Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970 ________________________________________________________________________________ 1 CAÊN BAÄC HAI 1. A A 2 2. B A AB . (A0, B0 ) 3. B A B A (A0, B>0) 4. B A B A 2 (B0) 5. B A B A 2 (A0, B0) 6. B A B A 2 (A<0, B0) 7. B B A B A (B>0) 8. AB B B A 1 (AB0, B≠ 0) 9) 2 ) ( B A B A C B A C (A0, A≠ B 2 ) 10) B A B A C B A C ( (A0, B0, A≠ B) 11)0 A < B B A BAÛY HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC ÑAÙNG NHÔÙ 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B 2 2 A B A B A B 3 3 2 2 3 3 3 A B A AB AB B 3 3 2 2 3 3 3 A B A AB AB B 3 3 3 2 2 ( )( ) 3 ( ) A B A B A AB B A B AB A B 3 3 2 2 A B A B A AB B 2 2 2 2 A B A B AB NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT Ax B A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát : A B x . A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm. A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm.( x R ) Ax B A > 0 : A B x 0 B A x A A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm. ( ) x R NHÔÙ 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT HAI AÅN SOÁ 1/. Daïng : / / / c y b x a c by ax 2/. Caùch giaûi : b a ab b a b a D / / / / ; b c cb b c b c D x / / / / ; c a ac c a c a D y / / / / D 0 : heä coù nghieäm duy nhaát D D y y D D x x
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
7/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb 8/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb 9/. ( ) sin . cos .sin a b a cosb a sinb 10/. ( ) sin . .sin a b a cosb cosa sinb
11/. ( )1 tan .tana tanbtan a b
a tanb
12/. ( )1 .tana tanbtan a b
tana tanb
13/. cot . 1( ) a cotbcot a bcota cotb
14/. cot 1( ) acotbcot a b
cota cotb
C. COÂNG THÖÙC NHAÂN: I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
15/. 2 2sin .sin a a cosa 16/. 2 2 2 22 2 1 1 2cos a cos a sin a cos a sin a
17/. 2
221
tanatan atan a
II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)
18/. CosaaCosaCos 343 3 19/. aSinSinaaSin 3433 20/. aTan
a, b, c : caïnh tam giaùc. A, B, C: goùc tam giaùc. ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a. ma: Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A. R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.
d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán: 2121 xxaa xx
3/. ÑOÀ THÒ : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 4.COÂNG THÖÙC:
.1) . ; 2) ; 3)( ) ; 4)( ) . ; 5)a a aa a a a a a ab a ba b b
6) . . ;7)n
n n n nn
a aa b a bbb
. .8) ;m n n k nm m k mn a a a a .
,9) ;10)
,n n n m n m
aa a a
a
11) 0 1a 1na na
12) (**)( )nnm
n mna a a b b a
5.PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x
6.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: ( ) ( )1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x ( ) ( )0 1 : ( ) ( )f x g xa a a f x g x
NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT 1/. Ñònh nghóa :
a Với số 0,10 ba . baba log . b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a 1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a 1)
2/. TÍNH CHAÁT VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN VEÀ logarit :
1) log 1 0 ; log 1a a a 2) cbcb aaa loglog).(log 3) cbcb
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c , c (a, b): f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)
NHÔÙ 21 : BAÛNG TÍCH PHAÂN 1/. COÂNG THÖÙC NewTon _ Leibnitz :
b
a
ba aFbFxFdxxf )()()()( (vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân ,a b )
2/. TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :
b
a
b
aa vduvu budv ].[ vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]
3/. ÑOÅI CÔ SOÁ:
dtttfdxxfb
a
)(.)()( '
vôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , t a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]
(a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau: '’ ’ ( , , ', ' )'
a aa bi a b i a b a b Rb b
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b )R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ; )u a b
trong mp(Oxy) (mp phức)
3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:
’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i ’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi u biểu diễn z, 'u biểu diễn z' thì 'u u biểu diễn z + z’ và 'u u biểu diễn z – z’.
4. NHÂN HAI SỐ PHỨC : ' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i ( ) ( )k a bi ka kbi k R
5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là z a bi
w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0. w 0 Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.
Hai căn bậc hai của a > 0 là a
Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i 9. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ).
2 4B AC
0 : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2Bz
A
, ( là 1 căn bậc hai của )
0 : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2Bz zA
Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là một nghiệm của (*). 10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: (cos sin )z r i (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z 0)
2 2
cos
sin
r a barbr
là một acgumen của z, ( , )Ox OM
1 cos sin ( )z z i R 11. NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:
Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i :
. ' '. cos( ') sin( ')z z rr i cos( ') sin( ')' '
z r iz r
12. CÔNG THỨC Moa–vrơ:
(cos sin ) (cos sin )n nr i r n i n , ( *n N )
cos sin cos sinn
i n i n 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức (cos sin )z r i (r > 0) có hai căn bậc hai là:
cos sin2 2
cos sin cos sin2 2 2 2
r i
vaø r i r i
Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i (r > 0) có n căn bậc n là:
2 2cos sin , 0,1,..., 1n k kr i k nn n
NHÔÙ 24 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :
NHÔÙ 26: ÑÖÔØNG TROØN 1/. Ñònh nghóa : M (c) OM = R 2/. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R :
Daïng 1 : 2 2 2( ) ( )x a y b R Daïng 2 : 2 2 2 2 0x y ax by c ,(ÑK 2 2 0a b c )
Vôùi Taâm I(a,b) Baùn kính 2 2 2 0R a b c
3.Caùch laäp phöông trình ñöôøng troøn caùc daïng cô baûn: Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó
phương trình đường tròn (C) là: x a y b R2 2 2( ) ( ) Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . Bán kính R = d I( , ) .
Dạng 3: (C) có đường kính AB. Tâm I là trung điểm của AB. Bán kính R = AB2
.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn: I dd I IA( , )
.
– Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.
– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d Id I IA
1 2
1
( , ) ( , ) (1)( , ) (2)
– Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d II d
1 2( , ) ( , )
.
– Bán kính R = d I 1( , ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x y ax by c2 2 2 2 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA IBIA IC
.
– Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d I AB( , ) .
4. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0 và đường tròn (C):
x y ax by c2 2 2 2 0 , ta có thể thực hiện như sau:. Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d.
+ d I d R( , ) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d I d R( , ) d tiếp xúc với (C).(Cách tìm tọa độ tiếp xúc:Viết phương trình đường
thẳng qua I và vuông góc với d. M d . + d I d R( , ) d và (C) không có điểm chung.
Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình: Ax By Cx y ax by c2 2
02 2 0
(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm d và (C) không có điểm chung.
5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C1): x y a x b y c2 21 1 12 2 0 , (C2): x y a x b y c2 2
2 2 22 2 0 . ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2.
+ R R I I R R1 2 1 2 1 2 (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.
+ I I R R1 2 1 2 (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).
+ I I R R1 2 1 2 (C1) tiếp xúc trong với (C2).
+ I I R R1 2 1 2 (C1) và (C2) ở ngoài nhau.
+ I I R R1 2 1 2 (C1) và (C2) ở trong nhau.
Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:
x y a x b y cx y a x b y c
2 21 1 1
2 22 2 2
2 2 02 2 0
(*)
+ Hệ (*) có hai nghiệm (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) có một nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung.
6: Tiếp tuyến của đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng . tiếp xúc với (C) d I R( , )
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0 0 0( ; ) (C).
– đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTPT IM0
.
Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của có phương cho trước (Dạng Ax + By + m = 0,(A,B) đã biết). – Dựa vào điều kiện: d I R( , ) , ta tìm được m. Từ đó suy ra phương trình của .
Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A AA x y( ; ) ở ngoài đường tròn (C). – Viết phương trình của đi qua A (Dạng: A(x – xA) + B(y – yA) = 0). – Dựa vào điều kiện: d I R( , ) , ta tìm được p trình bậc hai theo A,B. Từ đó suy ra phương trình
của .
NHÔÙ 27: ELIP
PT chính taéc
Lyù thuyeát
2 2
2 2
2 2
1
( )
x ya ba b
2 2
2 2
2 2
1
( )
x ya ba b
Truïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2bTruïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Lieân heä a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2
c) Ứng dụng của tích có hướng: Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,
và c
đồng phẳng 0a b c[ , ].
Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,
Diện tích tam giác ABC: 12ABCS AB AC,
Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '
Thể tích tứ diện ABCD: 16ABCDV AB AC AD[ , ].
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
00
0
a b a ba vaø b cuøng phöông a ba b c ñoàng phaúng a b c
.,
, , , .
5. A, B, C thẳng hàng AB AC,
cùng phương AB k AC
0AB AC,
ABCD là hình bình hành AB DC
Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC.
Ta có: ABEB ECAC
.
, ABFB FCAC
.
A, B, C, D không đồng phẳng AB AC AD, ,
không đồng phẳng 0AB AC AD, .
NHÔÙ 31: MAËT CAÀU
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : * Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi . * Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu . * Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu . 2. Phương trình của mặt cầu :
- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :
2 2 2 2 2 2 2 1IM R x a y b z c R x a y b z c R - Nếu khai triển (1) ta có :
2 2 2 2 2 2 22ax 2 2 z 0 0 2x y z by c d a b c R d - Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2 0 *R a b c d CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐƠN GIẢN
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R. Ta thay tọa độ tâm và bán kính vào mặt cầu:
(S): 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( ) Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 2 2 2
A B A B A BI I I
x x y y z zx y z; ;
.
– Bán kính R = IA = 2
AB.
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với 2 2 2 0a b c d thì
(S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2a b c d .
NHÔÙ 32: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG :
1.Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Vectơ 0n
là VTPT của () nếu giá của n vuông góc với (). Hai vectơ a b,
không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (). Chú ý: Nếu n là một VTPT của () thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ().
Nếu a b,
là một cặp VTCP của () thì n a b, là một VTPT của ().
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 2 20 0Ax By Cz D vôùi A B C
Nếu () có phương trình 0Ax By Cz D thì n A B C( ; ; ) là một VTPT của ().
Phương trình mặt phẳng đi qua 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có một VTPT n A B C( ; ; ) là:
0 0 0 0A x x B y y C z z( ) ( ) ( ) 3. Các trường hợp riêng
phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng.
4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1x y za b c
() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
0 0 00 2 2 2
Ax By Cz Dd M
A B C,( )
Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó. Dạng 1: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z có VTPT n A;B;C
:
(): 0 0 0 0A x x B y y C z z
Dạng 2: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z có cặp VTCP a b, :
Khi đó một VTPT của () là n a b, .
Dạng 3: () đi qua điểm 0 0 0M x ; y ; z và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:
(): 0 0 0 0A x x B y y C z z Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là: n AB AC,
Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .
– Một VTPT của () là: n AM u,
Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ().
Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b,
của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là: n a b, .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M (). Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là: n a b, .
– Lấy một điểm M thuộc d1 M (). Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d1, d2.
Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Tính chất mặt phẳng () D = 0 0Ax By Cz () đi qua gốc toạ độ O A = 0 0By Cz D () // Ox hoặc () Ox B = 0 0Ax Cz D () // Oy hoặc () OyC = 0 0Ax By D () // Oz hoặc () Oz A = B = 0 0Cz D () // (Oxy) hoặc () (Oxy)A = C = 0 0By D () // (Oxz) hoặc () (Oxz) B = C = 0 0Ax D () // (Oyz) hoặc () (Oyz)
Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (): – Xác định VTCP u của (d) và VTPT n
của ().
– Một VTPT của () là: n u n, .
– Lấy một điểm M thuộc d M (). Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():
– Xác định các VTPT n n,
của () và ().
– Một VTPT của () là: n u n, .
Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: 0Ax By Cz+D 2 2 2 0A B C .
– Lấy 2 điểm A, B (d) A, B () (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách d M k( ,( )) , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của () là: n IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG
1.Phương trình ttham số của đường thẳng : 0 1
0 2
0 3
x x a ty y a t (t R)z z a t
2.Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0
1 2 3
x x y y z za a a
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và 1 2 3a (a ;a ;a )
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI 1/. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG :
Cho 2 ñöôøng thaúng: d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )u u u u
'd qua ' ' '0 0 0( , , )N x y z coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )v v v v
Neáu: . 0u v
:
Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/,khoâng thoûa thì /d d . Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/,thoûa thì /d d
Các dạng toán thường gặp: DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP PHƯƠNG HƯỚNG GIÀI
1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay không thẳng hàng
Lập 2 véc tơ ,AB AC
Nếu hai vecto trên cùng phương thì 3 điểm thẳng hàng Nếu hai vecto trên không cùng phương thì 3 điểm trên không thẳng hàng hay lập thành 1 tam giác
2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xácGọi D(x; y; z) ABCD là hbh AD BC
3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xácDùng vecto bằng nhau để tìm
4 Tìm C Ox để ABC là tam giác cân tại C Gọi ;0;0C x Ox ABCcân tại C CA= CB
5 Tìm C Oxy để ABC đều. Gọi ( ; ;0)C x y Oxy
CA CBCA AB
6 Tìm C Ox để ABC là tam giác vuông tại C Gọi ;0;0C x Ox
ABC vuông tại C . 0CA CB
7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của ABC Gọi A’(x;y;z)
Giải hệ:/
/
AA BC
BA BC
8 Tìm trực tâm H của ABC Viết ptmp (ABC) Gọi H(x;y;z)
Giải hệ
H ABC
AH BC
BH AC
9 Tìm M trên trục Ox cách đều A và BTìm M trên trục Oy cách đều A và B Tìm M trên trục Oz cách đều A và B
Gọi M(x,0,0) giải MA = MBGọi M(0,y,0) giải MA = MB Gọi M(0,0,z) giải MA = MB
10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, CTìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C
Gọi ; ;0 0C x y xy Giải hệ MA=MB=MC
Gọi ;0; 0C x z xz Giải hệ MA = MB = MC
Gọi 0; ;C y z Oyz Giải hệ MA=MB=MC 11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C
Gọi M(x;y;z) Giải hệ
M PMA MBMA MC
Phương trình mặt phẳng các dạng toán thường gặp
Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) - Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d)
- Từ (Q) VTPT n
Q và tính [ u
d, n
Q] - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n
=[u
d, n
Q].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h - Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d) - Vì (d) nằm trong (P) u
d. n
P=0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900 - Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d) - Vì d (P) u
d. n
P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 - Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d) - Vì d (P) u
d. n
P=0 (1) - Tính sin ((P),( )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max AK = AH KH - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D'
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.
- d(I,(P)) = 2 2R r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ) - Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d) - d (P) u
d. n
P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. - Vì d (P) u
d. n
P=0 (1) - Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0,
chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max - Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH - PT mp(P) đi qua H và nhận IH
làm VTPT
Phương trình đường thẳng các dạng toán thường gặp
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u
PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: (d): 0
0
0
x x aty y btz z ct
với t R
* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z za b c
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB
làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( ) - Từ pt( ) VTCP u
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) - Tìm VTPT của mp(P) là n
P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u
d = n
P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) - Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v
=> tính [ 1u
, 2u
].
- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u
d= [ 1u
, 2u
]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u
d= [ 1u
, 2u
]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp: (P):Ax + By + Cz + D = 0 (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0 - Từ (P) và (Q) n
P , n
Q - Tính [ n
P , n
Q]
- Xét hệ '' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D
.
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u
d =[ n
P , n
Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
* Tìm B = 2( ) d * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 Cách 1: - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QCách 2: Chuyển d2,d3 về dạng tham số. Gọi 1 2 1 3,M d d N d d 2 3,M d N d theo tham số t2,t3. Tính MN
.
1 2 3,dMN u t t
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = 2( ) d - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QCách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = ( ) 'P d * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( )P * Tìm VTCP u
của d' và VTPT n
của (P) và tính [u,n]v
* Viết ptđt d qua I và có VTCP v
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : - Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d ,
và ' ' '0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = 1( ) d - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600)
* Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
* Vì 11 . 0d d u u
=>phương trình (1)
Vì 2
2
.
.
u ucos
u u
=> phương trình (2)
Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 0 0(0 ;90 ) thì có.
.
P
P
u usin
u u
)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .
- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
- Vì d//(P) nên . 0pu n
=> phương trình (1).
- Vì 1
11
.( , )
.
u ucos d d cos
u u
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc 0 0(0 ;90 ) .
- Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
- Vì d(P) nên . 0pu n
=> phương trình (1).
- Vì 1
11
.( , )
.
u ucos d d cos
u u
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c
17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng H S’: Dieän tích cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa H laø H’ : Goùc giöõa maët phaúng chöùa H vaø maët phaúng chöùa H’ ' .S S Cos
18
C'
B'
A'
C
B
A HÌNH LAÊNG TRUÏ1/. Ñònh nghóa : Hình laêng truï laø moät hình ña dieän coù hai maët naèm trong hai maët song song goïi laø hai ñaùy vaø caùc caïnh khoâng thuoäc hai ñaùy ñeàu song song nhau 2/. Caùc loaïi :
* Hình laêng truï ñöùng laø hình laêng truï coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy
* Hình laêng truï ñeàu laø hình laêng truï ñöùng coù moãi ñaùy laø ña giaùc ñeàu. Ngoaøi ra coøn coù laêng truï xieân 3/. Sxq, STP, V :
* Sxq baèng toång dieän tích caùc maët beân * Sxq baèng chu vi thieát dieän thaúng nhaân vôùi
ñoä daøi caïnh beân. * Sxq laêng truï ñöùng hay ñeàu baèng chu vi ñaùy
20 HÌNH TRUÏ TROØN XOAY1/. Ñònh nghóa : * Hình chöõ nhaät OO’A’A khi quay quanh caïnh OO’ taïo neân moät hình goïi laø hình truï troøn xoay( hay hình truï)
_ Hai caïnh OA vaø O’A’ vaïch thaønh hai hình troøn baèng nhau goïi laø hai ñaùy.