = t tdt t tdt dt ttt t t
00 0 02
2 2 233 3 3
( ) 4 2(1 ) ln24 4 4
− −= = + = + +− − −
∫ ∫ ∫ = 2 33 ln2 3
− − + +
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 7
Câu 20. xI dx
x x
2 5
2 22 ( 1) 5=
+ +∫ • Đặt t x2 5= + ⇒ dtI
t
5
23
1 15ln4 74
= =−
∫ .
Câu 21. xI dxx x
27
3 21
2−=
+∫
• Đặt t x6= ⇒ t tI dt dttt t t t
3 33
2 2 21 1
2 2 2 15 5 1( 1) 1 1
−= = − + −
+ + + ∫ ∫
2 55 3 1 ln3 12
π = − + −
Câu 22. I dxx x
1
20
1
1=
+ +∫
• Đặt t x x x2 1= + + + ⇒ dtI tt
1 3 1 31
1
2 3 2 3ln(2 1) ln2 1 3
+ + += = + =
+∫
Câu 23. xI dxx x
3 2
2 20 (1 1 ) (2 1 )
=+ + + +
∫
• Đặt x t2 1+ + = ⇒ I t dtt t
4
23
42 36 42 16 12 42 ln3
= − + − = − +
∫
Câu 24. xI dxx x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1=
+ + + + +∫
• Đặt t x 1= + ⇒ t t dtI t dtt t
2 22 22
21 1
2 ( 1) 2 ( 1)( 1)
−= = −
+∫ ∫ t
231
2 2( 1)3 3
= − =
Câu 25. x x xI dxx
32 2 3
41
2011− += ∫
• Ta có: xI dx dx M Nx x
32 2 2 22
3 31 1
1 12011
−= + = +∫ ∫
xM dxx
32 2 2
31
1 1−= ∫ . Đặt t
x3
21 1= − ⇒ M t dt
3 732
3
0
3 21 72 128
−
= − = −∫
N dx x dxx x
2 22 2 2 23
3 21 1 1
2011 2011 140772011162
− = = = − =
∫ ∫
⇒ I314077 21 7
16 128= − .
Câu 26. dxIx x
1
33 30 (1 ). 1=
+ +∫
• Đặt t x3 31= + ⇒ t dtI dt
t t t t
3 32 22
2 21 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
= =
− −∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 8
dt dt t dtt
tt ttt
3 3 3
23
2 2 2 3
2 2 41 1 13 342 3
33
11
11 1. 1
−
− = = =
−−
∫ ∫ ∫
Đặt dtu dut t3 41 31= − ⇒ = ⇒ u uI du u du u
111 12 1 2
2 1 22 23 33 3
30 0 0
0
1 1 113 3 3 23
−−
= = = = =
∫ ∫
Câu 27. xI dxx x
x
2 2 4
231 1
=
− +
∫
• Đặt t x2 1= +
⇒ tI dtt
3 2 2
22
( 1)2
−=
−∫ = t t dt t dt dt
t t
3 3 34 22
2 22 2 2
2 1 1 19 2 4 2ln3 4 4 22 2
− + += + = + −− −
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
Câu 28. ( )xI x x dxx
1
0
1 2 ln 11
− = − + + ∫
• Tính xH dxx
1
0
11
−=
+∫ . Đặt x t tcos ; 0;
2π
= ∈
⇒ H 22π
= −
• Tính K x x dx1
02 ln(1 )= +∫ . Đặt
u xdv xdx
ln(1 )2
= +
= ⇒ K 1
2=
Câu 29. I x x x dx2
5 2 2
2( ) 4
−
= + −∫
• I = x x x dx2
5 2 2
2( ) 4
−
+ −∫ = x x dx2
5 2
24
−
−∫ + x x dx2
2 2
24
−
−∫ = A + B.
+ Tính A = x x dx2
5 2
24
−
−∫ . Đặt t x= − . Tính được: A = 0.
+ Tính B = x x dx2
2 2
24
−
−∫ . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2π .
Vậy: I 2π= .
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 9
Câu 30.
( )x dxIx
2 2
41
3 42
− −= ∫
• Ta có: xI dx dxx x
2 2 2
4 41 1
3 42 2
−= −∫ ∫ .
+ Tính I1 = dxx
2
41
32
∫ = x dx2
4
1
3 72 16
− =∫ .
+ Tính xI dxx
2 2
2 41
42
−= ∫ . Đặt x t dx tdt2sin 2 cos= ⇒ = .
⇒ tdtI t dt t d tt t
22 2 22 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3cot cot . (cot )8 8 8 8sin sin
π π π
π π π
= = = − =
∫ ∫ ∫
Vậy: ( )I 1 7 2 316
= − .
Câu 31. x dxIx
1 2
60 4=
−∫
• Đặt t x dt x dx3 23= ⇒ = ⇒ dtIt
1
20
13 4
=−
∫ .
Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos2π
= ∈ ⇒ = ⇒ I dt
6
0
13 18
π
π= =∫ .
Câu 32. xI dxx
2
0
22
−=
+∫ • Đặt x t dx tdt2 cos 2sin= ⇒ = − ⇒ tI dt2
2
04 sin 2
2
π
π= = −∫ .
Câu 33. x dxIx x
1 2
20 3 2=
+ −∫
• Ta có: x dxIx
1 2
2 20 2 ( 1)=
− −∫ . Đặt x t1 2 cos− = .
⇒ t tI dtt
22
223
(1 2cos ) 2sin
4 (2 cos )
π
π
+= −
−∫ = ( )t t dt
23
2
3 4cos 2cos2
π
π+ +∫ = 3 3 4
2 2π
+ −
Câu 34. x x dx
12
2
01 2 1− −∫ • Đặt x tsin= ⇒ I t t tdt
6
0
3 1(cos sin )cos12 8 8
π
π= − = + −∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35. I x dx3
2
2
1= −∫
• Đặt xdu dxu x
xdv dx v x
221
1
= = − ⇒ −= =
xI x x x dx x dxx x
3 32 2
2 22 2
3 11 . 5 2 12 1 1
⇒ = − − = − − +
− − ∫ ∫
dxx dxx
3 32
22 2
5 2 11
= − − −−
∫ ∫ I x x2 32
5 2 ln 1= − − + −
⇒ ( )I 5 2 1ln 2 1 ln22 4
= − + +
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến xt
1cos
= vì [ ]2;3 1;1 ∉ −
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 11
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 1. x xI dxx x
28cos sin 2 3sin cos
− −=
−∫
• ( )x x xI dx x x x x dxx x
2(sin cos ) 4 cos2 sin cos 4(sin cossin cos− + = = − − + −∫ ∫
x x C3cos 5sin= − + .
Câu 2. x x xI dxx
cot tan 2 tan 2sin 4
− −= ∫
• Ta có: x x x xI dx dx dx Cx x xx2
2cot 2 2 tan 2 2 cot 4 cos4 12sin 4 sin 4 2sin 4sin 4
−= = = = − +∫ ∫ ∫
Câu 3. x
I dxx x
2cos8
sin 2 cos2 2
π +
=+ +
∫
• Ta có: x
I dxx
1 cos 21 42 2 1 sin 2
4
π
π
+ +
=
+ +
∫
x dxdx
x x x2
cos 21 42 2 1 sin 2 sin cos4 8 8
π
π π π
+ = + + + + + +
∫ ∫
x dxdx
x x2
cos 21 142 32 2 1 sin 2 sin
4 8
π
π π
+ = +
+ + +
∫ ∫
x x C1 3ln 1 sin 2 cot4 84 2π π
= + + − + +
Câu 4. dxIx x
3
2 3 sin cos
π
π=
+ −∫
• dxIx
3
12 1 cos
3
π
π π=
− +
∫ = dxIx2
3
14 2sin
2 6
π
π π=
+
∫ = 14 3
.
Câu 5. I dxx
6
0
12sin 3
π
=−
∫
• Ta có: I dx dxx x
6 6
0 0
11 1 22 sin sin sin sin
3 3
π π
π π= =
− −∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 12
x x
dx dxx xx
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2 cos .sin3 2 6 2 6
π π π ππ
π π π
+ − −
= = − + −
∫ ∫
x x
dx dxx x
6 6
0 0
cos sin2 6 2 61 1
2 2sin cos2 6 2 6
π ππ π
π π
− +
= +
− +
∫ ∫x x
6 60 0
ln sin ln cos .....2 6 2 6
π ππ π = − − + =
Câu 6. I x x x x dx2
4 4 6 6
0(sin cos )(sin cos )
π
= + +∫ .
• Ta có: x x x x4 4 6 6(sin cos )(sin cos )+ + x x33 7 3cos4 cos864 16 64
= + + ⇒ I 33128
π= .
Câu 7. I x x x dx2
4 4
0cos2 (sin cos )
π
= +∫
• I x x dx x d x2 2
2 2
0 0
1 1 1cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 02 2 2
π π
= − = − =
∫ ∫
Câu 8. I x x dx2
3 2
0(cos 1)cos .
π
= −∫
• A = ( )xdx x d x2 2 25 2
0 0cos 1 sin (sin )
π π
= −∫ ∫ = 815
B = x dx x dx2 2
2
0 0
1cos . (1 cos2 ).2
π π
= +∫ ∫ = 4π
Vậy I = 815
– 4π .
Câu 9. 2
2
0
I cos cos 2x xdx
π
= ∫
• I x xdx x xdx x x dx2 2 2
2
0 0 0
1 1cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )2 4
π π π
= = + = + +∫ ∫ ∫
x x x2
0
1 1( sin2 sin 4 )4 4 8
ππ
= + + =
Câu 10. xI dxx
32
04sin
1 cos
π
=+∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 13
• x x x x x x x x
x x
3 3
24sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin−
= = − = −+
I x x dx20
(4sin 2sin 2 ) 2π
⇒ = − =∫
Câu 11. I xdx2
01 sin
π= +∫
• x x x xI dx dx22 2
0 0sin cos sin cos
2 2 2 2
π π = + = +
∫ ∫x dx
2
02 sin
2 4
π π = +
∫
x xdx dx
322
302
2 sin sin2 4 2 4
ππ
π
π π
= + − +
∫ ∫ 4 2=
Câu 12. dxIx
4
60 cos
π
= ∫ • Ta có: I x x d x4
2 4
0
28(1 2 tan tan ) (tan )15
π
= + + =∫ .
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
Câu 13. xdxIx x
sin 23 4sin cos2
=+ −∫
• Ta có: x xI dxx x2
2sin cos2sin 4sin 2
=+ +
∫ . Đặt t xsin= ⇒ I x Cx1ln sin 1
sin 1= + + +
+
Câu 14. dxIx x3 5sin .cos
= ∫
• ∫ ∫==xx
dxxxx
dxI 23233 cos.2sin8
cos.cos.sin
Đặt t xtan= . I t t t dt x x x Ct x
3 3 4 22
3 1 3 13 tan tan 3ln tan4 2 2 tan
− = + + + = + + − +
∫
Chú ý: txt2
2sin 21
=+
.
Câu 15. dxIx x3sin .cos
= ∫
• dx dxIx x x x x2 2
2sin .cos .cos sin2 .cos
= =∫ ∫ . Đặt t xtan= dx tdt xx t2 2
2; sin2cos 1
⇒ = =+
dt tI dtt tt
2
2
122
1
+⇒ = =
+
∫ ∫t xt dt t C x C
t
2 21 tan( ) ln ln tan2 2
= + = + + = + +∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Câu 16. x xI xdx
x
2011 2011 2009
5sin sin cot
sin−
= ∫
• Ta có: xxI xdx xdxx x
2011 2011 22
4 4
11cotsin cot cot
sin sin
−−
= =∫ ∫
Đặt t xcot= ⇒ I t tdt t t C2 4024 8046
22011 2011 20112011 2011t (1 )4024 8046
= + = + +∫
= x x C4024 80462011 20112011 2011cot cot
4024 8046+ +
Câu 17. x xI dxx
2
0
sin2 .cos1 cos
π
=+∫
• Ta có: x xI dxx
22
0
sin .cos21 cos
π
=+∫ . Đặt t x1 cos= + ⇒ tI dt
t
2 2
1
( 1)2 2 ln2 1−= = −∫
Câu 18. I x xdx3
2
0sin tan
π
= ∫
• Ta có: x x xI x dx dxx x
23 32
0 0
sin (1 cos )sinsin .cos cos
π π
−= =∫ ∫ . Đặt t xcos=
⇒ uI duu
122
1
1 3ln 28
−= − = −∫
Câu 19. I x x dx2
2
sin (2 1 cos2 )π
π= − +∫
• Ta có: I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2π π
π π= − + = +∫ ∫
+ H xdx x dx2
2 2
2sin (1 cos2 )2 2
π π
π π
π ππ= = − = − =∫ ∫
+ K x x x xdx2 2 2
2 2
sin 2 cos 2 sin cosπ π
π π= = −∫ ∫ xd x2
2
22 sin (sin )3
π
π= − =∫
I 22 3π
⇒ = −
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20. dxI
x x
3
2 4
4
sin .cos
π
π= ∫
• dxIx x
3
2 2
4
4.sin 2 .cos
π
π= ∫ . Đặt t xtan= ⇒ dxdt
x2cos= .
t dt tI t dt ttt t
33 32 2 32
2 211 1
(1 ) 1 1 8 3 42 23 3
+ −= = + + = − + + =
∫ ∫
Câu 21. ( )
2
20
sin 22 sin
xI dxx
π
=+∫
• Ta có: x x xI dx dxx x
2 2
2 20 0
sin2 sin cos2(2 sin ) (2 sin )
π π
= =+ +
∫ ∫ . Đặt t x2 sin= + .
⇒ tI dt dt tt tt t
33 3
2 22 2 2
2 1 2 22 2 2 ln −= = − = +
∫ ∫
3 22 ln2 3
= −
Câu 22. xI dxx
6
0
sincos2
π
= ∫
• x xI dx dxx x
6 6
20 0
sin sincos2 2 cos 1
π π
= =−
∫ ∫ . Đặt t x dt xdxcos sin= ⇒ = −
Đổi cận: x t x t 30 1;6 2π
= ⇒ = = ⇒ =
Ta được tI dttt
3 12
231
2
1 1 2 2ln2 2 2 22 1
−= − =
+−∫ = 1 3 2 2ln
2 2 5 2 6−
−
Câu 23. xI e x x dx22
sin 3
0.sin .cos .
π
= ∫ • Đặt t x2sin= ⇒ I = te t dt1
0
1 (1 )2
−∫ = e1 12
− .
Câu 24. I x x dx2 12sin sin
2
6
π
π= ⋅ +∫ • Đặt t xcos= . I 3 ( 2)
16π= +
Câu 25. xI dxx x
4
6 60
sin 4
sin cos
π
=+
∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 16
• xI dxx
4
20
sin 431 sin 24
π
=
−∫ . Đặt t x231 sin 2
4= − ⇒ I = dt
t
14
1
2 13
−
∫ = t
1
14
4 23 3
= .
Câu 26. ( )
xI dxx x
2
30
sin
sin 3 cos
π
=+
∫
• Ta có: x x xsin 3 cos 2cos6π
+ = −
;
x xsin sin6 6π π
= − +
= x x3 1sin cos2 6 2 6
π π − + −
⇒ I = x dx
dx
x x
2 2
3 20 0
sin63 1
16 16cos cos6 6
π ππ
π π
−
+
− −
∫ ∫ = 36
Câu 27. x xI dxx
24
2
3
sin 1 coscos
π
π−
−= ∫
• x xI x dx x dxx x
4 42
2 2
3 3
sin sin1 cos . sincos cos
π π
π π− −
= − =∫ ∫ x xx dx x dxx x
0 4
2 20
3
sin sinsin sincos cos
π
π −−
= +∫ ∫
= x xdx dxx x
0 2 24
2 20
3
sin sincos cos
π
π−
− +∫ ∫7 3 112π
= − − .
Câu 28. I dxx x
6
0
1sin 3 cos
π
=+
∫
• I dxx x
6
0
1sin 3 cos
π
=+
∫ = dxx
6
0
1 12 sin
3
π
π +
∫ = x
dxx
6
20
sin1 32 1 cos
3
π π
π
+
− +
∫ .
Đặt t x dt x dxcos sin3 3π π
= + ⇒ = − +
⇒ I dtt
12
20
1 1 1 ln32 41
= =−
∫
Câu 29. I x xdx2
2
01 3 sin 2 2cos
π
= − +∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 17
• I x x dx2
0sin 3 cos
π
= −∫ = I x x dx x x dx3 2
03
sin 3 cos sin 3 cos
π π
π= − + −∫ ∫ 3 3= −
Câu 30. xdxIx x
2
30
sin(sin cos )
π
=+
∫
• Đặt x t dx dt2π
= − ⇒ = − ⇒ tdt xdxIt t x x
2 2
3 30 0
cos cos(sin cos ) (sin cos )
π π
= =+ +
∫ ∫
⇒ dx dx2I xx x x
2 2 4
2 2 00 0
1 1 cot( ) 12 2 4(sin cos ) sin ( )
4
π π ππ
π= = = − + =
+ +∫ ∫ ⇒ I 1
2=
Câu 31. x xI dxx x
2
30
7sin 5cos(sin cos )
π
−=
+∫
• Xét: ( ) ( )
xdx xdxI Ix x x x
2 2
1 23 30 0
sin cos;sin cos sin cos
π π
= =+ +
∫ ∫ .
Đặt x t2π
= − . Ta chứng minh được I1 = I2
Tính I1 + I2 = ( )
dx dx xx x x
2 2
2 20 0
1 tan( ) 122 4sin cos 02cos ( )4
π πππ
π= = − =
+ −∫ ∫
⇒ I I1 212
= = ⇒ I I I1 27 – 5 1= = .
Câu 32. x xI dxx x
2
30
3sin 2cos(sin cos )
π
−=
+∫
• Đặt x t dx dt2π
= − ⇒ = − ⇒ t t x xI dt dxt t x x
2 2
3 30 0
3cos 2sin 3cos 2sin(cos sin ) (cos sin )
π π
− −= =
+ +∫ ∫
⇒ x x x xI I I dx dx dxx x x x x x
2 2 2
3 3 20 0 0
3sin 2 cos 3cos 2sin 12 1(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
π π π
− −= + = + = =
+ + +∫ ∫ ∫ ⇒ I 1
2= .
Câu 33. x xI dxx2
0
sin1 cos
π=
+∫
• Đặt t t tx t dx dt I dt dt It t2 2
0 0
( )sin sin1 cos 1 cos
π πππ π−= − ⇒ = − ⇒ = = −
+ +∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 18
t d tI dt I
t t
2
2 20 0
sin (cos )24 4 81 cos 1 cos
π π π π ππ π π
⇒ = = − = + ⇒ = + +
∫ ∫
Câu 34. x xI dxx x
42
3 30
cos sincos sin
π
=+
∫
• Đặt x t dx dt2π
= − ⇒ = − ⇒ t t x xI dt dxt t x x
0 4 42
3 3 3 30
2
sin cos sin coscos sin cos sin
π
π= − =
+ +∫ ∫
⇒ x x x x x x x xI dx dx xdxx x x x
4 4 3 32 2 2
3 3 3 30 0 0
cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 12 sin22 2sin cos sin cos
π π π
+ += = = =
+ +∫ ∫ ∫
⇒ I 14
= .
Câu 35. I x dxx
22
20
1 tan (cos )cos (sin )
π
= −
∫
• Đặt x t dx dt2π
= − ⇒ = −
⇒ I t dtt
22
20
1 tan (sin )cos (cos )
π
= −
∫ x dx
x
22
20
1 tan (sin )cos (cos )
π
= −
∫
Do đó: I x x dxx x
22 2
2 20
1 12 tan (cos ) tan (sin )cos (sin ) cos (cos )
π
= + − −
∫ = dt
2
02
π
π=∫
⇒ I2π
= .
Câu 36. x xI dxx
4
0
cos sin3 sin2
π
−=
−∫
• Đặt u x xsin cos= + duIu
2
21 4⇒ =
−∫ . Đặt u t2sin= tdtI dt
t
4 4
2
6 6
2 cos124 4sin
π π
π π
π⇒ = = =
−∫ ∫ .
Câu 37. xI dxx x
3
20
sin
cos 3 sin
π
=+
∫
• Đặt t x23 sin= + = x24 cos− . Ta có: x t2 2cos 4= − và x xdt dxx2
sin cos
3 sin=
+.
I = x dxx x
3
20
sin .cos 3 sin
π
+∫ = x x dx
x x
3
2 20
sin .cos
cos 3 sin
π
+∫ = dt
t
152
23 4 −∫ = dt
t t
152
3
1 1 14 2 2
− + − ∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 19
= t
t
152
3
1 2ln4 2
+−
= 1 15 4 3 2ln ln4 15 4 3 2
+ + − − −
= ( ) ( )( )1 ln 15 4 ln 3 22
+ − + .
Câu 38. x x x xI dxx x
23
3 23
( sin )sinsin sin
π
π+ +
=+
∫
• x dxI dxxx
2 23 3
23 3
1 sinsin
π π
π π= ++∫ ∫ .
+ Tính xI dxx
23
1 23
sin
π
π= ∫ . Đặt u x
du dxdxdv v xx2 cot
sin
= =⇒ = = −
⇒ I1 3π
=
+ Tính dx dx dxI =x xx
2 2 23 3 3
22
3 3 3
4 2 31 sin 1 cos 2cos
2 4 2
π π π
π π ππ π= = = −
+ + − −
∫ ∫ ∫
Vậy: I 4 2 33
π= + − .
Câu 39. x dxx x
I2
2 20
sin2
cos 4sin
π
+= ∫
• x x dxx
I2
20
2sin cos
3sin 1
π
=+
∫ . Đặt u x23sin 1= + ⇒ udu
duu
I2 2
1 1
22 233 3
= == ∫ ∫
Câu 40. x
I dxx
6
0
tan4
cos2
π π −
= ∫
• x xI dx dx
x x
26 6
20 0
tan tan 14cos2 (tan 1)
π ππ − + = = −
+∫ ∫ . Đặt t x dt dx x dx
x2
21tan (tan 1)
cos= ⇒ = = +
⇒ dtItt
11
33
2 00
1 1 31 2( 1)
−= − = =
++∫ .
Câu 41. xI dxx x
3
6
cot
sin .sin4
π
π π=
+
∫
• xI dxx x
3
2
6
cot2sin (1 cot )
π
π=
+∫ . Đặt x t1 cot+ = dx dt
x21
sin⇒ = −
⇒ ( )tI dt t tt
3 1 3 13 1
3 1 33
1 22 2 ln 2 ln 33
+ +
++
−= = − = −
∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 20
Câu 42. dxI
x x
3
2 4
4
sin .cos
π
π= ∫
• Ta có: dxIx x
3
2 2
4
4.sin 2 .cos
π
π= ∫ . Đặt dt
t x dxt2
tan1
= ⇒ =+
⇒ t dt tI t dt t
tt t
32 2 33 3(1 ) 1 1 8 3 42( 2 ) ( 2 )2 2 3 31 1 1
+ −= = + + = − + + =∫ ∫
Câu 43. xI dxx x x
4
20
sin5sin .cos 2cos
π
=+
∫
• Ta có: xI dxx x x
4
2 20
tan 1.5tan 2(1 tan ) cos
π
=+ +
∫ . Đặt t xtan= ,
⇒ tI dt dtt tt t
1 1
20 0
1 2 1 1 2ln3 ln 23 2 2 1 2 32 5 2
= = − = − + ++ +
∫ ∫
Câu 44. xdx
x x xI
24
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
π
π−
− += ∫
• Đặt dtt x dx
t2tan
1= ⇒ =
+ ⇒ t dt dt
It t t t
21 1
2 21 1
22 ln 3
32 5 2 5− −
= = + −− + − +
∫ ∫
Tính dtI
t t
1
1 21 2 5−
=− +
∫ . Đặt tu I du
0
1
4
1 1tan
2 2 8π
π
−
−= ⇒ = =∫ . Vậy I 2 32 ln
3 8π
= + − .
Câu 45. xI dxx
22
6
sinsin3
π
π= ∫ .
• x xI dx dxx x x
22 2
3 2
6 6
sin sin3sin 4sin 4cos 1
π π
π π= =
− −∫ ∫
Đặt t x dt xdxcos sin= ⇒ = − ⇒ dt dtIt t
30 2
2 2032
1 1 ln(2 3)14 44 14
= − = = −− −
∫ ∫
Câu 46. x xI dxx
2
4
sin cos1 sin 2
π
π−
=+
∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 21
• Ta có: x x x x x1 sin2 sin cos sin cos+ = + = + (vì x ;4 2π π
∈ )
⇒ x xI dxx x
2
4
sin cossin cos
π
π−
=+∫ . Đặt t x x dt x x dxsin cos (cos sin )= + ⇒ = −
I dt tt
2211
1 1ln ln22
⇒ = = =∫
Câu 47. I x x xdx2
6 3 5
12 1 cos .sin .cos= −∫
• Đặt t dtt x t x t dt x xdx dxx x
56 3 6 3 5 2
221 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin= − ⇔ = − ⇒ = ⇒ =
t tI t t dt
11 7 13
6 6
00
122 (1 ) 27 13 91
⇒ = − = − =
∫
Câu 48. xdxIx x
4
20
tan
cos 1 cos
π
=+
∫
• Ta có: xdxIx x
4
2 20
tan
cos tan 2
π
=+
∫ . Đặt 2 2 22
tan2 tan 2 tancos
= + ⇒ = + ⇒ =xt x t x tdt dxx
⇒ 3 3
2 2
3 2= = = −∫ ∫tdtI dtt
Câu 49. xI dxx x
2
30
cos2(cos sin 3)
π
=− +
∫ • Đặt t x xcos sin 3= − + ⇒ tI dtt
4
32
3 132
−= = −∫ .
Câu 50. xI dxx x
4
2 40
sin 4
cos . tan 1
π
=+
∫
• Ta có: xI dxx x
4
4 40
sin 4
sin cos
π
=+
∫ . Đặt t x x4 4sin cos= + I dt
22
12 2 2⇒ = − = −∫ .
Câu 51. xI dxx
4
20
sin 41 cos
π
=+
∫
• Ta có: x xI dxx
24
20
2sin 2 (2cos 1)1 cos
π
−=
+∫ . Đặt t x2cos = ⇒ tI dt
t
12
1
2(2 1) 12 6 ln1 3−
= − = −+∫ .
Câu 52. x
I dxx
6
0
tan( )4
cos2
π π−= ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 22
• Ta có:
26
20
tan 1(tan 1)
π
+= −
+∫xI dx
x. Đặt t xtan= ⇒
13
20
1 3( 1) 2
−= − =
+∫dtI
t.
Câu 53. 36
0
tancos 2
π
= ∫xI dxx
• Ta có:3 36 6tan tan
2 2 2 2cos sin cos (1 tan )0 0
π π
= =∫ ∫− −
x xI dx dxx x x x
.
Đặt t xtan= ⇒
333 1 1 2ln2 6 2 310
= = − −∫−
tI dtt
.
Câu 54. xI dxx
2
0
cos7 cos2
π
=+
∫ • x dxIx
2
2 20
1 cos2 6 22 sin
π
π= =
−∫
Câu 55. dx
x x
3
4 3 5
4sin .cos
π
π∫
• Ta có: dxx xx
3
384
4 3
1
sin .coscos
π
π∫ dx
xx
3
24 3
4
1 1.costan
π
π= ∫ .
Đặt t xtan= ⇒ ( )I t dt33
84
14 3 1
−= = −∫
Câu 56. 3
20
cos cos sin( )1 cosx x xI x dx
x
π + +=
+∫
• Ta có: x x x x xI x dx x x dx dx J Kx x
2
2 20 0 0
cos (1 cos ) sin .sin.cos .1 cos 1 cos
π π π + += = + = + + +
∫ ∫ ∫
+ Tính J x x dx0
.cos .π
= ∫ . Đặt u x du dxdv xdx v xcos sin
= =⇒ = = J 2⇒ = −
+ Tính x xK dxx2
0
.sin1 cos
π=
+∫ . Đặt x t dx dtπ= − ⇒ = −
t t t t x xK dt dt dxt t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin1 cos ( ) 1 cos 1 cos
π π ππ π π π
π
− − − −⇒ = = =
+ − + +∫ ∫ ∫
x x x x dx x dxK dx Kx x x2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .221 cos 1 cos 1 cos
π π ππ ππ+ −⇒ = = ⇒ =
+ + +∫ ∫ ∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt t xcos=
dtKt
1
212 1
π
−
⇒ =+
∫ , đặt t u dt u du2tan (1 tan )= ⇒ = +
u duK du uu
2 24 44
24
4 4
(1 tan ) .2 2 2 41 tan
π ππ
ππ π
π π π π−
− −
+⇒ = = = =
+∫ ∫
Vậy I2
24
π= −
Câu 57. 2
2
6
cosIsin 3 cos
π
π
=+∫
x dxx x
• Ta có: 2
2 2
6
sin cossin 3 cos
π
π
=+∫
x xI dxx x
. Đặt t x23 cos= +
⇒ ( )dtIt
152
23
1 ln( 15 4) ln( 3 2)24
= = + − +−
∫
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58. I x x dx2 12sin sin .
2
6
π
π= ⋅ +∫
• Đặt x t t3cos sin , 02 2
π = ≤ ≤
⇒ I = tdt
42
0
3 cos2
π
∫ = 3 12 4 2
π +
.
Câu 59. 2
2 20
3sin 4cos3sin 4cos
π
+=
+∫x xI dxx x
• 2 2 2
2 2 20 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos3 cos 3 cos 3 cos
π π π
+= = +
+ + +∫ ∫ ∫x x x xI dx dx dx
x x x
2 2
2 20 0
3sin 4cos3 cos 4 sin
π π
= ++ −∫ ∫
x xdx dxx x
+ Tính 2
1 20
3sin3 cos
π
=+∫
xI dxx
. Đặt cos sin= ⇒ = −t x dt xdx ⇒ 1
1 20
33
=+∫dtIt
Đặt 23 tan 3(1 tan )= ⇒ = +t u dt u du ⇒ 26
1 20
3 3(1 tan ) 33(1 tan ) 6
π
π+= =
+∫u duIu
+ Tính 2
2 20
4cos4 sin
π
=−∫
xI dxx
. Đặt 1 1sin cos= ⇒ =t x dt xdx1
12 12
10
4 ln 34
= =−∫dtI dt
t
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Vậy: 3 ln 3
6π
= +I
Câu 60. xI dxx x
4
2
6
tan
cos 1 cos
π
π=
+∫
• Ta có: x xI dx dxx xx
x
4 4
2 2226 6
tan tan1 cos tan 2cos 1
cos
π π
π π= =
++∫ ∫
Đặt u x du dxx2
1tancos
= ⇒ = ⇒ uI dxu
1
213
2=
+∫ . Đặt ut u dt du
u
22
22
= + ⇒ =+
.
I dt t3 3
77 33
7 3 73 .3 3
−⇒ = = = − =∫
Câu 61. x
I dxx x
2
4
sin4
2sin cos 3
π
π
π +
=−∫
• Ta có: ( )
x xI dxx x
2
2
4
1 sin cos2 sin cos 2
π
π
+= −
− +∫ . Đặt t x xsin cos= − ⇒ I dt
t
1
20
1 12 2
= −+
∫
Đặt t u2 tan= ⇒ uI duu
1arctan22
20
1 2(1 tan ) 1 1arctan22 22 tan 2
+= − = −
+∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 25
Dạng 4: Tích phân từng phần
Câu 62. x xI dxx
3
2
3
sincos
π
π−
= ∫ .
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
x dxI xd Jx x x
3 33
33 3
1 4 ,cos cos cos 3
π ππ
ππ π
π
−− −
= = − = −
∫ ∫ với dxJ
x
3
3
cos
π
π−
= ∫
Để tính J ta đặt t xsin .= Khi đó dx dt tJx tt
3 33 2 2
2 33
23 2
1 1 2 3ln lncos 2 1 2 31
π
π −− −
− −= = = − = −
+ +−∫ ∫
Vậy I 4 2 3ln .3 2 3π −
= −+
Câu 63. xxI e dxx
2
0
1 sin .1 cos
π
+= +
∫
• Ta có:
x xx x
x xx 2 2
1 2sin cos1 sin 12 2 tan1 cos 22cos 2cos
2 2
++= = +
+
⇒ x
xe dx xI e dxx
2 2
20 0tan
22cos2
π π
= +∫ ∫ = e 2π
Câu 64. ( )
x xI dxx
4
20
cos2
1 sin2
π
=+
∫
• Đặt u x du dx
xdv dx vxx 2
cos2 11 sin 2(1 sin 2 )
= = ⇒ = = − ++
⇒ I x dx dxx x
x
4 4
20 0
1 1 1 1 1 1 1. . .42 1 sin 2 2 1 sin2 16 2 20 cos4
π ππ
ππ
= − + = − + + + −
∫ ∫
( )x1 1 1 2 2. tan . 0 1416 2 4 16 2 2 4 162 0
ππ π π π
= − + − = − + + = −
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 26
TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 1: Đổi biến số
Câu 1. x
x
eI dxe
2
1=
+∫
• Đặt x x xt e e t e dx tdt2 2= ⇒ = ⇒ = .
tI dtt
32
1⇒ = =
+∫ t t t t C3 22 2 2 ln 13
− + − + + x x x x xe e e e e C2 2 2 ln 13
= − + − + +
Câu 2. x
xx x eI dxx e
2( )−
+=
+∫
• x
xx x eI dxx e
2( )−
+=
+∫ =
x x
xxe x e dx
xe.( 1)
1+
+∫ . Đặt xt x e. 1= + ⇒ x xI xe xe C1 ln 1= + − + + .
Câu 3. x
dxIe2 9
=+
∫
• Đặt xt e2 9= + ⇒ dt tI Ctt2
1 3ln6 39
−= = +
+−∫
x
x
e Ce
2
2
1 9 3ln6 9 3
+ −= +
+ +
Câu 4. x
x
x xI dxex e
2
2
2 1
ln(1 ) 2011
ln ( ) +
+ +=
+ ∫
• Ta có: x xI dxx x
2
2 2ln( 1) 2011
( 1) ln( 1) 1
+ + = + + +
∫ . Đặt t x2ln( 1) 1= + +
⇒ tI dtt
1 20102
+= ∫ t t C1 1005ln
2= + + = x x C2 21 1ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1)
2 2+ + + + + +
Câu 5. e x
xxeJ dx
x e x1
1( ln )
+=
+∫ •
e x eex
xd e x eJ e x
ee x 11
( ln ) 1ln ln lnln
+ += = + =
+∫
Câu 6. x x
x x xe eI dx
e e e
ln2 3 2
3 20
2 11
+ −=
+ − +∫
• x x x x x x
x x xe e e e e eI dx
e e e
ln2 3 2 3 2
3 20
3 2 ( 1)1
+ − − + − +=
+ − +∫ =
x x x
x x xe e e dx
e e e
ln2 3 2
3 20
3 2 11
+ −− + − +
∫
= x x xe e e x3 2 ln2 ln2ln( – 1)0 0
+ + − = ln11 – ln4 = 14ln4
Câu 7. ( )x
dxI
e
3ln2
230 2
=
+∫
• ( )
x
xx
e dxI
e e
3ln2 3
20 33 2
=
+∫ . Đặt
x x
t e dt e dx3 313
= ⇒ = ⇒ I 3 3 1ln4 2 6
= −
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 27
Câu 8. xI e dx
ln23
01= −∫
• Đặt xe t3 1− = ⇒ t dtdxt
2
33
1=
+ ⇒ I = dt
t
1
30
13 11
−
+ ∫ = dt
t
1
30
3 31
−+
∫ .
Tính dtIt
1
1 30
31
=+
∫ = t dtt t t
1
20
1 21 1
−+ + − +
∫ = ln23
π+
Vậy: I 3 ln 23
π= − −
Câu 9. ( )x x
x x x x
e e dxIe e e e
ln15 2
3ln2
24
1 5 3 1 15
−=
+ + − + −∫
• Đặt x xt e t e21 1= + ⇒ − = xe dx tdt2⇒ = .
( )t t dtI dt t t tt tt
4 42 4
2 33 3
(2 10 ) 3 72 2 3ln 2 7ln 22 24
−= = − − = − − − + − +−
∫ ∫
2 3ln 2 7ln 6 7ln 5= − − +
Câu 10. ln3 2
ln 2 1 2
x
x x
e dxIe e
=− + −
∫
• Đặt t = xe 2− ⇒ xe dx tdt2 2=
⇒ I = 2 t tdtt t
1 2
20
( 2)1
+
+ +∫ = 2 tt dt
t t
1
20
2 111
+− +
+ + ∫ = t dt
1
02 ( 1)−∫ + d t t
t t
1 2
20
( 1)21
+ +
+ +∫
= t t120( 2 )− + t t
1202 ln( 1)+ + = 2 ln3 1− .
Câu 11. x x
x x
e eI dxe e
ln3 3 2
0
2
4 3 1
−=
− +∫
• Đặt x x x x x xt e e t e e tdt e e dx3 2 2 3 2 3 24 3 4 3 2 (12 6 )= − ⇒ = − ⇒ = − x x tdte e dx3 2(2 )3
⇒ − =
tdtI dtt t
9 9
1 1
1 1 1(1 )3 1 3 1
⇒ = = −+ +∫ ∫ t t 9
11 8 ln 5( ln 1) .3 3
−= − + =
Câu 12. ∫ −=3
16ln
38ln
43 dxeI x
• Đặt: x x tt e e2 43 4
3+
= − ⇒ = tdtdxt22
4⇒ =
+
t dtI dt dtt t
2 3 2 3 2 32
2 22 2 2
2 2 84 4
⇒ = = −+ +
∫ ∫ ∫ ( ) I14 3 1 8= − − , với dtIt
2 3
1 22 4
=+
∫
Tính dtIt
2 3
1 22 4
=+
∫ . Đặt: t u u2 tan , ;2 2π π
= ∈ −
dt u du22(1 tan )⇒ = +
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 28
I du
3
1
4
1 12 2 3 4 24
π
π
π π π ⇒ = = − =
∫ . Vậy: I 4( 3 1)
3π
= − −
Câu 13. x
x
eI dxe
ln3
30 ( 1)=
+∫
• Đặt x x xx
tdtt e t e tdt e dx dxe
2 21 1 2= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = tdtIt
2
32
2 2 1⇒ = = −∫
Câu 14. x
x
eI dxe
ln5 2
ln2 1=
−∫
• Đặt x xx
tdt tt e t e dx I t d te
22 3
2 2
11
2 201 1 2 ( 1) 23 3
= − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + = + =
∫
Câu 15. xI e dxln2
01= −∫
• Đặt x x xxtd tdt e t e tdt e dx dx
e t2
22 21 1 2
1= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = =
+
tI dt dtt t
1 12
2 20 0
2 1 42 121 1
π −⇒ = = − =
+ + ∫ ∫
Câu 16. x x
x xI dx
2
1
2 24 4 2
−
−−
=+ −
∫
• Đặt x xt 2 2−= + ⇒ x x x x 24 4 2 (2 2 ) 4− −+ − = + − ⇒ 1 81ln4ln 2 25
=I
Câu 17. 1
0
69 3.6 2.4
=+ +∫
x
x x xdxI
• Ta có:
x
x x
dxI
1
20
32
3 33 22 2
=
+ +
∫ . Đăt x
t 32
=
. dtI
t t
32
21
1ln3 ln 2 3 2
=− + +
∫ln15 ln14ln3 ln 2
−=
−
Câu 18. e xI x x dx
x x2
1
ln 3 ln1 ln
= +
+ ∫
• e exI dx x xdx
x x2
1 1
ln 3 ln1 ln
= ++
∫ ∫ = 2(2 2)
3−
+ e32 1
3+
= e35 2 2 2
3− +
Câu 19. e x xI dx
x
3 2
1
ln 2 ln+= ∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 29
• Đặt t x22 ln= + ⇒ xdt dx
x2 ln
= ⇒ I tdt3
3
2
12
= ∫ ( )33 4 43 3 28
= −
Câu 20. e
e
dxIx x ex
2
ln .ln= ∫
• e e
e e
dx d xIx x x x x
2 2
(ln )ln (1 ln ) ln (1 ln )
= =+ +∫ ∫ =
e
ed x
x x
2
1 1 (ln )ln 1 ln
− +
∫ = 2ln2 – ln3
Câu 21. x
x xeI dx
e e
ln6 2
ln 4 6 5−=
+ −∫ • Đặt xt e= . I 2 9 ln3 4 ln 2= + −
Câu 22. e x
I dxx x
32
21
log
1 3ln=
+∫
• e e e
xx x xdxI dx dx
xx x x x x
3
3 22
32 2 21 1 1
lnlog ln 2 1 ln . ln.
ln 21 3ln 1 3ln 1 3ln
= = =
+ + +∫ ∫ ∫
Đặt dxx t x t x tdtx
2 2 21 11 3ln ln ( 1) ln .3 3
+ = ⇒ = − ⇒ = .
Suy ra I t t2
33 3
1
1 1 439 ln 2 27ln 2
= − =
.
Câu 23. e x x xI dx
x x1
( 2) ln(1 ln )
+ −=
+∫
• e e xdx dx
x x1 1
ln2(1 ln )
−+∫ ∫ =
e xe dxx x1
ln1 2(1 ln )
− −+∫
Tính J = e x dx
x x1
ln(1 ln )+∫ . Đặt t x1 ln= + ⇒ tJ dt
t
2
1
1 1 ln2−= = −∫ .
Vậy: I e 3 2 ln 2= − + .
Câu 24. e
e
x x x xI dxx x
3
2
2 22 ln ln 3(1 ln )
− +=
−∫
• e e
e e
I dx xdxx x
3 3
2 2
13 2 ln(1 ln )
= −−∫ ∫ e e3 23ln 2 4 2= − − + .
Câu 25. e x xI dx
x
2 2 2
21
ln ln 1− += ∫
• Đặt : dxt x dtx
ln= ⇒ = ⇒ t t t t
t t t t tI dt dt dt dt I Ie e e e
22 2 1 21 20 0 0 1
2 1 1 1 1− + − − −= = = − + = +∫ ∫ ∫ ∫
+ tt t t t
tdt dt dt dtI teee e e e
11 1 1 11 0 0 0 00
1− = − − = − − + − =
∫ ∫ ∫ ∫
+ t tt t t t
tdt dt dt dtI te teee e e e e
2 22 2 2 22 1 1 1 1 21 1
1 2− −= − = − + − = − = −∫ ∫ ∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 30
Vậy : eIe2
2( 1)−=
Câu 26. 5
2
ln( 1 1)1 1
− +=
− + −∫xI dx
x x
• Đặt ( )t xln 1 1= − + ⇒ dxdtx x
21 1
=− + −
⇒ I dtln3
2 2
ln22 ln 3 ln 2= = −∫ .
Câu 27. 3 3
1
ln 1 ln
=+∫
e xI dxx x
• Đặt dxt x x t tdtx
21 ln 1 ln 2= + ⇒ + = ⇒ = và x t3 2 3ln ( 1)= −
⇒ t t t tI dt = dt t t t dtt t t
2 2 22 3 6 4 25 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1( 3 3 )− − + −= = − + −∫ ∫ ∫
15 ln24
= −
Câu 28. e xI dx
x x1
3 2 ln1 2 ln−
=+
∫ • Đặt t x1 2 ln= + ⇒ e
I t dt2
1(2 )= −∫ =
3524 −
Câu 29. e x xI dx
x
3 2
1
ln 2 ln+= ∫ • Đặt t x22 ln= + ⇒ I 33 4 43 3 2
8 = −
Câu 30. 1
1( ln )
+=
+∫e x
xxeI dx
x e x • Đặt xt e xln= + ⇒
1ln +=
eeIe
.
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 31
Dạng 2: Tích phân từng phần
Câu 31. inxI e xdx2
s
0.sin2
π
= ∫
• inxI e x xdx2
s
02 .sin cos
π
= ∫ . Đặt x xu x du xdxdv e xdx v esin sin
sin coscos
= =⇒ = =
x x xI xe e xdx e e2
sin sin sin2 20 0
02sin .cos 2 2 2
ππ π
⇒ = − = − =∫
Câu 32. I x x x dx1
2
0ln( 1)= + +∫
• Đặt
xdu dxu x x x xdv xdx xv
2 22
2 1ln( 1) 1
2
+= = + + + +⇒ = =
x x xI x x dxx x
1 12 3 22
20 0
1 2ln( 1)2 2 1
+= + + −
+ +∫
x dxx dx dxx x x x
1 1 1
2 20 0 0
1 1 1 2 1 3ln3 (2 1)2 2 4 41 1
+= − − + −
+ + + +∫ ∫ ∫
3 3ln34 12
π= −
Câu 33. xI dxx
8
3
ln1
=+
∫
• Đặt u x dxdudx xdv
v xx
ln
2 11
== ⇒ = = ++
( ) xI x x dx Jx
88
33
12 1.ln 2 6 ln8 4 ln3 2+⇒ = + − = − −∫
+ Tính xJ dxx
8
3
1+= ∫ . Đặt t tt x J tdt dt dt
t tt t
3 3 32
2 22 2 2
1 11 .2 2 21 11 1
= + ⇒ = = = + − − +− −
∫ ∫ ∫
ttt
83
12 ln 2 ln3 ln 21
−= + = + − +
Từ đó I 20 ln 2 6 ln3 4= − − .
Câu 34. e
xx x xI e dxx
2
1
ln 1+ += ∫
• e e e x
x x eI xe dx xe dx dxx1 1 1
ln= + +∫ ∫ ∫ . + Tính e eex x x eI xe dx xe e dx e e111 1
( 1)= = − = −∫ ∫
+Tính e e ex xex x ee eI e xdx e x dx e dx
x x2 11 1 1ln ln= = − = −∫ ∫ ∫ .
Vậy: e xeI I I dx
x1 21
= + + ∫ = ee 1+ .
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 32
Câu 35.
e xI x dxx x
2
1
ln ln1 ln
= +
+ ∫
• Tính e xI dx
x x11
ln1 ln
=+
∫ . Đặt t x1 ln= + ⇒ I14 2 23 3
= − .
+ Tính e
I xdx22
1ln= ∫ . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I e2 2= − .
Vậy I e 2 2 23 3
= − − .
Câu 36. 2
3
2
1
ln( 1)xI dxx
+= ∫
• Đặt
xduu xxdxdv vx x
22
32
2ln( 1)
11
2
== + +⇒ = = −
. Do đó I = x dxx x x
22
2 21
2ln( 1)12 ( 1)
+− +
+∫
x dxx x
2
21
ln 2 ln 5 12 8 1
= − + −
+ ∫
dx d xx x
2 2 2
21 1
ln 2 ln 5 1 ( 1)2 8 2 1
+= − + −
+∫ ∫
x x2 2ln 2 ln 5 1ln | | ln | 1 |2 8 2 1
= − + − +
= 52 ln 2 ln5
8−
Câu 37. xI = dxx
2
21
ln( 1)+∫
• Đặt
dxu x du dxxdx I xdv x x xvx x
2
2 1
ln( 1) 1 321 ln( 1) 3ln 2 ln31 1 ( 1) 2
= + = +⇔ ⇒ = − + + = − = + = −
∫
Câu 38. xI x dxx
12
0
1ln1
+= −
∫
• Đặt du dxxu x
xxdv xdx v
2
2
21ln (1 )1
2
= + = −⇒ −
= =
⇒ xI x x dxx x
12
2 22
0
11 1 2ln 22 1 10
+ = − − −
∫
x dx dxx xx
1 122 2
20 0
ln3 ln3 1 ln3 1 1 21 ln8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 31
= + = + + = + + − +−
∫ ∫
Câu 39. I x x dxx
22
1
1.ln
= +
∫ • Đặt u xx
dv x dx2
1ln
= + =
⇒ I 10 13ln3 ln 23 6
= − +
Câu 40. I x x dx1 2 2.ln(1 )0
= +∫ • Đặt u xdv x dx
2
2ln(1 ) = +
=
⇒ I 1 4.ln23 9 6
π= + +
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 33
Câu 41. xI dxx
3
21
ln( 1)
=+
∫ • Đặt u x
dxdvx 2
ln
( 1)
= = +
⇒ I 1 3ln3 ln4 2
= − +
Câu 42. 2 2
1
ln ( ln ).1
+ +=
+∫e x x
xx e e xI dx
e
• Ta có: e e x
xeI x dx dx H K
e
22
1 1ln .
1= + = +
+∫ ∫
+ e
H x dx2
1ln .= ∫ . Đặt: u x
dv dx
2ln = = ⇒
eH e x dx e
12 ln . 2= − = −∫
+ e x
xeK dx
e
2
1 1=
+∫ . Đặt xt e 1= + ⇒
eee
ee
t eI dt e et e
1
21
1 1ln1
+
+
− +⇒ = = − +
+∫
Vậy: eeeI ee
1–2 ln1
+= +
+
Câu 43. 2 1
12
1( 1 )+
= + −∫x
xI x e dxx
• Ta có: 2 31 1
1 12 2
1+ + = + − = + ∫ ∫
x xx xI e dx x e dx H K
x
+ Tính H theo phương pháp từng phần I1 = 2 21 1 5
2
1 12 2
1 32
+ + = − − = − ∫
x xx xH xe x e dx e K
x
523 .
2I e⇒ =
Câu 44. 4
2
0
ln( 9 )= + −∫I x x dx
• Đặt ( )u x xdv dx
2ln 9 = + −=
⇒ ( ) xI x x x dxx
4 42
20 0ln 9 2
9= + − + =
+∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 34
TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ
Câu 1. x xI x e dxx
31 4
2
0 1
= + +
∫
• x xI x e dx dxx
31 1 4
2
0 0 1= +
+∫ ∫ .
+ Tính xI x e dx3
12
10
= ∫ . Đặt t x3= ⇒ t tI e dt e e1 1
1 00
1 1 1 13 3 3 3
= = = −∫ .
+ Tính xI dxx
1 4
20 1
=+
∫ . Đặt t x4= ⇒ tI dtt
1 4
2 20
24 43 41
π = = − +
+∫
Vậy: I e1 33
π= + −
Câu 2. x xI x e dxx
2 2
31
4 − = −
∫
• xI xe dx2
1= ∫ + x dx
x
2 2
21
4 −∫ .
+ Tính xI xe dx e2
21
1= =∫ + Tính xI dx
x
2 2
2 21
4 −= ∫ . Đặt x t2sin= , t 0;
2π
∈ .
⇒ tI dt t tt
222
2 26
6
cos ( cot )sin
ππ
ππ
= = − −∫ = 33π
−
Vậy: I e2 33π
= + − .
Câu 3. ( )xxI e x x dxx
12 2 2
20. 4 .
4= − −
−∫
• x xI x e dx dx I Ix
1 1 32
1 220 0 4= − = +
−∫ ∫
+ Tính x eI x e dx1 2
21
0
14+
= =∫
+ Tính xI dxx
1 3
2 20 4=
−∫ . Đặt t x24= − ⇒ I2
163 33
= − +
⇒ eI2 613 34 12
= + −
Câu 4. xxI e dxx
1 2
20
1( 1)
+=
+∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 35
• Đặt t x dx dt1= + ⇒ = t tt tI e dt e dt
tt t
2 221 1
2 21 1
2 2 2 21− − − += = + −
∫ ∫ = ee e
e
221 12
− + − + =
Câu 5. xx e dxI
x
23 3 1
20
.
1
+=
+∫
• Đặt t x dx tdt21= + ⇒ = ⇒ tI t e dt2
2
1( 1)= −∫ t tt e dt e J e e
22 2
1
2( )
1= − = − −∫
+ t t t t t t tJ t e dt t e te dt e e te e dt e e te e2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2 22 4 2 4 2( )
1 1 1
= = − = − − − = − − −
∫ ∫ ∫
Vậy: I e2=
Câu 6. x x xI dxx
2 3
2ln( 1)
1+ +
=+
∫
• Ta có: x x x x x x x xf x xx x x x
2 2 2
2 2 2 2ln( 1) ( 1) ln( 1)( )
1 1 1 1+ + − +
= + = + −+ + + +
⇒ F x f x dx x d x xdx d x2 2 21 1( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1)2 2
= = + + + − +∫ ∫ ∫ ∫
= x x x C2 2 2 21 1 1ln ( 1) ln( 1)4 2 2
+ + − + + .
Câu 7. ( )x x xI dx
x
4 2 3
20
ln 9 3
9
+ + −=
+∫
• ( ) ( )x x x x x xI dx dx dx I I
x x x
4 4 42 3 2 3
1 22 2 20 0 0
ln 9 3 ln 9 3 39 9 9
+ + − + += = − = −
+ + +∫ ∫ ∫
+ Tính ( )x xI dx
x
4 2
1 20
ln 9
9
+ +=
+∫ . Đặt ( )x x u2ln 9+ + = ⇒ du dx
x2
1
9=
+
⇒ uI uduln5 2 2 2
1ln3
ln 5 ln 3ln 5ln32 2
−= = =∫
+ Tính xI dxx
4 3
2 20 9=
+∫ . Đặt x v2 9+ = ⇒ xdv dx x v
x
2 22
, 99
= = −+
⇒ uI u du u5 3
22
3
445( 9) ( 9 )33 3
= − = − =∫
Vậy ( )x x xI dx I I
x
4 2 3 2 2
1 220
ln 9 3 ln 5 ln 33 4429
+ + − −= = − = −
+∫ .
Câu 8. e x x xI dx
x x
3 2
1
( 1) ln 2 12 ln
+ + +=
+∫
• e e xI x dx dx
x x2
1 1
1 ln2 ln
+= +
+∫ ∫ . + ee x ex dx
3 32
11
13 3
−= =∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 36
+
e e ex d x xdx x xx x x x 1
1 1
1 ln (2 ln ) ln 2 ln2 ln 2 ln
+ += = +
+ +∫ ∫ e 2ln2+
= . Vậy: e eI3 1 2ln3 2− +
= + .
Câu 9. xxI e dxx
2
0
1 sin .1 cos
π
+=
+∫
• x
xe dx xI e dxx x
2 2
20 0
1 sin2 1 coscos
2
π π
= ++∫ ∫
+ Tính x x
x xxI e dx e dx
xx
2 2
120 0
2sin .cossin 2 21 cos 2 cos
2
π π
= =+∫ ∫ xx e dx
2
0tan
2
π
= ∫
+ Tính xe dxI
x
2
220
12 cos
2
π
= ∫ . Đặt
xxu e
du e dxdxdv xvx2 tan
2cos 22
= = ⇒ ==
⇒ xxI e e dx2
22
0tan
2
ππ
= − ∫
Do đó: I I I e 21 2
π
= + = .
Câu 10. x xI dxx
4
0
tan .ln(cos )cos
π
= ∫
• Đặt t xcos= ⇒ dt xdxsin= − ⇒ t tI dt dtt t
112
2 2112
ln ln= − =∫ ∫ .
Đặt u t
dv dtt2
ln1
= =
⇒ du dt
t
vt
1
1
=
= −
⇒ I 22 1 ln 22
= − −
Câu 11. x
xI dxe x
20
cos(1 sin2 )
π
=+
∫
• x
xI dxe x x
20 2
cos(sin cos )
π
=+
∫ . Đặt x x
x x x dxu due e
dx xdv vx xx x 2
cos (sin cos )
sinsin cos(sin cos )
− += = ⇒ = =
++
x x xx x xdx xdxI
x xe e e
2 22
0 0 0
cos sin sin sin.sin cos
π ππ
⇒ = + =+ ∫ ∫
Đặt x x
u x du xdxdxdv ve e
1 1
1 1
sin cos1
= = ⇒ − = =
⇒ x x x
xdx xdxI xe e e
e
2 22
0 0 02
1 cos 1 cossin .
π ππ
π− −
= + = +∫ ∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 37
Đặt
x x
u x du xdxdxdv ve e
2 2
1 1
cos sin1
= = − ⇒ − = =
x x
xdxI x I I ee e
e e
22 2
0 02 2
1 1 sin 1cos . 1 2 1
ππ π
π π
−− − −
⇒ = + − = + − ⇒ = − +∫ eI2 1
2 2
π−
−⇒ = +
Câu 12. I x x dx2
0sin ln(1 sin )
π
= +∫
• Đặt xu x du dxxdv xdx v x
1 cosln(1 sin )1 sinsin cos
+ = + =⇒ += = −
⇒ x xI x x x dx dx x dxx x
22 2 2
0 0 0
cos 1 sincos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 12 1 sin 1 sin 20
π π ππ
π−= − + + = + = − = −
+ +∫ ∫ ∫
Câu 13. x
x xI dx6 64
4
sin cos6 1
π
π−
+=
+∫
• Đặt t x= − ⇒ dt dx= − ⇒ t xt x
t t x xI dt dx6 6 6 64 4
4 4
sin cos sin cos6 66 1 6 1
π π
π π− −
+ += =
+ +∫ ∫
⇒ xx
x xI dx x x dx6 64 4
6 6
4 4
sin cos2 (6 1) (sin cos )6 1
π π
π π− −
+= + = +
+∫ ∫ x dx
4
4
5 3 cos48 8
π
π−
= +
∫
516π
=
I 532π
⇒ = .
Câu 14. x
xdxI46
6
sin2 1
π
π−
−
=+
∫
• Ta có: x x x
x x xxdx xdx xdxI I I
04 4 46 6
1 20
6 6
2 sin 2 sin 2 sin2 1 2 1 2 1
π π
π π− −
= = + = ++ + +
∫ ∫ ∫
+ Tính x
xxdxI
0 4
1
6
2 sin2 1π
−
=+
∫ . Đặt x t= −t
t t xt t xI dt dt dx
0 0 04 4 4
1
6 6 6
2 sin ( ) sin sin2 1 2 1 2 1π π π
−
−−
⇒ = − = =+ + +
∫ ∫ ∫
x
x xxdx xdxI xdx x dx
4 46 6 6 64 2
0 0 0 0
sin 2 sin 1sin (1 cos2 )42 1 2 1
π π π π
⇒ = + = = −+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 38
x x dx
6
0
1 (3 4cos2 cos4 )8
π
= − +∫4 7 3
64π −
=
Câu 15. e xI dx
x x
3 3
1
ln1 ln
=+
∫
• Đặt dxt x x t tdtx
21 ln 1 ln 2= + ⇒ + = ⇒ = và x t3 2 3ln ( 1)= −
⇒ t t t tI dt = dt t t t dtt t t
2 2 22 3 6 4 25 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1( 3 3 )− − + −= = − + −∫ ∫ ∫
15 ln24
= −
Câu 16. 4
20
sincos
π
= ∫x xI dx
x
• Đặt u x du dx
xdv dx vxx2
sin 1coscos
= = ⇒ = =
⇒ x dx dxIx x x
4 44
0 0 0
2cos cos 4 cos
π πππ
= − = −∫ ∫
+ dx xdxIx x
4 4
1 20 0
coscos 1 sin
π π
= =−
∫ ∫ . Đặt t xsin= ⇒ dtIt
22
1 20
1 2 2ln2 2 21
+= =
−−∫
Vậy: 2 1 2 2ln4 2 2 2
π += −
−
Câu 17. x xI dxx
2
3
4
cossin
π
π= ∫
• Ta có xx x2 3
1 2 cossin sin
′ = −
. Đặt
u xxdv dxx3
cossin
= =
⇒ du dx
vx2
12sin
= = −
⇒ I = xx
22
4
1 1.2 sin
π
π− + dx x
x
2 2
24
4
1 1 1( ) cot2 2 2 2 2sin
π π
ππ
π π= − − −∫ = 1
2.
Câu 18. x xI dxx
4
30
sincos
π
= ∫
• Đặt: u x du dx
xdv dx vx x3 2
sin 1cos 2.cos
= = ⇒ = =
x dxI xx x
44 42 2 00 0
1 1 1tan2 4 2 4 22cos cos
ππ ππ π
⇒ = − = − = −∫
Câu 19. e
I x dx1
cos(ln )π
= ∫
• Đặt t tt x x e dx e dtln= ⇒ = ⇒ =
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 39
⇒ tI e tdt
0cos
π= ∫ = e1 ( 1)
2π− + (dùng pp tích phân từng phần).
Câu 20. xI e x xdx22
sin 3
0.sin .cos
π
= ∫
• Đặt t x2sin= ⇒ tI e t dt e1
0
1 1(1 )2 2
= − =∫ (dùng tích phân từng phần)
Câu 21. I x dx4
0ln(1 tan )
π
= +∫
• Đặt t x4π
= − ⇒ I t dt4
0ln 1 tan
4
π
π = + − ∫ = t dt
t
4
0
1 tanln 11 tan
π
−+ + ∫ = dt
t
4
0
2ln1 tan
π
+∫
= dt t dt4 4
0 0ln 2 ln(1 tan )
π π
− +∫ ∫ = t I40.ln 2π
−
⇒ I2 ln 24π
= ⇒ I ln 28π
= .
Câu 22. 4 3
21
ln(5 ) . 5− + −= ∫
x x xI dxx
• Ta có: 4 4
21 1
ln(5 ) 5 .−= + − = +∫ ∫
xI dx x x dx K Hx
.
+ xK dxx
4
21
ln(5 )−= ∫ . Đặt
u xdxdvx2
ln(5 ) = − =
⇒ K 3 ln 45
=
+ H= x x dx4
15 .−∫ . Đặt t x5= − ⇒ H 164
15=
Vậy: I 3 164ln 45 15
= +
Câu 23. dxxxxI ∫ +
+=
2
0
2
2sin1)sin(
π
• Ta có: x xI dx dx H Kx x
22 2
0 0
sin1 sin2 1 sin 2
π π
= + = ++ +∫ ∫
+ x xH dx dxx
x
2 2
20 01 sin 2 2cos4
π π
π= =
+ −
∫ ∫ . Đặt:
u xdu dxdxdvv x
x21 tan
2cos 2 44
ππ
= = = ⇒ = − −
xH x x22
0 0
1tan ln cos2 4 2 4 4
ππ
π π π ⇒ = − + − =
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 40
+ xK dx
x
22
0
sin1 sin2
π
=+∫ . Đặt t x
2π
= − ⇒ xK dxx
22
0
cos1 sin2
π
=+∫
dxK xx
2 2
20 0
12 tan 12 42 cos
4
π π
ππ
⇒ = = − = −
∫ K 12
⇒ =
Vậy, I H K 14 2π
= + = + .
Câu 24. x x x xI dx
x
3
20
(cos cos sin )1 cos
π + +=
+∫
• Ta có: x x x x xI x dx x x dx dx J Kx x
2
2 20 0 0
cos (1 cos ) sin .sin.cos .1 cos 1 cos
π π π + += = + = + + +
∫ ∫ ∫
+ Tính J x x dx0
.cos .π
= ∫ . Đặt u xdv xdxcos
= =
⇒ J x x x dx x0 0
0( .sin ) sin . 0 cos 2
ππ π= − = + = −∫
+ Tính x xK dxx2
0
.sin1 cos
π=
+∫ . Đặt x t dx dtπ= − ⇒ = −
t t t t x xK dt dt dxt t x2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin1 cos ( ) 1 cos 1 cos
π π ππ π π π
π
− − − −⇒ = = =
+ − + +∫ ∫ ∫
x x x x dx x dxK dx Kx x x2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .221 cos 1 cos 1 cos
π π ππ ππ+ −⇒ = = ⇒ =
+ + +∫ ∫ ∫
Đặt t x dt x dxcos sin .= ⇒ = − dtKt
1
212 1
π
−
⇒ =+
∫ , đặt t u dt u du2tan (1 tan )= ⇒ = +
u duK du uu
2 24 44
24
4 4
(1 tan ) .2 2 2 41 tan
π ππ
ππ π
π π π π−
− −
+⇒ = = = =
+∫ ∫
Vậy I2
24
π= −
Câu 25. x x x xI dxx x
23
23
( sin )sin(1 sin )sin
π
π+ +
=+
∫
• Ta có: x x x x dxI dx dx H Kxx x x
2 2 223 3 3
2 23 3 3
(1 sin ) sin1 sin(1 sin )sin sin
π π π
π π π+ +
= = + = +++
∫ ∫ ∫
+ xH dxx
23
23
sin
π
π= ∫ . Đặt u x
du dxdxdv v xx2 cot
sin
= =⇒ = = −
⇒ H3
π=
+ dx dx dxKx xx
2 2 23 3 3
23 3 3
3 21 sin 1 cos 2cos
2 4 2
π π π
π π ππ π= = = = −
+ + − −
∫ ∫ ∫
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 41
Vậy I 3 23
π= + −
Câu 26. I x x x dx0
22(2 ) ln(4 ) = − + + ∫
• Ta có: I x x dx2
0(2 )= −∫ + x dx
22
0ln(4 )+∫ = I I1 2+
+ I x x dx x dx2 2
21
0 0(2 ) 1 ( 1)
2π
= − = − − =∫ ∫ (sử dụng đổi biến: x t1 sin= + )
+ xI x dx x x dxx
2 2 222 22 0 2
0 0ln(4 ) ln(4 ) 2
4= + = + −
+∫ ∫ (sử dụng tích phân từng phần)
6 ln 2 4π= + − (đổi biến x t2 tan= )
Vậy: I I I1 23 4 6 ln22π
= + = − +
Câu 27. x xI dxx
23
0sin
1 cos2
π+
=+∫
• Ta có: x x x xI dx dx dx H Kx x x
2 23 3 3
0 0 2 0 2sin sin
1 cos2 2cos 2cos
π π π+
= = + = ++∫ ∫ ∫
+ x xH dx dxx x
3 30 2 0 2
122cos cos
π π
= =∫ ∫ . Đặt u x
du dxdxdv v xx2 tan
cos
= =⇒ = =
H x x xdx x3 3300 0
1 1 1tan tan ln cos ln 22 2 22 3 2 3
π ππ π π ⇒ = − = + = − ∫
+ xK dx xdxx
223 3
0 2 0sin 1 tan
22cos
π π
= =∫ ∫ [ ]x x 30
1 1tan 32 2 3
π π = − = −
Vậy: ( )
I H K 1 1 3 1 1ln 2 3 ( 3 ln 2)2 2 3 6 22 3
π π π −= + = − + − = + −
Câu 28. 8 ln
13= ∫
+xI dx
x
• Đặt u x dxdudx xdv
v xx
ln
2 11
== ⇒ = = ++
xI x x dxx
88
3 3
12 1 ln 2 +⇒ = + − ∫
+ Tính xJ dxx
8
3
1+= ∫ . Đặt t x 1= + ⇒ t dtJ dt
t t
3 32
2 22 2
2 12 1 2 ln3 ln21 1
= = + = + −
− − ∫ ∫
I 6 ln8 4 ln3 2(2 ln3 ln 2) 20 ln 2 6 ln3 4⇒ = − − + − = − −
Câu 29. dxxx
xI ∫+
=2
13
2
ln1
• Ta có: I xdxxx
2
31
1 1 ln = +
∫ . Đặt
u x
dv dxxx3
ln1 1( )
= = +
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 42
⇒ I x x x dx
xx x
224 51
1
1 1 1ln ln ln4 4
− −= + − +
∫ = 21 63 1ln2 ln 2
64 4 2− + +
Câu 30. I x x dx3
01sin 1.= + +∫
• Đặt t x 1= + ⇒ I t t tdt t tdt x xdx2 2 2
2 2
1 1 1.sin .2 2 sin 2 sin= = =∫ ∫ ∫
Đặt du xdxu xv xdv xdx
2 42cossin
== ⇒ = −= ⇒ I x x x xdx
2221 1
2 cos 4 cos= − + ∫
Đặt u x du dxdv xdx v x
4 4cos sin
= =⇒ = = . Từ đó suy ra kết quả.
Câu 31. e
xx x xI e dxx
2
1
ln 1+ += ∫
• Ta có: e e e x
x x eI xe dx e xdx dx H K Jx1 1 1
ln= + + = + +∫ ∫ ∫
+ e e
x x e x eH xe dx xe e dx e e11 1
( 1)= = − = −∫ ∫
+ e e ex xex x e ee eK e xdx e x dx e dx e J
x x11 1 1ln ln= = − = − = −∫ ∫ ∫
Vậy: e e e eI H K J e e e J J e1 1+ += + + = − + − + = .
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 43
TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x4( ) ( ) cos+ − = với mọi x∈R.
Tính: I f x dx2
2
( )
π
π−
= ∫ .
• Đặt x = –t ⇒ f x dx f t dt f t dt f x dx2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
π π π π
π π π π
−
−− −
= − − = − = −∫ ∫ ∫ ∫
⇒ f x dx f x f x dx xdx2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
π π π
π π π− −−
= + − = ∫ ∫ ∫ ⇒ I 316π
=
Chú ý: x x x4 3 1 1cos cos2 cos48 2 8
= + + .
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ − = + , với mọi x∈R.
Tính: I f x dx
32
32
( )
π
π−
= ∫ .
• Ta có : I f x dx f x dx f x dx3 302 2
03 32 2
( ) ( ) ( )
π π
π π− −
= = +∫ ∫ ∫ (1)
+ Tính : I f x dx0
1
32
( )π
−
= ∫ . Đặt x t dx dt= − ⇒ = − ⇒ I f t dt f x dx3 3
2 2
10 0
( ) ( )
π π
= − = −∫ ∫
Thay vào (1) ta được: ( )I f x f x dx x x dx3 3 3
2 2 2
0 0 0( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos
π π π
= − + = + = ∫ ∫ ∫
xdx xdx3
2 2
02
2 cos cos
π π
π
= −
∫ ∫ x x20
322 sin sin 6
2
π π
π
= − =
Câu 3. xI dxx x
4
2
4
sin
1
π
π−
=+ +
∫
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 44
• I x xdx x xdx I I
4 42
1 2
4 4
1 sin sin
π π
π π− −
= + − = −∫ ∫
+ Tính I x xdx4
21
4
1 sin
π
π−
= +∫ . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0= .
+ Tính I x xdx4
2
4
sin
π
π−
= ∫ . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I22 2
4π= − +
Suy ra: I 2 24
π= − .
Câu 4. ( )( )
5
2
3 2 11 1
x
x
e x xI dx
e x x− + −
=− + −∫
• ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
5 5 5 5
2 2 2 2
3 2 1 1 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1
− + − − + − + − −= = = +
− + − − + − − + −∫ ∫ ∫ ∫x x x x
x x x
e x x e x x e x e xI dx dx dx dx
e x x e x x e x x
( ) ( )5 5
2 2
5 2 1 2 13
2 1( 1 1) 1( 1 1)− −
= + = +− − + − − +∫ ∫
x x
x x
e x e xx dx dx
x e x x e x
Đặt ( )2 11 1
2 1−
= − + ⇒ =−
xx e x
t e x dt dxx
5
2
52 1 5
221
2 12 2 13 3 2ln 3 2ln11
+
+
+ +⇒ = + ⇒ = + = +
++∫e
e
e eI dt I tt ee
Câu 5. xI dxx x x
24
20 ( sin cos )
π
=+
∫ .
• x x xI dxx x x x
4
20
cos.cos ( sin cos )
π
=+
∫ . Đặt
xux
x xdv dxx x x 2
coscos
( sin cos )
=
=
+
⇒
x x xdu dxx
vx x x
2cos sin
cos1
sin cos
+=
− = +
⇒ x dxI dxx x x x x
442
0 0cos ( sin cos ) cos
ππ
= − ++ ∫ = 4
4ππ
−+
.
Related Documents
